PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA FACSUL 2017 MATEMÁTICA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

FACSUL 2017 MATEMÁTICA

Coleta de Dados

• O estudo que fizemos sobre distribuição de frequência, até agora, permite- nos descrever, de modo geral, os grupos dos valores que uma variável pode assumir.

• Desta forma podemos localizar a maior concentração de valores de uma

dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou ,

ainda, se há uma distribuição por igual.

Coleta de Dados

• Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição,

isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números, que nos permitam traduzir essas tendências.

• Esses conceitos são denominados elementos típicos da distribuição:

•

Medidas de posição

•

Medidas de variabilidade ou dispersão

•

Medidas de assimetria

Coleta de Dados

• Dentre os elementos típicos, destacamos, neste capítulo, as medidas de posição – estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal.

• As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência

central, que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados

tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais.

Coleta de Dados

• Dentre as medidas de tendência central, destacamos:

•

A média aritmética

•

^{A mediana}

•

^{A moda}

Média

• As medidas de posição pode traduzir algumas características interessantes dos conjuntos estudados, mas não permitem um estudo analítico mais

profundo.

• Para que isso seja feito, é preciso definir uma medida de posição do

conjunto que é a média.

Média

• Assim como em outros conceitos, também o de média faz parte de nossa linguagem cotidiana, pois costumamos realizar com bastante frequência cálculos de médias, ainda que de maneira informal e intuitiva.

• Por exemplo, quando saímos para trabalhar, sabemos aproximadamente

quanto tempo demoraremos no trajeto, e assim também sabemos quais

são, em média, os nossos gastos com determinados itens comumente

comprados, etc.

Média

Obs.: As médias são as grandezas mais comumente utilizadas nas análises

•

estatísticas.

Média Aritmética

• A chamada média aritmética, ou média ou média simples, é mais utilizada no cotidiano e estabelece que todos os elementos têm a mesma

importância.

Média Aritmética

• Para saber o valor gasto efetivo de cada um, temos que somar todos os gastos

individuais e dividi-los pelo número de pessoas.

Média Aritmética

• Nesse caso, teremos:

Gasto médio =

25 + 31 + 47 + 19 + 28

5

= 30

Média Aritmética

• Dessa maneira, determinamos que a média de gastos foi de R$ 300,00, ou seja, esse é o valor correspondente aos gastos de cada um.

• É interessante observar que o valor da média não precisa ser um valor

encontrado no conjunto.

Média Aritmética

Utilizando o exemplo anterior, vamos agora formalizar o cálculo da média

•

aritmética.

𝑥 = 𝑥

₁

+ 𝑥

₂

+ 𝑥

₃

+ 𝑥

₄

+ 𝑥

₅

𝑁

Logo,

𝑥 = σ 𝑥

_𝑖

Média Aritmética

Gastos efetuados por ocupante da mesa da lanchonete

Média Aritmética

• No exemplo, como a soma das frequências nos dá o total de pessoas na mesa, que são 10, temos uma conta de R$ 140,00 a ser dividida por 10 pessoas.

• A média, portanto, será de R$ 14,00.

• Na tabela é apresentada uma forma prática de se efetuar a conta.

•

Média Aritmética

• Coloca-se também uma linha adicional ao final da tabela, na qual se

apresentam os resultados dos somatórios que serão utilizados no cálculo da

média.

Média Aritmética

Dessa maneira, o cálculo da média é feito dividindo- se o valor da soma da terceira coluna, R$ 140,00, pela soma da segunda coluna, 10 pessoas.

Como vimos anteriormente, a média será de R$

14,00.

Média Aritmética – Em intervalos

Tabela de Referência

•

Média Aritmética – Em intervalos

• Quando a tabela de frequências traz classes de dados em intervalos em lugar de valores individuais, assumimos que o valor que melhor representa a classe é o valor referente ao meio do intervalo.

• Tomando como exemplo os intervalos da tabela ao lado, os intervalos teriam por valores representativos:

•

O intervalo 1-5 tem como valor representativo x₁= 3

•

O intervalo 6-10 tem como valor representativo x₂= 8

•

Média Aritmética – Em intervalos

•

Para efeito de cálculo, remontamos a tabela

•

Como os valores tratados dessa maneira não consideram exatamente o valor de cada um dos dados, a média será um valor aproximado.

•

Portanto quando houver acesso aos dados brutos e também necessidade de um cálculo preciso, é preferível utilizar os dados brutos para efetuar o cálculo da media.

Média Ponderada

• Até aqui tratamos todos os dados com tendo a mesma importância para o cálculo da média.

• No entanto, sabemos que na realidade há gradações de importância que

fazem com que esse cálculo de média simples não seja uma descrição

apropriada da realidade.

Média Ponderada

22

• O cálculo de uma média ponderada se faz de maneira similar ao cálculo em que são utilizadas tabelas de frequência.

• Tomando como exemplo das notas, digamos que o professor assuma que a prova é quatro vezes mais importante que o trabalho; ele então atribuirá peso 1 ao trabalho e peso 4 à prova.

• Para o cálculo da nota final, chamaremos de n

₁

e p

₁

a nota e o peso do trabalho, respectivamente.

• Do mesmo modo, chamaremos de n

₂

e p

₂

a nota e o peso da prova.

Média Ponderada

• Em analogia ao cálculo das médias pela tabela de frequência, poderíamos imaginar que a situação equivalente seria termos 1 trabalho e 4 provas e calcularíamos a

nota final como se fossem 5 avaliações em lugar de duas:

•

Um trabalho

•

Quatro provas

• Sendo, as quatro com a mesma nota

• O cálculo da média final do aluno seria dado, então, por:

Média Ponderada

• Nesta tabela apresentamos alguns exemplos de cálculo de médias para diversos

conjuntos de notas citados anteriormente.

Média Ponderada

A partir do exemplo anterior, podemos agora apresentar a fórmula geral

•

para o cálculo de médias ponderadas:

ҧ𝑥 = σ 𝑝

_𝑖

. 𝑥𝑖

σ 𝑝

Média Ponderada

Exercício:

•

Suponhamos que o cálculo de inflação levasse em conta somente os aumentos de cinco artigos num

•

dado período, conforme tabela abaixo:

Calcule a média aritmética do aumento;

•

Média Ponderada

•

Se adicionássemos importâncias aos itens, como calcularíamos a média ponderada?

Média Ponderada

•

Calculando a média dessa maneira, a inflação recalculada nesses moldes é de 1, 13%, o que é muito mais condizente do que o valor anterior de 4,8%, pois temos um número próximo àquele do aumento dos itens importantes.

Média - Propriedades

•

Se somarmos (ou subtrairmos) um mesmo número a todos os elementos do conjunto, a média será acrescida de mesmo valor

•

Pensando em uma média de idade. Um conjunto que tenha uma média de idade de 6 anos, passados 3 anos, todos terão envelhecido o mesmo tempo e a idade média do conjunto será acrescida de 3 anos.

•

Se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os elementos do conjunto por um mesmo número, a média será acrescida de mesmo valor.

•

Pensando em uma lanchonete. Se todos se reunirem uma vez por semana na mesma lanchonete e consumirem a mesma coisa todas as vezes, o gasto mensal de cada um será

Moda

•

A palavra moda é utilizada cotidianamente com um significado parecido com a definição em estatística.

•

No dia a dia, dizemos que algo está na moda se muita gente o está usando ou está fazendo.

•

Em estatística, moda é o valor que mais aparece no conjunto, aquele que é a característica da maioria.

•

Quando há um valor que se sobressai em frequência, com relação aos demais valores, dizemos que o conjunto tem uma moda, é modal.

Moda

•

^{A Moda (m}₀) é, portanto, o valor de maior frequência em um conjunto de dados, ou seja é o valor que aparece mais vezes neste conjunto.

•

^Exemplo:

•

Na série X: 2; 8; 3; 5; 4; 5; 3; 5; 5; 1

•

O valor de maior frequência é o 5.

Moda

•

Moda é especialmente útil quando os valores ou as observações não são numéricos, casos em que a média e a mediana não podem ser definidas.

•

Uma amostra pode ser unimodal (uma moda), bimodal (duas modas), multimodal (várias modas) e amodal (nenhuma moda).

Moda

Sejam os conjuntos S

•

_i com i = 1, 2, 3

Para S

•

₁ = {1,1,1,1,1,1,1}, a moda é 1 Para S

•

₂ = {1,1,2,2,3,4}, as modas são 1 e 2 Para S

•

₃ = {1,1,2,2,3,3,4,4}, as modas são 1, 2, 3 e 4

Moda

Moda é útil quando um ou dois valores ocorrem com maior frequência em um conjunto

•

de dados.

Entretanto, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos dados quando todos

•

ou quase todos os valores ocorrem aproximadamente com a mesma frequência.

Se nenhum valor ocorre com maior frequência em um conjunto de dados, então todos

•

os valores que ocorrem com a maior frequência são chamados valores modais.

Sejam os conjuntos

•

^S’_icom i = 1,2.

Para S`

•

₁ = {1,2,3,4,5,6,7}, não há moda.

Para S`

•

₂ = {1,2,3,4,5,6,...}, não há moda

Mediana

•

A mediana é uma medida de tendência central que considera não os valores intrínsecos dos dados, mas a posição que eles ocupam no conjunto de dados ordenados.

•

A mediana de um conjunto de dados será o valor que o divide em dois subconjuntos, um contendo os 50% menos valores e o outro contendo os 50% maiores valores.

•

É, dessa forma, considerada uma medida de posição.

•

Em um conjunto onde seus elementos estão dispostos em ordem crescente ou

decrescente a mediana é o termo central desse conjunto ou o elemento que está bem

Mediana

•

^Exercício

•

Considere a seguinte sequência de dados:

•

X: 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8

•

A mediana desta série será:

Mediana

•

A = {2, 4, 4, 6, 7, 8}

•

Note que essa sequência é formada por um número par de termos, ou seja, por seis termos.

•

Portanto existem dois termos centrais: os que ocupam a 3ª e 4ª posições.

•

Logo qualquer valor que se encontre entre esses dois termos, no caso, o 4 e o 6, pode dividir o conjunto em duas partes com a mesma quantidade de elementos.

•

Porém, de acordo com a própria definição, nesses casos em que o conjunto apresenta dois termos centrais, consideramos a média aritmética entre esses dois termos para ser o termo central, ou seja, no nosso caso devemos somar os dois termos centrais

Mediana

•

Quando há um número ímpar de termos em um conjunto, existirá um único termo central.

•

Nestes casos a mediana será o próprio termo central, sem dificuldades.

Medidas de Dispersão

•

O conteúdo anterior no apresenta grandezas que nos trazem um valor significativo dos dados de um conjunto;

•

Agora analisaremos se ele esses dados estão concentrados em torno do valor médio ou se estão espalhados, dispersos em torno dele.

Medidas de Dispersão

•

^Intervalo

•

O conceito de intervalo é bastante intuitivo e coincide com o significado da linguagem cotidiana.

•

O intervalo de valores é aquele que vai do menor ao maior valor.

•

O intervalo é uma medida de dispersão fácil de calcular, porém de utilidade limitada, pois traz apenas informações sobre os valores extremos.

Medidas de Dispersão

Quando não é de interesse saber exatamente qual o maior e qual o menor valor, mas

•

apenas saber qual o tamanho do intervalo, este será encontrado, subtraindo-se o menor valor do maior valor do conjunto.

Tomando agora os dados da tabela (

•

Slide 11), vemos que o maior gasto foi de R$ 47,00

e o menor foi de R$ 19,00.

Desse modo, o intervalo seria de

•

19 a 47, o que nos dá um intervalo de tamanho 28.

No entanto, como comentamos anteriormente, nesse exemplo as diferenças de gasto

•

eram apenas circunstanciais e, após feito o acerto de contas, todos teriam gasto

Medidas de Dispersão

Se utilizarmos em nossa análise o gasto efetivo, teremos então

•

R$ 30,00 como a maior

e a menor despesa, simultaneamente, e o intervalo indo de 30 a 30, com tamanho zero.

Ou seja, se todos os dados têm o mesmo valor, dizemos que são dados sem qualquer

•

dispersão, ou dizemos, formalmente, que a dispersão é nula.

Medidas de Dispersão

•

A exemplo do que discutimos para as medidas de posição, quando abordamos a média, vamos agora definir uma medida de dispersão que considere cada uma dos valores

individuais.

Medidas de Dispersão

•

^Definição

•

Tomemos como exemplo similar àquele dos gastos na lanchonete, em que analisaremos os gastos de 5 amigos em um restaurante.

•

Para analisar quanto a divisão igualitária das despesas foi justa (ou injusta), o primeiro passo é comparar cada valor consumido com o valor efetivamente pago.

•

Formalmente, isso significa subtrair o valor médio do valor específico.

Medidas de Dispersão

•

Como essa análise é um refinamento do estudo da média, continuaremos seguindo um procedimento similar para a realização dos cálculos.

•

Assim, retomamos a tabela já com a linha e a coluna adicionais para o cálculo da média e acrescentamos uma coluna com o valor dessas diferenças, conforme colocamos na tabela a seguir.

Medidas de Dispersão

46

Ir para o Slide 11

Medidas de Dispersão

• O cálculo da média se dá simplesmente pela soma das despesas individuais dividida pelo número de pessoas, com resultado 30;

• Na terceira coluna, temos as diferenças entre os gastos individuais e a média;

• Essas diferenças são obtidas pela subtração 𝑋

_𝑖

– 𝑋, logo, um resultado ത

positivo significa que a pessoa consumiu mais do que pagou; ao contrário,

quando o resultado é menor do que zero, isso significa que a pessoa

Medidas de Dispersão

• Por exemplo, Alberto gastou R$ 25,00 e pagou R$ 30,00, a diferença citada é de R$

-5,00.

• Já Beatriz consumiu R$ 31,00, portanto, sua diferença é de R$ 1,00.

• Para analisar a dispersão dos dados, uma primeira proposta seria a de somar as diferenças. No entanto, como poder ver na última linha da terceira coluna, a soma das diferenças dá zero.

• Esse resultado era esperado, visto que houve equilíbrio entre os consumos maiores

ou menores que a média.

Medidas de Dispersão

Uma segunda proposta seria considerar as diferenças sem o sinal, ou seja, o

•

valor absoluto delas e dividir pelo número de pessoas para ter uma média desses desvios.

Existe de fato uma medida de dispersão assim calculada, mas sua utilização

•

não é frequente, então passaremos a discutir outra proposta

matematicamente mais significativa: a variância.

Medidas de Dispersão

A variância utiliza as distâncias entre os valores individuais e as médias, mas

•

o faz elevando esses valores ao quadrado.

Não cabe aqui discutir os motivos de tal definição, dada a complexidade da

•

matemática envolvida, mas vale uma discussão qualitativa dessa escolha.

Medidas de Dispersão

• Ao utilizarmos os quadrados das diferenças, garantimos que os parâmetros de desvio serão sempre positivos, já que o produto de números com sinais é sempre positivo.

• Além disso, esse critério faz com que tenhamos ainda mais rigor da ”injustiça”, pois quanto maior a diferença, maior o peso com que ela será contada.

• Por exemplo: a diferença referente a Beatriz, que é de 1, entrará na ”conta da

injustiça” com seu quadrado, que é também 1, e a diferença devida a Alberto, que é

Medidas de Dispersão

• Há duas grandezas que descrevem a dispersão dos dados utilizando o critério acima: a variância e o desvio-padrão.

• O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e será denotado pela letra sigma minúscula (𝜎).

• A variância é, portanto, o quadrado do desvio-padrão e se denota por 𝜎

²

.

Medidas de Dispersão

• Quando nossos dados trazem a totalidade da população estudada, como é o caso do exemplo anterior, a variância é definida como a média dos quadrados das

diferenças entre o valor individual e o valor médio, conforme formalizado a seguir:

𝜎² = σ 𝑥 − ҧ𝑥 ²

• O desvio-padrão será simplesmente a raiz da variância:

𝑁 𝜎 = 𝜎²

Medidas de Dispersão

Nos casos em que temos os dados em tabelas de

• frequência, precisamos que

lembrar que cada valor xi aparece fi vezes e, a exemplo do que fizemos para o cálculo da média, é preciso multiplicar a quantidade de vezes que cada valor aparece para que todas as diferenças sejam computadas.

Assim sendo, teremos:

•

𝜎² = σ 𝑓_𝑖 . 𝑥 − ҧ𝑥 ² σ 𝑓_𝑖

E, novamente, o desvio

• -padrão será simplesmente a raiz da variância.

Medidas de Dispersão

• Variância e desvio-padrão para amostras

•

Nos casos que temos dados para uma amostra e não para toda a população, em lugar de dividirmos por N, a divisão será feita por N-1.

•

Quando o número de dados é grande, o valor final não será muito afetado pela substituição de N por N-1.

•

Quando o número de dados é pequeno, a dispersão encontrada dividindo-se por N-1 é maior, refletindo o fato de que se espera que haja maior diversidade de valores na

Medidas de Dispersão

•

Por fim, temos as definições:

𝜎² = σ 𝑥 − ҧ𝑥 ² 𝑁 − 1

•

^Ou

𝜎² = σ 𝑓_𝑖 𝑥 − ҧ𝑥 ² (σ 𝑓_𝑖) − 1 E, como nas outras vezes:

𝜎 = 𝜎²

Medidas de Dispersão

Dados não agrupados

•

Para efetuar os cálculos, é preciso lembrar que nesse caso temos uma população, já

•

que temos os valores referentes a todos os ocupantes da mesa estudada.

Utilizaremos aqui um procedimento similar ao usado no cálculo das medias, colocando

•

os valores intermediários que precisamos para os cálculos em colunas adicionais e realizando as somas pertinentes nas colunas respectivas.

Medidas de Dispersão

Dados agrupados

•

No intuito de construir o procedimento para o caso de dados agrupados, vamos

•

calcular a variância e o desvio-padrão para um conjunto de dados em que haja valores repetidos.

A partir de agora, passaremos a utilizar a fórmula da variância para amostras, visto que

•

sua utilização é mais frequente, pois é mais comum termos estudos que utilizam amostras que estudos que trazem informações sobre toda a população.

Medidas de Dispersão

Medidas de Dispersão

• Assim como no cálculo da média quando há valores repetidos, podemos agrupar os dados e fazer com que os termos referentes a valores iguais sejam multiplicados pelas suas frequências.

• Desse modo, todos os dados serão incluídos na conta de uma maneira mais

prática e concisa.

Medidas de Dispersão

Medidas de Dispersão

Média Ponderada

•

Vamos ver agora um procedimento para o cálculo quando os dados têm pesos

•

diferentes.

Lembramos que, para efeito dos cálculos, o peso e a frequência têm papéis similares.

•

Assim sendo, montaremos a tabela e efetuaremos os cálculos seguindo os mesmos

•

passos descritos anteriormente, mas tendo em lugar das frequências f_ios pesos p_i.

Medidas de Dispersão

Medidas de Dispersão

• Exercícios

•

Calcule a variância e o desvio padrão da série X: 4; 5; 6; 5.

Medidas de Dispersão

Exercícios

•

Calcule a variância e o desvio padrão da série:

•

x_i f_i

2 3

3 5

4 8

5 4

Medidas de Dispersão

Exercícios

•

Calcule a variância e o desvio padrão da série:

•

Classe Int. de

Classe f_i

1 2 |--- 4 10

2 4 |--- 6 15

3 6 |--- 8 25

4 8 |--- 10 12

Medidas de Dispersão

• Coeficiente de Variação

•

O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa.

•

Assim, um desvio padrão de duas unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.

•

Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores,

relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades

Medidas de Dispersão

• Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a

dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, media essa denominada coeficiente de variação (CV).

𝐶𝑉 = ^𝜎

ҧ

𝑥 x 100

Medidas de Dispersão

• ^Exemplo:

• Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:

ҧ𝑥 𝜎

Medidas de Dispersão

Temos:

•

• 𝐶𝑉

_𝐸

⁼

₁₇₅⁵

x 100 = 0,0285 x 100 = 2,85%

• 𝐶𝑉

_𝐸

⁼

₆₈²

x 100 = 0,0294 x 100 = 2,94%

Medidas de Dispersão

Logo,

• nesse grupo de indivíduos, os pesos apresentam maior

grau de dispersão que as estaturas.

Medidas de Dispersão

• ^Exercícios

1. Calcule o coeficiente de variação do slide 59

Medidas de Dispersão

• ^Exercícios

2. Calcule o coeficiente de variação da tabela abaixo

Medidas de Dispersão

• ^Exercícios

2. Calcule o coeficiente de variação da tabela abaixo

Conceitos básicos de probabilidade

Utilizamos o conceito intuitivo de probabilidade em diversas situações de

•

nossas vidas, diariamente.

Antes de sair de casa, analisamos, por exemplo, a probabilidade de chover

•

para decidir se levamos ou não o guarda-chuva.

Utilizamos neste exemplo o conceito intuitivo de probabilidade para tomar

•

nossa decisão.

Conceitos básicos de probabilidade

• As probabilidades dizem respeito a situações em que existe aleatoriedade.

• Ou seja, em que o resultado a ser obtido depende de fatores imponderáveis

do acaso.

Conceitos básicos de probabilidade

• Em estatística, quando falamos em um resultado, ele se expressa no valor de uma variável.

• Se o valor depende do acaso, a variável que expressa esse valor é chamada

de variável aleatória.

Conceitos básicos de probabilidade

Podemos chamar de variável aleatória, por exemplo, o resultado de um jogo

•

de par ou ímpar, sendo que a variável "resultado" poderia assumir os valores

"par" ou "ímpar".

Cada resultado de uma variável aleatória terá uma chance, maior ou menor,

•

de ser observado.

Estabelecer a magnitude dessas chances é o que se busca no cálculo de

•

probabilidades.

Conceitos básicos de probabilidade

Para determinar a probabilidade de que ocorra um determinado evento E

•

como resultado de uma variável aleatória, precisamos analisar quantos são os resultados possíveis em geral e quantos são aqueles favoráveis ao evento E.

A probabilidade de o evento E ocorrer, que será denotada por P(E), será a

•

razão entre o número específico de eventos que são favoráveis a E, ao qual

chamaremos n

_E

, pelo número total de eventos possíveis, ao qual

Conceitos básicos de probabilidade

• O conjunto de todos os eventos possíveis também é chamado de "espaço amostral".

•

A fórmula para este cálculo será, então:

𝑃

_𝐸

= 𝑛

_𝐸

𝑛

_𝑡𝑜𝑡

• O valor da probabilidade P será sempre um número entre 0 e 1.

Conceitos básicos de probabilidade

• Vejamos porque:

•

A maior probabilidade possível está relacionada ao maior número possível de eventos favoráveis a E.

•

O número de eventos favoráveis a E será, no máximo, igual ao número total de eventos possíveis.

•

Dessa forma, n_E será igual a n_tot e a divisão de um pelo outro será igual a 1.

Conceitos básicos de probabilidade

• A menor probabilidade possível está relacionada ao menor número possível de eventos favoráveis a E.

• O número de eventos favoráveis a E será, no mínimo, zero, visto que uma contagem de eventos não pode ser negativa.

• Assim sendo, a menor probabilidade possível é zero.

Conceitos básicos de probabilidade

É bastante comum falar de porcentagens utilizando a notação percentual.

•

Por exemplo, uma probabilidade

• 0,6 seria descrita como uma probabilidade

de 60%.

Para chegarmos a este número, simplesmente multiplicamos o valor

•

encontrado no cálculo da probabilidade por 100.

Trata

• -se simplesmente de duas maneiras de escrever o mesmo valor.

Conceitos básicos de probabilidade

• Vejamos então como se calcula a probabilidade de ocorrência de um determinado evento:

• Exemplo:

Numa festa de escola são realizados alguns sorteios de brindes entre os alunos, cujas idades estão apresentadas na tabela ao lado:

Conceitos básicos de probabilidade

• Um aluno será sorteado para ganhar o primeiro brinde.

• Qual é a probabilidade de ser um aluno de 8 anos?

•

^Resolução:

•

N_tot= 85

•

Número de eventos favoráveis: n₈ = 17

•

Teremos, então: 𝑃 8 = ^𝑛8 = ¹⁷ = 0,2 𝑜𝑢 20%

Conceitos básicos de probabilidade

• Exercício:

•

No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de ser sorteada uma face de número par?

a)

^10%

b)

^20%

c)

^40%

d)

^50%

e)

^70%

Conceitos básicos de probabilidade

• Alguns cuidados na interpretação de uma probabilidade.

•

O estudo das probabilidades é uma importante ferramenta matemática para

tomarmos decisões em relação a eventos futuros, tomando por base o conhecimento adquirido em experiências passadas.

•

Existem, entretanto, alguns cuidados que precisam ser tomados na interpretação de resultados de probabilidade para não se chegar a conclusões equivocadas.

Conceitos básicos de probabilidade

• Lembrar que a portabilidade dos resultados para as probabilidades

calculadas a partir de certo conjunto de dados só vale se a situação descrita for similar àquela em questão.

• É comum que se utilizem estudos gerados em um país para analisar a economia de outro, ou produtos com diferentes especificações etc.

• Há vezes em que a utilização é válida, mas em outras não.

• Assim, busque ter um olhar crítico.

Conceitos básicos de probabilidade

• Quando a probabilidade de um evento é zero, isso não quer dizer obrigatoriamente que ele não ocorrerá.

• Quer dizer somente que entre os dados disponíveis não havia nenhum que correspondesse ao evento em questão.

• Temos, como exemplos de casos assim, todos os eventos historicamente novos ou aqueles que são extremamente raros.

• No entanto, tudo aquilo que é impossível terá, necessariamente, probabilidade

Conceitos básicos de probabilidade

• Do mesmo modo que a probabilidade nula (zero) não quer dizer que algo seja totalmente impossível, também a probabilidade de valor 1 (ou 100%) não significa certeza absoluta de que algo acontecerá.

• Entram nessa categoria os eventos cuja não ocorrência é extremamente rara ou são aqueles que acabam não ocorrendo por causa de um evento imponderável e imprevisível.

• Do mesmo modo, algo que seja certeza terá probabilidade igual a um.

Conceitos básicos de probabilidade

• Origem dos dados:

•

Quando estudamos probabilidades, podemos analisar situações em que os valores conhecidos das variáveis são empíricos ou analíticos. Na sequência definiremos cada um deles.

•

Os dados analíticos e os empíricos são tratados de maneira diferente.

•

Vamos verificar essa distinção, mostrando como utilizar os dados de ambos os tipos.

Conceitos básicos de probabilidade

• Dados empíricos:

•

São aqueles cujos valores são observados na prática.

•

Fazem parte dessa classificação todos os dados oriundos de pesquisas de campo, como a idade das pessoas de certo grupo, os valores de preços de mercado etc.

•

Para efeitos didáticos, os dados do tipo empírico utilizados não foram retirados da realidade, mas simulam valores que poderiam ter sido encontrados dessa maneira.

Conceitos básicos de probabilidade

• Dados analíticos:

•

Os dados analíticos têm um caráter diferente, eles não precisam ser medidos

diretamente, visto que a análise das características do sistema estudado já nos dá os valores possíveis da variável aleatória, bem como a proporção em que eles se

encontram.

•

Como exemplo dessa classe de dados temos os jogos de azar, como o jogo de uma moeda, o jogo de dados ou o sorteio de cartas, por exemplo.

Conceitos básicos de probabilidade

• Dados analíticos:

•

Por exemplo, quando jogamos uma moeda, sabemos que haverá somente dois resultados possíveis: face cara ou face coroa.

•

Em princípio, podemos assumir que a moeda é equilibrada e que a ocorrência de uma ou outra face dependerá somente do acaso e com igual proporção.

Conceitos básicos de probabilidade

• Dados analíticos:

•

Assim, a própria análise do lançamento de uma moeda já nos dá a informação necessária para calcularmos as probabilidades de ocorrência de um evento relacionado:

P (cara) = 1/2 = 0,5 = 50%

P (coroa) =1/2 = 0,5 = 50%

Conceitos básicos de probabilidade

• No lançamento simultâneo de 2 moedas, qual é a probabilidade de obtermos 2 caras?

a)

^1/4

b)

^2/4

c)

^3/4

d)

^4/4

e)

⁰