MAT 0143 : C´alculo para Ciˆencias Biol´ogicas Aula 4/ Quarta 12/03/2014

MAT 0143 : C´ alculo para Ciˆ encias Biol´ ogicas

Aula 4/ Quarta 12/03/2014

Sylvain Bonnot (IME-USP)

2014

Resumo Aula 3

1 Informac¸ ˜oes gerais:

Email:sylvain@ime.usp.br

Site:o link do MAT 0143 na pagina seguinte http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html

2 Transforma¸c ˜oes de gr´aficos: transla¸c ˜oes, esticamentos

3 Exemplo:como estudary=4x²+3x+13 em relac¸˜ao ao gr´afico dey=x²

4 Composi¸c˜aog◦f(x) =g(f(x))

5 Dominio de uma fun¸c˜ao composta

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Fun¸c˜ ao composta

Dominio deg◦f : Teorema

Dom(g◦f) ={x|x∈ Dom(f)e tamb´em f(x)∈Dom(g)}

Exerc´ıcio

Determine g◦f para g(x) = _x+¹₂ e f(x) = _x−^x₃. Determine o dominio de g◦f .

Fun¸c˜ oes Exponenciais: introdu¸c˜ ao e algumas propriedades

Caso mais simples:paranum inteiro≥, eaum n ´umero real:

aⁿ=a.a. . . .a(n vezes) Caso 2:sejan>0 inteiro,a∈ _R: vamos definir:

a⁻ⁿ= ¹ aⁿ.

Casoa^xondex= ^p_q ´e racional: vamos simplesmente definir:

a

p q =√^q

a^p= (√^q a)^p Pergunta

Como definir a^xquando x ´e um n ´umero real?

Id´eia: sejax=x₀,x₁x₂x₃x₄. . . (exemplo,x= π=3, 1415 . . .). Os n ´umeros 3, depois 3, 1, depois 3, 14, etc s˜ao racionais, ent˜ao podemos considerara^x₀, e depoisa^x0,x1, e depoisa^x0,x1x2. Essa sequˆencia vai ter um limite, que a gente vai denotar pora^x.

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Primeiras propriedades das fun¸c˜ oes exponenciais

Conclus˜ao: para cadaa>0, existe uma func¸˜aox7→a^x.

Primeiro encontro com o limite

Constru¸c˜ao de√

2: como o limite de 1, depois 1, 4, depois 1, 41 ; 1, 414 . . .

Teorema

Seja uma seq ¨uˆencia(x_n)de numeros reais que ´e crescente (isto ´e x_n ≤x_n+1) e limitada (isto ´e: existe um numero real M tal que todos os x_ns˜ao≤M).

Ent˜ao(xn)tem um limite.

Proof.

As partes inteiras dosxns˜ao limitadas, ent˜ao eu posso pegar a maior (sejaE∈ Z. Tem um numero na seq ¨uˆencia cuja parte inteira ´eE (vamos denotar elex_N0). Todos osx_ncomn≥N₀v˜ao ter a mesma parte inteira (porque?).

Agora: para todos os numeros depois dex_N0, eu posso olhar a primeira decimal e pegar a maior (vamos denotar ela deE₁): ent˜ao existe umx_N1 cuja expans˜ao comec¸a comE₀,E₁. Todos osx_ncom n≥N₁v˜ao comec¸ar comE₀,E₁.

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Primeiro encontro com o limite II

Proof.

Agora: para todos os numeros depois dex_N1, eu posso olhar a segunda decimal e pegar a maior (vamos denotar ela deE₂): ent˜ao existe um x_N2 cuja expans˜ao comec¸a comE0,E₁E2. Todos osxncomn≥N2v˜ao tamb´em comec¸ar comE₀,E₁E₂(porque).

Continuar assim, sem parar: a gente vai construir um n ´umero real L=E0,E₁E2E3. . ., chamada olimiteda seq ¨uˆencia(xn), e denotado por L=lim_n∈_Nx_n.

Observa¸c˜ao Para cadae_k = ¹

10^k =10^−k, existe N_k ∈_Ntal que todos os xncom n≥N_k v˜ao satisfazer|x_n−L| ≤e_k =10^−k

Exponencial II: propriedades

Teorema (Lei dos expoentes)

Se a e b forem n ´umeros positivos e x e y, n ´umeros reais quaisquer, ent˜ao:

a^x+y =a^xa^y (a^x)^y=a^xy a^x−y= ^a

x

a^y (ab)^x=a^xb^x

Defini¸c˜ao dee^x: o n ´umeroe=2, 718 . . . ´e o unico tal que a func¸˜aoe^x tem uma reta tangente de inclinac¸˜aom=1 no ponto(0, 1).

Historia:primeira definic¸˜ao dee: como limite de 1+ ¹_nⁿ (Bernoulli 1680).

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Exponencial III: propriedades

Teorema

1 Se a=1ent˜ao a^x=1^x =1para cada x∈_R,

2 Se a>1ent˜ao x7→ a^x´e estritamente crescente (isto ´e:

x<y⇒a^x< a^y), elim_x→+_∞a^x= +_{∞, e}lim_x→−_∞a^x=0.

3 Se a<1ent˜ao x7→ a^x´e estritamente decrescente (isto ´e:

x<y⇒a^x> a^y), elim_x→+_∞a^x=0, elim_x→−_∞a^x= +_∞

4 Para todos a>0, x7→a^x ´e uma fun¸c˜ao continua.

Defini¸c˜ao A nota¸c˜ao

xlim→_∞f(x) =_∞

(lida como ”o limite de f(x)quando x tende a infinito ´e o infinito”) significa:

para qualquer numero M, existe um numero N tal que f(x)>M sempre que x>N.

Praticar com lim

f ( x ) = _∞

Exerc´ıcio

Mostrar quelimx→_∞3x=_∞. Exerc´ıcio

Mostrar quelim_x→_∞x²= _∞.

Exerc´ıcio

Mostrar quelimx→_∞x−cos(2x) =_∞.

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Exponencial IV

Na verdade ja podemos demostrar tudo! Por exemplo:

Proof.

(2) Para inteirosN₁ <N2, temos quea^N1 <a^N2, e tamb´em

a^1/N1 <a^1/N2. Ent˜ao sex<y(ex,ys˜ao racionais) temos quea^x<a^y. Depois no caso geral, quandox,ys˜ao reais, ´e suficiente encontrar numeros racionaisu<vtais quex<u<v<ye mostrar

a^x<a^u<a^v <a^y.

Fun¸c˜ oes potˆ encia x 7→ _x

Gr´afico:

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Exemplos: Frequencia cardiaca e Taxa metab´ olica basal

Exemplo de fun¸c˜ao potˆencia:

Freq.Card.=K.(Peso)^−1/4

(passarinho: 800 , rato: 250-450 pulsac¸ ˜oes, humano : 60-100 (mas ciclista M. Indurain tem 28 ...), cavalo:30 )

Defini¸c˜ao

A TMB (” Taxa metab´olica basal”) ´e a quantidade de energia produzida cada dia por um animal .

Defini¸c˜ao (Lei de Kleiber)

TMB =M^3/4, onde M ´e a massa do animal.

Limites: que significa lim

f ( x ) = L ?

Como ler:”o limite def(x), quandoxtende aa, ´e igual aL. Ou, tamb´emf(x)tende aLquandoxtende aa.

Outra nota¸c˜ao: f(x)→Lquandox→a.

Def. intuitiva 1: ”eu posso fazerf(x)arbitrariamente pr ´oximo deL, tomandoxsuficientemente pr ´oximo dea.

Def. intuitiva 2: ”a distˆancia entref(x)_eLpode ser arbitrariamente pequena, tomando-se a distˆancia dexaasuficientemente pequena (mas n˜ao igual a 0)”.

Defini¸c˜ao

Seja f ua fun¸c˜ao definida sobre um intervalo aberto que cont´em a, exceto possivelmente no ponto a. A fraselimx→af(x) =L significa:

para todo n ´umeroe>0h´a um n ´umero correspondenteδ >0tal que

|f(x)−L|< esempre que0<|x−a|<δ

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Limites:Exemplos

Exerc´ıcio

Mostrar quelimx→0x²+1=1. Mostrar quelimx→24x+2=6.

Exemplos

Exerc´ıcio

Escrever umδtal que|x−4|<δ⇒ |√

x−2|<0, 4

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Exerc´ıcios

Exerc´ıcio

Prove cada proposi¸c˜ao usando a defini¸c˜ao de limite (isto ´e ose,δ).

Leis do limite

Teorema

Seja c uma constante e suponha que existam os limiteslim_x→af(x)e limx→ag(x), ent˜ao:

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Exemplos

Exerc´ıcio

Calcule o limite se existir:

Exemplos

Exerc´ıcio

Calcule o limite se existir:

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Exemplos 2

Exerc´ıcio

Calcule o limite se existir:

Limites laterais: lim

f ( x ) = L

Lido como:”o limite esquerdo def(x)quandoxtende aa. Tamb´em: o limite def(x)quandoxtende aapela esquerda.

Exerc´ıcio

Escrever a defini¸c˜ao rigorosa do limite esquerdo e direito.

Observa¸c˜ao

limx→af(x) =L se e somente selim_x→a⁻f(x) =L elim_x→a⁺f(x) =L

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Lista 1, no site

1 Prove:que a soma de um racional com um iracional ´e um iracional.

2 Resolver

|x−2|+|2x−1|<1

3 Resolver as inequa¸c ˜oes:

1 (x−3(x+7)<0

2 2x−1

x−5 >4

3 (2x+3)(x²−4)>0

4 x²−5x+6>0

5 x³−1>0

6 |x+1|<|2x−1|

7 |x−2|+|x−1|>1

4 Estude o sinal da express˜ao:

1 (2x−1)(x²+1)

2 (x−2)(x+3)(x²−1)

3 (x−5)(x⁴+2)

Lista 1

1 Fatore o polin ˆomio:

P(x) =x³+2x²−x−2

2 Elimine o m ´odulo em: |x−1|+|x+5|

3 Expresse o conjunto com a nota¸c˜ao de intervalos:

{x|3x+₁< ^x 3}

4 Esboce os gr´aficos das fun¸c ˜oes:

f(x) =|2x−1|,f(x) =x²−3x+4,f(x) =|x−2|+5

5 Determine a equa¸c˜aoda reta que passa pelo ponto(1, 3)e paralela ay=2x+3

6 Determine o dom´ınio das fun¸c ˜oes:

√x+2,

r2x−1 1−3x, x

x+2,p x²−1

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