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Fundamentos de Física
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Capítulo 24
Potencial Elétrico
Em 2012, Após quatro horas fumando maconha sem parar, uma jovem
de 21 anos da região de Zlin, na República Tcheca, subiu no alto de um
torre de eletricidade de 12,2 metros de altura. Segundo o jornal "Daily
Mail", a moça estava sofrendo alucinações, e pensou que estivesse
atravessando uma ponte.
Como é possível que a moça tenha permanecido sobre os cabos de alta
tensão sem ser eletrocutada?
Potencial Elétrico
Os físicos e engenheiros descobriram experimentalmente que a força elétrica é conservativa e que, portanto, é possível associar à força elétrica uma energia potencial elétrica. A motivação para associar uma energia potencial a uma força é o fato de que isso permite aplicar a lei de conservação da energia mecânica a sistemas fechados que envolvam a força.
FONTE:
http://www.science.marshall.edu/foltzc/10914t6.htm
FONTE:
https://pythonmatplotlibtips.blogspot.com.br/2017/12/draw-electric-field-lines-with-changing-color.html
Quando uma força eletrostática age entre duas ou mais partículas de um
sistema, podemos associar uma energia potencial elétrica U ao sistema.
Se a configuração do sistema muda de um estado inicial i para um estado
final f, a força eletrostática realiza um trabalho W sobre as partículas. A
variação de energia potencial associada é dada por
Como acontece com qualquer força conservativa, o trabalho realizado pela
força eletrostática é independente da trajetória.
Em geral é usado, como configuração de referência de um sistema de
partículas carregadas, a configuração na qual a distância entre as partículas é
infinita e definimos a energia potencial de referência como sendo zero. Logo
O que leva a
O Potencial Elétrico é definido como a energia potencia por unidade
de carga, sendo assim, essa é uma grandeza que independe da carga de
teste
A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é igual à
diferença entre os potenciais elétricos dos dois pontos. Assim,
Potencial Elétrico
Logo, sendo U
0= 0 no infinito
A unidade SI para o potencial elétrico é o volt (V).
A unidade SI para o campo elétrico também pode se redefinida a partir
do volt (V).
Podemos também definir uma unidade de energia que é conveniente
para medições de energia nos domínios atômico e subatômico: um
elétron-volt (eV) é a energia igual ao trabalho necessário para deslocar
uma única carga elementar e, através de uma diferença de potencial de
um volt.
Se uma partícula de carga q é transportada do ponto i para o ponto f, na presença de um campo elétrico, através da aplicação de uma força, a força aplicada realiza um trabalho Wapsobre a carga, enquanto o campo elétrico realiza um trabalho W sobre a mesma carga. A variação K da energia cinética da partícula é dadapor
Suponha que a partícula esteja parada antes e depois do deslocamento. Nesse caso,
Kf = Ki = 0 e
Relacionando o trabalho realizado pela força à variação da energia potencial da partícula durante o deslocamento, obtemos:
Podemos também relacionar Wapà diferença de potencial elétrico V entre as posições inicial e final da partícula:
ou
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial, que pode ser uma superfície imaginária ou uma superfície real.
Quando uma partícula carregada é deslocada de um ponto para outro de uma superfície equipotencial, o trabalho total realizado pelo campo elétrico é sempre nulo.
FONTE: https://uwphysics115helper.wordpress.com/2015/02/15/chapter-20-electric-potential-and-electric-potential-energy/ FONTE: http://www.edtech.engineering.utoronto.ca/object/equipotential-surface FONTE: https://www.wolfram.com/mathematica/new- in-9/built-in-symbolic-tensors/electric-potential-and-field-of-a-dipole.html
Cálculo do Potencial a Partir do Campo
Logo obtemos:
Assim, a diferença de potencial Vf - Vi entre dois pontos i e f na presença de um campo elétrico é igual
ao negativo da integral de linha do ponto i até o ponto f. Como a força eletrostática é conservativa, todas as trajetórias levam ao mesmo resultado.
Se Vi= 0, temos:
Esse é o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial no ponto i. Se o ponto i está no infinito, esse é o potencial V em qualquer ponto f em relação ao infinito.
Dividindo por q0, temos uma função que independe da carga de teste
Potencial Produzido por uma Carga Pontual
Uma partícula positivamente carregada produz um potencial elétrico positivo. Uma partícula negativamente carregada produz
um potencial elétrico negativo.
Considere um ponto P situado a uma distância R de uma partícula fixa de carga positiva q. Imagine que uma carga de prova positiva q0 é deslocada do ponto P até o infinito. Como a trajetória seguida pela carga de prova é irrelevante, podemos escolher a mais simples: uma reta que liga a partícula fixa ao ponto P e se estende até o infinito. Nesse caso, temos:
Fazendo ds = dr e q = 0°, obtemos
Onde o módulo do campo elétrico E produzido por uma carga pontual é dado pela expressão
Potencial Produzido por uma Carga Pontual
Substituindo R por r, finalmente obtemos Aplicando os limites da integração, temos
Se Vf = 0 (no ∞) e Vi = V (em R). Assim, aplicando o módulo do campo
elétrico no ponto onde se encontra a carga de prova temos
Logo
Uma partícula positivamente carregada
produz um potencial elétrico positivo.
Uma partícula negativamente carregada
produz um potencial elétrico negativo.
Potencial Elétrico devido uma carga pontual
Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais
Podemos calcular o potencial produzido em um ponto do espaço por
um grupo de cargas pontuais usando o princípio de superposição.
Para isso, calculamos separadamente os potenciais produzidos pelas
cargas no ponto dado e somamos os potenciais. No caso de n cargas,
o potencial é dado por
Potencial devido a n cargas pontuais
No ponto P, a carga pontual positiva (que está a uma distância r(+)) produz um potencial V(+)e a carga negativa (que está a uma distância r(-)) produz um potencial
V(-). Assim, o potencial total no ponto P é
Os dipolos que ocorrem naturalmente têm dimensões reduzidas. Assim,
normalmente estamos interessados em pontos distantes do dipolo, tais que r >> d,
onde d é a distância entre as cargas. Nesse caso, se p = qd,
Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico
Potencial devido a um dipolo elétrico
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição contínua de cargas, podemos obter uma expressão para o potencial elétrico num ponto P diferenciando o objeto em elementos infinitesimais de volume. Cada infinitésimo de volume portará uma fração dq da carga q distribuída no volume total do objeto. O potencial elétrico produzido no ponto P poderá ser calculado através da superposição do potencial gerado por cada um dos elementos infinitesimais.
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
(a) Uma barra fina, uniformemente carregada, produz um potencial elétrico V no ponto
P. (b) Um elemento de carga pode ser tratado como uma partícula. (c) O potencial
produzido por um elemento de carga no ponto P depende da distância r. Precisamos somar os potenciais produzidos por todos os elementos da carga, da extremidade esquerda (d) à extremidade direita (e) da barra.
Se é a carga por unidade de comprimento, a carga em dx é
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Aplicando a substituição trigonométrica temos , logo
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Assim obtemos os valores A e B
Aplicando uma nova substituição de modo que temos
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas Dessa forma, a integral se torna
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas Logo, temos
Retornando a para a variável x podemos finalmente aplicar os limites de integração
Aplicando os limites de integração, obtemos
Logo
Potencial devido uma linha de carga
Na Figura, considere um elemento de área constituído por um anel de raio R’ e largura radial dR’. A carga desse elemento é dada por
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Potencial devido um disco carregado
Se tomamos o eixo s como sendo, sucessivamente, os eixos x, y e z, as
componentes do campo elétrico
passam a ser, respectivamente
Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial Suponha que uma carga de prova positiva q0sofra
um deslocamento de uma superfície equipotencial para a superfície vizinha. O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga de prova durante o deslocamento é
O trabalho realizado pelo campo elétrico também pode ser
escrito como o produto escalar
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais
A Figura mostra duas cargas pontuais, q1e q2, separadas por uma distância r. Quando
trazemos a carga q1do infinito e a colocamos no lugar, não realizamos trabalho porque
não existe uma força eletrostática agindo sobre q1. Quando, porém, trazemos q2 do
infinito e a colocamos no lugar, realizamos um trabalho, já que q1 exerce uma força
eletrostática sobre q2durante o deslocamento.
O trabalho realizado é q2V, onde V é o potencial criado por q1 no ponto onde
colocamos q2.
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é
igual ao trabalho que deve ser realizado por um agente externo para
montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita
umas das outras.
Sabemos que .
Como o campo elétrico é nulo em todos os pontos de um condutor, Vf = Vi para qualquer par de pontos i e f do condutor.
Centelhamento de um Condutor Carregado
As centelhas, como o cabelo em pé, podem ser um sinal de que um relâmpago está para acontecer. Nessas circunstâncias, é mais prudente abrigar-se no interior de uma casca condutora, local onde o campo elétrico com certeza é zero. Um carro (a menos que se trate de um modelo conversível ou com carroceria de plástico) constitui uma proteção quase ideal.
Nos condutores não esféricos, uma carga superficial não se distribui uniformemente na superfície do condutor. Em vértices e arestas, a
densidade de cargas superficiais (e,
portanto, o campo elétrico externo, que é proporcional à densidade de cargas superficiais) pode atingir valores muito elevados (poder das
pontas). Nas vizinhanças desses
vértices e arestas, o ar pode se ionizar, produzindo as centelhas que golfistas e montanhistas observam na ponta de arbustos, tacos de golfe e martelos de alpinismo quando o céu está carregado.
