ESTIMAÇÃO DA CONFIABILIDADE PARA UM MODELO DE
DESEMPENHO ESTRUTURAL COM DISTRIBUIÇÃO
NORMAL – UMA SIMULAÇÃO
Amazoneida Sá Peixoto Pinheiro
Doutoranda em Eng. Produção Escola Politécnica-USP – neida@usp.br Av. Profo Almeida Prado, travessa 2, no 128. CEP 05508-900 –São Paulo/SP
Linda Lee Ho
Departamento de Eng. de Produção da Escola Politécnica –USP- linda@usp.br Av. Profo Almeida Prado, travessa 2, no 128. CEP 05508-900 –São Paulo/SP
Abstract
Here we consider different estimators of the probability of reliability for stress-strength interference model obtained under independent normal distributions. Simulations were conducted in order to compare the performance of these estimators varying sample distribution size as also the set of parameters.
Palavras chaves: reliability, interference model, simulation.
1. INTRODUÇÃO
A confiabilidade mecânica ou física é uma técnica probabilística que visa assegurar que a capacidade do sistema estrutural, denotada por X, seja suficiente para suportar a atuação de combinações de ações (Y) durante sua vida útil. Esta garantia é possível, somente, probabilisticamente calculando R=P(X >Y), que é a confiabilidade do sistema.
Nos últimos anos tem crescido o número de trabalhos, mostrando a relevância da teoria da confiabilidade na análise do desempenho estrutural de produtos e projetos. Neles, o desempenho pode ser avaliado através medidas como: tempo até a ocorrência de uma falha (MTTF), carregamento máximo relacionado a uma confiabilidade especificada (alvo), mínima resistência requerida para atender a um estado probabilístico de segurança, entre outros. Em algumas situações, esses indicadores são apenas estimativas pontuais, com tratamento inferencial quase inexistente.
Este trabalho tem por objetivo apresentar uma discussão sobre a estimação da função de confiabilidade para um modelo de desempenho estrutural com distribuição normal de probabilidade. Esta discussão concentra-se-á numa revisão da literatura sobre o tema procurando enfocar, principalmente, os procedimentos inferenciais, com os quais a qualidade de diferentes estimadores será avaliada através de uma simulação.
A distribuição normal foi considerada na caracterização das variáveis de projeto, como resistência (X) e solicitação (Y), por ser uma função probabilística com bastante aplicação em vários problemas de engenharia. Ultimamente, esta distribuição tem sido referida por
normas e códigos, nacionais e internacionais, na avaliação da segurança de projetos estruturais, entre os quais a NBR-7190 (1997), norma brasileira que regulamenta projetos e produtos estruturais de madeira.
2. PRINCIPAIS FUNÇÕES DE DESEMPENHO
Considere um produto ou uma estrutura cuja resistência X e solicitação Y sejam variáveis aleatórias independentes, define-se margem de segurança (S) pela diferença entre estas duas variáveis, isto é
Y X
S = − . (2.1)
A função de densidade de probabilidade fS(s) que descreve a variável aleatória margem de
segurança, pode assumir diferentes formas dependendo do comportamento probabilístico de fX(x) e fY(y). Portanto, a caracterização dessas funções de probabilidade, torna mais
simples o conhecimento da confiabilidade do sistema, ou seja
P
{
X Y 0}
P{S 0} 1 FS(0) fS(s)ds. (2. 2) 0∫
∞ = − = > = > −De modo semelhante, a função de densidade de probabilidade fW(w) descreve a variável
fator de segurança (W), definida como a razão entre X e Y, isto é:
W = X /Y. (2. 3)
Assim, tem-se a confiabilidade do sistema estrutural,
dw w f F W P Y X P R { 1} { 1} 1 W(1) W( ) 1
∫
∞ = − = > = > = . (2. 4) 3. O MODELOAs funções de densidade de probabilidade para as variáveis normalmente distribuídas Y e X são respectivamente , 2 1 exp 2 1 ) ( 2 − − = Y Y Y Y y y f σ µ π σ para todo -∞ < y < ∞ , (3.1) e , 2 1 exp 2 1 ) ( 2 − − = X X X X x x f σ µ π σ para todo -∞ < x < ∞, (3.2) onde µX e µY são os respectivos valores médios de X e Y, σX e σY são os desvios padrão
de X e Y.
Desta maneira, a variável aleatória S definida pela expressão (2.1) é assintoticamente
normal com média µS =µX −µY (3.3)
e desvio padrão σS = σX2 +σY2 −2ρσXσY , (3.4) onde ρ é a correlação entre X e Y.
Quando X e Y forem estatisticamente independentes, o coeficiente de correlação é nulo, ou seja ρ=0 e a expressão (3.4) pode ser descrita como
2 2 Y X S σ σ σ = + . (3.5)
Sob a hipótese de independência, a confiabilidade pode ser expressa em relação à margem de segurança, conforme a equação (2.2), da seguinte forma:
ds s S P R S S S − − = > =
∫
∞ 2 0 2 1 exp 2 1 } 0 { σ µ π σ . (3.6)Seja a variável aleatória normal padrão, então σz=(s−µs)/σS, Sdz=ds. Quando s=0, o
limite inferior de z é dado por
2 2 0 Y X Y X S S z σ σ µ µ σ µ + − − = − = , (3.7)
e quando o limite superior de s→+∞ o limite superior de z→ + ∞. Logo + − Φ = + − − Φ − = − =
∫
∞ + − − 2 2 2 2 2 /2) 1 exp( 2 1 2 2 X Y Y X Y X Y X Y X Y X dz z R σ σ µ µ σ σ µ µ π σ σ µ µ , (3.8) onde Φ (.) denota a função de densidade acumulada da variável z, sendo o argumento entre colchetes conhecido como Índice de confiabilidade (δ). Como demonstrado em (3.8) a confiabilidade pode ser calculada referindo-se às tabelas da distribuição normal padrão, e sua relação com o índice de confiabilidade pode ser simplificada por. (3.9)
( )
δ Φ = R 4. INFERÊNCIAVários trabalhos relativos à estimação do parâmetro apresentado na equação (3.8) têm sido amplamente publicados na literatura. BIRNBAUM & MCCARTY (1958) e OWEN, CRASWELL & HANSON (1964) apresentaram limites de confiança não paramétricos para este caso. O trabalho de OWEN et al. (1964) discutiu o caso normal para as variáveis X e Y com o mesmo número de observações e para situações onde as variâncias são iguais.
CHURCH & HARRIS (1970) apresentaram limites de confiança para a função de confiabilidade (R) dentro de uma discussão paramétrica com a suposição de X e Y serem variáveis aleatórias normalmente distribuídas, supondo Y como normal padrão (isto é µy=0
e σy=1) e os parâmetros da variável X desconhecidos. Sob esta suposição a equação (3.8)
se torna + Φ = X X R σ µ 1 , (4.1)
e portanto, é natural propor o estimador
+ Φ = ∧ 2 1 s X R , (4.2)
onde
∑
= = n i i X n X 1 ) / 1 ( , s2 =∑
(X −X)2 /(n−1) i e n é o tamanho da amostra.CHURCH & HARRIS (1970) demonstraram que X / 1+s2 é assintoticamente normal e
obtiveram um intervalo de (1-α)% de confiança para µ/ 1+σ2 dado em (4.3)
α α σ µ α ≅ − − Φ + + < + < − Φ − + − − ) 1 2 1 ( 1 1 ) 2 1 ( 1 * 1 2 2 * 1 2 s s X s s X P , (4.3) com 2 / 1 2 2 2 2 2 2 * ) 1 )( 1 ( 2 1 1 + − + + = s n s X n s s s . (4.4)
Deste modo um intervalo de confiança aproximado para R pode ser obtido por − Φ + + Φ < < − Φ − + − − 1 * 2 * 1 2 (1 2) 1 (1 2) 1 s s X R s s X α α Φ . (4.5)
Similarmente, um intervalo de confiança unilateral é dado por α α ≅ − − Φ − + Φ > − (1 ) 1 1 * 1 2 s s X R P . (4.6)
Como o estimador proposto por CHURCH & HARRIS (1970) subestima a confiabilidade para os casos onde R>0.9, DOWNTON (1973) propôs um estimador para R não viesado de variância mínima, cujos limites de confiança são:
α α α − ≅ − Φ + + Φ < < − Φ − + Φ − − ) 1 2 1 ( 1 ) 2 1 ( 1 * 1 2 * 1 2 c s s X R s s c X P n n , (4.7) cujos valores de cn estão tabelados e correspondem a uma aproximação normal da
expressão n n n n cn / ) 1 ( ) 1 ( 2 2 − − = . (4.8)
DOWNTON (1973) e REISER & GUTTMAN (1986) trabalhando com o mesmo problema, estudaram inferências para R, quando os parâmetros das variáveis aleatórias X e
Y forem desconhecidos, analisaram procedimentos inferenciais para o seguinte
estimadorR∧ =Φ(δ∧), com δ = 2 2 Y X Y X σ σ µ µ + − , estimado por S Y X − = ∧ δ , (4.9) onde
∑
= = n i i X n X 1 ) / 1 ( ,∑
= = m i i Y m 1 ) / 1 ( , Y 2 =∑
( − )2/( −1) n X X SX i , ) 1 /( ) ( 2 2 =∑
− − m Y YSY i e , sendo n e m os respectivos tamanhos de amostra de X e Y.
Y X S
S
Substituindo-se os valores (n-1) e (m-1) nas expressões das variâncias amostrais S2X e S2Y
por n e m respectivamente, (4.9) seria um estimador de máxima verossimilhança do índice de confiabilidade δ.
O problema estudado por REISER & GUTTMAN (1986) se concentra na determinação do limite inferior de confiança de R que seria o equivalente de se encontrar o mesmo limite para δ, considerando que Φ é monotonicamente crescente e função de δ.
Suponha que X −Y ≈N
(
µX −µY,(
σ2X /n) (
+ σ2Y /m))
, (n−1)S2X /σX2 ≈χn2−1,e as três independentes duas a duas, então,
2 1 2 2 / ) 1 (m− SY σY ≈χm−
(
σ2 σ2)
/K N(
Kδ,1 Y X Y X ≈ + −)
)
, (4.10) onde(
) (
n n K Y X Y X / / 2 2 2 2 σ σ σ σ + + = , (4.11)quando m=n. Por outro lado,
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 − + − − − ≈ + = Y m n X Y X m n S S S σ χ σ χ , (4.12) então
(
)
[
2 2]
2 2 / f Y X f S ≈ σ +σ χ , (4.13) com − + − + 1 1 / ) 4 4 2 2 2 m n Y X Y X σ σ σ = ( f σ . (4.14)Lembrando que S2 é independentemente de (4.10), temos que δ
δ t K
K ∧ ≈ *f , (4.15)
onde t*f [(K)1/2δ] denota uma distribuição t-Student não central com f graus de liberdade e
parâmetro de não centralidade igual a (K)1/2δ . Substituindo σ2X por S2X e σ2Y por S2Y em
(4.11) e (4.14), os estimadores para K e f são obtidos através da aproximação ≈ ∧ ∧ ∧ ∧ δ δ t K K f * . (4.16)
Para tamanhos de amostra iguais, n=m, não requer estimação, uma vez que a propriedade da razão de verossimilhança da distribuição t-Student não central é monótona, portanto uma aproximação do limite inferior de (1-α ) confiança para δ pode ser obtido numericamente [LEHMANN,1959], resolvendo-se
α δ δ = − < ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 1 * K K t P f . (4.17)
Denotando esta solução como δ1l , o limite inferior de (1-α)% de confiança aproximado
para R é R1l =Φ
(
δ1l . Uma simplificação de (4.17) é possível usando-se a aproximação∧
)
) 1 , 0 ( ) 1 /( ) ( K 2 1/2 N K∧ δ∧−δ + ∧ δ∧ ≈ . (4.18)Assim, um limite inferior de (1-α) de confiança denotado por δ2l pode ser especificado da
α δ δ δ ∧ − ∧ ∧ ∧ + − = 1 2 / 1 2 2 2 1 Z f K l , (4.19)
onde Z1-α é o quantil (1-α) de uma normal padrão. Consequentemente, o limite inferior do
intervalo de confiança para R, pode ser determinado, dado por Φ(δ2l).
Este resultado pode ser alternativamente obtido considerando-se assintoticamente com distribuição normal com média δ e variância estimada pelo método de propagação de erros.
∧
δ
Supondo os parâmetros da distribuição da solicitação Y sejam efetivamente conhecidos e tomando-se , o resultado obtido em (4.19) é equivalente a solução de CHURCH & HARRIS (1970) apresentada em (4.6).
∞ →
m
Mais recentemente YANG (1996) usou a análise fiducial para obter um estimador pontual da probabilidade de falha do modelo normalmente distribuído da relação tensão-resistência. Porém, esta técnica foi fortemente combatida por REISER (1997) por produzir resultados paradoxos.
5. SIMULAÇÃO
De acordo com as recomendações sugeridas por CASTRO (1997), um sistema estrutural foi projetado com as seguintes características: resistência (X) e solicitação (Y) com distribuição normal com os seguintes parâmetros:
µX = 80 MPa e σX= 22,4 MPa; (5.1)
µY = 20 MPa e σY= 10 MPa;
A confiabilidade de projeto, portanto, foi calculada segundo a expressão (3.8):
(
2,4459)
0,992775 10 4 , 22 20 80 2 2 =Φ = + − Φ = R .Um estudo de simulação foi realizado com objetivo de comparar o estimador de REISER & GUTTMAN (1986) dado em (4.9) e um estimador mais simples dado por
∧ 1 R n Y X R i i n i s ) ( # 1 > = = ∧ ; onde n é o tamanho da amostra.
Para isto, 1000 amostras de tamanho n = 10, 50, 100, 500, 1000, ...., 10000 foram geradas segundo os parâmetros em (5.1). De cada amostra, foram obtidos os estimadores
. 1 ∧ ∧ R e Rs
Esta simulação foi implementada utilizando o pacote estatístico Minitab. Na Tabela 5.1 estão resumidos os principais resultados desta simulação. Foram calculados a média amostral e erro absoluto médio de cada estimador. Estes resultados estão dispostos na Figura 5.1.
Tabela 5.1 – Valores médios e erros absolutos dos estimadores N s R∧ R ∧ E = Rs−R ∧ R R E = ∧1− 10 0,991000 0,988631 0,000177 0,000414 50 0,992500 0,991489 0,000027 0,000129 100 0,993160 0,992327 0,000038 0,000045 500 0,992738 0,992677 0,000037 0,000098 1000 0,992689 0,992704 0,000086 0,000071 2000 0,992807 0,992765 0,000032 0,000010 4000 0,992805 0,992780 0,000030 0,000005 5000 0,992791 0,992766 0,000016 0,000009 6000 0,992814 0,992792 0,000039 0,000017 8000 0,992812 0,992760 0,000037 0,000015 10000 0,992795 0,992773 0,000020 0,000002
Figura –5.1: Variação dos estimadores com o tamnho da amostra 6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
Os resultados do presente estudo demonstraram que as funções de confiabilidade estimadas por apresentaram comportamentos diferenciados nos seguintes aspectos: 1 ∧ ∧ R e Rs
i. para amostras superiores a 500 o estimador gerou vícios e variabilidade menores, enquanto superestimou a confiabilidade;
∧ 1
R
s
R∧
ii. para amostras menores que 500 tanto apresentaram grandes vícios se comparados com amostras maiores e ambos subestimaram a confiabilidade; ∧ ∧ 1 R como Rs
iii. as estimativas produzidas por convergiram para normalidade com significância minima de 0,1% para n=1000, enquanto apresentou igual significância para n=6000; 1 ∧ R s R∧
Apesar de ser um estimador de fácil implementação computacional, apresentou um pior desempenho estatístico que . Recomenda-se, portanto, trabalhos que aprofundem tal discussão. s R∧ 1 ∧ R 7. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
ABNT (1997) – NBR-7190 – Projetos de estruturas de madeiras. ABNT, Rio de Janeiro, 107 p.
CASTRO (1997) – Analise da segurança no projeto de estruturas: método das estados limites. Dissertação de mestrado EESC-USP. São Carlos. 119 p.
CHURCH, J.D. & HARRIS, B. (1970) – The estimation from stress-strength relationships. Technometrics. 12(1), 49-54.
DOWNTON, F. (1973) – The estimation of Pr(Y<X) in the normal case. Technometrics. 15(3), 551-558.
LEHMANN, E.L. (1959) – Testing statistical hypotheses, New York: John Wiley.
OWEN, D.B.; CRASWELL, K.J. & HANSON, D.L. (1964) – Nonparametric upper confidence bounds for Pr{Y<X} and confidence limits for Pr{Y<X} when X e Y are Normal. American Statistical Association Journal, 59, 906-924.
REISER, B. & GUTTMAN, I. (1986) – Statistical inference for Pr(Y<X): the normal case. Technometrics, 28(3), 253-257.
REISER, B. (1997) – Discussion of “failure probability evaluation for normal distributed load-strength with unknown parameters” by K. Yang, vol 15 1996) 115-118. Reliability engineering and system safety, 56.
YANG, K. (1996) - Failure probability evaluation for normal distributed load-strength with unknown parameters. Reliability engineering and system safety, vol 15, 115-118.
