Módulo 3. Arbitragem e Valorização de Contratos de Futuros.

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Módulo 3

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Arbitragem - Definição

V(0)=0 e V(t,ω)>0, para todos ω

Investimento Inicial = 0

e

Ganho > 0

Certo!

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Preço a Futuro - Definição

● Preço a Futuro de um contrato num determinado momento,

é o preço de entrega do activo que faria esse contrato valer exactamente zero nesse momento

● Os preços a futuro podem ser diferentes para contratos de

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Ausência de Arbitragem e Preços a

Futuro

● Podem-se utilizar argumentos de ausência de oportunidades

de arbitragem para determinar o preço a futuro de um activo de investimento a partir do seu preço spot e de variáveis de mercado observáveis (taxas de juro...)

● Não é possível fazer isto para preços a futuro de activos de

consumo. Argumentos de ausência de oportunidades de arbitragem, neste caso, definem apenas um intervalo de preços a futuro possíveis.

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Activos de Investimento e de

Consumo.

● Activos de Investimento – são activos detidos apenas com a

finalidade de investimento por um número significativo de investidores:

– Acções, Obrigações,...

– Ouro, Prata,...

● Activos de Consumo – são activos detidos principalmente

para consumo e não para investimento:

– Petróleo, Cobre, Cacau,...

● Activos de investimento podem também ser utilizados para

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Arbitragem

Exemplo: Investimento em ouro (1)

• Suponhamos que:

– O preço à vista do ouro é de USD 300 a onça

– O preço a futuro do ouro a um prazo de 1 ano, é de USD

340

– A taxa de juro do USD a um ano é de 5% p.a.

• Existirá alguma oportunidade de arbitragem?

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Arbitragem

Sim!

● Empréstimo USD 300 a 5% p.a.

● Compra de uma onça de ouro

● Posição curta num contrato futuros para venda do ouro a

USD 340 daqui a um ano. Capital inicial = 0

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Arbitragem

Exemplo: Investimento em ouro (2)

• Suponhamos que:

– O preço a futuro do ouro a um prazo de 1 ano, é de USD

300

• Existirá alguma oportunidade de arbitragem?

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Arbitragem

Sim!!

Consideremos a situação de capital inicial zero, ou seja onde o arbitragista não detem qualquer ouro

● Short-sell (venda antecipada) ouro por USD 300 a onça

● Com o resultado da venda antecipada investir a 5% ano

● Posição longa num contrato de futuros para compra do ouro

a USD 300 a onça daqui a um ano Capital inicial = 0

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O que é Short Selling ?

(vendas antecipadas)

● Short Selling implica a venda de títulos que não possuímos

● O corretor/instituição financeira pede emprestado os títulos

de outro cliente e vende-os no mercado da maneira habitual

● Em determinada altura, necessitamos de comprar os títulos

de volta de modo a que estes possam ser recolocados na carteira do cliente

● Temos de pagar dividendos e outros benefícios que o dono

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Determinação Preço a Futuro

Exemplo: Investimento em ouro (3)

• Suponhamos que:

– O preço à vista do ouro S_t = USD 300 a onça

– O preço a futuro do ouro a um prazo de 1 ano é de F_t= ?

• Não existe oportunidade de arbitragem!

✔ F t = St (1+r) T-t _{, neste caso T=t+1} ✔ F t = 300 (1 + 0,05) 1 _{= 315}

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Determinação Preço a Futuro

Exemplo: Investimento em ouro (3')

• Suponhamos que:

– O preço a futuro do ouro a um prazo de 1 ano é de F_t= ?

– A taxa de juro do USD a um ano é de 4,879% (com

composição contínua, equivalente a 5% p.a.)

• Não existe oportunidade de arbitragem!

✔ F

t = St exp(r (T-t)), neste caso T=t+1

✔ F

t = 300 exp(0,04879)

_{= 315}

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Notação

● S

0 = Preço Spot no início do contrato (momento 0)

● F

0 = Preço a Futuro no início do contrato

● S

t = Preço Spot momento t

● F

t = Preço a Futuro momento t

● S

T = Preço Spot no final do contrato (momento T)

● T-t = Tempo que falta até à data de entrega (delivery date)

● K = Preço de entrega do activo (delivery price)

0

T

Vida do Contrato

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Preço de Entrega e Preço a Futuro

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Determinação Preço a Futuro

Activos de Investimento (1)

1) Activo não origina rendimento, e sem custos de armazenagem

F_t = S_texp(r (T-t))

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Determinação Preço a Futuro

Activos de Investimento (1)

Exercício 3.1.

Considere um contrato a futuro a 4 meses para comprar uma obrigação de cupão zero com maturidade de 1 ano. O preço actual da obrigação é de 930 Euros e a taxa de juro sem risco (composta contínuamente) é de 6%. Qual é o preço a futuro do contrato no momento presente? Se o contrato tivesse sido

acordado hoje, qual teria sido o preço de entrega K (delivery price)?

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Determinação Preço a Futuro

Activos de Investimento (1)

Resolução do Exercício 3.1.

Como se trate de uma obrigação de zero cupão o activo

subjacente ao contrato não proporciona rendimentos (juros). Sabemos ainda que T-t = 4/12, r = 0.06 e S

t = 930

Podemos determinar o preço a futuro do contrato no momento

presente F_t, usando a equação

● F

t = St exp(r (T-t))

● F

t = 930 exp(0.06 x 4/12) = 948.79 Euros

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Determinação Preço a Futuro

Activos de Investimento (2)

2) Activo origina um rendimento conhecido em valor, e sem

custos de armazenagem F

t = (St - It) exp(r(T-t))

onde I_t é o valor actualizado ao momento t do rendimento

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Determinação Preço a Futuro

Activos de Investimento (2)

Estará a equação correcta ?

Caso F_t > (S_t- I_t) exp(r (T-t))

compra-se o activo e toma-se uma posição curta no contrato de futuro para venda posterior do activo

Caso F_t < (S_t- I_t) exp(r (T-t))

faz-se short selling do activo e toma-se uma posição longa no contrato de futuro para compra posterior do activo

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Determinação Preço a Futuro

Activos de Investimento (2)

Estará a equação correcta ?... e se short selling não é possível !? Caso F

t < (St - It) exp(r(T-t)), mas sem short selling:

Existe um número significativo de investidores que detêm o activo puramente para investimento

Esses investidores podem vender o activo por S_t

● Investem o resultado da venda do activo à taxa de juro r

durante o período T-t

● Tomam uma posição longa num contrato de futuro para

compra do activo no momento T. Os investidores obtêm um lucro face à situação onde o activo foi sempre mantido

● Com activos de consumo, o segundo passo não será viável! É

pois possível que se verifique F

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Determinação Preço a Futuro

Activos de Investimento (3)

3) Activo proporciona uma taxa de rendibilidade conhecida, e sem custos de armazenagem

F_t = S_texp((r-i)(T-t))

onde i a taxa de rendibilidade média (composta contínuamente) durante a vida do contrato

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Determinação Preço a Futuro

Activos de Investimento (4)

4) Caso geral: activo proporciona uma rendibilidade conhecida, e tem custos de armazenagem

O “cost of carry”, denotado por c, é igual aos custos de armazenagem mais o custo dos juros menos o rendimento recebido

F

t = St exp(c(T-t))

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Determinação Preço a Futuro

Activos de Consumo

Caso geral: activo proporciona uma rendibilidade conhecida, e tem custos de armazenagem

F

t ≤ St exp(c(T-t))

Em particular, K = F₀ ≤ S₀exp(c T)

onde c denota o “cost of carry”.

É definido uma taxa, “convenience yield” denotada por y, sobre o activo de consumo, de modo tal que se verifique

y: F_t = S_texp((c-y)(T-t))

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Valorização de um Contrato de

Futuros

●

Suponhamos que

–

K é o preço de entrega num contrato de futuros

– F_t é o preço a futuro que se aplicaria ao contrato hoje

● O valor hoje de uma posição longa neste contrato de futuros,

que denotamos por V_t, é

V_t = (F_t - K) exp(-r (T-t))

● O valor hoje de uma posição curta neste contrato de futuros

é similarmente

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Futuros sobre um Índice de Acções

● Um índice de acções pode ser visto como um activo de

investimento que paga um “dividend yield”

● A relação entre o preço a futuro e o preço spot é, portanto,

F

t = St exp((r-d)(T-t))

onde d é o dividend yield da carteira representada no índice

● Para que a fórmula seja verdadeira é importante que o índice represente um

activo de investimento (alterações do índice devem corresponder a alterações no valor de uma carteira transaccionável). Por exemplo, o índice Nikkei visto como um valor expresso em USD não é um activo de investimento

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Arbitragem sobre um Índice Acções

● Quando F

t > St exp((r-d)(T-t)) um arbitragista compra as

acções representadas na carteira do índice e vende futuros sobre esse índice

● Quando F

t < St exp((r-d)(T-t)) um arbitragista compra

futuros sobre o índice e faz short-selling das acções (ou venda as acções no caso de as já possuir) representadas na carteira do índice

● A arbitragem sobre índices involve a transacção em futuros e

em muitas acções em simultâneo, muito frequentemente de um modo automático por intermédio de computadores

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Futuros sobre Divisas

● Uma divisa estrangeira é análoga a um activo que

proporciona um “dividend yield”

● O “dividend yield”, nesta interpretação, passará a ser a taxa

de juro sem risco no país estrangeiro

● Assim sendo, se r

F denotar a taxa de juro sem risco do país

estrangeiro

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Exercício 10

O valor de um índice de acções é de actualmente 350. A taxa

de juro sem risco é de 8% por ano (com composição

contínua) e o “dividend yield” do índice é de 4% por ano.

Qual deve ser o preço a futuro para o contrato de 4 meses?

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Exercício 11

Um investidor toma uma posição longa num contrato de

futuros acabado de criar sobre acções de uma empresa que

não paga dividendos. Nesse momento, a cotação das acções é

de 40 euros e a taxa de juro sem risco de 10% por ano (com

composição contínua).

(b) Qual é o preço a futuro e o valor inicial do contrato de

futuros?

(c) Seis meses mais tarde, a cotação das acções é de 45 Euros

e a taxa de juro sem risco continua a ser de 10%. Qual é então

o preço a futuro e o valor da posição longa no contrato de

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Exercício 12

Suponha que a taxa de juro sem risco é de 10% p.a. com

composição contínua e que o “dividend yield” de um índice

de acções é de 4% p.a. O valor do índice é de 400 e o preço a

futuro para um contrato com data de entrega daqui a 4 meses

é de 405. Que oprtunidades de arbitragem existem?

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Exercício 13

As taxas de juro a dois meses na Suiça e nos EUA são de 3%

e 8% p.a., respectivamente, com composição contínua. A taxa

de câmbio “spot” do franco suiço é de $0.6500. O preço a

futuro de um contrato com data de entrega a dois meses é de

$0.6600. Que oportunidades de arbitragem existem?

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Exercício 14

O preço actual da prata é de $9 a onça. Os custos de

armazenagem são de $0.24 por onça por ano pagáveis

trimestralmente e avançadamente. Assumindo que as taxas de

juro são de 10% p.a (com composição contínua) para todas as

maturidades, calcular o preço a futuro da prata para um

contrato de futuro com data de entrega para daqui a nove

meses

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