ECDR 2019

(1)

1

Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos (ECDR)

Prof. Pedro Colen Neto Elementos de Máquinas de Shigley

ECDR

(2)

de Shigley

Cálculo de engrenagens de dentes retos

𝐷𝑝

= 𝑚 ∙ 𝑍

𝐷𝑒

= 𝐷𝑃

+ 2 ∙ 𝑚

𝐷

𝑖

= 𝐷

𝑝

− (2 ∙ 𝑚 ∙ 1,167)

ℎ = 2,167 ∙ 𝑚

𝑒 = 1,5708 ∙ 𝑚

ℎ𝑎

= 𝑐 = 𝑚

ℎ

𝑓

= 𝑓 = 1,167 ∙ 𝑚

Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos (ECDR)

Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais (ECDH)

Equação de Flexão de Lewis

ത

𝜎 =

𝑀

𝑊

Momento fletor [N.m; N.mm]

Módulo de resistência da secção transversal [m³; mm³]

tensão admissível [Pa; MPa]

𝐼

Momento polar de inércia [m

4 ; mm

4 ]

(3)

3

ഥ

𝝈 =

𝑴

Τ

𝑰 𝒄

𝑰

𝒄

= 𝑾 =

𝒃 ∙ 𝒉²

𝟔 =

𝑭 ∙ 𝒕²

𝟔 ഥ

𝝈 =

𝟔 ∙ 𝑾

𝒕

_{∙ 𝒍}

𝑭 ∙ 𝒕²

Equação de Flexão de Lewis

ECDH

𝑥

Τ

𝑡 2

=

Τ

𝑡 2

𝑙

∴ 𝑥 =

𝑡²

4 ∙ 𝑙

𝑥

Τ

𝑡 2

=

Τ

𝑡 2

𝑙

∴ 𝑥 =

𝑡²

4 ∙ 𝑙

ത

𝜎 =

6 ∙ 𝑊

𝑡

_{∙ 𝑙}

𝐹 ∙ 𝑡²

=

𝑊

𝑡

𝐹

6 ∙ 𝑙

𝑡²

=

𝑊

𝑡

𝐹

1 𝑡²

6 ∙ 𝑙

(4)

de Shigley

ത

𝜎 =

𝑊

𝑡

𝐹

∙

1 𝑡²

4 ∙ 𝑙

∙

1

4

6 ത

𝜎 =

𝑊

𝑡

𝐹

∙

1 𝑥

∙

1

2

3 ∙

𝑝

p: passo circular

𝑦 =

2𝑥

3𝑝

𝑥 =

𝑡²

4 ∙ 𝑙

y: fator de forma de Lewis

ത

𝜎 =

𝑊

𝑡

𝐹 ∙ 𝑝 ∙ 𝑦

P: passo diametral

ത

𝜎 =

𝑊

𝑡

_{∙ 𝑃}

𝐹 ∙ 𝑌

𝑃 =

𝜋

𝑝

𝑌 =

2𝑥𝑃

3 Y:

fator de forma de

Lewis, considerando somente a

flexão do dentes, não

compressão radial

(5)

5

(6)

de Shigley

(7)

7

(8)

de Shigley

Efeitos Dinâmicos

K

V

: fator de velocidade

V: velocidade tangencial [ft/s]

(9)

9

ത

𝜎 =

𝐾𝑣

∙ 𝑊

𝑡

_{∙ 𝑃}

𝐹 ∙ 𝑌

(14–7)

ത

𝜎 =

𝐾𝑣

∙ 𝑊

𝑡

𝐹 ∙ 𝑚 ∙ 𝑌

(14–8)

m: módulo [mm]

Versão métrica

(10)

de Shigley

Equação de tensão AGMA

ത

𝜎 = 𝐾

𝑣

∙ 𝐾

0 ∙ 𝐾

𝑠

∙ 𝑊

𝑡

∙

1 𝑏 ∙ 𝑚

𝑡

∙

𝐾

𝐻

∙ 𝐾

𝐵

𝑌

𝐽

Wt: força tangencial [N]

K

₀

: fator de sobrecarga

K

V

: fator dinâmico

K

_S

: fator de tamanho

b: largura da face [mm]

m

t

: módulo [mm]

K

_H

: fator de distribuição de carga

K

B

: fator de espessura de aro (de borda)

Y

_J

: fator geométrico para resistência flexional

𝐾𝑣

=

𝐴 + 200 ∙ 𝑉

𝐴

𝐵

Fator Dinâmico (K

v

)

Efeitos que produzem erro de transmissão:

• Vibração do dente causado por sua rigidez

• Magnitude da velocidade tangencial

• Desbalanceamento dinâmico

• Desgaste e deformação da superfície dos dentes

• Desalinhamento do eixo de engrenagens

• Atrito entre os dentes

𝐴 = 50 + 56 ∙ (1 − 𝐵)

𝐵 = 0,25 ∙ (12 − 𝑄

)

2 ൗ

3

(11)

11

Fator de tamanho (K

S

)

Depende de:

• Tamanho do dente

• Diâmetro da peça

• Razão entre o tamanho do dente e o diâmetro da peça

• Largura de face

• Área do padrão de tensão

• Razão da profundidade de camada pelo tamanho do dente

• Capacidade de endurecimento e tratamento térmico

𝐾𝑠

= 1,192 ∙

𝐹 𝑌

𝑃

0,0535

K

S

= 1

Fator de distribuição de carga (K

m

ou K

H

)

𝐾𝑚

= 1 + 𝐶𝑚𝑐 (Cpf

∙ Cpm

+𝐶𝑚𝑎

∙ 𝐶𝑒)

𝐶

𝑚𝑐 ቐ

1,0

0,8

Dentes sem coroamento

Dentes coroados

𝐶

𝑝𝑓

𝑏

10𝑑

− 0,025

𝑏

10𝑑

− 0,0375 + 4,92 10

−4

_𝑏

𝑏

10𝑑

− 0,1109 + 8,15 10

−4

_{𝑏 − 3,53 10}

−7

_𝑏²

b  25 mm

25< b  425 mm

425< b  1000 mm

(12)

de Shigley

Fator de distribuição de carga (K

m

ou K

H

)

𝐾

𝑚

= 1 + 𝐶𝑚𝑐 (C

pf

∙ C

pm

+𝐶

𝑚𝑎

∙ 𝐶

𝑒

)

Fator de espessura de aro (de borda) (K

B

)

(13)

13

1

2

Um pequeno redutor com duas engrenagens cilíndricas de dentes retos é acionada por

um motor elétrico conforme montagem abaixo.

Motor

H

_m

= 3 cv

n

m

= 1500 RPM

Redutor

ABNT – 1020 LQ ➔ 

_e

= 350 MPa

Fator de potência uniforme

ks = 4

b = 40 mm

Considerando os dados acima, determine as engrenagens para que o

torque do eixo de saída tenha 10 000 kgf.mm, considerando os

rendimentos do acoplamento e do par de engrenagens 0,98 e 0,95

respectivamente.

𝑇

𝑚

= 716200 ∙

𝐻

𝑚

𝑛𝑚

𝑇

𝑚

= 716200 ∙

3 1500

𝑇

𝑚

= 1432,4 𝑘𝑔𝑓. 𝑚𝑚

𝑇

2 𝑇

𝑚

= 𝑖 ∙ 𝜂

𝑎

∙ 𝜂

𝑝

𝑇

2 𝑇

𝑚

= 𝑖 ∙ 𝜂

𝑎

∙ 𝜂

𝑝

𝑖 =

10000

1432,4 ∙ 0,98 ∙ 0,95

𝑖 ≥ 7,4988

𝑖 = 7,5

𝑊

𝑡

=

2 ∙ 𝑇

1 𝑚 ∙ 𝑍

1 =

2 ∙ 1403,752

𝑚 ∙ 18

𝑊

𝑡

=

155,9724

𝑚

𝑇

1 = 𝑀𝑚

∙ 𝜂𝑎

= 1403,752 𝑘𝑔𝑓. 𝑚𝑚

(14)

de Shigley

𝐾

𝑣

=

𝐴 + 200 ∙ 𝑉

𝐴

𝐵

Fator Dinâmico (K

v

)

𝐴 = 50 + 56 ∙ (1 − 𝐵)

𝐵 = 0,25 ∙ (12 − 𝑄

𝑣

)

ൗ

2

3 Qualidade comercial 3  Q

v

 7

Qualidade precisa 8  Q

_v

 12

𝑉 =

[𝐴+(𝑄𝑣−3)]²

200 𝑉 =

[65,064+(7−3)]²

₂₀₀

𝐵 = 0,25 ∙ (12 − 7)

2 ൗ

3 𝐵 = 0,73100

𝐴 = 50 + 56 ∙ (1 − 0,73100)

𝐴 = 65,064

𝑉 = 23,8492

𝐾𝑣

= 1,6969

Z

1 = 18 dentes ➔ Y = 0,309

K

0 = 1,0

K

_S

= 1

b = 40 mm

K

_m

= 1,6

K

B

= 1

ത

𝜎 = 𝐾𝑣

∙ 𝐾0

∙ 𝐾

𝑠

∙ 𝑊

𝑡

∙

1 𝑏 ∙ 𝑚

∙

𝐾𝑚

∙ 𝐾𝐵

𝑌

ത

𝜎 =

𝜎𝑒

𝑘𝑠

=

350

4 = 87,5 𝑀𝑃𝑎

(15)

15

𝑉

1 =

𝜋 ∙ 𝑚 ∙ 𝑍 ∙ 𝑛

60000

𝑉

1 =

𝜋 ∙ 2 ∙ 18 ∙ 1500

60000

𝑉

1 = 2,8274 m/s

𝑑𝑝

₁

= 𝑚 ∙ 𝑍1

𝑑

𝑝

1 = 36 𝑚𝑚

Engrenagem 1

𝑑𝑒

₁

= 𝑑𝑝

₁

+ 2 ∙ 𝑚

𝑑

𝑒

1 = 40 𝑚𝑚

𝑑𝑖

₁

= 𝑑𝑝

₁

− (2 ∙ 𝑚 ∙ 1,167)

𝑑

𝑖

1 = 31,332𝑚𝑚

𝑑𝑝

₂

= 𝑚 ∙ 𝑍2

𝑑

𝑝

2 = 270 𝑚𝑚

Engrenagem 2

𝑑𝑒

₂

= 𝑑𝑝

₂

+ 2 ∙ 𝑚

𝑑

𝑒

2 = 274 𝑚𝑚

𝑑𝑖

2 = 𝑑𝑝

2 − (2 ∙ 𝑚 ∙ 1,167)

𝑑𝑖

₂

= 269,332 𝑚𝑚

Prof. Pedro Colen Neto Elementos de Máquinas de Shigley 1 2 3 4 5 B A

Acoplamento

▪ 

a

= 0,95

Engrenagens Retas

▪ ABNT 1020 – LQ (

_e

= 210 𝑀𝑃𝑎)

▪ Evolvente, corrigido, β = 20°

▪ Fonte de Potência com choque leves

▪ Máquina acionada com choques moderados

▪ d

i4

= 468,33 mm

▪ d

_e4

= 490,00 mm

▪ b

5 = 78,4 mm

▪ i

₁

= 5

▪ i

2 = 3

▪ i

₃

= 2

▪ 

p

= 0,90

Tambor de carga

▪ V

_carga

= 3,1415 m/s

• d

tambor

= 800 mm

(16)

de Shigley

Para determinar o motor elétrico, precisa-se dos valores de rotação e da potência

𝑉

𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎

=

𝜋 ∙ 𝑑

𝑡𝑎𝑚𝑏𝑜𝑟

∙ 𝑛

5 60000

𝑛

5 =

𝑉

_{𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎}

∙ 60000

𝜋 ∙ 𝑑

𝑡𝑎𝑚𝑏𝑜𝑟

=

3,1415 ∙ 60000

𝜋 ∙ 800

𝑛

5 = 75 𝑅𝑃𝑀

𝑛

𝑚

= 𝑛

5 ∙ 𝑖

𝑇

= 75 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 2

𝑛

𝑚

= 2250 𝑅𝑃𝑀

Rotação do motor

𝑇

𝑚

= 716200 ∙

𝐻

𝑚

𝑛

𝑚

Escolhe-se o torque em 3 por ser a roda crítica

do segundo trem. Os dados são do segundo trêm

Potência do motor

𝑇

𝑚

=

𝑇

3 𝑖

1 ∙ 𝜂

𝑝

∙ 𝜂

𝑎

𝐻

𝑚

=

𝑛

𝑚

∙ 𝑇

𝑚

716200

𝑇

3 = 𝑊

𝑡

∙ 𝑅

3 Tensão admissível

Equação de tensão AGMA

ത

𝜎 = 𝐾𝑣

∙ 𝐾0

∙ 𝐾𝑠

∙ 𝑊

𝑡

_∙

1 𝑏 ∙ 𝑚

∙

𝐾𝑚

∙ 𝐾𝐵

𝑌

Determinação da Força Tangencial no segundo trem

𝑊

𝑡

₌

𝜎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑚 ∙ 𝑌

ത

𝐾𝑣

∙ 𝐾0

∙ 𝐾𝑠

∙ 𝐾𝑚

∙ 𝐾𝐵

(17)

17

k

0 = 1,50

k

_m

= 1,63

Constantes

78,4 − 50

150 − 50

=

𝑘

𝑚

− 1,6

1,7 − 1,6

𝑘

𝑚

= 1,6284

Fator Dinâmico (Kv)

Constantes

𝑉

4 =

𝜋 ∙ 𝑑

𝑝

4

∙ 𝑛

4 60000

Velocidade Tangencial no segundo trem (V

3 = V

4 = V

5 )

𝑑

_𝑃

₄

= 𝑑

_𝑒

₄

− 2 ∙ 𝑚

₄

𝑑

_𝑒4

− 𝑑

_𝑖4

2 = ℎ

4 = 10,835 𝑚𝑚

ℎ

4 = 2,167 ∙ 𝑚

4 10,835 = 2,167 ∙ 𝑚

4 𝑚

4 = 5,00 𝑚𝑚

𝑑

𝑃

4

= 490,0 − 2 ∙ 5

𝑑

_𝑃

₄

= 480,00 mm

𝑛

4 = 𝑛

5 ∙ 𝑖

3 = 75 ∙ 2

𝑛

4 = 150 𝑅𝑃𝑀

𝑉

4 =

𝜋 ∙ 480 ∙ 150

60000

𝑉

₄

= 3,7699104

𝑚 𝑠

Τ

(18)

de Shigley

Fator Dinâmico (Kv)

K

_v

= 0,85

Constantes

𝑑

𝑃

= m ∙ 𝑍 ∴ 𝑍

4 =

𝑑

𝑃

𝑚

=

480,0

5 𝑍

4 = 96 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑍

4 𝑍

3 = 𝑖

2 ∴ 𝑍

3 = 32 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Fator de Forma (Y)

Constantes

(19)

19

K

v

= 0,85

K

₀

= 1,5

K

m

= 1,63

K

_S

= 1

K

B

= 1

Y= 0,365

Constantes

}

Da literatura

𝑊

𝑡

₌

𝜎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑚 ∙ 𝑌

ത

𝐾𝑣

∙ 𝐾0

∙ 𝐾𝑠

∙ 𝐾𝑚

∙ 𝐾𝐵

=

52,5 ∙ 78,4 ∙ 5,00 ∙ 0,365

0,85 ∙ 1,5 ∙ 1 ∙ 1,63 ∙ 1

𝑊

𝑡

_{= 3 614,4352 𝑁}

_𝑊

𝑡

_{= 368,44 𝑘𝑔𝑓}

Força tangencial do segundo trem

Torque do motor

𝑇3

= 𝑊

𝑡

_{∙ 𝑅}

𝑝3

= 368,44 ∙ 80,00

𝑑

_𝑝3

= 𝑚 ∙ 𝑍

3 = 5 ∙ 32

𝑑

_𝑝3

= 160,00 𝑚𝑚

𝑇

3 = 29 475,52 𝑘𝑔𝑓 ∙ 𝑚𝑚

𝑇

𝑚

=

𝑇3

𝑖1

∙ 𝜂𝑝

∙ 𝜂𝑎

=

29 475,52

5 ∙ 0,90 ∙ 0,95

𝑇

𝑚

= 6 894,86 𝑘𝑔𝑓 ∙ 𝑚𝑚

𝑇

𝑚

= 716200 ∙

𝐻𝑚

𝑛𝑚

∴ 𝐻𝑚

=

6 894,86 ∙ 2250

716200

𝐻

𝑚

= 21,66 𝑐𝑣

Potência do motor