Micro2Grad NA1Sol ExercEqGeral

(1)

Microeconomia 2 – Gradua¸c˜

ao

Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia

Solu¸c˜

ao dos Exerc´ıcios de Equil´ıbrio Geral

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

Exerc´ıcios

1. Desenhe a caixa de Edgeworth para as economias descritas abaixo, plotando as dota¸cões iniciais, as curvas de indiferen¸ca que passam por essas dota¸cões e as aloca¸cões descritas nos itens.

(a) Economia 1: uA _{= x}A

1xA2, uB = xB1x2B, eA = (3, 7), eB = (7, 3). Aloca¸c˜oes: (xA, xB) = ((2, 5), (8, 5)), (˜xA_{, ˜}_xB_{) = ((0, 3), (10, 7)), (ˆ}_xA_{, ˆ}_xB_{) = ((6, 6), (6, 6)).}

S: Fazer a Caixa de Edgeworth e ilustrar as aloca¸c˜oes pedidas. (b) Economia 2: uA _{= x}A

1xA2, uB = min{xB1, xB2}, eA = (4, 5), eB = (11, 5). Aloca¸c˜oes: (xA, xB) = ((12, 3), (3, 7)), (˜xA, ˜xB) = ((10, 5), (5, 5)), (ˆxA, ˆxB) = ((3, 6), (2, 7)).

S: Fazer a Caixa de Edgeworth e ilustrar as aloca¸c˜oes pedidas. (c) Economia 3: uA _{= x}A

1 + xA2, uB = min{xB1, xB2}, eA = (4, 5), eB = (6, 15). Aloca¸c˜oes: (xA_{, x}B_{) = ((5, 8), (5, 12)), (˜}_xA_{, ˜}_xB_{) = ((10, 5), (0, 15)), (ˆ}_xA_{, ˆ}_xB_{) = ((3, 13), (7, 7)).} S: Fazer a Caixa de Edgeworth e ilustrar as aloca¸c˜oes pedidas.

2. Para as economias descritas nos itens da questão anterior, responda: (a) Quais aloca¸cões são fact´ıveis?

S: O conjunto das aloca¸c˜oes fact´ıveis F (e) para cada uma das economias descritas acima ´ e: F1(e) = {(xA, xB) = ((xA1, x A 2), (x B 1, x B 2)) ∈ R 4 + | x A 1 + x B 1 = 10 e x A 2 + x B 2 = 10} F2(e) = {(xA, xB) = ((xA1, x A 2), (x B 1, x B 2)) ∈ R 4 + | x A 1 + x B 1 = 15 e x A 2 + x B 2 = 10} F3(e) = {(xA, xB) = ((xA1, x A 2), (x B 1, x B 2)) ∈ R 4 + | x A 1 + x B 1 = 10 e x A 2 + x B 2 = 20} (b) Descreva a curva de contrato para cada uma dessas economias. Ilustre graficamente a

curva de contrato na caixa de Edgeworth.

S: Vamos determinar agora a curva de contrato, ou seja, o conjunto das aloca¸c˜oes Pareto eficientes para cada uma dessas economias. Desenhe a curva de contrato nas caixas de Edgeworth dessas economias.

• Economia 1. As Taxas Marginais de Substitui¸c˜ao (TMS) entre os bens x1 e x2 para os dois consumidores s˜ao:

T M Si(xi₁, xi₂) = x i 2 xi 1 , i = A, B .

Igualando as TMS dos dois consumidores e usando o fato de que xB

1 = 20 − xA1 e xB₂ = 20 − xA₂, obtemos:

xA

(2)

Logo o conjunto das aloca¸c˜oes Pareto eficientes pode ser descrito como: AP E = {((xA₁, xA₂), (xB₁, x₂B)) ∈ F (e) | xA₂ = xA₁, 0 ≤ xA₁ ≤ 10}

• Economia 2. O indiv´ıduo 2 possui utilidade por bens complementares perfeitos, que devem sempre ser consumidos na propor¸c˜ao xB

1 = xB2. Como xB1 = 15 − xA1 e xB₂ = 10 − xA₂, obtemos:

15 − xA₁ = 10 − xA₂ ⇒ xA₂ = xA₁ − 5

Logo o conjunto das aloca¸c˜oes Pareto eficientes pode ser descrito como: AP E = {((xA₁, xA₂), (xB₁, x₂B)) ∈ F (e) | xA₂ = xA₁ − 5, 5 ≤ xA₁ ≤ 15}

• Economia 3. Assim como na Economia 2, o indiv´ıduo 2 na Economia 3 possui utilidade por bens complementares perfeitos, que devem sempre ser consumidos na propor¸c˜ao xB₁ = xB₂. Como xB₁ = 10 − xA₁ e xB₂ = 20 − xA₂, obtemos:

10 − xA₁ = 20 − xA₂ ⇒ xA₂ = xA₁ + 10

Logo o conjunto das aloca¸c˜oes Pareto eficientes pode ser descrito como: AP E = {((xA₁, xA₂), (xB₁, x₂B)) ∈ F (e) | xA₂ = xA₁ + 10, 0 ≤ xA₁ ≤ 10}

(c) Descreva as aloca¸cões no núcleo de cada uma dessas economias. Ilustre graficamente o núcleo na caixa de Edgeworth.

S: Para o caso de economias com apenas dois consumidores, as aloca¸cões no núcleo podem ser descritas como as aloca¸cões Pareto eficientes que dão para cada indiv´ıduo uma utilidade maior ou igual a que ele teria se consumisse sua própria dota¸cão inicial. Então:

• Economia 1. Temos que:

C(e) = {((xA₁, xA₂), (xB₁, xB₂)) ∈ AP E | xA₁xA₂ ≥ 21 e xB₁xB₂ ≥ 21} • Economia 2. Temos que:

C(e) = {((xA₁, xA₂), (xB₁, xB₂)) ∈ AP E | xA₁xA₂ ≥ 20 e min{xB 1, x

B

2} ≥ 5} • Economia 3. Temos que:

C(e) = {((xA₁, xA₂), (xB₁, xB₂)) ∈ AP E | xA₁ + xA₂ ≥ 9 e min{xB 1, x

B

2} ≥ 6} As caracteriza¸cões acima dos núcleos das três economia podem ser melhoradas. Tente fazer isso.

3. Suponha uma economia com dois consumidores, A e B, com utilidades definidas sobre cestas de dois bens, x e y, denotadas por uA(xA, yA) = x

1/2 A y

1/2

A e uB(xB, yB) = xByB. As dota¸c˜oes iniciais de A e B s˜ao eA= (6, 4) e eB = (4, 6).

a) Desenhe a caixa de Edgeworth para essa economia, ilustrando as dota¸c˜oes iniciais. S: A caixa de Edgeworth ´e ilustrada na figura abaixo.

(3)

0A 6 - xA yA 0B ? xB yB r r r r r r 4 6 6 4

b) Descreva os conjuntos das aloca¸cões fact´ıveis e das aloca¸cões Pareto eficientes. Descreva as aloca¸cões que estão no núcleo desta economia.

S: O conjunto das aloca¸c˜oes fact´ıveis F (e) ´e:

F (e) = {((xA, yA), (xB, yB_{)) ∈ R}₊4 | xA_{+ x}B _{= 10 e y}A_{+ y}B _{= 10}}

Vamos determinar agora o conjunto das aloca¸cões Pareto eficientes. As Taxas Marginais de Substitui¸cão (TMS) entre os bens x e y para os dois consumidores é:

T M Si(xi, yi) = y i

xi, i = A, B .

Igualando as TMS dos dois consumidores e usando o fato de que xB = 10 − xA e yB_{= 10 − y}A_{, obtemos:} yA xA = yB xB = 10 − yA 10 − xA ⇒ y A_{(10 − x}A_{) = x}A_{(10 − y}B₎ _⇒ _y A= xA Logo o conjunto das aloca¸c˜oes Pareto eficientes pode ser descrito como:

AP E = {((xA, yA), (xB, yB)) ∈ F (e) | yA= xA, 0 ≤ xA≤ 10} c) Determine os pre¸cos de equil´ıbrio para esta economia.

S: As demandas dos consumidores podem ser encontradas resolvendo o problema de maximiza¸c˜ao de utilidade de cada consumidor. Neste caso, elas s˜ao:

xi = m i 2px e yi = m i 2py , i = A, B,

onde mi ´e a renda do consumidor i, i = A, B. A condi¸c˜ao de equil´ıbrio para o mercado do bem x, xA_{+ x}B _{= 10, resulta em:}

6px+ 4py

(4)

d) Normalize o pre¸co do bem y em 1. Mostre que para os pre¸cos de equil´ıbrio encontrados no item anterior, temos que de fato demanda iguala oferta no mercado dos dois bens. S: Usando a resposta do item anterior, se normalizamos py = 1, então px = 1. Vamos verificar que a demanda é igual à oferta no mercado dos dois bens, usando as fun¸cões de demanda encontradas na solu¸cão do item anterior:

Mercado do bem x : xA+ xB = 10 = eA_x + eB_x Mercado do bem y : yA+ yB = 10 = eA_y + eB_y

4. (NS) Suponha que existam apenas três bens, denotados por x1, x2 e x3, em uma economia sem produ¸cão. As fun¸cões de excesso de demanda agregada pelos bens 2 e 3 são:

z2(p) = − 3p2 p1 +2p3 p1 − 1 , z3(p) = 4p2 p1 − 2p3 p1 − 2 .

(a) Mostre que essas fun¸cões são homogêneas de grau zero nos pre¸cos. S: Considere α > 0 qualquer. Temos que:

z2(αp) = − 3αp2 αp1 +2αp3 αp1 − 1 = −3p2 p1 + 2p3 p1 − 1 = z2(p) z3(αp) = 4αp2 αp1 −2αp3 αp1 − 2 = 4p2 p1 −2p3 p1 − 2 = z3(p) .

(b) Use a Lei de Walras para mostrar que se z2(p) = z3(p) = 0, então z1(p) também deve ser igual a zero. Você consegue calcular z1(p) usando a lei de Walras?

S: A Lei de Walras diz que:

p1z1(p) + p2z2(p) + p3z3(p) = 0

Logo, se p 0 é tal que z2(p) = z3(p) = 0, então pela Lei de Walras, como p1 > 0, necessariamente devemos ter que z1(p) = 0. Substituindo as fun¸cões de excesso de demanda agregada dos mercados 2 e 3, podemos usar a Lei de Walras para a encontrar a fun¸cão de excesso de demanda agregada do mercado 1:

p1z1(p) + p2 −3p2 p1 + 2p3 p1 − 1 + p3 4p2 p1 − 2p3 p1 − 2 = 0

Resolvendo a equa¸c˜ao acima para z1, determinamos a fun¸c˜ao de excesso de demanda agregada para o mercado do bem 1.

(c) Resolva esse sistema de equa¸c˜oes para encontrar os pre¸cos relativos de equil´ıbrio p2/p1 e p3/p1. Qual ´e o valor de equil´ıbrio de p3/p2?

S: Igualar as fun¸c˜oes de excesso de demanda agregada dos mercados dos bens 2 e 3 a zero resulta em:

z2(p) = 0 ⇒ − 3p2 p1 + 2p3 p1 = 1 , z3(p) = 0 ⇒ 4p2 p1 − 2p3 p1 = 2 .

(5)

Se somarmos as duas ´ultimas equa¸c˜oes, obtemos: p2

p1 = 3

Substituindo o pre¸co relativo de equil´ıbrio entre os bens 1 e 2 em uma das fun¸c˜oes de excesso de demanda agregada resulta no pre¸co relativo de equil´ıbrio entre os bens 3 e 1. Vamos usar a fun¸c˜ao de excesso de demanda agregada do bem 2:

−9 + 2p3 p1

= 1 ⇒ p3 p1

= 5 .

Finalmente, a rela¸c˜ao de equil´ıbrio p3/p2 pode ser encontrada fazendo: p3 p2 = p3/p1 p2/p1 = 5 3.

5. (P1-2/18) Suponha uma economia com dois consumidores, A e B, com utilidades definidas sobre cestas de dois bens, x e y, denotadas por uA(xA, yA) = x2AyA2 e uB(xB, yB) = xByB. As dota¸c˜oes iniciais de A e B s˜ao eA = (12, 8) e eB = (8, 12).

a) Desenhe a caixa de Edgeworth para essa economia, ilustrando as dota¸c˜oes iniciais. S: A caixa de Edgeworth ´e ilustrada na figura abaixo.

F (e) = {((xA, yA), (xB, yB_{)) ∈ R}₊4 | xA+ xB = 20 e yA+ yB = 20}

Vamos determinar agora o conjunto das aloca¸cões Pareto eficientes. As Taxas Marginais de Substitui¸cão (TMS) entre os bens x e y para os dois consumidores são:

T M Si(xi, yi) = y i

(6)

Igualando as TMS dos dois consumidores e usando o fato de que xB _{= 20 − x}A _e yB_{= 20 − y}A_{, obtemos:} yA xA = yB xB = 20 − yA 20 − xA ⇒ y A (20 − xA) = xA(20 − yB) ⇒ yA= xA Logo o conjunto das aloca¸c˜oes Pareto eficientes pode ser descrito como:

AP E = {((xA, yA), (xB, yB)) ∈ F (e) | yA= xA, 0 ≤ xA≤ 20} Já o conjunto das aloca¸cões no núcleo da economia pode ser definido como:

C(e) = {((xA, yA), (xB, yB)) ∈ AP E | uA(xA, yA) ≥ 122× 82 e uB(xB, yB) ≥ 96} c) Determine os pre¸cos de equil´ıbrio para esta economia.

xi = m i 2px e yi = m i 2py , i = A, B,

onde mi _´_{e a renda do consumidor i, i = A, B. A condi¸c˜}_{ao de equil´ıbrio para o mercado} do bem x, xA+ xB = 20, resulta em:

12px+ 8py 2px + 8px+ 12py 2px = 20 ⇒ py px = 1 .

d) Normalize o pre¸co do bem y em 1. Mostre que para os pre¸cos de equil´ıbrio encontrados no item anterior, temos que de fato a demanda ´e igual `a oferta no mercado dos dois bens.

S: Usando a resposta do item anterior, se normalizamos py = 1, então px = 1. Vamos verificar que a demanda é igual à oferta no mercado dos dois bens, usando as fun¸cões de demanda encontradas na solu¸cão do item anterior:

Mercado do bem x : xA+ xB = 10 + 10 = 20 = eA_x + eB_x Mercado do bem y : yA+ yB = 10 + 10 = 20 = eA_y + eB_y

e) Calcule a aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano. Ela é uma aloca¸cão justa? Explique intu-itivamente a razão da sua resposta.

S: Usando a resposta do item (d) acima, temos que as rendas dos dois indiv´ıduos são mA= 12px+ 8py = 20 e mB= 8px+ 12py = 20. As aloca¸cões de equil´ıbrio são:

A : xA= 10 e yA= 10 B : xB = 10 e yB = 10

A aloca¸cão de equil´ıbrio é eficiente devido ao Primeiro Teorema de Bem-Estar (podemos checar isso diretamente). Além disso, a aloca¸cão de equil´ıbrio é livre de inveja, já é igual para os dois indiv´ıduos.

(7)

6. (PS-2/18) Considere uma economia sem produ¸cão com dois bens, x e y. Suponha que existam apenas dois indiv´ıduos, A e B, com fun¸cões de utilidade dadas por uA(x, y) = xy2 e uB(x, y) = min{x, y} e dota¸cões eA= (10, 20) e eB = (20, 10).

a) Descreva o conjunto de aloca¸cões fact´ıveis, o conjunto de aloca¸cões Pareto-ótimas e o núcleo dessa economia.

F (e) = {((xA, yA), (xB, yB_{)) ∈ R}₊4 | xA_{+ x}B _{= 30 e y}A_{+ y}B _{= 30}}

Vamos determinar agora o conjunto das aloca¸cões Pareto eficientes. Note que a utilidade do indiv´ıduo B é tal que os bens x e y são complementares perfeitos para ele, consumidos sempre na propor¸cão 1 para 1. Logo, o conjunto das aloca¸cões Pareto eficientes pode ser descrito como:

AP E = {((xA, yA), (xB, yB)) ∈ F (e) | yB = xB, 0 ≤ xB ≤ 30} Já o conjunto das aloca¸cões no núcleo da economia pode ser definido como:

C(e) = {((xA, yA), (xB, yB)) ∈ AP E | xA(yA)2 ≥ 4.000 e min{xB, yB} ≥ 10} b) Determine as fun¸c˜oes de demanda dos dois consumidores.

xA = m A 3px , yA = 2m A 3py , e xB = yB = m B px+ py onde mi _´_{e a renda do consumidor i, i = A, B.}

c) Determine a rela¸c˜ao de pre¸cos de equil´ıbrio.

S: A condi¸c˜ao de equil´ıbrio para o mercado do bem x, xA+ xB = 30, resulta em: 10px+ 20py

3px

+ 20px+ 10py px+ py

= 30 ⇒ 2p2_x+ 3pxpy− 2p2y = 0 , uma equa¸c˜ao de segundo grau em px e py. Se normalizarmos py = 1, obtemos:

2p2_x+ 3px− 2 = 0

Essa equa¸cão de segundo grau tem como solu¸cões px = 1/2 e px = −2. Como pre¸cos não podem ser negativos, então obtemos que px = 1/2.

d) Normalizando o pre¸co do bem y em 1, verifique que de fato os dois mercados se equilibram aos pre¸cos encontrados no item c).

S: Usando a resposta do item c) acima, temos que as rendas dos dois consumidores s˜ao mA _{= 10p}

x+ 20py = 25 e mB = 20px + 10py = 20. Utilizando as fun¸cões de demanda encontradas na solu¸cão para o item b) acima, temos que as aloca¸cões de equil´ıbrio são:

Consumidor A : xA= 50/3 e yA= 50/3 Consumidor B : xB = 40/3 e yB= 40/3

Podemos ent˜ao notar que o mercado dos bens x e y se equilibram de fato quando os pre¸cos s˜ao px = 1/2 e py = 1: Mercado do bem x : xA+ xB = 50 3 + 40 3 = 30 = e A x + e B x Mercado do bem y : yA+ yB = 50 +40 = 30 = eA+ eB

(8)

e) Determine a aloca¸c˜ao de equil´ıbrio e verifique se ela ´e justa.

S: A aloca¸cão de equil´ıbrio foi determinada na solu¸cão para o item d) acima: ((xA, yA), (xB, yB)) = ((50/3, 50/3), (40/3, 40/3)). Essa aloca¸cão é Pareto eficiente devido ao Primeiro Teorema

do Bem-Estar. Precisamos verificar se a aloca¸cão de equil´ıbrio é livre de inveja. Como o indiv´ıduo A consome mais de ambos os bens do que o indiv´ıduo B, é fácil perceber que B inveja a cesta de equil´ıbrio de A:

uB(xA, yA) = min 50 3 , 50 3 = 50 3 < 40 3 = min 40 3 , 40 3 = uB(xB, yB) Logo, a aloca¸cão de equil´ıbrio não é justa.

7. (P1-1/19) Suponha uma economia com dois consumidores, A e B, com utilidades definidas sobre cestas de dois bens, x e y, denotadas por uA(xA, yA) = x2AyA2 e uB(xB, yB) = xB+ yB. As dota¸c˜oes iniciais de A e B s˜ao eA = (6, 4) e eB = (4, 6).

a) Desenhe a caixa de Edgeworth para essa economia, ilustrando as dota¸cões iniciais. S: A dota¸cão total de bens define o tamanho da caixa, que tem dimensão [0, 10] × [0, 10]. A figura abaixo ilustra a caixa.

F (e) = {((xA, yA), (xB, yB)) ∈ R+4 | xA+ xB = 10 e yA+ yB = 10}

Vamos determinar agora o conjunto das aloca¸cões Pareto eficientes. As Taxas Marginais de Substitui¸cão (TMS) entre os bens x e y para os dois consumidores são:

T M SA(xA, yA) = yA xA

(9)

Igualando as TMS dos dois consumidores resulta em: yA

xA

= 1 ⇒ yA= xA, 0 ≤ xA≤ 10

Logo o conjunto das aloca¸c˜oes Pareto eficientes (AP E) pode ser descrito como: AP E = {((xA, yA), (xB, yB)) ∈ F (e) | yA= xA, 0 ≤ xA≤ 10}

Finalmente, o núcleo da economia, C(e), neste caso de apenas dois indiv´ıduos, é dado pelas aloca¸cões Pareto-eficientes tais que cada consumidor tenha utilidade maior ou igual se consumisse a sua própria dota¸cão:

C(e) = {((xA, yA), (xB, yB)) ∈ AP E | uA(xA, yA) ≥ 576 e uB(xB, yB) ≥ 10} . c) Determine os pre¸cos de equil´ıbrio para esta economia (dica: lembre-se que no equil´ıbrio,

os pre¸cos relativos serão iguais às taxas marginais de substitui¸cão em valor absoluto para os dois consumidores).

S: A TMS do indiv´ıduo B ´e sempre constante e igual a 1. Como os pre¸cos de equil´ıbrio devem se igualar `a TMS dos dois consumidores, obtemos:

py px

= 1 .

Observe que a esses pre¸cos, o indiv´ıduo B vai ser indiferente entre qualquer cesta na sua reta or¸cament´aria.

d) Calcule a aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano. Ela é uma aloca¸cão justa? Explique intu-itivamente a razão da sua resposta.

S: Usando a resposta do item (c) acima, temos que as rendas dos dois consumidores s˜ao mA = 6px + 4py = 10 e mB = 4px + 6py = 10, normalizando px = 1. As demandas ´

otimas do consumidor A s˜ao: xA= mA 2px = 10 2 = 5 e yA= mA 2py = 10 2 = 5

O indiv´ıduo B é indiferente entre qualquer cesta que satisfaz a sua reta or¸camentária e então determinamos a sua demanda ótima usando a demanda ótima do indiv´ıduo A. Logo, a demanda ótima do consumidor B será xB = 10 − xA = 5 e yB = 10 − yA = 5. A aloca¸cão de equil´ıbrio é Pareto eficiente devido ao Primeiro Teorema do Bem-Estar. Podemos verificar isso usando a resposta para o item (b) acima e notando que na aloca¸cão de equil´ıbrio os dois bens são consumidos e a Taxa Marginal de Substitui¸cão entre os dois bens para os consumidores A e B são iguais:

T M SA(xA, yA) = yA xA

= 1 = T M SB(xB, yB)

Além disso, a aloca¸cão de equil´ıbrio é livre de inveja já que é igual para os dois indiv´ıduos da economia. É de se esperar que esta aloca¸cão de equil´ıbrio seja livre de inveja, já que aos pre¸cos de equil´ıbrio, os dois consumidores possuem a mesma renda.