A
NÁLISE DAS
E
STRUTURAS
UIA
3
|
M
ÉTODO DOS
D
ESLOCAMENTOS
Este material é destinado exclusivamente aos alunos e professores do Centro Universitário IESB, contém informações e conteúdos protegidos e cuja divulgação é proibida por lei. O uso e/ou reprodução total ou parcial não autorizado deste conteúdo é proibido e está sujeito às penalidades cabíveis, civil e criminalmente.
S
UMÁRIO
Aula 9 | Introdução ao Método dos Deslocamentos ... 4
9.1. Introdução ao Método dos Deslocamentos ... 4
9.2. Metodologia ... 4
9.3. Teorema da Reciprocidade ... 11
Aula 10 | Influências da Temperatura e do Recalque nas Estruturas Hiperestáticas pelo Método dos Deslocamentos ... 12
10.1. Efeitos da Temperatura ... 12
10.2. Efeitos do Recalque ... 14
Aula 11 | Restrições nas Deformações ... 17
11.1. Barras Inextensíveis ... 17
11.2. Barras Infinitamente Rígidas ... 19
11.3. Sistemas com Articulações Completas ... 20
11.4. Eliminação de Balanços ... 21
Aula 12 | Aplicação do Método dos Deslocamentos em Programas Computacionais ... 22
12.1. Ftool – Versão Educacional ... 22
Aula 9 | I
NTRODUÇÃO AO
M
ÉTODO DOS
D
ESLOCAMENTOS
Olá, estudante, bem-vindo(a) à terceira Unidade de Interação e Aprendizagem (UIA). Nesta UIA, falaremos sobre o Método dos Deslocamentos. Em nossa primeira aula, faremos uma introdução a esse assunto! Continue os estudos desta disciplina e boa aula!
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Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula e tenha uma breve introdução dos principais tópicos que serão abordados na UIA 3.
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Como visto nas aulas anteriores, as condições de equilíbrio não são suficientes para resolver estruturas hiperestáticas, isto é, sistemas que, sendo estáveis, apresentam vínculos excedentes. Desse modo, são necessárias outras metodologias para resolver o problema, como o Método das Forças (já estudado) e o Método dos Deslocamentos, que utilizam, além das equações de equilíbrio, condições de compatibilidade e equações constitutivas dos materiais.
Que tal nos aprofundarmos nesse assunto?
9.1. I
NTRODUÇÃO AO
M
ÉTODO DOS
D
ESLOCAMENTOS
O Método dos Deslocamentos (MD) é uma metodologia para análise de estruturas hiperestáticas que, seguindo a ordem contrária do Método das Forças, baseia-se no atendimento das condições de compatibilidade e nas leis constitutivas e condições de equilíbrio. Consiste na soma de casos básicos cinematicamente determinados, que atendem às condições de compatibilidade, mas não satisfazem as condições de equilíbrio, estas últimas sendo atendidas após a superposição dos referidos casos (MARTHA, 2010, p. 299).
9.2. M
ETODOLOGIA
A metodologia de resolução consiste em transformar a estrutura em estudo em uma estrutura cinematicamente determinada (estrutura com todas as componentes de deslocamentos e rotações nodais conhecidas) por meio da adição de vínculos. Essa estrutura é chamada de Sistema
Hipergeométrico1 (SH).
Entretanto, ao serem adicionados vínculos, a estrutura passa a ter mais restrições e, portanto, aparecerão forças e momentos em correspondência com esses novo vínculos acrescentados. Para eliminar tais forças
e momentos, será necessária a aplicação de deslocamentos e/ou rotações (chamados de
Deslocabilidades2), estes últimos considerados as incógnitas do problema.
Para facilitar o entendimento, considere o pórtico biengastado da Figura 1(a) e sua configuração deformada, Figura 1(b). É evidente que, por se tratar de uma estrutura com dois engastes, os deslocamentos e as rotações nos apoios A e B são iguais a zero e, por estarem livres, os nós C e D podem apresentar deslocamentos e rotações. Desse modo, para se construir o sistema hipergeométrico, adicionam-se os vínculos nos demais nós que apresentem possíveis deslocamentos, conforme Figura 1(c).
(a) (b)
(c)
Figura 1. (a) Pórtico hiperestático; (b) Estrutura deformada; (c) Sistema hipergeométrico
Para reestabelecer essas condições violadas (de equilíbrio), é necessária a análise do sistema hipergeométrico submetido ao carregamento externo, bem como à atuação isolada das deslocabilidades referentes aos vínculos adicionados, de modo que cada uma resultará em uma parcela para anular os esforços causados pela adição dos vínculos.
Assim, o número de casos analisados é sempre o número de deslocabilidades mais 1 (que se refere ao caso cuja solicitação é o carregamento externo). Os casos básicos são resolvidos individualmente, de modo que cada um é composto pelo sistema hipergeométrico associado à respectiva deslocabilidade.
Caso (0): Sistema hipergeométrico + Carregamento externo
O caso zero é sempre a análise do sistema hipergeométrico acrescido do carregamento original do modelo estrutural. Por usar a estrutura auxiliar – sistema hipergeométrico (SH) –, surgem forças e momentos que, inicialmente, não existiam na estrutura original. Desse modo, por meio da tabela seguinte, referente às configurações deformadas elementares de barras prismáticas solicitadas por carregamentos externos, são calculadas tais forças e momentos.
Tabela 1. Configurações deformadas elementares de barras prismáticas solicitadas por carregamentos externo
Essas forças e momentos causados pelo carregamento são chamados de termos de cargas3 (𝜷
𝒊𝟎) e,
fisicamente, representam reação no apoio fictício adicionado.
Caso (i): Sistema hipergeométrico + Deslocabilidade i (𝑫𝒊)
Os casos i são as análises do sistema hipergeométrico sob a atuação de cada uma das deslocabilidades. Similarmente ao caso 0, em função da adição dos vínculos, bem como da atuação das deslocabilidades, surgem forças e momentos cujos nomes são coeficientes de rigidez4 (𝑲
𝒊𝒋) e seu sentido físico
corresponde a forças ou momentos na direção da deslocabilidade 𝑫𝒊, quando é imposta uma
configuração deformada onde 𝑫𝒋= 𝟏.
O cálculo desses coeficientes de rigidez (𝑲𝒊𝒋) também é feito por meio das soluções fundamentais de
barras prismáticas, baseadas em funções de forma, entre outros fatores, de modo que as soluções estão na tabela a seguir.
3 Forças ou momentos que aparecem como reações dos apoios fictícios adicionados no sistema hipergeométrico, submetido ao
carregamento externo.
4 Forças ou momentos que devem atuar na direção da deslocabilidade para manter a estrutura (SH) em equilíbrio quando é
Tabela 2. Coeficientes de rigidez à flexão de barra prismática sem e com articulação na extremidade
Uma vez calculados os coeficientes de rigidez, a última etapa da metodologia consiste em reestabelecer, por meio da superposição dos casos, as condições de equilíbrio da estrutura original, violadas ao ser criado o sistema hipergeométrico.
Em outras palavras, o restabelecimento das referidas condições se baseia no cálculo das deslocabilidades capazes de anular as forças/momentos que surgiram com a adição dos vínculos fictícios. Tal procedimento recai no cálculo dos valores reais das deslocabilidades, anteriormente assumidos como unitários. Assim: 𝛽,-+ 𝐾,,𝐷,+ 𝐾,1𝐷1= 0 𝛽1-+ 𝐾1,𝐷,+ 𝐾𝐷1 = 0 Matricialmente: 𝛽 ,-𝛽1- + 𝐾,, 𝐾,1 𝐾1, 𝐾11 𝐷, 𝐷1 = 00 𝛽 ,-𝛽1- → 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐾,, 𝐾,1 𝐾1, 𝐾11 → 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝐷, 𝐷1 → 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
Uma vez calculados os valores reais das deslocabilidades por meio do sistema acima, a metodologia finaliza na determinação dos esforções internos da estrutura original (hiperestática) por meio da superposição dos casos. Assim, para qualquer esforço (E) que se deseja calcular, basta seguir a expressão mostrada a seguir:
𝐸 = 𝐸-+ 𝐸,𝑋,+ 𝐸1𝑋1
𝐸-,𝐸,, 𝐸1→ 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0, 𝑖 𝑒 𝑗, 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒;
𝑋,, 𝑋1→ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠;
No caso em discussão, mostrado na Figura 2, ao adicionar os vínculos (criação dos SH), associa-se as suas respectivas deslocabilidades 𝐷P, 𝐷Q 𝑒 𝐷R, 𝐷S, 𝐷T 𝑒 𝐷U , sendo as três primeiras um deslocamento
horizontal, um vertical e uma rotação unitária no apoio A, e a quarta, quinta e sexta, um deslocamento horizontal, um vertical e uma rotação unitária no apoio D, respectivamente.
Figura 2. (a) Pórtico hiperestático; (b) Sistema hipergeométrico + deslocabilidades
Desse modo, são sete os casos básicos:
• casos 0: estrutura formada pelo sistema hipergeométrico (SP) + carregamento externo; e
• outros seis casos: compostos pelo SH + cada uma das deslocabilidades, conforme apresentado na Figura 3.
Figura 3. Casos básicos
A metodologia segue resolvendo cada um dos casos, de modo a obter as reações dos apoios fictícios, isto é, os termos de carga e os coeficientes de flexibilidade.
Caso 0: Atuação do carregamento externo
No pórtico em análise, é possível observar 𝛽P-, 𝛽Q-, 𝛽R-, 𝛽S-, 𝛽T- 𝑒 𝛽U-, representando respectivamente as reações horizontal, vertical e de rotação nos apoios fictícios adicionados C e D, quando atua o carregamento externo. Analisando cada uma das barras separadamente e, conforme Tabela 1, temos:
Como as barras verticais não sofrem deformações ao longo do seu comprimento, essas não apresentam reações nos apoios, diferentemente da barra horizontal. Desse modo, os termos de cargas são as reações resultantes em cada um dos apoios fictícios.
Figura 4. Caso 0 𝛽P-= 1𝑘𝑁; 𝛽S-= 1𝑘𝑁; 𝛽Q-= 1,5𝑘𝑁; 𝛽T-= 1,5𝑘𝑁; 𝛽R-= 3 4𝑘𝑁; 𝛽U-= 3 4𝑘𝑁.
O cálculo dos coeficientes de rigidez é feito conforme a Tabela 2, referente aos coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas. Assim, aplicando deslocabilidades unitárias em cada um dos sentidos dos apoios fictícios adicionados, surgirão forças e momentos em reação aos deslocamentos. Os casos básicos estão mostrados a seguir:
Caso 1: Atuação da deslocabilidade 𝐷P= 1 (𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝐶)
Figura 5. Caso 1 𝐾PP=12𝐸𝐼 𝐿R + 𝐸𝐴 𝐿 ; 𝐾SP= − 𝐸𝐴 𝐿 ; 𝐾QP= 0; 𝐾TP= 0;
𝐾RP=6𝐸𝐼
𝐿Q ; 𝐾UP= 0.
Caso 2: Atuação da deslocabilidade 𝐷Q= 1(𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝐶)
Figura 6. Caso 2 𝐾PQ= 0; 𝐾SQ = 0; 𝐾QQ=12𝐸𝐼𝐿R +𝐸𝐴𝐿 𝐾TQ= −12𝐸𝐼𝐿R 𝐾RQ= 6𝐸𝐼 𝐿Q ; 𝐾UQ = 6𝐸𝐼 𝐿Q .
Caso 3: Atuação da deslocabilidade 𝐷R= 1(𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝐶)
Figura 7. Caso 3 𝐾PR=6𝐸𝐼 𝐿Q ; 𝐾SR = 0; 𝐾QR=6𝐸𝐼 𝐿Q 𝐾TR= − 6𝐸𝐼 𝐿Q ; 𝐾RR= 4𝐸𝐼 𝐿 + 4𝐸𝐼 𝐿 ; 𝐾UR= 4𝐸𝐼 𝐿 .
Os casos 4, 5 e 6 são similares ao 1, 2 e 3, porém com as deslocabilidades impostas no apoio D. Pelos resultados, observa-se que os coeficientes de rigidez apresentam um comportamento similar aos coeficientes de flexibilidades no que diz respeito à simetria, isto é, 𝐾,1= 𝐾1,. Tal fato ocorre devido ao
Teorema da Reciprocidade, que será detalhado adiante. Assim, para restabelecer as condições de equilíbrio, basta equacionar na formulação matricial mostrada anteriormente e calcular os valores reais das deslocabilidades. Os efeitos finais são calculados pela sobreposição de todos os casos.
9.3. T
EOREMA DA
R
ECIPROCIDADE
No caso do Método dos Deslocamentos, a matriz de Rigidez 𝐾 , que é independente do carregamento externo, é uma matriz é simétrica. Ou seja, 𝐾,1 = 𝐾1,. Assim, seguindo o mesmo comportamento baseado
no Princípio dos Trabalhos Virtuais, o Teorema de Maxwell é enunciado da seguinte maneira:
Teorema de Maxwell: “Em uma estrutura linear elástica, a força generalizada que atua no ponto j necessária para provocar um deslocamento generalizado unitário em i é igual à força generalizada que atua no ponto i necessária para provocar um deslocamento generalizado unitário em j” (MARTHA, 2010, p. 210).
Figura 8. Teorema da Reciprocidade
Assim:
𝑀Qe= 𝑃Pg
Confira nos links a seguir alguns exemplos de soluções, pelo Método dos Deslocamentos.
http://tinyurl.com/ycde2fe9 http://tinyurl.com/y88pvs74 http://tinyurl.com/y8bbdc7h
Termina aqui nossa primeira aula desta unidade. Introduzimos conceitos que serão importantes ao longo da disciplina. Continue os estudos desta disciplina e até breve!
Aula 10 | I
NFLUÊNCIAS DA
T
EMPERATURA E DO
R
ECALQUE NAS
E
STRUTURAS
H
IPERESTÁTICAS PELO
M
ÉTODO DOS
D
ESLOCAMENTOS
Seguindo nosso percurso pelo estudo do Método dos Deslocamentos, falaremos aqui sobre as influências da temperatura e do recalque nas estruturas hiperestáticas pelo Método dos Deslocamentos. Os conceitos apreendidos aqui têm grande valia para a formação nessa área. Continue estudando!
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Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula sobre como analisar uma estruturas hiperestáticas pelo método dos deslocamentos.
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De maneira geral, em função da segurança e outros aspectos, a maioria das construções civis são hiperestáticas. Desse modo, sendo o Método dos Deslocamento uma metodologia aplicada sobretudo em estruturas em que o número de reações de apoio é maior que as equações de equilíbrio disponíveis, de modo que temperatura e o recalque resultam em fatores que tendem a influenciar o comportamento das estrutural, esta aula tem por objetivo apresentar como devem ser consideradas a atuação dos referidos efeitos.
10.1. E
FEITOS DA
T
EMPERATURA
Conforme apresentado na segunda Unidade de Interação e Aprendizagem (UIA), uma estrutura isostática, quando submetida à variação de temperatura, não sofre acréscimos ou decréscimos nos seus esforços internos, visto que esta tem o número mínimo de vínculos para que seja classificada como estável.
Como consequência, o sistema estrutural pode se ajustar a pequenas alterações de comprimento provocadas pelo aumento ou redução da temperatura (dilatação ou encurtamento) sem que sejam provocados novos valores de esforços, além da possibilidade de apresentar deslocamentos em função da referida variação.
No entanto, por apresentar vínculos excedentes, uma estrutura hiperestática apresenta resistência a se acomodar após pequenas alterações de comprimento, provocadas pela variação da temperatura, o que implica no surgimento de variações de deformações e esforços internos.
Desse modo, com base no Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV), foi analisado o efeito da temperatura em barras prismáticas sob a condição de engastamento perfeito, no sentido de terminar suas reações.
𝑈i = 𝑈j→ 𝑈i = 𝑈j → 𝐹e. 𝐷g= 𝑓e. 𝑑g
𝑈i = 𝐹e. 𝐷g → Trabalho das forças externas reais 𝐹e com os correspondentes deslocamentos (externos)
𝑈j= 𝑓e. 𝑑g→ Energia de deformação interna virtual armazenada, combinada com os esforços internos
reais 𝑓e com os correspondentes deslocamentos relativos internos 𝑑g virtuais.
Assim, a força de um sistema estrutural plano é calculado conforme a expressão mostrada a seguir: 𝑈i = 𝑈j→ 𝑃 =1∆ 𝑑𝜃𝑀 + 𝑑ℎ 𝑄 + 𝑑𝑢 𝑁
A variação da temperatura resulta em uma variação de 𝑑𝑢 𝑒 𝑑𝜃, sendo: 𝑑𝑢 = 𝑁
𝐸𝐴𝑑𝑥 + 𝑑𝑢}; 𝑑𝜃 = 𝑀
𝐸𝐼𝑑𝑥 + 𝑑𝜃}
Substituindo na expressão do PDV mostrada anteriormente e desprezando o efeito do cortante, temos: 𝑃 =1 ∆ 𝐸𝐴 𝑑𝑢 𝑑𝑥− 𝑑𝑢} 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐸𝐼 𝑑Q𝑣 𝑑𝑥Q− 𝑑𝜃} 𝑑𝑥 𝑑Q𝑣 𝑑𝑥Q𝑑𝑥 Sendo:
𝑑𝜃 → representa a rotação relativa por flexão; 𝑑𝑥 →. comprimento de um elemento infinitesimal
𝑑𝑢 → deslocamento axial relativo a um elemento infinitesimal da barra; 𝑑𝑢} → deslocamento axial relativo interno devido à variação da temperatura;
𝑑𝜃} → rotação relativa interna por flexão devido à variação da temperatura;
𝑣(𝑥) → deslocamento transversal; 𝑢(𝑥) → deslocamento axial;
𝑣(𝑥) → deslocamento transversal virtual; 𝑢(𝑥) → deslocamento axial virtual.
Assim, resolvendo a expressão e considerando a temperatura uma solicitação externa, ao ser utilizado o Método dos Deslocamentos, a consideração é feita no caso zero, isto é, no cálculo dos termos de carga, utilizando a Tabela 3 a seguir.
Tabela 3. Reações de apoio de barra prismática sob solicitação de variação de temperatura Fonte: Adaptado de Martha (2010, p. 294-298)
Sendo:
EI → parâmetro de rigidez transversal por flexão, sendo I o momento de inércia da seção transversal;
𝛼 → coeficiente de dilatação térmica do material; ℎ → altura da seção transversal de uma barra;
𝑇€ → variação de temperatura na fibra inferior de uma barra; 𝑇• → variação de temperatura na fibra superior de uma barra;
𝑇‚ƒ→ variação de temperatura na fibra do centro de gravidade de uma barra.
A partir da tabela, é possível observar três situações distintas, nas quais as reações de apoio resultam diferentes. Na primeira, só aparecem reações devido ao efeito axial, fato este explicado por uma variação uniforme da temperatura.
No segundo caso, há variação de temperatura com relação às fibras inferiores e superiores. Devido a esse comportamento, uma fibra pode apresentar maior dilatação em relação a outra, resultando, portanto, em uma possível flexão da barra. Como a barra está engastada, esta apresenta reação de momento, conforme mostrado. Já o terceiro esquema apresenta a junção dos dois efeitos.
10.2. E
FEITOS DO
R
ECALQUE
Conforme mencionado em aulas passadas, os recalques de apoio são pequenos movimentos que as funções podem apresentar ao longo de sua vida útil que, em geral, são associadas a solicitações acidentais. Pelos mesmos motivos apresentados no caso da temperatura, se uma estrutura isostática
apresenta movimentos pequenos em relação às suas dimensões, esta não apresenta variações de esforços internos.
Desse modo, admite-se que, se um apoio estrutural se movimenta, a estrutura isostática perde um vínculo, transformando-se em um mecanismo (uma cadeia cinemática). Assim, a estrutura se acomoda como um corpo rígido (sem deformações) para a nova posição do apoio. Portanto, recalques de apoio provocam deslocamentos em uma estrutura isostática sem que ocorram deformações ou esforços (MARTHA, 2010, p. 200).
No caso do Método dos Deslocamentos, a consideração desse efeito é tratada como uma solicitação externa e, portanto, deve ser calculado no caso 0, isto é, o sistema hipergeométrico (SH) submetido ao carregamento externo. Também com base no PDV, a formulação do recalque no MD é baseada no PDV:
𝑁 = 𝐸𝐴𝑑𝑢 𝑑𝑥; 𝑀 = 𝐸𝐼𝑑Q𝑣
𝑑𝑥Q
Substituindo na expressão do PDV mostrada anteriormente e desprezando o efeito do cortante, temos: 𝑃 = 1 ∆ 𝐸𝐴 𝑑𝑢 𝑑𝑥. 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐸𝐼 𝑑Q𝑣 𝑑𝑥Q. 𝑑Q𝑣 𝑑𝑥Q𝑑𝑥
Para fins de aplicação junto ao Método dos Deslocamentos, como a estrutura sofrerá uma deformação em função do recalque, observa-se a deformada e a associa com uma das configurações mostradas na Tabela 2, de modo que as reações dos apoios fictícios devido ao referido efeito são obtidas pelos coeficientes mostrados para a barra.
Assim, para se calcular os momentos de engastamento perfeito numa determinada barra devido a um recalque, procede-se de maneira análoga de quando se tem a imposição de um deslocamento linear em um dos nós da estrutura e executam-se os seguintes passos:
1. Para cada barra deve-se calcular o deslocamento ortogonal recíproco ρ causado pelo recalque imposto.
2. Com o valor de ρ na barra, calculamos os momentos de engastamento perfeito devido à imposição de ρ no nó.
Com base no exposto nesta e na aula passada, podemos dizer que o Método dos Deslocamentos segue os seguintes passos:
• Adição de apoios fictícios em todos os nós que apresentem possíveis deslocamentos.
• Associação das respectivas deslocabilidades de cada apoio adicionado.
• Determinação das configurações deformadas conhecidas e cálculo das reações dos apoios fictícios, devido ao carregamento externo (cargas, variação da temperatura e recalque). Em outras palavras, determinação dos Termos de Cargas.
• Aplicação da deslocabilidade isolada de cada apoio e, por meio da determinação das configurações deformadas conhecidas (baseada na solução de engastamento perfeito), calculam-se os coeficientes de rigidez.
• Reestabelecimento das condições de equilíbrio por meio das equações finais.
• Determinação dos efeitos que se deseja determinar.
Observação: As deslocabilidades devem seguir a convecção mostrada na Tabela 4.
Tabela 4. Convenções para deslocabilidades Fonte: Martha (2010, p. 308)
Veja a seguir um slide explicando o método dos deslocamentos em situações com temperatura e recalque de apoio e um vídeo com explicação das tabelas a serem utilizadas pelo método. Acesse os links a seguir e saiba mais.
http://tinyurl.com/ydyhlyyp http://tinyurl.com/yd8z9nhn
Estamos na metade do caminho para adquirir as competências e habilidades proporcionadas por esta Unidade de Interação e Aprendizagem (UIA). Ficou com alguma dúvida? Retorne ao conteúdo ou busque esclarecimentos no Fórum de Dúvidas. Senão, passe para a aula seguinte. Até lá!
Aula 11 | R
ESTRIÇÕES NAS
D
EFORMAÇÕES
Conforme visto, o Método dos Deslocamentos pode ser considerado uma metodologia simples quando comparado com o Método das Forças devido a dois principais aspectos:
1. A estrutura auxiliar do Método dos Deslocamentos é um modelo cinematicamente determinado, ou seja, tem todos os seus deslocamentos nodais determinados, como visto no sistema hipergeométrico. Tal fato resulta na existência de apenas um sistema válido.
No Método das Forças, a única restrição necessária para a estrutura auxiliar (Sistema Principal) utilizada pela metodologia é que ela seja isostática, sendo obtida pela eliminação de vínculos, permitindo várias opções de escolha.
2. O outro fator é que os termos de carga e os coeficientes de rigidez podem ser obtidos com o auxílio de tabelas, cuja maior dificuldade é soma direta dos coeficientes locais de barras.
No Método das Forças, os coeficientes que desempenham as mesmas funções destes (termos de cargas e coeficientes de flexibilidade) são obtidos pelas combinações de diagramas de momentos fletores dos casos básicos.
Porém, se o Método do Deslocamentos for utilizado da maneira apresentada anteriormente, resulta em uma análise muito longa, a depender do número de nós livres, uma vez que existirão muitas incógnitas (deslocabilidades). Para simplificar essa característica, existem algumas simplificações válidas no sentido de reduzir o número de deslocabilidades, sobretudo para resoluções manuais.
Entre as simplificações principais, estão:
• consideração de barras inextensíveis;
• consideração de barras infinitamente rígidas;
• simplificação para articulações completas;
• eliminação de trechos em balanço.
É importante ressaltar que, segundo Sussekind (1977, p. 5), as deslocabilidades podem ser tratadas como internas e externas. No primeiro caso, é feita a referência às deslocabilidades do tipo de rotação. Já a segunda opção diz respeito às deslocabilidades de translação.
11.1. B
ARRAS
I
NEXTENSÍVEIS
A hipótese de barras inextensíveis é uma simplificação adotada, sobretudo, para resoluções manuais. Está fundamentada na hipótese de pequenos deslocamentos, conforme visto anteriormente na UIA 1. Além disso, nos casos de estruturas aporticadas, o efeito axial é muito menor em relação às deformações transversais do que o efeito de flexão. Essa simplificação resulta em uma grande redução no número de deslocabilidades de translação da estrutura em estudo.
Figura 9. Consideração de barras inextensíveis
Sob a consideração de barras inextensíveis, segundo Martha (2010, p. 334), “os dois nós extremos de uma barra só podem se deslocar relativamente na direção transversal do eixo da barra”, conforme representado na figura anterior. Em outras palavras, “a distância, na direção do eixo indeformado, entre os dois nós extremos de uma barra, não se altera quando esta se deforma transversalmente por flexão”. Assim, analisando a configuração deformada da estrutura que estava sendo estudada, os nós superiores que tinham três deslocabilidades possíveis em cada nó livre (nós superiores), passam a ter quatro, duas em cada nó, como apresentado na figura a seguir.
Nesse caso, os nós não têm deslocamentos verticais. Portanto, D2 = 0 e D5 = 0, isto é, duas deslocabilidades do tipo translação são eliminadas. Além disso, os nós superiores têm deslocamentos horizontais iguais, assim D4 = D1. Isso elimina mais uma deslocabilidade do tipo translação, pois o mesmo parâmetro de deslocabilidade horizontal está associado aos dois nós superiores. Logo, o número de passa de seis para três, sendo duas de rotação e uma de translação.
Figura 10. Redução de deslocabilidades Fonte: Adaptado de Martha (2010, p. 334)
Para impedir deslocabilidades externas de um pórtico plano com barras inextensíveis, são definidas duas regras para a adição de apoios fictícios no sistema hipergeométrico (SH) (MARTHA, 2010, p. 342):
• Um nó que estiver ligado a dois nós fixos à translação por duas barras inextensíveis não alinhadas (formando um triângulo) também fica fixo à translação. Portanto, não é necessário adicionar um
apoio fictício a esse nó. Caso o nó só esteja ligado a um nó fixo por uma barra, ou a dois nós fixos por duas barras alinhadas, deve-se adicionar um apoio para impedir o deslocamento na direção transversal ao eixo dessa(s) barra(s).
• Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas em uma triangulação se comporta como um corpo rígido para translações. Portanto, deve-se procurar adicionar apoios para impedir o movimento de corpo rígido do conjunto.
Desse modo, ao utilizar esse tipo de hipótese na tabela referente aos coeficientes de rigidez, a barra com o coeficiente devido ao esforço axial passa a ser desconsiderada.
11.2. B
ARRAS
I
NFINITAMENTE
R
ÍGIDAS
A hipótese de barras infinitamente rígidas busca reduzir o número de deslocabilidades sob a consideração que tais barras não apresentam nenhuma deformação.
Essa consideração só faz sentido para um caso especial de análise simplificada do comportamento global do pórtico, de modo que não pode ser utilizada em todas as barras.
Para entender essa simplificação, considere o pórtico que estamos estudando, sendo as barras verticais inextensíveis e a barra horizontal infinitamente rígida, como mostra a Figura 11, na qual a linha azul representa a deformada da estrutura.
Figura 11. Pórtico com barra infinitamente rígida
Pela deformação apresentada, observa-se que apenas uma deslocabilidade é possível, o deslocamento no eixo X. Tal fato pode ser explicado, pois, sendo a barra superior infinitamente rígida, esta não permite a rotação da demais. Assim, para esse caso, o número de deslocabilidades seria reduzido para um, e o sistema hipergeométrico (SH) passaria a ser apresentado conforme a figura seguinte, com apenas a adição de um apoio fictício no eixo X.
Figura 12. Pórtico com barra infinitamente rígida e sistema hipergeométrico
11.3. S
ISTEMAS COM
A
RTICULAÇÕES
C
OMPLETAS
Em sistemas com articulações completas, isto é, com a presença de rótulas, desconsidera-se a deslocabilidade interna de um nó completamente articulado, desde que todas as barras que chegam no nó tenham as seções adjacentes articuladas, como mostra os esquemas a seguir.
A Figura 13 mostra um exemplo em que somente uma barra é articulada em um nó e um exemplo correspondente onde todas as barras são articuladas nesse nó. Os sistemas hipergeométricos (SHs) dos dois casos estão também indicados. No primeiro caso, Figura 13(a), a deslocabilidade interna do nó com articulação tem que ser considerada, uma vez que só uma barra apresenta articulação. No segundo caso, essa deslocabilidade pode ser eliminada, pois a articulação é completa, isto é, as duas barras estão concorrentes na rótula, conforme Figura 13(b).
Figura 13. (a) Estrutura em que não se pode desconsiderar a rotação do nó da articulação; (b) Estrutura em que a simplificação pode ser feita Fonte: Martha (2010, p. 353)
Outra situação conveniente a ser verificada é o caso de um apoio simples do segundo gênero, cujas translações são restritas, de modo que apenas a rotação é liberada. Nesse caso, o mecanismo de
simplificação se baseia na interpretação da liberação da rotação como uma articulação da barra, considerando o apoio como um engaste. Dessa forma, elimina-se a deslocabilidade interna do nó do apoio.
A fim de facilitar a utilização desse tipo de simplificação, são orientadas regras para determinação de deslocabilidades internas, entre as quais estão, segundo Martha (2010, p. 353):
1. Um nó com engaste não tem deslocabilidade interna.
2. A rotação de um nó com articulação completa não é considerada deslocabilidade interna.
3. Um nó com apoio do segundo gênero, no qual só converge uma barra, é considerado engastado, sendo que a articulação é considerada na extremidade correspondente da barra. Portanto, é necessário adicionar o apoio que restringe rotação, isto é, a chapa no nó.
4. Com exceção de barras adjacentes à barra infinitamente rígida, em qualquer outra situação, o nó tem deslocabilidade interna, sendo necessário acrescentar a chapa.
11.4. E
LIMINAÇÃO DE
B
ALANÇOS
Sabendo que o balanço é uma barra com extremidade livre e, portanto, pode ter seus esforços internos determinados isostaticamente, esse tipo de simplificação é tratado como um mecanismo de cálculo de modo que estrutura é dividida em duas partes principais, independente da dimensão, desde que a divisão faça sentido físico: o trecho em balanço e o restante.
O balanço é calculado como uma estrutura isostática engastada no ponto de encontro com o restante do pórtico. O pórtico, sem o balanço, é calculado para uma força e um momento obtidos pelo transporte da força que atua no balanço para o ponto de contato, conforme figura a seguir.
Figura 14. Simplificação por balanço Fonte: Martha (2010, p. 333)
De maneira geral, observa-se que a utilização dessas hipóteses, sobretudo a de barras inextensíveis e infinitamente rígidas, pode apresentam variações nos resultados da solução de um pórtico, quando comparados com a solução sem essas simplificações. Assim, as restrições nas deformações de barras devem ser consideradas e utilizadas especificamente com objetivo uma análise simplificada, geralmente relacionada à resolução manual de um modelo estrutural.
Confira a seguir um roteiro de cálculos com barras inextensíveis e infinitamente rígidas e um formulário de método dos deslocamentos. Acesse os links.
http://tinyurl.com/yccwgzvm http://tinyurl.com/ybqollau
E aí, muito conteúdo? Estamos ficando cada vez mais especialistas no assunto, com isso, cresce a quantidade e a qualidade daquilo que aprendemos ao longo da disciplina. Continue os estudos desta disciplina e até breve!
Aula 12 | A
PLICAÇÃO DO
M
ÉTODO DOS
D
ESLOCAMENTOS EM
P
ROGRAMAS
C
OMPUTACIONAIS
Finalizando o ciclo de aulas desta Unidade de Interação e Aprendizagem (UIA), falaremos sobre como trabalhar o método em estudo em programas de computador. Essa noção é essencial para o estudioso(a) da área. Boa aula!
12.1. F
TOOL
–
V
ERSÃO
E
DUCACIONAL
Conforme visto, o Método dos Deslocamentos é uma metodologia para resolver estruturas hiperestáticas e, dependendo do caso, pode se tornar uma tarefa longa e difícil para se resolver. Nesse sentido, utilizar ferramentas computacionais para auxiliar o trabalho é de grande importância para o estudante da disciplina de Análise de Estruturas.
Hoje existem muitas ferramentas com o mesmo objetivo, tanto em plataformas para dispositivos móveis como para computadores. No contexto dos softwares para análise estrutural, entre tantos existentes, podem-se citar no meio acadêmicos os seguintes:
• Ftool;
• ANSYS;
• SAP;
• ABAQUS.
Veja a seguir os sites dos exemplos anteriores citados. Acesse os links. http://tinyurl.com/y8tse2p5
http://tinyurl.com/2t6h6g http://tinyurl.com/ycy6hx29 http://tinyurl.com/ycvtq67x
De maneira geral, são softwares pagos, no entanto, apresentam versões destinadas à academia. Desse modo, na condição de estudante, você pode utilizá-los como auxiliadores no aprendizado.
De maneira geral, o Método dos Deslocamento é o mais utilizado nos processamentos internos dos softwares de análise estrutural, inclusive no Ftool. No entanto, a forma de desenvolvê-lo computacionalmente será apresentada na próxima UIA, sob um aspecto de análise matricial. Aqui, o interesse é de apresentar como utilizar o Ftool (por exemplo) para auxiliar na resolução manual dos problemas proposto.
Como uma interface principal já foi apresentada em aulas anteriores, aqui serão mostradas as funções necessárias para acompanhar a análise de uma estrutura por meio do Método dos Deslocamentos. A figura seguinte apresenta as principais funcionalidades do Ftool, sobretudo para a utilização do MD.
Figura 15. Interface Ftool para MD
Como visto, a opções fornecidas permitem criar os mais diversos sistemas estruturais. Para entender como essa ferramenta estará auxiliando, será desenvolvida uma questão do Método dos Deslocamentos por meio do Ftool.
Assim, considerando o pórtico mostrado na figura seguinte, determine o seu diagrama de momento fletor, considerando uma barra infinitamente rígida e as outras inextensíveis.
Devido às considerações feitas e com base na deformada, fica evidente a existência de uma deslocabilidade. Desse modo, adicionando um apoio fictício horizontal, o sistema hipergeométrico (SH) com sua respectiva deslocabilidade associada, fica da seguinte forma:
Figura 17. Pórtico em análise – sistema hipergeométrico (SH)
Como só existe uma deslocabilidade, existem dois casos básicos, um referente ao carregamento externo (caso 0) e outro à imposição da deslocabilidade unitária no sentido do vínculo adicionado (caso 1).
Caso (0):
Caso (1):
Figura 19. Pórtico em análise: caso 1
Restabelecendo as condições de equilíbrio:
𝛽P-+ 𝐾PP𝐷P = 0 → 𝐷P = 27 24𝐸𝐼
No Ftool, é possível obter o diagrama final de momento fletor direto, sendo um auxílio para o estudante, no entanto, o cálculo do D1 deve ser feito à parte e, depois, passa-se para a fase da superposição dos casos.
O efeito desejado é calculando sobrepondo os resultados com os valores reais das deslocabilidades. Assim, para o caso, o diagrama de momento fletor será dado conforme expressão a seguir:
Figura 20. Pórtico em análise – diagrama final de momento fletor
Assista os vídeos a seguir sobre o método dos deslocamentos e exemplos de estruturas analisadas no Ftool. Acesse os links.
http://tinyurl.com/ycbhksym http://tinyurl.com/y7g5pgxa
Termina aqui nossa Unidade de Interação e Aprendizagem (UIA). Ficou com alguma dúvida? Retorne ao conteúdo ou busque esclarecimentos no Fórum de Dúvidas. Senão, passe para a unidade seguinte. Até lá.
Você terminou o estudo desta unidade. Chegou o momento de verificar sua aprendizagem. Ficou com alguma dúvida? Retome a leitura.
Quando se sentir preparado, acesse a Verificação de Aprendizagem da unidade no menu lateral das aulas ou na sala de aula da disciplina. Fique atento, essas questões valem nota! Você terá uma única tentativa antes de receber o feedback das suas respostas, com comentários das questões que você acertou e errou.
R
EFERÊNCIAS
MARTHA, L. F. Análise de Estruturas. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise estrutural – Volume 3: Método das Deformações e Processo de Cross. Porto Alegre: Globo, 1977.
G
LOSSÁRIO
Deslocabilidade: Componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres em um nó da estrutura, na direção dos eixos globais.
Sistema Hipergeométrico: Modelo estrutural utilizado nos casos básicos de uma estrutura cinematicamente determinada, obtida pela adição de vínculos.
Termo de Carga: Forças ou momentos que aparecem como reações dos apoios fictícios adicionados no sistema hipergeométrico, submetido ao carregamento externo.
Coeficiente de Rigidez: Forças ou momentos que devem atuar na direção da deslocabilidade para manter a estrutura (SH) em equilíbrio quando é imposta uma configuração deformada unitária e demais deslocabilidades são nulas.
