Modificações do tensor de Ricci e aplicações

YAMIT YESID YALANDA MUELAS

MODIFICAÇÕES DO TENSOR DE RICCI E APLICAÇÕES

CAMPINAS

2012

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA POR ANA REGINA MACHADO - CRB8/5467

BIBLIOTECA DO INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA - UNICAMP

Yalanda Muelas, Yamit Yesid,

Y12m YalModificações do tensor de Ricci e aplicações / Yamit Yesid Yalanda Muelas. – Campinas, SP : [s.n.], 2012.

YalOrientador: Diego Sebastian Ledesma.

YalDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Yal1. Geometria riemaniana. 2. Cálculo tensorial. 3. Tensor de Ricci. 4. Bochner, Teorema de. I. Ledesma, Diego Sebastian,1979-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em inglês: Modifications of the Ricci tensor and applications Palavras-chave em inglês:

Geometry, Riemannian Calculus of tensors Ricci tensor

Bochner's theorem

Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:

Diego Sebastian Ledesma [Orientador] Rafael de Freitas Leão

Ryuichi Fukuoka

Data de defesa: 19-10-2012

Programa de Pós-Graduação: Matemática

Dedico este trabalho às pessoas da minha comunidade, que em seu caminho através deste mundo só conheceram o horror da guerra, com a esperança de que diálogos de paz que colocarão m à guerra no meu país.

Agradecimentos

Ao professor Diego Sebastián Ledesma, pela participação no caminho do engrandecimento prossional, por todo o respeito e a paciência que teve comigo e pelo apoio em momento difícil da minha vida.

À minha família pelo apoio emocional e ao CNPq.

A todas as pessoas que participaram, contribuindo para realização deste trabalho, direta ou indiretamente, meu agradecimento.

...donde las estirpes condenadas a cien años de soledad tengan por n y para siempre una segunda oportunidad sobre la tierra.

Resumo

Nesta dissertação apresentamos generalizações de três resultados muito conhecidos em geometria Riemanniana: o Teorema de Myers, o Teorema de Bochner e o Teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll. Em particular veremos que fazendo uma pequena modicação sobre os requisitos destes teoremas no que se refere ao tensor de Ricci, os resultados permanecem inalterados.

Abstract

In this dissertation we present generalizations of three well-known results in Rie-mannian geometry: The Myers's theorem, Bochner's theorem and the Cheeger-Gromoll splitting theorem. In particular, we will prove that making a small modication of the requirements of these theorems related to the Ricci tensor, the results remain unchanged.

Conteúdo

Introdução 1

1 Conceitos Básicos da Geometria Riemanniana 4

1.1 Variedades Diferenciáveis . . . 4 1.2 Tensores em variedades . . . 7 1.3 Derivada de Lie . . . 8 1.4 Métrica Riemanniana . . . 9 1.5 Conexão Riemanniana . . . 11 1.6 Curvatura . . . 14 1.7 Aplicação exponencial . . . 16

1.8 Variação do comprimento de arco e Energia . . . 19

1.9 Segunda forma fundamental . . . 20

2 Resultados preliminares 23 2.1 Gradiente, Divergência, Hessiano e Laplaciano . . . 23

2.2 Fórmula de Bochner-Weitzenböck generalizada . . . 26

2.3 Principio do máximo . . . 29

2.4 Funções de Busemann . . . 31

3 Modicações do tensor de Ricci e Aplicações 34 3.1 O Teorema de Myers Generalizado . . . 34

4 Uma generalização do teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll via

o tensor de Ricci Barkry-Emery 41

4.1 Estimativa sobre a função de Busemann . . . 41 4.2 Teorema de Cheeger-Gromoll generalizado . . . 43

Introdução

Neste trabalho estudamos generalizações de três teoremas de muita importância em Ge-ometria Riemanniana e com muitas aplicações. Em primeiro lugar consideramos o teorema de Myers que teve a sua primeira versão em 1941 e pode ser enunciado da seguinte forma Teorema 0.1. Seja M uma variedade Riemanniana de dimensão n completa e conexa tal que o tensor de Ricci satisfaz

Ric ≥ (n − 1)C > 0. Então M é compacta com grupo fundamental nito e

diam(M ) ≤ √π C.

O teorema de Bochner enunciado pela primeira vez em [12] pode ser escrito como

Teorema 0.2. Seja M uma variedade Riemanniana compacta e orientável tal que o tensor de Ricci é não-negativo. Então todo campo vetorial harmônico é paralelo.

e tem como corolário

Corolário 0.1. Seja M uma variedade Riemanniana compacta e orientável tal que em algum ponto o tensor de Ricci é positivo. Então todo campo vetorial harmônico é identicamente nulo. E nalmente o teorema de Cheeger-Gromoll enunciado pela primeira vez em 1971 em [1], pode ser enunciado como

Teorema 0.3 (Teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll). Seja M uma variedade Rie-manniana completa de dimensão n com Ric ≥ 0. Então M decompõe-se isometricamente como N × Rl, onde N é uma variedade Riemanniana Completa sem linhas, onde Rl é o

espaço euclidiano de dimensão l.

Observamos que os enunciados destes teoremas tem como condições limitações do tensor de Ricci , portanto é natural perguntar-se se enfraquecendo estas condições ainda continuam valendo os resultados. Em particular podemos considerar as seguintes modicações ao tensor de Ricci

d

Para k > 0

g

Ric = Ric + LVg − kV∗ ⊗ V∗,

e nalmente para uma função φ ∈ C2_{(M )},

Ricφ= Ric + Hess(φ),

é chamado de tensor de Ricci-Bakry-Emery. Um operador deste tipo é importante no estudo de processos de difusão como aparece em [7].

Para as primeiras duas modicações podemos generalizar o teorema de Myers como segue Teorema 0.4. Seja M uma variedade Riemanniana completa e conexa de dimensão n. Supondo que M admite um campo de vetores V satisfazendo as desigualdades

Ric + LVg ≥ (n − 1)C > 0

e |V | ≤ r. Então M é compacta e o diâmetro satisfaz

diam(M ) ≤ π

(n − 1)C √

2r +p2r2_{+ (n − 1)}2_C_.

Teorema 0.5. Seja M uma variedade Riemanniana completa e conexa de dimensão n. Suponha que M admite um campo de vetores V satisfazendo as desigualdades

Ric + LVg − kV∗⊗ V∗ ≥ (n − 1)C > 0,

onde k > 0. Então M é compacta e seu diâmetro satisfaz

diam(M ) ≤ π

p(n − 1)C r

n − 1 + 4 k. Para o teorema de Bochner

Teorema 0.6. Seja M uma variedade Riemanniana fechada, orientada e conexa de dimensão n. Suponha que M admite um campo de vetorial V satisfazendo a desigualdade

Ric + LVg − div(V )g ≥ 0.

Então

(2) Se existe uma constante positiva C > 0 tal que

Ric + LVg − div(V )g ≥ C, (1)

então no existe um campo de vetores harmônico não-trivial.

Por último para o tensor de Ricci-Bakry-Emery temos uma generalização do teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll

Teorema 0.7. Seja M uma variedade Riemanniana completa de dimensão n com Ric + Hess(φ) ≥ 0 para alguma função φ ∈ C∞(M ) a qual é uniformemente limitada em M. Então M decompõe-se isometricamente como N ×Rl_{, onde N é uma variedade Riemanniana}

Completa sem linhas. Mais ainda a função φ é constante no conjunto Rl _{da decomposição.}

Esta dissertação está dividida da seguinte forma:

No primeiro capitulo apresentamos conceitos básicos da geometria Riemanniana de forma geral com os resultados e as notações que serão utilizadas a maior parte deste capítulo está baseada na referência [3].

No segundo capitulo são apresentados alguns resultados preliminares com as suas demonstrações, que serão úteis nos seguintes dois capítulos. Alguns destes resultados podem ser achados em [8] e [5].

No terceiro capitulo, são demonstradas duas generalizações do teorema de Myers e uma do teorema de Bochner. Tais demonstrações estão baseadas no artigo [10] o qual faz uso de uma técnica conhecida como Técnica de Bochner.

Finalmente no último capitulo demostramos a generalização do teorema de decom-posição de Cheeger-Gromoll. Este capítulo está baseado nos artigos [4], [13] .

1

Conceitos Básicos da Geometria

Riemanniana

Neste capítulo preliminar, apresentamos algumas denições e fatos básicos sobre geome-tria riemanniana e introduzimos a notação que será utilizada nesta dissertação. A referência básica é o livro Geometria Riemanniana de M.P. Do Carmo [3].

1.1 Variedades Diferenciáveis

Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável α : (−, −) −→ M é chamada uma curva em M. Seja α(0) = p ∈ M, e seja C∞_{(M )o conjunto das funções de M}

diferenciáveis em p. O vetor tangente à curva α é a função α0_{(0) : C}∞

(M ) −→ R dada por α0(0)f = d(f ◦ α) dt    t=0, f ∈ C ∞ (M ).

Um vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−, −) −→ M com α(0) = p. Denotamos por TpM o conjunto dos vetores tangentes a M em um ponto p.

O espaço dual do espaço tangente TpM é chamado de espaço cotangente de M no ponto p e

será denotado por T∗

pM.

Uma função f : M −→ R é dita diferenciável se para todo p ∈ M e (U, ϕ) carta local em torno de p tem-se que

é diferenciável.

Analogamente se M e N são variedades diferenciáveis de dimensão m e n respectivamente, uma função f : M −→ N é dita diferenciável se para cada p ∈ M e quaisquer cartas (U, ϕ) de p e (V, ψ) de f(p) temos que

ψ−1_{f ◦ ϕ : U ⊂ R}m _{−→ V ⊂ R}n, é diferenciável.

Denição 1.1. Sejam M e N duas variedades diferenciáveis de dimensão m e n respecti-vamente e f : M −→ N uma função diferenciável. A diferencial de f em um ponto p é a aplicação df(p) : TpM −→ Tf (p)N tal que

df (p)(v) = d dt    t=0 f ◦ ϕ−1(p + tv), onde (U, ϕ) é uma carta local em torno de p.

Para uma variedade diferenciável M de dimensão n o brado tangente é denido como sendo

T M = ∪p∈MTpM

munido da aplicação projeção π : T M −→ M tal que π(p, w) = p.

Observamos que T M é uma variedade diferenciável, de fato se consideramos {(Uα, ϕα)} um

atlas da variedade M, para cada α denimos dϕα : T Uα −→ T ϕα(Uα) tal que

dϕ(x, v) = (ϕ(x), dϕ(x)(v)), então (T Uα, dϕα)é uma estrutura diferenciável e

dϕ−1_α (p, W ) = (x0, dϕ(x0)−1(W )),

é a inversa de ϕα, onde x0 = ϕ−1(p).

(T M, M, π) com a estrutura diferenciável dada é chamado de brado tangente. De maneira análoga pode ser denido o brado cotangente (T∗_{M, M, π) com o espaço total}

Dada uma variedade diferenciável M de dimensão n, um campo de vetores X é uma correspondência que a cada ponto p de M associa um vetor X(p) no TpM e uma 1−forma

θ sobre M é uma correspondência que a cada ponto p de M associa um vetor θ(p) no T_p∗M. Em termos de aplicações, X é uma seção de M no brado tangente T M i.e. π ◦ X = IM e θ

uma seção do brado cotangente.

Denotamos por X (M) o conjunto dos campos de vetores tangentes em M, por Ω(M) o conjunto das 1−formas em M e por C∞_{(M ) o conjunto das funções reais de classe C}∞

denidas em M. Seja ϕ : U ⊂ Rn_{−→ M uma parametrização ao redor de um ponto p ∈ M}

e X ∈ X (M), se consideramos {∂i}ni=1 a base de TpM associada a ϕ e {dxi}ni=1 a base de

T_p∗M associada a ϕ, podemos escrever X(p) = n X i=1 ai(p)∂i e ω(p) = n X i=1 bi(p)dxi,

onde ai : U ⊂ Rn −→ R e bi : U ⊂ Rn−→ R são funções em U. Dado um campo vetorial X

dizemos que X é diferenciável se as funções ai são diferenciáveis. analogamente se θ é uma

1−forma sobre M, θ é dita diferenciável se as funções ai são diferenciáveis.

No que segue os elementos de X (M) e Ω(M) serão diferenciáveis.

Exemplo 1.1. A diferencial de uma função f ∈ C∞_{(M ) dene uma 1-forma df tal que}

(df )(v) = v(f ) para todo vetor tangente v de M.

Se p ∈ M então (df)(p) : TpM −→ Rné um funcional linear e para todo campo de vetores

X ∈ X (M )a função (df)(X) = Xf é diferenciável.

Em um sistema de coordenadas (U, (x1, . . . , xn)) de M, as 1-formas dx1, . . . , dxn

associ-adas formam uma base dual. Se θ é uma 1-forma, então

θ =X i θ(∂i)dxi, em U. Se f ∈ C∞_{(M )e df(∂} i) = _∂x∂f_i então df = X i df dxi dxi.

A diferencial satisfaz as seguintes propriedades: (1) d : C∞

(2) Se f, g ∈ C∞_{(M ),então d(fg) = gdf + fdg.}

(3) Se f ∈ C∞_{(M )e h ∈ C}∞

(R), então d(h(f )) = h0(f )df.

1.2 Tensores em variedades

Denição 1.2. Um (r, k)-tensor T em uma variedade Riemanniana é uma aplicação T : X (M ) × · · · × X (M ) | {z } r−vezes × Ω(M )(M ) × · · · × Ω(M ) | {z } k−vezes −→ C∞(M ), tal que se Y1, . . . , Yk ∈ X (M ) e ω1, . . . , ωr ∈ Ω(M ), então

(1) Para quaisquer f, g ∈ C∞_{(M )} T (Y1, . . . , f Ys, . . . , Yk, ω1, . . . , gωl, . . . , ωr) = f gT (Y1, . . . , Ys, . . . , Yk, ω1, . . . , ωl, . . . , ωr), (2) Para todo Xs∈ X (M ) T (Y1, . . . , Ys+ Xs, . . . , Yk, ω1, , . . . , ωr) = T (Y1, . . . , Ys, . . . , Yk, ω1, . . . , ωr) + T (Y1, . . . , Xs, . . . , Yk, ω1, . . . , ωr), (3) Para todo α ∈ Ω(M) T (Y1, . . . , Yk, ω1, . . . , ωl+ α, . . . , ωr) = T (Y1, . . . , Yk, ω1, . . . , ωl, . . . , ωr) + T (Y1, . . . , Yk, ω1, . . . , α, . . . , ωr).

Seja p ∈ M. O valor de T (Y1, . . . , Yk, ω1, . . . , ωr)(p) só depende dos valores em p das

componentes de T , e dos valores de Y1, . . . , Yr, ω1, . . . , ωr em p.

Denição 1.3. Um (k, 0)tensor T é dito alternado se

T (v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) = −T (v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vk),

para quaisquer v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk ∈ TpM.

Denotamos por Ωk_{(M )}o conjunto de todos os (k, 0)−tensores alternados. Em particular

Denição 1.4. Uma função T que a cada p ∈ M associa T (p) ∈ Ωk_{(M )}é denominada uma

k−forma em M.

Seja ω ∈ Ωk_{(M )uma k-forma diferencial de uma variedade diferenciável M. O diferencial}

de ω, dω, é denido como sendo a k + 1-forma em Ωk+1_{(M )}tal que

dω(X0, . . . , Xk) = k X i=0 (−1)iXi(ω(X0, . . . , bXi, . . . , Xk)) − k+1 X i<j (−1)i+j(ω([Xi, Xj], X0, . . . , bXi, . . . , bXj, . . . , Xk)).

1.3 Derivada de Lie

Seja X um campo de vetores em uma variedade completa M. Denotamos por Φt o uxo

associado a X. O uxo Φt induz ações

Φt∗ : C∞(M ) −→ C∞(M )

Φt∗: X (M ) −→ X (M )

Φt∗ : Ω(M ) −→ Ω(M )

tais que para Y ∈ X (M), ω ∈ Ω(M) e f ∈ Ω(M) Φt∗f = f ◦ Φt

(Φt∗Y )f (p) = Y (f ◦ Φ)(p)

(Φt∗ω)Y = ω(Φt∗Y )

Dado um (r, k)−tensor T , denimos a derivada de Lie de T ao longo de X no ponto p como sendo LXTp(Y1, . . . , Yk, ω1, . . . , ωr)(p) := d dt    t=0 T (Φ_−t∗Y1, . . . , Φ−t∗Yk, Φ−t∗ω1, . . . , Φ−t∗ωr)(p).

Intuitivamente LXT mede como o tensor T varia ao longo de X. As seguintes propriedades

podem ser achadas em [9] no capitulo 18.

Proposição 1.1. Seja M uma variedade diferenciável e sejam X, Y ∈ X (M) campos de vetores então

(a) Se f ∈ C∞_{(M ), a derivada de Lie de f ao longo de X é igual à derivada direcional de}

f ao longo do campo de vetores

LXf = X(f ) = df (X),

em particular L é uma derivação.

(b) A derivada de Lie de Y ao longo de X coincide com o comutador de X e Y i.e LXY f = [X, Y ]f = (XY − Y X)f, para toda função f ∈ C∞(M ).

(c) Para todo (r, 0)−tensor T

(LXT )(Y1, . . . , Yr) = LX(T (Y1, . . . , Yr))−T ([X, Y1], Y2, . . . , Yr)−· · ·−T (Y1, . . . , [X, Yr]).

1.4 Métrica Riemanniana

Denição 1.5. Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável M é uma corres-pondência que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno

gp : TpM × TpM −→ R,

tal que para um sistema de coordenadas arbitrário ϕ : U ⊂ Rn _{−→ M em torno de p, com}

ϕ(x) = q ∈ ϕ(U ) e ∂i(q) = ∂i(0, . . . , 1, . . . , 0), a função gij : U ⊂ Rn−→ R denida por

gij(q) = gq(∂i(q), ∂j(q))

é uma função diferenciável em U.

Se M é uma variedade diferenciável munida de uma métrica Riemanniana g, dizemos que (M, g) é uma variedade Riemanniana.

Se (M, g) é uma variedade Riemanniana, p ∈ M e X, Y ∈ TpM acostuma-se escrever

hX, Y ip = gp(X, Y ).

Denição 1.6. Sejam M e N duas variedades Riemannianas. Um difeomorsmo f : M −→ N é chamado de isometria se

É fácil ver que o conceito de isometria estabelece uma relação de equivalência entre duas variedades Riemannianas.

Uma métrica Riemanniana também pode ser vista como um (2, 0)−tensor da seguinte forma.

Denição 1.7. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana, o tensor métrico G : C∞_{(M ) ×}

X (M ) −→ C∞_{(M ) denido por G(X, Y ) = g(X, Y ) = hX, Y i, é um (2, 0)−tensor e suas}

componentes no referencial {Xi} são coecientes gij da métrica Riemanniana em um sistema

de coordenadas dado.

O seguinte teorema garante a existência de uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável Hausdor e é uma aplicação simples da existência da partição da unidade. Teorema 1.1. Toda variedade diferenciável de Hausdor com base enumerável possui uma métrica Riemanniana.

Demonstração. Ver por exemplo [3] página 47.

Nesta dissertação, as variedades diferenciáveis consideradas serão Hausdor e com base enumerável.

Exemplo 1.2. O espaço euclidiano M = Rn _{é trivialmente uma variedade diferenciável e se}

para todo p ∈ M, TpM ∼= Rn dene-se

h∂i, ∂jip = δij

M é uma variedade riemanniana. Exemplo 1.3. O conjunto Sn−1

= {x ∈ Rn : |x| = 1} com a métrica g tal que g(u, v) = hu, vi_Rn para quaisquer u, v ∈ T_pSn−1, é uma variedade Riemanniana, onde T_pSn⊂ Rn+1.

Exemplo 1.4. Seja H = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : xn > 0}, H é trivialmente uma variedade

diferenciável. Basta considerar a carta Id : H ⊂ Rn

−→ H. Seja p = (p1, . . . , pn) ∈ H e

sejam u, v ∈ TpH então a aplicação gp : TpH × TpH −→ R tal que

gp(u, v) =

1 x2

n

hu, vi_Rn,

é uma métrica Riemanniana sobre H. Logo (H, g) é uma variedade Riemanniana esta var-iedade Riemanniana é chamada de espaço hiperbólico.

Denição 1.8. Sejam M e N variedades diferenciáveis, uma aplicação ϕ : M −→ N é uma imersão. Se dϕp : TpM −→ Tϕ(p)N é injetiva para todo p ∈ M

Exemplo 1.5. Sejam M e N duas variedades diferenciáveis e seja f : M −→ N uma imersão, se N tem uma estrutura Riemanniana, f induz uma estrutura Riemanniana em M tal que para todo p ∈ M

hu, vi = hdfp(u), dfp(v)if (p) para quaisquer u, v ∈ TpM

A métrica de M induzida por uma imersão é chamada métrica induzida por f e, neste caso, f é chamada de imersão isométrica.

Exemplo 1.6. Sejam (M1, g1)e (M2, g2)duas variedade Riemannianas e seja M = M1×M2,

M é uma variedade diferenciável com a estrutura diferenciável do produto. Sejam π1 : M1× M2 −→ M1 e π2 : M1 × M2 −→ M2

as projeções canônicas, podemos introduzir uma métrica Riemanniana sobre M denindo

g(p,q)(u, v) = g1p(dπ1(u), dπ1(v)) + g2q(dπ2(u), dπ2(v)),

para todo (p, q) ∈ M e u, v ∈ T(p,q)M. A variedade Riemanniana (M1× M2, g)é chamada de

produto Riemanniano.

1.5 Conexão Riemanniana

Nesta seção apresentamos a noção de conexão sobre uma variedade Riemanniana que vai permitir denir por exemplo o conceito de derivada covariante de um campo de vetores ao longo de uma curva e o conceito de transporte paralelo.

Denição 1.9. Uma conexão am ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação ∇ : X (M ) × X (M ) −→ X (M ),

tal que, para todo X, Y, Z ∈ X (M) e quaisquer f, g ∈ C∞_{(M )}

(ii) ∇f XZ = f ∇XZ,

(iii) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ,

(iv) ∇X(f Y ) = f ∇XY + X(f )Y.

Sejam p ∈ M e ϕ(x1, . . . , xn) coordenadas locais em torno de p, então para X = P_iai∂i

e Y = Pibj∂j temos que ∇XZ = X k  X ij aibjΓkij + X(bk)  ∂k, onde cada Γk

ij é denido pela expressão ∇∂i∂j =

P

kΓ

k

ij∂k. Os coecientes Γkij são chamados

de símbolos de Christoel da conexão.

Denição 1.10. Dada uma curva diferenciável α : I = (a, b) ⊂ R −→ M, um campo de vetores ao longo de α é uma função V : I −→ T M tal que V (t) ∈ Tα(t)M.

Seja t ∈ I. Em coordenadas temos a base {d

dt}em TtI = R. O campo vetorial dα( d

dt)que

denotaremos por α0_{(t) é chamado de vetor tangente á curva α em α(t).}

A seguinte proposição nos dá uma maneira de derivar campos de vetores ao longo de curvas diferenciáveis de uma variedade munida de uma conexão am.

Proposição 1.2. Seja M uma variedade Riemanniana com uma conexão am ∇ e α : I −→ M uma curva diferenciável. Então para cada campo V ao longo de α, existe um único campo denotado por DV

dt ao longo de α, denominado derivada covariante de V ao longo de α, tal

que (a) D dt(V + W ) = D dt(V ) + D dt(W ). (b) D dt(f V ) = df dtV + f DV dt .

(c) Se V é a restrição de um campo Y denido numa vizinhança de α(I), então DV

dt =

∇α0_(t)Y.

Demonstração. Ver [3] página 57.

Denição 1.11. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão am ∇. Um campo de vetores V ao longo de uma curva γ : I −→ M tal que DV

Teorema 1.2 (Existência e unicidade de campos vetoriais paralelos). Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão am ∇ e γ : I −→ M uma curva diferenciável em M. Se t0 ∈ I e v ∈ Tγ(t0)M, então existe um único campo de vetores paralelo V (t) denido sobre I

que satisfaz V (t0) = v.

Demonstração. Ver por exemplo [3] página 58.

Denição 1.12. O campo V (t) da proposição anterior é chamado de transporte paralelo de v = V (t0) ao longo de γ.

Dizemos que uma conexão am ∇ em uma variedade diferenciável M é simétrica se ∇XY − ∇YX = [X, Y ] para todo X, Y ∈ X (M).

Observamos que se ∇ é simétrica, então em um sistema de coordenadas Γk

ij = Γkji para todo

i, j ∈ {1, . . . , n}.

Denição 1.13. Uma conexão am ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatível com a métrica se

XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi, para todo X, Y ∈ X (M).

O seguinte teorema é um resultado de grande importância na geometria Riemanniana pois garante a existência de uma única conexão am, simétrica e compatível com a métrica Riemanniana da variedade diferenciável.

Teorema 1.3. Toda variedade Riemanniana possui uma única conexão am simétrica e compatível com a métrica.

Demonstração. Ver por exemplo [3] página 61.

Dada uma variedade Riemanniana M a conexão am simétrica e compatível com a métrica é chamada de conexão Riemanniana ou de Levi-Civita de M. A partir daqui consideraremos as variedades Riemannianas com suas respectivas conexões Riemannianas.

Denição 1.14. Seja T um (r, 0)-tensor, a diferencial covariante ∇T de T é um (r + 1, 0)−tensor dado por

∇T (Y1, . . . , Yr, Z) = Z(T (Y1, . . . , Yr) − r

X

i=1

T (Y1, . . . , ∇ZYi, . . . , Yr).

Para Z ∈ X (M), a derivada covariante ∇ZT de T em relação a Z é um tensor de ordem

r dado por

∇ZT (Y1, . . . , Yr) = ∇T (Y1, . . . , Yr, Z)

Denição 1.15. Um (r, 0)-tensor T é chamado de paralelo se ∇T ≡ 0.

Se M é uma variedade Riemanniana e X ∈ X (M) é fácil ver que a derivada de Lie do tensor métrico satisfaz

(LXg)(V, W ) = h∇VX, W i + h∇WX, V i, pois (LXg)(V, W ) = LXhV, W i − h[X, V ], W i − hV, [X, W ]i = XhV, W i − h∇XV − ∇VX, W i − hV, ∇XW − ∇WXi = h∇VZ, W i + h∇WZ, V i.

1.6 Curvatura

Nesta seção introduzimos o conceito de curvatura numa variedade Riemanniana que, in-tuitivamente, mede o quanto uma variedade Riemanniana deixa de ser euclidiana. Denimos também curvatura seccional e o tensor de Ricci.

Será usada notação de Einstein onde omitimos o sinal de somatório em somas que apare-cem índices repetidos, por exemplo

n

X

k=1

Γk_ijXk≡ ΓkijXk.

Denição 1.16. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que a cada par X, Y ∈ X (M) associa a aplicação

denida por

R(X, Y )Z = ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇[X,Y ]Z.

Em coordenadas locais a curvatura pode ser escrita como R(∂i, ∂j)∂k = Rl_{ij k}∂l, onde R_{ij k}l ∂l = ∂iΓljk− ∂jΓlik+ Γ s jkΓ l is− Γ s ikΓ l js,

ver por exemplo [3] página 103. Os coecientes Rl

ij k são chamados de componentes do tensor

de curvatura e os coecientes Rijkl, denidos por Rijkl:= Rl_{ij k} são denominados coecientes

de Ricci.

Usando a métrica podemos denir um (4,0)-tensor associado a R R(X, Y, Z, W ) = hR(X, Y )W, Zi.

Denição 1.17. A curvatura seccional de um 2-plano σ ∈ TpM é denido como sendo

K(σ) = R(X, Y, X, Y ), onde {X, Y } é uma base ortonormal de σ.

Pode-se mostrar que, se σ ∈ TpM é um subespaço de dimensão 2 com base {X, Y }, então

K(X, Y ) não depende da escolha da base de σ. Assim a curvatura seccional de σ de uma variedade Riemanniana M num ponto p ca bem denida.

Denição 1.18. Seja M uma variedade Riemanniana e seja p ∈ M o tensor de curvatura de Ricci no ponto p, denotado por Ricp é um tensor covariante simétrico denido por

Ricp(X, Y ) = n

X

i=1

hR(X(p), ei)Y (p), eii,

onde {e1, . . . , en} é uma base ortonormal de TpM.

Dizemos que Ricp ≥ k sempre que para todo V ∈ TpM

Ricp(V, V ) ≥ khV, V i.

Se M é uma variedade Riemanniana de curvatura seccional não-negativa em todos os pontos, então o mesmo acontece com a curvatura de Ricci, isto é, Ricp ≥ 0para todo p ∈ M.

1.7 Aplicação exponencial

A noção de derivada covariante permite denir o conceito de aceleração de uma curva c de uma variedade M o que permite denir as curvas de aceleração nula que são chamadas de geodésicas. Em Geometria Riemanniana as geodésicas têm um papel fundamental e nesta seção encontramos alguns resultados básicos sobre geodésicas.

Denição 1.19. Seja M uma variedade diferenciável, dizemos que uma curva α : I −→ M é uma geodésica se

D

dtα(t) = 0

É fácil ver que se uma curva α é uma geodésica então α0 _{tem norma constante, se |α}0_{| = 1}

dizemos que a geodésica α está normalizada.

Denição 1.20. Seja M uma variedade Riemanniana e γ : [a, b] −→ M uma curva, o comprimento de γ é dado por

ρ(γ) := Z b

a

|γ0(t)|dt

Denição 1.21. Um segmento de geodésica γ : [a, b] −→ M é chamado de minimizante se ρ(γ) ≤ ρ(c), onde c é uma curva qualquer diferenciável por partes ligando γ(a) a γ(b).

Usando o teorema de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias, tem-se o seguinte resultado:

Proposição 1.3. Sejam p ∈ M e v ∈ TpM. Então a menos de escolha de I existe uma única

geodésica γ : I −→ M tal que γ(0) = p e γ0

(0) = v.

Dado v ∈ TpM, denotamos por γv a única geodésica de M que parte de p com velocidade

v.

Denição 1.22. Seja Up = {v ∈ TpM : γv está denida num intervalo contendo [0, 1]}, a

aplicação expp : Up −→ M, denida por expp(v) = γv(1) é chamada de aplicação exponencial.

Proposição 1.4. A aplicação exponencial satisfaz as seguintes propriedades:

(b) A aplicação exponencial é diferenciável. Demonstração. Ver por exemplo [3] página 71.

Observamos que é possível aumentar a velocidade de uma geodésica diminuindo o seu intervalo de denição.

Para todo p ∈ M, temos que

d(expp)0(v) = d dt(expp(tv))|t=0 = d dt(γv(t))|t=0 = γ_v0(t)|t=0 = v.

Então d(expp)0 é o operador identidade de TpM, usando o teorema de função inversa temos

que expp é um difeomorsmo local numa vizinhança de 0 em TpM. Portanto existem uma

vizinhança V da origem de TpM e uma vizinhança U de p, tais que expp : V −→ U é um

difeomorsmo. O aberto U é chamado de vizinhança normal de p.

Para o estudo das propriedades globais das variedades Riemannianas é conveniente con-siderar as variedades onde as geodésicas são denidas para todo t > 0.

Denição 1.23. Uma variedade Riemanniana M é geodesicamente completa se, para cada p ∈ M, a aplicação a aplicação expp está denida para todo v ∈ TpM, isto é, as geodésicas

γ(t) que partem de p estão denidas para todos os valores de t ∈ R.

Denição 1.24. Dados dois pontos p, q ∈ M e denimos a distância entre p e q como d(p, q) = infρ(α); α : [a, b] −→ M é uma curva diferenciável por partes tal que

α(a) = p e α(b) = q .

Pode-se mostrar que d dene uma métrica sobre M e a topologia induzida por d coincide com a topologia inicial de M.

O seguinte teorema torna importante o conceito de completitude.

Teorema 1.4 (Hopf-Rinow). Seja M uma variedade Riemanniana e seja p ∈ M. Então as seguintes armações são equivalentes:

(i) expp está denida em todo v ∈ TpM.

(ii) Os limitados e fechados de M são compactos. (iii) M é um espaço métrico completo.

(iv) M é geodesicamente completa.

Além disso, cada uma das armações acima implica que

(iv) Para todo q ∈ M exite uma geodésica γ ligando p a q satisfazendo `(γ) = d(p, q). Demonstração. Ver por exemplo [3] página 162.

Denição 1.25. Dada uma variedade Riemanniana M denimos o diâmetro de M como diam(M ) = sup{d(p, q) : p, q ∈ M }.

Corolário 1.1. Uma variedade Riemanniana completa é compacta se, e somente se diam(M ) < ∞.

Seja A ⊂ R2 _{tal que a fronteira de A seja uma curva diferenciável por partes. Uma}

superfície parametrizada em uma variedade M é uma aplicação diferenciável s : A ⊂ R2 _−→

M

Lema 1.1 (Lema de simetria). Se M é uma variedade Riemanniana e s : A −→ M é uma superfície parametrizada então:

D ∂v ∂s ∂u = D ∂u ∂s ∂v. Demonstração. Ver por exemplo [3] página 76.

Lema 1.2 (Lema de Gauss). Seja p ∈ M e seja v ∈ TpM tal que exppv esteja denida. Se

w ∈ TpM, então

h(d exp_p)v(v), (d expp)v(w)i = hv, wi.

1.8 Variação do comprimento de arco e Energia

Nesta seção encontramos alguns resultados que sobre geodésicas que serão úteis nos capí-tulos seguintes.

Denição 1.26. Seja γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciável por partes. Uma variação de γ é uma aplicação contínua f : [a, b] × (−, ) −→ M tal que:

(a) f(t, 0) = γ(t), t ∈ [0, a],

(b) existe uma subdivisão de [0, a] por puntos 0 = t0 < t1 < · · · < tk+1 = a, tal que a

restrição de f a cada [ti, ti+1] × (−, ), 1 ≤ i ≤ k é diferenciável.

Uma variação diz-se própria se

f (0, s) = γ(0) e f(a, s) = γ(a) para todo s ∈ (−, ).

Teorema 1.5 (Primeira variação da energia). Seja γ : [0, a] −→ M uma geodésica com vetor velocidade unitário, seja α : [0, a] × (−δ, δ) −→ M uma variação de γ, e V o seu campo variacional. A variação da função energia

E(s) = Z s 0 |df dt(s, t)| 2_dt

é dada pela fórmula:

1 2E

0

(0) = −hV (0), ˙α(0)i + hV (a), ˙α(a)i. Demonstração. Ver por exemplo [3] página 215.

Teorema 1.6 (Primeira variação comprimento de arco). Seja γ : [0, a] −→ M uma geodésica com vetor velocidade unitário, seja α : [0, a] × (−δ, δ) −→ M uma variação de γ, e V o seu campo variacional. Para t xo denotamos αs = α(t, s), a primeira variação de ρ(αs) é dada

pela fórmula: d ds    s=0ρ(αs) = hV, ˙γi| t=b t=a.

Teorema 1.7 (Segunda variação do comprimento de arco). Seja γ : [a, b] −→ M uma geodésica com vetor velocidade unitário, seja α : [a, b] × (−δ, δ) −→ M uma variação de γ, e V o seu campo variacional. A segunda variação de ρ(αs) é dada pela fórmula:

d2 ds2    s=0 ρ(αs) = Z b a    D ∂tV ⊥_  2 − hR(V⊥, ˙γ) ˙γ, V⊥i dt + h∇VV, ˙γi    t=b t=a , onde V⊥ _{é a componente normal de V .}

Demonstração. Ver por exemplo [6] página 181.

Denição 1.27. Seja γ uma geodésica e sejam V e W dois campos variacionais ao longo de γ, diferenciáveis por partes e se anulando nas extremidades. A forma do índice de γ é a forma quadrática associada à forma bilinear simétrica I denida por

I(V, W ) = Z b a hDV ∂t , DW ∂t i − hR( ˙γ, V )W, ˙γi ! dt. Da denição anterior segue o seguinte resultado

Corolário 1.2. Seja Γ uma variação própria de uma geodésica normal γ cujo campo de variação é um campo de vetores normal próprio V , a segunda variação de L(Γ) é I(V, V ). Em particular se γ é minimizante, então I(V, V ) ≥ 0 para todo campo vetorial normal próprio.

1.9 Segunda forma fundamental

Sejam M e Mfe seja f : M −→Mfuma imersão. Considerando M ⊂Mf, em cada ponto p ∈ M, TpMfdecompõe-se como soma direta

TpM = Tf _pM ⊕ (T_pM )⊥, onde (TpM )⊥ é o complemento ortogonal de TpM em TpMf.

A conexão Riemanniana de M será indicada por ∇ e conexão Riemanniana de Mf será indicada por∇e. Para X, Y ∈ X (M) com Xe eYe extensões locais em Mfpode-se demonstrar que ∇XY = ( e∇XeY )e T_, onde (∇e e XY )e T é a componente tangencial de ∇e e XYe.

Denição 1.28. Sejam X, Y e Z campos vetoriais locais denidos em um aberto U ∈ M e seja

X (U )⊥ = {X : U −→ T fM diferenciável : X(p) ∈ TpM⊥, para todo p ∈ M}.

A aplicação B : X (U) × X (U) −→ X (U)⊥ _{dada por}

B(X, Y ) = e∇

e

XY − ∇e XY,

está bem denida, além disso satisfaz que (1) B(X + Z, Y ) = B(X, Y ) + B(Z, Y ). (2) B(X, Y + Z) = B(X, Y ) + B(X, Z). (3) Para quaisquer f ∈ C∞_{(M )} B(f X, Y ) = f B(X, Y ). (4) Para quaisquer f ∈ C∞_{(M )} B(X, f Y ) = f B(X, Y ).

Pela bilinearidade de B temos que em um sistema de coordenadas o valor de B(X, Y )(p) só depende de X(p) e Y (p), então para p ∈ M e η ∈ (TpM )⊥ a aplicação Hη : TpM ×TpM −→ R

dada por

Hη(u, v) = hB(u, v), ηi, u, v ∈ TpM,

é uma forma bilinear e simétrica, isto permite a seguinte denição. Denição 1.29. A forma quadrática IIη denida em TpM por

IIη(u) = Hη(u, u)

é chamada de segunda forma fundamental de f em p com respeito a η.

Denição 1.30. Uma imersão f : M −→Mfé geodésica em p ∈ M se para todo η ∈ (T_pM )⊥ a segunda forma fundamental é identicamente nula em p. A imersão é dita totalmente geodésica se ela é geodésica para todo ponto p ∈ M.

Proposição 1.5. uma imersão f : M −→Mf é geodésica em p ∈ M se e somente se toda geodésica de M partindo de p é geodésica deMfem p.

Demonstração. Sejam γ(0) = p e γ0_{(0) = x. Sejam N uma extensão local, normal a M,}

de um vetor η em p e X uma extensão local normal a M, de γ0_{(t). Como X e N são}

perpendiculares, no ponto p temos

Hη(x, x) = hSη(x), xi

= −h e∇XN, Xi

= −XhN, Xi + hN, e∇XXi

= hN, e∇XXi.

Temos então que uma curva σ é uma geodésica no ponto p se e somente se, para todo x ∈ TpM, a geodésica γ de M que é tangente a x em p satisfaz que ∇eXX(p) não tem

2

Resultados preliminares

Os resultados deste capítulo formam a base para os resultados dos próximos capítulos.

2.1 Gradiente, Divergência, Hessiano e Laplaciano

Nesta seção serão denidos conceitos e provados alguns resultados usados nos próximos capítulos.

Denição 2.1. Seja M uma variedade Riemanniana e seja f ∈ C∞_{(M ). O gradiente de f}

é denido como o campo vetorial gradf em M que em um ponto p ∈ M, satisfaz hgradf, vi = dfp(v)

Denição 2.2. Sejam M uma variedade Riemanniana e X ∈ X (M) e TX : TpM −→ TpM

dado TX(Y (p)) = ∇YX(p). A divergência de X como a função div(X) : M −→ R é dada

por

div(X) = tr(TX).

Denição 2.3. Sejam M uma variedade Riemanniana e f ∈ C∞_{(M ). O Hessiano de f,}

Hessf como a forma bilinear simétrica tal que para X, Y ∈ X (M) Hessf (X, Y ) = X(Y f ) − (∇XY )f,

Equivalentemente pode-se denir o Hessiano por

pois

h∇X(gradf ), Y i = X(hgradf, Y i) − hgradf, ∇XY i

= X(Y (f ))) − ∇XY (f )

= Hessf (X, Y ). Em coordenadas locais

Hess(f )ij = ∂i∂jf − (∂kf )Γkij

Denição 2.4. Seja M uma variedade Riemanniana e seja f ∈ D(M) O operador Laplaciano de Hodge ∆ : C∞_{(M ) −→ D(M ) é denido por}

∆f = tr(Hessf ),

Proposição 2.1. Seja M uma variedade Riemanniana de dimensão n e p ∈ M. Existe uma vizinhança U ⊂ M de p e n campos de vetores E1, . . . .En ∈ X (U ), ortonormais em cada

ponto de U, tais que (∇EiEj)(p) = 0 . Esta família de campos de vetores é chamada de

referencial geodésico em p

Demonstração. Seja B(p)uma bola geodésica em p e seja {v1, . . . , vn}uma base ortonormal

de TpM. Então para x ∈ B(p) xo existe vx ∈ TpM tal que expp(vx) = x. Denindo a

geodésica normalizada

γ(t) = expp(tv),

tem-se que γ liga p a x e satisfaz que γ(|vx|) = x.

Denindo os campos vetoriais Ei sobre γ por

Ei(t) = P (vi)(t), i = 1 . . . , n

onde P é o transporte paralelo de vi ao longo de γ de p até q. Para todo i = 1 . . . , n, os

campos Ei são ortonormais, pois o transporte paralelo é uma isometria. Além disso, se

γi(t) = exppt(vi), i = 1 . . . , n

com t ∈ (, −), por denição de γi

Considerando Pi,t : TpM −→ Tγj(t)M o transporte paralelo de γi de 0 até t nota-se que para cada i = 1 . . . , n e cada k = 1 . . . , n Pi,t(Ek(γi(t))) = vk logo (∇EiEj)(p) = d dtP −1 i,t (Ei(γ(t)))|t=0 = d dtvi|t=0= 0.

Proposição 2.2. Seja {E1, . . . En} um referencial geodésico em p tem-se as seguintes

fór-mulas

(1) ∇f(p) = Pi(Ei(f ))Ei(p),

(2) divX(p) = Pi(EihX, Eii)(p).

(3) ∆f(p) = PiEi2f (p).

Demonstração. (1) Como {E1(p), . . . En(p)} é uma base ortonormal de TpM, segue que se

∇f (p) =

n

X

i=1

ai(p)En(p),

então ai(p) = h∇f (p), Ei(p)i = dfp(Ei(p)) = Ei(p)(f ), logo ∇f(p) = P_i(Ei(f ))Ei(p).

(2) Considerando TX : TpM −→ TpM tal que TX(Y (p)) = ∇YX(p) tem-se que

TX(Ei(p)) = ∇Ei  X j hX, EjiEj  (p) = EihX, Eji  Ej(p) + hX, Eji∇EiEj(p) = EihX, Eji  Ej(p),

daí por denição

div(X) = tr(TX) = X i EihX, Eii(p). (3) Como ∇EiEj = 0 então Γk_ij = 0, logo ∆f = tr(Hessf ) =X i Ei(Ei(f )).

2.2 Fórmula de Bochner-Weitzenböck generalizada

Nesta seção apresentamos uma generalização de um resultado muito importante a fórmula de Bochner-Weitzenböck, que é uma adaptação do resultado que aparece em [13].

Lema 2.1. Sejam M uma variedade Riemanniana, X, Z ∈ X (M) campos vetoriais e f ∈ C∞(M ) então

h∇Xgradf, Y i = h∇Ygradf, Xi,

ou equivalentemente

Hessf (X, Y ) = Hessf (Y, X).

Demonstração. Usando as propriedades de conexão Riemanniana temos h∇Xgradf, Y i = Xhgradf, Y i − hgradf, ∇XY i,

h∇Ygradf, Xi = Y hgradf, Xi − hgradf, ∇YXi,

daí

h∇Xgradf, Y i − h∇Ygradf, Xi = (Xhgradf, Y i − hgradf, ∇XY i) + (Y hgradf, Xi − hgradf, ∇YXi)

= XY (f ) − Y X(f ) − hgradf, ∇XY − ∇YXi)

= [X, Y ](f ) − [X, Y ](f ) = 0,

logo

h∇Xgradf, Y i = h∇Ygradf, Xi.

Teorema 2.1 (Fórmula de Bochner-Weitzenböck). Seja M uma variedade Riemanniana completa. Então para toda função f ∈ C3_{(M ), tem-se}

1

2∆|gradf |

2 _{= |Hessf |}2_{+ hgradf, ∇(∆f )i + Ric(gradf, gradf ),}

Demonstração. Seja p ∈ M xo e seja {Ei}ni=1 um referencial geodésico em p, então 1 2∆|gradf | 2 ₌ 1 2EiEihgradf, gradf i = Eih∇Eigradf, gradf i = Eih∇∇fgradf, Eii

= h∇Ei∇gradf∇f, Eii + h∇gradfgradf, ∇EiEii.

No ponto p 1

2∆|gradf |

2 _{= h∇}

Ei∇gradfgradf, Eii

= hR(Ei, gradf )gradf, Eii + h∇gradf∇Eigradf, Eii + h∇[Ei,gradf ]gradf, Eii

= hRic(gradf, gradf )i + h∇gradf∇Eigradf, Eii + Hess(f )([Ei, gradf ], Ei),

como

h∇gradf∇Eigradf, Eii = gradf h∇Eigradf, Eii − h∇Eigradf, ∇gradfEii

= gradf h∇Eigradf, Eii − 0 em p

= (gradf )tr(Hessf ) = (gradf )∆f

= hgradf, grad(∆f )i, e

Hess(f )([Ei, gradf ], Ei) = Hess(f )(Eigradf − gradf Ei, Ei)

= Hess(f )(∇Eigradf − ∇gradfEi, Ei)

= Hess(f )(∇Eigradf, Ei) − Hess(f )(∇gradfEi, Ei)

= Hess(f )(∇Eigradf, Ei) − 0, em p

= Hess(f )(Ei, Eigradf )

= h∇Eigradf, ∇Eigradf i

= |Hess(f )|2 temos nalmente

1

2∆|gradf |

Assim pela arbitrariedade do ponto p segue o resultado.

Lema 2.2. Seja M uma variedade Riemanniana completa. Então para toda função f ∈ C3_{(M )e toda função φ ∈ C}2_{(M ), tem-se}

−(gradφ)|gradf |2 _{= −2hgradf, gradhgradf, gradφii + 2Hessφ(gradf, gradf )}

Demonstração.

−(gradφ)|gradf |2 _{= −gradφhgradf, gradf i}

= −2h∇∇φgradf, gradf i

= −2h∇gradfgradf, gradφi

= −2gradf hgradf, gradφi + 2hgradf, ∇gradfgradφi

= −2hgradf, ∇hgradf, gradφii + 2Hessφ(gradf, gradf ) = −2hgradf, ∇(gradφ(f ))i + 2Hessφ(gradf, gradf ).

Por simplicidade a partir daqui usaremos ∇ para denotar o operador gradiente. Com esta notação enunciamos o seguinte teorema que é o objetivo desta seção.

Teorema 2.2 (Fórmula de Bochner-Weitzenböck generalizada). Seja M uma variedade Rie-manniana completa e seja L = ∆−∇φ·∇. Então para toda função f ∈ C3_{(M )e toda função}

φ ∈ C2(M )

L|∇f |2 = 2|Hessf |2+ 2h∇Lf, ∇f i + 2(Ric(∇f, ∇f ) + Hess(φ)(∇f, ∇f )), pontualmente.

Demonstração.

L|∇f |2 = ∆|∇f |2− ∇φ(|∇f |2₎

= 2|Hessf |2+ 2h∇f, ∇∆f i + 2Ric(∇f ) − 2h∇f, ∇(∇φ(f ))i + 2Hessφ(∇f ) = 2|Hessf |2+ 2h∇Lf, ∇f i + 2(Ric(∇f, ∇f ) + 2Hess(φ)(∇f, ∇f )).

2.3 Principio do máximo

Nesta seção estudamos uma generalização do principio do máximo para operador de difusão L = ∆ − ∇φ · ∇, escrevendo primeiro o principio do máximo clássico.

Proposição 2.3 (Principio do máximo). Seja u : D ⊂ Rn _{−→ R uma função de classe C}2

satisfazendo L[u] = n X i,j=1 aij ∂2u ∂xi∂xj + n X i=1 bi ∂u ∂xi ≥ 0,

em um domínio conexo D onde L é um operador elíptico, se as funções aij e bij são

uni-formemente limitadas e u atinge um máximo em um ponto de D. Então u é constante em D.

Demonstração. ver por exemplo [11] página 61.

Denição 2.5. Uma função f em M satisfaz Lf ≥ 0 no sentido de barreira, se para todo q ∈ M e  > 0, existe uma função de classe C∞ fq, em uma vizinhança de q, tal que fq,≤ f

mas fq,(q) = f (q), e Lfq,(q) ≥ −. Tal fq, é chamada de função suporte de f.

Teorema 2.3 (Principio do máximo de Calabi-Hopf). Seja (M, g) uma variedade diferen-ciável completa e conexa, φ ∈ C2_{(M )}, e L = ∆ − ∇φ · ∇. Seja f uma função continua em

M tal que Lf ≥ 0 no sentido de barreira. Então f atinge um máximo ou é constante. Demonstração. Seja p ∈ M um máximo local, então p é um máximo de f num aberto V que contém p. Suponhamos que f não é constante e consideremos uma bola geodésica Bp(δ) tal

que f(z) < f(p) para algum z ∈ ∂Bp(δ). Por outro lado consideremos (U, ϕ) um sistema de

coordenadas normais tal que

p = ϕ(0, . . . , 0), e

z = ϕ(δ, 0, . . . , , 0). Denindo h : Bp(δ) −→ R por

h(ϕ(x1, . . . , xn)) = x1− C(x22+ · · · + x2n),

Notamos que

|∇h(ϕ(x1, . . . , xn))|2 = 1 + 4C(x22+ · · · + x 2

n) 6= 0 , ∆h(ϕ(x1, . . . , xn)) = −C(n − 1).

Seja ψ : Bp(δ) −→ R denida por

ψ(ϕ) = eah(ϕ)− 1, então

∆ψ = (a2|∇h|2 _{+ a∆h)e}ah_,

|∇ψ| = aeahq_{1 + 4C}2_(x2

1+ · · · + x2n),

assim para a sucientemente grande

∆ψ > 0, a|∇h|2+ ∆h ≥ |∇φ|√1 + 4δ2_C2_,

e ψ(p) = 0, logo para 0 < η < 1 sucientemente pequeno

(f + ηψ)|∂Bp(δ) < f (p), (f + ηψ)(p) = f (p),

então f + ηψ tem um máximo em algum ponto q ∈ Bp(δ). Como fq, é suporte de f em q

temos Lfq,≥ −. então L(fq,+ ηψ) = Lfq,+ ηLψ ≥ − + ∆ψ − ηh∇φ, ∇ψi de outro lado ∆ψ − ηh∇φ, ∇ψi ≥ (a2|∇h|2_{+ a∆h)e}ah_{− η|∇φ||∇ψ|} ≥ aeah_|∇φ|√_{1 + 4δ}2_C2_{− η|∇φ||∇ψ|} ≥ aeah_|∇φ|√_{1 + 4δ}2_C2_{− η} q 1 + 4C2_(x2 1+ · · · + x2n)  > 0,

daí

L(fq,+ ηψ) ≥ −,

além disso (fq,+ ηψ)(q) = (f + ηψ)(q) portanto fq, + ηψ é uma função suporte para de

f + ηψ e para  sucientemente pequeno

L(fq,+ ηψ) > 0,

o que não é possível pela Proposição 2.3

Um resultado importante de regularidade sobre operadores elípticos em equações difer-enciais que será utilizado nesta dissertação é o seguinte.

Proposição 2.4. Seja u ∈ C2_{(D) uma solução da equação}

Lu = f,

em um conjunto aberto D onde f e os coecientes de do operador elíptico L estão em C∞_(D).

Então u ∈ C∞_(D).

Demonstração. Ver por exemplo [2] página 109.

2.4 Funções de Busemann

Nesta seção e no que segue desta dissertação as geodésicas serão consideradas normal-izadas.

Denição 2.6. Seja γ : [0, ∞) −→ M uma geodésica denida. Se o conjunto dos números t ≥ 0para os quais d(γ(0), γ(t)) = t é da forma [0, t0], o ponto γ(t0)é chamado ponto mínimo

de p ao longo de γ. Denimos o cut locus ou lugar dos pontos mínimos de p, indicado por Cut(p) como a união de todos os pontos mínimos de p ao longo de todas as geodésicas que partem de p.

Denição 2.7. Um raio γ é uma geodésica denida em [0, ∞) tal que γ é minimizante de γ(0) a γ(t) para todo t ≥ 0. Uma linha é uma geodésica denida em (−∞, ∞) que é minimizante em cada intervalo.

Se M é uma variedade Riemanniana completa e não compacta e p ∈ M, então existe um raio γ tal que γ(0) = p. Para provar isto consideramos uma sequência qm ∈ M tal que

lim

m→∞d(p, qm) = ∞,

e seja δnuma geodésica minimizante ligando p a qmpartindo de p. Daí ˙δm(0)é uma sequência

de pontos na esfera unitária Sn−1 _{⊂ T}

pM. Pela compacidade de Sn−1 existe um ponto de

acumulação v ∈ Sn−1_{. Portanto existe uma subsequência {t}

k} ⊂ {tm}tal que ˙δk(0) converge

ao vetor v. Seja δ : [0, ∞) −→ M a geodésica denida por δ(s) = expp(sv),

então ˙δ(0) = v e para um s0 xado temos

lim

m→∞δm(s0) = δ(s0),

e como a função distância é continua lim

m→∞d(p, δm(s0)) = d(p, δ(s0)),

mas para m sucientemente grande d(p, δm(s0)) = s0, logo

d(p, δ(s0)) = s0,

portanto δ é um raio.

Do outro lado nem toda variedade completa e não compacta possui uma linha, basta considerar uma superfície como o parabolide de revolução.

Lema 2.3. Seja γ um raio, se denimos bγ

r : M −→ R como sendo bγ_r(x) = r − d(x, γ(r)) 1 Para x ∈ M xo bγ r é crescente em r. 2 bγ r é limitada por d(x, γ(0)). 3 A família de funções {bγ

r} é uniformente continua e para cada γ, bγr é Lipschitziana

Demonstração. (1) Pela desigualdade triângular, para todo s > r, d(x, γ(r)) − d(x, γ(s)) ≤ d(γ(r), γ(s)) = r − s, então (r − d(x, γ(r))) − (s − d(x, γ(x, γ(s))) ≥ 0 logo bγ r(x) ≥ bγs(x).

(2) Pela desigualdade triângular

bγ_r(x) = r − d(x, γ(r)) ≤ d(x, γ(0)) (3) Seja r xo pela denição de bγ

r temos

|bγ

r(x) − b γ

r(y)| = |d(x, γ(r)) − d(y, γ(r))| ≤ d(x, y),

logo a família bγ

r é uniformente continua.

O Lema 2.3 permite fazer a seguinte denição

Denição 2.8. Seja γ um raio, a função de Busemann associada a γ, bγ _{é denida por}

bγ(x) = lim

t→∞{t − d(x, γ(t))}.

Se γ : (−∞, ∞) −→ M é uma linha, podemos associar a ela duas funções de Busemann, a saber: b+(x) = lim t→∞t − d(x, γ(+t)), e b−(x) = lim t→∞t − d(x, γ(−t)).

3

Modicações do tensor de Ricci e

Aplicações

Um dos principais Teoremas de estrutura para variedades Riemannianas com restrição sobre a curvatura de Ricci é o teorema de Myers que dá informação sobre a topologia da variedade. Neste capítulo o objetivo é demonstrar duas generalizações do teorema de Myers usando duas modicações do tensor de Ricci e de uma generalização do teorema de Bochner.

3.1 O Teorema de Myers Generalizado

Teorema 3.1. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana completa e conexa de dimensão n. Suponha que M admite um campo de vetores V satisfazendo as desigualdades

Ric + LVg ≥ (n − 1)C > 0 (3.1)

e |V | ≤ r. Então M é compacta e o diâmetro satisfaz

diam(M ) ≤ π

(n − 1)C √

2r +p2r2_{+ (n − 1)}2_C_.

É claro que se V = 0, temos o teorema de Myers. Demonstração. 3.1

Sejam p, q ∈ M. Pela completitude de M existe uma geodésica minimizante γ ligando p a q de comprimento l. Seja

{E1 = ˙γ, E2, . . . , En},

um conjunto de vetores ortonormais, tais que {E1(0), E2(0), . . . , En(0)} é um referencial

geodésico em p e os campos vetoriais E2, . . . , En são paralelos ao longo de γ.

Seja f ∈ C∞_{([0, l]) tal que f(0) = f(l) = 0. Então a forma do índice satisfaz}

I(f Ei, f Ei) = Z l 0 (h ˙f Ei, ˙f Eii − hR(f Ei, ˙γ) ˙γ, f Eii) dt somando n X i=2 I(f Ei, f Ei) = Z l 0 ((n − 1) ˙f2− n X i=2 f2hR(Ei, ˙γ) ˙γ, Eii) dt = Z l 0 ((n − 1) ˙f2− n X i=2 f2hR(Ei, ˙γ) ˙γ, Eii + f2hR( ˙γ, ˙γ) ˙γ, ˙γi) dt = Z l 0 ((n − 1) ˙f2− n X i=1 f2hR(Ei, ˙γ) ˙γ, Eii) dt = Z l 0 ((n − 1) ˙f2− f2_{Ric( ˙γ, ˙γ)) dt.}

Usando 3.1 temos que

n X i=2 I(f Ei, f Ei) ≤ Z l 0 ((n − 1) ˙f2+ f2LVh ˙γ, ˙γi − (n − 1)Cf2) dt = Z l 0 ((n − 1)( ˙f2− Cf2_{) + f}2_L Vh ˙γ, ˙γi) dt = Z l 0 ((n − 1)( ˙f2− Cf2_{) + 2f}2_h∇ ˙ γV, ˙γi) dt

como γ é uma geodésica ∇γ˙˙γ = 0 e dado que ∇ é uma conexão temos

˙γhV, ˙γi = h∇γ˙V, γi + hV, ∇γ˙˙γi

= h∇γ˙V, γi, logo n X i=2 I(f Ei, f Ei) ≤ Z l 0 ((n − 1)( ˙f2− Cf2_{) + 2f}2_{˙γhV, ˙γi) dt,}

onde 2f2_{˙γhV, ˙γi = 2f}2 d

dthV, ˙γi(γ(t)), assim

2f2˙γhV, ˙γi = −4f ˙f hV, ˙γi + 2d dt(f

2_{hV, ˙γi),}

integrando a ambos lados Z l 0 2f2˙γhV, ˙γi = Z l 0 −4f ˙f hV, ˙γidt + 2(f2hV, ˙γi)|l 0, = Z l 0 −4f ˙f hV, ˙γidt, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz

Z l 0 −f ˙f hV, ˙γidt ≤ Z l 0 f2f˙2dt 1 2Z l 0 hV, ˙γi2_dt 1 2 . Como ˙γ é unitário hV, ˙γi2 _{≤ hV, V i e usando o fato que |V | ≤ r temos}

Z l 0 hV, ˙γi2 1 2 ≤ r√l. Então Z l 0 −f ˙f hV, ˙γidt ≤ r√l Z l 0 f2f˙2dt 1 2 . Logo n X i=2 I(f Ei, f Ei) ≤ Z l 0 (n − 1)( ˙f2− Cf2)dt + 4r√l Z l 0 f2f˙2dt 1 2 , tomando f(t) = sen(πt l ), tem-se ˙f(t) = π l cos( πt l )) e n X i=2 I(f Ei, f Ei) ≤ (n − 1) Z l 0 π2 l2 cos 2πt l  − Csen2πt l  ! dt + 2πr√ l Z l 0 sen2πt l  !1₂ dt = (n − 1) Z l 0 π2 l2 − π2 l2 + C  sen2πt_l  ! dt + π√2r = (n − 1) π 2 l − π2 l2 + C l 2 ! + π√2r = −1 2l((n − 1)Cl 2_{− 2}√_{2rπl − (n − 1)π}2_), se (n − 1)Cl2 _{− 2}√_{2rπl − (n − 1)π}2 _{> 0 então} 1 2E 00_{(0) =} Pn

i=2I(f Ei, f Ei) < 0, logo

Se M é uma variedade Riemanniana, dado um campo vetorial V denota-se por V∗ _a

1-forma associada a V tal que V∗(Y ) = hV, Y i. Podemos obter uma outra generalização do Teorema 3.1 sem impor |V | ≤ r.

Teorema 3.2. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana completa e conexa de dimensão n. Suponha que (M, g) admite um campo de vetores V satisfazendo as desigualdades

Ric + LVg − kV∗⊗ V∗ ≥ (n − 1)C > 0, (3.2)

onde k > 0. Então M é compacta e seu diâmetro satizfaz

diam(M ) ≤ π

p(n − 1)C r

n − 1 + 4 k

Demonstração. De forma análoga à demonstração do teorema 3.1 e usando 3.2

n X i=2 I(f Ei, f Ei) = Z l 0 ((n − 1) ˙f2− f2_{Ric( ˙γ, ˙γ)) dt} ≤ Z l 0 ((n − 1) ˙f2+ f2LVh ˙γ, ˙γi − kf2V∗ ⊗ V∗( ˙γ, ˙γ) − (n − 1)Cf2) dt = Z l 0 ((n − 1)( ˙f2− Cf2) − 4f ˙f hV, ˙γi) dt + k Z l 0 f2hV, ˙γi2 dt, fazendo P = − ˙f e T = fhV, ˙γi, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz

Z l 0 −f ˙f hV, ˙γidt ≤ Z l 0 P2dt !1₂ Z l 0 T2dt !1₂ = Z l 0 ˙ f2dt !1₂ Z l 0 f2hV, ˙γi2_dt !1₂ . Tomando A = Rl 0 2 kf˙ 2_{dt ≥ 0, B = R}l 0 k 2f

2_{hV, ˙γi}2_{dt ≥ 0 e usando que} √_{AB ≤} A+B

2 temos Z l 0 −f ˙f hV, ˙γidt ≤ Z l 0 (1_kf˙2₊k 4f 2_{hV, ˙γi}2_)dt, daí Z l 0 −4f ˙f hV, ˙γi dt ≤ Z l 0 ((n − 1 + 4_k) ˙f2_{− kf}2_{hV, ˙γi}2_{) dt,} e logo n X i=2 I(f Ei, f Ei) ≤ Z l 0 (n − 1 +_k4) ˙f2 _{− (n − 1)Cf}2
_dt,

fazendo f(t) = sen(πt l ) n X i=2 I(f Ei, f Ei) ≤ π 2 l (π 2_{(n − 1 +}4 k) − (n − 1)Cl 2_),

analogamente à demonstração do teorema 3.1 temos

l ≤ π p(n − 1)C r n − 1 + 4 k.

3.2 Teorema de Bochner

Denição 3.1. Seja X ∈ X (M), existe uma única 1−forma θX associada a X tal que para

todo Y ∈ X (M)

θX(Y ) = hX, Y i.

X é dito harmônico se dθX = 0 e div(X) = 0.

Proposição 3.1. X é um campo vetorial harmônico se e somente se div(X) = 0 e h∇YX, Zi =

h∇ZX, Y i.

Demonstração. Da Denição 3.1 X é harmônico se e somente se dθX = 0 e div(X) = 0.

Como

dθX(Y, Z) = Y θX(Z) − ZθX(Y ) − θX([Y, Z])

= h∇YX, Zi + hX, ∇YZi − h∇ZX, Y i − hX, ∇ZY i − hX, [Y, Z]i

= h∇YX, Zi − h∇ZX, Y i + hX, ∇YZi − hX, ∇ZY i − hX, [Y, Z]i

= h∇YX, Zi − h∇ZX, Y i + hX, [Y, Z]i − hX, [Y, Z]i

= h∇YX, Zi − h∇ZX, Y i,

segue o resultado.

Lema 3.1. Seja Y um campo vetorial harmônico então

Demonstração. Seja p ∈ M xo e seja {Ei}ni=1 um referencial geodésico em p, então pela Proposiçao 2.2 div(∇YY ) = Eih∇YY, Eii = h∇Ei∇YY, Eii + h∇YY, ∇EiEii = h∇Ei∇YY, Eii = R(Y, Ei, Y, Ei) + h∇Y∇EiY, Eii + h∇[Ei,Y ]Y, Eii = Ric(Y, Y ) + Y h∇EiY, Eii − h∇EiY, ∇YEii + h∇[Ei,Y ]Y, Eii = Ric(Y, Y ) + Y (div(Y )) − h∇EiY, ∇YEii + h∇[Ei,Y ]Y, Eii.

No ponto p pela Proposiçao 3.1 h∇[Ei,Y ]Y, Eii = h∇EiY, [Ei, Y ]i e h∇EiY, Eii = EihY, Eii =

div(Y ) = 0, então

div(∇YY ) = Ric(Y, Y ) − h∇EiY, ∇YEii + h∇EiY, [Ei, Y ]i

= Ric(Y, Y ) − h∇EiY, ∇YEii + h∇EiY, ∇EiY − ∇YEii

= Ric(Y, Y ) + h∇EiY, ∇EiY i − 2h∇EiY, ∇YEii

= Ric(Y, Y ) + h∇Y, ∇Y i − 2h∇EiY, ∇YEii,

como ∇YEi = 0, então

div(∇YY ) = Ric(Y, Y ) + h∇Y, ∇Y i.

Pela arbitrariedade do ponto o resultado segue.

Teorema 3.3. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana fechada, orientada e conexa de di-mensão n. Suponha que (M, g) admite um campo vetorial V satisfazendo a desigualdade

Ric + LVg − div(V )g ≥ 0. (3.3)

Então

(1) Todo campo de vetores harmônico é paralelo. (2) Se existe uma constante positiva C > 0 tal que

então não existe um campo de vetores harmônico não-trivial.

Demonstração. (1)Seja Y um campo vetorial harmônico e seja W denido por W = ∇YY + 2hY, V iY − hY, Y iV,

então tomando a divergência de W e usando que div(Y ) = 0, temos

div(W ) = div(∇YY ) + 2Y (hY, V i) + 2hY, V idiv(Y ) − V (hY, Y i) − (hY, Y i)div(V )

= div(∇YY ) + 2h∇YY, V i + 2hY, ∇YV i − 2h∇VY, Y i − hY, Y idiv(V ).

Pelo Lema 2.1 h∇VY, Y i = h∇YY, V i, daí

div(W ) = div(∇YY ) + 2hY, ∇YV i − hY, Y idiv(V )

= div(∇YY ) + LVg(Y, Y ) − hY, Y idiv(V ).

Aplicando o Lema 3.1

div(W ) = Ric(Y, Y ) + h∇Y, ∇Y i + LVg(Y, Y ) − hY, Y idiv(V )

integrando a ambos lados 0 = Z M div(W ) dvol (3.5) = Z M

(Ric(Y, Y ) + h∇Y, ∇Y i + LVg(Y, Y ) − hY, Y idiv(V )) dvol (3.6)

pela desigualdade 3.3 deve acontecer que 0 ≥

Z

M

h∇Y, ∇Y i dvol. Do outro lado, como h∇Y, ∇Y i ≥ 0 então

0 ≤ Z

M

h∇Y, ∇Y i dvol. logo h∇Y, ∇Y i = 0, portanto ∇Y = 0, então Y é paralelo.

(2) Supondo que existe um campo de vetores Y harmônico não-trivial por 3.4 e 3.5 0 ≥

Z

M

(ChY, Y i + h∇Y, ∇Y i) dvol,

como 0 ≤ R_M(ChY, Y i + h∇Y, ∇Y i) dvol, então ChY, Y i = h∇Y, ∇Y i = 0. Logo hY, Y i = 0 pois C > 0, então Y = 0 o que contradiz o fato de Y ser não trivial.

4

Uma generalização do teorema de

decomposição de Cheeger-Gromoll via o

tensor de Ricci Barkry-Emery

O teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll é um dos teoremas de estrutura mais importantes da Geometria Riemanniana para variedades não compactas e possui muitas aplicações. Neste capítulo demonstraremos uma generalização deste teorema, demonstrando antes alguns resultados importantes que serão usados na demonstração.

4.1 Estimativa sobre a função de Busemann

Teorema 4.1. Sejam M uma variedade Riemanniana completa e φ ∈ C2_{(M )} tais que

Ric + Hess(φ) ≥ 0, (4.1)

em M. Seja p ∈ M xo denimos a função distância ρ : M −→ R como sendo ρ(x) = dist(p, x). Então para L = ∆ − ∇φ · ∇ tem-se

Lρ(q) ≤ n − 1 ρ(q) − 2 ρ(q)φ(q) + 1 ρ2_(q) Z ρ(q) 0

φ ◦ γ dt para todo q ∈ M \ cut(p) onde γ é uma geodésica normal minimal ligando p a q.

Demonstração. Dado q ∈ M seja γ : [0, ρ(q)] −→ M a geodésica minimal normal de p a q e sejam E1(t), . . . , En−1(t)campos de vetores ortonormais e paralelos ao longo de γ, ortogonais,

denidos a partir do transporte paralelo de um referencial geodésico em p a longo de γ sendo {E1(0), . . . , En−1(0), ˙γ(0)} é uma base de Tγ(0)M.

Denimos os campos de vectores {Xi(t)}n−1i=1 ao longo de γ por

Xi(t) =

t

ρ(q)Ei(t), i = 2 . . . n − 1.

Considerando a base {X1(t), . . . , Xn−1(t), Xn(t) = ˙γ(t)} de Tγ(t)M e usando que os Ei são

paralelos, temos ∆ρ(q) = traço(Hessρ) = n X i=1 X_i2(ρ) − ∇XiXi(ρ),

usando a primeira variação do comprimento de arco do Teorema 1.6 ∇XiXiρ = h∇XiXi, ˙γi|

t=ρ(q) t=0

e pela segunda variação do comprimento Teorema 1.7 , X_i2ρ = Z ρ(q) 0 (|(∇γ˙Xi)⊥|2− hR(Xi, ˙γ) ˙γ, Xii)dt + h∇XiXi, ˙γi| t=ρ(q) t=0 , logo X_i2ρ ≤ Z ρ(q) 0 (|∇γ˙Xi|2− hR(Xi, ˙γ) ˙γ, Xii)dt, daí ∆ρ(q) ≤ Z ρ(q) 0 n−1 X i=1 |∇γ˙Xi|2 − hR(Xi, ˙γ) ˙γ, Xii
! dt = Z ρ(q) 0 n − 1 ρ2_(q) − t2 ρ2_(q)Ric( ˙γ, ˙γ)  dt ≤ n − 1 ρ(q) + Z ρ(q) 0 t2 ρ2_(q)Hess(φ)( ˙γ, ˙γ)dt = n − 1 ρ(q) + 1 ρ2_(q) Z ρ(q) 0 t2 d 2 dt2(φ ◦ γ)dt = n − 1 ρ(q) + d dt(φ ◦ γ)(q) − 2 ρ2_(q) Z ρ(q) 0 td dt(φ ◦ γ)dt = n − 1 ρ(p) + h∇φ, ˙γi(q) − 2 ρ(q)φ(q) + 1 ρ2_(q) Z ρ(q) 0 φ ◦ γdt,

logo para L = ∆ − ∇φ · ∇ Lρ(q) = ∆ρ(q) − h∇φ, ˙γi(q) ≤ n − 1 ρ(q) − 2 ρ(q)φ(q) + 1 ρ2_(q) Z ρ(q) 0

φ ◦ γ dt para todo q ∈ M \ cut(p) onde γ é uma geodésica normal minimal ligando p a q.

4.2 Teorema de Cheeger-Gromoll generalizado

Finalmente passamos a demonstrar o principal teorema desta seção.

Lema 4.1. Sejam M uma variedade Riemanniana, γ : [0, ∞) −→ M um raio em M e q ∈ M xo. Se δm é a geodésica minimizante ligando q a γ(tm) com vetor inicial unitário ˙δm(0),

então existe uma sequência tk tal que ˙δk(0) converge a X ∈ TqM e a geodésica δ tal que

˙δ(0) = X é um raio.

Demonstração. Seja q ∈ M xo. Então ˙δm(0) é uma sequência de pontos na esfera unitária

Sn−1 ⊂ TqM, logo pela compacidade de Sn−1 existe um ponto de acumulação X ∈ Sn−1,

portanto existe uma subsequência {tk} ⊂ {tm} tal que ˙δk(0) converge ao vetor X. Seja

δ : [0, ∞) −→ M a geodésica denida por

δ(s) = expq(sX).

Então ˙δ(0) = X e para um s0 xado

lim

k→∞δk(s0) = δ(s0),

e como a função distância é continua lim

k→∞d(q, δk(s0)) = d(q, δ(s0)),

mas para k sucientemente grande d(q, δk(s0)) = s0, logo

d(q, δ(s0)) = s0,

Lema 4.2. Seja M uma variedade Riemanniana completa e seja γ um raio. Se Ric + Hess(φ) ≥ 0para alguma função suave φ uniformemente limitada em M então as funções de Busemann associadas a γ que chamamos bγ satisfazem

Lbγ ≥ 0, no sentido de barreira.

Demonstração. Sejam p = γ(0) e bγ _{a função de Busemann ao longo do raio γ. então para}

q ∈ M seja δ a geodésica saindo de q gerada por X. Pelo Lema 4.1 temos que δ é um raio, logo q não pertence ao cut-locus de δ(r) para todo r > 0. Então

f_rγ(q)(x) = r − d(x, δ(r)) + bγ(q),

é de classe C∞ _{numa vizinhança U ao redor de q. Seja x ∈ U, então pela desigualdade}

triangular

d(x, δ(r)) ≤ d(x, q) + d(q, δ(r)) = d(x, q) + r,

logo −d(x, q) ≤ r − d(x, δ(r)). De forma análoga r − d(x, δ(r)) ≤ d(q, r) daí 0 ≤ r − d(x, δ(r)),

portanto fγ

r satisfaz que frγ≤ bγ com frγ(q) = bγ(q). Além disso pelo Teorema 4.1 temos

Lf_rγ(x) = −Ld(δ(r), x) ≥ n − 1 d(δ(r), x) − 2φ(x) d(δ(r), x) + 2 d(δ(r), x)2 Z d(δ(r),x) 0 φ ◦ σdt

onde σ é uma geodésica minimal ligando δ(r) e x. Asim para todo  > 0, com r suciente-mente grande, Lfγ

r(x) ≥ − para x numa vizinhança de q. Logo frγ é uma função suporte

para bγ_.

Lema 4.3. Seja M uma variedade diferenciável completa e conexa. Se Ric + Hess(φ) ≥ 0 para alguma função suave φ limitada em M. Suponha que M contem uma linha γ. Então as funções de Buseman b+ _{e b}− _{associadas aos raios γ}+_{(t) = γ(t) e γ}+_{(t) = γ(−t), t ≤ 0, são}

Demonstração. Pelo lema 4.2, L(b+ _{+ b}−_{) ≥ 0 no sentido de barreira. Seja x ∈ M. Pela}

desigualdade triangular

2t = d(γ(t), γ(−t)) ≤ d(γ(t), x) + d(x, γ(−t)). Logo

t − d(γ(t), x) + t − d(x, γ(−t)) ≤ 0,

segue daí que b+_{+ b}− _{≤ 0 em M. Do outro lado, (b}+_{+ b}−_{)(γ(0)) = 0, então pelo Teorema}

2.3

b++ b− ≡ 0sobre M. Como Lb+ _{≥ 0}e Lb− _{≥ 0então}

0 ≤ Lb+ = −Lb− ≤ 0,

mostra que L(b+_{) = L(b}−_{) = 0 no sentido de barreira. Logo pela Proposição 2.4 b}+ _{e b}− _são

suaves.

Lema 4.4. Seja M uma variedade diferenciável completa e conexa. Seja Ric + Hess(φ) ≥ 0

para alguma função suave φ a qual é limitada em M. Suponha que M contem uma linha γ. Então |∇b+_{| = 1 e ∇b}+ _{é um campo de vetores paralelo.}

Demonstração. Como b+ _{é de Lipschitz com constante igual a 1 então ∇b}+ _satisfaz

|∇b+_|2 _{≤ 1,}

logo a função H : M −→ R denida por

H(x) = |∇b+(x)|2− 1, satisfaz que H(x) ≤ 0. Além disso

(b+◦ γ)(t) = lim r→∞r − d(γ(t), γ(r)) = lim r→∞r − d(γ(0), γ(r)) + d(γ(0), γ(r)) − d(γ(t), γ(r)) = lim r→∞r − d(γ(0), γ(r)) + t = (b+◦ γ)(0) + t,

então

d ds(b

+_{◦ γ)(s) = 1,}

portanto h∇b+_{, ˙γ(s)i = 1 e pela desigualdade de Cauchy-Schwarz}

1 = |h∇b+, ˙γ(s)i| ≤ |∇b+|| ˙γ(s)| ≤ 1. Logo |∇b+_{◦ γ(s)| = 1 e ∇b}+_{(q) = ˙γ(s), daí H(γ(s)) = 0.}

Por outro lado, da denição de H,

LH = L|∇b+|2.

Assim usando a fórmula generalizada de Bochner-Weitzenböck (Proposição 2.2) L|∇f |2 = 2|Hess(f )|2+ 2h∇Lf, ∇f i + 2 Ric + Hess(φ)
(∇f, ∇f ), para f = b+_{, temos que}

LH = 2|Hess(b+)|2+ 2h∇Lb+, ∇b+i + 2 Ric + Hess(φ)
(∇b+, ∇b+) ≥ 2|Hess(b+_)|2

≥ 0,

isto último como resultado da desigualade Ric + Hess(φ) ≥ 0. Então H(x) ≤ 0, LH ≥ 0 e H(γ(s)) = 0, logo pelo Principio do Máximo H ≡ 0, ou equivalentemente |∇b+_|2 _{= 1.}

Falta mostrar que o campo vetorial ∇b+ é paralelo. Aplicando a fórmula generalizada de

Bochner-Weitzenböck para f = b+_{, pelo lema 4.3 e usando que Ric + Hess(φ) ≥ 0 temos}

L|∇b+|2 _{≥ 2|Hess(b}+_)|2 _{≥ 0.}

Como |∇b+_|2 _{= 1 então Hess(b}+_{) = 0, logo ∇}

X(∇b+) = 0 para todo X ∈ X (M), portanto

∇b+ _{é paralelo.}

Lema 4.5. Seja M uma variedade diferenciável completa e conexa. Seja Ric + Hess(φ) ≥ 0 para alguma função suave φ limitada em M. Suponha que M contém uma linha γ, e seja N = {x ∈ M ; b+_{(x) = 0}} onde b+ é a função de Buseman associada a γ. Então para todo

Demonstração. Seja p ∈ M. Pelo lema 4.1 existem pelo menos dois raios diferentes δ1 e δ2

partindo de p construídos a partir de γ. Sejam b±

1 e b

±

2 as respectivas funções de Buseman,

então (b+₁ ◦ δ1)(t) = lim r→∞r − d(δ1(t), δ1(t)) = lim r→∞r − d(δ1(0), δ1(r)) + d(δ1(0), δ1((r)) − d(δ1(t), δ1(r)) = lim r→∞r − d(δ1(0), δ1(r)) + t = (b+₁ ◦ δ1)(0) + t, analogamente (b− 2 ◦ δ2)(s) = (b−2 ◦ δ2)(0) + s.

Agora, pela desigualdade triangular

d(δ2(s), δ1(t)) + d(δ1(t), δ1(r)) ≥ d(δ2(s), δ1(r)). Então d(δ2(s), δ1(t)) ≥ (b+1 ◦ δ1)(t) − (b+1 ◦ δ2)(s) ≥ (b+₁ ◦ δ1)(t) + (b−2 ◦ δ2)(s) = (b+₁ ◦ δ1)(0) + t + (b−2 ◦ δ2)(0) + s = t + s + b+₁(p) + b−₂(p) = t + s.

Assim d(δ2(s), δ1(t)) ≥ t + s. Pela desigualdade triangular d(δ2(s), δ1(t)) ≤ t + s, logo

d(δ2(s), δ1(t)) = t + s.

O que implica que δ1 e δ2 são dois raios de uma mesma linha δ, logo estes raios são únicos.

Para nalizar a demonstração seja y ∈ N

d(y, δ1(t)) ≥ (b+1 ◦ δ1)(t) − b+1y(y)

= (b+₁ ◦ δ1)(0) + t − b+1y(y)

= t,