Inferências Geográfica: Inferência Bayesiana Processo Analítico Hierárquico Classificação contínua

(1)

Inferências Geográfica:

Inferência Bayesiana

Processo Analítico Hierárquico

Classificação contínua

(2)

Análise Multi-Critério

Classificação continua (Lógica Fuzzy)

(3)

Classificação contínua

(4)

Classificação contínua

n

Lógica convencional

_{Paradoxo insolúvel}

1 1 9 9 0 0 1 1 7 7 0 0 1 1 5 5 0 0 1 1 4 4 0 0 2 2 1 1 0 0 Muito Muito baixa

baixa abaixo médiaabaixo média Acima Acima médiamédia Muito Muito altaalta Alto Alto média

média baixa

baixa AltaAlta

baixa baixa

Eu sempre minto.

n

Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas

diferentemente de áreas com inclinação de 10,1%,

não importando as demais condições

(5)

Classificação contínua

n

A análise espacial em SIG será melhor realizada com uso da

técnicas de classificação contínua, transformando os dados para

o espaço de referência [0,1] e processando-os por combinação

numérica, através de média ponderada ou inferência “fuzzy”

n

Ao invés de um mapa temático com limites rígidos gerados pelas

operações booleanas, obtém-se uma superfície de decisão

contínua.

n

Isto permite construir cenários

(por exemplo, risco de 10%,

20% ou 40%), que indicam os diferentes compromissos de

tomada de decisão => maior flexibilidade e um entendimento

muito maior sobre os problemas espaciais.

(6)

Lógica Fuzzy

n

Lógica Fuzzy: Introduzida por Lofti Zadeh (1960s), como um

meio de modelar incertezas da linguagem natural

n

Fuzzy Logic” é uma extensão da lógica Booleana, que tem sido

estendida para manipular o conceito de “verdade parcial”, isto

é, valores compreendidos entre “completamente verdadeiro” e

“completamente falso”.

0 1 1 Falso Verdade

Lógica Boleana

z

F

_V

F(z)

Lógica Fuzzy

zz

V

F

0 0 1 1 Falso Verdade

(7)

n Um conjunto Fuzzy (S) é definido matematicamente como:

Z : S = (z, f(z)) onde:

ü Z é referido como o “universo de discurso” para o subconjunto Fuzzy S ü S é o conjunto Fuzzy em Z, expresso pelos pares ordenados [z, f(z)]. ü z ∈ Z, é um elemento do conjunto Z (primeiro elemento do par

ordenado).

ü f(z) é uma função que mapeia z em S, variando de 0 a 1 (segundo elemento do par ordenado). Estabelece o grau de verdade:

n O valor Zero (0) é usado para representar a condição de Falsidade, n O valor Um (1) é usado para representar a condição de Verdade, n Valores intermediários são utilizados para representar o grau de

verdade.

(8)

Conjuntos Fuzzy: exemplo

ü Exemplo: Altura de Pessoas

ü S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta: ü " a que grau uma pessoa “z” é alta?

ü Z : S = (z, f(z)) especialistas 0 0 1 1 BAIXO ALTO z f(z) 1.5 2.1 0.5 0.5 n

n Exemplo: ”João é ALTO" = 0.38









≥

<

−

≤

=

1 .

2 ,

1

1 .

2

5 .

1

6 .

0 /

)

5 .

1 (

5 .

1 ,

0 )

(

z

se

z

se

z

se

z

f

(9)

Conjuntos Fuzzy: exemplo

n

Outro exemplo - Declividade

f

(z) = 0 se z ≤ α f(z) = 1/[1+ α(z −β)2_{] se}α _{< z <}β f(z) = 1 se z ≥ β 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 _.025 ₄₀ Declividade Mínimo (α) Máximo (β)

f

(z)

= 0 se z

=

≤

0.025 f

f

(z)

= 1/[1+ 0.025(z

=

−

40)

2

] se

α

< z < 40

f

(z)

= 1, se z

=

≥

40

(10)

n Na prática:

Realizar mapeamento para espaço [0,1]

¨ determinação de valores limites (mínimo e máximo)

¨ estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide

Mapeamento para fuzzy

Campo de

Amostras

Amostras Grade deGrade devaloresvalores [0,1][0,1]

f(z)

Superfície Superfície contínua contínua Análise

(11)

Operadores Fuzzy : E

Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização.

Operador apropriado quando todas as evidências para uma devem estar presentes para a hipótese ser verdadeira.

µ

_c

= MIN (

µ

_a

,

µ

_b

,

µ

_c

, ...)

µ

_A,

µ

_B,

µ

_{C, ..}

são os valores de pertinência nos mapas

1,00 0,40 0,65 0,00 0,55 0,70 0,30 0,60 0,75 0,00 0,40 0,60 0,20 0,55 0,75 0,40 0,65 0,50 0,00 0,40 0,60 0,00 0,55 0,70 0,30 0,60 0,50

µ

_A

_µ

B

µ

_{c =}

µ

_A

E

µ

_A

(12)

Operadores Fuzzy : OU

Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização.

µ

_c

= Max (

µ

_a

,

µ

_b

,

µ

_c

, ...)

µ

_A,

µ

_B,

µ

_{C, ..}

são os valores de pertinência nos mapas

1,00 0,40 0,65 0,00 0,55 0,70 0,30 0,60 0,75 0,00 0,40 0,60 0,20 0,55 0,75 0,40 0,65 0,50 1,00 0,40 0,65 0,20 0,55 0,75 0,40 0,65 0,75

µ

_A

_µ

B

µ

_{c =}

µ

_A

OU

µ

_A

(13)

Operadores Fuzzy: Produto algébrico

µ

_c

=

µ

_i

onde

µ

_i é a função de pertinência para o i-ésimo mapa

O valor dessa função combinada

µ

tende a ser muito pequeno, produto de valores entre 0 e 1. A saída é sempre menor que a menor contribuição.

∏

= n i 1 1,00 0,40 0,65 0,00 0,55 0,70 0,30 0,60 0,75 0,00 0,40 0,60 0,20 0,55 0,75 0,40 0,65 0,50 0,00 0,16 0,39 0,00 0,30 0,52 0,12 0,39 0,37 µ_A µB µc

(14)

Operadores Fuzzy: Soma algébrica

µ

_c

= 1-

(1-

µ

_i

)

Nessa operação o resultado é sempre maior, ou igual, a maior contribuição do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50) é 1 – ( 1-0,75)*(1- 0,50), que é igual a 0,875 .

∏

=

n

i 1

0,00 0,60 0,35 1,00 0,45 0,30 0,70 0,40 0,25 1,00 0,60 0,40 0,80 0,45 0,25 0,60 0,35 0,50 0,00 0,36 0,14 0,80 0,20 0,07 0,42 0,14 0,12 1,00 0,84 0,86 0,80 0,79 0,92 0,58 0,86 0,87 1 -µ_A 1 - µ_B 1 - µ_A

∏

(1 - µ_i) µc = 2 1 i

(15)

(16)

Exemplo: Transformação Fuzzy

{

//Declaração

Numerico cromo ("Amostras");

Numerico cromofuzzy ("Cromo_Fuzzy");

//Instanciação

cromo = Recupere ( Nome= "Teores_Cromo" );

cromofuzzy = Novo (Nome = "Cromo_Fuzzy", ResX=30, ResY=30, Escala=50000, Min=0, Max=1);

//Operação

cromofuzzy =

(cromo < 0.20)

?

0 :

(cromo > 1.855)

?

1 :

1/(1 + (0.424 * ((cromo - 1.855)^2)));

}

variável = expressao_booleana

?

expressao1

:

(bool ?

Exp1 :

exp2) ;

expressao2

expressao1

(17)

Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)

Análise Multi-Critério

(18)

Suporte à Decisão - Conceitos Básicos

è

Decidir é escolher entre alternativas.

n

Podemos encarar o processo de manipulação de dados

num sistema de informação geográfica como uma forma

de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de

estudo.

n

O conceito fundamental dos vários modelos de tomada

de decisão é o de

racionalidade

.

Onde è

indivíduos e organizações seguem um

comportamento de escolha entre alternativas, baseado

em critérios objetivos de julgamento, afim de

(19)

Suporte à Decisão - Conceitos Básicos

n

Um modelo racional

de tomada de decisão preconiza quatro

passos:

¨

Definição do problema:

formular o problema como uma

necessidade de chegar a um novo estado.

¨

Busca de alternativas:

estabelecer as diferentes

alternativas (aqui consideradas como as diferentes

possíveis soluções do problema) e deter minar um

critério de avaliação.

¨

Avaliação de alternativas:

cada alternativa de resposta

é avaliada.

¨

Seleção de alternativas:

as possíveis soluções são

ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou

(20)

A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico

n

Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa

decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de

cada um ?

n

Thomas Saaty (1978) propôs, uma técnica de escolha baseada na

lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP.

n

Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a

tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de

importância relativa

é atribuído ao relacionamento entre estes

fatores, conforme uma escala pré-definida.

(21)

A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico

Escala de Valores AHP para Comparação Pareada

2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade de compromissos adicionais.

(22)

AHP- Exemplo:

Decidir sobre a compra de um SIG

Fatores importantes:

hardware

(23)

Matriz de Comparação Par-a-Par -

Fator Hardware

1 1/6 1/8 Sistema 3 6 1 1/4 Sistema 2 8 4 1 Sistema 1 Sistema 3 Sistema 2 Sistema 1 Hardware

A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema 1 é

moderadamente / essencialmente preferido em relação ao

Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extrema

com relação ao Sistema 3.

Passo

1-Importância relativa dos fatores entre sistemas.

Critérios objetivos

Sistema 1 è Sistema 1 = 1 Sistema 2 è Sistema 3 = 6

Sistema 2 è Sistema 1 = 1/4 Sistema 3 è Sistema 2 = 1/6

(24)

Matriz de Comparação Par-a-Par -

Fator Hardware

1 1/6 1/8 Sistema 3 15 5,167 1,375 Total 6 1 1/4 Sistema 2 8 4 1 Sistema 1 Sistema 3 Sistema 2 Sistema 1 Hardware

Passo

2-Normalizar colunas

0,067

0,032

0,091

Sistema 3

0,400

0,194

0,182

Sistema 2

0,533

0,774

0,727

Sistema 1 Hardware

(25)

Matriz de Comparação Par-a-Par -

Fatores

0,063 (

0,091+0,032+ 0,067)/3 =

Sistema 3 0,259 (

0,182+0,194+0,400)/3 =

Sistema 2 0,678 (

0,727+ 0,774+0,533)/3 =

Sistema 1 Vetor de Média Cálculo da média Hardware

Passo 3-

Média de cada linha normalizada

Ø representa as prioridades para as três opções alternativas, em

relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema

0,096 0,251 0,653 Serviço de ven. 0,737 0,186 0,077 Software 0,063 0,259 0,678 hardware Sistema 3 Sistema 2 Sistema 1 Fator

(26)

Matriz de Comparação de

Fatores

1 1/6 5 Serviço de ven. 7,20 1,292 14 Total 6 1 8 Software 1/5 1/8 1 hardware Serviço de ven. Software hardware Fator

Passo

4-Importância relativa entre os fatores.

0,139

0,129

0,357

Serviço vendas.

0,833

0,774

0,571

Software

0,028

0,097

0,072

hardware

(27)

Matriz de Comparação de

Fatores

Passo

5-Pesos dos fatores.

Fator Matriz normalizada

0,208 (

0,357 + 0,129 + 0,139)/3 =

Serviço vendas. 0,726 (

0,57 + 0,774 + 0,833)/3 =

Software 0,066 (

0,072 + 0,097 + 0,028)/3 =

hardware Vetor de Média Cálculo da pesos Fator 0,559 (0,066*0,063 + 0,726*0,737 + 0,208*0,096)= Sistema 3 0,204 (0,066*0,259 + 0,726*0,186 + 0,208*0,251)= Sistema 2 0,236 (0,066*0,678 + 0,726*0,077 + 0,208*0,653)= Sistema 1

O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é o sistema 3. Então o mais adequado para aquisição

(28)

Consistência da seleção realizada

Para aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer

se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso o

parâmetro para avaliar isto é denominado

Razão de consistência

Passo 1: Considere que os critérios atribuídos ao fator Hardware (tabela abaixo) foi justo

1 1/6 1/8 Sistema 3 6 1 1/4 Sistema 2 8 4 1 Sistema 1 Sistema 3 Sistema 2 Sistema 1 Hardware 0,259 Sistema 2 0,678 Sistema 1 Vetor de Média Hardware

(29)

Razão de consistência

Passo 2: Calcula-se o vetor soma ponderada

1,000 4,000 8,000 0,678 0,250 1,000 6,000 * 0,259 0,125 0,167 1,000 0,063 = 1,000*0,678 + 4,000*0,259 + 8,000*0,063 = 2,218 0,250*0,678 + 1,000*0,259 + 6,000*0,063 = 0,807 0,125*0,678 + 0,167*0,259 + 1,000*0,063 = 0,191 2,218/0,678 0,807/0,259 0,191/0,063 3,271 3,116 3,032 = Vetor de consistência =

Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência

Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência

(30)

Razão de consistência

A razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR

Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatório conforme tabela abaixo.

RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,12

Segundo o método desenvolvido por ss, o valor de RC deve ser menor que 0,10 para que a decisão

seja consistente

IC = (

µ

-n) / (n-1) onde n é o numero de fatores IC = (3,140 –3) / (3-1) = 0,070 1,32 7 1,12 5 0,90 4 1,24 6 0,58 3 0,00 2 IR n

(31)

Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo.

Superfícies normalizadas

(32)

Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo.

Vetor de pesos

Calculando-se a Razão de consistência, conforme mostrado anteriormente chega-se : RC = IC/IR = 0,00695/0,58 = 0,012

Como o valor de RC < 0,10 conclui-se que a decisão foi consistente O mapa final de potencialidade de cromo é obtido

Mapa_pot_Cromo =

(33)

Passos do AHP

n Passo 1:

¨ Comparar os critérios dois-a-dois

n Passo 2:

¨ Determinar vetor de consistência dos criterios ¨ Estimar Razão de consistência.

n Consistente se a Razão de consistência tiver probabilidade menor do que 10%

n Passo 3:

¨ Produzir os pesos (soma = 1.0)

(34)

n

Interface

(35)

(36)

Abordagem Bayesiana

Principal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori

Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva por ano no local.

¨ probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365

Refinamento: dada uma certa época do ano

¨ a posteriori : Fator época do ano (F_{época do ano})

n P(chuva | época do ano) = P(chuva) * (F_{época do ano})

¨ Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje

¨ P(chuva|evidência) = P(chuva) *

(

F_{época do ano}

)

* F_{dia anterior} * F_{dia hoje}

1

(37)

Abordagem Bayesiana - Exemplos

Ex. 1 – prospecção mineral

Anomalia geoquímica de zinco è > 250 ppm Prob. A priori > 250 ppm

Fatores (a posteriori)

Mapa geológico

rocha A e B è favorável rocha C e D è desfavorável

Intensidade de assinatura geofísica Tipo de vegetação

Baseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências) Baseado em dados (dados históricos suficientes)

Ex. 2 – diagnostico médico

Combinação de sintomas clínicos

Ex. 2 – Distribuição espacial de epicentros sísmicos.

(38)

Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação

1- Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado mineral em uma região que possui uma área de 10.000 km2_{, e que já}

tenham sido identificados 200 depósitos nesta região.

2- A area foi dividida em celulas de 1 km2 _{e ocorre somente 1 deposito}

em cada celula.

Notação è N{} = contagem de unidades N{R} = 10.000 unidades de área N{D} = 200 depósitos conhecidos com área de 1 km2_. Densidade de depositos N{D}/N{R} = 200/10000=0.02 probabilidade a priori P{D} = N{D}/N{R} = 0.02 R A

(39)

Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação

Nova evidencia:

Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 180 dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia. P{D / A} > 0.02 P{D / A} < 0.02

Dado esta evidência, a probabilidade pode ser expressa por:

R A R A D R ∩ A A ∩ D A ∩ D D ∩ A

(40)

Técnica Bayesiana

P{D / A}

é a probabilidade condicional de um deposito ‘D’ dado que a célula está dentro da área de anomalia ‘A’.

R A D R ∩ A A ∩ D A ∩ D D ∩ A P{D∩A} = N{D∩A} / N{R}

é a proporção da área total onde ocorre simultaneamente

deposito e anomalia.

(41)

Técnica Bayesiana

_A R D R ∩ A A ∩ D A ∩ D D ∩ A P{D / A} = 180 / 3600 = 0,05 P{D} = 0.02

P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D}

N{R} (10000) N{A} (6400) N{A} (3600) D (9800) N{D∩A} (1) N{D∩A} (3420) Não Depósito (D) D (200) N{D∩A} (20) N{D∩A} (180) Depósito (D)

Não Anomalia (A) Anomalia (A)

Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de 10.000 km2 _{para 3.600 km}2 _.

(42)

Técnica Bayesiana

P (posteriori) = P(priori) * (F_evidência)

Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo. Qual a probabilidade de uma célula estar na região de anomalia ‘A’,

dado que esta célula contém um deposito?

P{A / D} = 180/200=0.9

Dado que: P{A∩D} = P{D∩A}

Probabilidade a posteriori de um depósito, dado que a célula esta na área de anomalia

(43)

Técnica Bayesiana

P{A / D} = 180/200=0.9

P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05 0,9/0,36 = 2,5 è fator multiplicativo

P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 10000 = 0,36

A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori.

(44)

Técnica Bayesiana

Probabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada a ausência da anomalia. P{A} = (10000-3600)/10000=0.64 P{A / D} = 20/200=0.1 = 0,1/0,64 = 0,15625 è A probabilidade a posteriori da ocorrência de depósitos em posições onde não há anomalia magnética é 0.15625 vezes

menor do que a probabilidade a priori.

P{D / A} = 0.2*0.15625 = 0.003125

Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de pesquisa de 10.000 km2 _{para 3600 km}2_{, porque a chance de se}

encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor (50 vezes) do que onde há anomalia.

(45)