Introdução à Pesquisa Operacional Fundamentos

Texto

(1)

Introdução à Pesquisa Operacional

(2)

2

Introdução à Pesquisa Operacional

Descrição:

 Técnicas e métodos matemáticos empregados para

auxiliar a tomada de decisões em sistemas organizacionais.

Emprego:

 Problemas que necessitam da especificação

quantitativa da forma de execução de operações e atividades.

Objetivo:

 Identificação da melhor solução possível (solução

(3)
(4)

Características Gerais

Maximização ou minimização de uma função

numérica.

Problema de Programação Linear (PPL):

 Alocação ótima de recursos para atender a um

objetivo.

 Recursos expressos por variáveis.

 Existência de restrições aos valores possíveis

para os recursos.

 Relações entre variáveis → funções lineares

(5)

Descrição Matemática

Conjunto de m restrições lineares (=, <=, >=)

em n variáveis.

Expressão:

Restrições ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn {=, <=, >=} bi,

i = 1,..,m

Variáveis xj >= 0, j = 1,..,n

(6)
(7)
(8)

Método Gráfico

1)

Determinar a região de viabilidade

1) Restrições como igualdades

2) Identificar, mediante teste, o semi-plano

correspondente

Calcular o vetor gradiente grad(z)

1) Calcular as derivadas parciais em relação a cada

variável

(9)

Método Gráfico

3)

Deslocar a reta-objetivo no sentido de grad(z)

para maximização (ou -grad(z) para

minimização), até encontrar o ponto da região

de viabilidade que satisfaz ao problema.

4)

Determinar as coordenadas do ponto como a

(10)

10

Solução Gráfica: Construindo o conjunto de possibilidades

Conjunto

de Possibilidades

12

2

x

1

2

x

(11)

Solução Gráfica: Definindo as Curvas de Nível do Objetivo

L

x

x

L

x

x

+

=

=

+

1 2

2

1

4

4

Para cada valor de L tem-se uma reta no plano (x2

vs x1).

Dado um valor de L é possível traçar um lugar

geométrico (uma reta) onde as várias

(12)

12

Solução Gráfica: Desenhando as Curvas de Nível do Objetivo

1

x

2

x

0

5

=

L

7

=

L

9

=

L

(13)

Solução Gráfica: Reunindo os componentes e resolvendo

Conjunto

de Possibilidades

12

2

x

13

=

L

(14)

A solução

Que características permitiram a solução?

 O conjunto de possibilidades era convexo.

 Um conjunto é convexo quando toda

combinação convexa de dois elementos dele pertence a ele.

 Uma combinação convexa de dois elementos,

x e y é um terceiro elemento z tal que: z=a.x+(1-a).y onde 0 ≤ a ≤ 1.

 É possível definir combinação convexa de n

(15)

Valores p/ Restrição 1

Casos onde a solução não existe

Conjunto de Possibilidades é vazio

Não há solução compatível

Exemplo:

2

x

(16)

16

Conjunto de Possibilidades

Casos onde a solução não existe

A solução é ilimitada

(17)

Caso de Infinitas Soluções

Conjunto

de Possibilidades

2

x

Qualquer um desses pontos é uma solução

As soluções são

combinações lineares dos pontos

extremos

(18)
(19)

Método Simplex

Forma:

– z = Min{c

1x1 + c2x2 + … + cnxn},

 s.a ∑aijxj = bi,  j = 1...n,  i = 1...m,

 bi>= 0,

● x

(20)
(21)

O Método Simplex

1)

Selecione para entrada na base a variável

não-básica com custo relativo que melhore o

valor da função objetivo. Se não houver, a

solução já é ótima.

2)

Selecione para saída da base a variável

básica com menor valor da razão b

j

/a

i j

, com a

i

j

> 0. Se não houver a

i j

> 0, o PPL tem

solução ilimitada.

(22)

Forma Canônica

Existe uma submatriz identidade de ordem m

→ as variáveis associadas compõem uma

solução viável básica

(SVB).

As variáveis são divididas em dois grupos:

 Variáveis básicas (ou dependentes)

 Variáveis não básicas (ou independentes)

Premissas:

 Valores iniciais das variáveis não básicas: 0

 Valores iniciais das variáveis básicas: o valor da

(23)

Modelo Padrão

Todo modelo de programação linear pode ser posto na forma padrão que não é limitativa.

Um problema de minimização, por exemplo, pode ser resolvido pela maximização do negativo da

função objetivo.

Restrições de ≥ podem ser multiplicadas por -1 para se tornarem restrições padrão.

Variáveis que possam assumir qualquer valor e não apenas valores positivos podem ser

(24)

Técnica de Resolução

Passo 1: Introduzir as variáveis de folga; uma para cada

desigualdade.

Passo 2: Montar um quadro para os cálculos, colocando os

coeficientes de todas as variáveis com os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função objetivo transformada.

Passo 3: Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente

(25)

Técnica de Resolução

Passo 4: Como próxima variável a entrar na base, escolher

a variável não básica que oferece, na última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja, tem o maior valor negativo).

 Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem

coeficientes nulos ou positivos nesta linha, a solução atual é ótima.

 Se alguma dessas variáveis tiver coeficiente nulo, isto

significa que ela pode ser introduzida na base sem

(26)

26

Técnica de Resolução

Passo 5: Para escolher a variável que deve deixar a base,

deve-se realizar o seguinte procedimento:

 a) Dividir os elementos da última coluna pelos

correspondentes elementos positivos da coluna da variável que vai entrar na base. Caso não haja elemento algum

positivo nesta coluna, o processo deve parar, já que a solução seria ilimitada.

 b) O menor quociente indica a equação cuja respectiva

variável básica deverá ser anulada, tornando-se variável não básica.

Passo 6: Usando operações válidas com as linhas da matriz,

transformar o quadro de cálculos de forma a encontrar a nova solução básica. A coluna da nova variável básica deverá se tornar um vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada.

(27)
(28)

Operação na Tabela Canônica

(29)
(30)
(31)
(32)

Problema Dual

"A cada modelo de programação linear,

contendo coeficientes a

ij

, b

i

e c

j

, corresponde

um outro modelo, denominado Dual, formado

por esses mesmos coeficientes, porém

(33)
(34)

Exemplos

1) PRIMAL  Max L = 4 x

1 +x2

 s. a 9x

1 + x2 ≤ 18

 3x

1 +x2 ≤ 12

 x

1 e x2 ≥ 0

 DUAL Min D = 18y1 +12y2  s. a 9y

1 + 3y2 ≥ 4

 y1 +y2 ≥ 1

 y

1 e y2 ≥ 0

 2) PRIMAL

 Max P = 5 x1 + 2x2

 s. a x

1 ≤ 3 y1 x2 ≤ 4 y

2

 x

1 + 2x2 ≤ 9 y3

 DUAL Min D = 3y

1 + 4y2 + 9y3

 s.a. y

1 + y3 ≥ 5  y

(35)
(36)

“Processo de elaboração de um

modelo

de um

sistema

real (ou hipotético) e a

condução de experimentos

com a

finalidade de

entender

o comportamento

de um sistema ou

avaliar

sua operação”

(Shannon, 1975)

(37)

“O princípio básico é simples. Analistas

constroem

modelos do sistema

de interesse,

escrevem programas

destes modelos e utilizam

um computador para inicializar o comportamento

do sistema e submetê-lo a diversas políticas

operacionais. A melhor política

deve ser

selecionada.

(Pidd, 2000)

(38)

Captura o comportamento do

sistema real

Permite a análise pela pergunta:

“E se...?”

Capaz de representar

sistemas complexos

de

natureza

dinâmica e aleatória

Limitações:

– Podem ser de construção difícil

Não há garantia do ótimo

(39)

Sistemas

dinâmicos

: os estados se

alteram com o tempo

Sistemas

discretos

: os atributos dos

estados só mudam no tempo discreto

Determinística

ou

Estocástica

(40)

Analisar um novo sistema antes de sua implantação

Melhorar a operação de um sistema já existente

Compreender melhor o funcionamento de um sistema

Melhorar a comunicação vertical entre o pessoal de

operação

Confrontar resultados

Medir eficiências

(41)

Quando Simular?

Problema Ferramentas Resultados

Planilhas

Calculadora

Lápis e Papel

(42)
(43)

Geração de Números Aleatórios

Métodos Congruentes

A maioria dos métodos usados hoje em dia

são variações do chamado Método

Congruente Linear, cujos pontos básicos foram propostos por Lehmer em 1951. Neste método os números aleatórios,

(44)

44

Gerador de Números Aleatórios

Na formula anterior, a é o termo multiplicativo, c é o termo

aditivo.

Se c≠0, o gerador é chamado de misto (pouco usado na

atualidade porque os números gerados tendem a ter problemas para passar os testes de aleatoriedade).

Se c = 0, o gerador é chamado de multiplicativo.

Se a = 1, o gerador é chamado de aditivo.

Um dos requisitos é que a sequência seja intuitivamente

aleatória. Então deve-se escolher as constantes a e m tais que:

1.A sequência seja intuitivamente uma amostra de

números uniformes[0,1)

2.Para uma semente, toda a sequência gerada se

(45)

Engenheiro de Produção

Jr

Março 2010

 As técnicas de simulação são ferramentas muito utilizadas

na gestão de operações, entretanto, apresentam como

DESVANTAGEM

 (A) a impossibilidade de testar cenários diferentes para um

mesmo problema operacional.

 (B) a necessidade de interferência direta nos sistemas

reais, afetando as operações do dia a dia.

 (C) a inadequação para estudar situações complexas do

mundo real com grande quantidade de variáveis.

 (D) o uso de abordagens iterativas e de tentativa e erro que

(46)

Engenheiro de Produção

Junior

Edital 2008

 Dentre as finalidades da simulação, destaca-se:

 (A) descrever o comportamento de sistemas de forma

consistente e rápida.

 (B) impedir que variáveis dinâmicas mudem de estado, o que

geraria um novo sistema.

 (C) otimizar sistemas não convergentes.

(D) reproduzir o comportamento de qualquer tipo de sistema,

inclusive os não estruturáveis.

 (E) simplificar variáveis em sistemas complexos, reduzindo a

(47)

(A) f(XN, XN-1, K, L) = K.XN + L, tem-se a congruência mista.  (B) f(XN, XN-1, K, L) = K.XN / L, tem-se a congruência mista.

 (C) f(XN, XN-1, K, L) = K.(XN + L), tem-se a congruência multiplicativa.  (D) f(XN, XN-1, K, L) = K.XN + L.XN-1, tem-se a congruência mista.

Analista de Pesquisa Operacional 2010

As técnicas de simulação são muito importantes em uma grande variedade de projetos quando estes apresentam cálculos muito complexos ou experimentos reais muito dispendiosos. Na base da simulação, tem-se a necessidade de geração de números pseudoaleatórios, quando as duas principais preocupações são: (1) um possível número deve ter a mesma probabilidade de ocorrer que qualquer outro dentre os demais possíveis números e (2) deve existir independência entre as ocorrências, isto é, a probabilidade de ocorrência de um número não deve ser afetada pelas eventuais ocorrências dos demais possíveis números.

(48)

 Um serviço de atendimento, que se inicia às 9 h, tem uma única fila

para atendimento por um único servidor. O intervalo (em minutos) entre a chegada de dois clientes é uma variável aleatória uniformemente distribuída entre 0 e 4, e o tempo (em minutos) de atendimento pelo servidor é uma variável aleatória distribuída uniformemente entre 5 e 10. No quadro a seguir, é apresentado o resultado de uma simulação com essas variáveis.

 Por exemplo, o primeiro cliente chega às 9 h 2 min, é atendido

durante 5 min e, portanto, sai do sistema às 9 h 7 min. O segundo cliente chega 1 min após a chegada do primeiro cliente, e o servidor irá consumir 10 min em seu atendimento. O cliente que aguardará na fila mais tempo para ser atendido irá esperar

(A) 13 min (B) 14 min (C) 15 min (D) 16 min (E) 17 min

Analista de PO 2010

CLIENTE INTERVALO ATENDIMENTO

1 2 5

2 1 10

3 1 6

(49)

Definições

Teoria da Decisão

Estudo dos paradigmas subjacentes à

decisão e seus fundamentos analíticos.

Decisão

Processo que leva, direta ou

(50)

Tipos de Decisão

● Programadas ou Estruturadas

Decisões adotadas para problemas bem

compreendidos, altamente estruturados, rotineiros, repetitivos e passíveis de adoção de procedimentos e regras sistemáticos.

Ambiente usual: nível operacional.

● Não Programadas ou Não Estruturadas

Decisões adotadas para problemas não bem

compreendidos, mal estruturados, singulares e

inadequados para adoção de procedimentos e regras sistemáticos.

(51)

Condicionantes da Decisão

decisão em condições de certeza

ocorre quando há total conhecimento de todos

os estados da natureza do processo decisório.

decisão em condições de risco

– ocorre quando não são conhecidas as

(52)

Condicionantes da Decisão

● decisão em condições de incerteza ou em

condições de ignorância

– ocorre quando não se obtiveram informações e dados

sobre as circunstâncias do processo decisório ou em relação à parcela dessa situação.

● decisão em condições de competição ou em

condições de conflito

ocorre quando a estratégia e a situação em si do

(53)
(54)

Situações de

(55)

Método de Daft para

Modelo Racional

Monitoramento do ambiente de decisão

Definição do problema

Especificação dos objetivos da decisão

Diagnóstico do problema

Desenvolvimento de soluções alternativas

Avaliação das alternativas

Escolha da melhor alternativa

(56)

56

Modelos de Tomada de Decisão

Racionalidade Limitada – Método de

Simon:

Ambiente restrito em informações e capacidades de

processamento.

Construção de modelos simplificados → Limitação

da Racionalidade.

Participação racional e consciente, em ambiente

com alternativas parcialmente racionais, em virtude da seleção de critérios de avaliação.

Decisões satisfatórias, mas não ótimas.

Processos de decisão intuitivos, com emprego de

(57)
(58)
(59)

Teoria dos Jogos

Componentes Básicos

É composto de:

jogadores (N): aqueles que tomam decisões

 estratégias (Ci): possível ação do jogador

 funções de utilidade (ui): retorno auferido pelo jogador

quando o conjunto de jogadores emprega a estratégia C = {Ci}iЄN

G = ( N,{C

i

}

iЄN

,{U

i

(C)}

iЄN

)

(60)

Teoria dos Jogos

Vantagens

Fiani

Entendimento teórico do processo de decisão de agentes

que interagem, a partir da compreensão da lógica da situação na qual se encontram

Desenvolvimento da capacidade de raciocinar

estrategicamente, explorando todas as possibilidades de interação (inclusive as não-intuitivas)

Habilidade para descrever não só atores individuais e

(61)

Teoria dos Jogos

Representação Matricial

Combinação de estratégias determina o retorno de

A B C

A (2, 2) (0, 0) (-2, -1)

B (-5, 1) (3, 4) (3, -1)

Jogador 1

Jogador 2

Retorno para

Jogador 1 Retorno para Jogador 2 Estratégias do

Jogador 1

(62)

Teoria dos Jogos

Dúvida

Como os jogadores vão se comportar

diante de determinado jogo, ou seja,

(63)

Teoria dos Jogos

Equilíbrio de Nash

Ponto em que nenhum jogador pode

aumentar seu retorno alterando,

unilateralmente, sua estratégia

(64)

Teoria dos Jogos

Teorema Geral do Equilíbrio (Nash,

1951)

Para todo jogo finito na forma

estratégica, existe ao menos um

equilíbrio de Nash,

puro

ou

misto

(65)

Teoria dos Jogos

Ótimo de Pareto

É um ponto tal que nenhum

jogador consegue aumentar seu

próprio retorno (mudando

unilateralmente de estratégia) sem

prejudicar algum outro jogador.

»

Medida de eficiência na

(66)

Teoria dos Jogos

Classificação

Muitas formas de classificação – exemplos:

Cooperativos x Não-Cooperativos

coalizões

Estáticos x Dinâmicos

adoção variável de estratégias e funções objetivo

Soma-Zero x Soma-Não Zero

(67)

Teoria dos Jogos

Jogos de Soma-Zero

Caso abordado nos trabalhos iniciais

Situações em que dois indivíduos estão

em oposição pura entre si, ou seja, o

ganho de um jogador

é sempre

a perda do

outro

.

Solução intuitiva

Única, com a maximização do retorno para

cada jogador

(68)

Teoria dos Jogos

Dominância

L M R

T -2 -1 4

B 3 2 3

Jogador 1

Jogador 2

Existência de estratégia E1 para a qual o retorno é

(69)

Teoria dos Jogos

Ponto de Sela

A

B

D

A

12

-1

0

C

5

2

3

D

-16

0

-1

Jogador 1

Jogador 2

Um resultado é um ponto de sela se for, ao

mesmo tempo, menor ou igual a qualquer valor de sua linha e maior ou igual que qualquer valor em

(70)

Teoria dos Jogos

Jogo Estratégico Misto

Γ

= ( N,

(C

i

), U

i

(c) )

A estratégia (e a distribuição

de probabilidades) deve ser escolhida de tal forma que o

retorno seja o mesmo, independentemente da

estratégia do outro jogador

O objetivo é provocar ao

oponente a maior perda (ou, ao menos, o menor ganho)

C D

A 4 0

B -5 3

1/4 3/4

Retorno com a estratégia A = 1/4(4) + 3/4(0) = 1

(71)

Teoria dos Jogos

Jogos de Soma Não-Zero

Também chamado de não estritamente

competitivo

Retornos não obrigatoriamente opostos

margem à cooperação entre agentes

A B

A 5, 4 2, 0

(72)

Teoria dos Jogos

Teorema do Minimax (Von Neumann)

Todo jogo de soma-zero onde os agentes

empregam estratégias mistas possui um

ponto de equilíbrio – solução ou valor do

jogo

Possibilidade de várias soluções com

(73)
(74)
(75)
(76)

Definições – PERT-CPM

PERT – Program Evaluation and Review

Technique

CPM – Critical Path Method

● Técnicas de planejamento e controle de projetos

● Empregam os conceitos de grafos (redes) para

(77)

Construção da Rede

● Nós: atividades

● Arcos: relações de precedência

(78)

Perguntas Relevantes

Tempo requerido para completar o projeto

Identificação das atividades-gargalo

– críticas para não haver atrasos na execução

(79)

Caminho Crítico

● Caminho:

– qualquer rota seguindo os arcos, de INÍCIO até

FIM.

● Comprimento do Caminho:

soma das durações das atividades sobre o

caminho.

(80)

Programação de Atividades

● Determinação dos Tempos de Início e de Término de uma

Atividade

● Emprego de 4 variáveis:

ES (Earliest Start): tempo inicial mais cedo

EF (Earliest Finish): tempo final mais cedo

LS (Last Start): tempo inicial mais tarde

(81)

Regras de Programação de Atividades

Regra do ES = maior EF das atividades

precedentes

Regra do EF=ES + Duração D

Regra do LF = menor LS das atividades

sucessoras

(82)

Cálculo de Folgas em Atividades

● Comentários Gerais

ES: calculado de INICIO para FIM (forward pass)LF: calculado de FIM para INICIO (backward pass)

LF – EF = LS – ES = folga na execução da atividade

atraso na atividade sem comprometer a duração do caminho crítico

(83)

Incerteza na Duração de uma Atividade

Existência de fatores de variação

inserção de

incertezas sobre a duração de cada atividade.

Versão original PERT: 3 tipos de estimativas

Mais provável (m)

Otimista (o)

Pessimista (p)

(84)

Aproximações para a

Duração de Atividades

Média = (o + 4m + p)/6

Variância = [(p-o)/6]

2

Possibilidades Adquiridas:

Construção do cenário de pior

caso

Probabilidade de ocorrência de

(85)

Probabilidade de Ocorrência de

Cenário

Caminho Crítico Médio

Caminho crítico em que a duração de cada

atividade é a duração média

Atividades estatisticamente independentes

Duração total do projeto

distribuição normal

– Cálculo do número de desvios padrão de

(86)

Modelo CPM

Objetivo: controlar os custos do projeto.

Ideia básica: se colocarmos mais recursos na

execução de uma atividade, conseguiremos fazê-la mais rapidamente, embora

aumentando o seu custo.

Cada atividade possui 2 estimativas de

(87)

Relação entre Custos/Durações

Normal e Acelerado

 Relação linear entre modelos normal e acelerado

 Custo incremental: tangente do ângulo k

 Objetivo: diminuir a duração do projeto minimizando o

(88)

Imagem

Tabela da Forma Padrão

Tabela da

Forma Padrão p.20

Referências