Cálculo de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais

Instituto Superior de Transportes

e Comunicações

Cálculo de Engrenagens

Cilíndricas de Dentes Helicoidais

Tópicos

1. Conceitos gerais Transmissões por engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais

4. Resistência das engrenagens helicoidais

5. Dimensionamento de engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 6. Cálculo cinemático

1. Conceitos gerais

Engrenagens cilíndricas de dentes inclinados, ou helicoidais, são construídas com dentes que não são alinhados com a direção axial dos elementos de transmissão. São utilizadas quando é necessário construir reduções que ocupem menor espaço axial e que gerem menor ruído.

A primeira característica vem do fato de que a largura efetiva dos dentes é maior do que a de engrenagens cilíndricas de dentes retos e a segunda é devida ao engrenamento gradual dos dentes.

Engrenagens de dentes inclinados geram esforços axiais, já que o contato ocorre

1. Conceitos gerais

 Para suportar esses esforços deve-se prever a utilização de mancais de escora ou mancais radiais, como os rolamentos de contato angular.

 Uma providência de projeto bastante comum é a montagem de uma redução com dois pares de engrenagens, cada conjunto gerando esforços axiais em uma direção.

 Com engrenagens semelhantes, os

esforços axiais resultantes serão mínimos. A figura 2 mostra esse tipo de montagem.

1. Conceitos gerais

 A fabricação dos dentes é similar à fabricação de dentes de rodas dentadas com dentes rectos. Por isso, o perfil dos dentes na secção normal n-n é similar ao perfil de dentes rectos.

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

 Um esquema dos dentes e das variáveis

envolvidas no estudo das engrenagens helicoidais é mostrado na figura 1.

Nessa figura, 𝛽 é o ângulo de hélice, que define a inclinação dos dentes em relação ao eixo das engrenagens; 𝑝 é o passo; 𝑝_𝑛 é o passo normal ou

ortogonal; 𝑝_𝑎 é o passo axial e 𝑏 é a largura da engrenagem.

 A variável 𝑏,_{, não mostrada, é utilizada}

para a largura efetiva dos dentes, que em engrenagens helicoidais depende do

Fig 1. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal mostrando as designações mais importantes

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

 A figura 1 também mostra os planos RR

e NN. O primeiro é o plano perpendicular ao eixo da engrenagem e o segundo é perpendicular aos dentes. A visão dos dentes em cada plano é diferente.

 A figura 2 mostra os dentes em ambos os planos. Nessa figura, 𝜙_𝑛 é o ângulo de pressão normal ou ortogonal e 𝜙 é o ângulo de pressão. Pode-se notar que os

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

 O ângulo normal é o que realmente está no plano de rolamento e é normalizado. Embora o perfil dos dentes deva ser evolvental nesse plano, dificuldades de

fabricação impedem que isso ocorra.

 Pequenas diferenças são levadas em conta no

dimensionamento através da modificação dos fatores geométricos.

Fig 2. Visualização dos Dentes de Engrenagens Helicoidais. À esquerda, corte no Plano NN da figura 1; à direita, corte no Plano RR

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

 Com as figuras 1 e 2 é possível descrever as relações entre as diversas variáveis. Assim, o passo normal pode ser calculado por:

1. Passo tangencial 𝑝_𝑡 = 𝑝_𝑛/𝑐𝑜𝑠𝛽

2. módulo tangencial 𝑚_𝑡 = 𝑚_𝑛/𝑐𝑜𝑠𝛽

3. Diâmetro primitivo d = 𝑚_𝑡 ∙ 𝑧 = 𝑚_𝑛 ∙ 𝑧/𝑐𝑜𝑠𝛽

 Os índices "n" e "t" designam "normal" e "tangencial", respectivamente. A resistência dos dentes é determinada para dimensões e forma na secção normal. A forma do dente na secção normal permite idealizar uma roda dentada com dentes rectos equivalente à roda dentada com dentes helicoidais.

1 2 3

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

 A forma do dente na secção normal permite idealizar uma roda dentada com dentes rectos equivalente à roda dentada com dentes helicoidais:

Fig 3. Roda virtual, equivalente a uma engrenagem helicoidal e seu respectivo

diâmetro, dv

 A secção da roda dentada normal ao eixo do dente é uma elipse com semieixos c = r e e = r/cos β , onde r = d/2. Para engrenamento, a segunda roda situa-se numa posição correspondente ao eixo

menor da elipse, à distância c = d/2 = r. Esta é a posição real. O raio de curvatura da elipse no eixo menor (da geometria da elipse) é:

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

 A forma do dente na secção normal permite idealizar uma roda dentada com dentes rectos equivalente à roda dentada com dentes helicoidais:

Fig 3. Roda virtual, equivalente a uma engrenagem helicoidal e seu respectivo

diâmetro, dv

 O raio 𝑟_𝑣 é o raio da roda dentada cilíndrica com dentes rectos equivalente ou virtual. De modo similar, pode-se determinar um diâmetro da roda cilíndrica com dentes rectos equivalente à roda cilíndrica com dentes helicoidais por:

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

 O aumento dos parâmetros equivalentes (𝑑_𝑣 e 𝑧_𝑣) com o aumento do ângulo β resulta no

aumento da resistência das transmissões com dentes helicoidais relativamente a transmissões com dentes rectos.

 Para efeitos de cálculo projectivo, este aumento de resistência relativa resulta na redução das dimensões da transmissão.

 A redução de ruídos e menores exigências de comprimento da linha de movimentação (ou do grau de recobrimento aparente) devidas à inclinação dos dentes, contribuem para a

popularidade do uso de rodas dentadas com dentes inclinados, apesar do inconveniente de gerar forças parasitas na direcção axial das rodas dentadas.

Por exemplo, para 𝛽 = 20𝑜 𝑑_𝑣 = 1,13 ∙ 𝑑 e 𝑧_𝑣 = 1,2 ∙ 𝑧 ₅

𝑧_𝑣 = 𝑑𝑣 𝑚_𝑛 = 𝑑 𝑚_𝑛∙𝑐𝑜𝑠2𝛽 = 𝑚𝑡 ∙ 𝑧 𝑚_𝑡∙𝑐𝑜𝑠3𝛽 𝑧𝑣 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠3𝛽 4

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

2.1.

Multiparidade e suavidade de funcionamento

Enquanto que os dentes rectos engrenam

instantaneamente ao longo de todo o seu comprimento, nas engrenagens com dentes inclinados o engrenamento é progressivo do ponto 1 ao ponto 2 (fig. 4).

As posições das linhas de contacto são mostradas na fig.

5. As linhas de contacto não estão dispostas sob ângulo o

β mas sob o βb, que é um parâmetro referente à

superfície de base, mas para fins práticos considera-se que βb ≈ β .

Fig 4. Inclinação dos dentes em engrenagens com dentes

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

2.1.

Multiparidade e suavidade de funcionamento

 Durante a rotação das engrenagens, as linhas de

contacto deslocam-se na direcção indicada pela seta. Para o instante da observação patente na figura 5, há três pares de dentes em engrenamento: 1, 2 e 3. O par 2 engrena ao longo de toda a extensão do dente, mas os pares 1 e 3 engrenam parcialmente. Quando o par 3 sai do engrenamento no ponto 3' os pares 1 e 2

continuam em engrenamento nos pontos 1' e 2', respectivamente.

Fig 5. Multiparidade em engrenagens com dentes

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

2.1.

Multiparidade e suavidade de funcionamento

Por isso, as rodas dentadas com dentes inclinados não

têm zonas em que só há um par de dentes em

engrenamento, diferentemente das rodas com dentes rectos. Isto reduz os choques e ruídos, resultando

numa maior capacidade de carga (devida à redução de cargas dinâmicas e outros efeitos) e suavidade de

funcionamento. Nas transmissões com dentes

inclinados há um mínimo de 2 pares de dentes em engrenamento.

Fig 5. Multiparidade em engrenagens com dentes

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

2.1.

Multiparidade e suavidade de funcionamento

As transmissões com dentes inclinados podem funcionar

com 𝜀_𝛼 < 1 desde que o recobrimento axial se verifique:

𝑏_𝑤 < 𝑝𝑏𝑡

𝑡𝑔𝛽 (fig. 5). O grau de recobrimento (ou

coeficiente de sobreposição axial) é:

Fig 5. Multiparidade em engrenagens com dentes

helicoidais

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

2.1.

Multiparidade e suavidade de funcionamento

É de recomendar a escolha de 𝜀_𝛽 ≥ 1,1. É particularmente benéfico escolher

um valor 𝜀_𝛽 = 2 𝑜𝑢 3 (número inteiro), para depois calcular o valor de 𝛽 a

posteriori.

Para dentes inclinados, a carga distribui-se por todas as linhas de contacto

agregadas nos pares 1, 2 e 3 (fig. 5). A carga específica diminui com o aumento

do somatório do comprimento das linhas de contacto 𝑙_Σ. Considerando o grau

de recobrimento aparente (ou razão de transmissão frontal) 𝜀_𝛼, da figura 5,

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

2.1.

Multiparidade e suavidade de funcionamento

Pode-se depreender que 𝜀_𝛽 aumenta com o aumento de β, mas este aumento

acarreta o inconveniente de aumentar as forças axiais. Por isso, o ângulo β é limitado:

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

2.1.

Multiparidade e suavidade de funcionamento

Nas transmissões por dentes inclinados a linha de contacto não é paralela ao

eixo da roda. Não só se inclina no sentido do ângulo β como também se inclina num ângulo λ relativamente à linha da crista dos dentes e ocupa uma faixa de alturas no flanco do dente. (fig. 6). O ângulo λ é proporcional ao ângulo β .

 A distribuição da carga q ao longo da linha de contacto não é uniforme, pois a

linha de contacto em cada dente inclinado é ligeiramente arqueada, devido à inclinação do dente. A carga é máxima a meio da linha.

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

2.1.

Multiparidade e suavidade de funcionamento

O uso de dentes inclinados permite o

emprego de materiais mais duros e mais resistentes. Em geral, o uso de dentes inclinados aumenta a

capacidade de carga da transmissão em 25... 30%, em comparação com

a de dentes rectos. _{contacto em engrenagens com} Fig 6. Inlcinação das linhas de

2. Características geométricas das engrenagens

cilíndricas de dentes helicoidais

2.2.

Coeficiente de sobreposição frontal ou tangencial

Para transmissões por engrenagens com dentes inclinados, sem

deslocamento do perfil, o coeficiente de sobreposição frontal ou tangencial ou de face é dado por:

Se bem que se recomenda 𝜀_𝛼 ≥ 1,4 (1,2 em casos extremos) para dentes

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais

Conforme já mencionado, o contato entre os dentes ocorre no plano

inclinado NN. Assim, a força de contato F, que é normal à superfície de ambos os dentes, também deve estar nesse plano.

Devido à essa inclinação, três componentes de força são geradas. As

componentes radial (Fr) e axial (Fa) não causam torque nos eixos de

transmissão. A primeira causa flexão e a segunda apenas tensão axial.

Embora sejam importantes no dimensionamento da transmissão com um

todo (eixos, engrenagens, selos, mancais, ..) aparecem apenas indiretamente nos cálculos das tensões nos dentes.

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais

De fato, uma vez que os ângulos de

hélice e pressão para um conjunto de redução são fixos e definem a relação entre as forças, o efeito de cada uma pode ser incluído na força tangencial

(Ft), que é a que define o torque que

está sendo transmitido.

 A figura 7 permite determinar as

relações entre as forças. Nessa figura é mostrada uma vista superior da

engrenagem helicoidal e os dentes nos

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais

A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema.

Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de acionamento (motor).

Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não

está disponível no início de um projeto.

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais

A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema.

Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de acionamento (motor).

Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não

está disponível no início de um projeto.

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais

Para determinar as forças

que actuam nas engrenagens angulares (espinha de peixe, bihelicoidais, dois pares de engrenagens), usa-se o

mesmo metódo (fórmulas 8 ), sendo que para rodas

dentadas com dentes

angulares (fig. 8.b) a força axial resultante é nula.

4. Resistência das engrenagens helicoidais

Da mesma forma que para engrenagens cilíndricas de dentes retos, as tensões

relevantes para o dimensionamento dos dentes são geradas pela força a ser transmitida.

A figura 6 mostra um modelo foto-elástico de um dente em contato com outro de

um material metálico. Por essa técnica é possível visualizar as linhas de deformação (ou tensão) geradas pelos esforços.

 A diminuição do espaçamento dessas linhas significa uma maior concentração

4. Resistência das engrenagens helicoidais



Observando a figura é

possível identificar a raiz

do dente e o ponto de

contato entre os dentes

como os pontos de maior

tensão, conforme já visto

no estudo de engrenagens

de dentes retos.

Fig 9. Tensões nas engrenagens com dentes helicoidais

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto

A resistência ao contacto é verificada utilizando a fórmula de Hertz. Porém, a carga

específica é dada pela expressão:

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto

e substituindo dw1 por dv1 pela expressão obtida na fórmula: 𝑑_𝑣 = 𝑑

𝑐𝑜𝑠2𝛽

obtém-se a seguinte fórmula para o raio reduzido de curvatura das engrenagens helicoidais:

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto

 Comparando a fórmula para a relação 𝑞

𝜌_𝑟𝑒𝑑 em dentes rectos 9)) e dentes

helicoidais conclui-se que:

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto

 O valor de 𝐾_𝐻𝛼 é, geralmente, apenas um pouco superior a 1 e 𝜀_𝛼 é quase

sempre maior que 𝐾_𝐻𝛼, pelo que 𝑍_𝐻𝛽 é menor que 1. Isto significa que os dentes

helicoidais sofrem menores tensões que os rectos. Por isso 𝑍_𝐻𝛽 é chamado

“coeficiente de aumento da resistência dos dentes helicoidais às tensões de

contacto”. Usando o novo coeficiente, temos a seguinte fórmula: KHv ≈ 1,0

10

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto

 Os valores dos coeficientes de irregularidade da carga no engrenamento 𝐾_𝐻𝛼 são aproximados e são dados na tabela 1.

 Em princípio, os dentes helicoidais são engrenados de tal forma que há pelo menos dois pares de dentes em engrenamento em qualquer instante. Por isso as sobrecargas devidas a

irregularidades de fabricação são pequenas.

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto

 Os valores dos coeficientes de irregularidade da carga no engrenamento 𝐾_𝐻𝛼

são aproximados e são dados na tabela 1.

 Uma vez que no início do cálculo projectivo não são conhecidos muitos dos

parâmetros geométricos, arbitram-se valores aproximados de forma a simplificar o procedimento. O efeito das aproximações pode ser corrigido em cálculos

testadores. Assim, assumindo os seguintes valores aproximados: 𝜀_𝛼 = 1,5 e

β = 12𝑜, o valor de 𝑍_𝐻𝛽 fica aproximadamente igual a 0,85 e as fórmulas para

o cálculo do diâmetro e da distância interaxial ficam:

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto

Os números das curvas Correspondem às transmissões Esquematizadas acima.

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.2. Cálculo da resistência dos dentes à fadiga por flexão

 Este cálculo é feito por analogia às transmissões cilíndricas com dentes rectos.

As fórmulas para as tensões de flexão e para o módulo ficam modificadas com a incorporação de um coeficiente que espelha o aumento da resistência dos

dentes à flexão, ZFβ , análogo a ZHβ , para tensões de flexão.

 Porém, o coeficiente KFv para engrenagens com dentes helicoidais é baixo e

aproximadamente igual à unidade: KFv ≈ 1,5, e por isso o coeficiente fica

reduzido. 𝐾_𝐹 = 𝐾_𝐹𝛽 ∙ 𝐾_𝐹𝑉

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.2. Cálculo da resistência dos dentes à fadiga por flexão

 O módulo e os outros coeficientes podem ser determinados com base nas

seguintes fórmulas:

14 15

 O coeficiente YF é o coeficiente de forma do dente e é escolhido das mesmas

tabelas ou dos mesmos gráficos que para dentes rectos.

 Porém, em vez do número real de dentes usa-se o número virtual, zv, que se

calcula utilizando a fórmula (5). Os valores de β e de ψm escolhem-se de

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4. Resistência das engrenagens helicoidais

4.2. Cálculo da resistência dos dentes à fadiga por flexão

Os valores comuns de YF estão

próximos de 3,5 ... 4. Estes valores são aceitáveis como valores aproximados de YF para engrenagens externas, sem modificação do perfil do dente, isto é, sem deslocamento.

Exercícios

1. Determinar os parâmetros geométricos, a tensão de contacto e as forças que actuam no par de engrenagens helicoidais (ECDH), para que possa atuar com

segurança na transmissão representada na figura abaixo. O accionamento será por

meio do motor eléctrico com potência: 𝑃 = 14,7𝑘𝑊 20𝑐𝑣 𝑛 = 1140 𝑟𝑝𝑚 (𝜔 =

38𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) Considere: b 𝑑 = 0,25 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝛼 = 20 𝑜 _𝑧 1 = 29, 𝑧2 = 89 𝑚𝑛 = 3𝑚𝑚, 𝛽_𝑜 = 20𝑜.

Exercícios

2. Determinar a força que actua no veio-II e verificar se os dentes resistem ao contacto, considerar a

tensão admissível de 𝜎_𝐻 = 500𝑀𝑃𝑎 e HB>350

(disposição simetrica das rodas em relação aos apoios, transmissão geral do tipo redutor).

Considere os seguintes dados:

𝑃 = 11𝑘𝑊 15𝑐𝑣 𝑛 = 1140 𝑟𝑝𝑚)

Exercícios

3. Um pinhão de aço de 12 dentes, módulo de 2,5 mm, fresado com um ângulo de

pressão de 18𝑜_{,e o ângulo de inclinação dos dentes igual à 20}𝑜_{, gira a 1800 rpm}

e acopla-se a uma engrenagem de ferro fundido de 72 dentes. Calcular a tensão de contacto superficial critica que atuaria nos dentes se o par transmitir uma

potência de 1,5 kW, a largura do denteado é de 38 mm. Para todos materiais HB<350.

4. Um pinhão de aço tem módulo de 4,0 mm, 20𝑜 _{de ângulo de pressão e o}

ângulo de inclinação dos dentes igual à 18𝑜_{, de 32 dentes, gira a 900 rpm e}

transmite 9,5 kW a uma engrenagem de 60 dentes (considerar o deslocamento nulo). Calcular a tensão normal de flexão dos dentes do pinhão considerando a largura do dentado de 38 mm. Para todos materiais HB<350.

Exercícios

3. Determinar o diâmetro primitivo da roda movida de ferro fundido (o pinhão é de

aço) duma transmissão, com tensão admissível de 𝜎_𝐻 = 400𝑀𝑃𝑎, HB<350

(disposição simetrica das rodas em relação aos apoios, transmissão muito carregada e precisa). Considere os seguintes dados:

𝑃 = 60𝑘𝑊 𝑛 = 1200 𝑟𝑝𝑚)