Sinais e Sistemas Mecatrónicos

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 1

Sinais e Sistemas

Mecatrónicos

José Sá da Costa

Sinais e Sistemas

Sinais

Sinal

É uma função associada a um fenómeno (físico, químico, económico, social, etc.) que transporta algum tipo de informação sobre este.

Esta função pode depender de uma ou várias variáveis independentes, como sejam o tempo, as coordenadas

espaciais, a frequência, etc., podendo ser uma função real ou complexa.

( ) :

ou ( ) :

x t

R

_→

R

x t

R

_→

C

_{− ∞ < < +∞}

t

Exemplos

•  Sinal de voz

•  Temperatura do ar ao longo do dia •  Velocidade do vento

•  Sucessão de valores de um índice bolsista •  Sinal de um semáforo

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 3

Exemplos de Sinais

Sinal dependendo de uma variável real, o tempo, isto é, o domínio do sinal é uni-dimensional.

Exemplos de Sinais

Uma fotografia pode ser vista como um sinal, onde o brilho u de um ponto é uma função de duas coordenadas espaciais (x, y). Neste caso o domínio do sinal é bi-dimensional, mas o contradomínio do sinal é uni-dimensional, representado pela escala de brilho.

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 5

Exemplos de Sinais

Os sinais podem apresentar várias formas, mais suaves como vimos anteriormente, ou mais ásperos ou rugosos, como o indicado na

Exemplos de Sinais

Também podem caracterizar valores constantes ao longo de determinados períodos de tempo, como é o caso da variação de preços de um produto em dias sucessivos.

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 7

Classificação de sinais

Quanto à variável independente

Sinal contínuo no tempo – quando a coordenada de tempo é contínua. Se simultaneamente a coordenada de amplitude é contínua, designa-se

sinal analógico.

Sinal discreto no tempo – apenas apresenta valores em certos instantes de tempo (amostras).

Classificação de sinais

Quanto às amplitudes

Sinal amostrado (ou quantificado) – apenas representa as amplitu-des nos pontos de amostragem (sinal discreto no tempo), mas a amplitude é contínua.

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 9

Classificação de sinais

Quanto às amplitudes

Sinal quantizado – sinal contínuo no tempo em que a amplitude pode assumir apenas uma gama finita de valores.

Classificação de sinais

Quanto às amplitudes

Sinal digital

–

Neste caso é necessário 4 bits (24_{=16) para reproduzir as 9 quantizações da amplitude.} A codificação consiste em atribuir a cada valor obtido por amos-tragem e quantizado uma sequência de dígitos, o código.

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 11

Classificação de sinais

Classificação de sinais

Quanto à duração

Sinal infinito – é um sinal com uma duração infinita.

Sinal finito – é um sinal definido num domínio de suporte limitado. Também se designa janela. Os de muito curta duração são os pulsos.

Sinal direito – quando nulo para t < τ.

Sinal esquerdo – quando nulo para t > τ.

Sinal causal – sinal direito onde x(t) = 0 para t < 0, também designado sinal não antecipativo.

Sinal anti-causal – sinal esquerdo onde x(t) = 0 para t > 0, também desig- nado sinal antecipativo.

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 13

Classificação de sinais

Quanto à reprodutibilidade

Sinal determinístico – sinal que pode ser reproduzido, nas mesmas condições, tantas vezes quanto se queira.

Sinal aleatório – sinal com uma estrutura probabilística, não reproduzível, nas mesmas condições. Formalmente, este sinal depende do

tempo, sendo mais correctamente designado por

Classificação de sinais

Quanto à morfologia

Sinal par – sinal simétrico relativamente ao eixo das ordenadas,

x(t) = x(–t)

Sinal ímpar – sinal simétrico relativamente à origem, x(t) = –x(–t)

∀t

Para o caso de sinais complexos

Sinal hermiteano – se verifica a relação x(t) = x*_(–t)

Sinal anti-hermiteano – se verifica a relação x(t) = –x* _(–t)

Quanto ao carácter

Sinal escalar – sinal que se refere apenas a uma medida.

Sinal vectorial – sinal que se refere a várias medidas do mesmo fenómeno, obtidas com um agregado de sensores.

t

∀

t

∀

t

∀

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 15

Série de Fourier

Representação na frequência

A ferramenta básica da teoria do sinal é a expansão em série de funções ortogonais do sinal.

A mais utilizada, a expansão em série de Fourier, representa uma função periódica geral x(t), de período T, em termos de uma soma infinita de funções senos e cosenos .

x(t) = a_kej2πkft = k=−∞ ∞

∑

∑

∑

onde a frequência angular fundamental ω₀ é dada em [rad/s].

Nota: a frequência angular ω=2πf é dada em rad/s e a frequência f = 1/T é dada em Hz.

Esta última é preferível na teoria do sinal já que garante simetria entre as transfor-madas directa e inversa, mas a primeira é mais utilizada na teoria dos sistemas já que garante uma similaridade com a transformada de Laplace.

Série de Fourier

Os coeficientes da série de Fourier são dados por:

sendo a_k constantes complexas.

0 0 0 0

1

( )

A

a

x t dt

T

=

=

_∫

(

)

{ }

2

( )cos(

)

2Re

A

a

a

x t

k t dt

a

T

ω

=

+

=

_∫

=

(

)

{ }

2

( )sin(

)

2Im

B

j a

a

x t

k t dt

a

T

ω

=

−

=

_∫

= −

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 17

Série de Fourier

Para uma função periódica ser tansformável em série de Fourier é necessário que satisfaça as condições de Dirichelet, que garantem a existência e convergência da série.

As condições de Dirichlet requerem que num período T :

- Apenas exista um número limitado de máximos e mínimos; - O número de descontinuidades seja finito;

- As descontinuidades sejam de amplitude finita, isto é, a função deve ser absolutamente integrável, o que significa que

0

( )

T

x t dt < ∞

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier

A expansão em série de Fourier é essencialmente adequada para funções periódicas.

A sua forma generalizada, para funções não periódicas, é conheci-da por transformada de Fourier, que transforma um sinal temporal

x(t) numa função da frequência ω definida pela relação integral

A transformada de Fourier inversa é dada por

[

( )

]

( )

( )

F x t

X

_ω

x t e

dt

=

=

_∫

1

( )

( )

2

x t

X

_ω

e

d

_ω

π

=

_∫

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 19

Transformada de Fourier

Relação entre as transformadas de Fourier e de Laplace

Da definição de transformada de Fourier resulta que os valores da exponencial estão restritos ao eixo imaginário do plano complexo. Removendo esta restrição, fazendo , onde

σ

A transformada de Laplace inversa é dada por

[

( )

]

( )

( )

L x t

X s

x t e dt

=

=

_∫

π

_∫

( )

x t e

Para passar da transformada de Laplace para a transformada de Fourier

Energia de um Sinal Contínuo

Energia de um sinal

A potência instantânea de um sinal é igual ao produto deste por ele mesmo.

Se integrarmos ao longo do tempo temos a energia do sinal ao longo desse período de tempo

A energia total do sinal é

2 1 2 1 2

( , )

( )

W t t

₌

_∫

x t dt

( )

W

x t dt

=

_∫

A potência total média do sinal é

2 2 2 1 lim ( ) T x T T P x t dt T →∞ − =

_∫

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 21

Energia de um Sinal Contínuo

Energia e potência média de um sinal

2 2 2 1 lim ( ) T x T T P x t dt T →∞ − =

_∫

( )

(0, )

( )

W T

₌

W

T

₌

_∫

x t dt

Espectros do Sinal

Relação de Parseval

Se

x(t)

X(ω)

2

( )

X

_ω

1

( )

( )

2

x t dt

X

_ω

d

_ω

π

=

∫

∫

Por esse motivo se designa a função o espectro de energia

ou a densidade espectral de energia do sinal

x t

( )

arg ( )

X

_ω

Sendo uma grandeza complexa designa-se ainda por

espectro de amplitudes a e espectro de fase a

( )

X

_ω

( )

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 23

Espectros do Sinal

Exemplo de espectro de energia

No caso duma função sinusoidal o espectro de energia são duas “riscas” correspondentes à sua frequência positiva e negativa (-f₀ e +f ₀), com amplitude idêntica a metade do quadrado da amplitude da função.

As frequências positivas do espectro de energia correspondem à energia da parte causal do sinal e as frequências negativas à ener-gia da parte anti-causal do sinal.

Espectros do Sinal

Exemplo de espectro de amplitude

( )

f t

e

=

José Sá da Costa _{T2 - Sinais Contínuos} 25

Ruído

Definição

Ruído é qualquer fenómeno (interferência, distorção aleatória, etc.) que perturba a percepção ou interpretação do sinal.

Esta denominação provém da mesma designação que se dá a um som acústico estranho e desagradável.

Relação sinal-ruído

A relação sinal-ruído (signal-to-noise ratio, S/N ou SNR) é uma medida da extensão de contaminação do sinal pelo ruído, a qual é dada pela relação entre a potência do sinal (P_s) pela potência do ruído (P_r)

SNR = P

P

Normalmente, a relação sinal-ruído é dada em unidades logarítmicas, o decibel [dB]

SNR_dB= 20 log₁₀ s(t) =10 log₁₀SNR