GEO046 Geofísica. Ondas eletromagnéticas. Ondas eletromagnéticas. Equações de Maxwell

June 04 Hédison K. Sato

GEO046

Geofísica

Aula no ₁₀ MÉTODOS ELETROMAGNÉTICOS Equações de Maxwell

Espectro e fontes de energia

Ondas eletromagnéticas

A teoria eletromagnética representa a extensão e o entendimento de que os fenômenos elétricos e magnéticos são interligados.

Além das fontes naturais, o campo EM é gerado, controlado e usado num intervalo largo em freqüência. Da mais alta para a mais baixa, são a radiação gama, raio X, luz ultravioleta, luz visível, infravermelho (calor irradiado), microonda, telefonia celular, comunicação em UHF, televisão/FM (VHF), rádio difusão de longo e curto alcance, VLF (“Very low frequency”).

3

Ondas eletromagnéticas

As ondas EM podem ser irradiadas em

diversas direções que é o caso das TV, lâmpadas, etc. concentradas através de antenas parabólicas

literalmente entubadas como ocorre nas fibras óticas.

Espectro das ondas EM

10-11 ₁₀-9 ₁₀-7 ₁₀-5 ₁₀-3 ₁₀-1 ₁₀1 ₁₀3 ₁₀5 ₁₀7 ₁₀9 Comprimento de onda (cm) 3 ×10 21 _Freqüência (Hz) 3 ×10 17 3 ×10 13 3 ×10 9 3 ×10 5 3 ×10 1 Raio

gama RaioX violetaUltra visívelLuz vermelhoInfra FM OndascurtasOndaslongas TV(2-6) TV(7-13) Celular VLF ELF Microondas ULF 4

Equações de Maxwell

(

)

(

)

(

)

(

)

(

, , ,

)

. , , , , , , , , , , , , , , , t z y x t z y x t z y x t z y x t z y x j d b h e elétrica corrente de densidade vetor o e , por elétrico to deslocamen vetor o magnético fluxo do densidade vetor o por magnético campo o por elétrico campo o

Alguns métodos geofísicos usam ondas EM:

radiométricos (radiação gama), eletromagnéticos

⌧UHF e VHF no método GPR (“ground penetrating radar”).

⌧VLF e ULF nos eletromagnéticos clássicos.

Equações de Maxwell

As evidências experimentais demonstram que

t ∂ ∂ − = × ∇ e b t ∂ ∂b t ∂ ∂ + d j t ∂ ∂ + = × ∇ h j d

Equações de Maxwell

Na forma integral, as equações de Maxwell ficam

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∂ ∂ − = ⋅

_∫

∫

S C d t dl b s e _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ = ⋅

_∫

_∫

∫

S S C d t d dl j s d s h C curva C curva 7

Equações de Maxwell

elétrica. carga de densidade a é onde , e que demonstrar se -pode elétrica, carga de o conservaçã da princípio o usando e anteriores equações Das q q t q 0 = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ ∂ ∂ − = ⋅ ∇ b d j 8

Relações constitutivas

Para meios lineares e isotrópicos, tem-se

(

)

(

)

elétrica. ade condutivid a sendo e elétrica, vidade permissi a sendo , magnética, dade permeabili a é onde σ σ ε ε ε π µ µ µ e j e d h b = × = = × = = − − m F 10 85 , 8 m H 10 4 12 0 7 0

Equações de onda

Tomando as equações de Maxwell

( )

_{( )}

( )

0 = ∂ ∂ × ∇ − × ∇ − × ∇ × ∇ = ∂ ∂ × ∇ + × ∇ × ∇ = = = ∂ ∂ + = × ∇ ∂ ∂ − = × ∇ t t t t e e h h e e j e d h b d j h b e ε σ µ σ ε µ e 0 , e , : vas constituti relações as supondo disso, Além equação. da lados dois aos rotacional o aplicar vamos e

Equações de onda

Invertendo a ordem das diferenciações, e supondo que o meio é homogêneo,

(

)

(

)

. 0 0 . 0 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + × ∇ × ∇ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + × ∇ × ∇ ∂ ∂ + = × ∇ ∂ ∂ − = × ∇ = × ∇ − × ∇ ∂ ∂ − × ∇ × ∇ = × ∇ ∂ ∂ + × ∇ × ∇ t t t t t t t t t b b h d j e d j h b e e e h h e σ ε µ σ ε µ e , e Maxwell de equações as o Relembrand e 11

Equações de onda

Repetindo o uso das relações constitutivas,

( )

( )

( )

0 0 . 0 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + × ∇ × ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + × ∇ × ∇ = ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + × ∇ × ∇ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + × ∇ × ∇ t t t t t t t t t h h h e e e h h h e e e µσ µε µσ µε µ σ µ ε ε σ µ e ção diferencia de ordens e termos os o Rearrumand e 12

Equações de onda

Utilizando a identidade vetorial, válido para coordenadas cartesianas: . 0 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∇ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∇ t t t t h h h e e e µσ µε µσ µε e que escrever se -pode finitas, ades condutivid com homogêneas regiões em anulam se e que fato o e e h a a a ⋅ ∇ ⋅ ∇ ∇ − ⋅ ∇ ∇ = × ∇ × ∇ 2

Equações de onda

Em meios não condutores (no vácuo), as equações reduzem-se a: . 0 0 ₂ 2 2 2 2 2 ₌ ∂ ∂ − ∇ = ∂ ∂ − ∇ t t h h e e µε e µε

que são equações de onda com velocidade de fase

. km/s 299863 m F 10 85 , 8 m H 10 4 1 12 0 7 0 = × = × = = − − ν ε π µ µε Assim, . e vácuo, o mos considerar Se . v

Equações de onda (exemplo)

Vamos tomar o caso 1-D com um componente

. 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t e x ei µε i o. demonstrad fica , se Logo, assim, ; lado, outro Por assim, ; : Vejamos equação? a satisfaz que Será µε 1 ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) , ( 2 2 2 2 2 = − ′′ = ∂ ∂ − ′ − = ∂ ∂ − ′′ = ∂ ∂ − ′ = ∂ ∂ − = v vt x f v t e vt x f v t e vt x f x e vt x f x e vt x f t x e i i i i i 15

Equações de onda

Em meios condutores, naqueles em que

. 0 0 2 2 ₌ ∂ ∂ − ∇ = ∂ ∂ − ∇ << 2 t h h t e e r r r r _{µσ µσ} µσω µεω e difusão de equações às se -reduzem onda de equações as

Na versão 1-D (dependência com z), a solução para o campo elétrico pode ser escrita como

(

) (

)

. cos exp 0 2 = = − − = + ωµσ β α α ω β onde t t z e er r 16

Equações de onda

comoβ é positivo, e-βz_{diminui à medida que z aumenta e}

representa uma atenuação. A atenuação é de 1/e a cada intervalo , 0 0 t i z z i t i z z i e e e h h e e e e er=r+ −α −β ω e r= r+ −α −β ω ). depth" skin (" σ ωµσ δ f 1 503 2 ₌ =

além disso, como

( )

, sen ) cos( ) sen( ) cos( z i z e t i t e−iαz = α − α e iωt = ω + ω

a onda varia senoidalmente com a profundidade z e com o tempo t.

Skin depth

-1 -0,5 0 0,5 1

0 2 profundidade em "skin depth" 4

am pl itude r e la tiv a ωΤ=0 ωΤ=(1/3) π ωΤ=(2/3) π ωΤ=π ωΤ=(4/3) π ωΤ=(5/3) π 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5 1E+6 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 Freqüência (Hz) "s ki n d e pt h" ( m ) 0.001 S/m 0,010 S/m 0,100 S/m 1,000 S/m

Skin depth

Condutividade 19

Espectro EM

EHF (Extremely High Frequency: 30-300 GHz) SHF (Super High Frequency: 3-30 GHz) UHF (Ultra High Frequency: 0.3-3 GHz) VHF (Very High Frequency : 30-300 MHz) HF (High Frequency: 3-30 MHz)

MF (Medium Frequency: 0.3-3 MHz) LF (Low Frequency: 30-300 kHz) VLF (Very Low Frequency: 3-30 kHz) ELF (Extra Low Frequency: 3-3000 Hz) ULF (Ultra Low Frequency: < 3 Hz)

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Espectro útil

A profundidade de exploração depende de alguns fatores e, entre eles, a freqüência é fundamental. Quanto menor a freqüência, maior a penetração da onda EM.

Na geofísica, tem-se aplicado os intervalos:

UHF, VHF

⌧Ground Penetrating Radar

VLF (15-25 KHz na prática), ELF, ULF. ⌧Métodos geofísicos eletromagnéticos clássicos.

Fontes de energia

Naturais:

Para freqüências acima de 1 Hz, predominam as ondas irradiadas a partir dos relâmpagos que ocorrem durante as tempestades (concentradas na região equatorial), que se propagam a grandes distâncias.

Para freqüências abaixo de 1 Hz, predominam as ondas irradiadas a partir do sistema de correntes elétricas que se desenvolvem na magnetosfera terrestre, subordinada à atividade solar.

Artificiais magnéticas

Para baixas freqüências, bobinas para a geração de campos

magnéticos primários, cujas áreas podem variar de alguns cm2_a

milhares de m2_{(retângulo com 100m x 400m), ou mais.}

Fontes de energia

Artificiais elétricas

Para altas freqüências (VHF-UHF), dipolos elétricos de 1m. Para baixas freqüências (VLF)

Antena Jim Creek Estação NLK Próximo a Seattle

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Campos primário e secundário

Conceitos típicos da geofísica.

Campo primário é o campo EM devido à fonte geradora. Na realidade não existem ondas planas mas, na prática, elas são consideradas quando a fonte encontra-se distante.

O campo EM secundário é aquele gerado por um corpo condutor quando este está sob a ação de um campo primário.

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Campos primário e secundário

De certa forma, a luz refletida por um espelho é um campo secundário. fonte campo primário _campo secundário campo primário observador

Campos primário e secundário

A imagem “fantasma” no receptor de TV é uma reflexão indesejada em obstáculos (edifícios)

antena de TV campo primário campo secundário campo primário

Campos primário e secundário

Corpo condutor em um ambiente resistivo

campo secundário vertical eixo de bobina a devido primário, magnético, Campo condutor corpo elétricas correntes superfície superfíc ie 27

Referências:

McNeill, J. D. e Labson, V. F., 1991, Geological mapping using VLF radio fields. In: Nabighian, M. N.,

Electromagnetic methods in applied geophysics, V.2, Theory, p. 521-640.

Telford, W. M., Geldart, L. P., Sheriff, R. E. e Keys, D. A., 1978, Applied geophysics. Cambridge University Press.

Ward, S. H. e Hohmann, G. W., 1987, Electromagnetic theory for geophysical applications. In: Nabighian, M. N., Electromagnetic methods in applied geophysics, V.1, Theory, p. 131-311.