Evidências experimentais da Física Quântica

Evidências experimentais da Física Quântica Modelo de Bohr

Um outro fenômeno em que houve uma

sistematização foi o espectro de linhas de descargas em gases rarefeitos.

Por tentativa e erro, Balmer e Rydberg propuseram expressões que descrevem as linhas.

Inspirado no modelo de Rutherford, Bohr propõe um modelo e um mecanismo de emissão e absorção para o átomo de hidrogênio que satisfaz as posições das

linha no espectro.

Essa proposta considera fóton e conduz a quantização

Caso motivador:

Obtivemos o espectro da luz proveniente da descarga elétrica em um gás conhecido e observamos que a luz é decomposta pelo prisma ou pela rede de difração apresenta-se no anteparo em linhas brilhantes parale- las e isoladas.

Esse tipo de espectro é chamado de espectro de linha

e cada linha indica um dado comprimento de onda.

O que está acontecendo?

Instrumento para obter espectros atômicos:

Um equipamento típico para medir espectros atômicos consiste de:

• a fonte luminosa gerada por uma descarga elétrica através de um gás monoatômico

• a radiação é colimada pela fenda para um prima que decompõe em seu espectro de comprimento de onda

• a radiação decomposta é gravada na chapa fotográ-

ca ou na câmera CCD

Natureza dos espectros:

A radiação que é gerada na fonte é devido às colisões elásticas e inelásticas dos elétron em movimento e os átomos do gás monoatômico.

Nas colisões inelásticas, o átomo retem parte da energia da colisão e volta ao estado normal de energia cedendo o excesso em forma de radiação.

Diferentemente do espectro contínuo do corpo negro,

a radiação eletromagnética emitida por átomos livres

está concentrada em um conjunto de comprimentos de

onda discretos.

Identidade atômica pelo espectro:

Cada um desses comprimentos de onda é chamado uma linha devido à linha que é produzida sobre a chapa fo- tográca.

A análise da posição de cada linha é de grade importân-

cia pois cada elemento apresenta seu próprio conjunto

de linhas.

Espectro do hidrogênio próximo ao visível:

O hidrogênio é considerado o átomo mais simples. Por isso, seu espectro mostra um distribuição como uma série de linhas que converge para o comprimento de onda de 3645,6Å.

A regularidade do espectro fez com que Balmer em 1885 propor uma fórmula empírica para prever as linhas no visível,

λ = 3646 n ² n ² − 4 ,

onde n = 3 para H _α , n = 4 para H _β , n = 5 para H _γ etc.

Espectro do hidrogênio:

Há séries em outras faixas que foram exploradas empiri- camente por outros pesquisadores. Em 1890, Rydberg sintetizou as várias séries considerado o recíproco do comprimento de onda, para a série de Balmer

κ = 1/λ = R _H (1/2 ² − 1/n ² ) n = 3, 4, 5, . . . ,

onde R _H = 10967752, 6 ± 1, 2 /m.

Séries do Hidrogênio:

A generalização da fórmula de Rydberg para outras séries é dada abaixo:

Nomes Faixa Fórmulas

Lyman UV κ = R _H ¹

1

− ¹

n

n = 2, 3, 4, · · · Balmer UV e visível κ = R _H ¹

2

− ¹

n

n = 3, 4, 5, · · · Paschen IV κ = R _H ¹

3

− ¹

n

n = 4, 5, 6, · · · Brackett IV κ = R _H ¹

4

− ¹

n

n = 5, 6, 7 · · ·

Pfund IV κ = R _H ¹

5

− ¹

n

n = 6, 7, 8, · · ·

Postulados de Bohr:

Em 1913 Bohr desenvolveu um modelo que concorda com os dados espectroscópicos do Hidrogênio. Porém o modelo é baseado em postulados. São eles:

1. O elétron move-se em órbita circular em torno do núcleo positivo

2. A órbita tem o momento angular quantizado 3. A energia total E permanece constante

4. Mudar de órbita corresponde a perde ou ganha en-

ergia em forma de um fóton

Órbita quantizada:

Os dois primeiros postulados indica órbitas de energia total quantizadas.

Uma órbita circular é caracterizada pelo raio, R e pela velocidade tangencial, v .

Postulando que a órbita tenha o momento angular quan- tizado,

L = mvR = n ~ ,

onde n = 1, 2, .. é um inteiro e ~ = h/2π .

Raio e velocidade do elétron:

Considerando que a aceleração centrípeta é devido a força elétrica entre o núcleo e o elétron,

m _e a _c = F _e → m _e v ²

R = e ² 4π ₀ R ² .

Temos

R _n = a ₀ n ² v _n = ~ ma ₀

1 n ,

onde o raio de Bohr é dado por a ₀ = ^4π

^~

m

e

= 0, 5 Å.

Energia do átomo:

Considerando a energia total, E _T = m _e v ²

2 − e ² 4π ₀ R ,

temos a energia quantizada da órbita rotulada por n , E _n = − m _e e ⁴

(4π ₀ ) ² 2 ~ ² 1

n ² = − 13, 6 eV n ² ,

que, em geral, é apresentado em um diagrama de níveis.

Mecanismo de emissão:

O último postulado de Bohr consiste de relacionar a perda de energia com a emissão de um fóton com aquela energia perdida.

Sabendo que a energia do fóton seja hf temos, hf = E _i − E _f .

Considerando a energia quantizada do átomo obtida por Bohr, vemos que a frequência da radiação corre- spondente ao fóton é,

f = 1 (4π ₀ ) ²

m _e e ⁴ 4π ~ ³





1

n ² − 1 n ²



 .

Comparação com as fórmulas:

A expressão para a frequência é muito semelhante à fórmula obtida por Rydberg.

Reescrevendo a energia do fóton em função do número de onda, κ = 1/λ = f /c , temos

κ = R _∞





1

n ² _f − 1 n ² _i



 ,

onde R _∞ = m _e e ⁴ /(4π ~ ) ³ ₀ c = 109737 /m possui o mesmo

valor que a constante de Rydberg R _H .

Previsões do modelo de Bohr:

1. Existe um estado fundamental para o átomo de Hidrogênio n = 1

2. Na descarga elétrica, a colisão entre átomo e elétron faz com que o átomo vá para um estado excitado, n > 1

3. O átomo vai emitir o excesso de energia e volta ao estado fundamental

4. Em cada transição, é emitida uma radiação com

um comprimento de onda que depende da energia

5. No processo pode haver várias transições e todas possíveis formando o espectro de linha completo

6. Para a série de Lyman, n _f = 1 ; para a de Balmer,

n _f = 2 ; para a de Paschen, n _f = 3 ; para a de

Brackett, n _f = 4 ; e para a de Pfund, n _f = 5

Experimento de Franck-Hertz:

Para os críticos da existência do fóton necessitava uma prova mais contundente para armar que a energia do fóton gerado pela transição seja de fato a energia per- dida pelo átomo.

O experimento que relaciona esse fato é o experimento de Franck-Hertz.

Abaixo vemos o esquema do experimento que consiste

de acelerar elétrons em um ambiente preenchido com

um gás conhecido. As colisões inelástica entre átomos

e elétrons permitem obter informação sobre a energia

No arranjo experimental, a grade metálica retarda o

movimento do elétron.

Resultados do Franck-Hertz:

Como resultado, quanto a tensão atinge 4,9V, a cor- rente cai abruptamente.

Isto indica que houve uma colisão inelástica pois o

elétron estava muito próximo da diferença de energia

entre os dois possíveis estados do átomo.

Conclusões:

A espectroscopia atômica tem espectros de linhas que não podemos explicar pela física clássica.

Para o espectro de hidrogênio, Bohr propõe um modelo em que há concordância com o experimento.

Em seu modelo, ele considera o fóton como sendo o produto da transição de estados de átomos.

Esses estados possuem energia quantizada e foi obser-

vada no experimento de Franck-Hertz.

Caso de estudo:

A radiação que surge é devido a colisões inelásticas en- tre elétrons e átomos que excitam átomos para estados mais energéticos.

O espectro de linha surge da transição entre um nível energético maior para um menor em que a energia em excesso gera um fóton de mesma energia.

Como os estados possuem energia quantizada e os fó-

tons possuem energia proporcional à frequência, o es-

pectro tem linhas de comprimento de onda bem denido.

Exercício:

17. A série de Pfund resulta da emissão/absorção de fótons em transições do elétron no hidrogênio de (ou para) níveis mais altos para (ou do) nível n = 5 .

Quais são os comprimentos de onda mais curtos e mais longo dos fótons emitidos que correspondem à serie de Pfund? Algum deles é visível? Respostas: 2279 nm;

7460nm