Lista1deCálculoI Arquivos de Matemática Professor.Rodrigo.Neves Lista1deCálculoI

FIC/ Cu rs o d e Ma te m á tica 2 0 0 9 – 2 º

P ro fe s s o r: Ro d rigo N e ve s Figu e ire d o d o s S a n to s

Lis ta 1 d e Exe rcício s d e Cá lcu lo I

Resumão do Conteúdo:

Números Reais e Reta Real

O sistema numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados números reais e de duas operações denominadas adição e multiplicação. Se a e b forem elementos do conjunto , a + b (soma) e a·b (produto) pertencem a . Neste caso, a subtração é um caso particular da adição:

) b ( a b

a− = + − ,

onde –b é o negativo de b, tal que b+(−b)=0, e a divisão um caso particular da multiplicação:

a b a · , com b ≠ 0,

onde é o inverso de b tal que b · .

Para representar graficamente o conjunto dos números reais, usamos um sistema de coordenadas chamado de reta real, abscissa ou eixo dos x. O número real que corresponde a um determinado ponto na reta real é chamado de coordenada do ponto e o número zero corresponde à origem da reta.

Um número real é positivo, negativo ou zero (que não possui sinal) e qualquer número real pode ser classificado como racional ou irracional.

Definição:

Sejam a e b dois números reais, então dizemos que a é menor do que b, denotando simbolicamente por a < b, se b – a for positivo. Por outro lado, dizemos que a é maior do que b, denotando simbolicamente por a > b, se b – a for negativo.

Logicamente, se a < b então b > a.

Definição:

Sejam a e b dois números reais quaisquer. Então definimos a relação de menor ou igual e maior ou igual da seguinte maneira:

i) a≤b⇔a<boua=b,

ii)a≥b⇔a>boua=b.

As relaçõesa>b, a<b, a≥b e a≤bsão denominadas de desigualdades e formam uma relação de or-dem entre os reais. Com base nestas desigualdades temos noção de positivo, negativo, positivo e não-negativo, cujos conjuntos estão representados, logo abaixo:

Reais Positivos = = {x / x > 0} Reais Negativos = = {x / x < 0} Reais Não-Positivos = = {x / x ≤ 0}

Reais Não-Negativos = = {x / x ≥ 0}

Propriedades das Desigualdades:

Sejam a e b dois números reais quaisquer, vale que

1) Se a>0eb>0entãoa+b>0; (Soma de dois números positivos é positiva)

2) Se a>0eb>0 ,entãoa⋅b>0; (Produto de dois números positivos é positivo)

3) Se a<beb<c,entãoa<c;

4) Se a<b, entãoa+c<b+c; (Independe se c > 0 ou c < 0)

5) Se a<bec>0,entãoa⋅c<b⋅c;

6) Se a<bec<0,entãoa⋅c>b⋅c;

7) Se a<bec<d,entãoa+c<b+d;

Observação: Quando três números reais ordenados de modo que a < b e b < c, dizemos que b está entre

a e c e escrevemos que a < b < c.

Subconjuntos Reais

Os subconjuntos mais comuns da reta real são os intervalos. Por exemplo, o intervalo aberto (a, b) ou ]a, b[ = {x / a < x < b}. Neste caso, os extremos a e b do intervalo não estão contidos no mesmo. Logo ele é considerado um intervalo aberto. Intervalos que incluem seus dois extremos são denominados de intervalos fechados.

Tipo de Intervalos Notação de Intervalo Notação de Conjuntos Notação Gráfica

Aberto (a, b) ou ]a, b[ {x / a < x < b}

Fechado [a, b] {x / a ≤ x ≤ b}

Semi-Aberto ou Semi-Fechados

[a, b) {x / a ≤ x < b}

(a, b] {x / a < x ≤ b}

Infinitos Fechados

( ∞, b] {x / x ≤ b}

[a, ∞) {x / x ≥ a}

Infinitos Abertos

( ∞, b) {x / x < b}

(a, ∞) {x / x > a}

Abertos e Fechados = ( ∞,∞) {x }

Potenciação:

Definição:

Potenciação significa multiplicar um número real a, chamado de base, por ele mesmo n vezes, onde n é denotado expoente da potência.

Simbolicamente,

a a a a a

Propriedades de Potenciação:

Sejam a e b bases reais, e n e m expoentes reais. Então as seguintes propriedades sobre potenciação são válidas:

1) a a;

2) a , desde que a ≠ 0;

3) a · a a (Produto de potências de mesma base: repete a base e soma os expoentes);

4) a (Divisão de potências de mesma base: repete a base e subtrai os expoentes);

5) a a · (Potência de potência: repete a base e multiplica os expoentes);

6) a ;

7) a · b a · b (Produto de potências de expoente: multiplica as bases e repete o expoente);

8) (Divisão de potências de mesmo expoente: divide as bases e repete o expoente);

Radiciação: Definição:

A radiciação é a operação inversa da potenciação e, por isso, ela pode ser definida através da se-guinte relação:

√a b se, e somente se, b a

onde √ é o símbolo que indica a operação radiciação, denotado radical; a é um número real chamado ra-dicando; n é um número natural diferente de zero, chamado índice da raiz. O resultado da operação é um número real b, chamado raiz n-ésima. Não existe raiz de radicando negativo se o índice for par.

Para facilitar as a manipulação das raízes, existe um meio de transformar uma raiz em uma potência. Desta forma fica muito mais fácil entender e aplicar as propriedades de radiciação, pois podemos utilizar as mesmas propriedades de potenciação.

Simbolicamente,

√a a

Propriedades de Radiciação:

Sejam a e b radicandos reais, e n, m, x e y números reais. Então as seguintes propriedades sobre a radiciação são válidas:

1) √ ;

2) √ ;

3) √a a;

a a

·

Fique Alerta !

Por exemplo:

a b a b

Fique Alerta !

4) √a a, isto porque √a a a · a a a ;

5) √a a ;

6) √a · √a a , (isto porque √a · √a a · a a );

7) √a · √b ab , (isto porque √a · √b a · b a · b √ab );

8) _{√a √a}, (isto porque _√a a a a · a _√a);

Números Racionais e Frações Definição:

Pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como , designa o número “a” dividido em “b” partes iguais. Neste caso, “a” corresponde ao numerador, enquanto “b” cor-responde ao denominador, que não pode ser igual a zero.

a

b DenominadorNumerador

Logo, a fração designa o quociente de “a” por “b”. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação. Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por .

Tipos de Frações:

1º) Própria: o numerador é menor que o denominador. Dentre os números reais, se encontram

den-tro do intervalo (-1, 1). Exemplo: ;

2º Imprópria: o numerador é maior que o denominador. Em sua distribuição no conjunto dos

núme-ros reais se encontram foram do intervalo [-1, 1]. Exemplo: ;

3º Mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Pode ser transformada facilmente em

uma fração imprópria. Exemplo: ;

4º Aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Podem ser interpretadas como

nu-meros inteiros “disfarçados” de frações. Exemplo: ;

5º Equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Nota: Não existe “uma”

fração equivalente, mas sim um par de frações equivalentes. Exemplo: ;

6º Irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si não possuindo fatores primos

co-muns em suas respectivas fatorações, não permitindo simplificação. Exemplo: ;

7º Unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Exemplo: ;

8º Decimal: o denominador é uma potência de 10. Podem ser reescrita na forma decimal apenas com

deslocamentos de vírgula. Exemplo: ;

9º Composta: fração cujo numerador e denominador são frações. Exemplo: ;

√a b √a √b

√ √

√ √

Fique Alerta !

Operações com Frações:

Sejam e duas frações arbitrárias. São válidas as seguintes operações:

1) Soma: + = ;

2) Subtração: = ;

3) Produto: · = ·

· ;

4) Divisão: ou · = ·_· (Repete a primeira e multiplica pela inversa de segunda).

Observação: Caso as frações operadas possuam o mesmo denominador, na soma e na subtração, basta

repetir o denominador e operar os numeradores, somando ou subtraindo. Sendo os denominadores das duas frações diferentes, é possível utilizar frações equivalentes à ambas para operar. Neste caso, deve-se trabalhar com o mmc dos denominadores para encontrar as equivalentes às originais de mesmo denominador.

Racionalização de Frações:

Existe uma propriedade matemática para representações de números, que impede a presença de raízes inexatas no denominador de uma fração.

Para mudarmos isso utilizamos uma técnica chamada de racionalização de frações. Considere a fração:

a √b

onde seu denominador √b é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por √b, obtendo uma fração equivalente:

a √b·

√b √b

a√b √b

a√b b

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional. A essa transformação, também damos o nome de racionalização de denominadores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denomina-dor racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador. Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante.

Principais Casos de Racionalização:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2 (raiz quadrada), como por exemplo,

√ :

√bé o fator racionalizante de√b, pois √b · √b b.

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2, como por exemplo,

√ :

√b é o fator racionalizante de √b, pois √b · √b √b · b √b b.

3º Caso: Soma ou subtração de irracionais com irracionais ou racionais:

√a √b é o fator racionalizante de √a √b;

√a √b é o fator racionalizante de _√a b; √a b é o fator racionalizante de √a b;

√a b é o fator racionalizante de √a b.

1. Calcule as seguintes potências:

a) 34 ₌

b) 25 ₌

c) 14 ₌

d) 06 ₌

e) (-2)4 ₌

f) ⎟ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ 3

4 3

g) ⎟ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ − 3

3 2

h) 50 ₌

i) (2,43) 0 ₌

j) (-0,5) 0 ₌

k) 17¹ =

l) (-5)¹ =

m) 3 -1 ₌

n) (-3) -2 ₌

o) 2 – 4 ₌

p)

2

3

2 −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

=

q)

1

3

2 −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛− =

r)

3

4

3 −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

=

s) (-2) 6 ₌

t) (-3) ² =

u) (-4) -1 ₌

v)

1

4

1 −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛− =

w)

3

3

2 −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛− =

x) – (-3)² =

y) – (-5)² =

z)

_{( )}

2 1

−

2. Simplifique as expressões abaixo usando as regras de potência:

a) (2xy²)³ =

b) (3xy²) . (2x²y³) =

c) (5ab²)² . (a²b)³ =

d)

xy 3

y x

9 2 3

− = e) 3 7 2 4 b a 8 ab 16 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

f)

( ) ( )

( )

− − − 2 4 2 5 3 4 3 5 10 10 : 10 10 . 10

g)

( )

− 3 14 5 3 a : a a

h) (a3_b2_c-4₎-3 ₌

i) ⋅ ⋅ ⋅ − =

− 1 8 5 11 23 23 23 23 23 j) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 7 4 8 2 7 3 7 3 ) 7 3 ( k) = ⋅ 2 1 2 6 5 3 5 . 3 . 5

l) ₋ =

− − 1 n n 3 3 n 7 3 . 21

m) −₊ =

+ + 2 n 1 n 2 n 3 3 3

3. Transforme em radical:

a) 2 3

9 =

b) 4

3

16 =

c) 1024 0,4 ₌

d) 625 -0,25 ₌

e) 2 1

4

−

=

f) 3

2

64

−

=

g) 23-0,673 ₌

4. Simplifique as expressões abaixo usando as regras de radiciação e potência:

b) =

3 4 4

x 5

x 45

c) 3 =

6 x

27

d) =

35 10

5 5

e)

( )

10

xy

5. Para efetuar a adição algébrica com radicais, simplificamos os radicais e reduzimos os termos que têm radicais iguais (radicais de mesmo índice e mesmo radicando), somando algebricamente os fatores externos.

a) 49+ 16 =

b) 3₈−4₁₆ =

c) −5 9+2 169=

d) ₁₀3 ₂+₄3 ₂−3 ₂ =

e) 18+2 50 =

6. Efetue:

a) 3 5+ 5−6 5=

b) ₅5 ₃+₂5 ₃−₂5 ₃+5 ₃=

c) −4+3 5+235−4=

d) ₂5 ₃−_{2 3}+_{3 3}+₃5 ₃=

e) 50 + 18− 8=

f) 2 27−5 12 =

7. Encontre o perímetro das figuras, cujas medidas de seus lados são dadas numa mesma unidade de

medida de comprimento.

a) b)

2

3

8

32

8. Reduza a um único radical.

a) 10 =

b) 2 =

c) 3 ₃ =

d) 3 3 3 =

e) 6 53 =

f) 154 =

9. Para elevar um radical a uma potência, conservamos o índice do radical e elevamos o radicando à

potência indicada.

a)

( )

b)

( )

c)

( )

d)

(

)

e)

( )

f)

( )

g)

(

)

h)

(

)

10. Efetue as seguintes operações com frações:

a)

b)

c)

d)

e)

·

f)

g)

·

h)

·

i)

=

11. Opere as frações e simplifique, se possível: a) 4 3 3 2₊ = b) 4 3 3 2₋ = c) 4 1 2 3_⋅ = d) 5 12 3 = e) 5 1 3 2₊ − = f) 2 3 4 5_⋅ = g) 4 5 3 4 − =

h) 2

5 3₋ = i) 2 2 3 4 2 3 2 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = j) 3 1 7 3 4

5_{⋅ +}

− =

k) 2

4 5 5 3 3 2 − + = l) 4 5 5 7 3 7 4 7 2 3

2 2 ₊

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

12. Racionalize as seguintes frações abaixo:

e) − =

10 10 90 f) = 7 49 g) = 3 7

13. Simplifique as expressões:

a) ₁₄ 4

9 7 12 : 12 12 . 12

R: 12-2

b)

( )

3 2 2 3 2 : 4 1 2 1 . 5 , 0 . 2

1 − ₊ −

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ R: 32 33 c) 4 3 2 4 2 3 : 3 1 3 2 . 3

2 − −

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ R: 9 5

d)

[

(

)

]

e) 9 16 256 R: 12

f)33 −27 + 6 1 - 2 9 R: -14

g) 5 243 - 4 81 + 3 −8 R: -2

h) 10 4 1 250 4 1 90 2

3 _{− −}

R: 3 10

i) 729 R: 4 27

j) 3 5 5 5 2 5 6

5 _{+ − −}

R:

15 5 2

k) 23 2 - 83 3 – 43 2 + 83 3 R: 3 2

l)- 5 8 + 13 18- 15 50- 9 72 R: -100 2

m) 125 24 10 729 375 81 64 81 4 3 3 3 −

+ R: 443 3

a)

5 6

3 6

12 5

12 144

R: 5

18 243

b)

2 5

3 5

63

R: 5

27 215

c)

2 4

8 6

3 −

R: 2 4

3

3 ₋

d)

1 3 2

121

− R: 22 3+11

e)

10 3 5 5

10 3 5 5

+ −

R: 7

2 30 43−

f)

6 3

3 6 2

− −

R: 3 + 2

g)

1 2

2 2

− −

R: 2

h)

3 3

7 21

3 +