Aula16-MetodoSIMPLEX

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Método SIMPLEX

João Frederico Roldan Viana

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Agenda

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Método SIMPLEX

– Conceito

– Procedimento do método SIMPLEX – Desenvolvimento do método

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Método SIMPLEX

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Conceito

• Método para resolução de problemas lineares;

• O método caminha pelos vértices da região viável até encontrar uma solução que não possua soluções vizinhas melhores que ela, considerando essa como a solução ótima;

• Essa solução pode não existir em 2 casos:

quando não há nenhuma solução viável para o problema, devido a restrições incompatíveis;

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Método SIMPLEX

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Procedimento do método SIMPLEX (problemas

de maximização)

• Passo 1: Introduzir as variáveis de folga; uma para cada desigualdade.

• Passo 2: Montar um quadro para os cálculos,

colocando os coeficientes de todas as variáveis com os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função objetivo transformada.

• Passo 3: Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor zero às variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis de folga.

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Método SIMPLEX

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Procedimento do método SIMPLEX (problemas

de maximização) - cont.

• Passo 4: Como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não básica que oferece, na última linha, a maior contribuição para o aumento da

função objetivo (ou seja, tem o maior valor negativo).

Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos nesta linha, a solução atual é ótima.

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Método SIMPLEX

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Procedimento do método SIMPLEX (problemas

de maximização) - cont.

• Passo 5: Escolher a variável que deve deixar a base: Dividir os elementos da última coluna pelos

correspondentes elementos positivos da coluna da variável que vai entrar na base.

Caso não haja elemento algum positivo nesta coluna, o processo deve parar, já que a solução seria ilimitada.

O menor quociente indica a equação cuja

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Método SIMPLEX

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Procedimento do método SIMPLEX (problemas

de maximização) - cont.

• Passo 6: Usando operações válidas com as linhas da matriz, transformar o quadro de cálculos de forma a encontrar a nova solução básica. A coluna da nova variável básica deverá se tornar um vetor

identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada. • Passo 7: Retornar ao passo 4 para iniciar outra

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• Vamos resolver pelo método Simplex o problema modelado abaixo: maximizar Z = 11x₁ + 12x₂ sujeito a x₁ + 4x₂ _≤ 600 5x₁ + 2x₂ _≤ 1200 x₁ , x₂ _≥ 0

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Método SIMPLEX

• Passo 1: Introduzir as variáveis de folga; uma para cada desigualdade.

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• Introduzindo as variáveis de folga, o problema a ser resolvido passa a ser:

maximizar Z = 11x₁ + 12x₂ sujeito a x₁ + 4x₂ + f₁ = 600 5x₁ + 2x₂ + f₂ = 1200 x₁ , x₂, f₁ , f₂ _≥ 0

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Método SIMPLEX

• Passo 2: Montar um quadro para os cálculos,

colocando os coeficientes de todas as variáveis com os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função objetivo transformada.

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• Transformação da função objetivo: de: Z = 11x₁ + 12x₂

para: Z - 11x₁ - 12x₂ = 0 • Quadro para os cálculos:

base x1 x2 f1 f2 b

f1 1 4 1 0 600

f2 5 2 0 1 1200

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Método SIMPLEX

• Passo 3: Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor zero às variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis de folga.

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• Estabelecendo uma solução básica inicial x₁ = 0;

x₂ = 0;

f₁ = 600; f₂ = 1200;

(variáveis não básicas)

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Método SIMPLEX

• Passo 4: Como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não básica que oferece, na

última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja, tem o maior valor

negativo).

– Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos nesta linha, a solução atual é ótima.

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• De acordo com o quadro abaixo, observa-se que a variável não básica que oferece a maior contribuição para o aumento da função objetivo é a x₂

base x1 x2 f1 f2 b

f1 1 4 1 0 600

f2 5 2 0 1 1200

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Método SIMPLEX

• Passo 5: Escolher a variável que deve deixar a base:

– Dividir os elementos da última coluna pelos

– Caso não haja elemento algum positivo nesta coluna, o processo deve parar, já que a solução seria ilimitada.

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• De acordo com o quadro abaixo, observa-se que: Na 1a. equação, o maior valor possível de x₂ é

150, quando f₁ for igual a zero.

Na 2a. equação, o maior valor possível de x₂ é 600, quando f₂ for igual a zero.

Analisando simultaneamente as duas equações, percebe-se que o maior valor possível para x₂ é 150, já que atende às duas equações

base x1 x2 f1 f2 b

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Método SIMPLEX

• Passo 6: Usando operações válidas com as linhas da matriz, transformar o quadro de cálculos de

forma a encontrar a nova solução básica. A coluna da nova variável básica deverá se tornar um vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada.

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• Partindo do quadro inicial:

• e fazendo L₂/4; L₃ - 2L₂ e L₄ + 12L₂, obtemos base x1 x2 f1 f2 b f1 1 4 1 0 600 f2 5 2 0 1 1200 z -11 -12 0 0 0 base x1 x2 f1 f2 b x2 0,25 1 0,25 0 150 f2 4,5 0 -0,5 1 900 z -8 0 3 0 1800

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Método SIMPLEX

• Passo 7: Retornar ao passo 4 para iniciar outra iteração.

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Método SIMPLEX

negativo).

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• De acordo com o quadro abaixo, observa-se que a variável não básica que oferece a maior contribuição para o aumento da função objetivo é a x₁

base x1 x2 f1 f2 b

x2 0,25 1 0,25 0 150

f2 4,5 0 -0,5 1 900

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Método SIMPLEX

• Passo 5: Escolher a variável que deve deixar a base:

– Dividir os elementos da última coluna pelos

– Caso não haja elemento algum positivo nesta coluna, o processo deve parar, já que a solução seria ilimitada.

– O menor quociente indica a equação cuja

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• De acordo com o quadro abaixo, observa-se que: Na 1a. equação, o maior valor possível de x₁ é

600, quando f₁ for igual a zero.

Na 2a. equação, o maior valor possível de x₁ é 200, quando f₂ for igual a zero.

Analisando simultaneamente as duas equações, percebe-se que o maior valor possível para x₁ é 200, já que atende às duas equações

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Método SIMPLEX

• Passo 6: Usando operações válidas com as linhas da matriz, transformar o quadro de cálculos de

forma a encontrar a nova solução básica. A coluna da nova variável básica deverá se tornar um vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada.

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• Partindo do quadro inicial:

• e fazendo L₃/4,5; L₂ - 0,25L₃ e L₄ + 8L₃, obtemos base x1 x2 f1 f2 b x2 0,25 1 0,25 0 150 f2 4,5 0 -0,5 1 900 z -8 0 3 0 1800 base x1 x2 f1 f2 b x2 0 1 0,27778 -0,0556 100

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Método SIMPLEX

• Passo 7: Retornar ao passo 4 para iniciar outra iteração.

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Método SIMPLEX

negativo).

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Método SIMPLEX

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Desenvolvimento do método

• Como todas as variáveis que estão fora da base têm coeficientes nulos ou positivos nesta linha, a solução atual é ótima. • Solução: x₁ = 200 x₂ = 100 base x1 x2 f1 f2 b x2 0 1 0,27778 -0,0556 100 x1 1 0 -0,1111 0,22222 200 z 0 0 2,11111 1,77778 3400

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Método SIMPLEX

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Exercício

• Resolver pelo método Simplex o problema modelado abaixo: maximizar Z = 20x₁ + 100x₂ sujeito a x₁ + x₂ _≤ 20 x + 5x _≤ 60