Um estudo sobre derivadas fuzzy e condições de otimalidade para problemas de programação não linear fuzzy

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

NILMARA DE JESUS BISCAIA PINTO

Um Estudo sobre Derivadas Fuzzy e Condições

de Otimalidade para Problemas de

Programação Não Linear Fuzzy

Campinas

2017

Um Estudo sobre Derivadas Fuzzy e Condições de

Otimalidade para Problemas de Programação Não Linear

Fuzzy

Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestra em Matemática Aplicada.

Orientador: Estevão Esmi Laureano

Coorientador: Laecio Carvalho de Barros

Este exemplar corresponde à versão

final da Dissertação defendida pela

aluna Nilmara de Jesus Biscaia Pinto

e orientada pelo Prof. Dr. Estevão

Esmi Laureano.

Campinas

2017

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Pinto, Nilmara de Jesus Biscaia,

P658e PinUm estudo sobre derivadas fuzzy e condições de otimalidade para

problemas de programação não linear fuzzy / Nilmara de Jesus Biscaia Pinto. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

PinOrientador: Estevão Esmi Laureano. PinCoorientador: Laecio Carvalho de Barros.

PinDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Pin1. Otimização fuzzy. 2. Condições de otimalidade. 3. Derivadas interativas. 4. Derivadas por projeções. I. Estevão, Esmi,1982-. II. Barros, Laecio Carvalho de,1954-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: On fuzzy derivatives and optimality conditions for fuzzy nonlinear

programming problems

Palavras-chave em inglês:

Fuzzy optimization Optimality conditions Interactive derivatives Derivatives via projections

Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Mestra em Matemática Aplicada Banca examinadora:

Estevão Esmi Laureano [Orientador] Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira Lucelina Batista dos Santos

Data de defesa: 13-03-2017

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof.(a). Dr(a). ESTEVÃO ESMI LAUREANO

Prof.(a). Dr(a). AURELIO RIBEIRO LEITE DE OLIVEIRA

Prof.(a). Dr(a). LUCELINA BATISTA DOS SANTOS

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros

A Deus, por todas as pessoas que, carinhosamente, foram colocadas na minha vida.

Aos meus pais, que são minha vida, deram-me asas para voar, e sempre são o ninho para onde voltar.

Aos meus antigos amigos, que mesmo distantes são presentes. São presentes e abraços distantes.

Aos novos amigos que, bem-humoradamente, tornaram as pressões suportáveis. Aos professores, em particular, Lucelina Batista dos Santos, Estevão Esmi Laureano e Laecio Carvalho de Barros, pelos ensinamentos e salvamentos.

O trabalho se propõe a investigar as condições de otimalidade para o problema de programação não linear sob incertezas. Para tanto, são descritas as condições de Karush-Kuhn-Tucker para o problema clássico, e analisados os aspectos sob os quais é possível exportar tais resultados para o caso fuzzy, isto é, o caso em que a função objetivo e as restrições de desigualdade são dadas por funções que tomam valores no conjunto de números fuzzy. Fez-se necessário o estudo de conceitos de conjuntos fuzzy, dentre eles ordem parcial, limites e derivadas de Hukuhara, Hukuhara generalizada e interativa. Foram obtidas condições KKT em termos das derivadas parciais interativas da função fuzzy objetivo. Diante da dificuldade de calcular derivada para funções fuzzy, buscou-se uma nova abordagem via limites de soluções de problemas de otimização.

Palavras-chave: Otimização fuzzy. Derivada interativa. Derivada por projeções. Condições de otimalidade.

This work aims to investigate optimality conditions for the nonlinear programming problem under uncertainties. We analyze the theoretical aspects of the Karush-Kuhn-Tucker first-order conditions for the classical problem in first-order to obtain similar conditions for the fuzzy case, that is, the case where the objective function and the inequality constraints are given by fuzzy-number-valued functions. To this end, we review some basic concepts of fuzzy calculus such as partial order, limits, and (Hukuhara, generalized Hukuhara, and interactive) derivatives. In particular, we develop the KKT conditions in terms of the partial interactive derivative of the objective fuzzy-number-valued function. Finally, we introduce a new approach to define a derivative for fuzzy-number-valued function based on limits of solutions of optimization problems.

Keywords: Fuzzy optimization. Interactive derivative. Derivative via projection. Opti-mality conditions.

Figura 1 – Exemplos de conjuntos fuzzy sobre a reta real . . . 21

Figura 2 – Conjunto de nível para α arbitrário . . . 21

Figura 3 – Conjuntos de nível encaixantes . . . 22

Figura 4 – Exemplo de função fuzzy . . . 29

Figura 5 – Exemplo de função fuzzy sem limite em um ponto . . . 29

Figura 6 – Exemplo de função fuzzy descontínua . . . 30

Figura 7 – Existência da Derivada de Hukuhara . . . 34

Figura 8 – Não existência da diferença de Hukuhara generalizada . . . 36

Figura 9 – Distribuição de possibilidade conjunta . . . 38

Figura 10 – Números fuzzy completamente negativamente correlacionados . . . 39

Figura 11 – Função diferenciável convexa. . . 52

Figura 12 – Condições de Karush-Kuhn-Tucker em R3 . . . 53

Figura 13 – Comparação entre dois números fuzzy . . . 54

Figura 14 – Números fuzzy não comparáveis . . . 55

Figura 15 – Restrição de desigualdade satisfeita . . . 55

Figura 16 – Não ocorrência de mínimo . . . 56

Figura 17 – Diagrama de composição da função auxiliar . . . 58

χA Função característica do conjunto A cltAu Fecho do conjunto A

Bpx, q Bola aberta de centro em x e raio  FpXq Conjunto de conjuntos fuzzy sobre X pa, b, cq Número fuzzy triangular para a ď b ď c pa, b, c, dq Número fuzzy trapezoidal para a ď b ď c ď d

RF Conjunto de números fuzzy

RnF Produto cartesiano de n conjuntos RF

FJpRnq Família de todas as distribuições de possibilidade de Rn

‘ Soma via extensão de Zadeh

d Produto por escalar via extensão de Zadeh

^ Ínfimo

r

f Função que assume valores no conjunto de números fuzzy r

f_αL Extremo inferior do conjunto de nível α de rf

r

f_αU Extremo superior do conjunto de nível α de rf intpΩq Interior do conjunto Ω

∇ Gradiente

∇2 _Hessiana

vt Transposto de v

dF Distância no conjunto de números fuzzy

C1 Espaço de funções continuamente diferenciáveis

J Distribuição de possibilidade

C Distribuição de possibilidade conjunta para números fuzzy completa-mente correlacionados

DH Derivada de Hukuhara

∇H Gradiente com respeito a derivada de Hukuhara agH Diferença de Hukuhara generalizada

DgH Derivada de Hukuhara generalizada

∇gH Gradiente com respeito a derivada de Hukuhara generalizada aJ Diferença interativa

DJ Derivada interativa

aC Diferença correlacionada DC Derivada correlacionada

∇C Gradiente com respeito a derivada correlacionada Ipxq Conjunto de restrições ativas no ponto x

Introdução . . . 15

1 CONCEITOS BÁSICOS DE CONJUNTOS FUZZY . . . 17

1.1 Conjuntos parcialmente ordenados . . . 17

1.2 Conjuntos fuzzy. . . 19

1.3 Números fuzzy . . . 23

1.4 Princípio de extensão de Zadeh . . . 26

1.5 Cálculo para funções fuzzy . . . 28

2 DERIVADAS PARA FUNÇÕES FUZZY . . . 32

2.1 Derivada de Hukuhara . . . 32

2.2 Derivada de Hukuhara generalizada . . . 34

2.3 Interatividade . . . 37

2.3.1 Números fuzzy interativos . . . 37

2.3.2 Princípio de extensão para conjuntos fuzzy interativos. . . 39

2.3.3 Derivada interativa . . . 40

2.4 Derivadas parciais . . . 42

2.4.1 Derivada parcial de Hukuhara . . . 43

2.4.2 Derivada parcial de Hukuhara generalizada. . . 44

2.4.3 Derivada parcial interativa . . . 45

3 CONDIÇÕES DE OTIMALIDADE . . . 48

3.1 Condições de otimalidade para problemas de programação não linear 49 3.2 Condições de otimalidade para problemas de programação não li-near fuzzy . . . 53

3.2.1 O problema de programação linear fuzzy . . . 53

3.2.2 Ordem parcial . . . 54

3.2.3 Função auxiliar . . . 56

3.2.4 Condições de otimalidade considerando a derivada de Hukuhara . . . 58

3.2.4.1 Condições necessárias . . . 60

3.2.4.2 Condições suficientes . . . 61

4 CONDIÇÕES DE OTIMALIDADE POR DERIVADAS INTERATI-VAS E UMA INTRODUÇÃO A DERIVADA POR PROJEÇÕES . . 63

4.1 Condições de otimalidade considerando a derivada interativa . . . . 63

Introdução

A programação não linear consiste de problemas nos quais se pretende otimizar – minimizar – uma função real não linear, sujeita a restrições também descritas por funções reais. A fim de garantir a existência e unicidade de soluções para o problema, são estabelecidas as condições de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) (KUHN; TUCKER, 1950), que também fornecem critérios para procurar tais soluções, desde que as funções sejam diferenciáveis.

Há diversas maneiras de abordar problemas de programação não linear conside-rando que as funções envolvidas – no objetivo e nas restrições – tem intrínseca imprecisão. Uma delas é usando variáveis aleatória para, através da teoria de probabilidades, fazer otimização estocástica (BIRGE; LOUVEAUX, 1997). Outra possibilidade é considerar que as funções utilizadas são intervalares, cujos resultados são dados pela otimização intervalar (HANSEN; WALSTER,2004). Há também a possibilidade de modelar incertezar e subjetividades fazendo uso da teoria de conjuntos fuzzy.

Os conjuntos fuzzy foram definidos por Lofti A. Zadeh em 1965 (ZADEH,1965). Inicialmente houveram muitas críticas ao seu trabalho, mas após mais artigos terem sido publicados, foi crescendo a adesão de engenheiros e matemáticos à essa nova noção de conjunto – e à lógica subjacente. Isto porque notou-se o potencial dessa teoria, que procura expressar em termos matemáticos adjetivos comuns à fala e ao pensamento humano, ou seja, carregados de inexatidão. Por consequência disto, as aplicações se dão em diversas áreas, como em redes neurais, controladores e tomadas de decisão (PEDRYCZ; GOMIDE,

2007), e em modelagem biomatemática (BARROS; BASSANEZI, 2015).

Para o problema de programação não linear fuzzy, encontrar suas condições de otimalidade inclui estudar diferencibilidade para funções que assumem valores fuzzy. Baseado no proposto por (WU, 2008) e (PATHAK; PIRZADA, 2011), revisa-se aqui a derivada de Hukuhara, de Hukuhara generalizada e a derivada interativa (BARROS; PEDRO,2016). Procurando entender como estender as condições encontradas pelo primeiro, para o caso que as funções fuzzy envolvidas são interativas e diferenciáveis segundo a derivada interativa.

Nota-se que a dificuldade encontrada ao definir derivada para funções fuzzy se dá porque a operação diferença entre conjuntos não atende a exigências intuitivas. Buscando evitar tal operação, propõe-se uma nova interpretação da derivada, que recorre a soluções de problemas de projeção, ainda sem resultados conclusivos.

Para tais fins, o Capítulo 1 destina-se a introduzir os conceitos básicos de conjuntos fuzzy, e em particular, de números fuzzy, com os resultados relativos aos

conjuntos de nível. São estabelecidas a métrica, e noções estendidas de cálculo.

São estudadas, no Capítulo 2, as derivações simples e parciais de Hukuhara, Hu-kuhara Generalizada e Interativa, procurando estabelecer resultados quanto aos conjuntos de nível de tais operadores.

No Capítulo 3 enuncia-se o problema de programação não linear em sua versão clássica e o Teorema KKT, segundo (MANGASARIAN, 1934), para depois dissecar a versão para o problema fuzzy usando a derivada de Hukuhara, escolhendo uma ordem parcial adequada e uma função auxiliar que permite relacionar os problemas clássico e fuzzy, segundo os resultados de (WU, 2008) e (PATHAK; PIRZADA, 2011).

O Capítulo 4traz as contribuições deste trabalho para o estudo de problemas de otimização fuzzy e de derivadas para funções fuzzy. Usando procedimento análogo ao analisado no Capítulo 3, condições de KKT são enunciadas e provadas considerando funções fuzzy que possuem derivada interativa. Em seguida, propõe-se uma nova forma de explorar a derivada fuzzy, evitando a utilização do operador de diferença entre conjuntos, e apelando para limites de soluções de problemas de minimização, a saber, o problema de projeção.

1 Conceitos Básicos de Conjuntos Fuzzy

Um passo importante na tentativa de formular um modelo matemático ( BAS-SANEZI, 2004) que descreva um fenômeno observado pela comunidade acadêmica, ou não, é procurar simplificar as informações que se tem a respeito. Ou seja, retirar o que se considera supérfluo para a análise do processo envolvido. Faz-se então uma primeira aproximação e, em seguida, uma comparação com os dados reais. A partir das falhas apresentadas nesse teste, procura-se aperfeiçoar o modelo, buscando encontrar relações, equações e resultados mais verossímeis.

Este esforço, todavia, pode levar a modelos matemáticos inviáveis, ou porque ainda não há técnicas para estudar analiticamente o modelo, ou porque a implementação computacional é dispendioso em demasia. Contenta-se então com modelos parciais, no sentido de que são descritas apenas parte dos fatos, e através de análises estatísticas, analisa-se a frequência com que o modelo falha.

Em tradução literal, Albert Einstein disse “Quando as leis matemáticas se referem a realidade, não estão exatas. E quando estão exatas, não se referem a realidade” (EINSTEIN,1921). É dessa tentativa de tornar os modelos matemáticos mais próximos à

realidade que surge e toma força a teoria de conjuntos fuzzy. Sua intrínseca capacidade de lidar com objetos subjetivos e imprecisos fez com que os receios iniciais à esse nova teoria dessem lugar a uma ampla utilização de sistemas de base de regras fuzzy e controladores fuzzy por pesquisadores e indústrias de diversos setores.

A formalização de conjunto fuzzy, feita por Zadeh em 1965 (ZADEH, 1965), junto com os demais resultados básicos são as ferramentas que usaremos para tratar a incerteza em problemas de otimização não linear. Para tal fim, primeiramente, são feitas algumas considerações sobre conjuntos parcialmente ordenados e funções monótonas, que darão base suficiente para a continuidade dos demais capítulos. E depois destrinchamos as noções de número fuzzy e α-nível. Por fim, introduzida uma métrica baseada na distância de Hausdorff, trataremos de reconstruir definições usuais do cálculo – limite e continuidade – para o caso em que as funções são fuzzy.

1.1

Conjuntos parcialmente ordenados

Iniciamos essa seção definindo alguns conceitos básicos de teoria de reticulados (BIRKHOFF, 1979).

Definição 1.1. Um conjunto X dotado de uma relação binária ď (ou ě) reflexiva,

x, y P X, temos x ď y ou y ď x, então X é dito um conjunto totalmente ordenado, ou uma cadeia.

A relação estrita ă (ou ą) é obtida quando x ď y (ou x ě y), mas x ‰ y, ou seja, é excluída a possibilidade de x e y serem iguais.

Exemplo 1.1. Um exemplo de cadeia é o conjunto de números reais R com a ordem usual.

Mais a frente veremos que é possível ordenar números fuzzy segundo ordens parciais convenientes.

Definição 1.2. Seja Y um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado X, dizemos

que y P Y é elemento minimal de Y se não existe outro elemento z P Y tal que z ă y. De forma semelhante, y P Y é elemento maximal de Y se não existe z P Y tal que z ą y.

Usando relação de ordem, podemos caracterizar a monotonicidade de funções.

Definição 1.3. Sejam X e Y dois conjuntos parcialmente ordenados, segundo as relações

ďX e ďY respectivamente. Uma função f : X Ñ Y é crescente se para todos x, z P X com x ďX z, tem-se f pxq ďY f pzq. Caso x ăX z implique f pxq ăY f pzq, f é dita estritamente crecente.

A função é entendida como sendo decrescente se para x ďX z, sempre ocor-rer que f pxq ěY f pzq; caso x ăX z implique f pxq ąY f pzq, a função é estritamente decrescente.

Como X e Y podem ter estruturas bem distintas, é importante ter claro que existe a possibilidade de suas ordens parciais ser diferentes, aqui dadas por ďX e ďY.

Proposição 1.1. Seja f : X Ñ Y uma função estritamente crescente em Z, se f pzq é elemento minimal de f pZq, então z P Z é elemento minimal de Z .

Demonstração. Tomemos z P Z tal que f pzq é elemento minimal de f pZq, e suponhemos

que z não é elemento minimal de Z, isto é, existe x P Z tal que x ă z. O fato de que f é estritamente crescente garante que teremos f pxq ă f pzq, o que é uma contradição com a hipótese assumida de que f pzq é elemento minimal de f pZq. Assim, z é elemento minimal de Z.

Definição 1.4. Um elemento x P X é dito limitante inferior (ou superior) do conjunto

parcialmente ordenado Y Ď X se x ď y (x ě y) para todos y P Y .

Sejam y, z P Y , se y ď w e w ď z para quaisquer w P Y , então y é dito o

mínimo, e z o máximo elemento de Y . Caso o conjunto de limitantes inferiores de Y

tenha máximo, digamos y, ele é chamado ínfimo de Y . Da mesma forma, se y é o mínimo elemento do conjunto de limitantes superiores de Y , ele é dito supremo de Y .

Um conjunto parcialmente ordenado L tal que todos subconjuntos finitos Y tem ínfimo, sinalizado por ^Y , e supremo, _Y , em L é nomeado um reticulado. Se todos os subconjuntos – finitos ou não – tem supremo e ínfimo, então temos um reticulado

completo.

Em particular, todo conjunto totalmente ordenado é um reticulado. Como exemplo de reticulado completo temos os intervalos fechados, com a ordem usual.

Os conjuntos fuzzy, que serão apresentados a seguir, podem ser parcialmente ordenados de diversas formas, uma delas será apresentada no Capítulo 3.

1.2

Conjuntos fuzzy

A comunicação entre as pessoas se dá, constantemente, por expressões e afir-mações de caráter subjetivo, que a teoria de conjuntos clássica não consegue reproduzir. A teoria de conjuntos fuzzy, por sua vez, procura abarcar situações que podem ser represen-tadas por valores lógicos distintos de – apenas – 0 e 1.

Definição 1.5. (ZADEH, 1965) Um conjunto fuzzy u sobre X, o conjunto universo, que

nesse texto será sempre um espaço topológico, é totalmente determinado por sua função

grau de pertinência µu : X Ñ r0, 1s que representa o grau de pertinência de x P X a u. Para facilitar a notação, usaremos apenas µupxq “ upxq, @ x P X.

Definido dessa forma, o conceito de conjunto fuzzy estende o conceito clássico de conjuntos, dados por sua função característica χA: X Ñ t0, 1u, em que são permitidos apenas dois valores lógicos, χApxq “ 0 correpondente a não pertinência de x a A, e χApxq “ 1, caso x pertença a A. Para conjuntos fuzzy, considera-se o grau com que x satisfaz as características descritas em u. Dessa forma, consegue captar a essência subjetiva e imprecisa de conceitos como “bom”, “alto” ou “suficiente”, por exemplo.

O conjunto fuzzy vazio é aquele cujo grau de pertinência é nulo para todos os elementos de X. E dizemos que todo o universo X é o conjunto fuzzy constante igual a 1.

Tal formulação abrange e expande, também, a lógica matemática a ser utilizada a fim de raciocinar com tais conjuntos. Operações entre conjuntos, relações fuzzy e produto cartesiano serão abordados mais a frente.

Exemplo 1.2. Algumas das funções de pertinências mais utilizadas são as que seguem,

ilustradas na Figura 1.

upxq “ $ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ % 0, se x ď a x ´ a b ´ a, se x P ra, bs c ´ x c ´ b, se x P rb, cs 0, se x ě c .

(b) Função de pertinência do conjunto fuzzy trapezoidal pa, b, c, dq:

upxq “ $ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ % 0, se x ď a x ´ a b ´ a, se x P ra, bs 1, se x P rb, cs d ´ x d ´ c, se x P rc, ds 0, se x ě d .

(c) Função de pertinência gaussiana: upxq “ e´kpx´aq2_{, para k ě 1.}

(d) Função de pertinência exponencial: upxq “ 1

1 ` kpx ´ aq2, para k ě 1.

(e) Função de pertinência Γ-função: upxq “ $ & % 0, se x ď a kpx ´ aq2 1 ` kpx ´ aq2, se x ą a .

(f) Função de pertinência sigmóide: upxq “ 1 1 ` e´cpx´aq.

Notação 1.1. Denotaremos o conjunto de conjuntos fuzzy sobre X por FpXq.

Naturalmente, dois conjuntos fuzzy são iguais se, e somente se, suas funções de pertinência são iguais para cada elemento x de X.

Um conceito importante é o de α-nível, que traduz a informação do conjunto fuzzy em termos de subconjuntos crisp1 – clássicos – de X.

Definição 1.6. Para a função de pertinência u : X Ñ r0, 1s, o α-nível é o conjunto

rusα “ tx P X; upxq ě αu, para todo α P p0, 1s.

O conjunto de nível para α “ 0 é rus0 “ cltx P R; upxq ą 0u, em que cltAu é o

fecho do conjunto crisp A, conhecido como o suporte de u.

Graficamente tem-se que o intervalo vermelho tracejado é o α-nível do conjunto fuzzy da Figura 2.

1 _{Não é comum traduzir esta expressão “conjunto crisp” para o português, seria possível, entretanto,}

Figura 1 – Exemplos de conjuntos fuzzy sobre a reta real

(a) Triangular (b) Trapezoidal

(c) Gaussiana (d) Exponencial

(e) Γ-função (f) Sigmóide

Representação gráfica da função de pertinência dos conjuntos fuzzy do Exemplo 1.2. Fonte: própria autora.

Figura 2 – Conjunto de nível para α arbitrário

Representação gráfica da Definição 1.6. O intervalo trajeçado em vermelho corresponde ao

α-nível do conjunto fuzzy apresentado. Fonte: própria autora.

Agora tratamos de investigar algumas características dos conjuntos de nível das funções grau de pertinência. Esta primeira proposição dá uma sugestão de como usá-los a

fim de comparar dois conjuntos fuzzy.

Proposição 1.2. Sejam u e v dois conjuntos fuzzy definidos sobre o mesmo conjunto universo X, então u “ v se, e somente se, rusα “ rvsα, para todo α P r0, 1s.

A proposição seguinte, seguindo a Representação de Negoita-Ralescu ( NE-GOITA; RALESCU,1975), garante a caracterização de um conjunto fuzzy através de seus

α-níveis, mediante a garantia de que seja possível ordená-los convenientemente.

Teorema 1.1. (PURI; RALESCU, 1983) Seja trusα; α P r0, 1su uma família de conjuntos de nível de u PFpXq, com X um conjunto clássico. Então

(i) rus1 Ď rusβ Ď rusα Ď rus0, para todo 0 ď α ď β ď 1, como pode ser visto na Figura

3; e

(ii) Se panq é uma sequência não decrescente em r0, 1s, convergente para α, então rusα “

8

č

n“1 rusan.

Figura 3 – Conjuntos de nível encaixantes

Representação gráfica do Teorema 1.1. Para β ě α, temos rusβ Ď rusα. Fonte: própria autora.

Seja Y “ tAα Ď X; α P r0, 1su uma família de subconjuntos de X tal que A0 “ X e Aα satisfaz as condições (i) e (ii), então existe um único conjunto fuzzy u P FpXq tal que rusα “ Aα para todo α P r0, 1s. Além disso, o conjunto u é definido da seguinte maneira:

Dadas tais caracterizações dos conjuntos fuzzy por seus conjuntos de nível, partimos para definição de número fuzzy, que pretende estender a noção de número real, isto é, considerar o conjunto de números reais próximos a um valor x P R específico.

1.3

Números fuzzy

Doravante nosso interesse será nos conjuntos fuzzy da seguinte forma.

Definição 1.7. (DIAMOND; KLOEDEN, 2000) Entende-se por número fuzzy um

sub-conjunto fuzzy dos números reais u : R Ñ r0, 1s que satisfaz:

(i) Normalidade: u é normal quando existe _{x P R tal que upxq “ 1;}

(ii) Convexidade da função de pertinência: para quaisquer x, y P R e t P r0, 1s tem-se que

uptx ` p1 ´ tqyq ě mintupxq, upyqu;

(iii) Função de pertinência semicontínua superior: quando rusα “ tx P R | upxq ě αu é fechado em R para cada α P p0, 1s, ou ainda, se

@  ą 0, D δ ą 0 tal que upxq ´ upx0q ă , quando |x ´ x0| ă δ; e

(iv) O fecho do suporte de u, cltx P R | upxq ą 0u, é compacto.

O conjunto de números fuzzy sobre R será denotado por RF, sendo este um

subconjunto dos conjuntos fuzzy sobre R, RF ĎFpRq.

Esta definição garante que trabalharemos com conjuntos fuzzy cujos α-níveis são intervalos compactos (NEGOITA; RALESCU, 1975).

Notação 1.2. Escrevemos rusα “ ruLα, u U αs, em que u L α é o extremo inferior e u U α é o extremo superior do α-nível.

O Teorema 1.1 leva a próxima afirmação.

Proposição 1.3. (PURI; RALESCU, 1983) Se u, v P FpXq, então ru ` vsα “ rusα ` rvsα, @ α P r0, 1s.

Outra visão do Teorema1.1é o teorema seguinte, que permite fornece condições de encaixe para que um conjunto de intervalos corresponda aos α-níveis, de modo a construir um número fuzzy.

Teorema 1.2. (NEGOITA; RALESCU, 1975) Dada uma família de subconjuntos tMα : α P r0, 1su que satisfaz as condições:

(i) Mα é intervalo fechado não vazio para todo α P r0, 1s; (ii) Se 0 ď α1 ď α2 ď 1, então Mα2 Ď Mα1;

(iii) Para qualquer sequência pαnq não decrescente, convergente para α P p0, 1s temos

8

č

n“1

Mαn “ Mα; e

(iv) Para qualquer sequência pαnq não crescente, convergente para 0 temos cl ˜ 8 ď n“1 Mαn ¸ “ M0.

Então existe um único u P RF tal que uα “ Mα, para qualquer α P r0, 1s.

Demonstração. Mostraremos esse teorema, segundo a prova exibida em (BEDE, 2012), definindo o conjunto u dado por

upxq “ $ & % 0, se x R M0 suptα P r0, 1s | x P Mαu, se x P M0

e provando que u é número fuzzy, cujos α-níveis são uα “ Mα, para α P p0, 1s, e u0 Ď M0.

Vejamos:

(a) u é normal.

M1 é não vazio, logo D x P M1 tal que upxq “ 1.

(b) u tem função de pertinência convexa. Fixemos x P ra, bs Ď M0. Supondo que

$ &

%

upaq “ αa“ suptα|a P Mαu upbq “ αb “ suptr|b P Mαu

e que upaq ď upbq, isto é, αa ď αb, temos, pela hipótese (ii), que Mαb Ď Mαa. Assim, a P Mαa e b P Mαb Ď Mαa. Como Mαa é intervalo fechado, ra, bs Ď Mαa, logo

upxq ě αa“ upaq “ mintupaq, upbqu. Obtemos o mesmo resultado, de modo análogo, para upbq ď upaq. (c) uα “ Mα.

Provemos, primeiramente, que uα Ě Mα. Seja α0 P r0, 1s fixado, porém arbitrário e

x P Mα0. Temos que α0 P tα P r0, 1s|x P Mαu, logo

A outra inclusão provamos tomando x P uα0 ô upxq ě α0. Supondo que upxq ą α0,

isto implica que

suptα P r0, 1s|x P Mαu ą α0 e existe α1 ě α0 tal que x P Mα1 e Mα1 Ď Mα0. Consequentemente, x P Mα0.

Agora, sendo upxq “ α0 “ suptα P r0, 1s|x P Mαu, existe uma sequência pαnq não crescente que converge para α0, tal que x P Mαn, n ě 1. E, do item (iii), temos que

x P 8 č n“1 Mαn “ Mα0 ñ uα0 Ď Mα0. (d) Semicontinuidade superior.

Notemos que uα “ Mα é intervalo fechado para todos os α P r0, 1s, logo o seu complemento, Rzuα “ tx P R|upxq ă αu é aberto, assim temos u semicontínua superior.

(e) Suporte compacto.

u0 “ cltx|upxq ą 0u “ cl ˜ 8 ď n“1 tx|upxq ě αnu ¸ “ cl ˜ 8 ď n“1 Mαn ¸ “ M0.

E M0 é fechado e limitado. Como se trata de um intervalo real, é, portanto, compacto.

Temos, assim, que tal família tMαu de intervalos constitui a família de α-níveis de u, um número fuzzy.

Uma consequência deste teorema é a proposição a seguir.

Proposição 1.4. (SEIKKALA,1987) Seja raL_α, aU_αs, 0 ă α ď 1, uma família de intervalos

não vazios. Se

(i) raL_α, aU_αs Ą raLβ, a U

βs, @ 0 ă α ď β, e

(ii) Para pbkq uma sequência não decrescente convergindo para α P p0, 1s, com ” lim kÑ8a L bk, lim_kÑ8a U bk ı “ raLα, a U αs,

então a família raL_α, aU_αs, 0 ă α ď 1 representa os α-níveis de um número fuzzy a.

Reciprocamente, se raLα, a U

αs, 0 ă α ď 1, são os α-níveis de um números fuzzy a, então valem as afirmações (i) e (ii).

Esses resultados nos dão uma ideia de como encontrar soluções para o problema proposto no Capítulo 4, pois estabelecem as condições para reconstruir um número fuzzy dado um conjunto de intervalos, que serão os respectivos α-níveis.

1.4

Princípio de extensão de Zadeh

O Princípio de extensão de Zadeh consiste de um método matemático que estende uma função f : X1ˆ X2ˆ . . . ˆ XnÑ Y para o caso fuzzy.

Princípio 1 (de Extensão de Zadeh). Seja f : X1ˆ . . . ˆ Xn Ñ Y , em que X1ˆ . . . ˆ Xn são universos arbitrários quaisquer. O Princípio de extensão de Zadeh da função f é a função rf : FpX1qˆ. . .ˆFpXnq ÑFpY q, dada para cada pu1, . . . , unq PFpX1qˆ. . .ˆFpXnq por r f pu1, . . . , unqpyq “ $ & % sup px1,...,xnqPf´1pyq u1px1q ^ . . . ^ unpxnq , se f´1pyq ‰ H 0 , se f´1 pyq “ H , para y P Y , ou seja, f´1 pyq “ tpx1, . . . , xnq P X1 ˆ . . . ˆ Xn; f px1, . . . , xnq “ yu. Aqui usaremos o símbolo ^ para denotar o operador mínimo.

Proposição 1.5. (NGUYEN, 1978), (BARROS, 1997),(ROMÁN-FLORES; BARROS; BASSANEZI,2001) Seja f : X Ñ Y , com X e Y espaços topológicos. Se f é uma função

contínua, então

rf pAqsα “ f prAsαq, @ α P r0, 1s.

Podemos, então, afirmar como se somam dois números fuzzy, e como se multi-plica um número fuzzy por escalar.

Adição: Sejam u, v P RF, para somá-los basta utilizar o princípio de extensão para a

função f : X ˆ X Ñ X px1, x2q ÞÝÑ f px1, x2q “ x1` x2 , obtendo: Č pu ‘ vqpxq “ sup x1`x2“x upx1q ^ vpx2q.

Por consequência, caso u e v sejam números fuzzy, os α-níveis desta soma são (como visto na Proposição 1.3):

rru ‘rvsα “ rru L α`rv L α,ur U α `rv U αs.

Multiplicação por escalar: Desta vez usaremos o princípio para a função f : R x X Ñ X

com λ ‰ 0 constante. Temos então pČλ d uqpxq “ sup λx“y χλpλq ^ upxq, em que χλptq “ # 1 , se t “ λ

0 , se t ‰ λ , ou seja, χλpλq “ 1, o que leva a pČλ d uqpxq “ u ´y

λ

¯

.

Para números fuzzy, os α-níveis da multiplicação (PURI; RALESCU,1983) são

rλ drusα “ rλru L α, λur U αs, para λ ą 0 e rλ drusα “ rλur U α, λur L αs, para λ ă 0.

Sabendo operar números fuzzy, vamos agora procurar uma forma de medir distância entre eles. Partimos da distância usual entre conjuntos crisp.

Tradicionalmente distância de ponto a conjunto é definida como sendo

dpa, Bq “ inft}a ´ b} ; b P Bu.

Usada para calcular a separação de Hausdorff (HAUSDORFF, 1978):

d˚

HpA, Bq “ suptdpa, Bq; a P Au.

A distância entre dois números fuzzy é definida a partir da métrica de Hausdorff, que faz uso dessa separação.

Definição 1.8. (HAUSDORFF,1978) Seja K a classe dos conjuntos compactos de um

espaço normado X. A distância de Hausdorff é dada por dHpA, Bq “ maxtd˚HpA, Bq, d

˚

HpB, Aqu, para todos A, B P K. (1.1)

Nota-se que dHpA, Bq “ dHpB, Aq.

Proposição 1.6. (DIAMOND; KLOEDEN,2000) Esta distância é, de fato, uma métrica

em K.

Podemos assim definir uma distância para o conjunto de números fuzzy. Para r

a, r_{b P RF},

dFpra, rbq “ sup

0ďαď1

tdHpraα, rbαqu.

Como consequência direta da definição de distância de Hausdorff (DIAMOND; KLOEDEN, 2000) e do item (i) do Teorema1.2, tal métrica é dada por

dFpra, rbq “ sup 0ďαď1 maxt|ra L α´ rb L α|, |ra U α ´ rb U α|u.

Observação 1.1. O espaço métrico de números fuzzy com a métrica de Hausdorff pRF, dFq é completo. Porém a bola fechada

Br0, 1s “ tra P RF | dFpra, r0q ď 1u,

em que r0 é o número fuzzy com função de pertinência 1 para o número 0, e função de

pertinência nula para os demais números reais, não é fechada, nem separável. Assim,

pRF, dFq não é separável, tampouco compacto (BEDE, 2012).

Definição 1.9. Definimos, a partir dessa métrica, a norma de um número fuzzy _ru como sendo

}ru}F “ dFpru, 0q, @ u P Rr F. (1.2) Tendo uma métrica para o conjunto de números fuzzy, ou seja, uma forma de medir o quão parecidos são dois números fuzzy, podemos resgatar conceitos de cálculo, desta vez para funções fuzzy.

1.5

Cálculo para funções fuzzy

Nesta seção serão definidos limite e continuidade para funções que assumem valores fuzzy, buscando recuperar os resultados usuais – para funções reais.

Definição 1.10. (WU, 2004) Uma função fuzzy rf é uma função que leva elementos de um espaço vetorial X ao espaço dos números fuzzy, isto é,

r

f : X Ñ RF.

Um exemplo de função fuzzy é o que consta na Figura 4. Neste caso, a cada

x0 P R obtemos um número fuzzy destacado pela curva roxa.

Observação 1.2. Os extremos dos α-níveis de tais funções, rf_αLpxq “ rfLpα, xq e rf_αUpxq “ r

fUpα, xq, são funções reais para cada α P r0, 1s, e é este fato que nos permitirá chegar aos

resultados desejados.

Agora podemos definir algumas noções importantes, o que será feito em analogia com as funções reais.

Definição 1.11. Seja r_{f : R}n Ñ RF, diz-se que rL é o limite de rf quando x tende a x0 se

para cada  ą 0 existe δ “ δpx0, q ą 0 tal que

dFp rf pxq, rLq ă , @ x P Rn com › ›x ´ x0

› › ă δ.

Notação 1.3. Escrevemos lim

Figura 4 – Exemplo de função fuzzy

Representação gráfica de um exemplo de função fuzzy, segundo a Definição 1.10, para

X “ R. Ao valor x0 está associado o número fuzzy em destaque – a curva roxa. Fonte:

própria autora.

Figura 5 – Exemplo de função fuzzy sem limite em um ponto

Representação gráfica de um exemplo de função fuzzy que não possui limite, segundo a Definição1.11em x0. A superfície azul é a função fuzzy à direita de x0 e a roxa, à esquerda

do ponto. Fonte: própria autora.

A Figura 5 contém uma função fuzzy cujo limite em x0 não existe. Isto se deve

ao fato de que o limite à direita de x0, observado pela parte azul da função fuzzy, difere

do limite à esquerda de x0, calculado em cima da superfície roxa.

A proposição a seguir permite expressar limites de uma função fuzzy em termos dos limites das funções reais que compõem os extremos dos conjuntos de nível.

Proposição 1.7. Seja rL limite de rf quando x tende a x0, então se tem que, para todo α P r0, 1s, lim xÑx0fr L αpxq “ rLLα e lim xÑx0fr U αpxq “ rLUα. (1.3)

Demonstração. Seja rL o limite de rf quando x tende a x0, então para todo  ą 0 existe

δ ą 0 tal que dFp rf pxq, rLq ă , para todo x P Rn, com › ›x ´ x0

› ›ă δ. Mas tal distância é dada por

dFp rf pxq, rLq “ sup 0ďαď1 maxt| rf_αLpxq ´ rLLα|, | rf U αpxq ´ rL U α|u.

Logo, para todo α P r0, 1s, | rf_αLpxq ´ rLLα| ă  e | rf U αpxq ´ rL U α| ă , para cada x P Rn tal que ››x ´ x0 ›

› ă δ. Portanto a proposição é verdadeira.

De modo natural é possível definir o conceito de continuidade.

Definição 1.12. Seja r_{f : R}nÑ RF. Diz-se que rf é contínua em c P Rn se para cada  ą 0

existe δ “ δpc, q ą 0 tal que

dFp rf pxq, rf pcqq ă , @x P Rn com }x ´ c} ă δ.

Se rf for contínua para todos os pontos do domínio, dizemos simplesmente que é rf é

contínua.

Figura 6 – Exemplo de função fuzzy descontínua

Representação gráfica de uma função fuzzy sobre R que em x0 não corresponde à Definição

1.12, isto é, não é contínua em x0. A curva em branco corresponde ao limite a esquerda

e a direita de rf pxq quando x Ñ x0 e a curva em roxo, ao número que a função de fato

A Figura 6é o gráfico de uma função fuzzy não contínua no ponto x0.

Por consequência dessa definição, valem as propriedades análogas às de limite nos α-níveis.

Proposição 1.8. Se rf é contínua em c, então as funções reais nos extremos dos α-níveis

r

f_αL e rf_αU também são contínuas em c, para todo α P r0, 1s.

Demonstração. É totalmente análoga à demonstração da Proposição 1.7.

Com essa Proposição encerramos o Capítulo 1, destacando a conveniência do uso da métrica de Hausdorff para números fuzzy. Foi através dela que pudemos afirmar que o limite e a continuidade de funções fuzzy implicam no limite e continuidade das funções reais dos conjuntos de nível. Estamos, portanto, prontos para definir derivada para funções a valores fuzzy, o que será feito no Capítulo 2.

2 Derivadas para Funções Fuzzy

Procuramos nesse capítulo entender, primeiro, como derivar funções fuzzy valuadas, depois como derivar parcialmente. Mais uma vez em análogia ao cálculo de funções reais, pretendemos estender a definição de derivada através do limite:

lim hÑ0

f px ` hq ´ f pxq

h .

Precisamos, portanto, de uma ferramenta viável que permita calcular a diferença entre dois conjuntos fuzzy, a saber, rf px0` hq e rf px0q.

Notemos que as operações usuais de soma entre dois conjuntos e multiplicação por escalar são feitas como segue.

Para A, B Ă Rn, A, B ‰ H e γ P R, a soma é dada por A ` B “ ta ` b | a P A, b P Bu, e o produto por um escalar é γA “ tγa | a P Au. A operação de diferença

natural é, portanto, A ´ B “ ta ´ b | a P A, b P Bu.

No entanto isto é, de certo modo, contra-intuitivo. Tomemos A “ r0, 1s, então ´A “ r´1, 0s, logo A`p´Aq “ r´1, 1s, enquanto que a resposta esperada seria A´A “ t0u.

Como pretendemos definir derivada tomando como base as noções usuais de derivada, faz-se minimamente necessário garantir que a derivada de uma função constante seja nula. Para tanto, exigimos que a diferença rf pxq ´ rf pxq seja igual a zero. E justamente

por isso que a diferença usual não será adequada.

A fim de buscar uma operação que seja compatível com o desejável, definimos três diferenças ao longo do trabalho. Cada uma delas dará origem a uma noção específica de derivação para funções a valores fuzzy. Em seguida, definimos derivada parcial de Hukuhara, Hukuhara generalizada e interativa.

2.1

Derivada de Hukuhara

A primeira noção de derivação estudada aqui é a que faz uso da noção de diferença de Hukuhara entre conjuntos.

Definição 2.1. (HUKUHARA, 1967), (PURI; RALESCU, 1983) Sejam A e B

subcon-juntos não vazios de Rn. Se existe C ‰ H tal que A “ B ` C, então C “ A aH B é dito a diferença de Hukuhara entre A e B.

Embora esta definição satisfaça a noção intuitiva, ela é restritiva, afinal tal diferença nem sempre existe.

Um contra-exemplo é t0u aH r0, 1s, haja vista que não existe conjunto C tal que C ` r0, 1s “ t0u.

Esta proposição garante casos de existência dessa diferença.

Proposição 2.1. (DIAMOND; KLOEDEN,1994) Sejam A e B intervalos reais. Se existe

uma translação de B por d tal que B ` tdu Ď A, então A aH B existe e é única.

Nota 1. Para A, B Ă R, esta proposição afirma que é necessário que o diâmetro de B seja

menor ou igual ao diâmetro de A.

Para o caso de números fuzzy, _ra, r_{b P RF}, se existe _rc satisfazendo _ra “ rb ‘rc, então _ra aHrb “_rc, em que _rc tem α-níveis da forma:

rrcsα “ rraLα´ rb L α,ra U α ´ rb U αs.

Dada a diferença de Hukuhara, podemos definir a derivada de Hukuhara, motivada pela definição de derivada lateral para funções a valores reais.

Definição 2.2. (HUKUHARA, 1967), (PURI; RALESCU, 1983_{) Seja X Ă R. Uma}

função r_{f : X Ñ RF} é dita H-diferenciável em x0 P X se lim hÑ0` 1 h d ” r f px0` hq aH f pxr 0q ı e lim hÑ0` 1 h d ” r f px0q aH f pxr 0´ hq ı (2.1)

existem e são iguais. Neste caso denotamos o limite acima por D rf px0q, chamado de H-derivada de rf em x0.

Notemos que nos casos em que as diferenças de Hukuhara rf px0` hq aH f pxr 0q ou rf px0q aH f pxr 0´ hq não existem, rf não é H-diferenciável em x0.

Exemplo 2.2. Considere a função fuzzy r_{f : R Ñ RF} tal que r rf pxqsα é um intervalo real dado na Figura 7, onde a linha azul representando rf₀L e a linha vermelha representando

r

f₀U, ou seja, a região entre as linhas se trata do suporte de rf . Tomando x0 na região quadriculada (à direita), existirá a derivada de rf em x0; porém se x0 estiver na região xadrez (à esquerda), não haverá derivada de Hukuhara em x0.

Exemplo 2.3. A função r_{f : p0, 2πq Ñ RF} com α-níveis definidos da seguinte maneira r rf pxqsα “ p1 ´ αqp2 ` senxqr´1, 1s, @ α P r0, 1s

não é H-diferenciável em x0 “ π 2.

Figura 7 – Existência da Derivada de Hukuhara

Representação gráfica do Exemplo 2.2. Vista superior do α-nível de uma função fuzzy rf, para α P r0, 1s fixado. Para este α a curva superior, em azul, corresponde à rf_αL, e a curva inferior, em vermelho, diz respeito à rf_αU. A região xadrez corresponde aos valores de x P X para os quais há a derivada de Hukuhara. A região quadriculada diz respeito aos valores de x para os quais não existe derivada de Hukuhara. Fonte: própria autora.

De fato, de acordo com a Nota 1, diam ” r f ´π 2 ` h ¯ı α

deve ser maior ou igual que diam ” r f ´π 2 ¯ı α . Entretanto diam ” r f ´π 2 ` h ¯ı α “ 2p1 ´ αqp2 ` cos hq e diam ” r f ´π 2 ¯ı α “ 6p1 ´ αq, logo não existe rf

´π 2 ` h ¯ aH fr ´π 2 ¯ .

Seguindo a ideia da Proposição 1.7, enunciamos o seguinte resultado.

Proposição 2.2. (SEIKKALA, 1987), (BARROS; BASSANEZI; LODWICK, 2017), (PATHAK; PIRZADA, 2011) Se rf é H-derivável em x0, então rf_αL e rf_αU também são diferenciáveis em x0, @ α P r0, 1s. E vale que pD rf qαpx0q “ rD rfαLpx

0

q, D rf_αUpx0qs.

Demonstração. Seja rf H-derivável em x0, ou seja, existem os limites dados por (2.1) e são iguais. Pela Proposição 1.7, tem-se, então, que os α-níveis de D rf em x0 são intervalos cujos limites, dados em (1.3), do extremo inferior rf_αLpx0q existem e são iguais, e do mesmo modo para a extremidade superior rf_αUpx0q do α-nível. Portanto, vale a proposição.

Esta Proposição afirma que para derivar uma função fuzzy (H-derivável) basta saber derivar as funções reais que compõem os extremos dos conjuntos de nível. Isto significa que a derivada de Hukuhara implica na derivada de Seikkala (SEIKKALA, 1987). Para que elas sejam equivalentes, pede-se que a função seja continuamente diferenciável em relação a variável x (BEDE,2012).

2.2

Derivada de Hukuhara generalizada

Na tentativa de preencher a lacuna deixada pelo fato de que a diferença de Hukuhara existe apenas em casos específicos, outra diferença entre dois conjuntos é definida agora.

Definição 2.3. (STEFANINI, 2010), (BEDE; STEFANINI,2013) Para A e B conjuntos

crisp não vazios. A diferença de Hukuhara generalizada C “ A agH B é definida, caso exista, como sendo o conjunto C tal que

(i) A “ B ` C, ou (ii) A “ B ´ C.

Esta diferença também não existe para todos quaisquer conjuntos A e B. No entanto, quando a diferença de Hukuhara existe, é igual a diferença generalizada de Hukuhara, de tal modo que esta nova diferença se trata sim de uma extensão da primeira.

Para números fuzzy definimos a diferença de Hukuhara generalizada de modo análogo ao feito para conjuntos crisp.

Definição 2.4. (STEFANINI, 2010), (BEDE; STEFANINI, 2013) Para ra e rb números

fuzzy. A diferença de Hukuhara generalizada rc “ra agHrb é definida, caso exista, como

sendo o conjunto rc tal que

(i) _ra “ rb `rc, ou

(ii) _ra “ rb ´rc.

Em se tratando de números fuzzy com α-níveis rrasα “ rra L α,ra U αs e rrbsα “ rrbLα, rb U αs, quando tal diferença existe seus α-níveis são dados por (STEFANINI,2010):

rra agHrbs_α “ ” mintra L α ´ rb L α,ra U α ´ rb U αu, maxtra L α ´ rb L α,ra U α ´ rb U αu ı . (2.2)

Exemplo 2.4. Tal diferença não é possível ser calculada, por exemplo, para os números

fuzzy _ra “ p2, 3, 5, 6q e rb “ p0, 4, 8q, pois caso existesse seria dada por (2.2), o que geraria o gráfico (b) da Figura 8.

Naturalmente, usando essa definição, encontramos uma nova noção de diferen-ciabilidade, a de Hukuhara generalizada.

Definição 2.5. (STEFANINI; BEDE, 2009),(BEDE; STEFANINI, 2013) Uma função r f : X Ñ RF é dita gH-diferenciável em x0 P X Ă R se lim hÑ0 1 h d ” r f px0` hq agH f pxr 0q ı

existe. Chamamos tal limite – quando existe – de derivada de Hukuhara generalizada em x0 e denotamos por DgHf pxr 0q P RF.

Teorema 2.1. (BEDE; STEFANINI, 2013) Seja r_{f : X Ñ RF}. Se rf_αL e rf_αU são funções reais uniformemente diferenciáveis em α P r0, 1s, então a função rf é gH-diferenciável em x0 P X se, e somente se, um dos seguintes casos vale:

Figura 8 – Não existência da diferença de Hukuhara generalizada

(a) _ra é dado pela linha contínua e rb é dado pela linha tracejada

(b) Resultado da tentativa de subtrair_ra e rb

pela diferença de Hukuhara generalizada

Representação gráfica do Exemplo 2.4. Fonte: própria autora.

(i) D rf_αLpx0q é crescente e D rf_αUpx0q é decrescente, como funções de α, e

D rf₁Lpx0q ď D rf₁Upx0q, ou

(ii) D rf_αLpx0q é decrescente e D rfαUpx

0

q é crescente, como funções de α, e

D rf₁Upx0q ď D rf₁Lpx0q. E temos, @ α P r0, 1s, ” DgHf pxr 0q ı α “ ”

mintD rf_αLpx0q, D rf_αUpx0qu, maxtD rf_αLpx0q, D rf_αUpx0qu ı

.

Observação 2.1. Os α-níveis da gH-derivada são da forma

” DgHf pxr 0q ı α “ ” D rf_αLpx0q, D rfαUpx 0 q ı ou ” DgHf pxr 0q ı α “ ” D rf_αUpx0q, D rfαLpx 0 q ı . (2.3) Não pode acontecer que para alguns α vale a primeira expressão de (2.3), e para os demais,

Assim como a derivada de Hukuhara, a derivada de Hukuhara generalizada também tem limitações. É possível definir uma derivada que é sempre calculável, a derivada generalizada (STEFANINI; BEDE, 2009), contudo sua interpretação e seu cálculo são complicados, logo ela será omitida neste texto. Procederemos introduzindo ferramentas que permitirão definir a derivada interativa.

2.3

Interatividade

Processos interativos são comuns em fenômenos biológicos (BAETENS; BA-ETS, 2009), (CABRAL; BARROS, 2015), de tal modo que é razoável considerar esta característica no cálculo das derivadas. Isso é feito através do conceito de interatividade fuzzy, a ferramenta que descreve a correlação entre rf px0 ` hq e rf px0q.

2.3.1

Números fuzzy interativos

Números fuzzy podem ser encarados, em analogia a distribuições de probabili-dade, como distribuições de possibilidade.

Definição 2.6. (ZADEH, 1978_{) Uma distribuição de possibilidade em R}n é um subcon-junto fuzzy J de Rn com função de pertinência J : Rn Ñ r0, 1s normal, isto é, existe

x P Rn qual que J pxq “ 1.

Aqui J pxq é interpretado como a possibilidade de que a sentença “x é J” seja verdadeira.

Usaremos FJpRnq para denotar a família de todas as distribuições de possibili-dade de Rn.

Definição 2.7. (ZADEH, 1978) Sejam _rai P RF, i “ 1, . . . , n, e J P FJpRnq. J é dita a distribuição de possibilidade conjunta de todos os _rai se vale

sup

px1,...,xnqPRn,xi“y

J pxi, . . . , xnq “raipyq, @ y P R, i “ 1, . . . , n.

r

ai é a projeção de J no i-ésimo eixo, chamada de distribuição de possibilidade marginal.

Em particular, para _ra, r_{b P RF}, J é a distribuição de possibilidade conjunta de r

a e rb se temos

max

y J px, yq “rapxq e max_x J px, yq “ rbpyq, @ x, y P R.

Exemplo 2.5. Baseada no artigo (ESMI et al., 2015), a Figura 9 ilustra um exemplo no qual C é a distribuição de possibilidade conjunta para os números fuzzy triangulares _ra e rb.

Figura 9 – Distribuição de possibilidade conjunta

Exemplo de distribuição de possibilidade conjunta C para os números fuzzy _ra e rb. Fonte: própria autora.

Definição 2.8. (ZADEH,1978) Dada uma distribuição de possibilidade J para os números

fuzzy ui, i “ 1, . . . , n, dizemos que eles são não interativos quando J é dada por J pu1, . . . , unq “ mintu1px1q, . . . , unpxnqu, @ x1, . . . , xn P R. Caso contrário, u1, . . . , un são ditos interativos.

Definição 2.9. (CARLSSON; FULLÉR et al., 2004) Dois números fuzzy u e v são ditos completamente correlacionados caso existam q, r P R, com q ‰ 0, tais que a distribuição

de possibilidade conjunta C de u e v é dada por:

Cpx, yq “ upxq.χtqx`r“yupx, yq “ vpyq.χtqx`r“yupx, yq (2.4)

em que χtqx`r“yu é a função característica da reta real de coeficiente angular q e coeficiente

linear r: tpx, yq P R2|qx ` r “ yu.

Se q ą 0, ra e rb são ditos completamente positivamente correlacionados. E se

q ă 0, são chamados completamente negativamente correlacionados.

Os únicos elementos de C que têm grau de pertinência não nulos são aqueles que estão sobre a reta y “ qx ` r.

Notemos que os α-níveis são dados por

rCsα “ px, qx ` rq P R2|x “ p1 ´ tqraLα ` tra U

α, t P r0, 1s( , e que rrbsα “ qrrasα` r para qualquer α P r0, 1s.

A Figura 10 exemplifica o caso em que_ra e rb são completamente negativamente

correlacionados através de C. O intervalo em vermelho representa α-nível de C para um dado α P r0, 1s.

Figura 10 – Números fuzzy completamente negativamente correlacionados

Representação gráfica da distribuição de possibilidade conjunta C, para_ra e rb completamente

correlacionados através da reta qx ` r “ y, com q ă 0. Fonte: própria autora.

2.3.2

Princípio de extensão para conjuntos fuzzy interativos

Seja J uma distribuição de possibilidade conjunta com distribuições marginais r

a1, . . . ,ran P RF e seja f : R n

Ñ Rm uma função. A extensão de f via J é a função rfJ cuja função de pertinência é dada por (FULLÉR; MAJLENDER, 2004)

r fJpra1, . . . ,ranqpyq “ $ & % sup px1,...,xnqPf´1pyq J px1, . . . , xnq, , se f´1pyq ‰ H 0 , se f´1 pyq “ H

Caso_ra e rb sejam números fuzzy completamente correlacionados, com

distribui-ção de possibilidade conjunta dada por (2.4_{), e f : R ˆ R Ñ R definida por f px, yq “ x ` y,}

a extensão de f via C é a função

r

fC : RFˆ RF Ñ RF pra, rbq ÞÝÑ rfCpra, rbq cuja função de pertinência é

r

fCpra, rbq “ sup

Os α-níveis da soma interativa desses dois números fuzzy correlacionados através da reta y “ qx ` r são dados por

rA ‘CBsα “ pq ` 1qrAsα` r.

Quando q “ ´1, temos rBsα “ ´rAsα` r, @ α P r0, 1s e a soma de A e B é um número real: rA ‘C Bsα “ r P R, @ α P r0, 1s, isto é, perde-se a característica de incerteza, pois se obtém um número real – crisp.

Assim, a soma interativa pode ser diferente da soma não-interativa, pois no caso anterior temos

sup z“x`y

Cpx, yq ‰ sup z“x`y

mintApxq, Bpyqu.

Em geral, segue que A ‘C B Ď A ‘ B, pois pA ‘CBqpyq ď pA ‘ Bqpyq, para todos y P R.

E, em particular, para números fuzzy completamente correlacionados, q ą 0, segue que

A ‘CB “ A ‘ B.

2.3.3

Derivada interativa

Sejam A, B P RF e J a distribuição de possibilidade conjunta de A e B. A

diferença segundo a distribuição J é dada pelo princípio de extensão:

pA aJ Bqpzq “ sup x´y“z

J px, yq.

Observemos agora o que ocorre caso os números fuzzy A e B completamente correlacionados sejam subtraídos através da extensão interativa da função g : R ˆ R Ñ R dada por gpx, yq “ f px, ´yq “ x ´ y.

Obtemos _rgCpA, Bqpzq “ pA aCBqpzq “ sup z“x´y

Cpx, yq, sujos α-níveis são:

rA aC Bsα “ p1 ´ qqrAsα´ r, @ α P r0, 1s.

Observação 2.2. Interessante notar que

(i) Caso A e B sejam negativamente completamente correlacionados, isto é, q ă 0, tem-se que A aCB “ A ´ B, a diferença clássica discutida no começo da seção 2.1; (ii) Se A e B forem positivamente correlacionados, tem-se AaCB “ AagHB (BARROS;

PEDRO,2016);

(iii) E, em particular, se A e B foram correlacionados com q ě 1, recuperamos a diferença de Hukuhara: A aC B “ A aH B (BARROS; PEDRO, 2016).

Uma propriedade importante que esta diferença interativa possui é que

A aC A “ 0,

obtida se a distribuição de possibilidade conjunta C é dada pela equação (2.4), com q “ 1 e r “ 0.

Os α-níveis dessa diferença são dados através da próxima proposição.

Proposição 2.3. (BARROS; PEDRO, 2016) Sejam A e B números fuzzy completamente

correlacionados, isto é, rBsα “ qrAsα` r, cujos α-níveis são rAsα “ raLα, a U

αs e rBsα “ rbL_α, bU_αs então a diferença interativa é dada nos conjuntos de nível por:

rB aCAsα “ $ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ % rbLα´ a L α, b U α ´ a U αs “ rpq ´ 1qa L α` r, pq ´ 1qa U α ` rs, se q ě 1 rbUα ´ a U α, b L α´ a L αs “ rpq ´ 1qa U α ` r, pq ´ 1qa L α ` rs, se 0 ă q ă 1 rbLα´ aUα, bUα ´ aLαs “ rqaLα` r ´ aUα, qaUα ` r ´ aLαs, se q ă 0 (2.5)

Sabendo subtrair números fuzzy podemos definir derivada para números fuzzy interativos, primeiramente para o caso em que J é qualquer distribuição de possibilidade conjunta de rf px0` hq e rf px0q.

Definição 2.10. (BARROS; PEDRO, 2016_{) Seja X Ă R um aberto e uma função}

r

f : X Ñ RF. Para cada h suficientemente pequeno, seja J a distribuição de possibilidade

conjunta de rf px0` hq e rf px0q, com x0 P X. A função rf é dita J-diferenciável em x0 se existe um número fuzzy DJf pxr 0q tal que

DJf pxr 0q “ lim hÑ0 1 h ” r f px0` hq aJ f pxr 0q ı .

Em particular, quando rf px0 ` hq e rf px0q são completamente correlacionados, para cada h suficientemente pequeno, isto é, rf px0` hq “ qphq rf px0q ` rphq, definimos a derivada interativa correlacionada.

Definição 2.11. (BARROS; PEDRO, 2016_{) Seja X Ă R um aberto e uma função}

r

f : X Ñ RF. Para cada h suficientemente pequeno, sejam rf px0` hq e rf px0q números fuzzy

completamente correlacionados, com distribuição de possibilidade conjunta C. A função rf é dita C-diferenciável em x0 se existe um número fuzzy DCf pxr 0q tal que

DCf pxr 0q “ lim hÑ0 1 h ” r f px0` hq aC f pxr 0q ı .

Dizemos que DCf pxr 0q é a derivada fuzzy completamente correlacionada de rf em x0. Sabendo que essa operação de subtração é dada, segundo o valor de qphq, por (2.5), podemos enunciar o teorema a seguir, segundo o qual é possível encontrar os α-níveis

Teorema 2.2. (BARROS; PEDRO, 2016) Seja r_{f : X Ñ RF} uma função fuzzy C-diferenciável em x0 P X, um conjunto aberto de R, então rfL e rfU são diferenciáveis em x0_{, e seja β “ th P R|0 ă |h| ă δ e x}0` h P Xu para algum δ ą 0, tem-se:

” DCf pxr 0q ı α “ $ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ % (a) rD rf_αLpx0q, D rfαUpx 0 qs, se qphq ě 1, @ h P β (b) rD rf_αUpx0q, D rf_αLpx0qs, se 0 ă qphq ă 1, @ h P β (c) rD rf_αLpx0q, D rf_αLpx0qs, se qphq ă 0, @ h P β. em que DCf pxr 0q é a C-derivada de rf em x0 P X.

Demonstração. Se qphq ě 1 temos, pela Observação 2.2 piiiq, que

r

f px0` hq aC f pxr 0q “ rf px0` hq a_H f pxr 0q,

para todo h suficientemente pequeno. Assim, pela Proposição 2.2 concluímos o caso (a). Agora, se rf px0`hq e rf px0q são positivamente correlacionados com 0 ă qphq ă 1, o segundo item da Proposição 2.3 garante o caso (b).

Para provar o caso (c), em que qphq ă 0, notemos que a existência de DCf emr

x0 garante, em particular, a existência do limite lim hÑ0` r fL αpx0` hq ´ rfαUpx0q h , que implica em lim hÑ0` r f<sub>α</sub>Lpx0` hq ´ rf_αUpx0q “ 0.

Como rf px0 ` hq e rf px0q são completamente correlacionados, encontramos lim hÑ0`fr L αpx 0 ` hq “ rfαLpx 0 q, e consequentemente rfαLpx 0 q “ rfαUpx 0 q, para qualquer x0 P X fixado.

Noutras palavras, temos que se rf é C-derivável, então rf é real, com α-níveis

da forma r rf sα “ r rfαL, rf L

αs. Naturalmente, sua derivada é rD rf sα “ rD rfαLs.

As condições de otimalidade costumam fazer uso de gradientes, para tanto faz-se necessário o estudo das derivadas parciais para funções fuzzy.

2.4

Derivadas parciais

Para definir derivada parcial procederemos de modo análogo ao que é feito com funções de várias variáveis que assumem valores reais. Inicialmente faremos para a derivada de Hukuhara.

2.4.1

Derivada parcial de Hukuhara

Definição 2.12. Sejam r_{f : X Ñ RF com X um aberto do R}n e x0 “ px0₁, . . . , x0_nq P X

fixado. Dizemos que i-ésima H-derivada parcial de rf em x0 existe quando os limites

lim hÑ0` f px0 ` eihq aH f px0q h e limhÑ0` f px0 q aH f px0´ heiq h (2.6)

existem e são iguais, sendo ei “ p0, . . . , 1, . . . , 0q, o i-ésimo vetor canônico. E denotamos por DH_i f pxr 0q, ou

BHfr Bxi

px0q.

Sobre a H-diferenciabilidade, temos a seguinte caracterização, motivada pela definição de diferenciabilidade para funções do tipo f : RnÑ R (APOSTOL, 1963).

Definição 2.13. Uma função fuzzy valuada r_{f : X Ñ RF} é dita H-diferenciável em x0 se todas as H-derivadas parciais existem em x0.

Dizemos que rf é H-diferenciável em X se o for em cada x0 P X.

Notação 2.1. O gradiente de rf em x0 é denotado por ∇H : X Ñ Rn_F, em que Rn_F é o produto cartesiano RFˆ RFˆ . . . ˆ RF com n fatores. É definido por

∇Hf pxr 0q “ pD₁Hf pxr 0q, . . . , D_nHf pxr 0qq.

Como os resultados obtidos serão com base nos α-níveis, vamos a esta definição e à proposição que segue.

Definição 2.14. Os conjuntos de nível de ∇ rf px0q são dados por

p∇Hf pxr 0qq_α “ ppDH₁ f pxr 0qq_α, . . . , pD_nHf pxr 0qq_αq, @ α P r0, 1s.

Proposição 2.4. (PATHAK; PIRZADA, 2011) Seja r_{f : X Ñ RF} H-diferenciável em x, com X um aberto do Rn. Então rf_αL e rf_αU também são diferenciáveis para todo α P r0, 1s, sendo, para cada x P X e para cada i “ 1, . . . , n, Dif pxr 0q é um número fuzzy com α-níveis

pDHi f pxqqr _α “ rD_ifr_αLpxq, D_ifr_αUpxqs, i “ 1, . . . , n.

Demonstração. A Proposição 2.2 garante que uma i-ésima derivada das funções dos extremos dos α-níveis em x0 existe, para todos i “ 1, . . . , n.

A próxima definição estende o conceito usual de uma função (real) ser derivável com derivada contínua, isto é, f P C1.

Definição 2.15. Uma função fuzzy valuada é dita continuamente H-diferenciável em x0

se as H-derivadas parciais BHfr

Bxi

, para i “ 1, . . . , n existem em alguma vizinhança de x0 e são contínuas em x0.