PROGRAMAC¸ ˜AO SEMIDEFINIDA E APLICAC¸ ˜OES LISTA DE EXERC´ICIOS 3
09.04.2014
IMPORTANTE: Os exerc´ıcios marcados devem ser entregues at´e a aula de 24.04. Os exec´ıcios devem ser feitos em duplas.
[75] EXERC´ICIO 1. SejaG= (V, E) um grafo ew:E→R+ uma fun¸c˜ao de pesos. Amatriz laplaciana deGew´e a matrizA:V ×V →Rtal que
A(u, v) =
w(δ(u)) ifu=v,
−wuv caso contr´ario.
Lembre-se de que o peso de um corte m´aximo emG´e igual a 1
4SDP1(A)≤1
4SDP∞(A).
(a) Prove que a matriz laplaciana ´e positiva semidefinida.
(b) Sejaλo m´aximo autovalor deA. Mostre que
SDP∞(A)≤λ|V|. (∗)
(c) UmautomorfismodeG´e uma permuta¸c˜aoπ:V →V tal queπ(u)π(v)∈Ese e somente seuv∈E. Um grafo ´ev´ertice transitivo se para todou,v∈V h´a um automorfismoπdeG tal queπ(u) =v. Mostre que, se G´e v´ertice transitivo e w(π(u)π(v)) =w(uv) para toda arestauv∈Ee todo automorfismoπdeG, ent˜ao (∗) vale com igualdade.
(d) Calcule SDP∞(A) quandoG´e um circuito de tamanhone todos os pesos s˜ao unit´arios.
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