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Sinais e Sistemas Mecatrónicos

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Academic year: 2021

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Texto

(1)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 1

Sinais e Sistemas

Mecatrónicos

José Sá da Costa

Sinais e Sistemas

(2)

Sinais

Sinal

É uma função associada a um fenómeno (físico, químico, económico, social, etc.) que transporta algum tipo de informação sobre este.

Esta função pode depender de uma ou várias variáveis independentes, como sejam o tempo, as coordenadas

espaciais, a frequência, etc., podendo ser uma função real ou complexa.

( ) :

ou ( ) :

x t

R

R

x t

R

C

− ∞ < < +∞

t

Exemplos

•  Sinal de voz

•  Temperatura do ar ao longo do dia •  Velocidade do vento

•  Sucessão de valores de um índice bolsista •  Sinal de um semáforo

(3)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 3

Exemplos de Sinais

Sinal dependendo de uma variável real, o tempo, isto é, o domínio do sinal é uni-dimensional.

(4)

Exemplos de Sinais

Uma fotografia pode ser vista como um sinal, onde o brilho u de um ponto é uma função de duas coordenadas espaciais (x, y). Neste caso o domínio do sinal é bi-dimensional, mas o contradomínio do sinal é uni-dimensional, representado pela escala de brilho.

(5)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 5

Exemplos de Sinais

Os sinais podem apresentar várias formas, mais suaves como vimos anteriormente, ou mais ásperos ou rugosos, como o indicado na

(6)

Exemplos de Sinais

Também podem caracterizar valores constantes ao longo de determinados períodos de tempo, como é o caso da variação de preços de um produto em dias sucessivos.

(7)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 7

Classificação de sinais

Quanto à variável independente

Sinal contínuo no tempo – quando a coordenada de tempo é contínua. Se simultaneamente a coordenada de amplitude é contínua, designa-se

sinal analógico.

Sinal discreto no tempo – apenas apresenta valores em certos instantes de tempo (amostras).

(8)

Classificação de sinais

Quanto às amplitudes

Sinal amostrado (ou quantificado) – apenas representa as amplitu-des nos pontos de amostragem (sinal discreto no tempo), mas a amplitude é contínua.

(9)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 9

Classificação de sinais

Quanto às amplitudes

(cont.)

Sinal quantizado – sinal contínuo no tempo em que a amplitude pode assumir apenas uma gama finita de valores.

(10)

Classificação de sinais

Quanto às amplitudes

(cont.)

Sinal digital

é um sinal discreto no tempo e na amplitude, resultante da codificação do sinal amostrado e quantizado.

Neste caso é necessário 4 bits (24=16) para reproduzir as 9 quantizações da amplitude. A codificação consiste em atribuir a cada valor obtido por amos-tragem e quantizado uma sequência de dígitos, o código.

(11)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 11

Classificação de sinais

(12)

Classificação de sinais

Quanto à duração

Sinal infinito – é um sinal com uma duração infinita.

Sinal finito – é um sinal definido num domínio de suporte limitado. Também se designa janela. Os de muito curta duração são os pulsos.

Sinal direito – quando nulo para t < τ.

Sinal esquerdo – quando nulo para t > τ.

Sinal causal – sinal direito onde x(t) = 0 para t < 0, também designado sinal não antecipativo.

Sinal anti-causal – sinal esquerdo onde x(t) = 0 para t > 0, também desig- nado sinal antecipativo.

(13)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 13

Classificação de sinais

Quanto à reprodutibilidade

Sinal determinístico – sinal que pode ser reproduzido, nas mesmas condições, tantas vezes quanto se queira.

Sinal aleatório – sinal com uma estrutura probabilística, não reproduzível, nas mesmas condições. Formalmente, este sinal depende do

tempo, sendo mais correctamente designado por

(14)

Classificação de sinais

Quanto à morfologia

Sinal par – sinal simétrico relativamente ao eixo das ordenadas,

x(t) = x(–t)

Sinal ímpar – sinal simétrico relativamente à origem, x(t) = –x(–t)

∀t

Para o caso de sinais complexos

Sinal hermiteano – se verifica a relação x(t) = x*(–t)

Sinal anti-hermiteano – se verifica a relação x(t) = –x* (–t)

Quanto ao carácter

Sinal escalar – sinal que se refere apenas a uma medida.

Sinal vectorial – sinal que se refere a várias medidas do mesmo fenómeno, obtidas com um agregado de sensores.

t

t

t

(15)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 15

Série de Fourier

Representação na frequência

A ferramenta básica da teoria do sinal é a expansão em série de funções ortogonais do sinal.

A mais utilizada, a expansão em série de Fourier, representa uma função periódica geral x(t), de período T, em termos de uma soma infinita de funções senos e cosenos .

x(t) = akej2πkft = k=−∞ ∞

ak ej(2πkftk) k=−∞ ∞

= A0 + ⎡⎣Ak cos(kω0t)+ Bksen(kω0t)⎤⎦ k=1 ∞

onde a frequência angular fundamental ω0 é dada em [rad/s].

Nota: a frequência angular ω=2πf é dada em rad/s e a frequência f = 1/T é dada em Hz.

Esta última é preferível na teoria do sinal já que garante simetria entre as transfor-madas directa e inversa, mas a primeira é mais utilizada na teoria dos sistemas já que garante uma similaridade com a transformada de Laplace.

(16)

Série de Fourier

Os coeficientes da série de Fourier são dados por:

sendo ak constantes complexas.

0 0 0 0

1

( )

t T t

A

a

x t dt

T

+

=

=

(

)

0

{ }

0 * 0

2

( )cos(

)

2Re

t T k k k t k

A

a

a

x t

k t dt

a

T

ω

+

=

+

=

=

(

)

0

{ }

0 * 0

2

( )sin(

)

2Im

t T k k k t k

B

j a

a

x t

k t dt

a

T

ω

+

=

=

= −

(17)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 17

Série de Fourier

Para uma função periódica ser tansformável em série de Fourier é necessário que satisfaça as condições de Dirichelet, que garantem a existência e convergência da série.

As condições de Dirichlet requerem que num período T :

- Apenas exista um número limitado de máximos e mínimos; - O número de descontinuidades seja finito;

- As descontinuidades sejam de amplitude finita, isto é, a função deve ser absolutamente integrável, o que significa que

0

( )

T

x t dt < ∞

(18)

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier

A expansão em série de Fourier é essencialmente adequada para funções periódicas.

A sua forma generalizada, para funções não periódicas, é conheci-da por transformada de Fourier, que transforma um sinal temporal

x(t) numa função da frequência ω definida pela relação integral

A transformada de Fourier inversa é dada por

[

( )

]

( )

( )

j t

F x t

X

ω

x t e

ω

dt

∞ − −∞

=

=

1

( )

( )

2

j t

x t

X

ω

e

ω

d

ω

π

∞ −∞

=

(19)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 19

Transformada de Fourier

Relação entre as transformadas de Fourier e de Laplace

Da definição de transformada de Fourier resulta que os valores da exponencial estão restritos ao eixo imaginário do plano complexo. Removendo esta restrição, fazendo , onde

σ

é uma cons-tante real, obtém-se a transformada de Laplace, i.e.

A transformada de Laplace inversa é dada por

[

( )

]

( )

( )

st

L x t

X s

x t e dt

∞ − −∞

=

=

1 ( ) ( ) 2 c j st c j x t X s e ds j

π

+ ∞ − ∞ =

( )

j t

x t e

− ω s =σ + jω

Para passar da transformada de Laplace para a transformada de Fourier

(20)

Energia de um Sinal Contínuo

Energia de um sinal

A potência instantânea de um sinal é igual ao produto deste por ele mesmo.

Se integrarmos ao longo do tempo temos a energia do sinal ao longo desse período de tempo

A energia total do sinal é

2 1 2 1 2

( , )

( )

t x t

W t t

=

x t dt

2

( )

x

W

x t dt

∞ −∞

=

A potência total média do sinal é

2 2 2 1 lim ( ) T x T T P x t dt T →∞ − =

(21)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 21

Energia de um Sinal Contínuo

Energia e potência média de um sinal

2 2 2 1 lim ( ) T x T T P x t dt T →∞ − =

2 0

( )

(0, )

( )

T x x

W T

=

W

T

=

x t dt

(22)

Espectros do Sinal

Relação de Parseval

Se

x(t)

e

X(ω)

são um par de transformadas de Fourier, então

2

( )

X

ω

2

1

2

( )

( )

2

x t dt

X

ω

d

ω

π

∞ ∞ −∞ −∞

=

Por esse motivo se designa a função o espectro de energia

ou a densidade espectral de energia do sinal

x t

( )

arg ( )

X

ω

Sendo uma grandeza complexa designa-se ainda por

espectro de amplitudes a e espectro de fase a

( )

X

ω

( )

(23)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 23

Espectros do Sinal

Exemplo de espectro de energia

No caso duma função sinusoidal o espectro de energia são duas “riscas” correspondentes à sua frequência positiva e negativa (-f0 e +f 0), com amplitude idêntica a metade do quadrado da amplitude da função.

As frequências positivas do espectro de energia correspondem à energia da parte causal do sinal e as frequências negativas à ener-gia da parte anti-causal do sinal.

(24)

Espectros do Sinal

Exemplo de espectro de amplitude

( )

a t

f t

e

=

(25)

José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 25

Ruído

Definição

Ruído é qualquer fenómeno (interferência, distorção aleatória, etc.) que perturba a percepção ou interpretação do sinal.

Esta denominação provém da mesma designação que se dá a um som acústico estranho e desagradável.

Relação sinal-ruído

A relação sinal-ruído (signal-to-noise ratio, S/N ou SNR) é uma medida da extensão de contaminação do sinal pelo ruído, a qual é dada pela relação entre a potência do sinal (Ps) pela potência do ruído (Pr)

SNR = P

s

P

r

Normalmente, a relação sinal-ruído é dada em unidades logarítmicas, o decibel [dB]

SNRdB= 20 log10 s(t) =10 log10SNR

Referências

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