CAPACITÂNCIA TEORIA. A Equipe SEI, pensando em você, preparou este artigo contendo uma breve teoria com exemplos para auxiliá-lo nos estudos.

CAPACITÂNCIA – TEORIA

A Equipe SEI, pensando em você, preparou este artigo contendo uma breve teoria com exemplos para auxiliá-lo nos estudos.

1. Capacitância de um condutor isolado

O aluno, para continuar lendo esse artigo, deverá saber que o potencial elétrico de um condutor esférico de raio R isolado e carregado com carga Q, adotando-se o referencial de potenciais no infinito, é o mesmo em todos os pontos e vale:

KQ V R = , (i) onde: 0 1 K 4 = πε

Isolando a carga na eq. (i), vem:

{ cons tan te R Q V K = ⋅ (ii)

Observe que a carga é diretamente proporcional ao potencial elétrico da esfera condutora. Podemos generalizar essa propriedade para qualquer condutor isolado e dizer que todo condutor isolado possui uma capacidade de acumular cargas. Podemos escrever então:

Q= ⋅ (iii) C V

onde C é uma constante positiva denominada capacitância do capacitor.

No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de capacitância é o farad, cujo símbolo é F. Como:

Q 1 coulomb

C 1 farad 1 F 1 C / V

V 1 volt

= ⇒ = ⇒ = (iv)

Como veremos mais adiante na maioria das vezes as capacitâncias assumem valores muito menores do que 1 F. Por isso utiliza-se com freqüência os seguintes submúltiplos do farad:

1 microfarad = 1 mF = 10-6 F 1 nanofarad = 1 nF = 10-9 F 1 picofarad = 1 pF = 10-12 F 1.1 Exemplo

1. (SEI) Um condutor isolado tem potencial V1 = 300 V quando eletrizado com carga Q1 = 2 µC. Se aumentarmos o potencial desse condutor para V2 = 450 V, qual será a carga Q2 desse condutor?

Solução 1 2 2 2 1 1 2 1 Q Q V 450 C Q Q 2 C V V V 300 = = ⇒ = ⋅ = ⋅ µ 2 Q = µ 3 C

2. Capacitância de um condutor esférico

Considere um condutor esférico de raio R isolado e carregado com carga Q. Retomando a eq. (ii), temos: R

Q V

K = ⋅

Como Q= ⋅ , a capacitância do condutor esférico é dada por: C V

R C

K

= (iv)

Se utilizarmos o fato de que

0 1 K

4 =

πε , a eq. (iv) se torna: 0

C= πε4 R (v)

Essa expressão é conveniente para mostrarmos um modo de escrevermos a unidade da permissividade elétrica:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

_{[ ]}

2. (PUCC – SP) Se a Terra for considerada um condutor esférico de raio R = 6400 km e situada no vácuo, sua capacitância será aproximadamente:

(A) 500 µF (B) 400 µF (C) 700 µF (D) 600 µF (E) 200 µF Solução 6 9 R 6, 4.10 C C 700 F K 9.10 = = ⇒ ≅ µ

Observe que mesmo um condutor esférico de mesmas dimensões que nosso planeta possui capacitância muito menor do que 1 F.

3. Energia elétrica Armazenada

Considere um condutor isolado inicialmente neutro. Imagine que queiramos carregá-lo positivamente. Para isso, devemos retirar elétrons desse condutor. Conforme formos retirando os elétrons, esse processo fica cada vez mais difícil devido às forças elétricas de atração da carga positiva que o condutor já possui e o novo elétron a ser retirado. Precisamos então realizar um trabalho para vencer essas forças elétricas, que ficará armazenado sob a forma de energia potencial elétrica.

Considere que o condutor possua capacitância C e será carregado com carga Q. Como Q=C.V, temos que Q

V C

= , portanto V Q C

A energia potencial elétrica adquirida pelo condutor é numericamente igual à área entre o gráfico e o eixo horizontal. Desta maneira:

P

Q . V E

2

= (vi)

Como Q e V possuem sempre o mesmo sinal, a eq. (vi) se torna:

P QV E 2 = (vii) Utilizando Q=C.V e V Q C

= , a eq. (vii) pode se tornar:

2 P CV E 2 = (viii) 2 P Q E 2C = (ix) 3.1 Exemplo

3. (ITA) Um capacitor de capacitância igual a 0,25.10-6 F é carregado até um potencial de 1,00.105 V, sendo então descarregado até 0,40.105 V num intervalo de tempo de 0,10 s, enquanto transfere energia para um equipamento de raios X. A carga total, Q, e a energia, E, fornecidas ao tubo de raios X, são mais bem representadas respectivamente por (A) Q = 0,005 C e E = 1.250 J

(B) Q = 0,025 C e E = 1.250 J (C) Q = 0,025 C e E = 1.050 J (D) Q = 0,015 C e E = 1.250 J (E) Q = 0,015 C e E = 1.050 J Solução - Opção Letra E

Cálculo da carga inicial Q1 do capacitor:

6 5

1 1 1

Q =C.V =0, 25.10 .1.10− ⇒Q =0, 025 C

Cálculo da carga final Q2 do capacitor:

6 5

2 2 2

Q =C.V =0, 25.10 .0, 4.10− ⇒Q =0, 01 C

Cálculo da energia potencial elétrica inicial E1 do capacitor:

5 1 1 1 1 Q .V 0, 025.1.10 E E 1250 J 2 2 = = ⇒ =

Cálculo da energia potencial elétrica final E2 do capacitor: 5 2 2 2 1 Q .V 0, 01.0, 4.10 E E 200 J 2 2 = = ⇒ =

Cálculo da carga fornecida ao tubo de raio X:

forn 1 2 forn

Q =Q −Q =0, 025 0, 01− ⇒ Q =0, 015 C

Cálculo da energia elétrica fornecida ao tubo de raio X:

forn 1 2 forn

E =E −E =1250 200− ⇒ E =1050 J

4. Condutores em equilíbrio eletrostático

Considere três condutores isolados A, B e C de capacitâncias respectivamente iguais a CA, CB e CC, carregados com cargas iniciais respectivamente iguais QA, QB e QC e com potenciais iniciais respectivamente iguais a VA, VB e VC.

Se esses condutores forem interligados por um fio de capacitância desprezível haverá uma redistribuição de cargas entre os condutores até que o potencial dos três sejam iguais. Quando isso ocorre dizemos que os condutores atingiram o equilíbrio eletrostático. Q 'A

Consideremos que após atingirem o equilíbrio eletrostático os condutores possuem mesmo potencial V e cargas iguais as indicadas na figura acima.

Pelo Princípio da Conservação das Cargas Elétricas, temos:

A B C A B C

Q ' +Q ' +Q ' =Q +Q +Q

(x)

Usando a definição de capacitância, podemos escrever:

A A Q ' =C V (xi) B B Q ' =C V (xii) C C Q ' =C V (xiii) A _{B C} QA, VA QB, VB QC, VC A Q ' , V Q 'B, V Q 'C, V A B C

Substituindo as eq. (xi), (xii) e (xiii) na eq. (x), vem: A B C A B C C V+C V+C V=Q +Q +Q A B C A B C Q Q Q V C C C + + = + + (xiv)

Usando novamente a definição de capacitância, podemos escrever:

A A A Q =C V (xv) B B B Q =C V (xvi) C C C Q =C V (xvii)

Substituindo as eq. (xv), (xvi) e (xvii) na eq. (xiv), vem:

A A B B C C A B C C V C V C V V C C C + + = + + (xviii)

Com o valor de V determinado podemos calcular as novas cargas através das seguintes equações:

A A Q ' =C V (xix) B B Q ' =C V (xx) C C Q ' =C V (xxi) 4.1 Exemplo

4. (ITA) Uma esfera metálica isolada, de 10,0 cm de raio, é carregada no vácuo até atingir o potencial U = 9,0V. Em seguida, ela é posta em contato com outra esfera metálica isolada, de raio R2 = 5,0cm. Após atingido o equilíbrio, qual das alternativas abaixo melhor descreve a situação física? É dado que

0

πε 4

1

= 9,0 . 109 Nm2/C2. (A) A esfera maior terá uma carga de 0,66 10-10 C.

(B) A esfera maior terá um potencial de 4,5 V. (C) A esfera menor terá uma carga de 0,66 10-10 C. (D) A esfera menor terá um potencial de 4,5 V.

(E) A carga total é igualmente dividida entre as 2 esferas. Solução – Opção Letra E

Vamos considerar que a esfera menor encontra-se inicialmente neutra. A capacitância de um condutor esférico é dada por C R

K = , logo: A B A B R R C e C K K = =

onde A é a esfera maior e B a menor. Substituindo as expressões acima na eq. (xviii), vem:

A A A B R V K V R R K K = +

A A A B R 10 V V 9 V 6 V R R 10 5 = ⋅ = ⋅ ⇒ = + +

Cálculo da carga da esfera A (utilizando a eq. (xix)):

2 10 A A 9 A R 10.10 Q ' C V V .6 Q ' 0, 66.10 C K 9.10 − − = = = ⇒ ≅