Thesis Byron Oviedo

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Byron Abrahan Jim´

enez Oviedo

Processo de exclus˜

ao simples sim´

etrico em

contato com reservat´

orios

Disserta¸c˜ao de Mestrado

Disserta¸cão apresentada como requisito parcial para obten¸cão do grau de Mestre pelo Programa de Pós–gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática da PUC–Rio

Orientadora: Prof. Ana Patr´ıcia Carvalho Gon¸calves

Rio de Janeiro Novembro de 2014 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

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Byron Abrahan Jim´

enez Oviedo

Processo de exclus˜

ao simples sim´

etrico em

contato com reservat´

orios

Disserta¸cão apresentada como requisito parcial para obten¸cão do grau de Mestre pelo Programa de Pós–gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática do Centro Técnico Cient´ıfico da PUC–Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assi-nada.

Prof. Ana Patr´ıcia Carvalho Gon¸calves Orientadora Departamento de Matem´atica — PUC–Rio

Prof. Marielle Odette Christine Simon Departamento de Matem´atica-PUC–Rio

Prof. Adriana Neumann de Oliveira UFGRS

Prof. Freddy Rolando Hernandez Romero UFF

Prof. Milton David Jara Valenzuela IMPA

Prof. Jos´e Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro T´ecnico Cient´ıfico — PUC–Rio

Rio de Janeiro, 14 de Novembro de 2014

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

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Byron Abrahan Jiménez Oviedo Graduou–se em Ensino da Matemática na Universidad Na-cional de Costa Rica (Heredia, Costa Rica). Depois de cur-sar disciplinas de Matemática pura na Universidad de Costa Rica e de trabalhar como professor na Universidad Nacional de Costa Rica, decidiu vir ao Brasil para poder fazer estudos de pós-gradua¸cão na PUC.

Ficha Catalogr´afica

Jim´enez, Byron

Processo de exclusão simples simétrico em contato com reservatórios / Byron Abrahan Jiménez Oviedo; orientadora: Ana Patr´ıcia Carvalho Gon¸calves. — Rio de Janeiro : PUC– Rio, Departamento de Matemática, 2014.

v., 80 f: il. ; 29,7 cm

1. Disserta¸cão (mestrado) - Pontif´ıcia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Matemática.

Inclui referˆencias bibliogr´aicas.

1. Matemática – Tese. 2. Cadeias de Markov. 3. Processo de exclusão simples simétrico . 4. Equa¸cão do Calor. 5. Limite Hidrodinâmico. 6. Flutua¸cões. I. Carvalho Gon¸calves, Ana Patr´ıcia. II. Pontif´ıcia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática. III. T´ıtulo.

CDD: 510 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

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Agradecimentos

Aos meus pais, e aos pais da minha esposa, porque eles sempre deram apoio incondicional.

Ao professor Frederico Palmeira e a sua fam´ılia, por nos fazer parte deles. `

A minha orientadora Professora Patr´ıcia Gon¸calves por acreditar em mim, pelo apoio, simpatia e entusiasmo de sempre.

`

A Creuza por ter feito um excelente trabalho, e estar sempre atenta para ajudar.

`

A Unversidad Nacional de Costa Rica, em especial a escola de matem´atica pelo apoio.

Ao CNPq o apoio financeiro.

E sobretudo à minha esposa Katalina, por seu amor incondicional, por apoiar-me nos moapoiar-mentos de desânimo, por sempre acreditar em mim, pela sua paciência, por seu sorriso de cada dia que motiva a minha existência.

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Resumo

Jiménez, Byron; Carvalho Gon¸calves, Ana Patr´ıcia. Processo de exclusão simples simétrico em contato com reservatórios. Rio de Janeiro, 2014. 80p. Disserta¸cão de Mestrado — Departa-mento de Matemática, Pontif´ıcia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Nesta disserta¸cão de mestrado é demonstrado o limite hidrodinâmico do processo de exclusão simples simétrico em contato com reservatórios que se denota por {ηt}t≥0. A dinâmica que apresenta este processo, consiste

em part´ıculas realizando passeios aleatórios a tempo cont´ınuo no espa¸co {1, ..., N − 1}, onde duas part´ıculas nunca ocupam o mesmo s´ıtio simulta-neamente. Além disso, na borda esquerda as part´ıculas são criadas com taxa α e destru´ıdas com taxa 1 − α, e na borda direita, são criadas com taxa β e destru´ıdas com taxa 1 − β. O teorema principal, é o Teorema 5.0.10, que diz, que para cada t ≥ 0, para cada fun¸cão G de classe C2 _{no intervalo [0, 1]}

com G(0) = 0 = G(1), para cada δ > 0, se η0 tem distribui¸c˜ao µN associada

a um perfil ρ0 : [0, 1] → [0, 1], ent˜ao lim N →∞Pµ N η_.N : 1 N N −1 X x=1 G x N ηtN2(x) − Z [0,1] G(u)ρ(t, u)du > δ ! = 0,

onde PµN ´e a medida induzida pelo processo de Markov partindo de µN e

ρ(t, u) é a única solu¸cão fraca da equa¸cão do calor com condi¸cões de Dirichlet dada por      ∂tρ(t, x) = ∆ρ(t, x) para x ∈ [0, 1], t > 0 ρ(0, x) = ρ0(x) para x ∈ [0, 1] ρ(t, 0) = α, ρ(t, 1) = β para t ∈ [0, ∞) .

A tese termina com o estudo das flutua¸c˜oes fora do equil´ıbrio desse processo.

Palavras–chave

Cadeias de Markov; Processo de exclusão simples simétrico; Equa¸cão do Calor; Limite Hidrodinâmico; Flutua¸cões.

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Abstract

Jiménez, Byron; Carvalho Gon¸calves, Ana Patr´ıcia(Advisor). The symmetric simple exclusion process with reservoirs. Rio de Janeiro, 2014. 80p. MsC Thesis — Department of Matemática, Pontif´ıcia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

In this dissertation we prove the hydrodynamic limit of the symmetric simple exclusion process with contact reservoirs, which is denoted by {ηt}t≥0. The dynamic of this process consists in particles performing

conti-nuous time random walks on the space {1, ..., N − 1}, where two particles never occupy the same site simultaneously. At the left boundary, particles are created with rate α and annihilated with rate 1 − α. On the right boun-dary, this is done with rates β and 1 − β, respectively. The main theorem is Theorem 5.0.10, that says, that for every t ≥ 0, every function G of class C2[0, 1] with G(0) = 0 = G(1), for each δ > 0, if η0 has distribution µN

associated to a profile ρ0 : [0, 1] → [0, 1], then

lim N →∞Pµ N η_.N : 1 N N −1 X x=1 Gx N ηtN2(x) − Z [0,1] G(u)ρ(t, u)du > δ ! = 0,

where PµN is the measure induced by the Markov process starting from

µN and ρ(t, u) is the unique solution of the heat equation with Dirichlet’s boundary conditions, given by

     ∂tρ(t, x) = ∆ρ(t, x) para x ∈ [0, 1], t > 0 ρ(0, x) = ρ0(x) para x ∈ [0, 1] ρ(t, 0) = α, ρ(t, 1) = β para t ∈ [0, ∞) .

The thesis ends with the study of nonequilibrium fluctuations for this process.

Keywords

Markov Chain; Symmetric Simple Exclusion Process; Heat Equation; Hydrodynamic Limit; Fluctuations.

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Resumen

Jiménez, Byron; Carvalho Gon¸calves, Ana Patr´ıcia(Orientadora). Proceso de exclusión simple simétrico en contacto con resevatorios. Rio de Janeiro, 2014. 80p. Tesis de Maestr´ıa — Departmento de Matemática, Pontif´ıcia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

En esta tesis vamos a probar el l´ımite hidrodinámico del proceso de exclusión simple simétrico en contacto con reservatorio, que denotamos por {ηt}t≥0.

La dinámica de este proceso consiste en part´ıculas que realizan un paseo aleatorio en tiempo discreto en el espacio discreto {1, ..., N − 1}, donde dos part´ıculas nunca ocupan el mismo sitio simultáneamente. Además, en la frontera izquierda, las part´ıculas son creadas con tasa α y destruidas con tasa 1 − α. En la frontera derecha, son creadas con tasa β y destruidas con tasa 1−β. El teorema principal es el Teorema 5.0.10, que dice que para cada t ≥ 0, cada función G de clase C2_{[0, 1] con G(0) = 0 = G(1) y para cada}

δ > 0, si η0 tiene distribuci´on µN asociada a un perfil ρ0 : [0, 1] → [0, 1],

entonces lim N →∞Pµ N η_.N : 1 N N −1 X x=1 Gx N ηtN2(x) − Z [0,1] G(u)ρ(t, u)du > δ ! = 0,

donde PµN es una medida inducida por el proceso de Markov empezando

de µN y ρ(t, u) es la única solución de la ecuación de calor con condiciones de frontera de Dirichlet, dada por

     ∂tρ(t, x) = ∆ρ(t, x) para x ∈ [0, 1], t > 0 ρ(0, x) = ρ0(x) para x ∈ [0, 1] ρ(t, 0) = α, ρ(t, 1) = β para t ∈ [0, ∞) .

La tesis termina con el estudio de las fluctuaciones fuera del equilibrio del proceso.

Palabras Clave

Cadenas de Markov; Proceso de exclusión simple simétrico; Ecuación de Calor; L´ımite Hidrodinámico; Fluctuaciones.

(8)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 9

2 Processos de Markov 11

2.1 Cadeias de Markov a tempo discreto 11

2.2 Cadeias de Markov a tempo cont´ınuo 13

2.3 Processo de Markov geral 16

2.4 Semigrupos e geradores 18

2.5 Medida de Probabilidade Invariante 19

3 Apresenta¸cão do processo e resultados preliminares 21 3.1 Processo de Exclusão Simples Simétrico em contato com reservatórios 21

3.2 Nota¸c˜oes e ferramentas 24

3.3 Medidas Invariantes 26

3.4 Do microsc´opico para o macrosc´opico 29

3.5 Dedu¸c˜oes das EDP’s discretas 30

4 A equa¸c˜ao do calor 35

4.1 Equa¸c˜ao do calor 35

4.2 Motiva¸cão e defini¸cão da solu¸cão fraca 36

4.3 Equa¸c˜ao semi-discreta do calor 37

5 Limite Hidrodinˆamico 48

5.1 Rigidez 51

5.2 Medidas absolutamente cont´ınuas 55

5.3 Caracteriza¸c˜ao dos pontos limites 56

6 Flutua¸c˜oes 61

6.1 Espa¸co 61

6.2 Rigidez 62

6.3 Flutua¸c˜oes fora do equil´ıbrio 68

Referˆencias Bibliogr´aficas 72

A Martingais e processos de Markov 74

B O Teorema de Portmanteau 75 C Topologia e Compacidade 76 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

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1 Introdu¸

c˜

ao

A mecânica clássica diz que a evolu¸cão de um certo sistema pode ser descrita pela posi¸cão e velocidade de cada part´ıcula em cada instante, a partir das condi¸cões iniciais. Mas, se o sistema em que estamos trabalhando tem uma quantidade muito grande de part´ıculas, a utiliza¸cão da proposta anterior pode ser muito complexa, por exemplo, por cada mol de gás, temos uma quantidade de part´ıculas da ordem maior que 1023_{, que ´}_{e um n´}_{umero muito grande. Assim,}

resolver um sistema de equa¸cões em espa¸cos com estas dimensões, torna-se dif´ıcil, pois este problema, claramente, excede as capacidades computacionais que estão atualmente dispon´ıveis.

A mecânica estat´ıstica, separa o campo de estudo no espa¸co macroscópico e no estado microscópico. Assim, podemos estudar parâmetros no sistema macroscópico como pressão, temperatura, volume, velocidade média e outros, que em certas ocasiões, se espera que a sua evolu¸cão temporal seja dada pela solu¸cão de uma equa¸cão diferencial parcial, que chamamos de equa¸cão hidrodinâmica.

No caso microscópico, a mecânica estat´ıstica simplifica o estudo do sistema supondo que o movimento das part´ıculas é aleatório, isto é, cada part´ıcula faz um passeio aleatório com certas restri¸cões.

Assim, assumindo este comportamento aleatório das part´ıculas esperamos obter a equa¸cão hidrodinâmica para os parâmetros macroscópicos, dependendo da dinâmica microscópica aleatória subjacente. Então, é surpreendente que a partir de um processo aleatório podemos obter um processo determin´ıstico. Este é o chamado limite hidrodinâmico para o sistema f´ısico em questão. Agora, vamos fazer uma descri¸cão informal do processo estocástico com que vamos trabalhar. Imaginemos que temos N + 1 s´ıtios, nomeadamente 1, 2, . . . , N − 1, e temos no máximo uma part´ıcula por s´ıtio. Nos s´ıtios 0 e N vamos supor que temos infinitas part´ıculas, e por esse motivo, vamos dizer que esses s´ıtios são como reservatórios de part´ıculas acoplados ao sistema. Vamos chamar aos s´ıtios 1, 2, · · · , N − 1 os s´ıtios do interior e a 0 e N os s´ıtios da fronteira. Agora, nos s´ıtios do interior, cada part´ıcula executa um passeio aleatório simétrico a tempo cont´ınuo, restrito à regra de que se uma part´ıcula quer pular, com probabilidade 1/2, para um s´ıtio do interior previamente ocupado por outra part´ıcula, então o salto é suprimido. Esta propriedade se chama de regra de exclusão. Na fronteira a dinâmica é a seguinte. As part´ıculas podem entrar no s´ıtio 1 com taxa α e sair para a fronteira no s´ıtio 0 com taxa

(10)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 10

1 − α, analogamente, no s´ıtio N − 1 as part´ıculas podem entrar com taxa β e sair para a fronteira no s´ıtio N com taxa 1 − β. A este processo vamos chamar processo de exclusão simples simétrico em contato com reservatórios. Além disso, em cada s´ıtio da malha existe um relógio com lei exponencial de parâmetro 1. Se um relógio num s´ıtio da malha toca, a part´ıcula neste s´ıtio salta com a dinâmica anteriormente estabelecida. Os relógios exponencias fazem com que o processo tenha perda de memória, assim temos uma cadeia de Markov a tempo cont´ınuo com espa¸co de estados discreto.

Agora, fazemos uma identifica¸cão do espa¸co discreto {0, 1, 2, . . . , N − 1, N } (espa¸co microscópico) com o espa¸co cont´ınuo [0, 1] (espa¸co macroscópico) pela aplica¸cão que leva x em _Nx. Então vamos dizer que os saltos se realizam sobre os s´ıtios {0,_N1, . . . ,N −1_N , 1}. Queremos mostrar que quando N → ∞, a densidade de part´ıculas em [0, 1] se comporta como a solu¸cão de uma equa¸cão diferencial parcial, a esta caracter´ıstica vamos chamar limite hidrodinâmico. Aqui precisamos fazer uma mudan¸ca de escala temporal, para tal vamos acelerar o tempo por um fator de N2. Esta mudan¸ca na escala de tempo é importante para conseguirmos a convergência das densidades.

Neste trabalho, queremos fazer os detalhes da demonstra¸cão do teorema de limite hidrodinâmico para o processo de exclusão simples simétrico em contato com reservatórios.

No primeiro cap´ıtulo, vamos tratar alguns resultados de cadeias de Markov, e teoria de semigrupos, que nos dar´a uma base para o estudo dos seguintes cap´ıtulos.

No segundo cap´ıtulo, introduzimos o processo de exclusão simples simétrico em contato com reservatórios. Também, vamos apresentar as nota¸cões que vamos utilizar no trabalho. Além disso, vamos deduzir algumas equa¸cões diferenciais parciais discretas associadas ao processo que vamos estudar.

No terceiro cap´ıtulo, vamos fazer um estudo da equa¸cão do calor. Definimos formalmente a no¸cão de solu¸cão fraca de uma equa¸cão do calor com condi¸cões de Dirichlet e estudamos a equa¸cão semi-discreta do calor.

No quarto cap´ıtulo, vamos demonstrar o limite hidrodinâmico. Para fazer esta demonstra¸cão consideramos três partes: rigidez, medidas absolutamente cont´ınuas e a caracteriza¸cão dos pontos limite. O limite hidrodinâmico é uma Lei dos Grandes Números para uma medida que dá peso _N1 a cada s´ıtio que está ocupado por uma part´ıcula. Esta medida é chamada medida emp´ırica. No último cap´ıtulo vamos estudar as flutua¸cões fora do equil´ıbrio. Neste cap´ıtulo vamos a estabelecer o teorema do Limite Central para a medida emp´ırica, para isto vamos definir o campo de flutua¸cões, que é uma distribui¸cão aleatória em [0, 1]. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

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2 Processos de Markov

Para preparar o leitor, discutiremos aqui a constru¸c˜ao de cadeias e processos de Markov em espa¸cos de estados discretos, primeiro a tempo discreto e depois a tempo cont´ınuo. Assim, poderemos finalmente fazer uma defini¸c˜ao geral de processo de Markov como uma fam´ılia de probabilidades.

2.1

Cadeias de Markov a tempo discreto

Quando falamos de um processo estocástico no sentido mais geral, temos uma fam´ılia de variáveis aleatórias (v.a.’s) {Xj}j∈J (onde J é um conjunto de

´ındices), definidas num espa¸co de probabilidade (Ω, F , P ). Se o processo evolui no tempo, dizemos que o processo ´_{e discreto no caso em que J ⊆ N ou cont´ınuo} se J ⊆ [0, +∞), embora, podem ser considerados conjuntos mais gerais. Agora, seja S um conjunto finito ou enumerável, que chamamos espa¸co de estados do processo e que definimos como os poss´ıveis valores que podem tomar as v.a.’s {Xj}j∈J. Também, definimos uma matriz estocástica (p(x, y))(x,y)∈S2 como uma

matriz de n´umeros n˜ao negativos, tais que, X

y∈S

p(x, y) = 1, ∀x ∈ S.

Claramente, se S é um conjunto finito então a matriz é finita. Suponhamos que {Xn}n≥0 são v.a.’s definidas no espa¸co de probabilidade (Ω, F , P ). Então,

{Xn}n≥0 ´e uma cadeia de Markov com probabilidade de transi¸c˜ao pn(x, y) se,

para cada n ≥ 0 e qualquer escolha de x0, x1, · · · , xn−1, x, y ∈ S temos

P (ω ∈ Ω : Xn+1(ω) = y|Xn(ω) = x, · · · , X0(ω) = x0) = pn(x, y). (2.1)

A condi¸cão (2.1) diz que, dado o atual estado x, a evolu¸cão futura é total-mente independente da evolu¸cão passada, isto é, não depende da escolha de x0, x1, · · · , xn−1, esta condi¸cão é chamada de propriedade de Markov. Além

disso, se o lado direito de (2.1) não depende do tempo n, então o processo diz-se homogêneo no tempo.

Assim, dada uma cadeia de Markov {Xn}n≥0 homogˆenea no tempo e tomando

o conjunto [X0 = x0] := {ω ∈ Ω : X0(ω) = x0}1, chamamos distribui¸c˜ao inicial

do processo, a medida denotada por µ, definida por µ(x0) := P (X0 = x0) , ∀x0 ∈ S.

1_{Daqui em diante, `}_{as vezes, vamos usar esta defini¸}_c˜_{ao sem indica¸}_c˜_{ao para o leitor.}

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Cap´ıtulo 2. Processos de Markov 12

Pela equa¸c˜ao (2.1), e dada uma cadeia de Markov {Xn}n≥0 com matriz de

transi¸c˜ao (p(x, y))_(x,y)∈S2 e distribui¸c˜ao inicial µ temos que

P (X0 = x0, · · · , Xn= xn)

= P (X0 = x0, · · · , Xn−1 = xn−1) P (Xn = xn|X0 = x0, · · · , Xn−1 = xn−1) ,

pela propriedade de Markov temos que a equa¸cão acima é igual a P (X0 = x0, · · · , Xn−1 = xn−1) P (Xn= xn| Xn−1= xn−1) | {z } p(xn−1,xn) .. . = P (X0 = x0) p(x0, x1)p(x1, x2) · · · p(xn−1, xn) = µ(x0)p(x0, x1)p(x1, x2) · · · p(xn−1, xn). (2.2) Uma pergunta natural, mas não trivial de responder é: “Será que dada uma matriz estocástica p e uma probabilidade µ ∈ S, existe uma cadeia de Markov com matriz de transi¸cão p e distribui¸cão µ?”

Sem perda de generalidade, seja µ a medida de Dirac no ponto x0. Suponhamos

que queremos construir um n´umero finito m de v.a.’s (X0, X1, · · · , Xm) com a

propriedade de Markov para 0 ≤ n ≤ m − 1 e com distribui¸c˜ao inicial µ = δx0.

Seja Ω = Sm+1 o espa¸co vetorial de dimens˜ao m + 1 com valores em S, e seja F o conjunto de todos os subconjuntos de Ω, isto ´e F = P(Ω). Para cada ω = (s0, · · · , sm) ∈ Ω definimos

Px0_{(w) := δ}

x0(s0)p(s0, s1)p(s1, s2) · · · p(sm−1, sm). (2.3)

Assim, podemos definir as v.a.’s por Xj(ω) := sj com 0 ≤ j ≤ m. Ent˜ao

conseguimos definir Px0 _{sobre o espa¸co S}m+1 _{tal que as v.a.’s X}

j (proje¸c˜oes)

têm a propriedade markoviana (que resulta da constru¸cão) com matriz de transi¸cão p e estado inicial x0.

Agora, pretendemos estender a constru¸c˜ao ao processo infinito {Xn}n≥0 no

espa¸co Ω = S∞, cujos elementos s˜ao sequˆencias infinitas ω = (s0, s1, s2, · · · )

com sj ∈ S, tomando Xn(ω) = sn, isto ´e, considerando

Xn : Ω −→ S

ω = (s0, s1· · · ) 7−→ sn.

A σ-álgebra produto F em Ω é gerada pelos cilindros (eventos com um número finito de coordenadas). Com um espa¸co de estado S enumerável é suficiente

(13)

considerar conjuntos da forma

{ω = (s0, s1, s2, · · · ) : X0(ω) = s0, X1(ω) = s1, · · · , Xm(ω) = sm}.

Seja C0 a classe de tais conjuntos obtidos por deixar os vetores (s0, · · · , sm)

variarem sobre Sm+1_{. Definimos a fun¸c˜}_{ao P}x _{em C} 0 por

Px(X0 = s0, X1 = s1, · · · , Xm = sm) = δx(s0)p(s0, s1) · · · p(sm−1, sm).

Este é um primeiro passo para dar solu¸cão à nossa constru¸cão, o segundo passo é fornecido pelo Teorema de extensão de Kolgomorov, que garante que para cada x, a medida de probabilidade Px, existe no espa¸co produto infinito, de tal forma que a probabilidade de cada cilindro é igual à probabilidade dada por (2.3). Se queremos come¸car com um estado inicial X0aleatório com distribui¸cão

µ, tomamos em Ω a medida Pµ _{definida em A ∈ F por}

Pµ(A) =X

x∈S

µ(x)Px(A).

Portanto a resposta à pergunta é afirmativa, e dizemos que uma cadeia de Markov está bem determinada pela sua matriz de transi¸cão e pela sua distribui¸cão inicial.

2.2

Cadeias de Markov a tempo cont´ınuo

Vamos construir uma cadeia de Markov {Xt}t≥0 com 0 ≤ t < ∞, mas

num espa¸co de estados enumerável S. Como S é enumerável nossa cadeia tem que se mover em saltos, assim a evolu¸cão da cadeia é descrita da seguinte forma. No estado x esperamos um tempo aleatório, e saltamos aleatoriamente a um novo estado y. Depois esperamos um outro tempo aleatório e saltamos aleatoriamente a um estado z, e assim por diante. Então, temos que determinar duas coisas:

1. A distribui¸c˜ao de probabilidade dos tempos aleat´orios de espera em cada estado x ∈ S.

2. O mecanismo para escolher o próximo estado quando ocorre um salto. Notemos que a propriedade de Markov nos diz que a distribui¸cão do tempo até ao salto seguinte, só pode depender da localiza¸cão atual x e não pode depender do tempo passado.

Teorema 2.2.1. A única distribui¸cão cont´ınua com a propriedade de não ter memória é a distribui¸cão exponencial.

(14)

Demonstra¸cão. Afirmamos que a v.a. X com distribui¸cão exponencial de parâmetro λ > 0 tem perda de memória. De fato, note que, ∀s, t > 0

P (X > s + t|X > t) = P (X > s + t, X > t) P (X > t) = P (X > s + t) P (X > t) = e−λ(s+t)eλt = e−λs = P (X > s).

A igualdade anterior significa que a probabilidade de X ser maior a t + s sabendo que X é maior que t, só depende amplitude do intervalo, ou seja, essa probabilidade coincide com a probabilidade de X ser maior que s. Agora vejamos que é única. Seja X v.a. cont´ınua com perda de memória e seja F (t) = P (X > t). Então, F (t + s) = F (t)F (s), ∀t, s > 0 e isto implica que F (2) = F2_{(1) e F} 1

2

= F12(1). Em geral, se a ∈ Q temos que F (a) = Fa(1).

Assim a única fun¸cão cont´ınua que satisfaz a rela¸cão acima para a ≥ 0 com a ∈ Q, é F (a) = Fa(1) = ea ln F (1). Agora basta tomar λ = − ln(F (1)).

Voltando, a perda de memória for¸ca que o tempo de espera em x seja distribu´ıdo exponencialmente. Seja (c(x))−1 a sua média. Então, c(x) é a taxa de salto do estado x. Sempre que a cadeia está em x consideramos que o tempo de espera Tx tem distribui¸cão exponencial, ou seja, ∀t > 0 P (Tx > t) = e−c(x)t.

Quando a cadeia “salta”, a propriedade de Markov diz que a escolha do seguinte estado depende só do atual estado x. Assim os saltos são descritos pela matriz estocástica p(x, y), onde p(x, y) é a probabilidade de estar em x e saltar para y. Como p não depende do tempo a probabilidade de saltar de x a y não depende do tempo em que o salto ocorre.

Ent˜ao, isto sugere que para construir uma cadeia de Markov {Xt}t≥0 a tempo

cont´ınuo com saltos exponencialmente distribu´ıdos com parâmetros c(x) e com p(x, y) como matriz de transi¸cão, tomamos uma cadeia de Markov em tempo discreto {Yn}n≥0 com matriz de transi¸cão p(x, y) e ajustamos os tempos de

espera para produzir os tempos corretos, isto ´e, exponencialmente distribu´ıdos com m´edia (c(x))−1.

Seja x ∈ S o estado inicial e seja (Ω1, H1, P1x) o espa¸co de probabilidade no

qual est´a definida a cadeia discreta {Yn}n≥0, com matriz de transi¸c˜ao p(x, y)

e estado inicial x. Al´em disso, independentemente de {Yn}n≥0, seja {τj}j≥0

uma sequência de v.a.’s independentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d), com distribui¸cão exponencial de média 1, no espa¸co (Ω2, H2, P2) . Tomamos

(15)

(Ω, H, Px) = (Ω1⊗Ω2, H1⊗H2, P1x⊗P2). Note que os estados que a cadeia toma

em tempo cont´ınuo {Xt}t≥0, s˜ao x = Y0, Y1, · · · , isto ´e a cadeia toma os mesmos

valores de {Yn}n≥0. Definimos os tempos de espera por σn = (c(Yn))−1τn.

Claramente, {σn}n≥0n˜ao ´e independente da cadeia {Yn}n≥0, mas condicionada

`

a variável discreta Yn, temos que a variável σné independente de {σk, Yk}0≤k<n,

e além disso, tem distribui¸cão exponencial com média (c(Yn))−1.

Agora, defina T0 = 0, Tn = σ0+ σ1+ · · · + σn, para n ≥ 1. Ent˜ao

Xt= ∞

X

n=0

Yn1{[Tn,Tn+1)}(t).

Note que Xt est´a definida para todo tempo 0 ≤ t < ∞, se Tn % ∞ quando

n % ∞. De fato, isto acontece quase certamente no caso em que exista uma constante C0 < ∞, tal que c(x) ≤ C0, ∀x ∈ S, pois, ter´ıamos que (c(Yn))−1

não se anula quando n % ∞. Portanto, daqui para a frente vamos assumir este fato. A nossa constru¸cão pode ser repetida para cada estado inicial x ∈ S. Defina a probabilidade de transi¸cão por pt(x, y) = Px(Xt = y). Assim, temos

a seguinte propriedade para todos os tempos 0 ≤ t0 < t1 < t2 < · · · < tn e

estados iniciais x0, x1, x2, · · · , xn:

Px(Xt0 = x0, · · · , Xtn = xn) = pt0(x, x0)pt1−t0(x0, x1) · · · ptn−tn−1(xn−1, xn).

(2.4) A igualdade anterior, implica que {Xt}t≥0 tem a propriedade markoviana,

Px Xtn = xn|Xtn−1 = xn−1, · · · , Xt0 = x0 = ptn−tn−1(xn−1, xn).

Seja DS o espa¸co de fun¸c˜oes ξ : [0, +∞) → S tal que t 7→ ξ(t), com a

propriedade que ξ(t) = lim

s↓t ξ(s) (cont´ınua `a direita) e ξ(t −

) = lim

s↑t ξ(s) existe (o

limite à esquerda existe). Então DSé o espa¸co de fun¸cões definidas em [0, +∞)

cont´ınuas à direita e com limite à esquerda. Daqui em diante, conjuntos de fun¸cões com esta propriedade vamos chamar càdlàg (do francês “continue à droite, limite à gauche”).

Seja F a σ-´algebra em DS gerada pela proje¸c˜ao πt: DS → S tal que para todo

t ≥ 0, πt(ξ) = ξ(t). Assim, podemos pensar em X. = {Xt}0≤t<∞ como uma

v.a. tal que

X. : (Ω, H, Px) −→ (DS, F , Px)

ω 7−→ X.(ω),

com Px(A) = Px(X.∈ A) , para todo A ∈ F . Isto define uma fam´ılia de

probabilidades {Px_}

x∈S em DS. Ent˜ao, para uma v.a. Z e para x ∈ S, podemos

definir a esperan¸ca Ex[Z] = Z

DS

ZdPx. A probabilidade de transi¸c˜ao pode se

(16)

expressar por pt(x, y) = Px(Xt= y) = Px(ξ(t) = y).

Queremos expressar a propriedade de Markov numa forma mais poderosa. Para tal, seja {θt}t≥0 a aplica¸c˜ao de transla¸c˜oes no espa¸co DS, definida por

θtξ(s) = ξ(s + t). O efeito da aplica¸cão de transla¸cão θt é reiniciar o processo

no tempo t. Para um evento A ∈ F temos que a imagem inversa θ_t−1(A) = {ξ ∈ DS : θt(ξ) ∈ A}

´e o evento onde “A acontece do tempo t em diante”.

Seja Ft = σ (ξ(s) : 0 ≤ s ≤ t) a σ-´algebra natural em DS. Ent˜ao, para todos

os eventos A ∈ F e x ∈ S temos que

Px θ_t−1(A)|Ft (ξ) = Pξ(t)(A), (2.5)

para Px-quase todo ξ. O lado esquerdo da equa¸cão (2.5) é a probabilidade condicional de um evento que ocorre do tempo t em diante, condicionada ao passado até ao tempo t. Para deduzir (2.5) de (2.4), basta verificar que

Ex[1B· 1A◦ θt] = Ex[1B· Pξ(t)(A)],

primeiro para cilindros A ∈ F e B ∈ Ft, e depois estender a todos os eventos

pelo teorema π − λ (ver Apˆendice 1 de [9]). Acima Ex ´e a esperan¸ca com respeito a Px.

2.3

Processo de Markov geral

Seja S um espa¸co métrico e considere em S a σ-álgebra de Borel que denotamos por BS. Considere para cada t ∈ [0, ∞) considere as proje¸cões

πt(ω) = ω(t). Seja F a menor σ-´algebra em DS na qual todas as proje¸c˜oes πt

são mensuráveis. Para t ∈ [0, ∞), seja Ft a menor σ-álgebra em DS na qual

todas as proje¸cões πs são mensuráveis, para s ≤ t.

Defini¸cão 2.3.1. Um processo de Markov é uma cole¸cão {Px_}

x∈S de

proba-bilidades em DS tal que

1. Px_{(ω ∈ D}

S : ω(0) = x) = 1.

2. ∀A ∈ F a fun¸c˜ao x 7→ Px_{(A) ´}_{e mensur´}_{avel em S.}

3. Px_(θ−1

t (A)|Ft)(ω) = Pω(t)(A) para Px-quase certamente ω, para todo

x ∈ S e para todo A ∈ F .

Na defini¸c˜ao anterior, 1. diz que x ´e o valor inicial para a cadeia partindo da medida Px_{, e o ponto 3. ´}_{e a propriedade de Markov.}

(17)

Para come¸car o processo com uma distribui¸c˜ao µ diferente de δx, definimos Pµ

em DS por

Pµ(A) = Z

S

Px(A)µ(dx), ∀A ∈ F .

A probabilidade de transi¸c˜ao pt(x, dy) ´e definida para todo t ≥ 0, x ∈ S e

B ∈ BS por

pt(x, B) = Px(πt∈ B) . (2.6)

As equa¸c˜oes de Chapman-Kolgomorov pt+s(x, B) =

Z

S

ps(y, B)pt(x, dy), (2.7)

s˜ao consequˆencia da propriedade de Markov.

Agora, para fun¸cões F - mensuráveis e limitadas em S e t ≥ 0 definimos a fun¸cão Stf em S por

Stf (x) = Ex[f (πt)] =

Z

S

f (x)pt(x, dy). (2.8)

A mensurabilidade de Stf é consequência do ponto 2. da Defini¸cão 2.3.1.

Denotamos a norma do supremo para fun¸c˜oes mesur´aveis e limitadas por kf k∞ := sup

x∈S

|f (x)|, (2.9)

e assim, ´e f´acil ver que:

kStf k∞ ≤ kf k∞, (2.10)

portanto Stleva fun¸cões mensuráveis e limitadas em S, em fun¸cões mensuráveis

e limitadas em S. Pela linearidade da integral também temos a linearidade de St. Portanto St é um operador linear definido no espa¸co das fun¸cões

mensur´aveis e limitadas. Logo, pela propriedade de Markov temos que Ss+tf (x) = Ex[f (πs+t)] = Ex[Ex[f (πs+t)|Fs]] = Ex[Eπs_{[f (π} t)]] = Ex[Stf (πs)] = SsStf (x).

Daqui a pouco, vamos ver que {St}t≥0 forma um semigrupo. Al´em disso,

pela propriedade (2.10) dizemos que {St}t≥0 ´e um semigrupo de contra¸c˜ao.

Afirmamos, sem demostra¸c˜ao, que {Px_}

x∈S s˜ao unicamente determinadas pelo

semigrupo {St}t≥0 (ver [11], p´agina 9).

Defini¸c˜ao 2.3.2. Seja Cb(S) = {f : S → R, cont´ınua e limitada em S}.

Vamos considerar em Cb(S) a norma definida em (2.9).

(18)

Defini¸c˜ao 2.3.3. Um processo de Markov {Px_}

x∈S ´e um processo de Feller

se, Cb(S) é fechado sobre a a¸cão do semigrupo, isto é, se f ∈ Cb(S) então

Stf ∈ Cb(S), ∀t ≥ 0.

2.4

Semigrupos e geradores

Esta se¸cão não pretende abarcar toda a teoria de semigrupos, só aquela teoria que precisamos nesta disserta¸cão.

Defini¸c˜ao 2.4.1. Uma fam´ılia {St}t≥0 de operadores limitados em Cb(S)

diz-se um diz-semigrupo diz-se: 1. S0 = I.

2. St+s = StSs, ∀s, t ≥ 0.

Defini¸c˜ao 2.4.2. Uma fam´ılia {St}t≥0´e um semigrupo fortemente cont´ınuo se

lim

t↓0 kStf − f k∞ = 0, ∀f ∈ Cb(S). Se cada St é uma contra¸cão, isto é, satisfaz

(2.10), ent˜ao {St}t≥0 diz-se um semigrupo de contra¸c˜ao.

Lema 2.4.3. Suponha que {St}t≥0 ´e um semigrupo de contra¸c˜ao fortemente

cont´ınuo em Cb(S). Então, para cada f ∈ Cb(S) a fun¸cão t → Stf é uma

fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua. Demonstra¸c˜ao. Para t, h ≥ 0 temos

kSt+hf − Stf k∞= kSt(Sh− I)f k∞ ≤ kShf − f k∞,

e para 0 ≤ h ≤ t temos,

kSt−hf − Stf k∞ = kSt−h(Sh− I)f k∞≤ kShf − f k∞.

Nos dois casos anteriores usamos o fato que St ´e uma contra¸c˜ao. Assim, pela

Defini¸cão 2.4.2 temos que o lado direito das expressões anteriores se anulam quando h → 0. Logo a fun¸cão é uniformemente cont´ınua.

Defini¸c˜ao 2.4.4. O gerador infinitesimal ou, simplesmente, gerador de um semigrupo {St}t≥0, ´e o operador L definido por

Lf = lim

t→0

Stf − f

t , (2.11)

com dom´ınio D(L) que ´e o conjunto das fun¸c˜oes f ∈ Cb(S) para as quais o

limite existe. A convergencia e no sentido da norma de Cb(S), isto ´e, na norma

do supremo. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(19)

Lema 2.4.5. Suponha que {St}t≥0 ´e um semigrupo de contra¸c˜ao fortemente

cont´ınuo em Cb(S) com gerador L. Ent˜ao valem as seguintes afirma¸c˜oes:

1. Se f ∈ Cb(S) e t ≥ 0. Então, Z t 0 Ssf ds ∈ D(L) e Stf − f = L Z t 0 Ssf ds. 2. Se f ∈ D(L) e t ≥ 0. Então, S(s)f ∈ D(L) e d dtStf = LStf = StLf. 3. Se f ∈ D(L) e t ≥ 0. Então, Stf − f = Z t 0 LSsf ds = Z t 0 SsLf ds.

Corolário 2.4.6. Suponha que {St}t≥0 é um semigrupo de contra¸cão

forte-mente cont´ınuo em Cb(S) com gerador L. Ent˜ao, D(L) ´e denso em Cb(S).

Para a demonstra¸cão do Lema (2.4.5) e do Corolário (2.4.6), veja [4],página 9 e 10.

2.5

Medida de Probabilidade Invariante Seja {Px_}

x∈S um processo de Markov a tempo cont´ınuo que ´e um processo

de Feller. Assuma que St ´e um semigrupo de contra¸c˜ao no espa¸co de Banach

Cb(S). Seja M1(S) o espa¸co das medidas de probabilidade em S, que tamb´em

é um espa¸co métrico quando munido da seguinte convergência. A convergência em M1(S) é dada pela convergência fraca definida por

µn w −−→ n↑∞ µ ⇔ Z f (x)µn(dx) −−→ n↑∞ Z f (x)µ(dx), ∀f ∈ Cb(S).

Para µ ∈ M1(S) e t ≥ 0, definimos µSt ∈ M1(S) por

Z f (x)µSt(dx) = Z Stf (x)µ(x), ∀f ∈ Cb(S). Assim, se B ∈ BS temos µSt(B) = Z Px(Xt∈ B)µ(dx). PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(20)

A medida de probabilidade µSt ´e interpretada como a distribui¸c˜ao no tempo

t de um processo com gerador L e semigrupo St, quando a distribui¸c˜ao inicial

desse processo ´e µ.

Agora, dizemos que µ ´e invariante para o processo {Xt}t≥0 se

µSt= µ, ∀t ≥ 0.

Seja I o conjunto das medidas invariantes para {Xt}t≥0. Agora, invariˆancia de

µ implica que se o estado inicial X0 tem distribui¸cão µ, então Xttambém tem

distribui¸cão µ para todo t ≥ 0. Além disso, o processo {Xt}t≥0é estacionário o

que significa que a distribui¸cão do processo transladado no tempo é a mesma que a distribui¸cão do processo original.

Defini¸cão 2.5.1. Para cada operador linear L, um subespa¸co linear Y de D(L) é um cerne de L se o gráfico de L é o fecho do gráfico de L |Y.

Teorema 2.5.2. Seja L o gerador de um semigrupo de contra¸c˜ao fortemente cont´ınuo St em Cb(S) definido por um processo de Markov. Seja µ uma medida

de probabilidade em S. Seja Y um cerne para L. Ent˜ao µ ´e invariante para Xt

se e somente se

Z

Lf (x)µ(dx) = 0, ∀f ∈ Y.

Demonstra¸cão. ⇒) Suponhamos que µ é invariante e f ∈ D(L). Como Stf − f t −−→n↑∞ Lf , uniformemente, então Z Lf dµ = lim t→0 Z Stf − f t dµ = limt→0 1 t Z Stf dµ − Z f dµ = lim t→0 1 t Z f dµ − Z f dµ = 0.

⇐) Agora, assumamos queR Lf dµ = 0, ∀f ∈ Y . Pela defini¸c˜ao de cerne temos que, ∀f ∈ D(L), ∃{gn}n≥0 ∈ Y tal que Lgn −−→

n↑∞ Lf , uniformemente, quando

n → ∞. Logo R Lf dµ = 0, ∀f ∈ D(L).

Fixada f ∈ D(L), pelo Lema 2.4.3, temos que Stf ∈ D(L), ∀t ≥ 0. Assim,

usando o Teorema de Fubini temos Z Stf dµ − Z f dµ = Z t 0 Z L[Ssf ]dµ ds = 0,

isto implica que

Z

f d(µSt) =

Z

f dµ, ∀f ∈ D(L).

Além disso, pelo Corolário 2.4.6, temos que D(L) é denso em Cb(S). Assim,

temos que µSt = µ. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(21)

3 Apresenta¸

c˜

ao do processo e resultados preliminares

O Capitulo 1 dá a ferramenta para construir uma cadeia de Markov a tempo cont´ınuo, a partir de uma cadeia de Markov a tempo discreto. Agora, queremos estudar um caso espec´ıfico, relacionado com sistemas de part´ıculas. Suponhamos que temos N + 1 s´ıtios, isto é, temos uma malha {0, 1, 2, · · · , N − 1, N }. No interior da malha, cada s´ıtio contém no máximo uma part´ıcula. Na fronteira, isto é, nos s´ıtios {0, N } podemos pensar que existem infinitas part´ıculas, como se tivéssemos reservatórios conetados a esses s´ıtios. Agora em cada s´ıtio da malha existe um relógio com lei exponencial de parâmetro 1, e relógios em s´ıtios diferentes são independentes. Note que a probabilidade de que dois relógios toquem simultaneamente é nula, de fato, pois, as variáveis aleatórias exponencias são cont´ınuas e independentes, assim temos que a região onde as variáveis são iguais, corresponde a uma reta no plano, que é fácil ver que tem medida de Lebesgue 0. Se um relógio num s´ıtio interior da malha toca e se neste s´ıtio há uma part´ıcula, esta part´ıcula pode saltar para um dos seus vizinhos mais próximos com taxa 1

2 e cumpre a seguinte regra de exclusão: o salto é suprimido se o local já está ocupado. Além disso, se o relógio na borda esquerda toca (resp. na borda direita) as part´ıculas podem entrar no interior da malha com taxa α (resp. β) e podem sair do s´ıtio 1 com taxa 1 − α (resp. do s´ıtio N − 1 com taxa 1 − β), respeitando a regra de exclusão, com α, β ∈ [0, 1]. Assim, cada part´ıcula executa um passeio aleatório a tempo cont´ınuo, condi-cionado ao evento de que nenhum s´ıtio é ocupado simultaneamente por mais de uma part´ıcula. A figura abaixo, é uma pequena representa¸cão da dinâmica do sistema de part´ıculas descrito acima.

1 2 · · · i − 1 i i + 1 · · · N − 2 N − 1 1 2 1 2 α 1 − α β 1 − β 3.1

Processo de Exclusão Simples Simétrico em contato com reservatórios O processo anterior é apresentado de maneira informal, e por isso temos que introduzir nota¸cão que permita o desenvolvimento adequado da teoria. Fixe N ≥ 1, seja ΛN

def

= {1, 2, 3, · · · , N − 1} ⊆ N. Os elementos de ΛN

são chamados s´ıtios e denotados pelas letras x, y, z, enquanto que no espa¸co macroscópico (pontos no intervalo [0, 1]) os elementos vão se denotar pelas

(22)

Cap´ıtulo 3. Apresenta¸c˜ao do processo e resultados preliminares 22

letras u, v, w. Agora o espa¸co microsc´opico ´e denotado por {0, 1}ΛN _{e definido}

por

{0, 1}ΛN _{= {η : Λ}

N → {0, 1}| η ´e fun¸c˜ao}.

Os elementos de {0, 1}ΛN _s˜_{ao chamados configura¸c˜}_{oes. Assim, se η ∈ {0, 1}}ΛN

e x ∈ ΛN ent˜ao temos η(x) ∈ {0, 1} e η(x) representa o n´umero de part´ıculas

no s´ıtio x para a configura¸cão η. Ou seja, se η(x) = 0 então o s´ıtio x da configura¸cão η está vazio, por outro lado, se η(x) = 1 isso quer dizer que o s´ıtio x está ocupado.

Para ter uma descri¸cão da taxa de transi¸cão entre configura¸cões, precisamos das seguintes opera¸cões: se η ∈ {0, 1}ΛN

e x, y ∈ ΛN, ent˜ao ηx, ηx,y ∈ {0, 1}ΛN s˜ao definidos por ηx_{(z) =} ( η(z) se z 6= x 1 − η(z) se z = x ; η x,y_{(z) =}      η(z) se z 6= x, y η(y) se z = x η(x) se z = y .

Assim, ηx é obtida de η por trocar seu o valor no s´ıtio x e ηx,y é obtida de η trocando os seus valores nas posi¸cões x e y.

Agora, fixados α, β ∈ [0, 1], o processo de exclusão simples simétrico em contato com reservatórios é o processo de Markov cujo espa¸co de estados é o espa¸co de configura¸cões {0, 1}ΛN _{com gerador infinitesimal dado em}

f : {0, 1}ΛN → R por (LNf ) (η) = (LN,0f ) (η) + (LN,−f ) (η) + (LN,+f ) (η), (3.1) onde (LN,0f ) (η) = N −2 X x=1 {f (ηx,x+1_{) − f (η)};} (LN,−f ) (η) = {α(1 − η(1)) + (1 − α)η(1)}{f (η1) − f (η)}; (LN,+f ) (η) = {β(1 − η(N − 1)) + (1 − β)η(N − 1)}{f (ηN −1) − f (η)}.

Também podemos expressar a a¸cão do operador através de uma multiplica¸cão matricial. Definimos as seguintes matrizes

[LN,0] (η, ξ) =          1 se ξ = ηx,x+1_{, 1 ≤ x ≤ N − 2, ξ 6= η} 0 se ξ 6= ηx,x+1_{, 1 ≤ x ≤ N − 2} − X ξ:ξ6=η LN,0(η, ξ) se ξ = η , (3.2) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(23)

Cap´ıtulo 3. Apresenta¸c˜ao do processo e resultados preliminares 23 [LN,++ LN,−] (η, ξ) =            Iα se ξ = η1 Iβ se ξ = ηN −1 −(Iα+ Iβ) se ξ = η

0 se caso contr´ario

, (3.3)

onde

Iα = (1 − α)η(1) + α(1 − η(1)),

Iβ = (1 − β)η(N − 1) + β(1 − η(N − 1)).

Assim, se chamarmos QN(η, ξ) = [LN,0] (η, ξ) + [LN,++ LN,−] (η, ξ) e se

considerarmos f = (f (η))_η∈{0,1}ΛN como um vetor coluna, temos que

(LNf ) (η)η∈{0,1}ΛN = (QNf (η))η∈{0,1}ΛN ,

onde QNf (η) representa o produto da matriz QN pelo vetor coluna f .

Agora vejamos o seguinte exemplo.

Exemplo 3.1.1. Considere z ∈ ΛN e fz : {0, 1} ΛN _{→ {0, 1} definida por} fz(η) = η(z). Calculemos (LNfz) (η) = (LNη) (z). No caso z ∈ {2, · · · , N − 2} temos LN,0η(z) = N −2 X x=1 {ηx,x+1_{(z) − η(z)}} = η(z − 1) − η(z) + η(z + 1) − η(z) = η(z − 1) − 2η(z) + η(z + 1). LN,−η(z) = 0. LN,+η(z) = 0. No caso z = 1 temos LN,0η(1) = N −2 X x=1 {ηx,x+1_{(1) − η(1)}} = η(2) − η(1). LN,−η(1) = (α(1 − η(1)) + (1 − α)η(1)) η1(1) − η(1) = (α(1 − η(1)) + (1 − α)η(1)}{1 − 2η(1)) = α − η(1). LN,+η(1) = 0. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(24)

Note que pela equa¸c˜ao (3.1) neste caso se tem que LNη(1) = η(2) − η(1) + α − η(1).

Similarmente, se z = N − 1 teremos

LN,0η(N − 1) = η(N − 2) − η(N − 1).

LN,−η(N − 1) = 0.

LN,+η(N − 1) = β − η(N − 1).

Note-se que pela equa¸c˜ao (3.1) neste caso se tem que

LNη(N − 1) = η(N − 2) − η(N − 1) + β − η(N − 1).

Assim, se η(0) = α e η(N ) = β temos

LNη(z) = η(z − 1) − 2η(z) + η(z + 1), ∀z ∈ ΛN.

3.2

Nota¸c˜oes e ferramentas

Seja D([0, +∞), {0, 1}ΛN_{) o espa¸co de trajet´}_{orias η}

· c`adl`ag, e seja

{Pη}η∈{0,1}ΛN o processo de Markov com gerador infinitesimal LN introduzido

em (3.1). Assim temos que Pη tem a propriedade

Pη η· ∈ D([0, +∞), {0, 1}ΛN) : η0 = η = 1

e a perda de mem´oria, no sentido

Pη(ηs+t ∈ A|Fs) = Pηs(ηt ∈ A),

onde Fs ´e a σ-´algebra gerada por {ηr : r ≤ s}. Esta propriedade quer dizer

que para saber o futuro no tempo t + s, sabendo todo o passado at´e ao tempo s s´o interessa o presente ou seja, o estado do processo no tempo s.

Agora definimos C({0, 1}ΛN_{) = {f : {0, 1}}ΛN → R, f cont´ınua}, que ´e um

espa¸co de Banach quando munido com a norma kf k = sup_η∈{0,1}ΛN |f (η)|.

De-notemos por Sto semigrupo associado ao processo {Pη}_η∈{0,1}ΛN que definimos

em C({0, 1}ΛN_{) por} Stf (η) = Eη[f (ηt)] = Z f (ηt)dPη, (3.4) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(25)

onde η0 = η e f ∈ C({0, 1}ΛN). Vamos considerar, {Pη}_η∈{0,1}ΛN como um

pro-cesso de Feller como na Defini¸c˜ao 2.3.3. Note que Cb({0, 1}ΛN) = C({0, 1}ΛN),

pois {0, 1}ΛN _´_{e compacto. Logo, para cada f ∈ C({0, 1}}ΛN_{) e cada t ≥ 0 temos}

que Stf ∈ C({0, 1}ΛN). Assim temos que {St}t≥0 ´e um semigrupo de Markov,

e isto garante que nosso processo {Pη}_η∈{0,1}ΛN existe e ´e o ´unico que satisfaz

(3.4) para cada f ∈ C({0, 1}ΛN_{), η ∈ {0, 1}}ΛN _{e t ≥ 0.}

Seja P({0, 1}ΛN_{) o conjunto das medidas de probabilidade em {0, 1}}ΛN

munido da convergˆencia fraca. Isto ´e, µn −−→

n↑∞ µ em P({0, 1} ΛN_{), se e somente} se, Z f (η)µn(dη) −−→ n↑∞ Z f (η)µ(dη),

para toda fun¸c˜ao f ∈ C({0, 1}ΛN_{). Agora, podemos identificar P({0, 1}}ΛN₎

com um subconjunto do espa¸co dual de C({0, 1}ΛN_{) tomando}

hµ, f i = Z

{0,1}ΛN

f (η)µ(dη)

, para cada f ∈ C({0, 1}ΛN_{). Ent˜}_{ao temos que, P({0, 1}}ΛN_{) ⊆ C}∗_{({0, 1}}ΛN₎

e com essa identifica¸c˜ao a topologia fraca coincide com a topologia fraca estrela. Pelo Teorema de Banach-Alaoglu como {0, 1}ΛN _´_{e compacto ent˜}_ao

P({0, 1}ΛN_{) tamb´}_{em ´}_{e compacto. Al´}_{em disso, como C({0, 1}}ΛN_{) ´}_{e um espa¸co}

de Banach separ´avel e P({0, 1}ΛN_{) ´}_{e compacto com a topologia fraca, ent˜}_ao

podemos metrizar P({0, 1}ΛN_{) com esta topologia. Agora, se µ ∈ P({0, 1}}ΛN₎

e {Pη}_η∈{0,1}ΛN ´e um processo de Markov, ent˜ao o correspondente processo

de Markov com distribui¸cão inicial µ é um processo estocástico {ηt}t≥0 com

distribui¸c˜ao

Pµ(A) =

Z

{0,1}ΛN Pη

(A)µ(dη).

Com isto temos que Eµ[f (ηt)] = R Stf (η)µ(dη), para toda f ∈ C({0, 1}ΛN).

Assim, podemos definir a medida µSt por:

Z

f (η)µSt(dη) =

Z

Stf (η)µ(dη), para f ∈ C({0, 1}ΛN),

que podemos interpretar como a distribui¸c˜ao no tempo t do processo {ηt}t≥0

partindo da distribui¸c˜ao inicial µ.

(26)

3.3

Medidas Invariantes

Se uma medida µ ∈ P({0, 1}ΛN_{) para um processo de Markov {S}

t}t≥0

satisfaz µSt = µ para todo t ≥ 0 ent˜ao dizemos que a medida ´e invariante

para o processo. O conjunto de todas as medidas invariantes µ ∈ P({0, 1}ΛN₎

´e denotado por I({0, 1}ΛN_).

Ent˜ao podemos ver que µ ∈ I({0, 1}ΛN_{), se e somente se, ∀f ∈ C({0, 1}}ΛN_{) se}

tem que Z Stf (η)µ(dη) = Z f (η)µSt(dη) = Z f (η)µ(dη), o que ´e equivalente a Z (Stf (η) − f (η)) µ(dη) = 0.

E assim podemos dizer que Stf = f, µ − quase certamente.

Sabemos pela Defini¸cão 2.4.4, que o gerador em (3.1) é definido por Lf = lim t↓0 Stf − f t , (3.5) com dom´ınio D(L) = f ∈ C({0, 1}ΛN_{) : lim} t↓0 Stf − f t existe . O Teorema de Hille-Yosida diz que a rela¸cão entre o semigrupo e o operador é bijetiva (ver [11],página 16).

Para o gerador de Markov L em C({0, 1}ΛN_{), um espa¸co D ⊆ D(L) se chama}

cerne se o gráfico de L é o fecho do gráfico de L |D.

Proposi¸cão 3.3.1. Suponha que D é um cerne de um gerador L de um semigrupo de Markov St. Então

I = µ ∈ P({0, 1}ΛN_{) :} Z Lf (η)µ(dη) = 0 para toda f ∈ D .

A demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao anterior segue do Teorema 2.5.2 no cap´ıtulo 1. Agora, dizemos que uma medida µ ∈ P({0, 1}ΛN_{) ´}_{e revers´ıvel com}

respeito ao processo com semigrupo St se

Z

f (η)Stg(η)µ(dη) =

Z

g(η)Stf (η)µ(dη),

para toda f, g ∈ C({0, 1}ΛN_{). O conjunto de todas as medidas revers´ıveis ´}_e

de-notado por R({0, 1}ΛN_{). Note que se tomamos g ≡ 1 temos que R({0, 1}}ΛN_{) ⊆}

I({0, 1}ΛN_). PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(27)

Exemplo 3.3.2. Seja ν_α,βN uma medida invariante do processo em estudo, e defina ρN_{(x) := E}

νN

α,β[η(x)]. Ent˜ao ρ

N _´_{e solu¸}_c˜_{ao da equa¸}_c˜_{ao discreta dada por}

     ∆NρN(x) = 0 para x ∈ ΛN ρN_{(0) = α} ρN(N ) = β ,

onde definimos o laplaciano discreto de ρN _{em x ∈ Λ} N por

∆NρN(x) = N2{ρN(x − 1) − 2ρN(x) + ρN(x + 1)}. (3.6)

Solu¸c˜ao. Pelo Exemplo 3.1.1, temos que, para todo x ∈ ΛN se tem que

LNη(x) = η(x − 1) − 2η(x) + η(x + 1).

Assim, pela defini¸c˜ao de laplaciano discreto

∆NρN(x) = N2{ρN(x − 1) − 2ρN(x) + ρN(x + 1)}

= N2_{E_νN

α,β[η(x − 1)] − 2Eνα,βN [η(x)] + Eνα,βN [η(x + 1)]}.

Logo, como a esperan¸ca ´e linear temos ∆NρN(x) = EνN α,β[N 2_{{η(x − 1) − 2η(x) + η(x + 1)}]} = EνN α,β[N 2_L Nη(x)]. Agora, tomando L = N2_L

N e como να,βN ´e uma medida invariante do processo,

ent˜ao temos que para fx(η) = η(x), se tem que

EνN α,β[Lfx(η)] = Z StLfx(η)να,βN (dη) = Z Lfx(η)να,βN St(dη) = Z Lfx(η)να,βN (dη) = 0. Logo ∆NρN(x) = 0, ∀x ∈ ΛN. Defini¸c˜ao 3.3.3. Dada uma fun¸c˜ao ρ : ΛN → [0, 1], vamos chamar νρ(·)N :=

νρ(·) `a medida produto em {0, 1}ΛN definida por

νρ(·) η ∈ {0, 1}ΛN : η(x) = 1, ∀x ∈ A e η(y) = 0, ∀y ∈ B = Y x∈A ρ(x)Y y∈B (1 − ρ(y)),

para quaisquer conjuntos A,B conjuntos disjuntos em ΛN.

(28)

No caso que ρ(x) = ρ chama-se a νρ a medida de Bernoulli produto em

{0, 1}ΛN _{de parˆ}_{ametro ρ, e que satisfaz}

νρ η ∈ {0, 1}ΛN : η(x) = 1, ∀x ∈ A e η(y) = 0, ∀y ∈ B = ρ|A|(1 − ρ)|B|,

com A,B disjuntos em ΛN. Para o nosso processo vamos denotar a medida de

Bernoulli por νN

ρ ou νρ no caso que N seja claro. Note que a defini¸c˜ao acima

´e equivalente a tomar fx(η) = η(x) para x ∈ ΛN, como v.a.’s independentes

com distribui¸c˜ao de Bernoulli de parˆametro ρ. Assim, temos que ν_ρN(η) = ρPN −1x=1 η(x)_{(1 − ρ)}

PN −1

x=1(1−η(x))_. _(3.7)

Note que para o processo {ηt}t≥0 podemos obter medidas de probabilidade

invariantes ν que tornam o processo revers´ıvel mediante a equa¸c˜ao

ν(η)QN(η, ξ) = ν(ξ)QN(ξ, η), para todo η, ξ ∈ {0, 1}ΛN. (3.8)

Proposi¸cão 3.3.4. Se α = β então a medida να é invariante e revers´ıvel.

Demonstra¸c˜ao. Basta ver que να satisfaz (3.8). Para isto usamos as matrizes

definidas em (3.2) e (3.3).

– No caso em que η = ξ, temos imediatamente que να(η)QN(η, η) = να(η)QN(η, η).

– No caso em que ξ /∈ {η, η1_{, η}N −1_{, η}x,x+1_{} temos pelas matrizes}

consider-adas que

QN(η, ξ) = QN(ξ, η) = 0.

– No caso em que ξ = ηx,x+1. Para este caso temos que QN(η, ξ) = QN(ξ, η) = 1.

Logo como a opera¸c˜ao ηx,x+1 _s´_{o troca posi¸c˜}_{oes e como a medida ν} α n˜ao

depende das posi¸c˜oes (depende da quantidade de part´ıculas) ent˜ao temos que

να(ηx,x+1) = να(η).

– No caso em que ξ = η1 e η(1) = 0, notemos que QN(η, ξ) = Iα, mas

η(1) = 0 ent˜ao temos QN(η, ξ) = α. De maneira an´aloga podemos ver

que η = η1 e ξ(1) = 1, assim temos QN(ξ, η) = 1 − α.

(29)

Logo, por (3.7) e lembrando que a medida να s´o depende da quantidade

de part´ıculas, temos que

να(ξ) = να(η1) =

α

1 − ανα(η), assim temos que να(η)QN(η, ξ) = να(ξ)QN(ξ, η).

– Nos casos restantes, se age de forma an´aloga ao ´ultimo caso.

3.4

Do microsc´opico para o macrosc´opico

O espa¸co macroscópico é o espa¸co que representa o espa¸co cont´ınuo, aqui o espa¸co macroscópico é o intervalo I = [0, 1], e a discretiza¸cão é ΛN = {1, 2, · · · , N − 1} que representa o espa¸co microscópico. Podemos

considerar o espa¸co ΛN contido no espa¸co I, fazendo a seguinte identifica¸c˜ao:

uma posi¸cão u no sistema macroscópico I se identifica com o s´ıtio buN c do sistema microscópico ΛN. De maneira similar, vamos identificar x ∈ ΛN com

x N ∈ I.

Agora, no sistema microscópico, as part´ıculas são colocadas de acordo com alguma medida de probabilidade, e estas se mexem de acordo com alguma taxa de transi¸cão probabil´ıstica respeitando as restri¸cões do sistema espec´ıfico. Já vimos isto acima na descri¸cão do nosso modelo. Agora, estamos interessados em estudar o comportamento temporal de um perfil de densidade. Para tal temos que considerar diferentes escalas de tempos, um tempo macroscópico t e um tempo microscópico tθ(N ). Para o processo estudado temos que tomar θ(N ) = N2_{. Note que com a defini¸c˜}_{ao do gerador temos que}

θ(N )LNf = lim t↓0 θ(N )

Stf − f

t ,

e se fizermos uma troca de vari´avel t = θ(N )s temos que

θ(N )LNf = lim s↓0

Ssθ(N )f − f

s = ˜LN,

ou seja, ˜LN = θ(N )LNf ´e o gerador do semigrupo Stθ(N ). Ent˜ao, de agora em

diante vamos denotar por ηt o processo de Markov em {0, 1}ΛN com gerador

N2_L

N. Ou seja, o tempo microsc´opico no nosso modelo ´e tN2.

Agora que sabemos como lidar com os espa¸cos macroscópico e microscópico, podemos generalizar a Defini¸cão 3.3.3.

(30)

Defini¸c˜ao 3.4.1. Dada uma fun¸c˜ao ρ0 : [0, 1] → [0, 1], a medida produto

Bernoulli com parˆametro de varia¸c˜ao lenta associada ao perfil ρ0, denotada

por νN

ρ0(·), ´e a medida no espa¸co de estados {0, 1}

ΛN _{que satisfaz as seguintes}

propriedades:

– As variáveis aleatórias {η(x)}x∈ΛN são independentes com respeito a

ν_ρN

0(·) .

– Cada η(x) tem distribui¸c˜ao Bernoulli de parˆametro ρ0

x N . Ou seja, νρ0(·) η ∈ {0, 1} ΛN _{: η(x} 1) = i1, η(x2) = i2, · · · , η(xk) = ik = k Y j=1 ρ0 x_j N ij 1 − ρ0 x_j N 1−ij ,

para todo xj ∈ ΛN, ij ∈ {0, 1} com j = 1, · · · , k.

3.5

Dedu¸c˜oes das EDP’s discretas

Podemos agora introduzir alguns fatos importantes sobre as equa¸c˜oes diferenciais parciais discretas com que iremos lidar nesta disserta¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 3.5.1. Dada νN _{uma medida de probabilidade em {0, 1}}ΛN_{, vamos}

definir para x ∈ ΛN a fun¸c˜ao

ρN_t _{(x) := E}νN[η_tN2(x)].

Estendemos a defini¸c˜ao `as fronteiras tomando ρN

t (0) = α, ρNt (N ) = β.

Note que pelas equa¸c˜oes de Chapman-Kolmogorov temos que ∂tρNt (x) = ∂tEνN[η_tN2(x)] = E_νN[N2L_Nη_tN2(x)].

Logo, pelo Exemplo 3.1.1, pela linearidade da esperan¸ca e para x ∈ ΛN temos

que ∂tρNt (x) = N 2 (EνN[η_tN2(x − 1)] − 2E_νN[η_tN2(x)] + E_νN[η_tN2(x + 1)]) = N2(ρN_t (x − 1) − 2ρN_t (x) + ρN_t (x + 1)) = ∆NρNt (x).

Ent˜ao podemos resumir este resultado no seguinte lema.

(31)

Lema 3.5.2. Se ρN_t _{(x) = E}νN[η_tN2(x)], então ρN_t (x) é solu¸cão da equa¸cão

semi-discreta do calor, isto ´e      ∂sρNs (x) = (∆NρNs )(x) para x ∈ ΛN, s ≥ 0 ρN 0 (x) = EνN[η₀(x)] para x ∈ Λ_N ρN s (0) = α, ρNs (N ) = β para s ≥ 0 , (3.9)

onde ∆N ´e o laplaciano discreto em ΛN definido na equa¸c˜ao (3.6).

Nota 3.5.3. Se considerarmos a medida inicial νρ0(·) da Defini¸c˜ao 3.5.1, ent˜ao

definindo

ρN_t _{(x) = E}ν_ρ0(·)[ηtN2(x)],

temos que ρN

t (x) satisfaz a equa¸c˜ao (3.9), com condi¸c˜ao inicial

ρN₀ _{(x) = E}ν_ρ0(·)[ηtN2(x)] = ρ₀

x N

. Agora, seja C = {0, · · · , N }2 _{e consideremos o subconjunto}

V = {(x, y) ∈ C : 0 < x < y < N } e a sua fronteira ∂V = {(x, y) ∈ C : x = 0 ou y = N }. 0 1 2 3 ... N-2 N-1 N 1 2 3 N-2 N-1 N . . . Figura 3.1: V ∪ ∂V

Al´em disso, seja M o conjunto das fun¸c˜_{oes f : V ∪ ∂V → R tais que} f |∂V= 0.

Defini¸c˜ao 3.5.4. Dada νN _{uma medida de probabilidade em {0, 1}}ΛN_{, vamos}

definir para (x, y) ∈ V ∪ ∂V a fun¸c˜ao ϕN

t (x, y) por ϕN_t _{(x, y) = E}_νN{η_tN2(x) − ρN_t (x)}{η_tN2(y) − ρN_t (y)} , em V e ϕN t (x, y) = 0 em ∂V . PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(32)

Defini¸c˜ao 3.5.5. Denotemos por ∆V_N o laplaciano discreto em V ∪ ∂V tal que ∆V

N : M → R ´e definido por

(∆N

Vf )(x, y) = N2f (x+1, y)+f (x−1, y)+f (x, y−1)+f (x, y+1)−4f (x, y)

se |x − y| > 1 ,

(∆N

Vf )(x, x + 1) = N2f (x − 1, x + 1) + f (x, x + 2) − 2f (x, x + 1) ,

e (∆N_Vf )(x, y) = 0 se (x, y) ∈ ∂V .

O laplaciano discreto introduzido acima é o gerador do passeio aleatório simétrico em V ∪ ∂V , absorbido na fronteira ∂V . Assim temos o seguinte lema. Lema 3.5.6. ϕN_t (x, y) definida em V ∪ ∂V é solu¸cão da equa¸cão

     ∂sϕ˜s(x, y) = ∆NVϕ˜s(x, y) + gs(x, y) para (x, y) ∈ V, ∀s ≥ 0 ˜ ϕ0(x, y) = ϕN0 (x, y) para (x, y) ∈ V ˜ ϕs(x, y) = 0 para (x, y) ∈ ∂V, ∀s ≥ 0 , (3.10) onde gt(x, y) = −(5NρNt (x))2δy=x+1 e 5NρNt (x) = N (ρ N t (x + 1) − ρ N t (x)).

Demonstra¸c˜ao. Para simplificar a nota¸c˜ao, vamos considerar nesta prova ηt:=

ηtN2.

Caso 1: |x − y| > 1 Note que

∂tϕNt (x, y) = ∂tEνN[η_t(x)η_t(y)] − ∂_t ρN_t (x)ρN_t (y)

= EνNN2L_N(η_t(x)η_t(y)) − ∂_t ρN_t (x) ρN_t (y) + ∂_t ρN_t (y) ρN_t (x)

Ent˜ao, primeiro temos que

∂tEνN[η_t(x)η_t(y)] = E_νNN2η_t(1){η_t(y − 1) + η_t(y + 1) − 2η_t(y)} + EνNN2η_t(y){η_t(x − 1) + η_t(x + 1) − 2η_t(x)} = N2_E_νN[η_t(x)η_t(y − 1)] + N2_E_νN[η_t(x)η_t(y + 1)] − 2N2 EνN[η_t(x)η_t(y)] + N2_E_νN[η_t(x − 1)η_t(y)] + N2_E_νN[η_t(x + 1)η_t(y)] − 2N2_E_νN[η_t(x)η_t(y)] = N2_EνN[η_t(x)η_t(y − 1)] + N2_E_νN[η_t(x)η_t(y + 1)] + N2_EνN[η_t(x − 1)η_t(y)] + N2_E_νN[η_t(x + 1)η_t(y)] − 4N2 EνN[η_t(x)η_t(y)] = ∆N_V _[EνN[η_t(x)η_t(y)]] . PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(33)

Segundo temos,

∂t ρNt (x) ρNt (y) + ∂t ρNt (y) ρNt (x) = ∂tEνN[η_t(x)] ρN_t (y) + ∂_t_E_νN[η_t(y)] ρN_t (x)

= N2∂tEνN[η_t(x − 1) + η_t(x + 1)

−2ηt(x)] ρNt (y)

+ N2∂tEνN[η_t(y − 1) + η_t(y + 1)

−2η_t(y)] ρN_t (x) = ∆N_V ρN_t (x)ρN_t (y) .

Agora, juntando estes dois resultados temos ∂tϕNt (x, y) = ∆ N Vϕ N t (x, y) + g(x, y) | {z } =0 . Caso 2: |x − y| = 1 Note que ∂tϕNt (x, x + 1) = ∂tEνN[η_t(x)η_t(x + 1)] − ∂_t ρN_t (x)ρN_t (x + 1) = EνNN2L_N(η_t(x)η_t(x + 1)) − ∂_t ρN_t (x) ρN_t (x + 1) +∂t ρNt (x + 1) ρ N t (x) .

Ent˜ao, temos que

∂tEνN[η_t(x)η_t(x + 1)] = E_νNN2{η_t(x − 1)η_t(x + 1) + η_t(x)η_t(x + 2)

−2ηt(x)ηt(x + 1)}]

= ∆N_V _[EνN[η_t(x)η_t(x + 1)]] .

Por outra parte, ∂t ρNt (x) ρ N t (x + 1) + ∂t ρNt (x + 1) ρ N t (x) = ∂tEνN[η_t(x)] ρN_t (x + 1) + ∂tEνN[η_t(x + 1)] ρN_t (x) = N2∂tEνN[η_t(x − 1) + η_t(x + 1) −2ηt(x + 1)] ρNt (x) = ∆N_V ρN_t (x)ρN_t (x + 1) + ∇ρN_t (x)2.

Agora, juntado estes dois resultados temos ∂tϕNt (x, y) = ∆

N V ϕ

N

t (x, y) + gt(x, y).

Resta analisar o que acontece na fronteira. Vamos considerar x = 0, sendo os

(34)

restantes casos an´alogos. Ora,

∂tϕNt (0, y) = EνN[(η_t(0) − ρN_t (0))(η_t(y) − ρN_t (y))].

Como ηt(0) = α e ρNt (0) = α para todo t > 0 resulta que ϕNt (0, y) = 0.

Nota 3.5.7. Consideremos a medida inicial νρ0(·) como na Nota 3.5.3. Ent˜ao,

definimos

ϕN_t _{(x, y) = E}ν_ρ0(·){ηtN2(x) − ρN_t (x)}{η_tN2(y) − ρN_t (y)} ,

que tamb´em satisfaz (3.10), mas com condi¸c˜ao inicial dada por ϕN₀ _{(x, y) = E}ν_ρ0(·){η0(x) − ρN0 (x)}{η0(y) − ρN0 (y)} = Eν_ρ0(·)η0(x) − ρN0 (x) Eν_ρ0(·)η0(y) − ρN0 (y) = 0.

Note que sempre que a medida inicial for uma medida produto esta condi¸cão inicial vai ser zero pois as variáveis aleatórias vão ser independentes de média zero. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(35)

4 A equa¸

c˜

ao do calor

O teorema do limite hidrodinˆamico 5.0.10 que ´e o nosso principal objetivo no Cap´ıtulo 4, diz que se rescalamos o espa¸co por 1

N e o tempo por N

2 _a

evolu¸cão da densidade de part´ıculas é dada pela solu¸cão de uma equa¸cão do calor com certas condi¸cões de fronteira. Por este motivo, neste cap´ıtulo vamos estudar a equa¸cão do calor e o significado de uma solu¸cão fraca desta equa¸cão. 4.1

Equa¸c˜ao do calor

Vamos considerar agora as equa¸c˜oes do tipo

∂tu(t, x) − ∆u(t, x) = f (t, x) (4.1)

sujeita a condi¸c˜_{oes iniciais e de contorno apropriadas, onde t ≥ 0, u ∈ U ⊆ R}n

aberto. A fun¸cão desconhecida ´_{e u : [0, ∞) × U → R, com u = u(t, x), e o} laplaciano ∆ é tomado com respeito a x = (x1, · · · , xn), isto é, ∆u = ∆xu =

Pn

i=1uxixi. A fun¸cão f é dada. No caso em que f ≡ 0 dizemos que a equa¸cão

(4.1) ´e homogˆenea.

No caso em que tenhamos uma discretiza¸cão de U (e uma defini¸cão discreta do laplaciano) vamos dizer que a equa¸cão é semi-discreta.

Nesta disserta¸c˜ao, vamos estudar o caso n = 1, e assim temos que ∆ = ∂2 x.

4.1.1

Interpreta¸c˜ao f´ısica

A equa¸cão do calor também é conhecida como a equa¸cão de difusão que descreve a evolu¸cão no tempo de uma densidade u de alguma quantidade como o calor, a concentra¸cão qu´ımica, etc. Note que se V ⊂ U tal que ∂V é suave, então a taxa de troca dessa quantidade dentro de V é igual ao negativo do fluxo através de ∂V , isto é,

d dt Z udx = − Z ∂V F · νdS,

onde F é o fluxo de densidade e ν é o vetor normal unidade exterior do campo. Como V é arbitrário então temos que ut= −div F. Em muitas situa¸cões, F é

proporcional ao gradiente de u, mas na dire¸cão oposta (isso pois o fluxo vai de regiões de maior a concentra¸cão à regiões de concentra¸cão mais baixa), assim

(36)

Cap´ıtulo 4. A equa¸c˜ao do calor 36

temos que F = −a∇u (a > 0). Logo, div F = div (−a∇u) = −a∆u. Quando tomamos a = 1 temos a equa¸c˜ao do calor homogˆenea.

4.2

Motiva¸cão e defini¸cão da solu¸cão fraca

Uma equa¸cão diferencial parcial pode ter solu¸cões que não são difer-enciáveis. Assim, para encontrar tais solu¸cões, temos que rescrever a equa¸cão diferencial parcial de forma que apare¸ca na equa¸cão as derivadas da solu¸cão (formula¸cão fraca).

Consideremos a equa¸c˜ao do calor com condi¸c˜oes de Dirichlet dada por      ∂tρ(t, x) = ∆ρ(t, x) para x ∈ [0, 1] ρ(0, x) = ρ0(x) para x ∈ [0, 1] ρ(t, 0) = α, ρ(t, 1) = β para t ∈ [0, ∞) . (4.2)

Agora, fixemos um T > 0. Tomemos R = [0, T ] × [0, 1] e consideremos o conjunto C₀1,2(R) como o conjunto de fun¸c˜_{oes f : R → R tais que f} ´e de classe C1_{[0, T ] no tempo, de classe C}2_{[0, 1] no espa¸co, satisfazendo}

f (t, 0) = f (t, 1) = 0.

Vejamos, informalmente, que se multiplicamos uma fun¸c˜ao teste Gt(x) tal que

G ∈ C₀1,2(R) na equa¸c˜ao ∂tρ(t, x) = ∆ρ(t, x) de (4.2) temos que

∂tρ(t, x)Gt(x) = ∆ρ(t, x)Gt(x).

Integrando a igualdade anterior sobre a regi˜ao R obtemos Z 1 0 Z T 0 ∂tρ(t, x)Gt(x)dtdx | {z } =I1 = Z 1 0 Z T 0 ∆ρ(t, x)Gt(x)dtdx | {z } =I2 . (4.3)

Fazendo uma integra¸c˜ao por partes na integral I1 temos que

I1 = Z 1 0 ρ(T, x)GT(x) − ρ(0, x)G0(x)dx − Z 1 0 Z T 0 ρ(t, x)∂tGt(x)dtdx.

Agora vamos calcular I2. Neste caso note que ∆ = ∂x2, ent˜ao pelo Teorema de

Fubini e fazendo outra integra¸c˜ao por partes, duas vezes, temos

I2 = Z T 0 ∂xρ(t, 1)Gt(1) − ∂xρ(t, 0)Gt(0)dt − Z T 0 Z 1 0 ∂xρ(t, x)∂xGt(x)dxdt = Z T 0 ∂xρ(t, 1)Gt(1) − ∂xρ(t, 0)Gt(0)dt − Z T 0 ρ(t, 1)∂xGt(1) − ρ(t, 0)∂xGt(0)dt + Z T 0 Z 1 0 ρ(t, x)∂_x2Gt(x)dxdt. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313524/CA

(37)

Cap´ıtulo 4. A equa¸c˜ao do calor 37

Assim I1 = I2 pode ser escrito como:

Z 1 0 ρ(T, x)GT(x) − ρ(0, x)G0(x)dx = Z 1 0 Z T 0 ρ(t, x)∂tGt(x)dtdx + Z T 0 ∂xρ(t, 1)Gt(1) − ∂xρ(t, 0)Gt(0)dt − Z T 0 ρ(t, 1)∂xGt(1) − ρ(t, 0)∂xGt(0)dt + Z T 0 Z 1 0 ρ(t, x)∆Gt(x)dxdt.

Logo, como p(t, 0) = α, ρ(t, 1) = β e G ∈ C₀1,2(R) temos que Z 1 0 ρ(T, x)GT(x) − ρ(0, x)G0(x)dx = Z 1 0 Z T 0 ρ(t, x)(∂t+ ∆)Gt(x)dtdx + Z T 0 α∂xGt(0) − β∂xGt(1)dt.

Defini¸cão 4.2.1. Fixe uma fun¸cão cont´ınua ρ0 : [0, 1] → [0, 1]. Uma fun¸cão

mensurável ρ : [0, T ] × [0, 1] → [0, 1] é uma solu¸cão fraca da equa¸cão (4.2), se para cada fun¸cão G ∈ C₀1,2(R), ρ satisfaz a equa¸cão integral,

Z 1 0 ρ(T, x)GT(x) − ρ0(x)G0(x)dx = Z 1 0 Z T 0 ρ(t, x)(∂t+ ∆)Gt(x)dtdx + Z T 0 α∂xGt(0) − β∂xGt(1)dt.

Teorema 4.2.2. Se existe uma solu¸cão fraca da equa¸cão do calor com condi¸cões de Dirichlet dada em (4.2), então essa solu¸cão é única.

Este resultado é essencial para a demonstra¸cão do limite hidrodinâmico que vamos apresentar. Este resultado será utilizado, mas a demonstra¸cão não será feita nesta disserta¸cão, para mais detalhes veja [6] e [12]).

4.3

Equa¸c˜ao semi-discreta do calor

Nesta se¸c˜ao vamos fixar N ≥ 2 e vamos considerar o laplaciano discreto definido no Cap´ıtulo 2 na equa¸c˜ao (3.6).