INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA
Investigação Operacional I
Exercícios
Programação linear
Método do Simplex
José Oliveira Pires Ana Alice Pedro
1. Resolva os seguintes problemas de PL, recorrendo ao algoritmo primal do simplex: a) min z= −3x1−2x 2 b) max z=5x1+2x 2 1 2 . . − ≥ −2 s a x x s a. . 4x1+5x2 ≤10 1 2 2 8 0 1, 2 − ≤ ≥ = j x x x j 1 2 1 2 5 2 10 3 8 12 + ≤ + ≤ x x x x xj ≥0 j=1, 2 c) max z =3x1+x 2 d) max z=3x1+x 2 1 2 1 2 1 . . 0.5 15 1 2 0 1, 2 + ≤ − ≥ ≤ ≥ = j s a x x x x x x j 1 2 1 2 1 2 . . 3 2 9 2 8 0 1, 2 − + ≤ − + = + ≥ ≥ = j s a x x x x x x x j e) min z=3x1+2x2+x 3 f) max z=3x1+2x2+5x 3 1 2 3 1 2 1 3 . . 10 6 5 0 1, 2,3 − + ≤ + ≥ + ≥ ≥ = j s a x x x x x x x x j 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . . 2 4 2 10 2 2 3 15 3 5 5 12 0 1, 2,3 + + ≤ + + ≥ + + ≤ ≥ = j s a x x x x x x x x x x j g) max z =3x1+2x2+2x 3 h) min z= −2x1+2x 2 1 2 3 1 3 1 2 3 . . 2 3 2 10 2 3 0 3 2 14 0 1, 2,3 + + ≥ − ≥ + + ≤ ≥ = j s a x x x x x x x x x j 1 2 1 2 1 . . 2 2 2 8 3 0 1, 2 − + ≤ + ≥ ≥ ≥ = j s a x x x x x x j
2. Um professor de contabilidade idealizou um projecto de simulação empresarial que pretende
implementar num computador. Para o efeito o referido professor pode contratar três tipos de recursos: um número ilimitado de horas de estudantes de licenciatura ao custo de 4€ por hora; até 500 horas de estudantes de mestrado ao custo de 10€ por hora e um número ilimitado de horas de profissionais de programação ao custo de 25€ por hora. O projecto necessita de pelo menos 1000 horas de um profissional de programação e a produtividade dos estudantes de mestrado e de licenciatura é apenas de, respectivamente, 30% e 20% da produtividade dos
mais tempo de supervisão do que os de mestrado, e estes mais do que os programadores profissionais. Em particular, estima que terá que investir 0.2 horas do seu tempo por cada hora de um estudante de licenciatura, 0.15 por cada hora de um estudante de mestrado e 0.05 por cada hora de um programador profissional.
a) Escreva uma formulação que minimize o custo total de implementação do projecto. b) Utilize “software” adequado para obter a solução do problema.
3. Uma entidade financeira possui duas agências, AG1 e AG2, numa determinada cidade. As
agências AG1 e AG2 têm uma carteira de 6000 clientes e 9000 clientes, respectivamente. As agências disponibilizam aos seus clientes 4 tipos de planos financeiros, de acordo com o risco, PF1, PF2, PF3 e PF4. Por questões de especialização, a agência AG1 só disponibiliza os planos PF1, PF2 e PF3; a agência AG2 só disponibiliza os planos PF2, PF3 e PF4.
Cada agência determina a taxa de risco associada a cada um dos planos financeiros, de acordo com a seguinte tabela:
PF1 PF2 PF3 PF4
AG1 40 50 55 ─
AG2 ─ 60 30 50
Em função da composição da carteira, a entidade financeira dispõe de 2500 planos do tipo PF1, 4500 planos do tipo PF2, 5500 planos do tipo PF3 e 3500 planos do tipo PF4.
a) Escreva uma formulação que minimiza o risco total.
b) Utilize “software” adequado para obter a solução óptima do problema.
4. Os gelados de uma pastelaria têm tanto sucesso que o seu dono decidiu expandir o negócio,
passando a produzir os gelados em grande quantidade. A capacidade mensal de produção da nova fábrica é de 7000 embalagens de gelado. A procura dos dois tipos de gelado para os próximos 2 meses consta da tabela seguinte:
Junho Julho
Chocolate 4000 3000
As embalagens de gelado produzidas num mês que não sejam vendidas nesse mês podem ser armazenadas num armazém da firma que tem capacidade mensal de 3000 unidades independentemente do tipo de gelado. O custo de armazenamento é de 0.5u.m. por embalagem armazenada e por mês. O custo de produção de cada tipo de produto depende do mês em que ele é produzido de acordo com a seguinte tabela:
Junho Julho
Chocolate 2,5 3
Morango 3 3,5
Sabe-se que no início de Junho existem em armazém 2000 embalagens de gelado com sabor a chocolate e 1000 de gelado com sabor a morango. Pretende-se que no final de Julho fiquem armazenadas 1000 embalagens de gelado de chocolate. A pastelaria pretende determinar o plano de produção que minimiza o custo total.
a) Formule o problema que permite determinar o plano de produção que minimiza o custo
total.
b) Utilize “software” adequado para obter a solução óptima do problema.
5. Uma conceituada empresa, fabricante de sumos, está a planear produzir dois novos tipos de
sumo, o “Tropicalis” e o “Vitalis”, que são vendidos ao preço de 1.5€ e de 1.9€ por pacote, respectivamente. Estes sumos são obtidos a partir da mistura de tês tipos de concentrado de fruta: manga, papaia e melão. Além disso, verifica-se que:
− o “Tropicalis” é constituído, no máximo, por 25% de concentrado de manga e, no mínimo, por 50% de concentrado de melão;
− o “Vitalis” é constituído, no máximo, por 10% de concentrado de papaia e, no mínimo, por 75% de concentrado de melão.
A empresa terá de cumprir os contratos mensais já assinados, que totalizam 3500 e 4500 pacotes de litro do sumo “Tropicalis” e “Vitalis”, respectivamente. As disponibilidades mensais bem como os custos de aquisição dos diversos tipos de concentrado constam da tabela seguinte:
Disponibilidade Custo de aquisição
O processo produtivo da empresa é constituído pelas secções de mistura e de empacotamento, com uma disponibilidade mensal de 160 horas em cada secção. O rendimento horário da secção de mistura e de empacotamento é de 60 litros e de 80 pacotes de sumo, respectivamente. Os custos de produção são de 0.5€ por litro de sumo produzido.
a) Escreva uma formulação que maximiza o lucro total.
b) Utilize “software” adequado para obter a solução óptima do problema.
6. Uma empresa compra e distribui vinhos a retalhistas. O tipo de vinho, a origem, os custos e
os preços de venda constam da tabela seguinte.
País Custo (em euros) Preço venda (em euros)
A Portugal 2.50 4.25
B Portugal 3.00 4.50
C França 5.00 8.00
D Itália 4.00 6.00
A gestora de compras da empresa decidiu que pelo menos 800 garrafas de cada tipo de vinho devem ser compradas no próximo período de compras. Além disso, de acordo com a política da empresa, o número de garrafas a comprar em Portugal, nesse período, deve ser pelo menos o dobro do número de garrafas a importar. Sabendo que a empresa não deseja gastar mais do que 25000 euros na importação de vinhos.
a) Formule o problema que permite determinar quantas garrafas de cada tipo de vinho
devem ser compradas de modo a maximizar o lucro total.
b) Utilize “software” adequado para obter a solução óptima do problema.
7. Uma das componentes a considerar na avaliação de um imóvel é a classificação energética do
mesmo, que é feita com base na inspecção a três tipos de estruturas: eléctrica, gás e isolamento. Uma comissão de avaliação de imóveis dispõe de uma semana para realizar inspecções a três tipos de imóveis: residências, centros de negócios e instalações industriais. Para o efeito, dispõe de três inspectores especialistas na área eléctrica e dois na área de gás, cada um deles dispondo de 40 horas para analisar as estruturas da sua área. Adicionalmente, a comissão dispõe de uma verba de 10000€ para 100 horas (100€/hora) de serviços a contratar a uma empresa de consultadoria em isolamento residencial e industrial. Contudo, existem requisitos mínimos a observar, que consistem em inspeccionar, pelo menos, seis centros de negócios e, pelo menos, seis instalações industriais, assim como garantir que, pelo menos,
60% das inspecções são realizadas em residências. Pretende-se também que por cada dois centros de negócios inspeccionados sejam inspeccionadas, pelo menos, cinco residências. O tempo (em horas) necessário para efectuar cada tipo de inspecção consta da tabela que se segue.
Estrutura eléctrica Estrutura de gás Isolamento
Residências 2 1 3
Centros de negócios 4 3 2
Instalações industriais 6 3 1
a) Formule o problema que permite determinar a quantidade máxima de imóveis a serem
inspeccionados durante o referido período de tempo.
b) Utilize “software” adequado para obter a solução óptima do problema.
8. Uma empresa produz três tipos de janelas: J1, J2 e J3, para o qual utiliza três tipos de metal
M1, M2 e M3. O preço de venda de cada janela, bem como as quantidades, em kg, de cada metal necessárias para a produção de cada tipo de janela e as disponibilidades diárias de metal constam do quadro seguinte:
Metal Quantidade necessária (kg/unidade) Disponibilidade (kg) J1 J2 J3 M1 5 4 3 500 M2 3 4 6 600 M3 6 2 5 550 Preço de Venda (€) 100 80 110
Segundo estudos de mercado, a procura diária de janelas J2 será de pelo menos 15 unidades enquanto que a de janelas J1 não ultrapassa as 12. De acordo com a política da empresa, a produção de janelas J3 deverá ser pelo menos o dobro da de janelas J1.
A empresa dispõe de 500 horas diárias de mão-de-obra e sabe-se que são necessárias 7h para fabricar uma janela J1, 6h para fabricar uma janela J2 e 8h para fabricar uma janela J3.
a) Formule o problema que permite determinar quantas janelas de cada tipo devem ser
9. Uma empresa de fabrico de brinquedos iniciou a sua actividade há seis meses com a produção
de dois modelos de pistolas de água. Os dois modelos, M1e M2, são produzidos em lotes de uma dúzia e são feitos exclusivamente de uma composição de plástico. Apesar de muitas objecções, por parte dos pais, a este tipo de produtos devido a potenciais implicações de violência, os mesmos têm tido uma grande procura e não tem havido problema em vender todos os modelos fabricados. Perante este grande sucesso, a empresa está a considerar a hipótese de expansão. Contudo, na sequência de recentes medidas económicas tomadas por parte do governo, a empresa está simultaneamente a planear mudar-se para um país do leste europeu onde os custos de material e de laboração são consideravelmente mais baixos. De facto, a disponibilidade de custos de laboração mais baixos e de um contrato com um distribuidor local para fornecer até 3000 Kg de plástico a um custo substancialmente reduzido, permitirá duplicar e triplicar o lucro obtido com a venda de uma dúzia de pistolas dos modelos M1 e M2, respectivamente.
A nova fábrica será equipada com maquinaria moderna e disporá de pessoal afecto a um plano de laboração normal de 40 horas semanais. Adicionalmente, podem ser planeadas até 32 horas semanais de trabalho extraordinário. Os encargos com cada hora extraordinária custarão mais 180 € do que com as horas de trabalho normal. Através de estudos de mercado, a empresa tem testado a introdução de dois novos modelos, M3 e M4, que prevê tornarem-se tão populares quanto os modelos M1 e M2. Os lucros e requisitos para cada modelo bem como as disponibilidades semanais constam da tabela seguinte.
Modelo Lucro Plástico Tempo de produção (minutos) M1 M2 M3 M4 16 € 15 € 20 € 22 € 2 1 3 4 3 4 5 6
Disponibilidades 3000 40 horas (Trabalho normal) 32 horas (Trab. extraordinário)
A empresa tem um contrato assinado com uma cadeia de lojas de venda de brinquedos para fornecimento semanal de pelo menos 200 dúzias de pistolas do modelo M2 a partir da nova fábrica. O departamento de Marketing decidiu rever a sua estratégia para o período pós instalação da nova fábrica. Concluiu que para garantir o fornecimento durante o período de maior procura do seu modelo mais popular, M1, a produção deste modelo ocupará exactamente 50% da produção total enquanto que a produção de cada um dos restantes modelos não ocupará mais de 40%. O departamento deseja ainda que a produção total seja de pelo menos 1000 dúzias de unidades por semana.
a) Escreva uma formulação que determine o plano de produção semanal que maximiza o
lucro total a obter.
b) Utilizando “software” adequado obtenha a solução óptima do problema.
10. Uma das prendas mais apetecíveis para a época natalícia é uma consola de jogos, sendo os
modelos P, N e X os mais procurados. Por isso, uma empresa que produz estes modelos de consolas pretende planear a sua produção para esta época. O processo produtivo da empresa consiste numa linha de montagem dos vários componentes plásticos e electrónicos. Na tabela que se segue, apresentam-se o número de componentes de cada tipo necessários à produção de uma consola de cada modelo, as disponibilidades mensais dos componentes e os preços de venda e os custos de produção unitários dos modelos.
Consolas Disponibilidades mensais P N X C. Plásticos 2 3 4 4000 C. Electrónicos 5 6 8 8000 Preço Venda (€) 30 37 35 Custos Produção 10 12 13
Sabe-se que uma hora na linha de montagem permite a produção de 4 consolas do modelo P, ou 10 do modelo N ou 5 do modelo X e que esta pode funcionar 240 horas por mês. Após a realização de alguns estudos de mercado, o gerente da empresa verificou que por cada dois modelos N deverão ser vendidos, pelo menos, 4 modelos X. A empresa já recebeu encomendas no total de 600 consolas modelo P e 200 consolas de modelo N. A empresa pretende que, no fim do mês, seja armazenada pelo menos 10% da produção mensal do modelo X. As vendas previstas para este modelo são de 320 consolas.
Com receio de não cumprir as encomendas já existentes, o gerente decidiu recorrer a um turno extraordinário, originando um agravamento de 2€ nos custos de produção unitários. Neste turno poderão ser utilizadas 120 horas na linha de montagem e só existe capacidade para produzir 200 consolas.
a) Escreva uma formulação que maximize o lucro total de produção.
11. Um consultor financeiro, especializado em aconselhar investidores que pretendam investir
grandes somas de dinheiro proveniente de heranças, prémios de jogos, etc., discute os objectivos dos investimentos com os seus clientes, tendo em consideração a atitude de cada cliente face ao risco e à liquidez.
Após a primeira reunião com o cliente, o consultor selecciona um grupo de acções, fundos, depósitos a prazo e outros investimentos que pensa serem apropriados para a carteira de investimentos do cliente. Com base em informações seguras sobre cada tipo de investimento, determina a sua própria avaliação desenvolvendo, posteriormente, uma tabela contendo, também, os respectivos factor de risco, rentabilidade esperada e liquidez. Na segunda reunião, o consultor define os objectivos do cliente com maior especificação. As respostas obtidas serão utilizadas na construção de um modelo de programação linear, cujos resultados servirão de base para elaborar a recomendação final a fornecer ao cliente.
Francisco Silva recebeu uma herança de 100.000€ que pretende investir na sua totalidade. Com base na reunião inicial, o consultor descobriu que o Francisco é um investidor adverso ao risco pelo que sugeriu os seguintes potenciais investimentos que podem vir a oferecer um bom retorno com pouco risco:
Potencial investimento Rentabilidade
esperada Avaliação Liquidez
Factor de risco
Depósitos a prazo 4.0% A Imediata 0
Certificados de aforro 5.2% A 5 anos 0
Sonae 7.1% B+ Imediata 25
EDP 10.0% B Imediata 30
Fundos de investimento 8.2% A 1 ano 20
Obrigações 6.5% B+ 1 ano 15
Warrants 20.0% A Imediata 65
Finibanco 12.5% C Imediata 40
Com base na segunda reunião, o consultor deverá ser capaz de ajudar o Francisco a desenvolver os seguintes objectivos:
− um retorno anual esperado de pelo menos 7.5%;
− pelo menos 50% da herança deverá ser aplicada em investimentos de avaliação A; − pelo menos 40% da herança deverá ser aplicada em investimentos de liquidez imediata; − não deverão ser aplicados mais de 30.000€ em depósitos a prazo e certificados de
Como o Francisco é adverso ao risco, o consultor gostaria de fornecer uma recomendação final que minimize o risco total e que verifique os objectivos descritos anteriormente.
a) Escreva uma formulação que minimize o risco total.
b) Utilize “software” adequado para obter a solução do problema. Qual deverá ser a
