01 e 02

(1)

e Limites Marco Dias

Desigualdades

Números: O conjunto dos números reais será indicado por R, diferenciando-o dos conjuntos:

� _{N dos naturais;} � _{Z dos inteiros;} � _{Q dos racionais.} a b, a, b ∈ Z, b �= 0 . √ 2 /_{∈ Q ´e irracional ;}

� _{C dos complexos. a + ib, a, b ∈ R ;}

Desigualdades: Seguem os axiomas da ordem

i a > 0 e b > 0 _{⇒ a + b > 0 e ab > 0} ii a _{∈ R ⇒ a = 0 ou a > 0 ou − a > 0} Def: a > b _{⇒ a − b > 0} a _{≥ b ⇒ a > b ou a = b.}

(2)

Propriedades: 1. _{∀a, b ∈ R tem-se a > b ou} a = b ou a < b. 2. a > b e b > c _{⇒ a > c.} 3. a > b, c > 0 _{⇒ ac > bc} 4. a > b, c < 0 _{⇒ ac < bc} 5. a > b _{⇒ a + c > b + c, ∀c} 6. a > 0 e b < 0 _{⇒ ab < 0} 7. a > 0 _{⇒ a}−1 > 0�1_a > 0� 8. a < 0 _{⇒ a}−1 < 0 9. a > 1 _{⇒ a}−1 < 1 10. 0 < a < b _⇒ 1_a > 1_b > 0 11. a < b < 0 _{⇒ 0 >} 1_a > 1_b 12. a > 0, b > 0 e a > b _{⇒ a}2 > b2 13. a > 0, b > 0 e a > b _⇒ √a > √b

Ex: Prove o item 2

a > b _{⇒ a − b > 0, b > c ⇒ b − c > 0} (a + b) + (b _{− c) > 0 ⇒ a − c > 0 ⇒ a > c.}

(3)

Desigualdades

Ex: Descreva todos os poss´ıveis valores reais que satisfazem a

seguinte desigualdade x _{− 3} x _{− 5} > 0 Sejam a = x _{− 3 e b = x − 5. Portanto a > 0 ⇒ x > 3 e} b > 0 _{⇒ x > 5} x−3 x−5 3 5 − + ₊ − − + + − + x_{− 3} x− 5

x = 3 e x = 5 n˜ao conv´em. Resposta: S = _{{x ∈ R|x < 3 ou x > 5}}

(4)

Ex: Descreva todos os poss´ıveis valores reais que satisfazem a seguinte desigualdade (x _{− 2)(x − 3)} (1 _{− x)(x + 5)} ≥ 0 −5 1 2 3 x _{− 2} x _{− 3} 1₋x x + 5 − − + − − − − − − − + + + + − − − + + + + + ₋ + − S = _{{x ∈ | − 5 < x < 1 ou 2 ≤ x ≤ 3}}

(5)

Intervalos Reais

Intervalos Reais: Sejam a, b _{∈ R e a < b}

(a, b) = _{{x ∈ R|a < x < b}} [a, b ) = _{{x ∈ R|a ≤ x < b}} [a, b] = _{{x ∈ R|a ≤ x ≤ b}} (a, b] = _{{x ∈ R|a < x ≤ b}} [a, +_{∞ ) = {x ∈ R|x ≥ a}} (_{−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}} (_{−∞, +∞) = R}

Valor Absoluto

Def: |x| = � x se x _{≥ 0} −x se x < 0 ou _{|x| =} √x2_{. Assim}

(6)

|f (x)| = � f (x) se x _{≥ 0} −f (x) se f (x) < 0 Propriedades � _{| − x| = |x|} � _|x|2 _{= x}2 _e _{|x| =} √_x2 � _{|xy| = |x||y| e} ��_�x y � � � = |x|_|y| � _{|x + y| ≤ |x| + |y|} (Desigualdade triangular) � _{|x − y| ≥ |x| − |y|} |x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + _{|y| ∴ |x| − |y| ≤ |x − y} � _{||x| − |y|| ≤ |x + y| e} ||x| − |y|| ≤ |x − y| � _{|x| ≤ a ⇒ −a ≤ x ≤ a, a >} 0 � _{|x| ≥ a ⇒ x ≤ −a ou x ≥} a, a > 0

(7)

Valor Absoluto

Ex: _{|x + 2| > 1} |x| > a ⇒ x > a ou x < −a x + 2 > 1 ou x + 2 < _{−1 ∴ x > −1 ou x < −3.} |x + 2|2 > 12 ∴ (x + 2)2 > 1 _{⇒ x}2 + 4x + 3 > 0 ∴ x > −1 ou x < −3. Ex: ��_�x+2_x₋₁��_{� > 1} |x + 2| > |x − 1| , x _{�= 1} (x + 2)2 > (x _{− 1)}2 _{⇒ 6x > −3 ∴ x > −}1 2 Outra forma: a) x < ₋₂ ⇒ x + 2 < 0, x − 1 < 0 ∴ −x − 2 > −x + 1 ⇒ −2 > 1 ∴ S = ∅

(8)

b) _{−2 < x < 1} x + 2 > 0, x _{− 1 < 0 ⇒ x + 2 > −x + 1 ⇒ 2x > −1} ∴ S = {x ∈ R| − 1₂ < x < 1_} c) x > 1 x + 2 > 0, x _{− 1 > 0 ⇒ x + 2 > x − 1 ⇒ 2 > −1} ∴ S = {x ∈ R|x > 1} d) x = _{−2 ⇒ 0 > 3(F )} S = _{{x ∈ R|}−1₂ < x e x _{�= 1}}

(9)

Valor Absoluto

Ex: _{|x − 1| + |x + 2| ≥ 4}

� ₁� caso: x − 1 ≥ 0(x ≥ 1) e x + 2 ≥ 0(x ≥ −2) isto ´e

x _{≥ 1}

x _{− 1 + x + 2 ≥ 4 ⇒ x ≥} 3

2

� ₂� caso: x − 1 < 0(x < 1) e x + 2 < 0(x < −2) isto ´e

x < ₋₂

−x + 1 − x − 2 ≥ 4 ⇒ x ≤ −5

2

� ₃� caso: −2 ≤ x < 1

−x + 1 + x + 2 ≥ 4 ⇒ 3 ≥ 4

(10)

Ex: ��_�3_2+x−2x ��_{� ≤ 4, x �= −2}

|3 − 2x| ≤ 4|2 + x| ⇒ (3 − 2x)2 ≤ 42(2 + x)2

−12x2 − 76x − 55 ≤ 0 ⇒ 12x2 + 76x + 55 _{≥ 0}

4(3x3 + 19x + 55/4) _{≥ 0}

Fatoramos o polinˆomio de segundo grau usando suas solu¸c˜oes, dadas por x = −19 ± 14 6 , 12 � x + 11 2 � (x + 5/6) _{≥ 0}

usando o diagrama abaixo:

(11)

Fun¸c˜ao

Estudaremos as fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real Def: Dados

A _{⊂ R e B ⊂ R, uma fun¸c˜ao (real) de A em B ´e uma lei ou regra}

que a cada valor de x em A associa um ´unico valor f (x) em B.

f : A _{→ B}

x _{→ f (x)}

Def: a) O dom´ınio de f é D(f ) = _{{x ∈ R|f está definida em x}, b)}

a imagem de f ´e o conjunto Im(f ) = _{{f (x) ∈ R|x ∈ D(f )} = {y ∈}

B_{|∃x ∈ A e y = f (x)} = {f (x) ∈ R|x ∈ D(f )} c) o gráfico de f é} graf (f ) = _{{(x, f (x))|x ∈ D(f )}} Ex: f : R → R, f (x) = x2 D(f ) = R, Im(f ) = R+; graf (f ) = {(x, x2)|x ∈ R} Ex: f (x) = _x1 D(f ) = R − {0}, Im(f ) = R − {0};

(12)

Ex: f (x) = _|x| D(f ) = R, Im(f ) = R+; Ex: f (x) = √x2 _{− 16} D(f ) = (_{−∞, −4] ∪ [4, +∞), Im(f ) = R}+ Ex: f (x) = x_x2−16₋₄ D(f ) = R − {4} Se x _{�= 4 ⇒ x − 4 �= 0, portanto} x2 _{− 16} x _{− 4} = (x _{− 4)(x + 4)} x _{− 4} = x + 4 logo Im(f ) = R − {8}.

(13)

Fun¸c˜ao

Ex: f (x) = � x + 2 se x < 0 1 _{− x se x ≥ 0} D(f ) = R, Im(f ) = {y ∈ R|y < 2}

(14)

Ex: g (x) = � _x2 −16 x₋₄ se x �= 4 8 se x = 4 D(g ) = R, Im(g) = R

Def: f : A _{→ B ´e injetora se x}1 �= x2 ⇒ f (x1) �= f (x2) ou

equivalente f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

Def: f : A _{→ B ´e sobrejetora se ∀y ∈ B, ∃x ∈ A|f (x) = y, ou seja}

Im(f ) = B.

Def: f : A _{→ B ´e bijetora se f ´e sobrejetora e injetora.}

Ex: f (x) = 2x + 1

� _{injetora pois}

x1 �= x2 ⇒ 2x1 �= 2x2 ⇒ 2x1 + 1 �= 2x2 + 1 ∴ f (x1) �= f (x2)

� _{sobrejetora pois} _{∀y ∈ R, ∃x ∈ R|y = f (x) = 2x + 7 ⇒} _{x =} y−7₂

(15)

Fun¸c˜ao

� _{pelos itens anteriores ´e bijetora.}

Ex: f : R → R, f (x) = x2

1. N˜ao ´e injetora: f (_{−1) = f (1)}

2. Não é sobrejetora: se y = _{−1, �x|f (x) = −1.} No entanto se f : R₊ _{→ R}₊ ela é bijetora.

(16)

Def: f : R → R. Diz-se fun¸c˜ao ´ımpar se f (−x) = −f (x).∀x ∈ R

Ex: f (x) = x, g (x) = x3 _{− x}

Def: f : R → R. Diz-se fun¸c˜ao par se f (−x) = f (x).∀x ∈ R

Ex: f (x) = x2 + 1, g (x) = x3 _{− x, h(x) = 2x + 5} f (_{−x) = (−x)}2 + 1 = f (x) par

g (_{−x) = −g(x) ´ımpar}

h(x) = _{−2x + 5, h(−x) = −2x + 5, nem par, nem ´ımpar}

Ex: Existe fun¸c˜ao par e ´ımpar?

f (_{−x) = f (x)∀x}

f (_{−x) = −f (x)∀x}

(17)

Opera¸c˜oes com fun¸c˜oes

Def: Se f e g são fun¸cões reais, definimos

1. (f + g )(x) = f (x) + g (x) 2. (f _{− g)(x) = f (x) − g(x)} 3. (f _{· g)(x) = f (x) · g(x)} 4. �_gf �(x) = _{g (x)}f (x) se g (x) _{�= 0 onde x ∈ D(f ) ∩ D(g).} Ex: f (x) = x + 1, g (x) = x2 + 5 (f + g )(x) = x2 + x + 6; (f _{− g)(x) = x − x}2 _{− 4} (f _{· g)(x) = (x + 1)(x}2 + 5); � f g � (x) = x + 1 x2 _{+ 5}

(18)

Ex: f (x) = x, g (x) = 1/x, (f + g )(x)

(19)

Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes

Def: Se f (x) e g (x) são fun¸cões, a composta f _{◦ g é uma fun¸cão} (f _{◦ g)(x) = f (g(x)).} D(f _{◦ g) = {x ∈ D(g)|g(x) ∈ D(f )}} Ex: f (x) = √x, g (x) = x2 _{− 1} (f _{◦ g)(x) = f (g(x))} = f (x2 _{− 1) =} �x2 _{− 1} D(f _{◦ g) = {x ∈ R|g(x) ≥ 0} = {x ∈ R|x}2 _{− 1 ≥ 0}} = (_{−∞, −1] ∪ [1, +∞)}

Ex: Considere as fun¸c˜oes

f (x) =    2x + 1 se x < 0 3x se 0 _{≤ x < 1} x + 5 se x _{≥ 1} g (x) = � x _{− 2 se x < 3} x + 5 se x _{≥ 3} 1. Se x < 3 _{⇒ f (g(x)) = f (x − 2). Como x < 3 ⇒ x − 2 < 1} teremos duas op¸c˜oes:

1.1 se x < 2 _{⇒ f (g(x)) = f (x − 2) onde}

x _{− 2 < 0 ⇒ 2(x − 2) + 1 = 2x − 3}

1.2 se 2 _{≤ x < 3 ⇒ f (g(x)) = f (x − 2) onde}

(20)

2. Se x _{≥ 3 ⇒ f (g(x)) = f (x + 5). Como} x _{≥ 3 ⇒ x + 5 ≥ 8 ∴ (}x + 5) + 5 = x + 10 (f _{◦ g)(x) =}    2x _{− 3 se} x < 2 3x _{− 6 se 2 ≤ x < 3} x + 10 se x _{≥ 3}

(21)

Tipos de fun¸c˜ao

1. Fun¸c˜ao constante: f (x) = k, Im(f ) = _{k}

2. Fun¸c˜ao linear: f (x) = ax + b

(22)

1. Fun¸c˜ao quadr´atica: f (x) = ax2 + bx + c, a _{�= 0}

2. Fun¸c˜ao c´ubica: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a _{�= 0}

3. Fun¸c˜ao polinomial: f (x) = a_nxn + . . . + a₁x + a₀, an �= 0

4. Fun¸cão racional: é o quociente de duas fun¸cões polinomiais

f (x) = x

3 _{− 2x + 5}

x2 _{+ 2x + 8}

5. Fun¸cão algébrica: é obtida por um número finito de opera¸cões algébricas sobre as fun¸cões identidade e constante.

f (x) = (x

2 _{+ 5x} _{− 1)}3

3

√

(23)

Tipos de fun¸c˜oes

1. Fun¸c˜ao transcendente: trigonom´etricas, logar´ıtmicas e exponenciais. π 3π 2 sen ( x ) cos(x) π 2 tg (x) = sen(x) cos(x), cotg (x) = cos(x) sen(x) sec(x) = 1 cos(x), cossec(x) = 1 sen(x)

(24)

1. Fun¸c˜ao exponencial: dado 0 < a _{�= 1 chamamos f : R → R de} fun¸c˜ao exponencial de base a

f (x) = ax com D(f ) = R, Im(f ) = (0, ∞) y = ax 1 y x a > 1 y = ax 1 y x a < 1

2. Fun¸c˜ao logaritmica: Dado x _{∈ R}+, x �= 0 e a > 0 chamamos

de fun¸c˜ao logaritmica

f (x) = log_a(x) em especial, se a = e teremos

(25)

Tipos de fun¸c˜oes

1. Temos as seguintes propriedades not´aveis:

1.1 automaticamente, ln(1) = 0, ln(e) = 1

1.2 ln(ab) = ln(a) + ln(b)

1.3 ln�_ba� = ln(a) _{− ln(b)}

1.4 ln(ax) = x ln(a)

(26)

Def: Seja f : A _{→ B; sua inversa ´e uma fun¸c˜ao g : B → A tal que}

(g _{◦ f )(x)} = x, _{∀x ∈ A e}

(f _{◦ g)(x) = x, ∀x ∈ B}

Ex: A fun¸c˜ao f : R − {3} → R − {−1} deﬁnida por

y = x − 1 3 _{− x} ,

admite uma fun¸c˜ao inversa f −1 : R − {−1} → R − {3} deﬁnida por

x = 1 + 3y y + 1

(27)

Fun¸c˜ao Inversa

Ex: Podemos ver que

ln(ex) = xln(e) = x

eln(x) = x

onde a última identidade vem da própria defini¸cão do logaritmo.

Logo a exponencial é a fun¸cão inversa do logaritmo. Ex: Definimos

as fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas

f −1 : [_{−1, 1] → [−}π 2 , π 2 ] f −1(x) = sen−1(x) f −1 : [_{−1, 1] → [0, π]} f −1(x) = cos−1(x)