José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 1
Sinais e Sistemas
Mecatrónicos
José Sá da Costa
Sinais e Sistemas
Sinais
Sinal
É uma função associada a um fenómeno (físico, químico, económico, social, etc.) que transporta algum tipo de informação sobre este.
Esta função pode depender de uma ou várias variáveis independentes, como sejam o tempo, as coordenadas
espaciais, a frequência, etc., podendo ser uma função real ou complexa.
( ) :
ou ( ) :
x t
R
→
R
x t
R
→
C
− ∞ < < +∞
t
Exemplos
• Sinal de voz
• Temperatura do ar ao longo do dia • Velocidade do vento
• Sucessão de valores de um índice bolsista • Sinal de um semáforo
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Exemplos de Sinais
Sinal dependendo de uma variável real, o tempo, isto é, o domínio do sinal é uni-dimensional.
Exemplos de Sinais
Uma fotografia pode ser vista como um sinal, onde o brilho u de um ponto é uma função de duas coordenadas espaciais (x, y). Neste caso o domínio do sinal é bi-dimensional, mas o contradomínio do sinal é uni-dimensional, representado pela escala de brilho.
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Exemplos de Sinais
Os sinais podem apresentar várias formas, mais suaves como vimos anteriormente, ou mais ásperos ou rugosos, como o indicado na
Exemplos de Sinais
Também podem caracterizar valores constantes ao longo de determinados períodos de tempo, como é o caso da variação de preços de um produto em dias sucessivos.
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Classificação de sinais
Quanto à variável independente
Sinal contínuo no tempo – quando a coordenada de tempo é contínua. Se simultaneamente a coordenada de amplitude é contínua, designa-se
sinal analógico.
Sinal discreto no tempo – apenas apresenta valores em certos instantes de tempo (amostras).
Classificação de sinais
Quanto às amplitudes
Sinal amostrado (ou quantificado) – apenas representa as amplitu-des nos pontos de amostragem (sinal discreto no tempo), mas a amplitude é contínua.
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Classificação de sinais
Quanto às amplitudes
(cont.)Sinal quantizado – sinal contínuo no tempo em que a amplitude pode assumir apenas uma gama finita de valores.
Classificação de sinais
Quanto às amplitudes
(cont.)Sinal digital
–
é um sinal discreto no tempo e na amplitude, resultante da codificação do sinal amostrado e quantizado.Neste caso é necessário 4 bits (24=16) para reproduzir as 9 quantizações da amplitude. A codificação consiste em atribuir a cada valor obtido por amos-tragem e quantizado uma sequência de dígitos, o código.
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Classificação de sinais
Classificação de sinais
Quanto à duração
Sinal infinito – é um sinal com uma duração infinita.
Sinal finito – é um sinal definido num domínio de suporte limitado. Também se designa janela. Os de muito curta duração são os pulsos.
Sinal direito – quando nulo para t < τ.
Sinal esquerdo – quando nulo para t > τ.
Sinal causal – sinal direito onde x(t) = 0 para t < 0, também designado sinal não antecipativo.
Sinal anti-causal – sinal esquerdo onde x(t) = 0 para t > 0, também desig- nado sinal antecipativo.
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Classificação de sinais
Quanto à reprodutibilidade
Sinal determinístico – sinal que pode ser reproduzido, nas mesmas condições, tantas vezes quanto se queira.
Sinal aleatório – sinal com uma estrutura probabilística, não reproduzível, nas mesmas condições. Formalmente, este sinal depende do
tempo, sendo mais correctamente designado por
Classificação de sinais
Quanto à morfologia
Sinal par – sinal simétrico relativamente ao eixo das ordenadas,
x(t) = x(–t)
Sinal ímpar – sinal simétrico relativamente à origem, x(t) = –x(–t)
∀t
Para o caso de sinais complexos
Sinal hermiteano – se verifica a relação x(t) = x*(–t)
Sinal anti-hermiteano – se verifica a relação x(t) = –x* (–t)
Quanto ao carácter
Sinal escalar – sinal que se refere apenas a uma medida.
Sinal vectorial – sinal que se refere a várias medidas do mesmo fenómeno, obtidas com um agregado de sensores.
t
∀
t
∀
t
∀
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Série de Fourier
Representação na frequência
A ferramenta básica da teoria do sinal é a expansão em série de funções ortogonais do sinal.
A mais utilizada, a expansão em série de Fourier, representa uma função periódica geral x(t), de período T, em termos de uma soma infinita de funções senos e cosenos .
x(t) = akej2πkft = k=−∞ ∞
∑
ak ej(2πkft+φk) k=−∞ ∞∑
= A0 + ⎡⎣Ak cos(kω0t)+ Bksen(kω0t)⎤⎦ k=1 ∞∑
onde a frequência angular fundamental ω0 é dada em [rad/s].
Nota: a frequência angular ω=2πf é dada em rad/s e a frequência f = 1/T é dada em Hz.
Esta última é preferível na teoria do sinal já que garante simetria entre as transfor-madas directa e inversa, mas a primeira é mais utilizada na teoria dos sistemas já que garante uma similaridade com a transformada de Laplace.
Série de Fourier
Os coeficientes da série de Fourier são dados por:
sendo ak constantes complexas.
0 0 0 0
1
( )
t T tA
a
x t dt
T
+=
=
∫
(
)
0{ }
0 * 02
( )cos(
)
2Re
t T k k k t kA
a
a
x t
k t dt
a
T
ω
+=
+
=
∫
=
(
)
0{ }
0 * 02
( )sin(
)
2Im
t T k k k t kB
j a
a
x t
k t dt
a
T
ω
+=
−
=
∫
= −
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Série de Fourier
Para uma função periódica ser tansformável em série de Fourier é necessário que satisfaça as condições de Dirichelet, que garantem a existência e convergência da série.
As condições de Dirichlet requerem que num período T :
- Apenas exista um número limitado de máximos e mínimos; - O número de descontinuidades seja finito;
- As descontinuidades sejam de amplitude finita, isto é, a função deve ser absolutamente integrável, o que significa que
0
( )
T
x t dt < ∞
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
A expansão em série de Fourier é essencialmente adequada para funções periódicas.
A sua forma generalizada, para funções não periódicas, é conheci-da por transformada de Fourier, que transforma um sinal temporal
x(t) numa função da frequência ω definida pela relação integral
A transformada de Fourier inversa é dada por
[
( )
]
( )
( )
j tF x t
X
ω
x t e
ωdt
∞ − −∞=
=
∫
1
( )
( )
2
j tx t
X
ω
e
ωd
ω
π
∞ −∞=
∫
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Transformada de Fourier
Relação entre as transformadas de Fourier e de Laplace
Da definição de transformada de Fourier resulta que os valores da exponencial estão restritos ao eixo imaginário do plano complexo. Removendo esta restrição, fazendo , onde
σ
é uma cons-tante real, obtém-se a transformada de Laplace, i.e.A transformada de Laplace inversa é dada por
[
( )
]
( )
( )
stL x t
X s
x t e dt
∞ − −∞=
=
∫
1 ( ) ( ) 2 c j st c j x t X s e ds jπ
+ ∞ − ∞ =∫
( )
j tx t e
− ω s =σ + jωPara passar da transformada de Laplace para a transformada de Fourier
Energia de um Sinal Contínuo
Energia de um sinal
A potência instantânea de um sinal é igual ao produto deste por ele mesmo.
Se integrarmos ao longo do tempo temos a energia do sinal ao longo desse período de tempo
A energia total do sinal é
2 1 2 1 2
( , )
( )
t x tW t t
=
∫
x t dt
2( )
xW
x t dt
∞ −∞=
∫
A potência total média do sinal é
2 2 2 1 lim ( ) T x T T P x t dt T →∞ − =
∫
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Energia de um Sinal Contínuo
Energia e potência média de um sinal
2 2 2 1 lim ( ) T x T T P x t dt T →∞ − =
∫
2 0( )
(0, )
( )
T x xW T
=
W
T
=
∫
x t dt
Espectros do Sinal
Relação de Parseval
Se
x(t)
eX(ω)
são um par de transformadas de Fourier, então2
( )
X
ω
21
2( )
( )
2
x t dt
X
ω
d
ω
π
∞ ∞ −∞ −∞=
∫
∫
Por esse motivo se designa a função o espectro de energia
ou a densidade espectral de energia do sinal
x t
( )
arg ( )
X
ω
Sendo uma grandeza complexa designa-se ainda por
espectro de amplitudes a e espectro de fase a
( )
X
ω
( )
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Espectros do Sinal
Exemplo de espectro de energia
No caso duma função sinusoidal o espectro de energia são duas “riscas” correspondentes à sua frequência positiva e negativa (-f0 e +f 0), com amplitude idêntica a metade do quadrado da amplitude da função.
As frequências positivas do espectro de energia correspondem à energia da parte causal do sinal e as frequências negativas à ener-gia da parte anti-causal do sinal.
Espectros do Sinal
Exemplo de espectro de amplitude
( )
a tf t
e
−=
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Ruído
Definição
Ruído é qualquer fenómeno (interferência, distorção aleatória, etc.) que perturba a percepção ou interpretação do sinal.
Esta denominação provém da mesma designação que se dá a um som acústico estranho e desagradável.
Relação sinal-ruído
A relação sinal-ruído (signal-to-noise ratio, S/N ou SNR) é uma medida da extensão de contaminação do sinal pelo ruído, a qual é dada pela relação entre a potência do sinal (Ps) pela potência do ruído (Pr)
SNR = P
sP
rNormalmente, a relação sinal-ruído é dada em unidades logarítmicas, o decibel [dB]
SNRdB= 20 log10 s(t) =10 log10SNR