2.4 Derivadas parciais
2.4.3 Derivada parcial interativa
Para a derivada interativa, o conceito de derivada parcial fica como segue.
Definição 2.20. Sejam rf : X Ñ RF com X um aberto do Rn e x0 “ px01, . . . , x0nq P X
fixado. A i-ésima C-derivada parcial de rf em x0 é definida quando temos rf px0 ` hq e r
f px0q completamente correlacionados e existe o limite lim
hÑ0
f px0` eihq aCf px0q
h . (2.8)
Neste caso a C-derivada parcial é o resultado do limite que denotaremos aqui por DCi f pxr 0q ou
BCfr Bxi
px0q.
Definição 2.21. Uma função fuzzy valuada rf : X Ñ RF, com X um aberto de Rn, é dita
C-diferenciável em x0 se cada uma das C-derivadas parciais existe em x0.
Dizemos que rf é C-diferenciável em X se o for em cada x0 P X. Nesse caso, o gradiente de rf em x0 é denotado por
∇Cf pxr 0q “ pD1Cf pxr 0q, . . . , DnCf pxr 0qq.
Definição 2.22. Os conjuntos de nível de ∇Cf pxr 0q são dados por
p∇Cf pxr 0qqα “ ppDC1f pxr 0qqα, . . . , pDCnf pxr 0qqαq, @ α P r0, 1s.
Definição 2.23. Sejam rf : Rn Ñ RF e x P Rntais que ∇Cf pxq existe. E sejam qr iphq, riphq
os respectivos parâmetros para as correlações de rf px ` eihq e rf pxq, para i “ 1, . . . , n. Se existe δ ą 0 tal que para cada i “ 1, . . . , n, ocorre um dos casos:
i) qiphq ě 1, @ h P p´δ, δq; ii) 0 ă qiphq ď 1, @ h P p´δ, δq; iii) qiphq ă 0, @ h P p´δ, δq,
dizemos que rf não tem pontos de troca em uma δ-vizinhança de x. Caso contrário, dizemos que rf tem pontos de troca nessa vizinhança de x.
Interessante observar que se ∇Cf pxq existe e rr f não tem pontos de troca em determinada δ-vizinhança de x, então a i-ésima C-derivada de rf em x será dada por um
dos casos apresentados no Teorema 2.2.
Teorema 2.4. Para X um aberto de Rn, seja rf : X Ñ RFuma função fuzzy C-diferenciável em x0 que não tenha pontos de troca em alguma δ-vizinhança de x0, com δ ą 0, então rfL e rfU são diferenciáveis em x0, e vale
” DiCf pxr 0q ı α “ $ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ % (a) rDifrαLpx0q, DifrαUpx0qs, se qiphq ě 1, @ h ă β (b) rDifrαUpx0q, DifrαLpx0qs, se 0 ă qiphq ă 1, @ h ă β (c) rDifrαLpx0q, DifrαLpx0qs, se qiphq ă 0, @ h ă β.
Demonstração. Este teorema é consequência direta da definição de C-diferenciabilidade e
do Teorema 2.2.
Definição 2.24. Uma função fuzzy valuada é dita continuamente C-diferenciável em x0
se as C-derivadas parciais BCfr
Bxi
, para i “ 1, . . . , n existem em alguma vizinhança de x0 e são contínuas em x0.
Analogamente ao que é feito com as derivadas parciais de Hukuhara, aqui podemos garantir que a C-diferenciabilidade contínua, em certo sentido, se reflete nos conjuntos de nível. Mais precisamente, temos a Proposição que segue.
Proposição 2.6. Se função de um aberto X de Rn no conjunto de números fuzzy é continuamente C-diferenciável, então as funções que compõem os extremos dos conjuntos de nível são de classe C1.
Como desejado, além de apresentar as derivadas de Hukuhara, Hukuhara generalizada e interativa, buscamos entender como derivar parcialmente uma função a valores fuzzy.
Ainda, notamos a intrínseca simplicidade da derivada interativa, além de sua semelhança com as duas primeiras derivadas. Foi tal patente similaridade que motivou o estudo das condições de otimalidade que serão apresentadas no Capítulo 3.
3 Condições de Otimalidade
Problemas de otimização, aqueles em que se procura minimizar ou maximizar uma função, aparecem em diversas áreas do conhecimento e setores da sociedade. Eles são classificados de acordo com as características das funções envolvidas (HILLIER; LIEBERMAN, 2001). Pode ser um problema sem restrições – irrestrito – ou sujeito a restrições. Caso as funções sejam lineares, o problema é quantitativamente estudado atráves da programação linear.
É comum, porém, que alguma das funções, que pode estar apenas nas restrições, seja não lineares (BRACKEN; MCCORMICK,1968). Neste caso o problema é dito não
linear e a programação não linear sugere possibilidades para resolvê-lo a partir das condições
de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker (KKT).
Este Capítulo destina-se a encontrar condições análogas às de KKT para proble- mas de otimização não-linear fuzzy, isto é, aquele em que as funções envolvidas assumem valores imprecisos – funções fuzzy. Solucionar este problema significa encontrar pontos que minimizam uma função a valores fuzzy – a função objetivo –, e que simultaneamente satisfaçam, para n P N qualquer, n restrições de desigualdade dadas por funções fuzzy, segundo uma ordem parcial adequada.
Inicialmente, na Seção3.1, estabeleceremos o problema clássico de programação não linear irrestrito, seguido de suas condições de otimalidade, e depois o problema com restrições de desigualdade, junto às condições KKT.
Em sequência, na Seção 3.2, procuraremos entender problema de programação não linear em sua versão fuzzy, esclarecendo qual a noção de solução aqui utilizada. Baseada na escolha de uma ordem parcial conveniente ĺ, encontramos o critério para que a função fuzzy satisfaça as restrições de desigualdade, e conseguimos relacionar o mínimo do problema fuzzy, com o mínimo das funções que compõem os extremos dos conjuntos de nível da função objetivo.
Seguindo o encadeamento de ideias proposto por Wu em 2008 (WU, 2008) e seguido por Pathak e Pirzada em 2011 (PATHAK; PIRZADA, 2011), definiremos uma função auxiliar estritamente crescente, que na prática funciona como um defuzzificador1 da função objetivo, ou seja, um operador que associa um número fuzzy a um número real (LEEKWIJCK; KERRE, 1999). Transformaremos o problema de otimização fuzzy em um problema de otimização clássico, para os quais já temos condições de otimalidade bem estabelecidas.
1 Tal expressão não costuma ser traduzida para o português, contudo pode ser interpretada como uma
Para tanto consideraremos apenas funções fuzzy continuamente H-diferenciáveis, para as quais o gradiente e suas propriedades foram descritos no Capítulo 2. Dessa forma a função auxiliar terá derivadas parciais e as condições serão consistentes.