A Arte de Cifrar, Criptografar, Esconder e Salvaguardar como Fontes Motivadoras para Atividades de Matemática Básica

(1)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matematica - IM

Sociedade Brasileira de Matematica - SBM

Mestrado Profissional em Matem´atica em Rede Nacional -PROFMAT

Dissertac¸˜ao de Mestrado

A Arte de Cifrar, Criptografar, Esconder

e Salvaguardar como Fontes Motivadoras

para Atividades de Matem´

atica B´

asica

Jos´

e Luiz dos Santos

Salvador - Bahia Abril de 2013

(2)

A Arte de Cifrar, Criptografar, Esconder

e Salvaguardar como Fontes Motivadoras

para Atividades de Matem´

atica B´

asica

Jos´

e Luiz dos Santos

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada `

a Comissão Acadêmica Institucional do PROFMAT-UFBA como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Vin´ıcius Moreira Mello.

Salvador - Bahia Abril de 2013

(3)

(4)

`

A Deus . . .

. . . por manter-me saud´avel e com discernimento.

`

A minha companheira Alexandra . . .

. . . pelos muitos momentos de compreens˜ao, paciˆencia, incentivo e carinho.

`

A minha prole, Jos´e Luiz, Jonathan Luiz, Julia Lis e Juliana Lis . . .

(5)

Agradecimentos

Agrade¸co a todos que acreditaram e que tornaram poss´ıvel a realiza¸cão do PROFMAT, que tem resgatado parte da motiva¸cão e dignidade dos profes-sores de matemática do ensino básico do Brasil.

Agrade¸co ao Professor Vin´ıcius Mello pelas orienta¸c˜oes claras e precisas.

Agrade¸co à coordena¸cão e aos professores do PROFMAT/UFBA, pelo empenho e dedica¸cão, o que evidencia vosso compromisso com este programa de mestrado.

Particularmente, agrade¸co o apoio recebido do Col´egio Militar de Salva-dor, principalmente da tenente Patr´ıcia e do sargento Gomes que me dispo-nibilizaram todos os recursos da biblioteca Olavo Bilac.

(6)

”Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática: os pa´ıses socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula.”(Jacques Chapellon)

(7)

Resumo

Tomando por base o enredo da criptografia, este trabalho come¸ca abor-dando os principais conceitos desta ciência através de um contexto histórico, enfatizando sua influência no atual desenvolvimento da ciência e da tecnolo-gia.

Devido a sua base matemática, explora-se três técnicas criptográficas que aplicam os conceitos de fun¸cão, análise combinatória, matrizes e aritmética modular como ferramentas.

Aplica-se o conceito de fun¸cão em cifras de substitui¸cão e transposi¸cão; utiliza-se o conceito de desordenamento para determinar a quantidade de chaves de uma cifra de substitui¸cão monoalfabética; e aplica-se os conceitos de matriz e aritmética modular para explicar o funcionamento da cifra de Hill.

Finalmente, são propostas dez atividades, fundamentadas na técnica de resolu¸cão de problemas, que abordam os conceitos de fun¸cão, análise combi-natória e matrizes, tendo como fonte motivadora a arte de cifrar, criptografar, esconder e salvaguardar.

Palavras-chave: Criptografia; Ensino de fun¸cões; Ensino de Análise Combinatória; Ensino de matrizes; Aritmética modular.

(8)

Abstract

Using the ”Art and Science of Enciphering, Encrypting, Hiding, and Safe-guarding”as a source of inspiration, this work begins with the key concepts of this science through a historical context, emphasizing its influence on the cur-rent development of science and technology. We explore three cryptographic techniques that apply the concepts of function, combinatorics, matrices and modular arithmetic as tools: substitution, transposition and Hill cyphers. Finally, ten activities motivated by cryptography, dealing with the concepts of function, combinatorics and matrices, and based on problem solving tech-niques are proposed.

Keywords: Cryptography, Teaching functions; Teaching Combinatorial Analysis, Teaching matrices; Modular Arithmetic.

(9)

Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao 10

2 A Influência Histórica da Criptografia no Atual Desenvolvi-mento Cient´ıfico e Tecnológico. 14 2.1 Escondendo Mensagens e os Primórdios da Arte de

Criptogra-far e Salvaguardar. . . 15 2.2 A Vulnerabilidade da Criptografia Cl´assica e a Origem da

Criptoan´alise . . . 17 2.3 A Arte de Cifrar em Tempos Modernos, Atuais e Futuros . . . 24

3 Técnicas Criptográficas que Aplicam Matemática Básica como

Ferramenta. 33

3.1 O Ensino de Fun¸cões Aplicado a Cifras de Substitui¸cão e Transposi¸cão . . . 34 3.2 A Utiliza¸cão de Técnicas de Contagem na Determina¸cão do

Número de Chaves Criptogáficas . . . 40 3.3 Aplica¸cão de Matriz e Aritmética Modular na Utiliza¸cão da

Cifra de Hill . . . 44

4 Atividades de Matemática Básica Motivadas pela Arte de Cifrar, Criptografar, Esconder e Salvaguardar. 49 4.1 Atividades de Criptografia para o Ensino de Fun¸cões . . . 50 4.2 Atividades de Criptografia para o Ensino de Análise

Combi-nat´oria . . . 66 4.3 Atividades de Criptografia para o Ensino de Matrizes . . . 69 4.4 Atividades Diversas de Criptografia . . . 73

5 Conclus˜ao 78

(10)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Desde o surgimento da espécie humana que a necessidade de comunica¸cão se tornou imprescind´ıvel, fosse para alertar sobre algum perigo ou expres-sar sua cultura ou sentimento. A evolu¸cão da comunica¸cão acompanha a evolu¸cão biológica e social do homem que está dividida em Pré-História, per´ıodo anterior à inven¸cão da escrita que data de aproximadamente 5.000 a.C. e História.

A transi¸cão da Pré-história para a História se dá por volta de 4.000 a.C. Os historiadores aceitam como certo o aparecimento da escrita na Meso-potâmia e no Egito.

Figura 1.1: A escrita cuneiforme ´e o primeiro documento escrito que se tem registro.

Se o surgimento da escrita marca o in´ıcio da história, a inven¸cão da técnica de imprimir ilustra¸cões, s´ımbolos e a própria escrita, promove a

(11)

pos-sibilidade de tornar a informa¸c˜ao acess´ıvel a um n´umero cada vez mais cres-cente de pessoas, alterando assim o modo de viver e de pensar da sociedade.

Passamos por grandes inven¸cões, como o jornal, que data o seu primeiro exemplar de 59 a.C., em Roma, publicado por Julio César, com o intuito de informar o público sobre os mais importantes acontecimentos sociais e pol´ıticos e que, até hoje, tem a mesma fun¸cão.

A inven¸cão do rádio, com sua primeira transmissão datada de 1.900, foi um marco na história, pois ao contrário do jornal, as ondas do rádio tinham um alcance e velocidade muito superiores. O passo seguinte foi o surgimento da televisão, em 1924, que era a jun¸cão dos componentes gráficos de um jor-nal, como imagens e figuras, com os componentes de áudio do rádio.

Na Era da Tecnologia o computador é o principal elemento, pois no in´ıcio, em 1943, ele era uma máquina gigantesca, de cálculos, que ocupava uma sala inteira, passando por transforma¸cões até que em 1971, surgiu o primeiro mi-crocomputador. Andando lado a lado com a evolu¸cão dos computadores, está a Internet, que foi desenvolvida em 1969, para fins militares, na época da Guerra Fria. Não passava de um sistema de comunica¸cão entre as bases militares dos EUA, e tinha o nome de ArpaNet.

Atualmente, a troca de informa¸cões através da Internet e de meios móveis tornou-se imprescind´ıvel na vida de todos nós. Paralelamente a evolu¸cão na forma de trocar informa¸cões, está a necessidade de, muitas vezes, fazê-la de forma segura de modo a salvaguardar informa¸cões pessoais ou até mesmo segredos de estado ou corporativos.

Historicamente, reis, rainhas e generais dependeram de comunica¸cões efi-cientes de modo a governar seus reinos e comandar seus exércitos. A habili-dade de disfar¸car uma mensagem de forma que somente o destinatário possa acessá-la foi motivada pela amea¸ca de intercepta¸cão pelo inimigo. Coman-dantes militares precisam transmitir ordens a seus comandados sem que o inimigo tome conhecimento da mesma, o que acabaria com a principal arma de um combate, a surpresa.

L´ıderes pol´ıticos precisam trocar informa¸cões com seus aliados; as insti-tui¸cões financeiras e as empresas necessitam transmitir informa¸cões sigilosas a suas filiais. Existe uma grande variedade de transa¸cões que envolvem di-nheiro que são feitas de maneira eletrônica, desde compras por cartão de crédito via internet a saques em caixas eletrônicos. A informa¸cão referente

(12)

a estas transa¸cões seguem por linha telefônica ou redes de alta velocidade e estão facilmente sujeitas à escutas. A interconexão dos sistemas informati-zados nos leva a um maior cuidado com os ataques em rede, pois a tentativa de acesso indevido a informa¸cões sigilosas pode vir de pessoas fisicamente distantes dos sistemas onde a informa¸cão está armazenada.

A arte de cifrar, criptografar, esconder e salvaguardar uma informa¸cão para transmiti-la de forma que somente o destinatário possa compreendê-la, evitando que seu conteúdo se torne público, é uma preocupa¸cão histórica e, ao mesmo tempo, cotidiana. Os processos pelos quais informa¸cões envi-adas eletronicamente são codificadas dependem, essencialmente, do uso da matemática, mais especificamente da teoria dos números, que é a área da ma-temática mais utilizada nas aplica¸cões à criptografia. Questões referentes à aritmética modular, fun¸cões, matrizes, análise combinatória, são exemplos de assuntos do curr´ıculo básico da matemática que são aplicados na criptografia.

Um código envolve a substitui¸cão de uma palavra ou frase por uma pa-lavra, um número ou um s´ımbolo. Uma alternativa ao código é a cifra, uma técnica que age num n´ıvel mais fundamental, onde as letras, no lugar das palavras, são substitu´ıdas.

Da arte de esconder mensagens e permutar frases, a curvas el´ıpticas e criptografia quântica, passando pela cria¸cão dos computadores, a história dos códigos, que possui relatos que datam da inven¸cão da escrita, se desenvolveu através dos tempos em uma batalha entre seus criadores e seus decifradores, causando um forte impacto no curso da história da humanidade. Por isso, se fala que uma Terceira Guerra Mundial seria a guerra dos matemáticos, pois eles teriam o controle sobre a grande arma de guerra, a informa¸cão.

A importância desta ciência, tanto histórica como cient´ıfica, não pode passar despercebida pelos curr´ıculos escolares, pois mostra de forma contex-tualizada, a forte liga¸cão que há entre a história da humanidade e a evolu¸cão cient´ıfica de nossa sociedade.

Neste trabalho, o tema criptografia é desenvolvido através de atividades didáticas que aliam conteúdos de matemática do ensino médio a este tema, possibilitando ao professor um trabalho com temas atuais e aos alunos o con-tato com tecnologias, entre elas a calculadora, tendo como fonte motivadora a arte de cifrar, criptografar, esconder e salvaguardar informa¸cões sigilosas. Para atingir este objetivo, no cap´ıtulo 2 serão trabalhados alguns conceitos básicos de criptografia, de forma cronológica e contextualizados com fatos

(13)

históricos. No cap´ıtulo 3, será trabalhado o ensino de fun¸cões aplicado a cifras de substitui¸cão e transposi¸cão, serão utilizadas técnicas de contagem para determinar o número de chaves em uma cifra de substitui¸cão monoal-fabética e serão aplicadas as teorias sobre matrizes e aritmética modular ao resolver problemas envolvendo a cifra de Hill. No cap´ıtulo 4, estão propostas dez atividades que contemplam os conteúdos de fun¸cão, análise combinatória e matrizes, voltados especificamente para aplica¸cão direta em sala de aula, baseadas nas competências e habilidades constantes da matriz de referência do ENEM.

(14)

Cap´ıtulo 2

A Influˆ

encia Hist´

orica da

Criptografia no Atual

Desenvolvimento Cient´ıfico e

Tecnol´

ogico.

A escrita hierogl´ıfica, compreens´ıvel apenas aos sacerdodes eg´ıpcios, que data de 2.000 a.C., é o primeiro ind´ıcio histórico da preocupa¸cão do homem em tornar textos inintelig´ıveis. A escrita cuneiforme dos babilônios, ratifica esta tese.

Figura 2.1: Papiros Eg´ıpcios.

Porém, os primeiros relatos sobre escrita secreta datam de Heródoto, ”o pai da História”, que no século V antes de Cristo, em sua obra ”as Histórias”, escreveu que foi a arte da escrita secreta que salvou a Grécia de ser conquis-tada por Xerxes, o déspota l´ıder dos persas.

Xerxes passou cinco anos montando secretamente a maior for¸ca de com-bate da história, até que em 480 a.C. ele estava pronto para lan¸car um ataque surpresa sobre a Grécia. Contudo, os preparativos persas tinham sido

(15)

teste-munhados por Desmarato, um grego que vivia na P´ersia e que decidiu enviar uma mensagem para advertir os espartanos dos planos de Xerxes.

A estratégia de Desmarato para conseguir a comunica¸cão secreta consis-tira em ocultar a mensagem. Para isso, raspara a cera de um par de tabuletas de madeira, escrevera a mensagem e a cobrira novamente com cera. Deste modo, as tabuletas pareceriam estar em branco e não causariam problemas com os guardas ao longo da estrada.

A mensagem chegou ao seu destino e cumpriu o seu objetivo, pois os gre-gos, ate ent˜ao indefesos, se armaram e humilharam a esquadra persa em um contra ataque surpresa.

2.1 Escondendo Mensagens e os Prim´

ordios

da Arte de Criptografar e Salvaguardar.

A arte de esconder uma mensagem, sem nenhum tratamento para mo-dificá-la, é uma técnica primitiva chamada esteganograf ia, que deriva do grego Steganos, coberto, e graphia, escrita.

Ainda em ”as Histórias”, Heródoto relata a história de Histaeu, que para enviar uma mensagem secreta a Aristágora, raspou a cabe¸ca de um mensa-geiro, escreveu a mensagem no couro cabeludo e esperou o cabelo crescer. O mensageiro, que aparentemente não levava nada que fosse perigoso, chegou ao destinatário e raspou a cabe¸ca, revelando a mensagem.

Apesar de primitiva, a longevidade da esteganograf ia demonstra que ela oferece uma certa seguran¸ca, entretanto trata-se de um procedimento sem fundamento cient´ıfico. Durante a Segunda Guerra Mundial, agentes alemães que atuavam na América Latina, utilizaram uma técnica de transmissão de mensagem que consistia em microfilmar uma página de texto, reduzindo ao tamanho de um ponto. Este ponto era colocado sobre um ponto final de um documento aparentemente ostensivo. O receptor, ao receber a mensagem, procurava pelo ponto e ampliava-o para ter acesso a informa¸cão. Os aliados descobriram a técnica em 1941 e passaram a interceptar a comunica¸cão. A principal deficiência deste tipo de técnica é que caso a mensagem seja desco-berta, poderá ser lida por qualquer pessoa.

(16)

Paralelamente ao desenvolvimento da Esteganograf ia, houve a evolu¸cão da criptograf ia, palavra derivada do grego, kriptos, que significa secreto, e graphia, escrita. A criptograf ia utiliza o conceito de modificar a mensa-gem original através de processos sistematizados, chamados de encripta¸cão, transformando-a em uma mensagem inintelig´ıvel.

Uma das formas de trocar mensagens criptografadas requer que transmis-sor e receptor conhe¸cam o algoritmo utilizado para encriptar a mensagem e a chave utilizada. Algoritmo é um conjunto de procedimentos, em sequência organizada, para resolver determinado problema. Nesse caso, por exemplo, poder´ıamos substituir cada letra da mensagem original por outra, previa-mente estabelecida, que seria a chave do sistema de encripta¸cão. Com isso, uma mensagem criptografada não é compreens´ıvel por outra pessoa que não o destinatário, ao qual caberia reverter o algoritmo de cifragem, utilizando a chave para recriar a mensagem original a partir do texto cifrado.

Figura 2.2: Cifragem de uma mensagem.

Apesar da distin¸cão entre esteganografia e criptografia, é poss´ıvel uti-lizar um sistema h´ıbrido, onde uma mensagem é criptografada e o texto inintelig´ıvel é escondido, como no episódio em que um texto era transfor-mado em um ponto, durante a segunda guerra mundial. Após a descoberta dos aliados, os alemães passaram a tomar a precau¸cão extra de codificar a mensagem antes de microfilmá-la.

Como veremos a seguir, na criptografia clássica, desenvolvida antes do advento do computador, as cifras eram baseadas em apenas duas opera¸cões básicas, a transposi¸cão e a substitui¸cão.

(17)

2.2 A Vulnerabilidade da Criptografia Cl´

assica

e a Origem da Criptoan´

alise

Desde o momento em que a técnica de criptografar mensagens se tornou compreens´ıvel, a criptografia passou a utilizar dois métodos fundamentais: A transposi¸cão, que consiste em trocar a posi¸cão das letras da mensagem ori-ginal, promovendo uma permuta¸cão das letras segundo um algoritmo e uma chave bem determinados; e a substitui¸cão, que tem por base a permuta¸cão do alfabeto, ou seja, trocar cada letra ou s´ımbolo por outro.

Um exemplo histórico do uso do método de Transposi¸cão, está no pri-meiro aparelho criptográfico militar que se tem conhecimento, o Bastão de Licurgo, que data do século V a.C. Era um bastão de madeira ao redor do qual enrolava-se uma tira de couro longa e estreita. O remetente escrevia a mensagem ao longo do bastão e depois desenrolava a tira de couro, a qual passava a conter apenas um monte de letras sem sentido algum. O men-sageiro poderia utilizar a tira como um cinto, com as letras voltadas para dentro (Esteganografia), e o destinatário ao receber do mensageiro a tira de couro, a enrolaria em um bastão com as mesmas dimensões do bastão do destinatário. O formato do bastão seria a chave desta cifra.

Figura 2.3: O Bast˜ao de Licurgo

Um método utilizado na Grécia Antiga, conforme descrito por Plutarco, em 90d.C., no livro ”Vida de homens ilustres”, era a Tabela Espartana, que consistia de uma tabela comum, onde a chave do código era o número de colunas da tabela, já que o número de linhas dependeria do tamanho da mensagem. A mensagem era escrita nas células da tabela, da esquerda para a direita e de cima para baixo(ou de outra forma previamente combinada) e o texto cifrado era obtido tomando-se as letras em outro sentido e dire¸cão. Por exemplo, o texto ”MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEM ÁTICA”em uma tabela com 5 colunas, utilizando a letra H no lugar do espa¸co, ter´ıamos

(18)

o seguinte:

Tomando o texto na tabela, de cima para baixo, teremos o seguinte texto inintelig´ıvel:

MARSL MAEDO IHATS OFOET ITHIN MECRP SAHMA ´

E usual separarmos o texto inintelig´ıvel em blocos de 5 letras. Quando a quantidade de letras do texto não for múltipla de 5, completa-se o último bloco do texto inintelig´ıvel com letras aleatórias.

O exemplo mais clássico do método da substitui¸cão é o chamado Código de César, utilizado pelo imperador Romano Júlio César (100 a 44 a.C.) em suas correspondências militares , que utilizava uma chave de substitui¸cão bas-tante elementar. Cada letra da mensagem original era substitu´ıda pela letra que ficava a três posi¸cões a frente no alfabeto. A tabela abaixo ilustra a ideia.

Assim, o texto MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEM ÁTICA, cifrado pelo código de César, ficaria

PHVXUDGRKSURILVVLRQDOKHPKPDXHPDXLFD

O Código de César é, na realidade, um caso particular do código de Subs-titui¸cão Monoalfabética, onde cada letra ou s´ımbolo é substitu´ıdo sempre por

(19)

uma mesma letra ou s´ımbolo. Existe ainda outros dois tipos de códigos de substitui¸cão. A substitui¸cão Homofônica, onde um caractere pode ser subs-titu´ıdo por mais de um caractere diferente e a substitui¸cão Polialfabética, que é a conjun¸cão de várias cifras de substitui¸cão monoalfabética.

Nos dois exemplos acima, existem algumas possibilidades para o texto cifrado. No caso da tabela espartana, considerando apenas uma única forma de escrever o texto original e de tomar o texto inintelig´ıvel, ter´ıamos 33 pos-sibilidades, pois a tabela teria de 2 a 34 colunas, já que o texto tem 35 letras. Neste caso, não seria tão complicado testarmos todas as possibilidades até chegarmos a uma que fizesse sentido. Este tipo de tentativa de decifrar um texto, onde parte-se para a verifica¸cão de todas as chaves poss´ıveis do código utilizado, chama-se ataque de for¸ca bruta.

No caso da substitui¸cão monoalfabética, fazemos uma rela¸cão entre cada letra do alfabeto original com um outro alfabeto permutado. Assim, conside-rando que cada letra do alfabeto deve se substitu´ıda por uma letra diferente dela mesma, teremos 26!(_0!1−1

1!+ 1 2!− 1 3!+· · ·+ 1 26!) ∼= 1, 48×10 26_{possibilidades}

de definir a chave deste código, que correspondem às permuta¸cões caóticas das 26 letras do alfabeto, o que torna bem mais complicado o ataque por for¸ca bruta. No cap´ıtulo 3 estudaremos as permuta¸cões caóticas com mais detalhes.

Por volta do ano de 750, apesar do desenvolvimento do povo ´arabe na ´

area das ciências, a sua grande contribui¸cão não foi na criptografia e sim na criptoanálise, ciência que permite decifrar uma mensagem sem conhecer a chave. Esta grande contribui¸cão deve-se a al-Kindy, que em seu livro ”Es-critos sobre a Decifra¸cão de Mensagens Criptográficas”, definiu o método da Análise de Frequências. Este método consiste em comparar a frequência de aparecimento das letras do alfabeto de uma determinada l´ıngua, com a frequência de aparecimento das letras no texto cifrado, fazendo assim uma correspondência entre elas. Obviamente que algumas suposi¸cões e avalia¸cões sobre o texto cifrado ainda terão que ser feitas, mas a quantidade de tentati-vas diminui consideravelmente. Veja abaixo a tabela de frequência das letras de nosso alfabeto.

(20)

Da´ı em diante, mesmo ficando expl´ıcita a vulnerabilidade do método da substitui¸cão monoalfabética diante da análise de frequências, durante toda a Idade Média a Europa ainda utilizava esta técnica de criptografia. Na reali-dade, o avan¸co cient´ıfico nesta época foi moroso, sendo que grande parte do conhecimento sobre a criptografia era considerado magia negra.

A cria¸cão da criptoanálise como ciência, a partir da defini¸cão do método da análise de frequências, deu in´ıcio a uma permanente luta entre os criado-res e os quebradocriado-res de códigos, o que, desde aquela época, vem beneficiando ambas as partes.

A rea¸cão à análise de frequências, com a cria¸cão de novas técnicas para criptografar mensagens, só ocorreu com o in´ıcio do Renascimento, em 1450. Nesta época, correspondências sigilosas que tratavam de pol´ıtica externa, as-suntos militares e economia, estavam vulneráveis e necessitavam ser melhor salvaguardadas. A primeira rea¸cão foi a utiliza¸cão de códigos de substitui¸cão homofônica, proposto por Simeone de Crema, em 1452. Este código consistia em atribuir a cada letra do alfabeto, uma certa quantidade de s´ımbolos, de-pendendo de sua frequência no alfabeto. A letra a, por exemplo, possui uma frequência dez vezes maior que algumas consoantes, por isso, deve ter uma maior quantidade de s´ımbolos correspondentes. Veja um exemplo de tabela para uma cifra homofônica.

Desta forma, a frase MESTRADO PROFISSIONAL EM MA-TEM ´ATICA, substituindo os espa¸cos, aleatoriamente, por algarismos seria transformada em:

XRGBF WJP7D (AKU+ GISCE Z1TX8 X!BYX @BSHW

Apesar da cifra homofônica anular, em parte, a análise de frequências, algumas fragilidades ainda persistiram neste código. O fato da maioria das consoantes estar associada a uma única cifra, permite que se analise as cifras associadas as vogais, buscando no texto inintelig´ıvel as cifras das ra´ızes NHA,

(21)

NHO e QUE.

Certamente que esta cifra dificultou bastante o trabalho dos criptoanalis-tas e este trabalho poderia ter ficado ainda mais dif´ıcil se usassem várias cifras também para as consoantes. Porém, não podemos esquecer que na-quela época a criptografia era utilizada essencialmente para o comércio e nos campos de batalha, onde a necessidade de decifrar uma mensagem de forma simples e rápida era essencial. Por isso, a cifra homofônica não atendeu to-talmente às necessidades para uma comunica¸cão simples e segura.

Um exemplo da utiliza¸cão de uma cifra homofônica foi o código do Rei Felipe II da Espanha. No final do século XVI o Império Espanhol dominava grande parte do mundo e os militares espanhóis se comunicavam utilizando a chamada Cifra Espanhola, qua consistia de uma cifra homofônica com-posta por mais de 500 caracteres, com cada vogal sendo representada por três s´ımbolos diferentes, cada consoante por dois s´ımbolos e uma grande va-riedade de s´ımbolos para a substitui¸cão dos d´ıgrafos e das palavras curtas mais utilizadas. Além disso, o código era alterado a cada três anos. Por se tratar de uma varia¸cão da cifra monoalfabética, a complexidade do código não resistiu ao ataque feito pelo matemático francês Fran¸cois Viéte (1540 -1603), que utilizou engenhosamente a análise de frequência.

Em desvantagem, a criptografia necessitava de uma cifra mais resistente aos ataques dos criptoanalistas. Para superar a fragilidade das cifras ho-mofônicas, o arquiteto italiano Leon Battista Alberti criou, em 1470, a pri-meira cifra polialfabética, através dos Discos de Alberti. Esta foi a primeira ideia de mecaniza¸cão dos processos de cifragem e decifragem.

Figura 2.4: Disco de Alberti

(22)

mensagem original e o disco interno é móvel e fornece os respectivos s´ımbolos correspondentes. Para cifrar uma mensagem utilizava-se uma quantidade de discos ajustados em posi¸cões diferentes e fazia-se a respectiva correspondência das letras do texto original, ordenadamente pelos discos. Por exemplo, para três discos ter´ıamos a primeira letra da mensagem codificada no primeiro disco, a segunda letra no segundo disco, a terceira letra no terceiro disco, a quarta letra novamente no primeiro disco e assim sucessivamente. Esta cifra não resistiu muito tempo ao ataque dos criptoanalistas e logo necessitou de um aperfei¸coamento.

Um aprofundamento da ideia de Alberti foi feito em 1523 pelo Diplomata Francˆes Blaise de Vigenere (1523 - 1596), publicado em seu livro de t´ıtulo Tratado das Cifras.

Esta cifra, conhecida como Cifra de Vigenere, tinha como ideia básica para cifrar uma mensagem, utilizar vários discos de Alberti simultaneamente conforme o tamanho de uma palavra chave. A posi¸cão inicial de cada disco ´

e definida pelas letras da palavra chave que indica a correspondˆencia com a letra A do disco externo.

Na realidade, ao invés de discos, a cifra de Vigenere utilizava como ferramenta uma matriz com um número de linhas e colunas igual ao número de s´ımbolos utilizados no texto original. Veja abaixo uma tabela com o nosso alfabeto.

(23)

Na primeira linha est´a o alfabeto para os s´ımbolos do texto original e na primeira coluna o alfabeto para os s´ımbolos da palavra chave. Cada letra do texto original ´e correspondida pelo alfabeto deslocado situado na mesma linha da letra da palavra chave, ordenadamente. Pela tabela, a palavra MATE-MATICA cifrada com a palavra chave DISCO, ficaria PILGADBAEO.

A cifra de Vigenere foi a primeira a ficar imune ao ataque da análise de frequência, o que, por vários anos, parecia ter declarado a vitória dos cria-dores de códigos.

No entanto, a cifra de Vigenere era pouco atraente em uma época em que máquinas mecânicas ainda não existiam, o que tornava o ato de cifrar e decifrar muito trabalhoso. Por isso, a cifra ficou em desuso por quase 200 anos e, quando foi utilizada mais intensamente, durou ainda um pouco mais de 100 anos, resistindo até 1856 quando o matemático Inglês Charles Babbage (1791 - 1871) descreve um método para quebrar a cifra de Vigenere.

O matemático Inglês Charles Babbage foi uma das personalidades mais incomuns da área cient´ıfica. Em [3], relata-se que era filho de fam´ılia nobre, foi deserdado por ter uma vida extravagante. Gastou sua fortuna imple-mentando ideias e máquinas, nem todas bem sucedidas. Portanto, uma das máquinas desenvolvidas por Babbage é reconhecida nos dias atuais como o primeiro protótipo de um computador.

A técnica utilizada por Babbage para quebrar a cifra de Vigenere se re-sumiu em determinar o comprimento k da palavra chave e depois dividir a mensagem criptografada em k textos cujas letras estão a uma distância k uma das outras. Após esta etapa, basta aplicar a análise de frequência em cada um dos textos.

A dificuldade então, passa ser descobrir o comprimento da palavra chave. Para isso, uma análise do texto cifrado visando buscar repeti¸cões que indiquem d´ıgrafos e tr´ıgrafos como que, nha, nhe, nho, não, ai, ou são capazes de identificar este comprimento.A quebra da cifra de Vigenere ins-taurou um clima de inseguran¸ca na transmissão secreta de mensagens e a Idade Moderna termina da mesma forma como come¸cou, com os criadores de códigos em busca de uma nova cifra que pudesse reestabelecer a comunica¸cão segura.

(24)

2.3 A Arte de Cifrar em Tempos Modernos,

Atuais e Futuros

O desenvolvimento da criptografia até os dias atuais foi determinado por três per´ıodos: o artesanal, o mecânico e o digital. O per´ıodo artesanal regis-tra os primeiros ind´ıcios de utiliza¸cão da criptografia, paralelamente com o surgimento da escrita, ocorrendo durante as idades antiga e média. No in´ıcio da idade moderna, surgem os primeiros ind´ıcios do per´ıodo mecânico, devido a inven¸cão da imprensa.

Impulsionada pela inven¸cão do telégrafo e do rádio, o auge do per´ıodo mecânico ocorre com o surgimento de máquinas de cifragem utilizadas du-rante a segunda guerra mundial, onde podemos destacar a máquina alemã Enigma. A Revolu¸cão Industrial criou no homem a paixão pelas máquinas e a esperan¸ca de substitui¸cão do cansativo trabalho manual pelo mecânico.

O final do século XIX foi uma época muito dif´ıcil para a comunica¸cão segura, pois a cifra de Vigenère, vista como indecifrável, tinha sido quebrada por Babbage. O surgimento do rádio como uma poderosa ferramenta de co-munica¸cão, exigia técnicas de cifragem ainda mais fortes e a prova de ataques, pois a comunica¸cão via rádio era aberta e poderia ser facilmente interceptada pelo inimigo.

Com o século XX vieram as guerras mundiais. Nos preparativos para a Primeira Guerra Mundial, todos os pa´ıses envolvidos contavam com o poder de comunica¸cão do rádio e com a incerteza da comunica¸cão segura. Utili-zando a cifra ADFGVX, uma combina¸cão de técnicas de transposi¸cão e subs-titui¸cão, os alemães iniciaram uma grande ofensiva em 21 de mar¸co de 1918. Com menos de três meses de batalha, os alemães já estavam a 100 quilômetros de Paris e se preparavam para a ofensiva final. Era vital descobrir qual se-ria o ponto selecionado pelos alemães para neutralizar o efeito surpresa. A esperan¸ca da Fran¸ca e dos aliados era decifrar o código ADFGVX. As for¸cas aliadas contavam com um criptoanalista chamado Georges Pavin, que tinha a reputa¸cão de ter quebrado todos os códigos alemãs até aquela data. No entanto, em maio de 1918 os franceses tinham interceptado uma mensagem criptografada com a cifra ADFGVX e que Pavin ainda não conseguira de-cifrar. Após muitos esfor¸cos, em junho de 1918 Pavin conseguiu encontrar a chave que decifraria a cifra ADFGVX. A partir da´ı, todas as mensagens interceptadas poderiam ser lidas, principalmente a que revelou o ponto esco-lhido pelo exército alemão para o ataque à Paris. Com esta informa¸cão, os

(25)

aliados refor¸caram o local, eliminando o elemento surpresa da tropa alem˜a que recuou ap´os cinco dias de batalha.

Durante a segunda guerra mundial a criptografia entra definitivamente no per´ıodo mecânico com o surgimento da máquina de cifrar alemã deno-minada Enigma. Criada em 1918 pelo engenheiro alemão Arthur Scherbius, todos os n´ıveis do Governo a utilizaram para se comunicar de maneira se-gura e estavam convencidos da impossibilidade da quebra de seu código. Na ´

epoca, acreditava-se que teria sido descoberta uma máquina impenetrável. No entanto, apesar da complexidade e do alto n´ıvel de embaralhamento dos dados, as mensagens transmitidas pela Enigma come¸caram a ser decifradas frequentemente. A quebra do código da máquina Enigma foi um dos maio-res triunfos criptoanal´ıticos de todos os tempos, num empreendimento que envolveu Polonenses, Franceses e Ingleses num esfor¸co conjunto, em plena guerra.

O trabalho come¸cou com o matemático polonês Marian Rejewski, que se baseou em textos cifrados interceptados e em uma lista de três meses de chaves diárias, obtidas através do servi¸co de espionagem francês. As contri-bui¸cões de Rejewski foram muito importantes apesar de não conclusivas. Seu trabalho continuou e foi conclu´ıdo com sucesso pela equipe inglesa liderada por Alan Turing, Gordon Welchman e outros, em Bletchley Park, na Ingla-terra.

Para realizar o trabalho como uma resposta à alta mecaniza¸cão da Enigma, Alan Turing e seus colaboradores desenvolveram dois tipos de máquinas para manipular as cifras interceptadas da Enigma: a primeira foi denominada Bomba e a segunda Colossus. Esta última ao ser programável é considerada uma precursora dos modernos computadores.

A grande dificuldade encontrada pela equipe de Alan Turing ocorreu em fun¸cão de que os alemães mudavam regularmente a configura¸cão da Enigma. Além das chaves que tinham validade mensal, mudan¸cas cont´ınuas foram implementadas, com destaque para o acréscimo de mais dois misturadores, incrementando, de modo impressionante, o número de chaves poss´ıveis.

A Enigma representou o estágio mais avan¸cado a que se pode chegar com as máquinas de cifrar, com base exclusivamente mecânica e com a utiliza¸cão de corrente elétrica. O princ´ıpio no qual se baseia essa máquina vem de tempos antigos, inspirado nos discos de cifragem de Alberti. Estes discos forneceram o princ´ıpio básico de funcionamento dos misturadores, o cora¸cão

(26)

da Enigma.

Figura 2.6: A M´aquina Enigma

Veja alguns detalhes da estrutura da m´aquina Enigma.

- A mensagem era cifrada e decifrada usando o mesmo tipo de m´aquina. A Enigma lembrava uma m´aquina de escrever.

- Era constitu´ıda de um teclado, um painel luminoso, uma câmara com três misturadores, um refletor e um painel frontal com cabos elétricos.

- A chave para a utiliza¸cão da Enigma dependia de uma configura¸cão de montagem, que compreendia a ordem e a posi¸cão dos misturadores, conexão dos cabos emparelhando duas letras no painel frontal e a posi¸cão do refletor.

- Para cifrar uma mensagem, o operador teclava uma letra e o comando estimulava o circuito el´etrico e as letras cifradas apareciam, uma a uma, no painel luminoso.

Na criptografia mecânica é fundamental a oculta¸cão pública da chave e também desejável manter segredo sobre a estrutura da máquina que produz a cifragem. Com o desenvolvimento e aperfei¸coamento dos computadores e a incr´ıvel capacidade de realizar mais de um milhão de opera¸cões por segundo e a necessidade de uso da criptografia pelo comércio e bancos, os algoritmos criptográficos passam a ser de conhecimento público e o segredo a residir exclusivamente na chave.

Os algoritmos de chave simétrica (também chamados de Sistemas de Chave Simétrica, criptografia de chave única, ou criptografia de chave

(27)

se-creta) são uma classe de algoritmos para a criptografia, que usam chaves criptográficas relacionadas para as opera¸cões de cifragem e decifragem. A opera¸cão de chave simétrica é mais simples, pois pode existir uma única chave entre as opera¸cões. A chave, na prática, representa um segredo, par-tilhado entre duas ou mais partes, que podem ser usadas para manter um canal confidencial de informa¸cão. Usa-se uma única chave, partilhada por ambos os interlocutores, na premissa de que esta é conhecida apenas por eles.

Avan¸cando até os tempos modernos, alguns tipos de algoritmos simétricos foram desenvolvidos, onde os mais conhecidos e utilizados são descritos abaixo:

O Data Encryption Standard (DES) é o algoritmo simétrico mais dis-seminado no mundo. Foi criado pela IBM em 1977 e, apesar de permitir cerca de 72 quatrilhões de combina¸cões (256), seu tamanho de chave (56 bits) é considerado pequeno, tendo sido quebrado por ”for¸ca bruta”em 1997 em um desafio lan¸cado na Internet. O NIST (National Institute of Standards and Technology), que lan¸cou o desafio mencionado, recertificou o DES pela ´

ultima vez em 1993 e desde então está recomendando o 3DES. O NIST está também propondo um substituto ao DES que deve aceitar chaves de 128, 192 e 256 bits, operar com blocos de 128 bits, ser eficiente, flex´ıvel e estar livre de ”royalties”.

O 3DES é uma simples varia¸cão do DES, utilizando-o em três ciframen-tos sucessivos, podendo empregar uma versão com duas ou com três chaves diferentes. É seguro, porém muito lento para ser um algoritmo padrão.

O IDEA - International Data Encryption Algorithm - foi criado em 1991 por James Massey e Xuejia Lai e possui patente da su´ı¸ca ASCOM Systec. O algoritmo ´e estruturado seguindo as mesmas linhas gerais do DES. Na maioria dos microprocessadores, uma implementa¸c˜ao por software do IDEA ´

e mais rápida do que uma implementa¸cão por software do DES. O IDEA é utilizado principalmente no mercado financeiro e no PGP, o programa para criptografia de e-mail pessoal mais disseminado no mundo.

Por mais de dois mil anos, desde a época da cifra de César até a década de 70, a comunica¸cão cifrada exigia que as duas partes comunicantes com-partilhassem um segredo em comum, a chave simétrica usada para cifrar e decifrar. Uma dificuldade dessa abordagem é que as duas partes têm que escolher, conjuntamente e de alguma maneira, qual é a chave. Mas, para isso, é preciso comunica¸cão segura. Uma alternativa seria um encontro en-tre as partes para que escolhessem, pessoalmente, a chave. Porém, no atual

(28)

mundo em rede, o mais provável é que as partes comunicantes nunca possam se encontrar. No intuito de solucionar este problema, vários cientistas na década de 70 voltaram suas pesquisas para a busca de uma solu¸cão. Porém, em 1976, Diffie e Hellman apresentaram um algoritmo conhecido como Diffie Hellman Key Exchange, que tornou poss´ıvel a comunica¸cão por criptografia sem a necessidade de compartilhamento antecipado de uma chave secreta comum. Uma abordagem da comunica¸cão segura radicalmente diferente e de uma elegância que levou ao desenvolvimento dos atuais sistemas de cripto-grafia de chaves públicas.

O uso da criptografia de chaves públicas é bastante simples. Suponha que duas pessoas queiram se comunicar de forma segura. Como mostra a fi-gura 2.7, ao invés de compartilharem uma única chave secreta, o destinatário tem duas chaves: uma chave pública, que está à disposi¸cão do mundo todo, inclusive de intrusos, e uma chave privada, que apenas ele conhece. Primei-ramente, o remetente busca a chave pública do destinatário. Em seguida, ele criptografa sua mensagem usando a chave pública do destinatário e um algo-ritmo criptográfico. O destinatário recebe a mensagem criptografada e usa sua chave privada e um algoritmo de decriptografia para decifrar a mensagem recebida. Dessa forma, duas pessoas podem trocar mensagens secretas sem que nenhuma delas necessite permutar alguma chave.

(29)

Usando a nota¸c˜ao da figura 2.7, para qualquer mensagem m, db(eb(m)) =

m , isto é, aplicando a chave pública do destinatário, eb , e em seguida a sua

chave privada, db , `a mensagem m, recuperamos m. Na realidade, podemos

permutar as chaves criptográficas pública e privada e obter o mesmo resul-tado, isto é, eb(db(m)) = db(eb(m)) = m.

O uso da criptografia de chave pública é, portanto, conceitualmente sim-ples. Mas apresenta duas preocupa¸cões. A primeira preocupa¸cão diz res-peito ao conhecimento público da chave e do algoritmo de criptografia, isto ´

e, embora um intruso que intercepta a mensagem cifrada veja apenas da-dos inintelig´ıveis, ele conhece tanto a chave quanto o algoritmo usado para a criptografia. Assim, um intruso pode montar um ataque para decodificar mensagens, ou parte delas, que suspeite que tenham sido enviadas. Fica claro que, para a criptografia de chave pública funcionar, a escolha de chaves e de códigos de criptografia / decriptografia deve ser feita de tal forma que seja praticamente imposs´ıvel para um intruso determinar a chave privada do des-tinatário. A segunda preocupa¸cão se refere ao envio da mensagem cifrada, ou seja, como a chave criptográfica do destinatário é pública, qualquer um pode enviar uma mensagem cifrada para ele. No caso de uma única chave secreta compartilhada, o fato do remetente conhecer a chave secreta identi-fica implicitamente o remetente para o destinatário. No caso da criptografia de chave pública isso não acontece, já que qualquer um pode enviar uma mensagem cifrada ao destinatário, usando sua chave pública. Neste caso, se faz necessário o uso de uma assinatura digital, que visa garantir a autentici-dade de quem envia a mensagem, associada à integridade do seu conteúdo, vinculando um remetente à mensagem.

Vejamos a seguir, alguns tipos de algoritmos assim´etricos.

O RSA é um algoritmo assimétrico que possui este nome devido a seus inventores: Ron Rivest, Adi Shamir e Len Adleman, que o criaram em 1977 no MIT. É, atualmente, o algoritmo de chave pública mais amplamente uti-lizado, além de ser uma das mais poderosas formas de criptografia de chave pública conhecidas até o momento. O RSA utiliza números primos. O RSA parte da premissa de que é fácil multiplicar dois números primos para ob-ter um ob-terceiro número, porém, é muito dif´ıcil recuperar os dois primos a partir daquele terceiro número dado. Isto é conhecido como fatora¸cão. Por exemplo, os fatores primos de 3.337 são 47 e 71. Gerar a chave pública en-volve multiplicar dois primos grandes; qualquer um pode fazer isto. Derivar a chave privada a partir da chave pública envolve fatorar um grande número. Se o número for grande o suficiente e bem escolhido, então ninguém pode

(30)

fazer isto em uma quantidade de tempo razoável. Assim, a seguran¸ca do RSA baseia-se na dificuldade de fatora¸cão de números grandes. Deste modo, a fatora¸cão representa um limite superior do tempo necessário para quebrar o algoritmo. Uma chave RSA de 512 bits foi quebrada em 1999 pelo Ins-tituto Nacional de Pesquisa da Holanda, com o apoio de cientistas de mais seis pa´ıses. Levou cerca de sete meses e foram utilizadas 300 esta¸cões de trabalho para a quebra. Um fato preocupante é que cerca de 95% dos sites de comércio eletrônico utilizam chaves RSA de 512 bits.

O ElGamal é outro algoritmo de chave pública utilizado para gerencia-mento de chaves. Sua matemática difere da utilizada no RSA, mas também é um sistema comutativo. O algoritmo envolve a manipula¸cão matemática de grandes quantidades numéricas. Sua seguran¸ca advém de algo denominado problema do logaritmo discreto. Assim, o ElGamal obtém sua seguran¸ca da dificuldade de se calcular logaritmos discretos em um corpo finito, o que lembra bastante o problema da fatora¸cão.

O Diffie-Hellman também é baseado no problema do logaritmo discreto, sendo o criptosistema de chave pública mais antigo ainda em uso. O conceito de chave pública foi introduzido pelos autores deste criptosistema em 1976. Contudo, ele não permite ciframento nem assinatura digital. O sistema foi projetado para permitir a dois indiv´ıduos entrarem em um acordo ao com-partilharem um segredo tal como uma chave, embora eles somente troquem mensagens em público.

Em 1985, Neal Koblitz e V. S. Miller propuseram de forma indepen-dente a utiliza¸cão de curvas el´ıpticas para sistemas criptográficos de chave pública. Eles não chegaram a inventar um novo algoritmo criptográfico com curvas el´ıpticas sobre corpos finitos, mas implementaram algoritmos de chave pública já existentes, como o algoritmo de Diffie e Hellman, usando curvas el´ıpticas. Assim, os sistemas criptográficos de curvas el´ıpticas consistem em modifica¸cões de outros sistemas, que passam a trabalhar no dom´ınio das cur-vas el´ıpticas, em vez de trabalharem no dom´ınio dos corpos finitos. Eles possuem o potencial de proverem sistemas criptográficos de chave pública, mais seguros e com chaves de menor tamanho.

Muitos algoritmos de chave pública, como o Diffie - Hellman, o ElGamal e o Schnorr podem ser implementados em curvas el´ıpticas sobre corpos fini-tos. Assim, fica resolvido um dos maiores problemas dos algoritmos de chave pública: o grande tamanho de suas chaves. Porém, os algoritmos de curvas el´ıpticas atuais, embora possuam o potencial de serem rápidos, são em geral

(31)

mais demorados do que o RSA.

Durante algum tempo, muito se discutiu sobre a melhor forma de se crip-tografar: se utilizando um sistema simétrico ou assimétrico. Na realidade, como mostra a tabela abaixo, existem vantagens e desvantagens que, depen-dendo do contexto e das condi¸cões, a escolha do melhor sistema pode variar.

Já vimos anteriormente que a forma de criptografar uma mensagem fazendo uso de chave pública, através de técnicas avan¸cadas e complexas uti-lizando fun¸cões matemáticas, acarreta em um ´ındice de dificuldade à a¸cão de intrusos, maior do que se utilizássemos criptografia simétrica. Porém, de-pendendo da situa¸cão e dos recursos dispon´ıveis, a complexidade excessiva pode tornar impraticável cifrar e decifrar uma mensagem. Por exemplo, em um campo de batalha, digamos que o Comandante de uma Unidade deseje trocar mensagens simples de orienta¸cão com os Comandantes de Subunidade, através de um mensageiro, porém não deseja que estas mensagens sejam os-tensivas. O Comandante poderia se reunir previamente com os Comandantes de Subunidade e trocar chaves simétricas para este tipo de comunica¸cão.

Porém, há situa¸cões onde a velocidade e a disponibilidade de equipa-mentos não são um empecilho; digamos que a maior dificuldade seja reunir as partes comunicantes. Obviamente, a utiliza¸cão de criptografia de chave pública seria mais oportuna. Na prática, o que tem sido utilizado são algo-ritmos h´ıbridos que utilizam as vantagens de cada um dos sistemas, como por exemplo, o PGP (Pretty Good Privacy) para correio eletrônico, o IPSec,

(32)

o S/MIME (Secure Multipurpose Internet Mail Extensions), entre outros.

A partir do in´ıcio de 1990, come¸ca o trabalho de pesquisa para a cons-tru¸cão de computadores quânticos e o desenvolvimento de uma criptografia quântica. Os primeiros ensaios experimentais são publicados por Charles H. Bennett, GillesBrassard e colaboradores, relatando o uso de fótons para transmitir um fluxo de bits. Em um computador quântico a velocidade será muito maior que no mais moderno dos computadores de nossa época. No momento, a pesquisa e o desenvolvimento de computadores quânticos ainda ´

e incipiente e guardada em segredo, mas quando esta tecnologia se tornar uma realidade, novos desafios dar˜ao continuidade a esta rica hist´oria da crip-tografia.

(33)

Cap´ıtulo 3

T´

ecnicas Criptogr´

aficas que

Aplicam Matem´

atica B´

asica

como Ferramenta.

Nas Orienta¸cões Curriculares para o Ensino Médio (2006), consta que o aluno seja capaz de utilizar a Matemática na resolu¸cão de problemas do cotidiano e para modelar fenômenos das distintas aéreas do conhecimento. Consta também que o aluno compreenda a Matemática como conhecimento social que foi constru´ıdo ao longo da história, entendendo a sua importância no desenvolvimento cient´ıfico e tecnológico.

A matemática enfrenta diversos desafios na busca de aliar o interesse dis-cente e a forma¸cão do cidadão, partindo do pressuposto que a educa¸cão se concretiza nesta rela¸cão. Portanto, aproximar a linguagem matemática da realidade é o foco de estratégias educacionais, para que os alunos se tornem cidadãos conscientes, apropriando-se de conhecimentos matemáticos funda-mentais para uma forma¸cão cr´ıtica de nossa sociedade.

Neste contexto, a criptografia pode ser um elemento motivador para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, pois seu desenvolvi-mento histórico e sua aplicabilidade disponibilizam ao professor um cabedal de exemplos contextualizados, ao mesmo tempo em que promovem uma in-teressante liga¸cão com as ciências sociais. A seguir, exemplos da correla¸cão entre matemática e criptografia, ressaltando que a forma de abordagem dos conteúdos não são, necessariamente, a mais adequada para aplica¸cão com estudantes do Ensino Médio, mas servem para embasar o conhecimento dos professores que se propuserem a ensinar este assunto em sala de aula. Con-forme o mandamento número 2, proposto por George Polya em seus dez

(34)

mandamentos para o professor de matem´atica: ”Conhe¸ca sua Mat´eria”.

O cap´ıtulo 4 possui vários exemplos de atividades para aplica¸cão com estudantes do Ensino Médio.

3.1 O Ensino de Fun¸

c˜

oes Aplicado a Cifras

de Substitui¸

c˜

ao e Transposi¸

c˜

ao

.

3.1.1 Preliminares

Um conceito que é absolutamente fundamental para a Criptografia é o de Fun¸cão no sentido matemático de uma Transforma¸cão. Neste contexto, abordaremos algumas defini¸cões preliminares que servirão como base para a aplica¸cão em técnicas de cifragem por substitui¸cão e transposi¸cão.

Defini¸cão 1 Uma rela¸cão f entre os conjuntos X e Y é dita uma fun¸cão quando (x, y) ∈ f e (x, y0) ∈ f implicam em y = y0, ou seja, uma fun¸cão é definida por dois conjuntos X e Y e uma regra f que atribui a cada elemento de X precisamente um elemento de Y . O conjunto X é chamado o Dom´ınio da fun¸cão e o conjunto Y o Contra-Dom´ınio.

Se x é um elemento de X, usualmente escrito x ∈ X , a imagem de x é o elemento em Y cujo a regra f associa com x. A imagem y de x é denotada por y = f (x). A nota¸cão padrão para uma fun¸cão f do conjunto X para o conjunto Y é f : X → Y . Se y ∈ Y então uma preimagem de y é um elemento x ∈ X tal que f (x) = y. O conjunto de todos os elementos de Y que tem pelo menos uma preimagem é chamado de imagem de f , denotado por Im(f ).

Defini¸cão 2 Uma Fun¸cão é injetora se cada elemento do contradom´ınio Y ´

e a imagem de no m´aximo um elemento do dom´ınio X.

Defini¸cão 3 Uma fun¸cão é sobrejetora se cada elemento do contradom´ınio Y é a imagem de pelo menos um elemento do dom´ınio. Equivalentemente, uma fun¸cão f é sobrejetora se Im(f ) = Y .

(35)

Defini¸cão 4 Se uma fun¸cão f : X → Y é injetora e sobrejetora então f é dita uma bije¸cão.

Se f : X → Y é injetora então f : X → Im(f ) é uma bije¸cão. Em particular, Se f : X → Y é injetora e X e Y são conjuntos finitos com o mesmo número de elementos, então f é uma bije¸cão.

Figura 3.1: Uma bije¸c˜ao f e sua inversa g = f−1

Defini¸cão 5 Se f é uma bije¸cão de X para Y então podemos definir de forma óbvia uma bije¸cão g de Y para X, bastando para cada y ∈ Y definir g(y) = x onde x ∈ X e f (x) = y. A fun¸cão g obtida de f é chamada a fun¸cão inversa de f e é denotada por g = f−1.

Note que se f é uma bije¸cão então temos sua inversa f−1. Em cripto-grafia bije¸cões são utilizadas como ferramentas para encriptar mensagens e sua inversa para decriptar.

Permuta¸cões são fun¸cões que são utilizadas frequentemente em várias constru¸cões criptográficas.

Defini¸cão 6 Seja S um conjunto finito. A Permuta¸cão p sobre S é uma bije¸cão de S sobre ele mesmo, ou seja, p : S → S.

Exemplo: Seja S = 1, 2, 3, 4, 5 . Uma permuta¸c˜ao p : S → S de-finida por p(1) = 3 ; p(2) = 5 ; p(3) = 4 ; p(4) = 2 ; p(5) = 1 pode ser representada pela seguinte forma matricial.

p = 1 2 3 4 5 3 5 4 2 1

(36)

A primeira linha da matriz representa o Dom´ınio e a segunda linha a Imagem de p.

Como permuta¸cões são bije¸cões então elas possuem inversa. Se uma per-muta¸cão for escrita na forma matricial, sua inversa é facimente encontrada, bastando trocar a posi¸cão das linhas da matriz. No exemplo acima, a inversa de p é

p−1 =3 5 4 2 1 1 2 3 4 5

Exemplo: Seja X = 0, 1, 2, 3, ..., pq − 1 onde p e q são números primos com mais de 100 algarismos e suponha que 3 não divide p − 1 e nem q − 1. Então, pode-se mostrar que a fun¸cão p(x) = rx, onde

rx é o resto da divisão de x3 por pq, é uma permuta¸cão. Porém, determinar

a permuta¸cão inversa p−1 é computacionalmente inviável para os padrões tecnológicos atuais, a menos que p e q sejam conhecidos. Esta é uma ideia básica para a criptografia assimétrica.

Alguns tipos de fun¸c˜ao tem a propriedade de serem a sua pr´opria inversa.

Defini¸cão 7 Seja S um conjunto finito e seja f uma bije¸cão de S para S, ou seja, f : S → S. A fun¸cão f é dita uma involu¸cão se f = f−1. Equivalentemente podemos dizer que f (f (x)) = x para todo x ∈ S.

(37)

3.1.2 Cifras de Substitui¸

c˜

ao Monoalfab´

etica

Cifras de substitui¸c˜ao s˜ao cifras de bloco que substituem s´ımbolos por ou-tros s´ımbolos ou grupo de s´ımbolos.

Defini¸cão 8 Seja A um alfabeto com q s´ımbolos e seja M o conjunto de todas as sequências de comprimento t sobre A. Seja K o conjunto de to-das as permuta¸cões do cojunto A. Definimos para cada e ∈ K uma fun¸cão criptográfica Ee como:

Ee(m) = (e(m1)e(m2) . . . e(mt)) = (c1c2. . . ct) = c

onde m = (m1m2. . . mt) ∈ M . Em outras palavras, para cada s´ımbolo em

uma t-upla, deve-se substitu´ı-lo por outro s´ımbolo de A conforme cada per-muta¸c˜ao fixada e.

Para decriptar c = (c1c2. . . ct) determine a permuta¸c˜ao inversa d = e−1

e fa¸ca

Dd(c) = (d(c1)d(c2) . . . d(ct)) = (m1m2. . . mt) = m.

Ee é chamada de Cifra de Substitui¸cão Monoalfabética.

A quantidade de cifras distintas (chaves) ser´a discutida e calculada na se¸c˜ao 3.2.

Exemplo: Utilizando nosso alfabeto com 26 letras e definindo uma permuta¸c˜ao e = x + 3, teremos exatamente a cifra de Cesar, a qual trans-forma a mensagem m=MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMATICA

na mensagem cifrada Ee(m) = PHVXUDGR SURILVVLRQDO HP PDXHPDXLFD.

Para decriptar, utiliza-se a permuta¸c˜ao inversa d = e−1 = x − 3.

3.1.3 Cifras de Substitui¸

c˜

ao Homofˆ

onica

Defini¸cão 9 Para cada s´ımbolo a ∈ A, associa-se o conjunto H(a) de sequências de t s´ımbolos, com a restri¸cão que conjuntos H(a), a ∈ A, sejam sepa-rados em pares disjuntos. Uma cifra de substitui¸cão homofônica substitui cada s´ımbolo a em um bloco de mensagem de texto simples com uma esco-lha aleatória de sequências para H(a). Para decifrar uma sequência c de t s´ımbolos, basta determinar um a ∈ A tal que c ∈ H(a). A chave da cifra é o conjunto H(a).

(38)

Exemplo: Considere A = a, b , H(a) = 00, 10 e H(b) = 01, 11 . o bloco de mensagem de texto simples ab é encriptado em uma das seguintes formas: 0001, 0011, 1001, 1011. Observe que o contradom´ınio da fun¸cão criptográfica, para mensagens de comprimento 2, consiste dos se-guintes conjuntos de pares disjuntos de sequências de 4 elementos:

aa →0000, 0010, 1000, 1010 ab →0001, 0011, 1001, 1011 ba →0100, 0110, 1100, 1110 bb →0101, 0111, 1101, 1111

Qualquer seq¨uˆencia de 4 elementos identifica um elemento do contra-dom´ınio e, portanto, uma mensagem de texto simples.

3.1.4 Cifras de Substitui¸

c˜

ao Polialfab´

etica

Defini¸cão 10 Uma cifra de substitui¸cão polialfabética é uma cifra de bloco com comprimento do bloco t sobre um alfabeto A, com as seguintes proprie-dades:

(i) O conjunto das chaves K consiste de todos os conjuntos ordenados de t permuta¸cões (p1, p2, . . . , pt), onde cada permuta¸cão pi é definida no conjunto

A;

(ii) A encripta¸c˜ao da mensagem m = (m1m2. . . mt) sob a chave e = (p1, p2, . . . , pt)

´

e dada por Ee(m) = (p1(m1)p2(m2) . . . pt(mt)); e

(iii) a chave de decripta¸c˜ao associada a e = (p1, p2, . . . , pt) ´e d = (p−11 , p −1 2 , . . . , p

−1 t ).

Exemplo: (Cifra de Vigenere) Seja A = A, B, C, . . . X, Y, Z e t = 3. Escolha e = (p1, p2, p3), onde p1 leva cada letra para uma letra a

três posi¸cões a direita no alfabeto, p2 para uma letra a sete posi¸cões a direita

e p3 a dez posi¸c˜oes a direita. Se

m = MES TRA DOP ROF ISS ION ALE MAT EMA TIC A

Ent˜ao

c = Ee(m) = PLD XZK GVZ UVP LZC LVX DSO PHD HTK XPM D

Cifras Polialfabéticas tem a vantagem sobre as cifras de substitui¸cão monoalfabéticas pois a frequência dos s´ımbolos não são preservadas. No exemplo acima, a letra E é encriptada primeiramente pela letra L, depois

(39)

pela letra O e finalmente pela letra H. No entanto, Cifras Polialfabéticas não apresentam muita dificuldade para a criptoanálise pois é similar a várias cifras monoalfabéticas. De fato, dado um determinado bloco de comprimento t, a mensagem pode ser dividida em t grupos, onde o grupo i, 1 ≤i≤t, consiste das letras da mensagem derivadas da permuta¸cão pi, e a análise de frequência

pode ser feita em cada grupo. (Ataque de Babbage `a cifra de Vigenere).

3.1.5 Cifras de Transposi¸

c˜

ao

Outra classe de cifras de chave simétrica é a cifra de transposi¸cão simples que simplesmente permuta os s´ımbolos em um bloco.

Defini¸cão 11 Considere uma chave simétrica em um esquema de encripta¸cão em bloco, com bloco de comprimento t. Seja K o conjunto de todas as per-muta¸cões do conjunto 1, 2, . . . t . Para cada e ∈ K define-se a fun¸cão de encripta¸cão por

Ee(m) = (me(1)me(2). . . me(t))

onde m = (m1m2. . . mt) ∈ M ´e o espa¸co de mensagem. O conjunto de todas

essas transforma¸cões é chamado de cifra de transposi¸cão simples.

A chave de decripta¸cão correspondente a e é a permuta¸cão inversa d = e−1. Para decriptar c = (c1c2. . . ct), calcule Dd(c) = (cd(1)cd(2). . . cd(t)).

Exemplo: Cifrando a mensagem m

(M EST − RADO − P ROF − ISSI − ON AL − EM M A − T EM A − T ICA)

com t = 4 e e =1 2 3 4 5 6 7 8 3 5 8 7 4 1 6 2

, temos

me(1) = m3 = P ROF me(2)= m5 = ON AL

me(3) = m8 = T ICA me(4)= m7 = T EM A

me(5) = m4 = ISSI me(6) = m1 = M EST

me(7) = m6 = EM M A me(8) = m2 = RADO

Portanto,

Ee(m) = (P ROF − ON AL − T ICA − T EM A − ISSI − M EST −

(40)

3.1.6 Composi¸

c˜

ao de Cifras

Com a finalidade de dificultar a criptoanálise de um texto, podemos utili-zar uma cifra h´ıbrida, ou seja, compor uma cifra de transposi¸cão com uma cifra de substitui¸cão, embora, na prática, isso não ocorra.

Defini¸cão 12 Seja S, T e U conjuntos finitos e seja f : S → T e g : T → U fun¸cões. A composi¸cão de g com f , denotada por g ◦ f , é a fun¸cão de S para U como ilustrado na figura abaixo e definida por (g ◦ f )(x) = g(f (x)), para todo x ∈ S.

Figura 3.3: A composi¸c˜ao g ◦ f das fun¸c˜oes g e f

A composi¸cão pode ser extendida para mais que duas fun¸cões. Para fun¸cões f1, f2, . . . , ft define-se ft◦ · · · ◦ f2◦ f1, onde o dom´ınio de ft equivale

ao contradom´ınio de ft−1 e assim por diante.

3.2 A Utiliza¸

c˜

ao de T´

ecnicas de Contagem

na Determina¸

c˜

ao do N´

umero de Chaves

Criptog´

aficas

.

Nesta Se¸cão serão analisadas diversas situa¸cões acerca da quantidade de chaves criptográficas de uma cifra de substitui¸cão monoalfabética e, para isso, serão utilizadas algumas técnicas de contagem, geralmente estudadas dentro do assunto análise combinatória ministrado para estudantes do ensino médio.

Análise combinatória é a parte da matemática que analisa estruturas e rela¸cões discretas, como a contagem dos subconjuntos de um conjunto finito, sem a necessidade de enumerá-los. Um dos primeiros problemas que está

(41)

ligado à análise combinatória é o do desenvolvimento do binômio (1 + x)n, onde o caso n = 2 está nos Elementos de Euclides, em torno de 300 a.C.

Portanto, antes da abordargem do problema da contagem das chaves, alguns assuntos preliminares ser˜ao introduzidos.

3.2.1 Preliminares

Os principais conceitos que ser˜ao utilizados como base para o desenvolvi-mento do que iremos abordar, s˜ao:

Defini¸c˜ao 13 (Princ´ıpio Aditivo) Dados os conjuntos A1, A2, . . . , An,

dis-juntos 2 a 2, se cada Ai tem ai elementos, #(Ai) = ai, ent˜ao a uni˜ao desses

conjuntos ´e igual `a soma de seus elementos, ou seja, ∪n_i=1Ai = n

X

i=1

ai.

Exemplo: Considere a cifra de Cesar, onde cada letra da mensagem ´

e substitu´ıda por uma letra do alfabeto ap´os um certo deslocamento linear, em um alfabeto com 26 letras, definimos cada conjunto Ai como uma forma

diferente de se processar tal deslocamento. Desta forma, #(Ai) = ai = 1

para todo i = 1, 2, . . . , 25. Portanto, a quantidade de chaves poss´ıveis em

uma cifra de Cesar ´e igual a

25

X

i=1

ai = 25.

Defini¸c˜ao 14 (Princ´ıpio Multiplicativo) Se um evento Ai pode ocorrer de

ai formas distintas, onde i = 1, 2, 3, . . . , n, ent˜ao a quantidade de formas

distintas de ocorrer, consecutivamente, os eventos A1, A2, . . . , An ´e igual ao

produto do número de ocorrências de cada evento, ou seja, é igual a

n

Y

i=1

ai.

Exemplo: Considere uma cifra polialfab´etica onde foram utilizados 3 alfabetos distintos e com deslocamento como na cifra de Cesar. Para o primeiro evento (alfabeto) A1, como vimos acima tem-se 25 possibilidades,

ou seja, a1 = 25. Para o segundo alfabeto, tirando apenas o alfabeto A1,

teremos A2 = 24 e, consequentemente, A3 = 23. Desta forma, a quantidade

de chaves poss´ıveis nesta situa¸c˜ao ´e

3

Y

i=1

(42)

Defini¸cão 15 (Permuta¸cão Simples) Dado um conjunto A tal que #(A) = n, o número de modos distintos de ordenar todos os n elementos do conjunto A chama-se permuta¸cão e, utilizando o princ´ıpio multiplicativo, temos que o

número de permuta¸cões desses n elementos é Pn = n

Y

i=1

i = n!.

Defini¸cão 16 (Combina¸cão Simples) Dado um conjunto A tal que #(A) = n, o total de escolhas não ordenadas de p elementos do conjunto A, p ≤ n, é chamada de combina¸cão de n elementos escolhidos p a p, cuja nota¸cão é C_np. Utilizando o princ´ıpio multiplicativo e considerando que as escolhas são não

ordenadas, temos C_np = n Y i=n−p+1 i p! , p ≤ n.

Exemplo: Considerando todas as poss´ıveis chaves de uma cifra mono-alfabética em um alfabeto com 26 letras, tem-se que cada chave é uma Per-muta¸cão do alfabeto original. Portanto, o número de chaves será P26− 1 =

26! − 1 = 403.291.461.126.605.635.583.999.999. Se cada chave gastasse 1 se-gundo para ser verificada, o tempo total para que todas as chaves fossem verificadas seria de quase 1 bilh˜ao de vezes a idade do universo.

No entanto, se considerarmos que ao escolher uma chave para uma ci-fra monoalfabética deseja-se preservar a ordem usual das letras, ou seja, não escolher a própria letra para substitui-la na mensagem, quantas serão essas chaves ? Isso é o que será visto a seguir.

3.2.2 O Problema da Contagem de Chaves em uma

Cifra Monoalfab´

etica

.

O Problema da quantidade de chaves de uma cifra monoalfabética con-siderando que uma letra não pode ser substitu´ıda por ela própria, é um t´ıpico exemplo de permuta¸cão caótica ou desordenamento.

Defini¸cão 17 Uma permuta¸cão dos termos da sequência a1, a2, a3, . . . , an é

dita caótica se cada termo ai da sequência não ocupar a posi¸cão de número

(43)

Para se calcular a quantidade de permuta¸cões caóticas de uma sequência, denotado por Dn, tem-se que, dado um conjunto com n elementos A =

a1, a2, . . . , an e definindo Ai como sendo o conjunto das permuta¸c˜oes em

que o elemento ai está na posi¸cão de número i, Dn é o complementar da

uni˜ao dos Ai, ou seja, Dn=∪ni=1Ai.

Portanto, Dn = n! − n X i=1 #(Ai) + X 1≤i<j #(Ai∩ Aj) − X 1≤i<j<k #(Ai∩ Aj∩ Ak) + · · · + +(−1)n#(A1 ∩ A2∩ · · · ∩ An). Como #(Ai) = (n − 1)! #(Ai∩ Aj) = (n − 2)! #(Ai∩ Aj ∩ Ak) = (n − 3)! .. . #(A1∩ A2 ∩ A3∩ · · · ∩ An) = 1 temos Dn = n! − n(n − 1)! + Cn2(n − 2)! − Cn3(n − 3)! + · · · + (−1)n.1. Logo, Dn= n! 1 − 1 1!+ 1 2!− 1 3!+ · · · + (−1) n1 n!

Retomando o problema da quantidade de chaves de uma cifra mono-alfabética, em um alfabeto com 26 letras e considerando que cada letra da mensagem não pode ser substitu´ıda por ela própria, aplica-se o resultado acima para obter:

D26 = 26! 1 − 1 1!+ 1 2!− 1 3!+ · · · + 1 26!

(44)

donde calcula-se que D26 = 148.362.637.348.470.135.821.287.825

3.3 Aplica¸

c˜

ao de Matriz e Aritm´

etica

Modu-lar na Utiliza¸

c˜

ao da Cifra de Hill

.

Criada por Lester S. Hill em 1929, a Cifra de Hill é um tipo de cifra de substitui¸cão, em bloco, baseada em álgebra linear e aritmética modular, que não é vulnerável à análise de frequência das letras do alfabeto, porém pode ser quebrada utilizando recursos da própria álgebra linear. Para uma melhor compreensão dos processos de cifragem e decifragem, alguns conceitos básicos devem ser entendidos preliminarmente.

3.3.1 Preliminares

.

O primeiro conceito que será necessário para a compreen¸cão dos pro-cessos de cifragem e decifragem de uma mensagem utilizando a cifra de Hill ´

e o de aritm´etica modular.

Defini¸cão 18 Dado um número inteiro positivo m, dois números interios a e b são ditos congruentes módulo m se os restos da divisão euclidiana de a e b por m são iguais. Denota-se a ≡ b (mod m).Desta forma, m divide a − b.

O conjunto formado pelos poss´ıveis restos da divisão euclidiana de um inteiro a por m é dito o conjunto dos res´ıduos de a módulo m e é denotado por Zm, isto é, Zm = {0, 1, 2, . . . , m − 1}.

Proposi¸cão 1 Qualquer inteiro a é congruente módulo m a um dos inteiros 0, 1, 2, . . . , m − 1 .

Demonstra¸c˜ao: Qualquer que seja a ∈ Z, pode-se expressar a = mq + r, com 0 ≤ r < m e q ∈ Z. Portanto, mq = a − r significa que m divide a − r. Logo, a ≡ r (mod m), r ∈ {0, 1, 2, . . . , m − 1}.

Exemplo: 35 ≡ 11 (mod 12), pois 35 = 12 × 2 + 11;

(45)

111911 ≡ 0 (mod 17), pois 111911 = 17 × 6583 + 0.

3.3.2 Cifra¸

c˜

ao

Defini¸c˜ao 19 (Cifra de Hill) ´E uma cifra em blocos de comprimento n sobre um alfabeto com q s´ımbolos, cuja mensagem aberta M = (m1, m2, . . . , mn)

´

e transformada pela chave A = (aij)n, aij ∈ Zq, na mensagem cifrada C =

(c1, c2, . . . , cn), onde cada ci ´e uma combina¸c˜ao linear dos blocos mi, 1 ≤ i ≤

n, isto ´e, c1 = a11m1+ a12m2+ · · · + a1nmn(modq) c2 = a21m1+ a22m2+ · · · + a2nmn(modq) .. . cn = an1m1+ an2m2+ · · · + annmn(modq)

Em nota¸c˜ao matricial temos C = A.M , onde

C =    c1 .. . cn    ; A =    a11 . . . a1n .. . . .. ... an1 . . . ann    e M =    m1 .. . mn   

s˜ao matrizes cujos elementos pertencem a Zq.

Originalmente a cifra de Hill trabalha com um alfabeto de 26 letras. Por-tanto, daqui em diante ser´a considerado q = 26.

Exemplo: Considerando o alfabeto com 26 letras, como na tabela abaixo,

e utilizando a chave k = 5 6 2 3

onde n = 2, para cifrar a mensagem

(46)

Utiliza-se a tabela para transformar as letras em n´umeros e efetua-se o produto matricial. 5 6 2 3 .2 5 0 4 12 0 19 8 17 17 20 0 17 4 =58 127 102 140 60 102 119 28 61 51 68 24 51 50 = =6 23 24 10 8 24 15 2 9 25 16 24 25 24 (mod26).

Recorrendo `a tabela, obt´em-se o texto cifrado GCXJYZKQIYYZPY.

3.3.3 Decifra¸

c˜

ao

No processo de cifra¸cão de uma mensagem aberta M , efetua-se o produto matricial C = A × M para obter a mensagem cifrada C. É fácil verificar que para obter a mensagem aberta M a partir da mensagem cifrada C basta multiplicar à esquerda da equa¸cão a matriz A−1, inversa da matriz A, ou seja, A−1× C = A−1_{× A × M , fornecendo M = A}−1_{× C.}

No entanto, para garantir a existência da inversa da matriz A, será ne-cessária a aplica¸cão de alguns resultados, enunciados a seguir, cuja demons-tra¸cão de alguns deles será omitida pois foge ao objetivo deste trabalho.

Defini¸cão 20 Dado um número a ∈ Zm, o seu inverso multiplicativo é o

número a−1 ∈ Zm tal que aa−1 = a−1a = 1(mod m), que é a solu¸cão da

congruˆencia aX ≡ 1 (mod m), com (a, m) = 1.

Em [8], prova-se que se (a, m) 6= 1 ent˜ao a n˜ao possui inverso multipli-cativo em Zm.

Exemplo: Analisando os inversos multiplicativos em Z26, observa-se

que os números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24) e o 13 não pos-suem inverso multiplicativo pois não são co-primos com 26. Para os demais elementos de Z26, calcula-se o inverso multiplicativo resolvendo a congruência