Aula I
Elementos Primitivos e Axiomas de Incidência e Ordem1
Os elementos básicos do estudo da Geometria são as idéias de ponto, reta e plano. Apesar dessas palavras serem conceitos importantes e intuitivos, são difíceis de definir.
O ponto, a reta e o plano não existem no mundo real, são instrumentos que usamos para modelar a natureza. Um grão de areia, uma vareta ou um tampo de mesa nos dão a idéia de ponto, reta e plano, mas nunca vimos um grão de areia que não tenha volume (mesmo pequeno), uma vareta que não tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou um tampo de mesa que se prolongue em todas as direções...
Podemos, porém, imaginar esses elementos e estudar suas propriedades. Indo mais além, podemos imaginar partes desses elementos (semi-retas, segmentos, semiplanos, etc.), composições dessas partes (ângulos, triângulos, circunferências, etc.) e estudar suas propriedades.
Em nosso estudo da Geometria, não definiremos ponto, reta e plano: esses serão
elementos primitivos. Usaremos letras maiúsculas (A, B, C, etc.) para designar pontos,
letras minúsculas (a, b, c, etc.) para designar retas, e letras do alfabeto grego (α, β, γ, etc.) para designar planos.
Veja na figura abaixo como serão representados no papel os elementos primitivos ponto, reta e plano.
Nesta aula, veremos alguns axiomas, começando pelos Axiomas de Incidência: • Existem infinitos pontos no plano.
• Por dois pontos distintos passa uma única reta.
• Dada uma reta, existem infinitos pontos pertencentes a ela, e infinitos pontos fora dela.
Para indicar que um ponto está em uma reta, plano, etc., usaremos o símbolo ∈ (pertence). Assim a expressão A ∈ r significa que o ponto A pertence à reta r, ou está na reta r. Nesse caso, diz-se também que r passa pelo ponto A. A reta que passa pelos pontos A e B será denotada por
Para indicar que uma reta está contida em um plano, usaremos o símbolo ⊂. Assim a expressão r ⊂ α significa que a reta r está contida no plano α.
O segundo axioma acima diz que, dados dois pontos distintos A e B, sempre existe uma (única) reta que passa pelos dois. Se forem dados três pontos, ao invés de dois, pode ser que não exista uma reta que passe pelos três, como é o caso dos pontos A, B e C na representação abaixo que, neste caso, são chamados de pontos não colineares.
• A • B • c
Dadas duas retas no plano, há três possibilidades: elas se intersectam em um único ponto (retas concorrentes), elas não se intersectam (retas paralelas) ou elas têm todos os pontos em comum (retas coincidentes). Faça a representação dos três casos você mesmo!
Defnição 1: Se um determinado conjunto de pontos está contido em uma mesma
reta, dizemos que esses pontos são colineares.
Esses fatos são bastante intuitivos e fazem parte do que chamamos axiomas de
ordem:
• Dados três pontos colineares distintos dois a dois, um deles, e apenas um, está entre os outros dois.
• Dados dois pontos distintos A e B, existe sempre um ponto C que está entre A e B, e um ponto D tal que A está entre D e B.
Enfatizamos que a noção de ordem é para pontos que estão sobre uma mesma reta. Assim, quando dizemos que B está entre A e C, em particular, estamos afirmando que A, B e C são colineares e diferentes. Além disso, dizer que B está entre A e C é o mesmo que dizer que B está entre C e A.
Com a noção de ordem que acabamos de introduzir, podemos definir alguns subconjuntos ou partes de uma reta que são muito importantes.
Defnição 2: Chamamos segmento de reta AB ao conjunto formado por A, B e
todos os pontos que estão entre A e B, ou seja, o “pedaço” da reta que começa em A e termina em B (ou que começaa em B e termina em A).
Com o intuito de definir outros elementos importantes para nosso estudo (semiplano e semi-reta), introduzimos mais um axioma:
• Uma reta r do plano α separa o conjunto dos pontos desse plano que não pertencem a r em dois conjuntos, α′ e α′′ , tais que:
− α′ e α′′ são disjuntos (não têm elementos em comum).
− Se A ∈ α′ e B ∈ α′′, então AB intersecta r (o segmento AB e a reta r têm um elemento em comum).
− Se A e B estão ambos em α′ (ou em α′′ ), então o segmento AB não intersecta a reta r.
Da mesma forma, um ponto pertencente a uma reta separa essa reta em dois conjuntos. Mais precisamente, se A está entre B e C e r é a reta que contém esses três pontos, o ponto A separa a reta r em duas partes, uma contendo o ponto B e outra contendo o ponto C.
Defnição 4: As partes da reta, referidas acima, são chamadas semirretas
determinadas pelo ponto A.
A semirreta que contém o ponto B é denotada por ⃗AB e a que contém o ponto C
́é denotada por ⃗AC . Dizemos que a semirreta ⃗AC e oposta à semirreta ⃗AB (e
vice-versa). Veja a figura:
Defnição 5: Ângulo é uma figura formada por duas semirretas distintas e não
opostas com a mesma origem.
Se ⃗AB e ⃗AC são semirretas definindo um ângulo, diz-se que A é o vértice do ângulo. Para designar um ângulo usa-se a notação B ̂AC , ou apenas ̂A se não
houver mais de um ângulo sendo considerado com o vértice A. As semirretas ⃗AB e
⃗
AC são os lados do ângulo.
Defnição 6: Dado um ângulo B ̂AC , define-se o interior de B ̂AC como o
