ordem cont´ınuas numa vizinhan¸ca de (a, b), tem-se

EXTREMOS LOCAIS (ou “RELATIVOS”)

Se ∇f (a, b) = ~ 0 e f tiver derivadas parciais de 2

ordem cont´ınuas numa vizinhan¸ca de (a, b), tem-se

I

se

f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b)

< 0 ent˜ ao (a, b) ´ e ponto de sela

I

se

f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b)

= 0 nada se pode concluir a partir das derivadas de segunda ordem;

I

se

f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b)

> 0 ent˜ ao h´ a um extremo local em (a, b)

(m´ aximo se f

(a, b) < 0 e m´ınimo se f

(a, b) > 0).

Exerc´ıcio: Determinar os extremos locais de f (x, y) = x

+ 2y

− x

y

EXTREMOS GLOBAIS (ou “ABSOLUTOS”)

I

Se o problema a resolver for o de encontrar o m´ aximo e o m´ınimo globais de uma fun¸ c˜ ao cont´ınua num conjunto fechado e limitado, n˜ ao precisamos de usar derivadas de 2

ordem (ao contr´ ario do que acontece com problemas de extremos locais).

I

Basta calcular (e comparar) o valor da fun¸ c˜ ao em pontos onde esses extremos podem ser atingidos:

I

pontos do interior do conjunto onde o gradiente se anula

I

pontos da fronteira do conjunto onde o gradiente ´ e perpendicular ` a fronteira

I

pontos onde n˜ ao existe gradiente ou n˜ ao existe recta/plano tangente ` a fronteira

Exerc´ıcio:

“Multiplicadores de Lagrange” para trˆ es vari´ aveis: uma s´ o restri¸ c˜ ao

Para encontrar os pontos “cr´ıticos” de um problema do tipo “encontrar o m´ınimo/m´ aximo de f (x , y , z ) numa superf´ıcie de equa¸ c˜ ao g (x, y , z ) = k”

(f e g com derivadas de 1

ordem cont´ınuas) resolve-se:







∇f (x , y , z ) = λ∇g (x, y, z ) g (x, y , z ) = k

ou



















fx(x,y,z) =λgx(x,y,z) fy(x,y,z) =λgy(x,y,z) fz(x,y,z) =λgz(x,y,z) g(x,y,z) =k

(as inc´ ognitas s˜ ao x, y , z e λ)

Resolver este sistema equivale a procurar os pontos da superf´ıcie

g (x , y , z ) = k onde o gradiente de f ´ e perpendicular a essa superf´ıcie

Exerc´ıcio:

“Multiplicadores de Lagrange” para trˆ es vari´ aveis: duas restri¸ c˜ oes

Os m´ aximos/m´ınimos de restri¸ c˜ oes de uma fun¸c˜ ao, f (x, y , z), ` a curva de intersec¸c˜ ao de duas superf´ıcies, g (x, y, z ) = k e h(x , y , z ) = c, continuam a estar em pontos dessa curva onde o gradiente de f ´ e perpendicular ` a curva, ou seja, onde o gradiente de f est´ a no plano perpendicular ` a curva

ou seja, existem λ, µ ∈ R tais que ∇f (P) = λ∇g (P) + µ∇h(P)

O sistema a resolver ´ e ent˜ ao



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x , y , z ) = λ g

(x , y , z ) + µh

(x, y, z) f

(x, y , z) = λ g

(x, y, z ) + µh

(x, y , z ) f

(x, y, z ) = λ g

(x, y, z ) + µh

(x, y, z) g (x, y , z ) = k

h(x, y, z ) = c

(as inc´ ognitas s˜ ao x, y , z , λ e µ)

O sistema a resolver ´ e ent˜ ao



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x , y , z ) = λ g

(x , y , z ) + µh

(x, y, z) f

(x, y , z) = λ g

(x, y, z ) + µh

(x, y , z ) f

(x, y, z ) = λ g

(x, y, z ) + µh

(x, y, z) g (x, y , z ) = k

h(x, y, z ) = c

Exerc´ıcio:

Exerc´ıcios de frequˆ encia e exame:

Se f tem derivadas de 1

ordem cont´ınuas:

I

D

f (P

) = ∇f (P

) · u ˆ = k∇f (P

)k cos ] (∇f (P

), u) ˆ

I

max

kuk=1ˆ

D

f (P

) = k∇f (P

)k (com ˆ u =

0)k

∇f (P

))

I

min

kuk=1ˆ

D

f (P

) = −k∇f (P

)k (com ˆ u = −

0)k

∇f (P

))

Exerc´ıcio:

Para encontrar o m´ aximo e o m´ınimo globais de uma fun¸ c˜ ao cont´ınua num conjunto fechado e limitado basta calcular (e comparar) o valor da fun¸ c˜ ao em pontos onde esses extremos podem ser atingidos:

I

pontos do interior do conjunto onde o gradiente se anula

I

pontos da fronteira do conjunto onde o gradiente ´ e perpendicular ` a fronteira

I

pontos onde n˜ ao existe gradiente ou n˜ ao existe recta/plano tangente ` a fronteira

Exerc´ıcio:

AREA E INTEGRAL SIMPLES ´

D = n

(x, y ) ∈ R

: a ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤ f (x) o

∆x = b − a n

Area de ´ D = lim

n→∞

n

X

i=1

f (x

)∆x = Z

a

f (x) dx.

VOLUME E INTEGRAL “DUPLO”

E =

(x, y, z ) : (x, y) ∈ R e 0 ≤ z ≤ f (x , y )

∆x =

, ∆y =

Volume de E = lim

n,m→∞

n

X

i=1 m

X

j=1

f (x

, y

)∆x ∆y

Ao limite acima (se existir) chama-se integral duplo da fun¸ c˜ ao f sobre o rectˆ angulo R,

e representa-se por ZZ

R

f (x, y)dA ou ZZ

R

f (x, y)dxdy

TEOREMA DE FUBINI

Se f for cont´ınua em R = [a, b] × [c, d] tem-se ZZ

R

f (x , y )dA = lim

m→∞

n→∞

lim

n

X

i=1 m

X

j=1

f (x

, y

)∆x

∆y

= lim

m→∞

m

X

j=1

lim

n→∞

n

X

i=1

f (x

, y

)∆x

∆y

= lim

m→∞

m

X

j=1

Z

a

f (x, y

) dx

∆y

= Z

c

Z

a

f (x, y) dx dy

ZZ

R

f (x, y )dA = Z

c

Z

f (x, y ) dx

| {z }

ψ(y)

dy = Z

a

Z

f (x, y) dy

| {z }

φ(x)

dx

Para R = [a, b] × [c, d ] = {(x, y) : a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}

ZZ

R

f (x, y )dA = Z

c

Z

f (x, y ) dx

| {z }

ψ(y)

dy = Z

a

Z

f (x, y) dy

| {z }

φ(x)

dx

Exerc´ıcio:

Integral duplo sobre regi˜ oes n˜ ao rectangulares

O integral duplo da fun¸c˜ ao f sobre a regi˜ ao plana limitada D ´ e, caso exista, o n´ umero

ZZ

D

f (x, y )dA = ZZ

R

F (x , y )dA,

onde R ´ e um rectˆ angulo contendo D e F ´ e definida por F(x, y) =

( f (x, y ) se (x , y ) ∈ D

0 se (x , y ) ∈ R \ D.

A regi˜ ao D diz-se do tipo I se existirem constantes, a e b, e fun¸ c˜ oes cont´ınuas de uma vari´ avel, g

e g

, tais que

D = {(x , y ) ∈ R

: a ≤ x ≤ b e g

(x ) ≤ y ≤ g

(x )}.

A regi˜ ao D diz-se do tipo II se existirem constantes, c e d, e fun¸ c˜ oes cont´ınuas de uma vari´ avel, h

e h

, tais que

D = {(x, y ) ∈ R

: c ≤ y ≤ d e h

(y ) ≤ x ≤ h

(y )}.

Se D ´ e do tipo I ou do tipo II e f ´ e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em D o teorema de Fubini ainda ´ e v´ alido para para F (possivelmente descont´ınua) definida por

F (x, y) =

( f (x, y) se (x, y ) ∈ D 0 se (x, y ) ∈ R \ D, ou seja,

Z Z

R

F(x, y)dA = Z

c

Z

a

F (x, y ) dx dy =

Z

a

Z

c

F(x , y ) dy

dx.

Integral duplo sobre uma regi˜ ao do tipo I

Se D = {(x, y ) ∈ R

: a ≤ x ≤ b e g

(x ) ≤ y ≤ g

(x )},

Z Z

D

f (x, y )dA = Z

a

Z

F(x, y) dy dx =

Z

Z

f (x, y ) dy

dx

Z Z

D

f (x, y)dA = Z

a

Z

f (x , y ) dy dx

Exerc´ıcio:

Integral duplo sobre uma regi˜ ao do tipo II

Se D = {(x, y ) ∈ R

: c ≤ y ≤ d e h

(y ) ≤ x ≤ h

(y)}, Z Z

D

f (x, y)dA = Z

c

Z

f (x , y ) dx

dy

Se D = {(x, y ) ∈ R

: c ≤ y ≤ d e h

(y ) ≤ x ≤ h

(y)}, Z Z

D

f (x, y)dA = Z

c

Z

f (x , y ) dx dy

Exerc´ıcio:

Propriedades do integral duplo

I

Z Z

D

[k f (x, y ) + g (x, y)] dA = k Z Z

D

f (x, y )dA + Z Z

D

g (x, y)dA.

I

Se f (x, y) ≥ g (x, y) em D ent˜ ao Z Z

D

f (x, y)dA ≥ Z Z

D

g (x, y)dA.

I

Se a ´ area de D

∩ D

´ e zero ent˜ ao Z Z

D1∪D2

f (x , y )dA = Z Z

D1

f (x, y )dA + Z Z

D2

f (x, y )dA.

Integral duplo e coordenadas polares

Z Z

R

f (x, y)dA ≈

n

X

i=1 m

X

j=1

f (r

cos θ

, r

cos θ

) ´ area(R

),

sendo ´ area(R

) ≈ r

∆r ∆θ.

Se f for cont´ınua numa regi˜ ao do tipo D = n

(r cos θ, r sin θ) ∈ R

: α ≤ θ ≤ β e h

(θ) ≤ r ≤ h

(θ) o

ent˜ ao Z Z

D

f (x, y)dA = Z

α

Z

h₁(θ)

f (r cos θ, r sin θ) r dr

dθ

Z Z

D

f (x , y )dA = Z

α

Z

f (r cos θ, r sin θ) r dr dθ

Exerc´ıcio:

Z Z

D

f (x , y )dA = Z

α

Z

f (r cos θ, r sin θ) r dr dθ

Exerc´ıcio:

Se f (x, y) ≥ 0 (e for cont´ınua) o integral duplo Z Z

D

f (x, y ) dA representa um volume

Em geral, para calcular uma ´ area de uma regi˜ ao plana ´ e suficiente utilizar um integral simples

Mas como o volume de um s´ olido de base D e altura 1 ´ e igual ` a ´ area da base, tamb´ em podemos calcular a ´ area de D usando o integral duplo Z Z

D

1 dA

O integral duplo s´ o representa uma ´ area quando f (x, y) = 1

N˜ ao h´ a nenhuma vantagem em fazer isto se usarmos coordenadas

cartesianas (ap´ os a primeira integra¸ c˜ ao ficamos com o mesmo integral

simples)

No entanto, a f´ ormula

Area de ´ D = Z Z

D

1 dA

pode ser ´ util se a descri¸c˜ ao mais simples da regi˜ ao D for em coordenadas polares

Exerc´ıcio:

Calcular a ´ area de D = {(x, y) ∈ R

: x

+ y

≥ 1 e (x − 1)

+ y

≤ 1}

(sabendo que cos

θ = 1

2 (1 + cos(2θ)) )