microII

(1)

Notas Microeconomia II

Angelo Polydoro∗

2012

1 Introdu¸

c˜

ao

O curso de microeconomia pode ser comparado à um pout-pourri de partido alto. Individualmente são músicas muito interessantes, mas não dá para cantar todas elas de forma completa. Além disso, elas tem que estar conectadas uma com as outras para que o samba não atravesse.

2 Jogos Est´

aticos com Informa¸

c˜

ao Incompleta

Em jogos com informa¸cão completa, o payoff de todos os jogadores é de conhecimento comum. Por outro lado, em jogos com informa¸cão incompleta, o payoff de pelo menos um jogador não é conhecido exatamente por todos. Em leilões, por exemplo, o payoff de cada participante ao obter o objeto, ou quanto eles estariam dispostos a pagar não é conhecido pelo leiloeiro e pelos outros participantes. Se fosse, o leiloeiro poderia fazer uma proposta, cobrando exatamente esse valor. Então, o comprador estaria indiferente entre comprar o objeto ou não e o leiloeiro obteria a receita máxima.

Considere como exemplo a itera¸cão estratégica envolvendo um casal em uma quarta-feira à noite. O casal quer fazer um programa fora de casa, mas infelizmente não tem nenhuma forma de se comunicar para coordenar as suas a¸cões. As op¸cões são ir para o cinema ou ir ao Engenhão1 _{ver um jogo do} seu time do cora¸cão. Se a descri¸cão do jogo parasse por a´ı, a aplica¸cão das ferramentas de teoria dos jogos sob informa¸cão completa seriam suficientes para analisar essa situa¸cão e prever seus poss´ıveis resultados. O problema, é que existe uma fonte de informa¸cão incompleta: a esposa pode estar com bom ou mau humor e isso afeta o payoff do marido. O payoff de ambos em cada situa¸cão está descrito nas tabelas abaixo:

∗

Meu muito obrigado aos alunos de Microeconomia 2 do curso de Economia da FGV que contribu´ıram com coment´arios ao texto. Um agradecimento especial ao aluno Lu´ıs Carvalho da turma de 2011.

(2)

Esposa

Cinema Engenh˜ao

Marido Cinema 2,2 1,1

Engenh˜ao 1,1 0,0

Tabela 1: Payoff com Bom Humor Esposa

Cinema Engenh˜ao

Marido Cinema 1,3 0,-1

Engenh˜ao 3,2 1,-2

Tabela 2: Payoff com Mau Humor

De acordo com essas tabelas de payoff, ir ao cinema é uma estratégia estritamente dominante para a esposa não importando o seu humor. Por outro lado, o marido prefere ir ao cinema quando a esposa está com bom humor e ir ao Engenhão quando a esposa está com mau humor. A pergunta então é o que fará o marido?

Para ser capaz de avaliar o impacto das suas decisões o marido precisa estar equipado de uma cren¸ca sobre qual a chance de a sua mulher estar com bom ou mau humor. Essa cren¸ca é uma distribui¸cão de probabilidade sobre os eventos: {Bom Humor, Mau Humor} da esposa.

Suponha que em um dia qualquer, a esposa esteja de bom humor com 50% de probabilidade. Por complementaridade, a probabilidade da mulher estar com mau humor ´e de 50%. Ao escolher ir ao cinema, o payoff esperado ´e de:

Eu(Cinema) = .5 × 2 + .5 × 1 = 1.5. Por outro lado, o payoff esperado ao escolher ir ao Engenh˜ao ´e de:

Eu(Engenh˜ao) = .5 × 1 + .5 × 3 = 2.5.

O marido escolherá ir ao Engenhão, pois o payoff esperado é maior do que ir ao Cinema. Esse é o equil´ıbrio desse jogo.

Formalmente um jogo com informa¸c˜ao incompleta ´e composto de: • Jogadores: N .

• Tipos dos jogadores: θ_i ∈ Θ_i para todo i ∈ N .

• Cren¸cas sobre o tipo dos outros jogadores: λ_i(θi) ∈ ∆(Θ−i). • A¸c˜oes: Ai para todo i ∈ N .

• Fun¸c˜ao payoff: ui : Θ × A → R.

No exemplo acima, a mulher possui dois tipos: {Bom Humor} ou {Mau Humor}, o homem um tipo ´

unico e a cren¸ca sobre o tipo da mulher (.5, .5).

A idéia de resumir todas as informa¸cões sobre as cren¸cas e o payoff dos jogadores no tipo é original de Harsanyi, ganhador do prêmio Nobel de economia em 1994 ao lado de Nash e Selten.

Uma estratégia em jogos de informa¸cão incompleta é uma fun¸cão: si : Θi → Ai que associa uma a¸cão (talvez uma distribui¸cão de probabilidade sobre as a¸cões) para cada tipo do jogador i.

(3)

Definition 2.1 Um equil´ıbrio Nash-Bayesiano para um jogo com informa¸cão incompleta é uma lista de estratégias (s∗_i)i∈N tal que:

s∗_i(θi) ∈ arg max ai∈Ai

X

θ−i

λ(θi)(θ−i)ui(ai, s∗−i(θ−i); θi)

para todo θi ∈ Θi e i ∈ N .

2.1 Aplica¸cão: Competi¸cão de Cournot com Informa¸cão Incompleta

Considere um duopólio de Cournot com demanda inversa P (Q) = a−Q, onde Q = q1+q2é a quantidade total produzida no mercado. A fun¸cão custo da firma 1 é C1(q1) = cq1 e a fun¸cão custo da firma 2 C(q2) = cHq2 com probabilidade θ e C2(q2) = cLq2 com probabilidade 1 − θ, onde cL < cH. Essa incerteza da firma 1 em rela¸cão aos custos da firma 2 pode ser resultado da incapacidade da firma 1 saber se, por exemplo, uma inven¸cão ocorreu na firma 2 que resultou em uma redu¸cão nos custos de produ¸cão.

Fixando a produ¸c˜ao da firma 1 em q1 cada tipo da firma 2 resolve o seguinte problema: max

q2≥0

πH(q2|q1) = [(a − q1− q2]q2− cHq2

q₂H = a − q1− cH

2 .

por outro lado, a quantidade ´otima da firma 2 quando possui custo igual a cL: max

q2≥0

πL(q2|q1) = [(a − q1− q2]q2− cLq2

q₂L= a − q1− cL

2 .

A firma 1 leva em considera¸cão o fato de que cada tipo da firma 2 escolherá uma quantidade de produ¸cão diferente. Assim, escolhe q1 de forma a maximizar:

max q1≥0 π1(q1|q2H, qL2) max q1≥0 θ(a − q1− qH2 )q1+ (1 − θ)(a − q1− qL2)q1− cq1 q1 = θ(a − qH₂ )q1+ (1 − θ)(a − q2L) 2 .

O equil´ıbrio Bayesiano desse jogo ´e tal que essas curvas de melhor resposta de intersectem. Assim, q₂H = a − 2cH + c 3 + 1 − θ 6 (cH − cL) qL₂ = a − 2cL+ c 3 − θ 6(cH − cL) q1 = a − 2c + θcH + (1 − θ)cL 3 .

Quando comparamos o equil´ıbrio do modelo de Cournot com informa¸cão completa e custos (c1, c2) com a resposta acima observamos que q₂H é maior do que q2(cH) e que q2Lé menor do que q2(cL). Isso ocorre, pois a firma 2 leva em considera¸cão não apenas o próprio custo, mas o fato de que a firma 1 não conseguirá ajustar a sua produ¸cão em resposta a quantidade produzida pela firma 2. Lembre-se de que a firma 1 desconhece os custos da firma 2.

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2.2 Provis˜ao de um Bem P´ublico sob Incerteza

Duas pessoas estão decidindo simultaneamente se irão contribuir ou não para um bem público. Os dois obtêm um benef´ıcio de 1 se ao menos uma pessoa contribuir e 0 se ninguém contribuir para o bem. O custo de contribui¸cão de cada um é ci. A situa¸cão estratégica é descrita na tabela abaixo:

Agente 1

Contibui N˜ao Agente 2 Contribui 1 − c1,1 − c2 1 − c1,1

N˜ao 1,1 − c2 0,0

Provis˜ao de um bem p´ublico sob incerteza

O benef´ıcio 1 do bem público é de conhecimento comum, mas o custo de cada agente é uma informa¸cão privada. Isto é, apenas o próprio jogador conhece o seu custo. O custo de cada agente é sorteado de forma independente de uma distribui¸cão P (·) com suporte [c, c], onde c < 1 < c. Uma estratégia nesse jogo é uma fun¸cão si(ci) → {0, 1}. O payoff é dado por:

ui(si, sj, ci) = max(s1, s2) − cisi.

Um equil´ıbrio Bayesiano para esse jogo ´e um par de estrat´egias (s∗₁, s∗₂), tal que s∗_i(ci) maximiza Ecjui(si, s

∗

j(cj), ci). Note que como a decisão é uma variável binária, o valor esperado se o próprio jogador não contribuir é de zj = P rob(s∗j(cj) = 1. Assim, para maximizar o seu payoff o agente i irá contribuir se o seu custo ci for menor do que 1 × (1 − zj) que é o benef´ıcio vezes a probabilidade que o outro jogador não irá contribuir. Então, s∗_i(ci) = 1 se ci ≤ 1 − zj e s∗_i(ci) = 0 se ci ≥ 1 − zj. Os tipos do agente i que contribuem pertencem a um intervalo [c, c∗_i] e os que não contribuem (c∗_i, c].

Dado que zj = P rob(c ≤ cj ≤ c∗j) = P (c∗j), o n´ıvel ótimo de c∗i deve satisfazer c∗i = 1 − P (c∗j). Então, os dois valores c∗₁ e c∗₂ devem satisfazer a equa¸cão:

c∗ = 1 − P (1 − P (c∗)).

Suponha que P (·) é uma distribui¸cão uniforme no intervalo [0, 2], então c∗ que resolve a equa¸cão acima é um valor único e igual a 2/3.

Note que se c ≥ 1 − P (1) ent˜ao esse jogo possui dois equil´ıbrios assim´etricos. Um dos jogadores nunca contribui e o outro contribui para todo c ≤ 1.

3 Leil˜

oes

Leilões são um dos tipos de mecanismo de venda mais comuns. São vendidos através de leilões desde obras de arte e t´ıtulos do governo até direitos de concessão de explora¸cão de po¸cos de petróleo e aeroportos. Além da sua aplica¸cão no mundo real, os leilões podem ser escritos como um problema econômico bem definido onde as partes não sabem quanto os seus competidores estariam dispostos a pagar pelo bem em questão.

Considere o problema de um vendedor interessado em vender um objeto para um grupo potencial de N compradores. Cada comprador atribui o valor de vi ao objeto e este é sorteado de uma distribui¸cão uniforme entre [0, v]. O valor atribu´ıdo ao objeto pelo agente i é conhecido somente por esse agente e este é independente do valor dos outros agentes.

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Ao estudar um determinado formato de leilão estamos interessados em 3 questões principais: eficiência, receita e comportamento estratégico dos agentes. Um leilão é eficiente se ele o vencedor do leilão for o participante que atribui maior valor ao objeto. Receita é quanto fica para o leiloeiro com a venda do objeto. O estudo dessas propriedades de um leilão só é poss´ıvel se conhecermos como os participantes irão se comportar no leilão. Ou seja, a eficiência e a receita de um leilão depende do equil´ıbrio jogado. Nessa se¸cão estaremos interessados em equil´ıbrios Bayesianos simétricos, ou seja, onde a estratégia de cada participante é a mesma.

3.1 Leil˜ao Selado de Segundo Pre¸co

Em um leil˜ao selado de segundo pre¸co, cada participante escreve o seu lance em um papel e submete ao leiloeiro. Quando todos os participantes terminarem de submeter os lances, o leiloeiro identifica o participante que submeteu o maior lance. Este ´e declarado vencedor e paga pelo objeto uma quantia igual ao segundo maior lance submetido.

O lucro de cada participante nesse formato de leil˜ao ´e:

Πi = (

vi− maxi6=jbj se bi> maxi6=jbj 0 se bi< maxi6=jbj.

Onde bi ´e o lance submetido pelo participante i. Quando bi = maxi6=jbj o objeto ´e sorteado entre os detentores do maior lance com igual probabilidade.

Uma estratégia no leilão é uma fun¸cão βi : [0, v] → [0, v] que especifica o lance para o participante i que atribui valor vi∈ [0, v] ao objeto. Note que valores maiores do que v podem ser desconsiderados com base na racionalidade dos agentes.

Proposition 3.1 A estratégia β(v) = v é um equil´ıbrio Bayesiano simétrico para o leilão selado de segundo pre¸co.

Proof. Fixe o participante 1 sem perda de generalidade e suponha que o maior lance entre os outros participantes é p1 = maxj6=ibj. Imagine que o participante 1 escolha submeter um lance z1 < v1. Se v1> z1 ≥ p1 o participante 1 ganha o leilão e obtêm lucro v1− p1 e este é independente de z1.

Por outro lado, quando p1 > v1 > z1 o participante perde o leil˜ao, obtendo lucro zero.

A única situa¸cão onde submeter um lance z1< v1muda o resultado do leilão é quando v1> p1> z1. Nesse caso, o participante 1 perde o leilão ao submeter um lance menor do que o próprio valor, quando na verdade poderia ter ganho submetendo v1 = z1 e obtido lucro positivo v1− p1.

Em resumo, no leilão selado de segundo pre¸co βi(vi) = vi é uma estratégia fracamente dominante. O caso quando z1 > v1 pode ser provado utilizando os argumentos acima. A única diferen¸ca é que o lucro pode ser negativo quando na verdade submetendo z1 = v1 seria zero.

O leilão selado de segundo pre¸co é sempre eficiente, pois como vence o participante com maior lance e o lance é igual ao valor privado, vence o participante com maior valor privado.

3.2 Leil˜ao Selado de Primeiro Pre¸co

Em um leilão selado de primeiro pre¸co, cada participante também submete o lance em segredo, o vencedor é escolhido como sendo o participante que submeter o maior lance, mas o valor pago pelo objeto será igual ao seu próprio lance.

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O lucro dos participantes nesse formato de leilão é: O lucro de cada participante nesse formato de leilão é: Πi = ( vi− bi se bi > maxi6=jbj 0 se bi < maxi6=jbj.

Note que no leilão selado de primeiro pre¸co submeter um lance igual ao próprio valor é uma estratégia fracamente dominada. Essa estratégia resulta em lucro zero quando o participante vence e zero quando ele perde. Assim, os participantes ao escolher a estratégia ótima levarão em considera¸cão o fato de que escolher um valor menor do que o privado diminui a probabilidade de vencer, mas aumenta o lucro em caso de vitória.

Proposition 3.2 A estratégia β(vi) = N −1_N vi é um equil´ıbrio Bayesiano simétrico para o leilão selado de primeiro pre¸co.

Proof. Suponha que os jogadores empreguem uma estratégia simétrica β(vi) = b. Um participante com valor vi ganha se todos os outros jogadores submeterem lances menores do que β(vi) = b. Isso ocorre com probabilidade (β−1(b))N −1 e resulta em um payoff (vi− b). O payoff esperado é:

(β−1(b))N −1× (vi− b) + 1 − (β−1(b))N −1 × 0.

Maximizando o payoff esperado em fun¸c˜ao de b encontramos a condi¸c˜ao de primeira ordem: (N − 1)(β−1(b))N −2

β0_(β−1_(b))) (vi− b) − (β −1

(b))N −1= 0

em um equil´ıbrio simétrico o jogador em questão também utilizará a fun¸cão lance β(vi) = b, então: (N − 1)(vi)N −2

β0(vi)

(vi− β(vi)) − (vi)N −1= 0 (N − 1)(vi)N −2vi− (N − 1)(vi)N −2β(vi) = β0(vi)(vi)N −1 (N − 1)(vi)N −2vi= (N − 1)(vi)N −2β(vi) + β0(vi)(vi)N −1

Dado que um participante com valor para o objeto igual a zero ir´a escolher um lance igual a zero β(0) = 0, podemos resolver a equa¸c˜ao diferencial acima.

d dvi (vi)N −1β(vi) = (N − 1)(vi)N −2vi (vi)N −1β(vi) = (N − 1) Z vi 0 xN −1dxβ(vi) = 1 (vi)N −1 (N − 1) Z vi 0 xN −1dx β(vi) = 1 (vi)N −1 (N − 1) x N N vi 0 β(vi) = 1 (vi)N −1 (N − 1)v N i N β(vi) = N − 1 N vi

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3.3 Compara¸cão entre as receitas dos leilões selados de Primeiro e Segundo Pre¸co O pagamento esperado em um leilão selado de segundo pre¸co de um participante com valor vi é:

mII(vi) = Prob [Vencer] × [Pagamento|vi] Prob [Vencer] × E [2 maior lance |vi é o maior lance] = Prob [Vencer] × E [2 maior lance |vi é o maior valor] = Prob[Todos os Valores São Menores que vi ] × E [2 maior lance |vi é o maior valor] = G(vi) × E[Y1|Y1< vi] = (vi)N −1× N − 1 N vi = vN_i ×N − 1 N Por outro lado em um leilão selado de primeiro pre¸co:

mI(vi) = Prob [Vencer] × [Pagamento|vi] = G(vi) × N − 1 N vi = (vi)N −1× N − 1 N vi = vN_i ×N − 1 N

Comparando o valor esperado de pagamento no leilão selado de primeiro pre¸co e no de segundo pre¸co vemos que eles são iguais. Esse resultado segue de um teorema bastante poderoso da teoria de leilões conhecido como ”princ´ıpio da equivalência das receitas”. Esse teorema mostra que se o valor que os agentes atribuem ao objeto for independente e identicamente distribu´ıdos, os participantes forem neutros ao risco e o formato do leilão for tal que o pagamento esperado de um participante que atribua valor zero ao objeto for zero, então a receita esperada ao leiloeiro é a mesma.

No caso dos leilões de primeiro e segundo pre¸co o que está por trás do resultado é que o pre¸co a ser pago pelo vencedor tem a mesma média, porém valores maiores podem ocorrer no leilão de primeiro pre¸co. Ou seja, a distribui¸cão de pre¸cos do leilão de primeiro pre¸co é mais arriscada, possui maior variância.

4 Economia da Informa¸

c˜

ao - Introdu¸

c˜

ao

Em certas situa¸cões, a hipótese de que todas as partes envolvidas na itera¸cão econômica possuem a mesma informa¸cão não descreve muito bem a realidade.

No mercado de seguros, por exemplo, cada pessoa é melhor informada sobre quão propensa ao risco ela é. O motorista sabe se ele respeita a sinaliza¸cão de trânsito, os limites de velocidade, se realiza a manuten¸cão preventiva do ve´ıculo etc. A empresa de seguros, por outro lado, conhece muito pouco ou quase nada sobre as caracter´ısticas do segurado. Assim, a empresa de seguros gostaria de cobrar mais das pessoas com maior risco e um pouco menos das pessoas com menor risco (a um pre¸co muito alto essas pessoas podem desistir de contratar o seguro).

Na classe de modelos que é estudada nesse cap´ıtulo existem dois tipos de participantes: os infor-mados e os não informados. Os informados conhecem a informa¸cão relevante para a tomada de decisão

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e payoff de ambas as partes enquanto os não informados desconhecem tal informa¸cão. Ou seja, a informa¸cão é privada aos agentes informados.

Os modelos descritos nessa se¸cão são de equil´ıbrio parcial. Eles abstraem de toda dinâmica em outros mercados que possa influenciar esse mercado. Além disso, os agentes (tipicamente dois) são divididos entre o l´ıder e os seguidor ou entre o principal (mandante) e o agente. Cabe ao principal ou l´ıder propor o contrato (as op¸cões do seguro, os tipos do produto) e ao agente ou seguidor aceitar ou não os termos desse contrato.

Os modelos com diferen¸cas de informa¸cão podem ser divididos em 3 grandes classes: • Modelos de sele¸cão adversa: A parte não informada age primeiro. Ex: Seguros.

• Modelos de sinaliza¸c˜ao: A parte informada age primeiro. Ex: Entrevistas para uma vaga de emprego.

• Modelos de perigo moral: A parte não informada age primeiro e é parcialmente informada sobre a decisão da parte informada. Ex: Decisão de um gerente.

Esse cap´ıtulo é dividido da seguinte forma. A seguir estudamos os modelos de sele¸cão adversa, sinaliza¸cão e por fim os de perigo moral.

4.1 Sele¸c˜ao Adversa

Em modelos de sele¸cão adversa o agente possui uma informa¸cão que é relevante para o lucro do principal e a própria utilidade. Em seguros, por exemplo, se a seguradora cobrar apenas um pre¸co pelo seguro ela pode fazer com que esse pre¸co se torne muito caro para as pessoas com risco baixo, acabando por atrair apenas os de alto risco e resultando em um preju´ızo para a firma. É esse exemplo que exploraremos a seguir.

Outros exemplo incluem a sele¸cão dos candidatos no mercado de trabalho, contratos espec´ıficos de empréstimo bancário baseados no risco dos contratantes, qualidade dos terceirizados contratados para realizar uma tarefa etc.

4.1.1 Discrimina¸c˜ao de Segundo Grau

No primeiro modelo de sele¸cão adversa estudado nessa se¸cão analisamos a decisão ótima de um vendedor de cerveja.

No que diz respeito ao mercado de cervejas indian ale, os consumidores podem ser divididos em dois tipos. Os consumidores que gostam mais desse tipo de cerveja de alta qualidade, com sabor mais apurado, e os consumidores comuns. A utilidade de cada consumidor ao consumir uma cerveja com qualidade q e pagar uma quantia t ´e de:

u = θq − t.

Onde θH = 2 e θL= 1, ou seja, os consumidores que gostam desse tipo de cerveja derivam o dobro de utilidade do que os consumidores comuns ao consumir uma cerveja com qualidade q.

A cervejaria possui fun¸c˜ao custo C(q) = q₂2 para produzir uma cerveja com qualidade q > 0. Sabe-se que as pessoas que gostam mais de cervejas indian ale correspondem a 10% da popula¸c˜ao, enquanto os consumidores comuns correspondem aos outros 90%.

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Se a firma fosse capaz de identificar perfeitamente o tipo do consumidor ela resolveria o seguinte problema: max q,t≥0ti− C(qi) s.t. θiqi− ti ≥ 0 ou seja, max q,t≥0tH− q2_H 2 s.t. 2qH− tH ≥ 0 o que implica qH = 2 e tH = 4. Para os consumidores comuns:

max q,t≥0tL− q2 L 2 s.t. qL− tL≥ 0 o que implica qL= 1 e tL= 1.

Os dois tipos de consumidor estariam indiferentes entre comprar a cerveja ou não, pois o monopolista seria capaz de extrair todo excedente deles. Além disso, o consumidor que prefere esse tipo de cerveja pagaria mais por ela, porém teria um produto de maior qualidade.

Figure 1: Contratos sobre discrimina¸c˜ao perfeita

O problema é que a discrimina¸cão perfeita, ou também conhecida como de primeiro grau, é rara-mente permitida pela legisla¸cão ou então fact´ıvel. Mesmo sabendo do tipo dos consumidores a lei pode fazer com que a firma permita um outro consumidor adquirir o produto ao mesmo pre¸co.

Caso opte por oferecer o mesmo par de contratos para os consumidores o que gosta mais desse tipo de cerveja escolher´a a de menor qualidade:

2qL− tL= (θH− θL)qL> 0 = θHqH − tH 2 − 1 = (2 − 1) × 1 > 0 = 2 × 2 − 4.

O consumidor obteria uma utilidade de 1, ao inv´es de zero ao comprar a cerveja de menor qualidade, por´em mais barata.

A pergunta então é: Como a firma pode aumentar os seus lucros oferecendo um par de produtos tal que cada tipo de consumidor compre a garrafa de cerveja feita para o seu tipo. Ou dito de outra forma, qual a decisão ótima da firma levando em considera¸cão a restri¸cão de que ela não é capaz de discriminar os consumidores?

Podemos escrever o problema da firma nesse caso como: max qH,qL,tH,tL≥0 πL[tL− C(qL)] + (1 − πL) [tH − C(qH)] θLqL− tL≥ 0 : (Restri¸cão de Participa¸cão L) θHqH − tH ≥ 0 : (Restri¸cão de Participa¸cão H) θLqL− tL≥ θLqH − tH : (Restri¸cão de Incentivos L) θHqH − tH ≥ θHqL− tL: (Restri¸cão de Incentivos H)

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com os parâmetros do nosso problema: max qH,qL,tH,tL≥0 .9 tL− q_L2 2 + .1 tH − q_H2 2 qL− tL≥ 0 : (Restri¸cão de Participa¸cão L) : IRL 2qH− tH ≥ 0 : (Restri¸cão de Participa¸cão H) : IRH qL− tL≥ qH − tH : (Restri¸cão de Incentivos L) : ICL 2qH − tH ≥ 2qL− tL : (Restri¸cão de Incentivos H) : ICH

As duas primeiras restri¸cões são conhecidas como restri¸cões de participa¸cão ou de racionalidade. A interpreta¸cão dessas duas restri¸cões é que cada um dos tipos de consumidor deve preferir adquirir o produto do que não adquirir (sua op¸cão externa). As duas restri¸cões seguintes são as restri¸cões de incentivo. Elas são conhecidas como restri¸cões de incentivo, pois a qualidade e o pre¸co da cerveja de cada tipo tem que ser escolhida de forma a dar incentivo do determinado tipo escolher a cerveja (pacote) desenhada para esse tipo de consumidor não o outro. Por exemplo, a terceira restri¸cão implica que o consumidor que gosta mais da cerveja indian ale deve ter uma utilidade maior ao consumir a cerveja de alta qualidade do que a de baixa qualidade.

Esse problema pode ser simplificado utilizando as seguintes observa¸c˜oes:

• A restri¸cão de participa¸cão dos consumidores comuns é sempre ativa: tL= θLqL. • A restri¸cão de incentivos dos consumidores sofisticados é ativa: tH − tL= θH(qH − qL).

• A qualidade da cerveja comprada pelos consumidores sofisticados ´e maior do que a dos consumi-dores comuns: qH ≥ qL.

• A restri¸cão de incentivo dos consumidores comuns (ICL) e a restri¸cão de participa¸cão do consum-idor sofisticado (IRH) podem ser omitidas do problema.

• Os consumidores sofisticados adquirem um produto com a qualidade igual a aloca¸c˜ao eficiente (de informa¸c˜ao completa) no mercado: qH = q_H∗.

Sob essas condi¸c˜oes, que valem no ´otimo, o problema do principal pode ser escrito como: max

qL≥0

(π(θLqL− C(qL)) − (1 − π)(θH − θL)qL) .

Mas, antes, vamos provar as afirma¸c˜oes feitas acima.

Claim 1 A restri¸cão de participa¸cão dos consumidores comuns é sempre ativa: tL = θLqL (no nosso exemplo tL= qL.

Proof. Da restri¸c˜ao de incentivos do consumidor sofisticado: θHqH − tH ≥ θHqL− tL e utilizando o fato de que θH ≥ θL:

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Então, se a restri¸cão de participa¸cão do consumidor comum não estiver ativa θLqL− tL> 0, ou seja, ele prefira estritamente comprar o produto, a restri¸cão de participa¸cão do consumidor sofisticado também está ativa.

O vendedor pode aumentar o seu lucro aumentando tH e tL, pois não altera a decisão de ambos consumidores em comprar o produto. No ótimo tL= θLqL.

Claim 2 A restri¸c˜ao de incentivos dos consumidores sofisticados ´e ativa: tH − tL= θH(qH− qL).

Proof. Suponha que a restri¸cão de incentivo do consumidor sofisticado não está ativa: θHqH − tH > θHqL− tL

utilizando o fato de que θH > θL:

θHqH − tH > θHqL− tL≥ θLqL− tL= 0.

Novamente nós podemos aumentar o lucro do vendedor (principal) aumentando tH, pois as restri¸cões de incentivo e de participa¸cão do consumidor sofisticado continuam ativas. Assim, no ótimo: θHqH− tH = θHqL− tL ou tH− tL= θH(qH − qL).

Claim 3 A qualidade da cerveja comprada pelos consumidores sofisticados ´e maior do que a dos con-sumidores comuns: qH ≥ qL.

Proof. Adicionando as restri¸c˜oes de incentivo de ambos os consumidores: θLqL− tL+ θHqH − tH ≥ θLqH− tH+ θHqL− tL

θLqL+ θHqH ≥ θLqH + θHqL θH(qH − qL) ≥ θL(qH − qL). Como θH ≥ θL, no ´otimo qH − qL≥ 0.

Claim 4

A restri¸cão de incentivo dos consumidores comuns (ICL) e a restri¸cão de participa¸cão do consumidor sofisticado (IRH) podem ser omitidas do problema.

Proof. Um dos itens acima mostra que a restri¸c˜ao de incentivos do consumidor sofisticado est´a ativa. Assim, tH − tL= θH(qH − qL) utilizando a propriedade 3 (qH ≥ qL): tH− tL= θH(qH − qL) ≥ θL(qH − qL) tH − tL≥ θL(qH − qL) θLqL− tL≥ θLqH − tH

ou seja, a restri¸cão de incentivos dos consumidores comuns é sempre satisfeita e pode ser omitida. A demonstra¸cão da propriedade 1 também mostra que a restri¸cão de participa¸cão do consumidor sofisti-cado também pode ser descartada.

(12)

Claim 5 Os consumidores sofisticados adquirem um produto com a qualidade igual a aloca¸c˜ao eficiente (de informa¸c˜ao completa) no mercado: qH = q∗H.

Proof. Suponha por contradi¸cão que C0(qH) < θH. Então, o principal poderia cobrar um pouquinho a mais por um produto com qualidade a mais. Nesse novo mecanismo q_H0 = q2+ , t0H = tH + θH, então:

θHq0H− t0H = θHqH− tHθLqH0 − t0H = θLqH − tH − (θH − θL). Ent˜ao o novo mecanismo satisfaz todas as restri¸c˜oes do problema. Adicionalmente:

t0_H − C(q0_H) = tH− C(qH) + (θH − C0(qH)).

O novo mecanismo resulta em um lucro maior para o vendedor, o que contradiz o fato do mecanismo encontrado ser ´otimo.

Figure 2: Contratos sobre informa¸c˜ao incompleta

Esse conjunto de observa¸cões feitas acerca do problema do principal ajudam a reduzir bastante a dimensionalidade do problema. As seguintes equa¸cões são satisfeitas para as variáveis do problema:

tL= θLqL tH− tL= θH(qH∗ − qL) qH = q∗H(C0(qH∗) = θH)

substituindo essas restri¸c˜oes no problema do principal obtemos: max

qL≥0

(π(θLqL− C(qL)) − (1 − π)(θH − θL)qL) .

o primeiro termo ´e proporcional ao bem estar da sociedade dos consumidores comuns e o segundo termo representa o efeito sobre a restri¸c˜ao de incentivo do consumidor sofisticado ao aumentar qL. Note que ao aumentar a qualidade da cerveja ruim esta se torna mais atraente para o consumidor sofisticado.

A condi¸c˜ao de primeira ordem ´e:

C0(qL) = θL− 1 − α

α (θH− θL) ≤ θL.

A quantidade qL < q1∗ no caso de informa¸c˜ao completa. A qualidade da cerveja vendida aos con-sumidores comuns ´e menor do que a quantidade eficiente.

Em resumo:

• O consumidor do tipo sofisticado recebe uma aloca¸c˜ao eficiente.

• O consumidor do tipo sofisticado est´a indiferente entre o seu pacote (cerveja) e a do tipo comum. • O consumidor do tipo sofisticado recebe uma renda informacional (1−π

π (θH − θL)), ou seja, paga menos do que na aloca¸c˜ao eficiente de informa¸c˜ao completa.

(13)

4.1.2 Seguros

Um outro exemplo bastante estudado do problema de sele¸cão adversa são os seguros. Nessa se¸cão consideramos o problema de uma seguradora que é monopolista e serve a uma popula¸cão que pode ser dividida em dois de acordo com sua classe de risco. Ou seja, cada pessoa da popula¸cão pode ser classificada como sendo de baixo ou alto risco.

Para tornar esse problema mais concreto, considere o caso de uma seguradora de ve´ıculos. Cada pessoa possui um carro que vale W e caso ocorra um sinistro, o carro pode ser vendido por W − d, ou seja, perde d no seu valor.

Um contrato de seguro pressupõe o pagamento de um prêmio q (pagamento pela apólice de seguro) e um pagamento da seguradora ao segurado de R (reembolso) no caso da ocorrência de um sinistro. Tanto q quanto R são variáveis de escolha da seguradora e caracterizam a apólice.

A riqueza final quando ocorre um sinistro para o segurado ´e de: WA= W − d − q + R e quando n˜ao ocorre um sinistro:

WN = W − q.

A fun¸cão utilidade dos consumidores de ambos os tipos é u(w) = ln(1 + w) e a probabilidade de um acidente para os tipos com alto risco é de pH e para os de baixo risco pL, onde pH > pL.

A utilidade de reserva, ou seja, a utilidade de um agente que n˜ao contrata o seguro ´e de: piln(W − d) + (1 − pi)ln(W )

e esse valor depende da classe de risco do agente.

Se a seguradora tivesse como saber qual o tipo de cada agente o contrato seria tal que: pi p W − d − q + R + (1 − pi) p W − q = pi √ W − d + (1 − pi) √ W pi( p W − d − q + R −√W − d) + (1 − pi)( p W − q − √ W ) = 0 lucro π = q − pR

(14)

´ Otimo social: piln(W − d − q + R) + (1 − pi)ln(W − q) + q − pR q: pi W − d − q + R+ 1 − pi W − q = 1 R: 1 W − d − q + R = 1 1 = W − d − q + R q = W − d + R − 1 pi W − d − (W − d + R − 1) + R+ 1 − pi W − (W − d + R − 1) = 1 (d − R + 1)pi+ 1 − pi= d − R + 1 R(−p + 1) = d − dp R(−p + 1) = d(1 − p) R = d q = W − d + d − 1 q = W − 1

No ´otimo sob o ponto de vista social existe um seguro perfeito ao agente. Este paga W − 1 pelo seguro. O lucro da firma ´e de π = W − 1 − pd e a utilidade dos agentes pln(W − (W − 1)) + (1 − p)ln(W − (W − 1)) = 0.

Infelizmente, sob informa¸cão assimétrica sobre o tipo de cada agente essa não será a decisão em equil´ıbrio da seguradora. O problema da seguradora pode ser escrito da mesma forma como escrevemos o problema da firma na última se¸cão. Ela escolherá de forma ótima dois contratos de seguro (RH, qH) e (RL, qL) de tal forma que os agentes com risco alto escolham (RH, qH) e os agentes com risco baixo escolham (RL, qL). max qH,qL,RH,RL α(qH− pHRH) + (1 − α)(qL− pLRL)) pLln(W − d − qL+ RL) + (1 − pL) ln(W − qL) ≥ pLln(W − d) + (1 − pL) ln(W ) : (IR L) pHln(W − d − qH+ RH) + (1 − pH) ln(W − qH) ≥ pHln(W − d) + (1 − pH) ln(W ) : (IR H) pLln(W − d − qL+ RL) + (1 − pL) ln(W − qL) ≥ pLln(W − d − qH+ RH) + (1 − pL) ln(W − qH) : (IC H) pHln(W − d − qH+ RH) + (1 − pH) ln(W − qH) ≥ pHln(W − d − qL+ RL) + (1 − pH) ln(W − qL) : (IC L)

Novamente esse problema é bastante complicado e muitas vezes imposs´ıvel de ser resolvido ana-liticamente (como nesse caso). De qualquer forma, os mesmos resultados encontrados na última se¸cão podem ser aplicados. Nos resta identificar quem fará o papel do consumidor comum no caso dos seguros. O problema para a lucratividade da empresa surge quando os agentes com risco alto compram o seguro desenhado para os consumidores de risco baixo. Assim, a restri¸cão de incentivos dos agentes com risco alto deve estar ativa. Por outro lado, os agentes com baixo risco são os mais propensos a desistir da compra da apólice de seguros, então eles devem estar pelo menos indiferentes entre adquirir o seguro ou não. A sua restri¸cão de participa¸cão deve estar ativa.

• A restri¸cão de participa¸cão dos agentes com risco baixo é sempre ativa. • A restri¸cão de incentivos dos agentes com risco alto é ativa.

(15)

• Será oferecido aos agentes com risco alto uma apólice de seguro total (igual a decisão ótima da firma sob informa¸cão completa).

• Os participantes com risco alto ter˜ao um excedente positivo. Esses resultados podem ser representados graficamente:

Figure 3: Contratos ´otimos em seguros sobre informa¸c˜ao incompleta

4.2 Sinaliza¸c˜ao

Os modelos de sele¸cão adversa apresentados na última subse¸cão capturam idéias bastante gerais so-bre o que pode acontecer quando o agente (seguidor) tem mais informa¸cão sobre uma determinada caracter´ıstica que afeta o seu payoff do que o principal (l´ıder).

O problema é que esse tipo de modelo não nos ajuda a entender situa¸cões onde a parte informada age primeiro ou então quando é do interesse da parte informada se diferenciar. Um exemplo disso são as garantias de carros usados para diferenciar entre carros de boa ou má qualidade (Akerlof) e educa¸cão como mecanismo de sinaliza¸cão no mercado de trabalho (Spence). Estudaremos ambas as situa¸cões a seguir.

4.2.1 Mercado de Carros Usados (Akerlof )

Imagine que em um mercado de carros usados existem carros bons e ruins. Os carros ruins são aqueles que dado o seu histórico de uso apresentam um custo de manuten¸cão esperado maior. Um carro bom vale G para o comprador e g para o vendedor, onde G > g. Por outro lado, um carro ruim vale L para o comprador e l para o vendedor, onde L > l. Além disso, G > L e g > l.

Se a qualidade do carro fosse perfeitamente observada a competi¸c˜ao entre os compradores faria com que o carro bom fosse vendido por G, enquanto o carro ruim por L.

O problema é que a qualidade do carro sendo negociado só é de conhecimento do vendedor e este tem incentivo a mentir sobre a qualidade do carro sendo negociado, pois este aumenta o seu lucro. Caso não exista nenhuma forma do vendedor de carros sinalizar a qualidade do ve´ıculo temos dois equil´ıbrios poss´ıveis:

• p = L, se qG + (1 − q)L < g. Assim, L < g e nenhum carro bom ´e vendido em equil´ıbrio.

• p = qG + (1 − q)L, se qG + (1 − q)L ≥ g. Ambos os tipos de carros são vendidos, mas a qualidade não é revelada em equil´ıbrio.

Ao vender um carro por p < g, o vendedor acaba informando que o carro é de péssima qualidade. Se o vendedor aceitasse negociar um carro de boa qualidade por esse pre¸co ele estaria incorrendo em um preju´ızo, o que não é racional.

No segundo caso, como a propor¸cão de carros bons é de q, o pre¸co esperado levando em considera¸cão o desconhecimento dos consumidores é de qG + (1 − q)L. O vendedor estaria disposto a vender o carro de boa qualidade por esse pre¸co, pois é maior do que g.

No primeiro equil´ıbrio, devido ao problema informacional, nenhum carro de boa qualidade é vendido. Esse resultado é bastante ruim sob o ponto de vista da sociedade, pois existe um tipo de bem (carro bom) que seria vendido, mas não é devido à incapacidade do vendedor convencer o cliente de forma cr´ıvel que o carro é de boa qualidade.

(16)

Agora suponha que o vendedor de carros pode oferecer uma garantia ao consumidor para tentar convencê-lo de que o carro é de boa qualidade. Por exemplo uma garantia de x anos tem um custo de x reais em termos esperados quando o carro é de boa qualidade e de 2x quando o carro é de má qualidade. Ao ser oferecido um carro com garantia de x anos tal que os consumidores acreditem que este é de boa qualidade, este é vendido por G.

A pergunta então é quando o vendedor terá incentivos para dar garantia na venda de um carro. Fixe o primeiro caso qG + (1 − q)L < g, onde não existem incentivos para os vendedores colocarem os carros de boa qualidade a venda. O lucro ao vender um carro de má qualidade sem garantia é de L − l para o vendedor. Assim, o valor máximo que o vendedor estaria disposto a dar de garantia para convencer o cliente de que esse carro é de boa qualidade é:

G − 2x − l ≥ L − l G − L ≥ 2x x ≤ G − L

2

Para todo x ≤ G−L₂ o vendedor tem incentivos a oferecer garantia para o produto de má qualidade e tentar convencer o comprador de que ele é de boa qualidade. Por outro lado, ao oferecer uma garantia de x = G−L₂ o lucro do vendedor ao comercializar um carro de boa qualidade é de G−G−L₂ −g = G+L₂ −g. Se esse valor for positivo, o vendedor oferecerá garantia para os carros de boa qualidade e os consumidores terão a certeza de que esse de fato é um carro de boa qualidade. O pre¸co para enganar os consumidores é muito caro e se o vendedor fizer isso ele terá um preju´ızo. Esse é um equil´ıbrio para o caso onde garantias podem ser oferecidas. Note que quando x ≤ G−L₂ o consumidor não consegue ter certeza de que este é um carro de qualidade, então o pre¸co em equil´ıbrio é igual a qG + (1 − q)L e os carros de boa qualidade não serão oferecidos.

A segunda quest˜ao ´e se o equil´ıbrio ”pooling” do segundo caso qG + (1 − q)L < g pode ser quebrado quando existe a possibilidade de oferecer garantia.

A maior garantia que o vendedor estaria disposto a dar para que o consumidor acreditasse que o carro ´e de boa qualidade:

G − 2x − l ≥ qG + (1 − q)L − lx ≤ (1 − q)(G − L)

2 .

Por outro lado, ao oferecer uma garantia de x = (1−q)(G−L)₂ o lucro do vendedor ´e de:

G −(1 − q)(G − L) 2 − g ≥ qG + (1 − q)L − g (1 − q)G − (1 − q)L − (1 − q)(G − L) 2 ≥ 0 (1 − q)(G − L) 2 ≥ 0.

Então os vendedores oferecerão uma garantia de x = G−L₂ e o equil´ıbrio ”pooling” será quebrado.

4.2.2 Educa¸c˜ao como sinaliza¸c˜ao no mercado de trabalho (Spence)

Suponha que existam dois tipos de agente com produtividade no trabalho igual a θ1 ou θ2, onde θ1 < θ2. Cada pessoa pode escolher investir um número de anos e em educa¸cão através de cursos

(17)

diversos (gradua¸cão, pós e cursos de extensão). Os valores são normalizados tal que θi ∈ (0, 1] e e ∈ [0, 1].

A utilidade desse agente ´e:

ui(w, e) = w + 1 − e

θi

Note que um aumento na educa¸c˜ao tem um impacto negativo ∂ui

∂e < 0 e que quanto maior for a produtividade, menor o custo de aumentar a educa¸c˜ao ∂ui

∂e∂θ < 0. A quantidade de educa¸cão que uma pessoa tem é uma informa¸cão pública.

Uma pessoa que entra no mercado de trabalho com quantidade de educa¸cão e é oferecida um salário: w(e) = µ(e)θ1+ (1 − µ(e))θ2.

Onde µ(e) ´e a cren¸ca da firma sobre o funcion´ario ter uma produtividade θ1. A firma inicia esse jogo com uma cren¸ca µ0.

Um equil´ıbrio nesse mercado é composto pela estratégia de cada tipo de empregado (e∗₁, e∗₂) e uma cren¸ca da firma µ∗ tal que os empregados maximizem a sua utilidade e a cren¸ca seja consistente com a estratégia adotada em equil´ıbrio.

e∗_i ∈ arg max e ui(w

∗_{(e), e) = w}∗_{(e) +}1 − e θi A fun¸cão salário oferecida aos trabalhadores w∗(e) é tal que:

w∗(e) = µ∗(e)θ1+ (1 − µ∗(e))θ2. Por outro lado, se e∗₁ 6= e∗₂ temos

µ(e) = (

1 se e = e∗₁ 0 se e = e∗₂

Se e∗₁ = e∗₂, ent˜ao µ∗(e) = µ0. Ou seja, ao observar a quantidade de estudo de um determinado candidato a firma n˜ao tem como saber se ele possui produtividade alta ou baixa.

Esse modelo possui dois tipos de equil´ıbrio. O primeiro é quando os tipos dos agentes decidem por a¸cões diferentes em equil´ıbrio. Esse tipo de equil´ıbrio é conhecido como equil´ıbrio separador. O segundo tipo é quando os dois tipos de agente escolhem a mesma quantidade de educa¸cão em equil´ıbrio. Esse tipo de equil´ıbrio é conhecido como equil´ıbrio ”pooling”. Primeiro vamos investigar os equil´ıbrios separadores.

Em um equil´ıbrio separador, dado uma cren¸ca µ, cada tipo de agente deve preferir receber o salário e passar pela quantidade de educa¸cão definida para o seu tipo. As duas restri¸cões de incentivo devem ser satisfeitas.

O agente com produtividade baixa θ1 preferir´a o sal´ario escolhido para ele se:

θ1+ 1 θ1 ≥ θ₂+1 + e1 θ1 e∗₁ ≥ θ₁(θ2− θ1)

(18)

Se a quantidade de educa¸c˜ao exigida para se passar por uma pessoa de produtividade alta for menor do que θ1(θ2− θ1) esse tipo de agente estaria disposto a obter o diploma e1.

Efetuando a mesma an´alise para o tipo com produtividade alta obtemos: θ2+ 1 − e2 θ2 ≥ θ1+ 1 θ2 e∗₂ ≤ θ2(θ2− θ1).

Quando a quantidade de educa¸cão exigida para acreditar que o candidato possui um produtividade alta é muito grande, até mesmo esse tipo de agente decide por não obter o diploma.

Os valores de e∗₁ e e∗₂ estabelecem limites inferiores e superiores para a quantidade de educa¸cão exigida para conseguir diferenciar os dois tipos de candidatos. Assim, quando e < e1 o tipo baixo decide se educar. Por outro lado, se e > e2 até mesmo o tipo produtivo não opta por não obter o diploma.

No equil´ıbrio separador e∗₁= 0, e∗₂ > e1 e µ∗(e) = 1 se e = e∗2 e 0 caso contr´ario.

Em um equil´ıbrio ”pooling”, ambos os tipos de candidatos escolhem a mesma quantidade de ed-uca¸cão. Esse número máximo de anos de estudo ep é tal que:

µ0θ1+ (1 − µ0)θ2+ 1 − ep θ1 = θ1+ 1 θ1 ep = θ1(1 − µ0)(θ2− θ1).

Ao observar uma quantidade de educa¸cão igual a zero o empregador sabe que se trata de um candidato com baixa produtividade. Porém, na medida em que as cren¸cas são tais que ao escolher uma educa¸cão de ep o tipo de baixa produtividade consegue obter um salário µ0θ1 + (1 − µ0)θ2 esse tipo optará por ep. O tipo com alta produtividade sempre escolhe ep quando este é menor do que ep, pois o salário médio é maior do que θ1.

4.3 Perigo Moral

A classe de modelos de perigo moral compreendem todas as situa¸cões onde a a¸cão de um agente afeta a sua utilidade e a de outro agente, e essa a¸cão não é observada, só o seu resultado.

Um bom exemplo de situa¸cões envolvendo perigo moral é a rela¸cão entre os acionistas e os gerentes de uma empresa. A a¸cão dos gerentes não é observada pelos acionistas. Eles só conseguem observar o resultado do trabalho do gerente (venda, lucratividade etc). Um outro exemplo é a rela¸cão entre um paciente e o médico. O médico não observa se o paciente tomou os remédios corretamente ou se ele seguiu as suas orienta¸cões, a única coisa que ele observa é o seu estado de saúde.

No modelo que estudaremos existe um empregado e o dono da empresa (empresário). O empregado escolhe entre trabalhar e = 1 ou não e = 0. A utilidade do agente é:

u(w) − a

, onde u(w) é uma fun¸cão estritamente côncava (√w, por exemplo). O empregador (principal) observa somente se o agente tem sucesso ou fracasso na tarefa sendo realizada. Se o agente trabalhar, a proba-bilidade de sucesso é de P e o empregador recebe um payoff xS. Se ele não trabalhar, a probabilidade de sucesso cai para p < P e o payoff do principal é de xF em caso de fracasso na execu¸cão da tarefa. O valor de xF < xS.

(19)

O empresário decidirá os salários wS e wF de forma a incentivar o empregado a trabalhar. A restri¸cão de incentivos pode ser escrita como:

P u(wS) + (1 − P )u(wF) − 1 ≥ pu(wS) + (1 − p)u(wF) que pode ser reescrita como

(P − p)(u(wS) − u(wF)) ≥ 1

A diferen¸ca entre wS e wF aumenta a medida em que P fica mais pr´oximo de p, pois se torna mais dif´ıcil discernir se o agente trabalhou ou n˜ao.

Além da restri¸cão de incentivos, existe a restri¸cão de participa¸cão. O empregado pode em algum momento pedir demissão e procurar um emprego em outro lugar obtendo utilidade u.

P u(wS) + (1 − P )u(wF) − 1 ≥ u

No n´ıvel de salários ótimo, ambas as restri¸cões vão ser satisfeitas com igualdade. O lucro do empresário é de

W1= P (xS− wS) + (1 − P )(xF − wF).

As duas restri¸cões (participa¸cão e de incentivos) resultam em duas equa¸cões com duas variáveis u(wS) e u(wF). Assim, resolvendo para essas variáveis:

u(wF) = u − p P − p u(wS) = u + 1 − p P − p

O problema é que talvez induzir o agente a trabalhar seja muito caro. Nesse caso, o empresário pode decidir por oferecer um salário tal que wF = wS = w e u(w) = u. O lucro da firma nesse caso é de:

W0= pxS+ (1 − p)xF − w

A diferen¸ca entre o lucro do empres´ario nos dois casos ´e de:

W1− W0 = (P − p)(xS− xF) + w − P wS− (1 − P )wF.

Na medida em que o sucesso é mais atraente do que o fracasso para o empresário xS− xF é grande o empresário vai optar por fazer o agente trabalhar.