Aula 32-Pres

Instituto de Ciências Exatas UNIFAL - Alfenas

Suponha que durante os primeiros 5 anos nos quais um novo produto esteja no mercado, são vendidas y unidades por ano quando se passaram x anos do lançamento, e

y = f (x ) = 3.000x , 0 ≤ x ≤ 5 Ache o total de vendas durante os primeiros quatro anos.

Se no caso anterior tivessemos

Suponha que durante os primeiros 5 anos nos quais um novo produto esteja no mercado, são vendidas y unidades por ano quando se passaram x anos do lançamento, e

y = f (x ) = 3.000x , 0 ≤ x ≤ 5 Ache o total de vendas durante os primeiros quatro anos. Se no caso anterior tivessemos

Problema da área

Dada uma função contínua f , não negativa no intervalo [a, b], como achar a área entre o gráfico de f no intervalo [a, b] e o eixo x?

vimos que sua derivada A0(x ) é por definição A0(x ) = lim

∆x →0

A(x + ∆x ) − A(x )

∆x (4)

O numerador do lado direito de (4) é a diferença de duas áreas: a área entre a e x + ∆x menos a área entre a e x .

Se c for o ponto médio entre x e x + ∆x , então esta diferença de áreas pode ser aproximada pela área de um retângulo com base ∆x e altura f (c).Logo,

vimos que sua derivada A0(x ) é por definição A0(x ) = lim

∆x →0

A(x + ∆x ) − A(x )

∆x (4)

O numerador do lado direito de (4) é a diferença de duas áreas: a área entre a e x + ∆x menos a área entre a e x .

Se c for o ponto médio entre x e x + ∆x , então esta diferença de áreas pode ser aproximada pela área de um retângulo com base ∆x e altura f (c).Logo,

vimos que sua derivada A0(x ) é por definição A0(x ) = lim

∆x →0

A(x + ∆x ) − A(x )

∆x (4)

O numerador do lado direito de (4) é a diferença de duas áreas: a área entre a e x + ∆x menos a área entre a e x .

Se c for o ponto médio entre x e x + ∆x , então esta diferença de áreas pode ser aproximada pela área de um retângulo com base ∆x e altura f (c).Logo,

vimos que sua derivada A0(x ) é por definição A0(x ) = lim

∆x →0

A(x + ∆x ) − A(x )

∆x (4)

O numerador do lado direito de (4) é a diferença de duas áreas: a área entre a e x + ∆x menos a área entre a e x .

Se c for o ponto médio entre x e x + ∆x , então esta diferença de áreas pode ser aproximada pela área de um retângulo com base ∆x e altura f (c).Logo,

Agora, quando ∆x → 0, o erro na aproximação (5) também tenderá a zero. Assim, A0(x ) = lim ∆x →0 A(x + ∆x ) − A(x ) ∆x =∆x →0lim f (c) (6)

Como c é o ponto médio entre x e x + ∆x , temos que c → x quando ∆x → 0.

Supomos que f seja contínua, logo f (c) → f (x ) quando c → x .

Assim, lim∆x →0f (c) = f (x ).

Portanto, de (6) segue que

Agora, quando ∆x → 0, o erro na aproximação (5) também tenderá a zero. Assim, A0(x ) = lim ∆x →0 A(x + ∆x ) − A(x ) ∆x =∆x →0lim f (c) (6)

Como c é o ponto médio entre x e x + ∆x , temos que c → x quando ∆x → 0.

Supomos que f seja contínua, logo f (c) → f (x ) quando c → x .

Assim, lim∆x →0f (c) = f (x ).

Portanto, de (6) segue que

Agora, quando ∆x → 0, o erro na aproximação (5) também tenderá a zero. Assim, A0(x ) = lim ∆x →0 A(x + ∆x ) − A(x ) ∆x =∆x →0lim f (c) (6)

Como c é o ponto médio entre x e x + ∆x , temos que c → x quando ∆x → 0.

Supomos que f seja contínua, logo f (c) → f (x ) quando c → x .

Assim, lim∆x →0f (c) = f (x ).

Portanto, de (6) segue que 0

Agora, quando ∆x → 0, o erro na aproximação (5) também tenderá a zero. Assim, A0(x ) = lim ∆x →0 A(x + ∆x ) − A(x ) ∆x =∆x →0lim f (c) (6)

Como c é o ponto médio entre x e x + ∆x , temos que c → x quando ∆x → 0.

Supomos que f seja contínua, logo f (c) → f (x ) quando c → x . Assim, lim∆x →0f (c) = f (x ).

Portanto, de (6) segue que 0

Agora, quando ∆x → 0, o erro na aproximação (5) também tenderá a zero. Assim, A0(x ) = lim ∆x →0 A(x + ∆x ) − A(x ) ∆x =∆x →0lim f (c) (6)

Como c é o ponto médio entre x e x + ∆x , temos que c → x quando ∆x → 0.

Supomos que f seja contínua, logo f (c) → f (x ) quando c → x . Assim, lim∆x →0f (c) = f (x ).

Portanto, de (6) segue que 0

Observação 3:

Isso nos diz que a derivada da função área A(x ) é a função cujo gráfico constitui o limite superior da região. Logo, para encontrar A(x ) precisamos procurar por uma função cuja derivada seja f (x ), ou seja, a antiderivada ou primitiva de f (x ).

Para isso, fazemos uma partição do intervalo aberto [a, b], isto é, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos

a = x0<x1< ... <xi−1<xi < ... <xn =b.

Seja ∆xi =xi− xi−1o comprimento do intervalo [xi−1,xi]. Em cada

um destes intervalos [xi−1,xi], escolhemos um ponto qualquer ci. Para

cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo de base ∆xi e altura

Observe graficamente que, quanto maior o número de partições,

melhor a aproximação da área. A área de cada retângulo é dada por

∆xi.f (ci),assim, a soma da área dos n retângulos é dada por

Sn=f (c1)∆x1+f (c2)∆x2+ ... +f (cn)∆xn= n X

i=1

f (ci)∆xi

que é chamada soma de Rieman da função f (x ).

Como observamos, `a medida que n cresce, e cada ∆xi torna-se muito

Observe graficamente que, quanto maior o número de partições, melhor a aproximação da área. A área de cada retângulo é dada por

∆xi.f (ci),assim, a soma da área dos n retângulos é dada por

Sn=f (c1)∆x1+f (c2)∆x2+ ... +f (cn)∆xn= n

X

i=1

f (ci)∆xi

que é chamada soma de Rieman da função f (x ).

Como observamos, `a medida que n cresce, e cada ∆xi torna-se muito pequeno, a soma das áreas se aproxima da área de A.

Observe graficamente que, quanto maior o número de partições, melhor a aproximação da área. A área de cada retângulo é dada por

∆xi.f (ci), assim, a soma da área dos n retângulos é dada por

Sn=f (c1)∆x1+f (c2)∆x2+ ... +f (cn)∆xn= n

X

i=1

f (ci)∆xi

que é chamada soma de Rieman da função f (x ).

Como observamos, `a medida que n cresce, e cada ∆xi torna-se muito pequeno, a soma das áreas se aproxima da área de A.

Observe graficamente que, quanto maior o número de partições, melhor a aproximação da área. A área de cada retângulo é dada por

∆xi.f (ci), assim, a soma da área dos n retângulos é dada por

Sn=f (c1)∆x1+f (c2)∆x2+ ... +f (cn)∆xn= n

X

i=1

f (ci)∆xi

que é chamada soma de Rieman da função f (x ).

Como observamos, `a medida que n cresce, e cada ∆xi torna-se muito

Seja y = f (x ) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área entre o gráfico de f no intervalo [a, b] e o eixo x, é definida por

A = lim max ∆xi→0 n X i=1 f (ci)∆xi,

onde para cada i = 1, ..., n, ci é um ponto arbitrário no intervalo

[xi−1,xi].Esse limite quando existe, é chamado integral definida de f

de a até b e denotado porRb

a f (x )dx , isto é, Z b f (x )dx = A = lim n X f (c)∆x.

Seja y = f (x ) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área entre o gráfico de f no intervalo [a, b] e o eixo x, é definida por

A = lim max ∆xi→0 n X i=1 f (ci)∆xi,

onde para cada i = 1, ..., n, ci é um ponto arbitrário no intervalo

[xi−1,xi]. Esse limite quando existe, é chamado integral definida de f

de a até b e denotado porRb

a f (x )dx , isto é, Z b f (x )dx = A = lim n X f (c)∆xi.

Observação 4:

Sempre que utilizamos um intervalo [a, b], supomos a < b. Assim,

1 R_abf (x )dx = −R_baf (x )dx , se a integral `a direita existir;

Observação 4:

Sempre que utilizamos um intervalo [a, b], supomos a < b. Assim,

1 R_abf (x )dx = −R_baf (x )dx , se a integral `a direita existir;

Observação 4:

Sempre que utilizamos um intervalo [a, b], supomos a < b. Assim,

1 R_abf (x )dx = −R_baf (x )dx , se a integral `a direita existir; 2 R_aaf (x )dx = 0.

Observação 5:

SeRb

a f (x )dx existir, dizemos que f é integrável em [a, b].

O Teorema a seguir nos dá um tipo de função que sempre será integrável.

Observação 5:

SeRb

a f (x )dx existir, dizemos que f é integrável em [a, b].

O Teorema a seguir nos dá um tipo de função que sempre será integrável.

Teorema 1:

Sejam f , g integráveis em [a, b] e K uma constante. Então: 1 Kf é integrável em [a, b] eR_abKf (x )dx = KR_abf (x )dx ; 2 f + g é integrável em [a, b] e Rb a[f (x ) + g(x )]dx = Rb a f (x )dx + Rb a g(x )dx ;

3 Se c ∈]a, b[ e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então Rb a f (x )dx = Rc a f (x )dx + Rb c f (x )dx ;

4 Se f (x ) ≥ 0 para todo x em [a, b], entãoR_abf (x )dx ≥ 0;

5 Se f (x ) ≥ g(x ) para todo x em [a, b], então

Rb

a f (x )dx ≥

Rb

Sejam f , g integráveis em [a, b] e K uma constante. Então: 1 Kf é integrável em [a, b] eR_abKf (x )dx = KR_abf (x )dx ; 2 f + g é integrável em [a, b] e Rb a[f (x ) + g(x )]dx = Rb a f (x )dx + Rb a g(x )dx ;

3 Se c ∈]a, b[ e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então

Rb a f (x )dx = Rc a f (x )dx + Rb c f (x )dx ;

4 Se f (x ) ≥ 0 para todo x em [a, b], entãoR_abf (x )dx ≥ 0;

5 Se f (x ) ≥ g(x ) para todo x em [a, b], então

Rb

a f (x )dx ≥

Rb

Sejam f , g integráveis em [a, b] e K uma constante. Então: 1 Kf é integrável em [a, b] eR_abKf (x )dx = KR_abf (x )dx ; 2 f + g é integrável em [a, b] e Rb a[f (x ) + g(x )]dx = Rb a f (x )dx + Rb a g(x )dx ;

3 Se c ∈]a, b[ e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então

Rb a f (x )dx = Rc a f (x )dx + Rb c f (x )dx ;

4 Se f (x ) ≥ 0 para todo x em [a, b], entãoR_abf (x )dx ≥ 0;

5 Se f (x ) ≥ g(x ) para todo x em [a, b], então Rb

a f (x )dx ≥

Rb

Sejam f , g integráveis em [a, b] e K uma constante. Então: 1 Kf é integrável em [a, b] eR_abKf (x )dx = KR_abf (x )dx ; 2 f + g é integrável em [a, b] e Rb a[f (x ) + g(x )]dx = Rb a f (x )dx + Rb a g(x )dx ;

3 Se c ∈]a, b[ e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então

Rb a f (x )dx = Rc a f (x )dx + Rb c f (x )dx ;

4 Se f (x ) ≥ 0 para todo x em [a, b], entãoR_abf (x )dx ≥ 0;

5 Se f (x ) ≥ g(x ) para todo x em [a, b], então

Rb

a f (x )dx ≥ Rb

Sejam f , g integráveis em [a, b] e K uma constante. Então: 1 Kf é integrável em [a, b] eR_abKf (x )dx = KR_abf (x )dx ; 2 f + g é integrável em [a, b] e Rb a[f (x ) + g(x )]dx = Rb a f (x )dx + Rb a g(x )dx ;

3 Se c ∈]a, b[ e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então

Rb a f (x )dx = Rc a f (x )dx + Rb c f (x )dx ;

4 Se f (x ) ≥ 0 para todo x em [a, b], entãoR_abf (x )dx ≥ 0;

5 Se f (x ) ≥ g(x ) para todo x em [a, b], então

Rb

a f (x )dx ≥

Rb

Sejam f , g integráveis em [a, b] e K uma constante. Então: 1 Kf é integrável em [a, b] eR_abKf (x )dx = KR_abf (x )dx ; 2 f + g é integrável em [a, b] e Rb a[f (x ) + g(x )]dx = Rb a f (x )dx + Rb a g(x )dx ;

3 Se c ∈]a, b[ e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então

Rb a f (x )dx = Rc a f (x )dx + Rb c f (x )dx ;

4 Se f (x ) ≥ 0 para todo x em [a, b], entãoR_abf (x )dx ≥ 0;

5 Se f (x ) ≥ g(x ) para todo x em [a, b], então

Rb

a f (x )dx ≥

Rb

Sejam f , g integráveis em [a, b] e K uma constante. Então: 1 Kf é integrável em [a, b] eR_abKf (x )dx = KR_abf (x )dx ; 2 f + g é integrável em [a, b] e Rb a[f (x ) + g(x )]dx = Rb a f (x )dx + Rb a g(x )dx ;

3 Se c ∈]a, b[ e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então

Rb a f (x )dx = Rc a f (x )dx + Rb c f (x )dx ;

4 Se f (x ) ≥ 0 para todo x em [a, b], entãoR_abf (x )dx ≥ 0;

5 Se f (x ) ≥ g(x ) para todo x em [a, b], então

Rb

a f (x )dx ≥

Rb

Teorema 2: (Valor Médio para Integrais)

Se f é contínua em [a, b], então existe um ponto c entre a e b tal que

Z b

a

f (x )dx = (b − a)f (c).

Isso quer dizer que a área entre o gráfico de f no intervalo [a, b] e o eixo x , é igual a área de um retângulo de base (b − a) e altura f (c).

Teorema 2: (Valor Médio para Integrais)

Se f é contínua em [a, b], então existe um ponto c entre a e b tal que

Z b

a

f (x )dx = (b − a)f (c).

Isso quer dizer que a área entre o gráfico de f no intervalo [a, b] e o eixo x , é igual a área de um retângulo de base (b − a) e altura f (c).

A seguir vamos estabelecer relações básicas entre as integrais definida e indefinida, as quais juntas formam um resultado chamado Teorema Fundamental do Cálculo.

[a, b]; neste caso, a área entre o gráfico de f no intervalo [a, b] e o eixo x é dada pela integral definida

A =

Z b

a

f (x )dx (7)

Lembrando-se da discussão do Método da antiderivada para o cálculo de áreas (Início Aula), temos que se A(x ) for a área sob o gráfico de f de a até x , então:

A0(x ) = f (x );

[a, b]; neste caso, a área entre o gráfico de f no intervalo [a, b] e o eixo x é dada pela integral definida

A =

Z b

a

f (x )dx (7)

Lembrando-se da discussão do Método da antiderivada para o cálculo de áreas (Início Aula), temos que se A(x ) for a área sob o gráfico de f de a até x , então:

A0(x ) = f (x );

[a, b]; neste caso, a área entre o gráfico de f no intervalo [a, b] e o eixo x é dada pela integral definida

A =

Z b

a

f (x )dx (7)

Lembrando-se da discussão do Método da antiderivada para o cálculo de áreas (Início Aula), temos que se A(x ) for a área sob o gráfico de f de a até x , então:

A0(x ) = f (x );

[a, b]; neste caso, a área entre o gráfico de f no intervalo [a, b] e o eixo x é dada pela integral definida

A =

Z b

a

f (x )dx (7)

Lembrando-se da discussão do Método da antiderivada para o cálculo de áreas (Início Aula), temos que se A(x ) for a área sob o gráfico de f de a até x , então:

A0(x ) = f (x );

que implica que toda primitiva de f (x ) é da forma F (x ) = A(x ) + c (8) onde c é uma constante.

Assim, de (8)

F (b) − F (a) = [A(b) + c] − [A(a) + c] = A(b) − A(a) = A − 0 = A.

Logo, (7) pode ser escrita como Z b

que implica que toda primitiva de f (x ) é da forma F (x ) = A(x ) + c (8) onde c é uma constante.

Assim, de (8)

F (b) − F (a) = [A(b) + c] − [A(a) + c] = A(b) − A(a) = A − 0 = A.

Logo, (7) pode ser escrita como

que implica que toda primitiva de f (x ) é da forma F (x ) = A(x ) + c (8) onde c é uma constante.

Assim, de (8)

F (b) − F (a) = [A(b) + c] − [A(a) + c] = A(b) − A(a) = A − 0 = A. Logo, (7) pode ser escrita como

Observação 6:

Esta equação estabelece que a integral definida pode ser calculada achando uma primitiva do integrando e substituindo nos valores extremos.

Embora chegamos a esse resultado supondo f não negativa, esta hipótese não é essencial, como veremos a seguir.

Observação 6:

Esta equação estabelece que a integral definida pode ser calculada achando uma primitiva do integrando e substituindo nos valores extremos.

Embora chegamos a esse resultado supondo f não negativa, esta hipótese não é essencial, como veremos a seguir.

Teorema 3: (Teorema Fundamental do Cálculo)

Se f é contínua em [a, b] e F é uma primitiva de f neste intervalo, então

Z b

a

Teorema 3: (Teorema Fundamental do Cálculo)

Se f é contínua em [a, b] e F é uma primitiva de f neste intervalo, então

Z b

a

Observação 7:

É usual denotar F (b) − F (a) por

Observação 7:

É usual denotar F (b) − F (a) por

Exemplo 4:

Calcule as integrais definidas:

1 R₁3xdx ;

Exemplo 4:

Calcule as integrais definidas:

1 R₁3xdx ; 2 R₀3(9 − x2)dx .

Exemplo 5:

Observação 8:

Nos exemplos anteriores, nenhuma constante de integração foi incluída, porque de qualquer forma ela irá sumir.

De fato, se F é uma primitiva de f (x ) em [a, b] e c uma constante, então

Z b a

Observação 8:

Nos exemplos anteriores, nenhuma constante de integração foi incluída, porque de qualquer forma ela irá sumir.

De fato, se F é uma primitiva de f (x ) em [a, b] e c uma constante, então

Z b

a

Observação 8:

Nos exemplos anteriores, nenhuma constante de integração foi incluída, porque de qualquer forma ela irá sumir.

De fato, se F é uma primitiva de f (x ) em [a, b] e c uma constante, então

Z b

a

Exemplo 6:

Esboce a região cuja área está representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada da geometria.

1 R₁42dx ;

Exemplo 6:

Esboce a região cuja área está representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada da geometria.

1 R₁42dx ; 2 R₋₁2 (x + 2)dx .