Estudo e simulações computacionais das propriedades eletrostáticas associadas à forma hemisfério-sobre-um-poste de emissores de elétrons por efeito de campo, baseados no método de elementos finitos

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

DAVI SABBAG ROVERI

ESTUDO E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DAS PROPRIEDADES

ELETROSTÁTICAS ASSOCIADAS À FORMA HEMISFÉRIO-SOBRE-UM-POSTE DE EMISSORES DE ELÉTRONS POR EFEITO DE CAMPO, BASEADOS NO MÉTODO DE

ELEMENTOS FINITOS.

CAMPINAS 2015

DAVI SABBAG ROVERI

ESTUDO E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DAS PROPRIEDADES

ELETROSTÁTICAS ASSOCIADAS À FORMA HEMISFÉRIO-SOBRE-UM-POSTE DE EMISSORES DE ELÉTRONS POR EFEITO DE CAMPO, BASEADOS NO MÉTODO DE

ELEMENTOS FINITOS.

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica, na Área de Eletrônica, Microeletrônica e Optoeletrônica.

Orientador: Prof. Dr. Marco Antonio Robert Alves Co-orientador: Prof. Dr. Edmundo da Silva Braga

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO DAVI SABBAG ROVERI E ORIENTADA PELO PROF. DR. MARCO ANTONIO ROBERT ALVES.

CAMPINAS 2015

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq, 142432/2011-3

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Elizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Study and computational simulations of electrostatic properties associated with the hemisphere-on-post geometry of field-effect electron emitters, based on the finite elements method

Palavras-chave em inglês: Finite element method Field emission

Carbon nanotubes

Área de concentração: Eletrônica, Microeletrônica e Optoeletrônica Titulação: Doutor em Engenharia Elétrica

Banca examinadora:

Marco Antonio Robert Alves [Orientador] Ricardo Cotrin Teixeira

Ricardo da Silva Braga Gilmar Barreto

Fabiano Fruett

Data de defesa: 11-12-2015

COMISSÃO JULGADORA - TESE DE DOUTORADO

Candidato: Davi Sabbag Roveri, RA: 114901 Data da Defesa: 11 de dezembro de 2015

Título da Tese: "Estudo e Simulações Computacionais das Propriedades Eletrostáticas Associadas à Forma Hemisfério-Sobre-Um-Poste de Emissores de Elétrons por Efeito de Campo, Baseados no Método de Elementos Finitos”.

Prof. Dr. Marco Antonio Robert Alves (Presidente, FEEC/UNICAMP) Prof. Dr. Ricardo da Silva Braga (PUC Campinas)

Prof. Dr. Ricardo Cotrin Teixeira (CTI Renato Archer) Prof. Dr. Gilmar Barreto (FEEC/UNICAMP)

Prof. Dr. Fabiano Fruett (FEEC/UNICAMP)

A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

DEDICATÓRIA

À minha noiva Rafaela Argento pelo amor e cumplicidade que construímos ao longo destes anos, por todo apoio, paciência, compreensão e conselhos durante este período em que amadurecemos e crescemos juntos. Agradeço diariamente seu amor e sua presença em minha vida!

Aos meus pais, Sydneia e Marcus, e a todos os meus avós (in memorian) por terem me ensinado a importância da educação e do trabalho, pelo apoio e amor mesmo estando longe. Obrigado por tudo o que vocês fizeram por mim, a vida inteira.

À minha irmã pela amizade e confiança, pelos momentos tristes e alegres ao longo de nossa vida.

AGRADECIMENTOS

Aos meus orientadores Prof. Dr. Marco Antonio Robert Alves e Prof. Dr. Edmundo da Silva Braga que sempre participaram ativamente em todas as etapas deste trabalho, pela paciência, confiança e por todas as conversas relacionadas ao trabalho e à vida, pelos estímulos, dicas e conselhos. A nossa convivência ao longo destes 4 anos propiciou, além da pesquisa, ótimas e duradouras amizades.

Ao meu colega de laboratório e vizinho de bancada Guilherme Mauad Sant’Anna pelas inúmeras conversas com os mais variados/ecléticos assuntos (inclusive sobre nossas pesquisas), este peculiar e enriquecedor convívio gerou uma fraternal e confiável amizade!

Ao colega e amigo Juliano Fujioka Mologni pela incomensurável contribuição, com seu apoio, dicas e ensinamentos a respeito do software Ansys-Maxwell, sem as quais a realização deste trabalho seria consideravelmente mais árdua.

Ao colega e amigo Hilton Henrique Bertan por todas as excelentes e produtivas discussões técnicas sobre como melhorar nossas simulações e resultados ao longo deste período.

Aos colegas de departamento, Flávio Morais, Alex Dante, Rodrigo Bacurau, Luis Duarte, Felipe Pfrimer, Pedro Dias, Reinaldo, Sérgio do Vale e Anderson Spengler, pelas memoráveis conversas, ajudas, dicas e momentos de descontração no café. Também incluo nestes agradecimentos, momentos e situações os caros Prof. Dr. Elnatan Ferreira e Prof. Dr. José Antonio Siqueira Dias.

À minha noiva Rafaela Argento, agradeço imensamente pela maravilhosa companhia, inigualável amor e pelos incentivos e dedicação, sem os quais seria muito mais difícil trilhar este caminho. E pela pizza de pão de queijo!

Aos meus pais, irmã e avós (in memorian) por sempre me apoiarem e me estimularem a crescer, a buscar novos desafios e me mostrarem que para superar obstáculos são necessárias muita persistência e dedicação.

Às funcionárias Esther, Noemia e Jaqueline por sempre esclarecer minhas dúvidas e prontamente me ajudar com problemas burocráticos.

À empresa Engineering Simulation and Scientific Software (ESSS) por fornecer gratuitamente as licenças do software Ansys-Maxwel.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) por financiar esta pesquisa através da concessão da bolsa de doutorado.

“

Dreamers come and go

But a dream’s forever

Freedom for all minds

Let us go together

Neverending ways

Got to roam forever

Always carry on

”

RESUMO

Emissores de elétrons por efeito de campo têm sido exaustivamente estudados, tanto em suas as aplicações práticas como em seus aspectos geométricos. As aplicações são inúmeras, envolvendo desde microscopia eletrônica, amplificadores de radiofrequência, até displays do tipo FED. O conjunto dos processos de fabricação com a utilização de diferentes materiais produzem estruturas emissoras de diferentes formatos. As análises teóricas e simulações computacionais estudam as propriedades eletrostáticas de emissão de tais dispositivos aproximando-os a modelos geométricos, como por exemplo: hemisfério-sobre-um-poste (CNT), hemisfério sobre um cone (tipo Spindt) e hemi-elipsóide (nano-agulhas metálicas).

No presente trabalho estudamos emissores de elétrons por efeito de campo caracterizados pela geometria hemisfério-sobre-um-poste e imersos em uma configuração diodo, nas situações de emissor-único, conjunto linear de 9 e um conjunto matricial com 9x9 emissores. O propósito deste estudo foi investigar como as propriedades eletrostáticas de emissão são afetadas pelos parâmetros geométricos dos dispositivos nas 3 situações acima citadas, visando otimizar os seus desempenhos de emissão. Com esta finalidade, utilizamos o

software Ansys-Maxwell para modelar tais emissores e, então, realizar simulações

computacionais (em duas e três dimensões – 2D e 3D) baseadas no método de elementos finitos. Assim, a distribuição de campo elétrico foi calculada sobre toda a região computacional dos modelos para obter as demais propriedades eletrostáticas, como enriquecimento de campo e corrente.

Os resultados obtidos com o modelo de emissor-único permitiram analisar informações divergentes encontradas na literatura e forneceram argumentos para reavaliar e otimizar o limiar da distância de separação ânodo-substrato. Os resultados tanto para o modelo linear de 9 quanto para o matricial de 81 emissores mostraram o impacto indesejado do efeito screening sobre o desempenho de emissão dos dispositivos e levaram à otimização da relação de compromisso identificada entre a densidade de corrente emitida pelo dispositivo e sua respectiva densidade de emissores. Desta maneira, concluiu-se que o dispositivo atingirá sua máxima eficiência de emissão mesmo sem o efeito screening ter evanescido completamente.

Palavras-chave: Método de elementos finitos, Emissão de campo, Nanotubos de carbono.

ABSTRACT

Field effect electron emitters have been thoroughly studied, both in their practical applications as in their geometrical aspects. The applications are numerous, ranging from electronic microscopy, radiofrequency amplifiers up to FED type displays. The combination of manufacturing processes with the use of different materials produce emitting structures of different shapes. Both theoretical analyses and computational simulations study the emitting electrostatic properties by approximating such devices to geometrical models, for example: hemisphere-on-a-post (CNT), hemisphere-on-a-cone (Spindt type) and hemi-ellipsoid (metallic nano-needles).

In this work we studied field effect electron emitters characterized by the hemisphere-on-a-post geometry and immersed into a diode configuration, within the situations of a single emitter, linear array of 9 emitters and matrix array of 9x9 emitters. The purpose of this study was to investigate how the emitting electrostatic properties are affected by the geometric parameters of the devices in the 3 situations mentioned above, aiming to optimize their emitting performance. To this end, we used the Ansys-Maxwell software to design such emitters and also to perform computational simulations (in two and three dimensions – 2D and 3D) based on the finite elements method. Hence, the electric field distribution was calculated over the entire computational region of the models to obtain the other electrostatic properties such as field enhancement and current.

The obtained results with the single emitter model allowed us to analyze disparate information found in literature, providing arguments to re-evaluate and optimize the threshold distance between anode and substrate. The results for both the 9-emitters linear array and the 81-emitters matrix array showed the undesired impact of the screening effect on the emission performance of the devices, leading to optimize the identified trade-off relationship between emitted current density of the device and its respective emitter density. Therefore, it was concluded that the device will reach its maximum emission efficiency even without the screening effect had been completely vanished.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 ― (a) Estrutura de uma tela baseada em dispositivos de emissão por efeito de campo. (b) Detalhe de apenas um emissor do tipo Spindt para emissão de elétrons. (c) Fotografia de um protótipo apresentado pela SONY. ... 18 Figura 1.2 ― (a) Nanotubos de carbono (CNTs) crescidos de maneira aleatória. (b) CNTs crescidos organizadamente em uma matriz. (c) Detalhe de um CNT e sua geometria semelhante a um hemisfério sobre um poste. ... 20 Figura 2.1 ― Geometrias de emissores consideradas na figura de mérito [5]. (a) Hemisfério sobre um poste - apresenta o melhor valor de . (b) Lorentziana. (c) Hemi-elipsóide. (d) Piramidal - apresenta o pior valor de . ... 24 Figura 2.2 ― Elemento tetraédrico de 10 nodos gerado em malhas de três dimensões (3D). . 27 Figura 3.1 ― Secção transversal (fora de escala) do modelo computacional 3D da geometria emissora hemisfério-sobre-um-poste. ... 29 Figura 3.2 ― Malha não-homogênea gerada na superfície emissora e dentro da Região de Refinamento de Malha (RRM). Notar que a densidade de elementos aumenta ao se aproximar do ápice. ... 31 Figura 3.3 ― Secção transversal de todo o modelo computacional 3D, evidenciando o refinamento de malha na parede lateral externa da região vácuo. No centro, notamos uma malha altamente densa devido à presença da geometria emissora. ... 32 Figura 3.4 ― Intensidade de campo elétrico na região de vácuo próxima ao emissor (plano XZ) e também sobre a probe semiesférica (em perspectiva). ... 33 Figura 3.5 ― Intensidade de campo elétrico, mensurado pela probe, em função do ângulo de superfície, E(θ). ... 34 Figura 3.6 ― Intensidade de campo elétrico no ápice do emissor, EÁpice, em função da largura radial do modelo computacional, w. ... 35 Figura 3.7 ― Comportamento da intensidade de campo elétrico em função do ângulo de superfície, E(θ), comparando os resultados de simulação obtidos com os modelos 2D e 3D. Os modelos fornecem resultados aproximadamente coincidentes, sendo o desvio máximo de 0,35 %. ... 36 Figura 3.8 ― Comparação complementar entre os modelos 2D e 3D. Intensidade de campo elétrico na ponta do emissor (EÁpice) foi traçada em função da largura radial do modelo (w). Desvio máximo de 0,67 %. ... 37 Figura 4.1 ― Comportamento do FEF em função da razão de aspecto do emissor. Comparação entre os resultados das simulações com demais modelos propostos na literatura. ... 39 Figura 4.2 ― FEF em função de AR, para diferentes valores de raio (r). ... 40 Figura 4.3 ― FEF em função da razão entre o gap ânodo-substrato (G) e a altura do emissor (h). O desvio é inferior a 1 % em cada série, enquanto G/h ≥ 2,2. ... 41 Figura 5.1 ― Comportamento da corrente emitida (IFN – escala logarítmica) em função tanto de EÁpice (eixo horizontal superior) quanto de VÂnodo (eixo horizontal inferior), para G = 2,2 µm. ... 47

Figura 5.2 ― Comportamento da corrente emitida (IFN – escala linear) em função tanto de

EÁpice (eixo horizontal superior) quanto de VÂnodo (eixo horizontal inferior), para G = 2,2 µm.

... 48 Figura 5.3 ― Comportamento da corrente emitida (IFN – escala logarítmica) em função tanto de EÁpice (eixo horizontal superior) quanto de VÂnodo (eixo horizontal inferior), para G = 10 µm. ... 49 Figura 5.4 ― Comportamento da corrente emitida (IFN – escala linear) em função tanto de

EÁpice (eixo horizontal superior) quanto de VÂnodo (eixo horizontal inferior), para G = 10 µm. 49

Figura 6.1 ― Vista superior (fora de escala) do modelo computacional 3D de um array linear formado por 9 emissores... 53 Figura 6.2 ― Intensidade de campo elétrico sobre a superfície do emissor central do array,

E(θ), para diferentes distâncias de separação, s, entre os emissores. ... 54

Figura 6.3 ― Intensidade de campo elétrico sobre a superfície do emissor central do array,

E(θ), para diferentes distâncias de separação, s, entre os emissores – após a aproximação dos

resultados de simulação à polinômios de segunda ordem. ... 55 Figura 6.4 ― Linhas equipotenciais traçadas na secção transversal do modelo (plano XZ). Observamos que a proximidade dos emissores dificulta linhas equipotenciais de contornarem as laterais dos emissores internos, em direção ao emissor central. ... 56 Figura 6.5 ― Intensidade de campo elétrico registrada sobre toda uma secção transversal imaginária do modelo computacional do array (plano XY), posicionada a 1 nm do ápice dos emissores. ... 57 Figura 6.6 ― Intensidade de campo elétrico (EÁpice) representada individualmente em cada emissor do array, em função da separação entre emissores (s). ... 58 Figura 6.7 ― Intensidade de campo elétrico (EÁpice) e enriquecimento de campo (γ), no emissor central, em função do espaçamento entre emissores (s). ... 59 Figura 6.8 ― Corrente total emitida pelo array (IFN), em decorrência do espaçamento entre emissores (s). ... 59 Figura 7.1 ― Vista superior (fora de escala) do modelo computacional 3D de um array matricial formado por 81 emissores de geometria hemisfério-sobre-um-poste. ... 63 Figura 7.2 ― Vista em perspectiva da intensidade de campo elétrico nas proximidades de cada superfície emissora da matriz, registrada sobre uma secção transversal imaginária (plano XY), posicionada a 1 nm dos ápices dos emissores. ... 64 Figura 7.3 ― Representação em curvas de nível, da intensidade de campo elétrico registrada sobre um plano imaginário posicionado a 1 nm dos ápices dos emissores. ... 65 Figura 7.4 ― Comparação dos valores de de EÁpice registrados sobre o emissor central e sobre outros 2 emissores posicionados em cantos opostos da matriz. ... 66 Figura 7.5 ― Corrente total (IFN) emitida pela matriz 9x9, em função do espaçamento entre emissores (s). ... 67 Figura 7.6 ― Densidade de corrente total (JMatriz), apresentada em função do espaçamento entre emissores (s). ... 68 Figura 7.7 ― Densidade de corrente total (JMatriz), apresentada em função da densidade de emissores. ... 68

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 ― Dados da malha gerada para o modelo computacional 3D de emissor-único. .. 31 Tabela 4.1 ― Faixas de valores dos parâmetros geométricos utilizadas nos cenários simulados ao longo deste capítulo. ... 38 Tabela 4.2 ― Desvio percentual dos valores de FEF entre as simulações numéricas e as equações de referência, considerando o intervalo 10 ≤ AR ≤ 2000. ... 39 Tabela 4.3 ― Quantidade de emissores únicos de tamanhos diferentes avaliados por cada referência, juntamente com seus respectivos valores de AR. ... 42 Tabela 4.4 ― Discrepâncias existentes nos valores do limiar de posicionamento do ânodo. .. 42 Tabela 5.1 ― Cenários simulados para investigar a corrente emitida por um emissor. ... 46 Tabela 5.2 ― Comparação do estado de onset (quando IFN = 1 nA) dos cenários simulados pela presente pesquisa com dados experimentais. ... 50

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AR Aspect Ratio (Razão de aspecto)

BEM Boundary Elements Method (Método dos elementos de contorno)

CNT Carbon Nanotube (Nanotubo de carbono)

FED Field Emission Displays (Telas de emissão por campo)

FEF Field Enhancement Factor (Fator de enriquecimento de campo)

FEM Finite Elements Method (Método de elementos finitos)

FN Fowler-Nordheim

MEMS Microelectromechanical Systems (Sistemas microeletromecânicos)

MWCNT Multi-wall CNT (CNT multicamadas)

PEC Perfect Electrical Conductor (Condutor elétrico perfeito)

RRM Região de Refinamento de Malha

SCM Surface Charge Method (Método de simulação de cargas de superfície)

SWCNT Single-wall CNT (CNT de camada única)

2D Duas dimensões

LISTA DE SÍMBOLOS

JFN Densidade de corrente, calculada pela equação de Fowler-Nordheim, para 1 emissor.

Função trabalho do material.

EÁpice Valor pontual da intensidade de campo elétrico no ápice do emissor.

EMacroscópico Campo elétrico proveniente da polarização dos eletrodos de placas paralelas

ânodo-substrato.

E Valor escalar (dado em V/m) da intensidade de campo elétrico obtido com as simulações.

VÂnodo Tensão de polarização do dispositivo; diferença de potencial aplicada entre os

eletrodos ânodo e substrato.

γ Fator de enriquecimento de campo. Φ Potencial elétrico.

Campo elétrico

Densidade de fluxo elétrico. Permissividade no meio vácuo Permissividade relativa do dielétrico.

A Área efetiva de emissão.

IFN Corrente emitida, dada em Ampères.

JMatriz Densidade de corrente, considerando todos os emissores do modelo matricial.

r Raio do cilindro e da semiesfera que modelam o emissor.

h Altura total do emissor.

G Distância (gap) entre as superfícies planas ânodo-substrato.

g Distância (gap) entre ânodo e extremo do emissor (g = G - h).

AR Razão de aspecto do emissor (AR = ).

θ Ângulo entre o eixo-Z e um ponto aleatório na superfície emissora.

w Largura radial do modelo.

wx Margem entre os extremos do modelo e os emissores mais externos do array, no sentido do eixo-X.

wy Margem entre os extremos do modelo e os emissores mais externos do array, no sentido do eixo-Y.

SUMÁRIO

1 Introdução ... 18

2 Revisão Bibliográfica ... 23

2.1 O fator de enriquecimento de campo... 24

2.2 O método de elementos finitos no software Ansys-Maxwell ... 26

3 Modelagem e estudo de um emissor ... 29

3.1 Medição da intensidade de campo elétrico (E)... 32

3.2 Posicionamento da sonda de medição (probe) ... 34

3.3 Largura radial (w) do modelo computacional ... 34

3.4 Comparação dos modelos 2D e 3D ... 36

3.5 Análise de resultados e conclusões parciais ... 37

4 Estudo do fator de enriquecimento de campo para um emissor ... 38

4.1 Metodologia ... 38

4.2 Resultados... 38

4.3 Análise dos resultados ... 41

4.4 Conclusões parciais ... 43

5 Estimativa da emissão de corrente para um emissor ... 45

5.1 Metodologia ... 45

5.2 Estimar manualmente IFN ... 46

5.3 Resultados... 47

5.4 Análise de resultados ... 50

5.5 Conclusões parciais ... 51

6 Modelagem e estudo de um array linear ... 52

6.1 Metodologia ... 52

6.2 Resultados... 53

6.3 Análise de resultados ... 60

7 Modelagem e estudo de um array matricial 9x9 ... 62 7.1 Metodologia ... 62 7.2 Resultados... 63 7.3 Análise de resultados ... 69 7.4 Conclusões parciais ... 71 8 Conclusões ... 73 Referências bibliográficas ... 75

18

1 Introdução

A criação do transistor, no final da década de 40, substituiu com maior eficiência os dispositivos a vácuo [1]. Entretanto, pesquisas realizadas nas últimas décadas revelaram que os dispositivos eletrônicos a vácuo voltaram a ser competitivos, desta vez utilizando-se do fenômeno de emissão por campo (Field Emission) [1]–[4].

Baseando-se no fenômeno físico de tunelamento de elétrons, estes dispositivos geram um feixe de elétrons entre um ânodo e um eletrodo emissor (cátodo), o que, por sua vez, abre espaço para uma ampla gama de aplicações.

Um dos empregos mais comum e acessível para este tipo de dispositivo são os displays de emissão por campo – FED (Field Emission Displays). Mais especificamente, a Figura 1.1(a) apresenta uma ilustração da estrutura de uma tela do tipo FED [2]; onde é possível observar microponteiras emissoras de formato cônico, posicionadas junto à superfície plana de um cátodo; e logo acima das microponteiras observa-se o eletrodo de porta (gate) com orifícios que circundam os ápices dos emissores. A Figura 1.1(b) mostra em detalhes a fotografia obtida com microscopia eletrônica de apenas um destes emissores de formato cônico (emissor do tipo Spindt) e o eletrodo de porta; tendo a base deste emissor aproximadamente 300 nm de diâmetro.

Figura 1.1 ― (a) Estrutura de uma tela baseada em dispositivos de emissão por efeito de campo. (b) Detalhe de apenas um emissor do tipo Spindt para emissão de elétrons. (c) Fotografia de um protótipo apresentado pela

Capítulo 1 – Introdução 19

Eletrodos emissores de elétrons também podem ser empregados na área de amplificadores de alta potência (acima de 10W) e alta frequência (acima de 10GHz) [1], [4]. Estes tubos a vácuo amplificam sinais de micro-ondas de alta potência e são usados em radares de aplicação militar, satélites, equipamentos para monitoramento do clima e em telecomunicações. De modo geral é possível utilizar emissores por campo em substituição aos filamentos aquecidos utilizados para emissões termoiônicas e, por isso, lhes é atribuída a denominação de cátodos frios (Cold Cathodes). A gama de aplicações para estes emissores é grande e, embora não tenham sido detalhados, também existem exemplos de aplicação para espectrômetros de massa, sensores de ionização Bayard-Alpert (usados para monitoramento da pressão de gás residual em ambientes de alto e ultra-alto vácuo), MEMS (sensores de deslocamento, etc) e em microscopia eletrônica [1], [4].

A utilização de diferentes materiais, como Mo, Si, Au, Ag, Ti, etc, altera as características de emissão dos eletrodos [1], [4]. Adicionalmente à propriedade da função trabalho, a simples variação da geometria dos emissores também altera as características de desempenho na emissão de elétrons. Os fundamentos básicos da teoria de eletromagnetismo mostram que o formato da superfície de um condutor influencia a distribuição de campo elétrico e sua intensidade ao redor deste mesmo condutor. Em [5] é proposta uma figura de mérito para estudar a geometria de um emissor quanto à sua capacidade de enriquecimento de campo elétrico nos entornos de seu ápice. Assim, quanto mais pontiaguda for tal geometria, maior será sua capacidade de enriquecer o campo elétrico proveniente da polarização do ânodo e, consequentemente, maior será a capacidade de emissão de corrente do eletrodo.

Ao longo das últimas décadas, a evolução da indústria de semicondutores permitiu utilizar técnicas e processos de microfabricação para construir uma nova geração de dispositivos de emissão por campo em escalas micro e até nanométricas [4]. Atualmente, existem diversos exemplos: ponteiras do tipo Spindt [1] são normalmente fabricadas com Mo ou Si e assumem formato cônico, como a apresentada na Figura 1.1(b) [2]; emissores fabricados com Si, porém, a partir de diferentes processos de fabricação podem também resultar em geometrias piramidais [6] e lorentzianas [7], [8]; emissores do tipo "nanoagulhas" fabricados com uma liga metálica ternária (InxGa(1-x)As), assumem formato pontiagudo com

base hexagonal [9]; o emprego de outras ligas metálicas pode produzir emissores com geometrias hemi-elipsóides [10]. Nanotubos de carbono (CNT - Carbon Nanotubes) [2] também são utilizados para implementar eletrodos de emissão por campo, podendo ser crescidos de maneira aleatória, como na Figura 1.2(a), ou de maneira organizada em uma matriz, como na Figura 1.2(b). CNTs apresentam uma das geometrias mais simples,

Capítulo 1 – Introdução 20

semelhante a um hemisfério sobre um poste, como o detalhe de um CNT mostrado na Figura 1.2(c).

Figura 1.2 ― (a) Nanotubos de carbono (CNTs) crescidos de maneira aleatória. (b) CNTs crescidos organizadamente em uma matriz. (c) Detalhe de um CNT e sua geometria semelhante a um hemisfério sobre um

poste.

Em decorrência da existência de tamanha variedade de geometrias para microponteiras, os resultados sobre desempenho de emissão apresentados na literatura tendem a ser empíricos, dependentes não apenas da geometria dos eletrodos mas também de condições de vácuo e configuração dos experimentos; isso dificulta a comparação de resultados entre diferentes trabalhos que utilizem microponteiras semelhantes. Adicionalmente, para microponteiras com geometrias mais complexas, existe carência de modelos analíticos que permitam estimar as características de emissão de corrente e, consequentemente, realizar projetos precisos com os emissores.

Já a geometria hemisfério sobre um poste, em contrapartida, está entre as mais simples e representa a forma de microponteiras de emissão por campo mais estudada na literatura. Existem modelos teóricos, analíticos e computacionais, que buscam investigar os parâmetros geométricos (por exemplo, altura do emissor ou espaçamento entre emissores) mais impactantes no desempenho de emissão de elétrons.

A presente pesquisa teve como principal objetivo a criação de um modelo computacional amplo e confiável que pudesse vir a ser capaz de simular emissores de geometrias complexas cujos modelos analíticos e teóricos existentes na literatura são escassos. A geometria hemisfério-sobre-um-poste foi inicialmente selecionada, justamente pela facilidade de comparação de resultados e consequente comprovação da confiabilidade do

Capítulo 1 – Introdução 21

modelo computacional desenvolvido. Adicionalmente, esta linha de pesquisa investigou microponteiras inseridas em uma configuração diodo – ou seja, os modelos computacionais possuem o eletrodo ânodo e, do outro lado, o substrato em conjunto com as microponteiras, que fazem o papel do cátodo. Em suma, foram definidos os seguintes objetivos:

 Desenvolver uma metodologia de simulação e modelos computacionais para a situação de emissor-único, em duas dimensões (2D) e em três dimensões (3D), capazes de estimar a distribuição de campo elétrico sobre a superfície emissora da microponteira.

 Estudar como a distribuição de campo elétrico na superfície emissora se comporta, sob influência das mais diversas parametrizações geométricas.

 Desenvolver modelos computacionais para um array linear com 9 emissores e um

array matricial com 9x9 emissores.

 Estimar a corrente emitida para os modelos de 1 emissor e dos arrays.

 Investigar a interação do campo elétrico entre os emissores (efeito screening) de ambos os arrays.

 Fornecer uma ferramenta alternativa que auxilie o projeto de emissores de elétrons imersos em uma configuração diodo.

É interessante avaliar o efeito dos diversos parâmetros geométricos sobre a distribuição de campo elétrico e finalmente sobre a corrente emitida, tanto para a situação de emissor-único quanto para a situação de um conjunto (array) de emissores. Para uma aplicação prática, é importante que dispositivos deste tipo possam emitir correntes de maior magnitude e também maiores densidades de corrente (ao considerar a área total do dispositivo) em função dos vários parâmetros geométricos.

Uma opção para investigar problemas deste tipo é a utilização de ferramentas computacionais para a execução de simulações numéricas. Tais ferramentas permitem inserir estruturas altamente complexas, que inviabilizariam soluções analíticas, e executar simulações paramétricas para estudar, solucionar e até elucidar o problema. O método computacional de elementos finitos utilizado neste projeto será descrito no capítulo 2. Neste mesmo capítulo também serão apresentadas as principais propriedades eletrostáticas associadas à emissão de elétrons por efeito de campo.

O capítulo 3 apresenta em detalhes todo o processo de construção do modelo computacional para um único emissor. Serão descritas as técnicas de modelagem, simulação,

Capítulo 1 – Introdução 22

condições de contorno, bem como os critérios de convergência e refinamentos de malha aplicados. O capítulo 4 apresenta um estudo mais aprofundado, também para a situação de emissor-único, sobre a capacidade de enriquecimento de campo deste tipo de emissor e como o posicionamento do ânodo pode influenciar esta propriedade. Os valores de corrente, estimados para um emissor, são apresentados no capítulo 5. Subsequentemente, um array linear de 9 emissores é apresentado no capítulo 6 e um array matricial 9x9 é descrito no capítulo 7. Finalmente, as conclusões são mostradas no capítulo 8.

23

2 Revisão Bibliográfica

A densidade de corrente emitida por uma microponteira é calculada a partir da teoria clássica de Fowler-Nordheim [1], [11]. Embora o equacionamento original desta teoria tenha sido proposto para descrever o tunelamento de elétrons de eletrodos metálicos plano-vácuo, à temperatura de zero grau Kelvin, pesquisas realizadas ao longo das últimas décadas permitiram adaptá-la de modo a também ser possível descrever a corrente emitida em superfícies curvas, ou seja, por dispositivos a vácuo emissores de elétrons por efeito de campo de geometrias protúberas que comumente são fabricados a partir de metais, semicondutores e até CNTs [1], [11]–[13]. Atualmente, a expressão amplamente utilizada na literatura (para emissores de geometrias protúberas) descreve a densidade de corrente emitida (JFN) pela Equação 2.1 [4]: C C (2.1)

onde: Ápice é a magnitude de campo elétrico no ápice da microponteira; é a função trabalho do material; C1 e C2 são constantes.

Se inicialmente for considerada uma configuração diodo, Ápice pode ser expresso em função do campo elétrico macroscópico, Macroscópico, proveniente da polarização dos eletrodos de placas paralelas ânodo-cátodo e do fator de enriquecimento de campo, , que quantifica a razão entre Ápice e Macroscópico. Esta relação é descrita pela Equação 2.2 [14], [15]:

(2.2)

Para fornecer uma noção prática de valores, normalmente aplica-se uma diferença de potencial entre ânodo-cátodo de 1 kV; para uma separação entre as placas de 20 μm,

tem-se Macroscópico aproximadamente igual a 50x106 V/m ou 0,05 V/nm. A determinação de Ápice

depende de que será detalhadamente abordado na subsecção a seguir. Todavia, é comumente observado em experimentos que valores de Ápice para dar início ao efeito de tunelamento, ou seja, à emissão de elétrons, variam em torno de 1 a 7 V/nm.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 24

2.1

O fator de enriquecimento de campo

Trabalhos na literatura [14], [15] definem o enriquecimento de campo como uma grandeza adimensional, apresentado pela Equação 2.2.

Na literatura [5], existe uma figura de mérito para comparar as características de emissão dentre várias microponteiras, cujas geometrias são apresentadas na Figura 2.1. Sua figura de mérito foi baseada no conceito de se maximizar a corrente emitida enquanto minimiza-se a tensão de polarização aplicada. Em suma, o trabalho [5] conclui que a geometria hemisfério-sobre-um-poste, Figura 2.1(a), é a que mais se aproxima da ideal e a que fornece o maior valor de . A capacidade de enriquecimento de campo gradualmente diminui e o menor valor de é obtido com a geometria piramidal apresentada pela Figura 2.1(d).

Figura 2.1 ― Geometrias de emissores consideradas na figura de mérito [5]. (a) Hemisfério sobre um poste - apresenta o melhor valor de . (b) Lorentziana. (c) Hemi-elipsóide. (d) Piramidal - apresenta o pior valor de .

É interessante expressar matematicamente, como uma maneira de comparar resultados de diferentes trabalhos experimentais e de estimar o desempenho de emissão – alguns estudos propuseram equações para descrever [16]–[19]. Complementarmente, autores [14] ainda enfatizam que apenas através de simulações numéricas utilizadas simultaneamente com observações experimentais que se pode determinar parâmetros importantes, como a função trabalho na superfície da microponteira, altura total ou raio e até determinar a área da superfície do emissor que efetivamente participa da emissão.

Comumente é expresso apenas em função de parâmetros geométricos associados não apenas à microponteira, mas também à configuração do experimento, pois outros parâmetros como a distância entre ânodo-substrato e o formato destes eletrodos também podem influenciar consideravelmente seu valor.

Especificamente para a configuração diodo, dados reportados na literatura demonstraram que os principais parâmetros que afetam se resumem à altura total do emissor (h), raio da ponta do emissor (r), razão de aspecto (AR = h/r) e distância (ou gap) entre ânodo

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 25

e substrato (G). Embora este tema seja amplamente estudado há décadas, trabalhos relativamente recentes, como um publicado no ano de 2010 [20], ainda investigam emissores individuais e tentam propor equações mais precisas para . Os modelos e respectivas equações mais utilizados na literatura serão citados ao longo dos próximos parágrafos. É importante mencionar que a simbologia das equações originais foi alterada de modo a apresentá-las aqui com uma notação padronizada.

A Equação 2.3 [14], [15], [21] foi obtida a partir de resultados empíricos e simulações computacionais (também baseadas no método de elementos finitos, assim como a presente pesquisa), as quais, foram executadas por um software desenvolvido pelo próprio grupo de pesquisa. No trabalho em questão [15], os CNTs experimentais foram modelados computacionalmente, em duas dimensões (2D), por uma estrutura geométrica simplificada, caracterizada por um hemisfério sobre um poste. Então, o enriquecimento de campo, , foi descrito apenas em função da altura total (h) e do raio (r) da geometria hemisfério-sobre-um-poste – os parâmetros geométricos serão definidos visualmente apenas no próximo capítulo, Figura 3.1. Ao final, os autores [15] estipularam que para geometrias cuja razão de aspecto está compreendida no intervalo 4 ≤ h/r ≤ 3000, os resultados provenientes da Equação 2.3 apresentam um desvio de ± 3 % em relação aos valores empíricos.

(2.3)

Um segundo grupo de pesquisas [22] fabricou um filme de CNTs com densidade elevada (com aproximadamente 108 cm-2) para realizar medições de ampla área buscando aplicações em FED (Field Emission Displays). Seus resultados revelaram que a densidade de emissores efetiva que contribuiu para os dados de emissão era pequena, cerca de 104 cm-2, quando comparada com a densidade de emissores total do array. Neste contexto, nanotubos de carbono multicamadas (MWCNT – Multiwall carbon nanotubes), cuja altura se sobressaía aos demais emissores do filme, foram cuidadosamente identificados e selecionados para medições individuais de suas propriedades de emissão. Os autores [22] utilizaram a Equação 2.3 como referência, entretanto consideraram adicionalmente a distância entre as superfícies planas ânodo-substrato (G) para obter um modelo que descrevesse seus dados experimentais. Desta maneira propuseram a Equação 2.4, abaixo, cuja validade depende da condição da razão de aspecto, já mencionada para a Equação 2.3, bem como de uma condição adicional (G ≥ 1,25h).

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 26 (2.4)

Outro grupo independente [23] empregou a clássica geometria hemisfério-sobre-um-poste para modelar computacionalmente CNTs isolados e compondo arrays, tanto em duas dimensões (2D) quanto em três dimensões (3D). O programa utilizado, chamado de CPO2D e CPO3D (módulos 2D e 3D, respectivamente), era baseado no método dos elementos de contorno (Boundary Elements Method – BEM) ou, concomitantemente denominado como método de simulação de cargas de superfície (Surface Charge Method – SCM). De acordo com os autores [23], este método computacional é ideal para calcular campos em superfícies, bem como tratar estruturas muito pequenas quando comparadas a eletrodos de dimensões muito maiores. Ao final do estudo, propuseram a Equação 2.5:

(2.5)

Existe na literatura um trabalho muito interessante onde os autores [24] desenvolveram modelos teórico-analíticos para dois tipos de CNTs. No primeiro modelo foram considerados nanotubos de carbono de camada única (SWCNT – Single-wall carbon

nanotubes) com terminação aberta; cada átomo do CNT foi representado por uma esfera

condutora e em seguida estas esferas foram encostadas, de maneira a formar uma estrutura cilíndrica e oca. Já no segundo modelo, um SWCNT com terminação semiesférica foi representado por um arranjo vertical de esferas condutoras idênticas, cujos raios eram iguais àquele do SWCNT. O equacionamento destes modelos buscou descrever o enriquecimento de campo, levando finalmente à proposição da Equação 2.6.

(2.6)

2.2

O método de elementos finitos no software Ansys-Maxwell

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 27

FEM é um método de análises numéricas que permite calcular distribuições de campos. O software discretiza a geometria original do problema em elementos triangulares (para simulações 2D) ou em elementos tetraédricos (para simulações 3D). Este conjunto finito de polígonos é referido como “malha de elementos finitos” (finite elements mesh) ou simplesmente “malha” (mesh) [25].

A malha permite uma aproximação infinitesimal em relação à geometria original do problema e, consequentemente, possibilita uma resolução aproximada da equação de Poisson para um modelo eletrostático [6], [25]. A Equação 2.7 apresenta a operação em questão, considerando coordenadas cartesianas:

(2.7)

Tomando como exemplo um dos elementos tetraédricos que compõe uma malha 3D, este será composto por 10 nodos, conforme ilustrado na Figura 2.2 [6]. Analogamente, um elemento triangular (2D) possuirá 6 nodos. Estes nodos representam a localização espacial onde os cálculos serão executados. Então, durante as simulações, a Equação 2.7 será calculada para cada nodo dos elementos da malha [25].

Figura 2.2 ― Elemento tetraédrico de 10 nodos gerado em malhas de três dimensões (3D).

Após obter a distribuição espacial do potencial elétrico (Φ), o software pode calcular o campo elétrico ( ) pela equação do gradiente de potencial [25], [26]. Esta operação é apresentada pela Equação 2.8:

(2.8)

Já a densidade de fluxo elétrico ( ) pode ser calculada pela Equação 2.9 [25], [26]:

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 28

(2.9)

onde: é a permissividade no meio vácuo; é a permissividade relativa do dielétrico.

Para tornar viável todo o processo de cálculos descrito acima, o software precisa de algumas configurações iniciais de simulação, condições de contorno e excitações, listadas brevemente abaixo [25]:

 Excitações: seriam as fontes de campo elétrico. O software permite definir algumas excitações iniciais como, por exemplo, polarizações de tensão para os eletrodos, ou atribuir carga sobre a superfície de um objeto.

 Condições de contorno: permitem simplificar condições experimentais reais de modo a viabilizar a aplicação das equações clássicas da teoria eletromagnética; em suma, permitem modelar situações ideais de diferentes maneiras. Como exemplo, pode-se configurar condutores elétricos perfeitos (PEC – Perfect Electrical

Condutors) ou ainda impor que as linhas de campo elétrico serão perfeitamente

tangenciais à uma interface. As condições de contorno de Neumann e de Dirichlet serão oportunamente explicadas no contexto do presente projeto, durante a descrição do modelo computacional ao longo do capítulo 3.

 Configurações de simulação: existe uma série de configurações específicas, associadas à maneira que o software irá operar durante as simulações. Como exemplo: número máximo de passos ou iterações; incremento percentual no número de elementos da malha, para que esta seja refinada a cada novo passo; erro percentual entre os dois últimos passos da simulação; operações de malha (quantidade e tamanho dos elementos a serem gerados); etc.

Ainda é possível configurar o número de processadores, limitar o uso de memória RAM, contudo, tais opções não serão abordadas por fugirem ao escopo deste documento. Dada a enorme quantidade de configurações que o software disponibiliza, estas serão abordadas apenas de acordo com a necessidade, juntamente com a detalhada descrição do modelo computacional desenvolvido – ao longo do capítulo 3.

29

3 Modelagem e estudo de um emissor

A Figura 3.1 representa a secção transversal do emissor-único na configuração diodo. A geometria protúbera do cátodo frio, identificada como “emissor”, é formada através de uma semiesfera posicionada sobre um poste cilíndrico – ambos de raio r. As estruturas ânodo, emissor e substrato foram mantidas com potenciais (Φ) constantes durante cada passo de simulação e configuradas como condutores elétricos perfeitos (PEC – Perfect Electrical

Conductors). Consequentemente, a condição de contorno de Dirichlet [6], Φ = VÂnodo = 1 kV, pôde ser mantida na superfície do ânodo; já a condição Φ = 0 = VEmissor = VSubstrato, foi mantida nas superfícies do emissor e substrato. Ainda na Figura 3.1, estão mostrados tanto o eixo de simetria cilíndrica Z, como também os parâmetros geométricos do dispositivo: r (raio), h (altura total), G (gap entre as superfícies planas ânodo-substrato), g = G - h (gap entre ânodo e extremo do emissor), AR = (razão de aspecto do emissor), θ (ângulo entre o eixo-Z e um ponto aleatório na superfície emissora) e w (largura radial do modelo).

Figura 3.1 ― Secção transversal (fora de escala) do modelo computacional 3D da geometria emissora hemisfério-sobre-um-poste.

A condição de contorno de Dirichlet [6] caracteriza-se quando potenciais elétricos são aplicados sobre superfícies ou outros objetos definidos como PEC, de maneira que a

Capítulo 3 – Modelagem e estudo de um emissor 30

distribuição deste potencial seja uniforme para toda a superfície. O software Maxwell usa um algoritmo iterativo para automaticamente aumentar a densidade da malha em regiões cujo gradiente de campo é alto – técnica referida como refinamento adaptativo [25]. Para garantir convergência e precisão satisfatórias, o software ainda permite distribuir o refinamento adaptativo pela adição manual de operações de malha e critérios de convergência (tecnicamente usa-se o termo “semear a malha” ou “seeding the mesh” para esta etapa de modelagem). Em modelos de emissores por efeito de campo a região da ponta é crítica e requer uma malha altamente refinada em seus entornos [14], [20], [27], portanto, além do refinamento adaptativo, operações extras são necessárias.

Logo, foi criada uma “Região de Refinamento de Malha” (RRM) circundando a superfície semiesférica – identificada na Figura 3.1. Definida como vácuo, tal região delimita o efeito das operações de malha e critérios de convergência adicionados. Como consequência, no interior da RRM, os ruídos numéricos são minimizados e as linhas equipotenciais suavizadas.

Duas operações de malha foram programadas. A primeira definiu o número mínimo de elementos tetraédricos gerados no interior da RRM, a segunda definiu o comprimento mínimo das arestas dos polígonos. O efeito conjunto destas duas operações gerou tetraedros com arestas da ordem de 4,8E-12 m. Como estas operações apenas semeiam, ou direcionam, o refinamento adaptativo, o software pode automaticamente gerar elementos maiores após cumprir estes critérios, por isso diz-se que a malha é “não-homogênea”. A Tabela 3.1 apresenta tanto para a RRM quanto para os demais componentes do modelo computacional, o respectivo número de elementos tetraédricos gerados, bem como o comprimento mínimo de suas arestas.

Em paralelo às operações de malha, adicionou-se manualmente um critério de convergência. O software foi configurado para, a cada passo de simulação, integrar o valor do campo elétrico (E) no volume da RRM e compará-lo com o resultado do passo anterior. Então, definiu-se que a diferença percentual máxima entre os dois últimos passos deveria ser inferior a 0,1 % para que o software “entendesse” que a simulação convergiu; enquanto esta condição não for satisfeita, o software iniciará um novo passo onde a malha sofrerá um novo ciclo de refinamento adaptativo.

Capítulo 3 – Modelagem e estudo de um emissor 31

Tabela 3.1 ― Dados da malha gerada para o modelo computacional 3D de emissor-único. Objetos Número de tetraedros Comprimento mínimo

da aresta Ânodo 2397 4,1E-9 m Substrato 14346 1,7E-10 m Emissor 49027 5,4E-12 m RRM 54875 4,8E-12 m Vácuo 554709 5,5E-12 m

O resultado de todo o processo de refinamento é uma malha não-homogênea e altamente densa na região de maior interesse. A Figura 3.2 mostra a malha gerada, tanto na secção transversal (plano XZ) da RRM quanto sobre a superfície da geometria emissora. A espessura da RRM foi otimizada em função de requisitos de projeto (e.g. precisão vs. tempo de processamento), assim, manteve-se constante o valor de 2 nm para todas as simulações.

Figura 3.2 ― Malha não-homogênea gerada na superfície emissora e dentro da Região de Refinamento de Malha (RRM). Notar que a densidade de elementos aumenta ao se aproximar do ápice.

A Figura 3.3 apresenta uma ampla visualização da malha não-homogênea gerada na região de vácuo, plotada na secção transversal (plano XZ) do modelo 3D. Estão identificadas as estruturas ânodo, substrato, eixo de simetria cilíndrica e a parede lateral externa. Na região central da figura vemos uma malha altamente densa, em função da presença do emissor e das razões já abordadas. Adicionalmente, é possível perceber nas paredes laterais externas que também houve refinamento. A exemplo da RRM, porém desta vez apenas contornando a região vácuo, foram programadas duas operações de malha: uma para definir o número mínimo de tetraedros gerados e outra para definir o comprimento mínimo de suas arestas. A Tabela 3.1 apresenta os dados da malha gerada para este objeto.

Capítulo 3 – Modelagem e estudo de um emissor 32

Considerando as condições geométricas e de polarização do modelo, este “refinamento vertical” aplicado nos extremos da região vácuo (Figura 3.3) é mais eficiente do que refinar seu interior (onde é visível uma malha mais grosseira). Isto é explicado pela teoria eletromagnética, pois ao executar um refinamento horizontal aumenta-se desnecessariamente o número de elementos sobre o mesmo nível equipotencial. Esta técnica de refinamento colaborou para reduzir significativamente o desvio percentual entre os resultados da presente pesquisa e de outros autores [15], [22]–[24] (detalhados no capítulo 4).

Figura 3.3 ― Secção transversal de todo o modelo computacional 3D, evidenciando o refinamento de malha na parede lateral externa da região vácuo. No centro, notamos uma malha altamente densa devido à presença da

geometria emissora.

3.1

Medição da intensidade de campo elétrico (E)

A intensidade de campo elétrico em todo o domínio computacional 3D é obtida através de simulações numéricas. Isto implica na utilização do software de elementos finitos para resolver a equação de Laplace. A derivada do potencial eletrostático é calculada em cada nodo dos tetraedros da malha, considerando as excitações e condições de contorno previamente estabelecidas [6], [25].

A intensidade de campo elétrico (E) pode ser representada como na Figura 3.4. Observa-se a distribuição espacial de E na região de vácuo próxima ao emissor (plotada no

Capítulo 3 – Modelagem e estudo de um emissor 33

plano XZ). A intensidade de campo elétrico na superfície emissora pode ser mensurada através de uma superfície virtual semiesférica, cuja finalidade é atuar como sonda de medição (probe) ao envolver a superfície original do emissor. Esta estrutura virtual, de espessura infinitesimal, foi posicionada com 1 nm de gap [15] e não influencia a geração da malha nem o cálculo do campo elétrico. No detalhe da Figura 3.4 é apresentada a escala de E, onde se visualiza um valor máximo de aproximadamente 6,5 V/nm.

Figura 3.4 ― Intensidade de campo elétrico na região de vácuo próxima ao emissor (plano XZ) e também sobre a probe semiesférica (em perspectiva).

Na Figura 3.5, a intensidade de campo elétrico é representada em função do ângulo da superfície emissora em relação ao eixo-Z, E(θ). Ao comparar os resultados da simulação computacional (símbolos) com um modelo analítico [23] (linha contínua), é obtido um desvio percentual máximo de 2,49 %. Especificamente na ponta, quando θ = 0, o campo elétrico atinge o máximo e o desvio percentual obtido é inferior a 0,1 %. Considerando o intervalo 0 ≤ θ ≤ 59°, o desvio é inferior a 1 %. Tais resultados apontam concordância entre o modelo computacional 3D e um modelo analítico [23].

Capítulo 3 – Modelagem e estudo de um emissor 34

Figura 3.5 ― Intensidade de campo elétrico, mensurado pela probe, em função do ângulo de superfície, E(θ).

3.2

Posicionamento da sonda de medição (probe)

O campo elétrico local próximo a superfície emissora (EÁpice), também referido na literatura como campo de barreira (barrier field) [15], determina a barreira através da qual ocorre o tunelamento de elétrons. Este campo é inferido na faixa de 1 a 2 nm [15] a partir dos átomos de superfície, o que corresponderia a espessura desta barreira. Tipicamente, o valor de

EÁpice necessário para iniciar o tunelamento é da ordem de alguns V/nm.

Se posicionarmos a sonda de medição a distâncias inferiores a 1 nm, começamos a nos aproximar da ordem de grandeza dos elementos da malha e, logo, observar ruídos numéricos nos resultados. Outra razão, ainda mais importante, é que tal posicionamento não corresponderia, fisicamente, a um dispositivo experimental real; autores [24] afirmam que a distância interatômica de átomos de carbono em CNTs é de aproximadamente 1,4 Å = 0,14 nm. Por estas razões, na presente pesquisa, a probe foi posicionada a 1 nm da superfície emissora.

3.3

Largura radial (w) do modelo computacional

O último item identificado na Figura 3.1 é a condição de contorno de Neumann, aplicada na borda do modelo. Esta condição impõe que as linhas de campo elétrico serão

Capítulo 3 – Modelagem e estudo de um emissor 35

tangenciais à parede lateral externa, no limite da região de vácuo. Por esta razão, como uma regra, o tamanho espacial do problema (ou especificamente neste caso, a largura radial do modelo w) deve ser escolhido de tal maneira que as respectivas paredes do modelo não se aproximem das pontas dos emissores, que são fontes de campo intenso.

Buscando aplicar tal condição de contorno no presente modelo computacional, elaborou-se uma simulação justamente para verificar qual seria a margem mínima necessária (w) entre o emissor-único e o extremo da região vácuo. Do ponto de vista computacional, trabalhar com w mínimo é importante, pois reduz-se o tamanho espacial do problema e, consequentemente, os recursos computacionais (como CPU, memória RAM e tempo de simulação). Para esta simulação, os parâmetros geométricos foram definidos da seguinte maneira: r = 10 nm; AR = 100; G = 10 µm; VÂnodo = 1 kV. Apenas a largura radial do modelo foi parametrizada, no seguinte intervalo: 0,1 µm ≤ w ≤ 30 µm.

A Figura 3.6 apresenta o comportamento da intensidade do campo elétrico na ponta do emissor em função de w. Notamos que para w = 30 µm temos o maior valor, EÁpice = 6,32 V/nm. A intensidade de campo elétrico permanece aproximadamente constante até w = 3,5 µm, quando EÁpice = 6,31 V/nm. O desvio percentual de EÁpice entre estes dois pontos é de 0,2 %. Podemos concluir que, quando w < 3,5 µm, a condição de contorno de Neumann passa a interferir na distribuição de campo elétrico sobre a ponta do emissor.

Figura 3.6 ― Intensidade de campo elétrico no ápice do emissor, EÁpice, em função da largura radial do modelo

Capítulo 3 – Modelagem e estudo de um emissor 36

3.4

Comparação dos modelos 2D e 3D

Para situações em que existe simetria cilíndrica ao redor do eixo-Z, como no caso do emissor-único, é possível utilizar um modelo computacional análogo em duas dimensões (2D). A grande vantagem de utilizar esta alternativa é devido à simplicidade do modelo 2D (e sua respectiva malha, composta por triângulos ao invés dos tetraedros) que, consequentemente, faz as simulações serem concluídas em tempos menores.

O modelo 2D propiciou maior rapidez ao investigar outras estratégias de modelagem e simulação, bem como configurações mais severas de operações de malha, refinamentos e critérios de convergência. Os resultados obtidos com todos estes testes adicionais mostraram, consistentemente, ser coincidentes com os resultados obtidos pelo modelo 3D (descrito detalhadamente nas seções anteriores). Logo, nenhuma configuração adicional se mostrou necessária.

A Figura 3.7 apresenta o comportamento da intensidade de campo elétrico em função do ângulo de superfície, E(θ), comparando os resultados de simulação obtidos com os modelos 2D e 3D. O desvio máximo (considerando toda a faixa simulada, 0 ≤ θ ≤ 90°) é de 0,35 %.

Figura 3.7 ― Comportamento da intensidade de campo elétrico em função do ângulo de superfície, E(θ), comparando os resultados de simulação obtidos com os modelos 2D e 3D. Os modelos fornecem resultados

Capítulo 3 – Modelagem e estudo de um emissor 37

A Figura 3.8 apresenta uma comparação complementar entre os modelos 2D e 3D, desta vez, a intensidade de campo elétrico na ponta do emissor (EÁpice) foi traçada em função da largura radial do modelo (w). Os resultados de ambos os modelos foram considerados coincidentes, pois para a faixa simulada (0,1 µm ≤ w ≤ 30 µm), obteve-se o desvio máximo de 0,6 %.

Figura 3.8 ― Comparação complementar entre os modelos 2D e 3D. Intensidade de campo elétrico na ponta do emissor (EÁpice) foi traçada em função da largura radial do modelo (w). Desvio máximo de 0,67 %.

3.5

Análise de resultados e conclusões parciais

Os resultados apresentados ao longo deste capítulo demonstraram concordância entre o modelo computacional desenvolvido e modelos disponíveis na literatura [15], [23], [24]. Foram obtidos valores para a magnitude de campo elétrico necessários para ocorrer tunelamento de elétrons.

38

4 Estudo do fator de enriquecimento de campo

para um emissor

Como já apresentado no capítulo 2, o fator de enriquecimento de campo (Field

Enhancement Factor – FEF) é objeto de estudo de inúmeros trabalhos, sendo definido pela

Equação 2.2 [15].

4.1

Metodologia

Utilizando o presente modelo computacional, o cálculo de γ é viabilizado pelo resultado apresentado no capítulo anterior, Figura 3.5, onde é estimada a magnitude de campo elétrico no ápice da probe, ou seja: EÁpice = E(θ = 0). Lembrando que, no contexto deste modelo computacional, o campo elétrico macroscópico provém da tensão de polarização do ânodo: EMacroscópico = VÂnodo / G.

Simulações computacionais foram executadas parametrizando a razão de aspecto em uma ampla faixa (1 ≤ AR ≤ 3000) pois, deste modo, ficam implícitas diversas combinações entre raio (r) e altura (h). Mais detalhadamente, a Tabela 4.1 correlaciona os valores e respectivos intervalos de cada parâmetro geométrico com os cenários simulados ao longo deste capítulo.

Tabela 4.1 ― Faixas de valores dos parâmetros geométricos utilizadas nos cenários simulados ao longo deste capítulo.

Cenário r (nm) h (µm) AR = h/r G (µm) w (µm)

Figura 4.1 10 0,01-30 1-3000 100 30

Figura 4.2 5-20 0,005-60 1-3000 100 30

Figura 4.3 5-20 0,5-20 100 Ver texto 30

4.2

Resultados

Representado na Figura 4.1, está o FEF em função de AR para o intervalo mencionado acima. Os valores de altura (h) variaram automaticamente em função de AR. Foram mantidos constantes: r = 10 nm e G = 100 µm. Os símbolos no diagrama identificam os emissores simulados enquanto que as linhas contínuas foram obtidas a partir das expressões analíticas detalhadas no capítulo 2: Equações 2.3, 2.4, 2.5, 2.6.

Capítulo 4 – Estudo do fator de enriquecimento de campo para um emissor 39

Figura 4.1 ― Comportamento do FEF em função da razão de aspecto do emissor. Comparação entre os resultados das simulações com demais modelos propostos na literatura.

Analisando a Figura 4.1, acima, em um intervalo mais restrito (10 ≤ AR ≤ 2000) é possível observar que os resultados da simulação convergem com as demais expressões analíticas. Esta constatação fornece um forte indício da confiabilidade do modelo computacional, em uma extensa faixa de valores de AR. O desvio percentual máximo entre os resultados das simulações e cada uma das equações de referência é apresentado na Tabela 4.2. Adicionalmente, é mostrado na tabela o desvio percentual para AR = 100, pois trabalhos experimentais comumente fabricam emissores com esta razão de aspecto.

Tabela 4.2 ― Desvio percentual dos valores de FEF entre as simulações numéricas e as equações de referência, considerando o intervalo 10 ≤ AR ≤ 2000.

Equação de referência Desvio [%] (máximo) Desvio [%] (para AR = 100) Equação 2.3 18,59 18,14 Equação 2.4 17,13 16,76 Equação 2.5 22.53 16,97 Equação 2.6 26,06 18,93

A Figura 4.2 representa o FEF em função de AR para o intervalo 1 ≤ AR ≤ 3000. Entretanto, neste segundo conjunto de experimentos o raio foi parametrizado de modo a se obter uma família de resultados – cada série correspondendo a um valor de raio. No intervalo simulado (5 nm ≤ r ≤ 20 nm), r foi incrementado em 1 nm por passo, totalizando 16

Capítulo 4 – Estudo do fator de enriquecimento de campo para um emissor 40

parametrizações. Porém, na Figura 4.2 são apresentadas apenas 3 séries de dados (para 5, 10 e 20 nm), visto que são coincidentes. Os valores de altura (h) variaram automaticamente em função de r e AR. O gap foi mantido constante (G = 100 µm). Considerando como referência os resultados de r = 10 nm, o desvio percentual máximo entre as simulações com AR = 100 é 2 %. Ao considerar toda a faixa simulada da razão de aspecto e do raio, o desvio percentual máximo entre as simulações é 3,46 %. Os resultados expostos na Figura 4.2 evidenciam a versatilidade do modelo computacional.

Figura 4.2 ― FEF em função de AR, para diferentes valores de raio (r).

Um subsequente conjunto de simulações investigou o efeito do posicionamento do ânodo sobre o FEF, os resultados são apresentados na Figura 4.3. A distância entre ânodo e extremo do emissor (g = G - h) foi parametrizada no intervalo 0,1 µm ≤ g ≤ 100 µm. Entretanto, para melhor elucidar este comportamento, o FEF é mostrado em função da razão entre gap ânodo-substrato (G) e altura do emissor (h). O raio foi parametrizado como no experimento anterior (Figura 4.2). Os valores de altura (h) variaram automaticamente apenas em função de r, pois se manteve constante AR = 100.

Os resultados da Figura 4.3 indicam que para cada valor de raio, o FEF tende a saturar conforme o ânodo é afastado. Os valores de saturação, γSat, foram usados como

referência para calcular o desvio percentual ao longo de cada série de dados, a fim de definir o limiar G/h a partir do qual o ânodo passa a exercer forte influência sobre o FEF. Decidiu-se, arbitrariamente, que o FEF seria considerado constante enquanto o desvio percentual se

Capítulo 4 – Estudo do fator de enriquecimento de campo para um emissor 41

mantivesse inferior a 1 %. Este procedimento resultou no estabelecimento da condição G/h ≥ 2,2 para que o ânodo possa ser posicionado sem alterar o FEF. Na região oposta do limiar, quando G/h ≤ 2,2, o FEF passa a ser fortemente influenciado pelo posicionamento do ânodo.

Figura 4.3 ― FEF em função da razão entre o gap ânodo-substrato (G) e a altura do emissor (h). O desvio é inferior a 1 % em cada série, enquanto G/h ≥ 2,2.

4.3

Análise dos resultados

As simulações executadas receberam configurações para controlar a precisão do processo de refinamento adaptativo da malha. Demais configurações associadas à convergência que são particulares ao software, e.g. “Delta energy per pass” e “% of mesh size

refinement per pass” [25], também foram definidas com rigor. Estas estratégias buscaram

minimizar os ruídos numéricos e aumentar a confiabilidade do modelo 3D. Para “traduzir” todas estas configurações específicas do software Ansys-Maxwell em informações acessíveis, os resultados foram comparados com as equações disponíveis na literatura (Tabela 4.2).

A característica de variar parâmetros geométricos do modelo em extensos intervalos foi explorada arduamente, permitindo investigar a geometria emissora hemisfério-sobre-um-poste, com os mais diversos valores de h, r, AR e G. Para obter as Figuras Figura 4.1 e Figura 4.2, apenas as combinações entre h e r geraram um total de 480 diferentes emissores ao longo do intervalo 1 ≤ AR ≤ 3000. Já na Figura 4.3, foram avaliados 16 emissores de tamanhos diferentes (adicionalmente, considerando o intervalo 0,1 µm ≤ g ≤ 100 µm, chega-se a um total de 992 parametrizações simuladas).