Lista de exercícios 2
MAT 0330 - Teoria dos conjuntos 22 de março de 2010
Sugestão geral: Tente fazer os exercícios na ordem em que aparecem; o resultado de um exercício pode ajudar na resolução de outro exercício que se encontra mais adiante.
Exercício 1. Mostre que, para quaisquerm, n∈N, tem-se que m < n+ 1 se, e somente se, m≤n.
Exercício 2. Mostre que, se m e n são números naturais tais que S(m) = S(n), então m =n.
Exercício 3. Prove que todo elemento de um número natural é também um número natural. [Sugestão: Prove, por indução em n, que a afirmação
“∀m (m∈n⇒m ∈N)” é válida para todo n∈N.]
Exercício 4. Prove que todo número natural é o conjunto dos números naturais que são menores que ele — i.e., prove que n = {m ∈ N : m < n}
para todo n∈N.
Exercício 5. Prove que, para quaisquer números naturais m e n, tem-se que m < n se, e somente se, m$n.
Exercício 6. Seja n ∈ N. Mostre que não existe k ∈ N tal que n < k <
n+ 1.
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Exercício 7. Prove que, para quaisquer m, n∈ N tais que m < n, tem-se que m+ 1 ≤n.
Exercício 8. Prove que, para quaisquer m, n∈N, tem-se que m < n se, e somente se, m+ 1< n+ 1.
Exercício 9. SejaP(x) uma propriedade. Suponha quem ∈Né tal que:
· P(m) é válida;
· para todo número natural k ≥ m, se P(k) é válida então P(k+ 1) é válida.
Prove que P(n) é válida para todo n∈N tal que n ≥m.
Exercício 10. Seja≺ uma relação de ordem sobre um conjunto não-vazio X. Seja f : N →X uma função tal que f(n) ≺f(n+ 1) para todo n ∈ N. Prove que, se m, n ∈N são tais que m < n, então f(m) ≺f(n). [Sugestão:
Use o exercício anterior.]
Exercício 11. Seja ≺ uma ordem linear sobre um conjunto não-vazio X. Dados a, b∈ X, dizemos que b é sucessor dea se, e somente se,a ≺b e não existe x∈X tal que a ≺x≺b.
(a) Prove que, se b∈X e b′ ∈X são sucessores de a∈X, então b =b′. (b) Suponha que (X,≺) satisfaz as seguintes condições:
(i) Todo a∈X admite sucessor.
(ii) Todo subconjunto não-vazio de X possui um elemento mínimo com respeito à ordem ≺.
(iii) Seb∈X não é o elemento mínimo deX com respeito à ordem≺, então existea ∈X tal que b é sucessor dea.
Prove que as ordens (X,≺) e (N, <) são isomorfas.
(c) Mostre, através de contraexemplos, que o resultado do item (b) seria falso se qualquer um dos itens (i),(ii) e (iii) fosse omitido.
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Exercício 12. Mostre que, sem en são números naturais tais que m < n, então m+k < n+k para todok ∈N.
Exercício 13. Prove que, para todo n ∈ N\ {0}, existe um único m ∈ N tal que n =m+ 1.
Exercício 14. Prove que, se m, n∈Nsão tais que m≤n, então existe um único k ∈N tal que n=m+k.
Exercício 15. Mostre que (m + n) + p = m + (n +p) para quaisquer m, n, p ∈N.
Exercício 16. Definimos a multiplicação em N como sendo a (única, pelo teorema da recursão) operação binária · sobre N tal que
(i) m·0 = 0 para todom∈N e
(ii) m·(n+ 1) = (m·n) +m para quaisquer m, n∈N. Mostre que:
(a) m·n =n·m para quaisquer m, n∈N;
(b) (m·n)·p=m·(n·p) para quaisquer m, n, p ∈N;
(c) m·(n+p) = (m·n) + (m·p)para quaisquer m, n, p ∈N.
Exercício 17. No exercício anterior, definimos, por recursão, a multiplica- ção em N usando a soma emN.
(a) De maneira análoga, defina a exponenciação em N usando a multipli- cação em N.
(b) Mostre que mn+p = (mn)·(mp) para quaisquer m, n, p ∈N. (c) Mostre que (mn)p =m(n·p) para quaisquer m, n, p∈N.
(d) Mostre que (mp)·(np) = (m·n)p para quaisquer m, n, p ∈N.
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