AL aula20

Álgebra Linear

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2019.2

Objetivos

Denir e estudar Formas Quadráticas e sua aplicação à classicação de Cônicas e Quádricas

Forma Quadrática

Seja V um espaço vetorial e B uma forma bilinear simétrica em V

(Forma Quadrática)

Uma Forma Quadrática Q é uma função de V em R denida a partir de uma forma bilinear simétrica em V , B, por

Q : V → R Q(v) = B(v, v)

Dada uma base α de V , se M = [B]α

α e [v]α=      x1 x2 ... xn      então Q(v) = [v]t αM [v]α.

Exemplos de Formas Quadráticas

1 _{V = R}2, α a base canônica M =  1 −2 −2 4  Q(x, y) = x y   1 −2 −2 4   x y  Q(x, y) = x − 2y −2x + 4y   x y 

Q(x, y) = x2− 2xy − 2xy + 4y2 =x2− 4xy + 4y2

2 Mais geralmente, se M =

 a b b c



então a forma quadrática associada é Q(x, y) = ax2+ 2bxy + cy2

Formas Quadráticas em R

2

Como toda forma bilinear simétrica está associada a uma matriz simétrica, segue que toda forma quadrática em R2 _{é da forma}

Q(x, y) = Ax2_{+Bxy + Cy}2

e está associada à matriz

M =  A B 2 B 2 C 

Formas Quadráticas em R

3

De forma análoga, uma forma bilinear simétrica em R3 _{está associada a uma matriz simétrica}

M =   a b c b d e c e f  

Considerando a base canônica de R3

Q(x, y, z) = x y z    a b c b d e c e f     x y z   Q(x, y, z) = ax + by + cz bx + dy + ez cx + ey + f z    x y z  

Q(x, y, z) = ax2_{+bxy + cxz + bxy + by}2_{+eyz + cxz + eyz + f z}2

Formas Quadráticas em R

3

Também de forma análoga, podemos concluir que toda forma quadrática em R3 _{é da forma}

Q(x, y, z) = Ax2+By2+Cz2+Dxy + Exz + F yz com matriz na base canônica

M =       A D 2 E 2 B 2 B F 2 E 2 F 2 C       Se Q(x, y, z) = Ax2+By2+Cz2 então a matriz M é diagonal.

Diagonalização de Formas Quadráticas

Diagonalizar uma forma quadrática (ou a forma bilinear associada) signica encontrar uma base em relação à qual sua matriz é diagonal.

Diagonalizar uma forma quadrática (ou a forma bilinear associada) signica diagonalizar sua matriz (na base canônica).

A matriz de uma forma quadrática é simétrica, portanto é diagonalizável. Existe uma base ortonormal de autovetores para toda forma quadrática.

Diagonalização de Formas Quadráticas

Diagonalizar uma forma quadrática (ou a forma bilinear associada) signica encontrar uma base em relação à qual sua matriz é diagonal.

Diagonalizar uma forma quadrática (ou a forma bilinear associada) signica diagonalizar sua matriz (na base canônica).

A matriz de uma forma quadrática é simétrica, portanto é diagonalizável. Existe uma base ortonormal de autovetores para toda forma quadrática.

Diagonalização de Formas Quadráticas

Diagonalizar uma forma quadrática (ou a forma bilinear associada) signica encontrar uma base em relação à qual sua matriz é diagonal.

Diagonalizar uma forma quadrática (ou a forma bilinear associada) signica diagonalizar sua matriz (na base canônica).

A matriz de uma forma quadrática é simétrica, portanto é diagonalizável.

Diagonalização de Formas Quadráticas

Diagonalizar uma forma quadrática (ou a forma bilinear associada) signica encontrar uma base em relação à qual sua matriz é diagonal.

Diagonalizar uma forma quadrática (ou a forma bilinear associada) signica diagonalizar sua matriz (na base canônica).

A matriz de uma forma quadrática é simétrica, portanto é diagonalizável. Existe uma base ortonormal de autovetores para toda forma quadrática.

Exemplo

Vamos diagonalizar a forma quadrática o início da aula. Q(x, y) = x2_{− 4xy + 4y}2 _{com matriz}

na base canônica M = [B]_=  1 −2 −2 4      1 −λ −2 −2 4 −λ     = (1 −λ)(4 − λ) − 4 = λ2− 5λ = 0 ⇐⇒ λ = 0ou λ = 5 λ = 0 ⇒  1 −2 −2 4   x y  =  0 0  ⇐⇒ x − 2y = 0 ⇒ v1= (2, 1) λ = 5 ⇒  −4 −2 −2 −1   x y  =  0 0  ⇐⇒ 2x + y = 0 ⇒ v2 = (1, −2) β =n√2 5, 1 √ 5  ,√1 5, − 2 √

5o é uma base ortonormal de autovetores de M e

[B]_= [I]β_[B]β_β[I]_β

Q(v) = [v]t_[I]β_[B]β_β[I]_β[v]= ([I]β[v])t[B]β_β[v]β = [v]tβ[B] β β[v]β

Exemplo - continuação

Se [v]β =  x1 y1  temos [B]β β =  0 0 0 5  e Q(v) = x1 y1   0 0 0 5   x1 y1  Q(v) = 5y₁2

Outro exemplo

Vamos diagonalizar uma forma quadrática em R3_{. Q(x, y, z) = x}2_+y2_+z2_{+xy + xz + yz}

com matriz na base canônica

M = [B]_=   1 1/2 1/2 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1         1 −λ 1/2 1/2 1/2 1 −λ 1/2 1/2 1/2 1 −λ       = (1−λ)3+1 8+ 1 8− 1 4(1−λ)− 1 4(1−λ)− 1 4(1−λ) = (1−λ) 3₊3 4− 1 2λ λ3− 3λ2+9 4λ − 1 2 =  λ −1 2   λ2−5 2λ + 1  =  λ − 1 2   λ − 1 2  (λ − 2) = 0 ⇐⇒ λ = 1 2 (duplo) ou λ = 2

Outro exemplo: autovetores

λ = 1 2 ⇒   1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2     x y z  =   0 0 0   ⇐⇒ x+y+z = 0 ⇒ v1= (1, 0, −1) v2= (1, −2, 1) v1 ⊥ v2 λ = 2 ⇒   −1 1/2 1/2 1/2 −1 1/2 1/2 1/2 −1     x y z  =   0 0 0   ⇐⇒ −2x + y + z = 0 x − 2y + z = 0 ⇐⇒ y = z x = z ⇒ v3= (1, 1, 1) β =n_√1 2, 0, − 1 √ 2  ,_√1 6, − 2 √ 6, 1 √ 6  ,_√1 3, 1 √ 3, 1 √

3o é uma base ortonormal de autovetores

de M e

[B]_= [I]β_[B]β_β[I]_β

Outro exemplo - forma diagonalizada

Se [v]β =   x1 y1 z1  temos [B] β β =   1/2 0 0 0 1/2 0 0 0 2  e Q(v) = x1 y1 z1    1/2 0 0 0 1/2 0 0 0 2     x1 y1 z1   Q(v) = 1 2x 2 1+ 1 2y 2 1 + 2z12

Cônicas

Uma cônica é o lugar geométrico dos pontos no plano R2 _{que satisfazem uma equação do tipo}

Ax2_{+Bxy + Cy}2_{+Dx + Ey + F = 0}

ou

Q(v) + L(v) + F = 0

onde Q é uma forma quadrática, L é uma forma linear e F é uma constante

(São cônicas)

Elipse Hipérbole Parábola

Ponto

Par de retas concorrentes Par de retas paralelas Conjunto vazio

Quádricas

Uma quádrica é o lugar geométrico dos pontos no espaço R3 _{que satisfazem uma equação do}

tipo

Ax2_{+Bxy + Cxz + Dy}2_{+Eyz + F z}2_{+Gx + Hy + Jz + K = 0}

ou

Q(v) + L(v) + K = 0

onde Q é uma forma quadrática, L é uma forma linear e K é uma constante

(São quádricas) Elipsóide Hipérbolóides de uma e duas folhas Parábolóide Parabolóide Hiperbólico Cone

Cilindros Elípticos, Parabólicos e Hiperbólicos

Ponto

Par de planos concorrentes

Par de planos paralelos Plano

Reta

Identicação de Cônicas e Quádricas por

Diagonalização da Forma Quadrática

(Exemplo)

Vamos identicar a cônica de equação

x2− 4xy + 4y2+ 6x − 2y + 4 = 0 Primeiramente identicamos a forma quadrática

Q(v) = x2− 4xy + 4y2 e a forma linear L(v) = 6x − 2y Em forma matricial  x y   1 −2   x  + 6 −2   x  + 4 = 0

Já diagonalizamos a forma quadrática obtendo os autovalores λ = 0 e λ = 5 associados respectivamente aos vetores ortonormais_√2

5, 1 √ 5 e  1 √ 5, − 2 √

5. Sendo  a base canônica e β

a base de autovetores, temos [I]β_ = √1 5  2 1 1 −2  e [I]_β = ([I]β_)t= √1 5  2 1 1 −2  Se [v]β =  x1 y1  = [I] β[v] então [v]=  x y 

= [I]β[v]β e, na base β obtemos

 x1 y1   0 0 0 5   x1 y1  + 6 −2  1 √ 5  2 1 1 −2   x1 y1  + 4 = 0 5y₁2+ √1 5(10x1+ 10y1) + 4 = 0 5  y2₁+√2 5y1+ 1 5  +√10 5x1+ 3 = 0  y1+ 1 √ 5 2 +√2 5  x1+ 3 2√5  = 0

Interpretação Geométrica: esboço da parábola

x

2

− 4xy + 4y

2

_{+ 6x − 2y + 4 = 0 →}



_y

1

+

√1₅



2

+

√2 5



x

1

+

₂√3₅



= 0

Primeiro vamos posicionar no plano os sistemas de coordenadas xOy e x1Oy1

Observe que x1Oy1 é uma reexão em

torno de Ox seguida de uma rotação anti-horária de θ = arctg1

2

Identicamos o vértice e o eixo de simetria da parábola e

posicionamos a parábola.

x y

Interpretação Geométrica: esboço da parábola

x

2

− 4xy + 4y

2

_{+ 6x − 2y + 4 = 0 →}



_y

1

+

√1₅



2

+

√2 5



x

1

+

₂√3₅



= 0

Primeiro vamos posicionar no plano os sistemas de coordenadas xOy e x1Oy1

Observe que x1Oy1 é uma reexão em

torno de Ox seguida de uma rotação anti-horária de θ = arctg1

2

Identicamos o vértice e o eixo de simetria da parábola e posicionamos a parábola. x y x1 y1

Interpretação Geométrica: esboço da parábola

x

2

− 4xy + 4y

2

_{+ 6x − 2y + 4 = 0 →}



_y

1

+

√1₅



2

+

√2 5



x

1

+

₂√3₅



= 0

Primeiro vamos posicionar no plano os sistemas de coordenadas xOy e x1Oy1

Observe que x1Oy1 é uma reexão em

torno de Ox seguida de uma rotação anti-horária de θ = arctg1

2

Identicamos o vértice e o eixo de simetria da parábola e posicionamos a parábola. x y x1 b

Interpretação Geométrica: esboço da parábola

x

2

− 4xy + 4y

2

_{+ 6x − 2y + 4 = 0 →}



_y

1

+

√1₅



2

+

√2 5



x

1

+

₂√3₅



= 0

Primeiro vamos posicionar no plano os sistemas de coordenadas xOy e x1Oy1

Observe que x1Oy1 é uma reexão em

torno de Ox seguida de uma rotação anti-horária de θ = arctg1

2

Identicamos o vértice e o eixo de simetria da parábola e posicionamos a parábola. x y x1 y1 b

Observações sobre diagonalização de cônicas

Nesse exemplo

A transformação de coordenadas é dada pela matriz de mudança de base [I]β_ = " ₂ √ 5 1 √ 5 1 √ 5 − 2 √ 5 # =  cosθ senθ senθ − cos θ 

Como vimos na Aula 19 essa transformação é uma reexão em torno do eixo Ox seguida de uma rotação (anti-horária) de um ângulo θ tal que cos θ = _√2

5

As escolhas dos sentidos dos autovetores e da ordem dos autovalores é que determinam se a transformação é uma rotação ou uma composição de rotação com reexão em torno do eixo Ox

Em geral, se a matriz de mudança de base da canônica  para a de autovetores β tem determinante 1, tem-se uma rotação e, se tem determinante −1 tem-se a composição de reexão com rotação.

Uma quádrica

Identique e esboce a quádrica

−5y2+ 2xy − 8xz + 2yz = 0 Temos Q(v) = x y z    0 1 −4 1 −5 1 −4 1 0     x y z  = 0       −λ 1 −4 1 −5 − λ 1 −4 1 −λ       = −λ2(5 +λ) − 4 − 4 + 16(5 + λ) + λ + λ = −λ3− 5λ2+ 18λ + 72 λ3_{+ 5λ}2_{− 18λ − 72 = (λ − 4)(λ}2_{+ 9λ + 18) = (λ − 4)(λ + 3)(λ + 6) = 0} Os autovalores são λ = 4, λ = −3 e λ = −6

Uma quádrica: autovetores

λ = 4 ⇒   −4 1 −4 1 −9 1 −4 1 −4     x y z  =   0 0 0  ⇒ y = 0 z = −x ⇒ v1 = (−1, 0, 1) λ = −6 ⇒   6 1 −4 1 1 1 −4 1 6     x y z  =   0 0 0  ⇒ z = x y = −2x ⇒ v2= (1, −2, 1) λ = −3 ⇒   3 1 −4 1 −2 1 −4 1 3     x y z  =   0 0 0  ⇒ y = x z = x ⇒ v3 = (1, 1, 1) Temos a base ortonormal de autovetores

β =n−_√1 2, 0, 1 √ 2  ,_√1 6, − 2 √ 6, 1 √ 6   1 √ 3, 1 √ 3, 1 √ 3 

,o que gera o novo sistema de coordenadas x1y1z1

Uma quádrica: as matrizes de mudanças de bases

[I]β  =    −_√1 2 1 √ 6 1 √ 3 0 −√2 6 1 √ 3 1 √ 2 1 √ 6 1 √ 3    [I]  β =    −_√1 2 0 1 √ 2 1 √ 6 − 2 √ 6 1 √ 6 1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3   

Observe que, para que [I]β

 represente uma rotação R` no espaço é preciso que, para uma base

ortonormal γ tenha-se [R`]γγ=   1 0 0 0 cosθ senθ 0 −sen θ cos θ  

Observe que essa matriz tem determinante 1 e

[I]β_ = [R`] = [I]γ[R`]γγ[I]γ

Como os determinantes de [I] γ e [I]

γ

 são iguais, segue que o determinante de [I]β deve ser 1.

Temos det [I]β

 = 1, portanto temos uma rotação. Agora pense um pouco: como determinar o

Uma quádrica: equação no novo sistema

Com as coordenadas no sistema rotacionado x1y1z1 obtemos

Q(v) = x1 y1 z1    4 0 0 0 −6 0 0 0 −3     x1 y1 z1  = 0

Temos então o cone