UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA E MATEMÁTICA APLICADA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
DOUTORADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
Conjuntos Fuzzy Multidimensionais
Annaxsuel Araújo de Lima
Natal - RN Dezembro/2019
Annaxsuel Araújo de Lima
Conjuntos Fuzzy Multidimensionais
Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Sis-temas e Computação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial para obter o título de doutor em Ciência da Computação.
Área de Concentração: Fundamentos da Computação
Orientador
Prof. Dr. Benjamín René Callejas Bedregal
Coorientador
Prof. Dr. Eduardo Silva Palmeira
Natal - RN Dezembro/2019
Lima, Annaxsuel Araújo de.
Conjuntos fuzzy multidimensionais / Annaxsuel Araújo de Lima. - 2019.
102f.: il.
Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-graduação em Sistemas e Computação. Natal, 2019.
Orientador: Benjamín René Callejas Bedregal. Coorientador: Eduardo Silva Palmeira.
1. Computação - Tese. 2. Extensões de conjuntos fuzzy - Tese. 3. Ordens parciais - Tese. 4. Ordens admissíveis - Tese. 5. Funções de agregação multidimensionais - Tese. 6. Somas ordinais de negações fuzzy - Tese. I. Bedregal, Benjamín René Callejas. II. Palmeira, Eduardo Silva. III. Título.
RN/UF/CCET CDU 004
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET
Resumo
Desde o surgimento da teoria dos conjuntos fuzzy muitas propostas de extensões em diferentes contextos foram dadas, uma delas é a de conjunto fuzzy n-dimensional em que seus elementos são túplas de tamanho n cujas componentes são valores em [0, 1], ordenadas de forma crescente, chamados de intervalos n-dimensionais. Geralmente, estes conjuntos são usados para desenvolver ferramentas que auxiliam na modelagem de situações envolvendo tomada de decisão onde dado um problema e uma alternativa, cada intervalo n-dimensional representa a opinião de n especialistas sobre o grau com que uma alternativa atende um determinado critério ou atributo para este problema. Contudo, esta abordagem não é capaz de lidar com situações em que um especialista, em particular, pode, por exemplo, abster-se de qualquer critério de tomada de decisão, e portanto, teríamos num mesmo problema coexistindo intervalos n-dimensionais com diferentes valores de n ou na qual o conjunto de especialistas mude para cada par alter-nativa/atributo. Dessa forma, necessitamos de uma nova extensão de conjunto fuzzy na qual seus elementos (intervalos) possam ter dimensões quaisquer. Neste trabalho, apresentamos o conceito de conjuntos fuzzy multidimensionais como uma generali-zação dos conjuntos fuzzy n-dimensionais em que os elementos podem ter dimensões distintas. Também apresentamos uma forma de gerar comparações (ordenações) desses elementos de diferentes dimensões, discutimos condições sob as quais esses conjuntos têm estrutura de reticulado e introduzimos os conceitos de ordens admissíveis, funções de agregação e negações multidimensionais sobre conjuntos fuzzy multidimensionais. Além disso, aprofundamos os estudos sobre somas ordinais de negações fuzzy.
Palavras-chave: Extensões de conjuntos fuzzy; Ordens parciais; Ordens admissíveis; Funções de agregação multidimensionais; Somas ordinais de negações fuzzy.
Abstract
Since the emergence of fuzzy set theory, many extensions proposals have been given. One of them is the n-dimensional fuzzy set in which its elements are tuples of size n whose components are values in [0, 1], ordered in increasing form, called n-dimensional intervals. Generally, these sets are used to develop tools that aid in modeling si-tuations involving decision-making where given a problem and an alternative, each n-dimensional interval represents the opinion of n specialists on the degree to which an alternative meets a given criterion or attribute for this problem. However, this appro-ach is not able to deal with situations in which a particular expert can, for example, refrain from any decision-making criteria, and therefore, we would have in the same problem coexisting n-dimensional intervals with different values of n or where the set of specialists changes for each pair alternative/attribute. Thus, we need a new fuzzy set extension in which its elements (intervals) can have any dimensions. In this work, we present the concept of multidimensional fuzzy sets as a generalization of the n-dimensional fuzzy sets in which the elements can have different dimensions. We also present a way to generate comparisons (ordering) of these elements of different dimen-sions, discuss conditions under which these sets have lattice structure and introduce the concepts of admissible orders, multidimensional aggregation functions and fuzzy negations on multidimensional fuzzy sets. In addition, we deepen studies on ordinal sums of fuzzy negations.
Keywords: Extensions of fuzzy sets; Partial orders; Admissible orders; Multidimen-sional aggregation functions; Ordinal sums of fuzzy negations.
Agradecimentos
Aos meus pais, Antônio Gomes e Marleide Cleide (in memoriam), por todo o amor, carinho e dedicação. Em especial agradeço à minha falecida mãe, mulher forte e terna que sempre me apoiou, cuidou e acreditou em mim, seguirei sempre seu exemplo. À minha irmã Monara, esta que partilhou de minha jornada nas alegrias e dores que a vida nos proporcionou, e à tia Elza, pois, juntas se tornaram uma espécie de mãe para mim. Por isso, meu muito obrigado! A todos da minha família que contribuíram de forma direta ou indireta em minha formação.
À minha esposa, Angely Cunha, por sempre me apoiar nos meus momentos di-fíceis e ao meu filho, Noah (minha criatura), que partilhou desse processo mesmo sem entender. Amo-os!
Ao meu orientador, Prof. Dr. Benjamín Bedregal (fonte de inspiração), e ao meu coorientador, Prof. Dr. Eduardo Palmeira, por terem aceito me orientar, pelo excelente trabalho de orientação e pela contribuição para o meu desenvolvimento intelectual e social.
Às professoras, Dra. Renata Reiser e Dra. Hélida Salles, e ao Prof. Dr. Regi-van Santiago, por terem aceitado o convite de participação na banca da defesa deste trabalho e pelas observações endereçadas a mim.
Aos que fazem parte da família do grupo de pesquisa em Lógica, Linguagem, Informação, Teoria e Aplicações - LoLITA, especialmente à Valdigleis, Rui, Vânia, Thadeu, Thiago, Huliane, Suene, Emanuelle e Heloísa, pelas boas risadas e pelo com-panheirismo durante esses últimos anos.
Aos funcionários do Departamento de Informática e Matemática Aplicada - DIMAp/UFRN, e aos do Programa de PósGraduação em Sistemas e Computação -PPgSC/UFRN, em especial ao Sr. Gaspar pelas conversas sobre a vida e à Hélida e Daniel que sempre estiveram prontos a ajudar na secretaria da pós-graduação.
À Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Campina Grande - PPG-MAt/UFCG, demais instituições e professores que cooperaram com a minha formação acadêmica.
Por fim, ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte - IFRN, campus São Paulo do Potengi, a todos os meus colegas desta grandiosa instituição de ensino, pesquisa e extensão, especialmente ao Grupo de Matemática deste campus formado (à época) por: Genilton, Juliana, Josimar, Neilson, Janilson, Alexmay, Djnnathan e Kaline. Estes doaram um pouco de seu tempo possibilitando o afastamento das minhas atividades laborais para iniciar minhas pesquisas, permitindo assim a conclusão deste trabalho. Destaco um agradecimento especial à Kaline.
“Se o conhecimento pode criar problemas, não é através da ignorância que podemos solucioná-los.”
Dedicatória
Aos meus pais, Antônio e Marleide (in memoriam).
À minha irmã Monara e minha tia Elza. À minha esposa Angely.
Sumário
Lista de Notações . . . 9
Lista de Abreviaturas e Siglas . . . 10
1 Introdução 12 1.1 Objetivos . . . 16 1.2 Estrutura do Trabalho . . . 16 2 Preliminares 18 2.1 Ordens Parciais . . . 18 2.2 Reticulados . . . 20 2.3 Funções de Agregação . . . 23
2.4 t-Normas, t-Conormas, Implicações Fuzzy e Negações Fuzzy . . . 26
2.4.1 Somas Ordinais de t-Normas, t-Conormas e Implicações Fuzzy . 30 2.5 Conjuntos Fuzzy n-Dimensionais . . . 31
3 Somas Ordinais das Principais Classes de Negações Fuzzy e das Ne-gações Naturais de t-Normas, t-Conormas e Implicações Fuzzy 35 3.1 Somas Ordinais de Negações Fuzzy . . . 35
3.2 Somas Ordinais de Negações Fuzzy e Classes de Negações Fuzzy . . . . 38
3.3 Somas Ordinais de Negações Fuzzy e Somas Ordinais de Normas, t-Conormas e Implicações Fuzzy . . . 45
3.4 Considerações Finais . . . 49
4 Conjuntos Fuzzy Multidimensionais 50 4.1 Conceituação . . . 50
4.2 Ordens Parciais sobre Conjuntos Fuzzy Multidimensionais . . . 52
4.3 Ordens Admissíveis sobre Conjuntos Fuzzy Multidimensionais . . . 59
4.4 Funções de Agregação Multidimensionais . . . 63
4.5 Negações Fuzzy Multidimensionais . . . 70
4.6 Somas Ordinais de Negações Fuzzy Multidimensionais . . . 75
4.6.1 Somas Ordinais de Negações Fuzzy n-dimensionais . . . 75
4.6.2 Somas Ordinais de Negações Fuzzy Multidimensionais . . . 79
4.7 Considerações Finais . . . 84
5 Conclusão 85 5.1 Principais Resultados . . . 85
5.2 Trabalhos Futuros . . . 90
Lista de Figuras
5.1 Diagrama comutativo da soma ordinal de implicação fuzzy e a soma ordinal de sua negação natural. . . 86 5.2 Representação da relação de inclusão entre os diferentes tipos destas
Lista de Notações
indica final de demonstração;
µA(x) grau com que x pertence ao conjunto A;
N∗ conjunto dos números naturais sem o
zero; Ln([0, 1]) conjunto {(x1, . . . , xn) ∈ [0, 1]n | x1 ≤ · · · ≤ xn}; L∞([0, 1]) conjunto S ∞ n=1Ln([0, 1]);
≤ uma relação de ordem;
uma relação de ordem admissível;
W S supremo do conjunto S;
∨ operador supremo binário;
∧ operador ínfimo binário;
M função média aritmética;
ω um vetor de peso (ω1, . . . , ωn);
Mω função média aritmética ponderada;
≤p
n ordem do produto;
/x/n elemento (x, . . . , x) ∈ Ln([0, 1]);
N uma negação fuzzy;
x um elemento de L∞([0, 1]);
|x| quantidade de componentes de x;
[0, 1]N conjunto de todas as funções de N em
[0, 1];
Lista de Abreviaturas e Siglas
min - Função mínimo max - Função máximo
PVI - Propriedade do valor intermediário
IV F S(X) - Conjuntos fuzzy intervalarmente valorados sobre X AIF S(X) - Conjuntos fuzzy intuicionista de Atanassov sobre X
IV AIF S(X) - Conjuntos fuzzy intuicionista de Atanassov intervalarmente valorados sobre X
T HF S(X) - Conjuntos fuzzy hesitantes típicos sobre X HF S(X) - Conjuntos fuzzy hesitantes sobre X
nDF S(X) - Conjuntos fuzzy n-dimensionais sobre X
SM F S(X) - Conjuntos fuzzy multidimensionais estritos sobre X M F S(X) - Conjuntos fuzzy multidimensionais sobre X
F F M (X) - Multiconjuntos fuzzy de suporte finito sobre X F M (X) - Multiconjuntos fuzzy sobre X
Capítulo 1
Introdução
Łukasiewicz, nos anos 20 do século XX, introduziu a ideia de uma lógica em que vários valores de verdade poderiam ser considerados, distribuindo esses valores verdade uniformemente no intervalo [0, 1], isto é, se n valores são considerados (n ≥ 2), então 0,n−11 ,n−12 , . . . ,n−2n−1, 1 são os possíveis valores verdade. Nessa linha, Zadeh introduziu os conjuntos fuzzy com seu trabalho Fuzzy sets [85], em 1965, com o intuito de ampliar os valores de verdade a graus de pertinência, fornecendo um tratamento matemático a termos linguísticos subjetivos, ambíguos e imprecisos como “forte”, “normal”, “quente”, etc. Dessa forma, sendo X um conjunto não vazio, um conjunto fuzzy A sobre X é uma função
µA : X → [0, 1]
onde µA(x) é o grau com que x pertence a A, chamado grau de pertinência. Em 1967
Goguen [44] notou que a menos da estrutura de reticulado, não havia razão de se fazer uso do intervalo [0, 1], o que o levou a generalizar o conceito de conjunto fuzzy para conjuntos L-fuzzy, ou seja, funções µA : X → L, em que L é um reticulado completo.
No entanto, o principal obstáculo de sua aplicação é a atribuição de graus de pertinência aos elementos, pois estes dependem da aplicação e do contexto. Desde então, muitas extensões e generalizações de teoria de conjuntos fuzzy foram concebidas, considerando tanto as diferentes formas de interpretar a incerteza dos fenômenos quanto o escopo do problema em si, como exemplo tem-se os conjuntos fuzzy intervalarmente valorados [86], conjuntos fuzzy intuicionista [2], conjuntos fuzzy hesitantes [78], entre outros. Em
particular, conjuntos fuzzy hesitantes consideram subconjuntos do intervalo unitário [0, 1] como graus de pertinência.
Adentrando mais ao contexto da lógica fuzzy (e suas possíveis extensões) existe na literatura muitos trabalhos que interpretam seus conectivos e propõem extensões deles. No caso das normas triangulares (t-normas) e conormas triangulares (t-conormas), que foram primeiramente estudadas por Menger [58] e também por Schweizer e Sklar [73] em espaços métricos probabilísticos, elas são usadas para representar a conjunção na lógica fuzzy, enquanto as t-conormas são usadas para representar a disjunção na lógica fuzzy. Ainda, em [85] Zadeh introduziu a noção de negação fuzzy, conhecida como negação padrão, a fim de representar a negação lógica e o complementar de conjuntos fuzzy. A partir de então várias classes importantes de negações fuzzy foram propostas com diferentes motivações, como podemos ver em [40, 41, 49, 53, 68, 79], porém a definição axiomática de negações fuzzy, como conhecida e usada nos dias atuais, é devida a Trillas em [79]. Negações fuzzy têm aplicações em diversas áreas como: tomada de decisão, investimento em ações, computação com palavras, moforlogia matemática e memória associativa, como apresentado em [10, 18, 41, 45, 80, 89].
A construção de somas ordinais foi apresentada, no contexto dos semigrupos, por Climescu em [26] e Clifford em [25]. No contexto da lógica fuzzy, as somas ordinais foram primeiramente estudadas para as normas triangulares e conormas triangulares em [74], a fim de fornecer um método para construir novas t-normas e t-conormas a partir de outras t-normas e t-conormas, preservando a maioria das propriedades comuns dos somandos (para mais detalhes veja [50]). Entretanto, as somas ordinais de vários outros conectivos fuzzy importantes também foram estudadas, como por exemplo, as somas ordinais de cópulas [65], funções overlap [33], uninormas [59, 60], implicações fuzzy [36, 77] e de negações fuzzy [13].
A soma ordinal de negações fuzzy foram apresentadas em [13] com o objetivo de estudar somas ordinais de famílias de t-normas, t-conormas e negações fuzzy quando elas formam triplas de De Morgan e neste trabalho, especificamente no Capítulo 3, será considerada a noção das somas ordinais de uma família de negações fuzzy e se provará alguns novos resultados envolvendo esses conceitos. Ainda, serão estabelecidas condições para a soma ordinal de uma família de negações fuzzy de uma determinada classe resultar em uma negação fuzzy pertencente à mesma classe, tais como: estrita,
forte, de fronteira, contínua e invertível. Além disso, também investigamos a relação entre as somas ordinais de uma família de negações naturais de t-normas, t-conormas e implicações fuzzy com as negações, t-normas, t-conormas e implicações que as geram. No que tange às extensões de teoria dos conjuntos fuzzy, independentemente do contexto fornecido pelas diferentes extensões, ter uma boa ferramenta para transformar um grande número de dados em uma única informação corretamente interpretada é um grande desafio, ou seja, a agregação de dados de maneira a representar vários valores em um único valor do mesmo tipo é feito por funções de agregação [16]. Para conjuntos fuzzy e suas extensões, a agregação feita nos graus de pertinência, são caracterizadas por duas propriedades: as condições de contorno (quando todos os valores são o menor ou o maior possível, o resultado é esse valor) e a monotonicidade.
Em [54], Li, Yuan e Lee introduziram os conjuntos fuzzy 3-dimensionais como uma extensão dos conjuntos fuzzy, onde os valores de pertinência são três valores ordenados de [0, 1] e sugeriram que os conjuntos fuzzy, conjuntos fuzzy intervalarmente valorados e conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados correspondem aos conjuntos fuzzy de 1, 2 e 4 dimensões. Isso motivou Shang, Yuan e Lee em [76] a generalizarem essas extensões para uma dimensão arbitrária n, ou seja, se X é um conjunto não vazio e n ∈ N∗ = N − {0}, então um conjunto fuzzy n-dimensional A sobre X é dado por
A = {(x, µ1A(x), . . . , µnA(x)) | x ∈ X},
onde µiA : X → [0, 1] é a i-ésima função de pertinência de A para cada i = 1, 2, . . . , n tal que µ1
A≤ · · · ≤ µnA. Desse modo, essa extensão de conjuntos fuzzy tem seus graus
de pertinência em Ln([0, 1]) = {(x1, . . . , xn) ∈ [0, 1]n | x1 ≤ · · · ≤ xn} para um n fixo.
Mais tarde, Bedregal et al. em [9] considerou conjuntos fuzzy n-dimensionais como um caso particular da noção de fuzzy bags definida por Yager R.R. em [84] e dez anos após batizado sob o nome de multiconjuntos fuzzy em [62, 69]. Além disso, Bedregal et al. estudou funções de agregação (em particular t-normas) em Ln([0, 1]), levando em
con-sideração a ordem parcial produto proposta em [76]. Portanto, o próximo passo neste processo evolutivo é considerar uma extensão de conjuntos fuzzy onde seja possível lidar com graus de pertinência com diferentes dimensões e compará-los ou agregá-los.
ferra-mentas para modelar situações que envolvem tomada de decisão, nas quais cada mul-ticonjunto representa a opinião de um conjunto de especialistas em um determinado problema [31, 32]. No entanto, os conjuntos fuzzy n-dimensionais não são capazes de lidar com situações em que um especialista específico desse conjunto pode, por exem-plo, abster-se de avaliar um determinado critério ou mesmo em situações em que cada alternativa é avaliada com relação a alguns critérios para um número arbitrário de pessoas, número esse que varia entre as alternativas. Por exemplo, considere as notas de satisfação dos usuários em plataformas como Booking.com ou Airbnb.com, onde é possível reservar um local de acomodação considerando critérios diferentes. Portanto, dado um determinado local de acomodação a no momento atual, podemos ter m ava-liações, enquanto que para uma acomodação b, ambos pelo mesmo critério, temos a opinião de n usuários diferentes. Além disso, podemos ter dois usuários atribuindo a mesma avaliação para a e b, então nem os conjuntos fuzzy hesitantes (pois não con-sideram repetições) nem os n-dimensionais são apropriados, nesta situação (pois não permitem comparar nem agregar intervalos de diferentes dimensões).
Motivado pelo exposto acima, no Capítulo 4, será apresentada a noção e uma discussão sobre conjuntos fuzzy multidimensionais, a saber
A = {(x, µ1A(x), . . . , µp(x)A (x)) | x ∈ X}, onde X é um conjunto não vazio, p : X → N∗ é uma função e µ1
A ≤ · · · ≤ µ p(x)
A para
cada i = 1, . . . , p(x), que generaliza a noção de conjuntos fuzzy n-dimensionais usando como graus de pertinência elementos de
L∞([0, 1]) = ∞
[
i=1
Li([0, 1]).
Note que, para cada n ∈ N∗, pode-se usar uma ordem parcial sobre Ln([0, 1]) para
comparar elementos com a mesma quantidade de componentes em L∞([0, 1]). No
en-tanto, surge uma pergunta interessante: caso esses elementos apresentem quantidades de componentes (dimensões) distintas, como seria a comparação entre eles? Ou seja, que ordem parcial poderia ser definida sobre L∞([0, 1])? Nesse sentido, no Capítulo 4,
será apresentada uma maneira de definir ordens sobre L∞([0, 1]) com base em funções
método geral para obter ordens admissíveis1 sobre L
∞([0, 1]). Também será mostrado
um estudo sobre funções de agregação para esse conjunto, com respeito a um tipo geral de ordem, e o passo inicial nos estudos das negações fuzzy em L∞([0, 1]).
Final-mente, serão exploradas as somas ordinais de famílias de negações fuzzy no contexto n-dimensional e multidimensional.
1.1
Objetivos
O principal objetivo deste trabalho é apresentar e discutir uma nova extensão de conjunto fuzzy que generalize os conjuntos fuzzy n-dimensionais.
Dessa forma, tem-se como objetivos específicos:
• Propor conjuntos fuzzy formados por elementos de dimensões distintas que es-tendam os conjuntos fuzzy n-dimensionais, o qual foi chamado de conjunto fuzzy multidimensional;
• Definir um método de geração de ordens parciais e ordens admissíveis sobre este conjunto;
• Estudar funções de agregação e negações fuzzy multidimensionais;
• Apresentar novos resultados sobre famílias de somas ordinais de negações fuzzy estrita, forte, de fronteira, contínua e invertível;
• Investigar a relação entre as somas ordinais de uma família de negações naturais de t-normas, t-conormas e implicações fuzzy;
• Estudar somas ordinais de negações fuzzy multidimensionais.
1.2
Estrutura do Trabalho
Este trabalho é composto por 5 capítulos organizados da seguinte forma:
• No Capítulo 1 é feito uma discussão sobre o estado da arte dos conjuntos fuzzy e conectivos da lógica fuzzy, dar-se algumas motivações para este trabalho e é apresentado o que trata cada capítulo.
1Uma ordem admissível sobre um conjunto parcialmente ordenado é uma ordem total que refina a
• No Capítulo 2 é formalizado os principais conceitos necessários para esta tese. • No Capítulo 3 é apresentado alguns resultados que aprofundam o estudo sobre a
noção de somas ordinais de uma família de negações fuzzy, apresentada em [13]. • O Capítulo 4 traz a definição dos conjuntos fuzzy multidimensionais, onde é proposto um método de criar ordens parciais e admissíveis sobre este conjunto, além de tratar sobre uma extensão de função de agregação, negação fuzzy e somas ordinais de famílias dessas negações, as quais chamadas de multidimensionais. • Por fim, o Capítulo 5 trata das contribuições desta tese e futuros trabalhos.
Capítulo 2
Preliminares
Neste capítulo, serão lembrados alguns conceitos importantes para fundamen-tar nossa proposta de trabalho. Para uma visão geral detalhada sobre esses tópicos, recomenda-se as referências [1, 2, 6, 10, 16, 20, 23, 24, 42, 50, 64, 72, 76]. Em todo o texto, considera-se N∗ como o conjunto dos números naturais sem o zero.
2.1
Ordens Parciais
Definição 2.1 Seja L um conjunto não vazio. Uma ordem parcial sobre L (geralmente representada por ≤) é uma relação binária que satisfaz as seguintes propriedades: i) x ≤ x para todo x ∈ L (reflexividade);
ii) se x ≤ y e y ≤ x, então x = y para todo x, y ∈ L (antissimetria); iii) se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z para todo x, y, z ∈ L (transitividade).
O conjunto L equipado com a ordem parcial ≤ é chamado de conjunto parcialmente ordenado (poset) e denotado por hL, ≤i. Se existe um elemento 1L ∈ L tal que para
todo x ∈ L satisfaz x ≤ 1L, então 1L é chamado o maior elemento (ou top) de hL, ≤i.
O menor elemento (ou bottom) de hL, ≤i, a saber 0L, é dualmente definido.
Denota-se por x k≤ y aqueles elementos x, y ∈ L que não são comparáveis em
relação a ≤, ou seja, não ocorre nenhuma das possibilidades x ≤ y e y ≤ x. Exemplo 2.1 Alguns exemplos de conjuntos parcialmente ordenados:
(a) O conjunto N dos números naturais munido com a ordem usual é um poset. Além disso, hN, |i é um poset sob a ordem x | y se, e somente se, y = kx para algum k ∈ N, ou seja, x divide y.
(b) Seja X um conjunto não vazio. O conjunto das partes de X, denotado por ℘(X), munido com a relação de inclusão é um poset.
(c) Dado dois posets hP, ≤Pi e hQ, ≤Qi, a relação definida por
(p1, q1) ≤ (p2, q2) ⇔ p1 ≤P p2 e q1 ≤Q q2,
é uma ordem parcial sobre o produto cartesiano P × Q, chamada ordem produto. (d) Seja L([0, 1]) o conjunto de todos subintervalos fechados da unidade intervalar,
i.e.,
L([0, 1]) = {[a, b] | 0 ≤ a ≤ b ≤ 1}. A relação definida por
[a, b] ≤KM [c, d] ⇔ a ≤ c e b ≤ d (2.1)
é uma ordem parcial sobre L([0, 1]) chamada de ordem de Kulisch-Miranker (veja [52]) e assim hL([0, 1]), ≤KMi é um poset.
(e) Dado dois posets hP, ≤Pi e hQ, ≤Qi, a ordem lexicográfica sobre o produto
cartesi-ano P × Q definida por
(p1, q1) ≤lex(p2, q2) ⇔ p1 <P p2 ou (p1 = p2 e q1 ≤Q q2) (2.2)
é uma ordem parcial sobre P × Q, logo hP × Q, ≤lexi é um poset.
Há ordens num conjunto parcialmente ordenado em que todos os elementos são comparáveis, neste caso tem-se a seguinte definição:
Definição 2.2 Um poset hL, ≤i é totalmente ordenado se todo x, y ∈ L são compará-veis, isto é,
x ≤ y ou y ≤ x. No caso, a ordem é dita ser total ou linear ou cadeia.
Note que dado um poset hL, ≤i pode-se ampliar o conjunto de pares de elementos comparáveis entre os elementos de L de modo que todos os pares de elementos sejam comparáveis.
Definição 2.3 Se hL, ≤i é um poset, então uma ordem parcial sobre L refina ≤ se para todo x, y ∈ L
x ≤ y ⇒ x y. (2.3)
Uma ordem é chamada admissível com respeito a ≤ sempre que é uma ordem total sobre L e refina ≤.
Exemplo 2.2 Considerando o poset hL([0, 1]), ≤KMi. São ordens admissíveis com
respeito a ≤KM as seguintes ordens totais sobre L([0, 1]):
(a) [a, b] lex1 [c, d] ⇔ a < c ou (a = c e b ≤ d);
(b) [a, b] lex2 [c, d] ⇔ b < d ou (b = d e a ≤ c);
(c) a relação de ordem, introduzida por Xu e Yager em [83], definida por [a, b] Y X [c, d] ⇔ a + b < c + d ou (a + b = c + d e b − a ≤ d − c).
No contexto de elementos fuzzy intervalamente valorados, as ordens admissíveis com respeito à ordem usual foram estudadas em [21, 22, 88]. A partir de então, as ordens admissíveis para algumas extensões de lógica fuzzy foram investigadas, tais como conjuntos fuzzy intuicionistas intervalamente valorados [28, 30, 31] e conjuntos fuzzy n-dimensionais [32].
Cotas superior e inferior num poset são definidas como segue:
Definição 2.4 Sejam hL, ≤i um poset e S ⊆ L. Chamamos um elemento x ∈ L uma cota superior (inferior) de S se y ≤ x (x ≤ y) para todo y ∈ S. Ademais, uma cota superior (inferior) x de S é dita ser a menor cota superior (maior cota inferior) de S se cada cota superior (inferior) x0 de S satisfaz x ≤ x0 (x0 ≤ x).
Denotaremos por W S e V S, respectivamente, a menor cota superior e a maior cota inferior do subconjunto S, nomeadamente de supremo e ínfimo de S.
2.2
Reticulados
Existem conjuntos parcialmente ordenados que detém a propriedade de que cada par de elementos possui supremo e ínfimo pertencentes ao próprio poset. Nesta seção abordaremos a conceituação desse tipo específico de conjunto bem como os aspectos necessários deste tema para este trabalho.
Definição 2.5 Um conjunto parcialmente ordenado hL, ≤i diz-se um reticulado se existem o supremo e ínfimo de todo par de elementos do poset. O supremo e o ínfimo de {x, y} serão representados, respectivamente, por x ∨ y e x ∧ y, isto é, x ∨ y =W{x, y} e x ∧ y =V{x, y} para todo x, y ∈ L.
Exemplo 2.3 São reticulados os seguintes conjuntos parcialmente ordenados:
(a) hN, |i em que o supremo e o ínfimo de dois números naturais a e b são a ∨ b = M M C(a, b) e a ∧ b = M DC(a, b), onde M M C(a, b) e M DC(a, b) são, respecti-vamente, o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum de a e b.
(b) h℘(X), ⊆i onde o supremo e ínfimo de dois conjuntos são, respectivamente, a união e a interseção entre eles, i.e., A ∨ B = A ∪ B e A ∧ B = A ∩ B.
(c) hL([0, 1]), ≤KMi com [a, b] ∨ [c, d] = [a ∨ c, b ∨ d] e [a, b] ∧ [c, d] = [a ∧ c, b ∧ d] sendo
o supremo e ínfimo, respectivamente, dos intervalos [a, b] e [c, d].
Num reticulado hL, ≤i as seguintes regras são válidas para todo x, y, z ∈ L: L1) x ∨ y = y ∨ x e x ∧ y = y ∧ x (comutatividade);
L2) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z e x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z (associatividade); L3) x ∨ (x ∧ y) = x e x ∧ (x ∨ y) = x (absorção).
Além dessas três identidades, destacamos também L4) x ∨ x = x e x ∧ x = x (idempotência),
que é uma consequência de L3) trocando y por x ∨ y (x ∧ y), e
L5) x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) e (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ≤ x ∧ (y ∨ z) (subdistributividade). A definição de reticulado dada até agora se baseia no conceito de ordem parcial, o que nos mostra que um reticulado é um caso particular de um poset. Sabendo que uma álgebra é um par hA, F i, onde A é um conjunto não vazio e F uma família de operações sobre A, pode-se então definir reticulado de forma algébrica.
Definição 2.6 O sistema hL, ∨, ∧i, constituído por um conjunto não vazio L e por duas operações binárias ∨ : L × L → L e ∧ : L × L → L, que atendem as regras L1), L2) e L3), é um reticulado do ponto de vista algébrico.
Sendo hL, ∨, ∧i um reticulado, do ponto de vista algébrico, podemos definir uma ordem parcial sobre L a partir das operações ∨ e ∧ da seguinte forma (ver prova [72, Teorema 3.17])
y ≤ x ⇔ x ∨ y = x (x ∧ y = y).
Logo hL, ≤i é um poset, os elementos x ∨ y e x ∧ y são, respectivamente, o supremo e ínfimo de x e y, e portanto hL, ≤i é um reticulado. Analogamente, a partir do reticulado hL, ≤i podemos definir duas operações ∨ e ∧ satisfazendo L1), L2) e L3), e obter um reticulado do ponto de vista algébrico hL, ∨, ∧i (veja [64, Teorema 1.1 ]). Como reticulados (do ponto de vista de ordem parcial) e reticulados algébricos são equivalentes, então chamaremos ambos simplesmente de reticulados.
A seguir, no que diz respeito à teoria de reticulados, temos outras definições pertinentes a esse trabalho.
Definição 2.7 Dizemos que um reticulado é limitado se possui um maior e menor elemento.
Definição 2.8 Um reticulado tal que todo subconjunto tem supremo e ínfimo é dito completo.
Observação 2.1 Todo reticulado completo é limitado.
Definição 2.9 Chamamos de reticulado distributivo aquele que satisfaz as duas iden-tidades distributivas
x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) e x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). Exemplo 2.4 Alguns exemplos:
(a) Todos os reticulados do Exemplo 2.3 são completos. Porém, o único distributivo é o do item (b).
(b) Qualquer conjunto totalmente ordenado é um reticulado, mas não necessariamente é um reticulado limitado, e portanto não é completo, em geral. Por exemplo, o conjunto Z dos inteiros sob a ordem natural é um reticulado, mas não um reticulado limitado.
Existem conjuntos parcialmente ordenados em que qualquer um de seus subcon-juntos, não vazios e finitos, possuem somente supremo (ínfimo). Estas estruturas são chamadas de semirreticulados e podemos definir da seguinte forma:
Definição 2.10 [72] Um poset L em que todo subconjunto finito não vazio possui supremo (ínfimo) é chamado um sup-semirreticulado (inf-semirreticulado).
Dessa forma todo reticulado é simultaneamente um sup-semirreticulado e inf-semirreticulado. Analogamente aos reticulados, podemos dá uma definição algébrica aos semirre-ticulados.
Definição 2.11 [72] Um semirreticulado é um conjunto L não vazio com uma opera-ção binária ∗ que satisfaz as regras
l1) x ∗ y = y ∗ x (comutatividade);
l2) x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z (associatividade); l3) x ∗ x = x (idempotência).
O próximo teorema faz a conexão entre as abordagens algébrica e de ordem de semirreticulados.
Teorema 2.1 [72, Teorema 3.3]
I) Um inf-semirreticulado L é um semirreticulado sob operação de ínfimo. II) Um sup-semirreticulado L é um semirreticulado sob operação de supremo.
III) a) Um semirreticulado L é um inf-semirreticulado com ordem definida por a ≤ b se a ∗ b = a. Neste caso, a operação ínfimo é a ∧ b = a ∗ b.
b) Um semirreticulado L é um sup-semirreticulado com ordem definida por a ≤ b se a ∗ b = b. Neste caso, a operação supremo é a ∨ b = a ∗ b.
2.3
Funções de Agregação
Nas ciências, em geral, agregar vários valores de entrada em um único valor de saída é uma ferramenta indispensável para determinados problemas. Os problemas envolvendo agregação são heterogêneos e amplos, em geral. Portanto, esta seção será restrita a alguns pontos necessários para o desenvolvimento deste trabalho. Para um estudo detalhado sobre o tema, recomenda-se ver [16, 24, 47].
Definição 2.12 [16] Seja n ∈ N, com n ≥ 2. Uma função f : [0, 1]n → [0, 1] é chamada uma função de agregação n-ária se satisfaz:
ii) Se xi ≤ yi, para cada i = 1, . . . , n,, então f (x1, . . . , xn) ≤ f (y1, . . . , yn).
Exemplo 2.5 Alguns exemplos de funções de agregação n-ária: (a) M (x1, . . . , xn) = 1 n n X i=1 xi (Média aritmética)
(b) min(x1, . . . , xn) = min{x1, . . . , xn} (Mínimo)
(c) max(x1, . . . , xn) = max{x1, . . . , xn} (Máximo)
(d) Dado um ω = (w1, . . . , wn) ∈ [0, 1]n tal que n
X
i=1
wi = 1 também conhecido como
vetor de pesos, definamos Mω(x1, . . . , xn) =
1 n
n
X
i=1
wixi (Média aritmética
ponde-rada)
(e) Dado um vetor de pesos ω = (w1, . . . , wn), definamos Gω(x1, . . . , xn) = n
Y
i=1
xwi i
(Média geométrica ponderada) (f ) TP(x1, . . . , xn) = n Y i=1 xi (Produto) (g) SP(x1, . . . , xn) = 1 − n Y i=1 (1 − xi) (Soma probabilística)
Além disso, temos que TP ≤ min ≤ Gω ≤ Mω ≤ max ≤ SP.
Definição 2.13 [16] Uma função de agregação estendida é uma aplicação F : [
n∈N∗
[0, 1]n → [0, 1], (2.4)
tal que sua restrição a [0, 1]n, para cada n ≥ 2, é uma função de agregação n-ária. Por
convenção, para n = 1, temos F (x) = x para todo x ∈ [0, 1].
Exemplo 2.6 Um exemplo de função de agregação estendida é a média aritmética (estendida)
M : [
n∈N∗
[0, 1]n → [0, 1]
definida como segue: para cada x ∈ [
n∈N∗
[0, 1]n existe um índice k ∈ N∗ tal que
x = (x1, x2, . . . , xk) e assim M (x) = 1 k k X i=1
xi. Em outras palavras, M é um tipo
de média aritmética dinâmica em que o número de valores na soma depende do nú-mero de componentes do x tomado. Da mesma forma, pode-se definir os operadores
máximo e mínimo estendidos vistos no Exemplo 2.5. Note que não é possível esten-der Mω e Gω, desde que seja dado um vetor de pesos de tamanho fixado. Entretanto,
será possível se considerarmos um triângulo de pesos1. Assim, dado x ∈ S
n∈N∗[0, 1]n
existe k ∈ N∗ tal que x = (x1, . . . , xk) e tomando um triângulo de pesos ∆ω, a média
aritmética ponderada é dada por M∆ω(x) = Mωk(x1, . . . , xk) = Pki=1wkixi.
Dentre as funções de agregação, de acordo com Beliakov et al. em [16], as quatro principais classes são definidas a seguir.
Definição 2.14 Seja F : [
n∈N∗
[0, 1]n → [0, 1] uma função de agregação. Então: i) F é do tipo média se para cada x é limitada de acordo com a inequação
min(x) ≤ F (x) ≤ max(x);
ii) F é do tipo conjuntiva se para cada x é limitada de acordo com a inequação F (x) ≤ min(x);
iii) F é do tipo disjuntiva se para cada x é limitada de acordo com a inequação F (x) ≥ max(x);
iv) F é do tipo mista se não pertence a qualquer uma das classes acima, ou seja, apresenta diferentes tipos de comportamento sobre diferentes partes do domínio. Exemplo 2.7 As funções de agregação definidas em (a), (d) e (e) do Exemplo 2.5 são agregações do tipo média. Já (b) e (f ) são conjuntivas, e (c) e (g) são disjuntivas. Uninormas e nullnormas são exemplos de agregações mistas como pode ser visto em [16, Capítulo 4].
Definição 2.15 Uma função de agregação estendida F : [
n∈N∗
[0, 1]n→ [0, 1] é chamada contínua se para cada n ∈ N∗ as funções Fn : [0, 1]n → [0, 1], onde Fn é a função F
restrita à [0, 1]n, são contínuas, i.e., se ∀x
1, . . . , xn ∈ [0, 1], ∀(x1j)j∈N, . . . , (xnj)j∈N ∈ [0, 1]N tal que lim j→∞xij = xi, para i = 1, . . . , n, então lim j→∞Fn(x1j, . . . , xnj) = Fn(x1, . . . , xn),
onde [0, 1]N é o conjunto de todas as sequências sobre [0, 1].
1Um triângulo de pesos, denotado por ∆ω, é uma família de vetores de pesos (ωk)
k∈N∗, i.e., para cada k ∈ N∗, ωk= (wk 1, . . . , wkk) ∈ [0, 1] k ePk i=1w k i = 1 (ver [16]).
Como o intervalo [0, 1] munido com a ordem natural ≤ dos números reais é um reticulado, podemos definir sobre [0, 1]n, para todo n ∈ N∗, a seguinte ordem parcial (a exemplo do que foi visto no item (c) do Exemplo 2.1)
x ≤pny ⇔ πni(x) ≤ πin(y), para cada i = 1, . . . , n,
onde a função πni : [0, 1]n → [0, 1] é a i-ésima projeção de [0, 1]n sobre [0, 1], isto é,
πn
i(x1, . . . , xn) = xi. Sendo assim, temos a seguinte definição.
Definição 2.16 [24] Uma função de agregação estendida F satisfaz a propriedade do valor intermediário (PVI) se para cada n ∈ N∗ e x, y ∈ [0, 1]n tal que x <p
n y temos
que ∀z ∈ (F (x), F (y)),
∃z ∈ [0, 1]n: x <p
n z <pn y e F (z) = z. (2.5)
Observe que, x <pn y se, e somente se, x ≤p
n y e πni(x) < πin(y) para algum
i = 1, . . . , n.
Proposição 2.1 [47, Proposição 2.8] Para uma função não-decrescente F : [0, 1]n →
[0, 1] as seguintes condições são equivalentes: i) F é contínua.
ii) F é contínua em cada variável, i.e, para qualquer x ∈ [0, 1]n e qualquer i ∈ {1, · · · , n}, a função unária
u 7→ F (x1, · · · , xi−1, u, xi+1, · · · , xn)
é contínua. iii) F satisfaz a PVI.
2.4
t-Normas, t-Conormas, Implicações Fuzzy e
Ne-gações Fuzzy
Em lógica clássica temos operadores que conectam proposições (conectivos) como: “e”, “ou”, “implica” e “negação”. O relaxamento proporcionado pela lógica fuzzy, na qual os valores de pertinência pertencem ao intervalo unitário [0, 1], nos dá possibilidade de termos uma grande quantidade desses conectivos, cada qual atendendo as especificida-des necessárias. Nesta seção será apresentado os conectivos fuzzy t-norma, t-conorma, implicação e negação, além de introduzir o conceito de somas ordinais de norma, t-conorma e implicação fuzzy. Para mais discussões sobre esses conectivos, veja [3, 4, 50].
Definição 2.17 Uma função T : [0, 1]2 → [0, 1] é uma t-norma se, para todo x, y, z ∈
[0, 1], os seguintes axiomas são satisfeitos: i) T (x, y) = T (y, x) (comutatividade);
ii) T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z) (associatividade);
iii) Se x ≤ y, então T (x, z) ≤ T (y, z) (monotonicidade); iv) T (x, 1) = x (identidade).
E é uma t-conorma, se satisfaz i), ii), iii) e v) T (x, 0) = x (identidade).
Uma t-norma T (t-conorma S) é chamada positiva se satisfaz a condição: T (x, y) = 0 (S(x, y) = 1) se, e somente se, x = 0 ou y = 0 (x = 1 ou y = 1).
Exemplo 2.8 Alguns exemplos de t-normas: (a) t-norma de Gödel: TG(x, y) = min(x, y);
(b) t-norma do Produto: TP(x, y) = x · y;
(c) t-norma de Łukasiewicz: TL(x, y) = max(0, x + y − 1);
(d) t-norma Drástica: TD(x, y) =
(
0, se (x, y) ∈ [0, 1[2 min(x, y), caso contrário. Exemplo 2.9 Alguns exemplos de t-conormas:
(a) t-conorma de Gödel: SG(x, y) = max(x, y);
(b) Soma Probabilística: SP(x, y) = x + y − x · y;
(c) t-conorma de Łukasiewicz: SL(x, y) = min(x + y, 1);
(d) Soma Drástica: SD(x, y) =
(
1, se (x, y) ∈]0, 1]2
max(x, y), caso contrário.
Definição 2.18 [4, Definição 1.1.1] Uma função J : [0, 1]2 → [0, 1] é chamada uma implicação fuzzy se satisfaz as seguintes condições:
J1) J é não-crescente com respeito à primeira variável; J2) J é não-decrescente com respeito à segunda variável; J3) J (0, 0) = 1;
J4) J (1, 1) = 1; J5) J (1, 0) = 0.
Exemplo 2.10 Alguns exemplos de implicações fuzzy: (a) Implicação de Gödel: JG(x, y) =
( 1, se x ≤ y y, caso contrário; (b) Implicação de Rescher: JRS(x, y) = ( 1, se x ≤ y 0, caso contrário; (c) Implicação de Kleene-Dienes: JKD(x, y) = max(1 − x, y).
Definição 2.19 Uma função N : [0, 1] → [0, 1] é chamada de negação fuzzy se N1) N (0) = 1 e N (1) = 0; e
N2) N é decrescente, i.e., se x ≤ y, então N (y) ≤ N (x), ∀x, y ∈ [0, 1]. Uma negação fuzzy é estrita se
N3) N é estritamente decrescente; e N4) N é contínua.
Dizemos que a negação fuzzy N é forte se satisfaz a propriedade de involução, i.e., N5) N (N (x)) = x, ∀x ∈ [0, 1].
Uma negação fuzzy é chamada crisp2 [35] se N (x) ∈ {0, 1}, para todo x ∈ [0, 1].
Exemplo 2.11 Alguns exemplos de negações fuzzy: (a) Negação Padrão: NS(x) = 1 − x;
(b) Uma negação não-forte estrita: NS2(x) = 1 − x2; (c) Uma negação não-padrão forte: N2
S(x) =
√
1 − x2.
Observação 2.2 Note que:
(i) Se N é estrita, então é inversível, ou seja, tem uma inversa N−1 que é também uma negação fuzzy estrita;
(ii) Se N é forte, então N é estrita.
2Em [34] é dada uma caracterização das negações crisp que demonstram que elas coincidem com
Definição 2.20 [4] Uma negação fuzzy N é dita ser non-vanishing (non-filling) se N (x) = 0 (N (x) = 1) se, e somente se, x = 1 (x = 0).
Uma negação fuzzy N que é simultaneamente non-vanishing e non-filling é cha-mado de fronteira [35].
Um ponto de equilíbrio de uma negação fuzzy N é um valor e ∈ [0, 1] tal que N (e) = e.
Definição 2.21 Dado uma negação forte N , uma função de agregação estendida F é auto-dual com respeito a N (N -auto-dual ou N -invariante), se
F (x) = N (F (N (x))), onde N (x) = (N (x1), . . . , N (xn)), para algum n ∈ N∗.
Exemplo 2.12 Sendo F uma função de agregação estendida auto-dual com respeito à negação padrão, então
F (x) = 1 − F (1 − x).
Definição 2.22 [4, Definição 2.3.1] (i) Seja T uma t-norma. A função NT : [0, 1] →
[0, 1] definida como
NT(x) = sup{y ∈ [0, 1] | T (x, y) = 0}
para cada x ∈ [0, 1], é chamada de negação fuzzy natural de T ou de negação induzida por T .
(ii) Seja S uma t-conorma. A função NS : [0, 1] → [0, 1] definida como
NS(x) = inf{y ∈ [0, 1] | S(x, y) = 1}
para cada x ∈ [0, 1], é chamada de negação fuzzy natural de S ou de negação induzida por S.
Observação 2.3 [4, Observação 2.3.2 (i)] NT e NS são, de fato, negações fuzzy.
Definição 2.23 [4, Definição 1.4.15] Seja J uma implicação fuzzy. A função NJ :
[0, 1] → [0, 1] definida por
NJ(x) := J (x, 0) (2.6)
para todo x ∈ [0, 1], é chamada a negação natural de J ou a negação induzida por J . Observação 2.4 [4, Lema 1.4.14] NJ é de fato uma negação fuzzy.
Definição 2.24 [13, Definição 2.5] Seja T uma t-norma, S uma t-conorma e N uma negação fuzzy estrita. TN é o N -dual de T se, para todo x, y ∈ [0, 1], TN(x, y) =
N−1(T (N (x), N (y))). Similarmente, SN é o N -dual de S se, para todo x, y ∈ [0, 1],
SN(x, y) = N−1(S(N (x), N (y))).
Proposição 2.2 [82, Teorema 3.2] Seja T uma t-norma, S uma t-conorma e N uma negação fuzzy estrita. Então, TN é uma t-conorma e SN é uma t-norma.
Se a negação é padrão, então TN é chamada t-conorma dual de T e SN é chamada
t-norma dual de S.
Os conceitos de t-norma, t-conorma, implicação e negação fuzzy podem ser es-tendidos a qualquer reticulado limitado L. Para um estudo mais aprofundado, veja [8, 11, 15].
2.4.1
Somas Ordinais de t-Normas, t-Conormas e Implicações
Fuzzy
Nesta subseção, será revisada as noções de somas ordinais de uma família de t-normas, de t-conormas, e de implicações fuzzy, por meio de alguns resultados im-portantes que serão usados no decorrer deste trabalho. Para mais detalhes a respeito desses operadores veja [13, 50, 82].
Proposição 2.3 [50] Seja {Ti}i∈I uma família de t-normas e {(ai, bi)}i∈I uma família
não vazia de subintervalos abertos dois a dois disjuntos de [0, 1]. Então a função TI : [0, 1]2 → [0, 1] definida por TI(x, y) = ai+ (bi− ai) Ti x − ai bi− ai , y − ai bi− ai , se (x, y) ∈ [ai, bi]2
min(x, y), caso contrário
(2.7)
é uma t-norma que é chamada a soma ordinal dos somandos (ai, bi, Ti)i∈I.
Proposição 2.4 [50] Seja {Si}i∈I uma família de t-conormas e {(ai, bi)}i∈I uma
fa-mília não vazia de subintervalos abertos dois a dois disjuntos de [0, 1]. Então a função SI : [0, 1]2 → [0, 1] definida por SI(x, y) = ai+ (bi− ai) Si x − ai bi− ai , y − ai bi− ai , se (x, y) ∈ [ai, bi]2
max(x, y), caso contrário
(2.8)
Para implicações fuzzy há várias propostas de somas ordinais. Por exemplo, Proposição 2.5 [37, Teorema 7] Seja {Ji}i∈I uma família de implicações e {(ai, bi)}i∈I
uma família não vazia de subintervalos abertos dois a dois disjuntos de [0, 1] tal que ai > 0 para cada i ∈ I. Então a função JI : [0, 1]2 → [0, 1] dada por
JI(x, y) = ai+ (bi− ai) Ji x − ai bi− ai , y − ai bi− ai , se x, y ∈ [ai, bi]
JRS(x, y), caso contrário
(2.9)
é uma implicação que é chamada a soma ordinal dos somandos (ai, bi, Ji)i∈I.
Outras propostas de somas ordinais para implicações fuzzy podem ser encontra-das, por exemplo, em [3, 36, 37, 38, 77].
2.5
Conjuntos Fuzzy n-Dimensionais
A noção de conjunto fuzzy n-dimensional foi introduzida por Shang e Yuan em [76], especialmente para lidar com conjuntos fuzzy com um número fixo e crescente de funções de pertinência. Em [9], Bedregal et al. aborda os conjuntos fuzzy n-dimensionais como sendo conjuntos Ln([0, 1])-valorados e nesta seção abordaremos essa
conceituação.
Definição 2.25 [76] Seja X um conjunto não vazio e n ∈ N∗. Um conjunto A = {(x, µ1A(x), . . . , µnA(x)) | x ∈ X}
é chamado um conjunto fuzzy n-dimensional sobre X, se para todo i = 1, . . . , n as funções de pertinência µiA: X → [0, 1] satisfazem µ1A≤ · · · ≤ µn
A.
No âmbito do [0, 1]n, com n ∈ N∗, Bedregal et al. em [9] definiu o conjunto Ln([0, 1]) = {(x1, . . . , xn) ∈ [0, 1]n| x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn} (2.10)
que é chamado de simplex superior. Visto que L1([0, 1]) = [0, 1] e L2([0, 1]) = L([0, 1])
(os subintervalos fechados do intervalo unitário [0, 1]), os elementos de Ln([0, 1]) são
chamados intervalos n-dimensionais.
Observação 2.5 A i-ésima projeção sobre Ln([0, 1]) é a função πin: Ln([0, 1]) → [0, 1]
dada por πn
i(x1, . . . , xn) = xi. Para cada x ∈ [0, 1] o elemento (x, . . . , x) ∈ Ln([0, 1]) é
denotado por /x/n e chamado elemento degenerado. O conjunto de todos os elementos
Shang e Yuan em [76] considerou a seguinte ordem parcial sobre Ln([0, 1]):
x ≤pny ⇔ πni(x) ≤ πni(y) para cada i = 1, . . . , n, (2.11) chamada de ordem do produto. O supremo e ínfimo de dois intervalos n-dimensionais com respeito a esta ordem são, respectivamente, dados por
x ∨pny = (max{x1, y1}, . . . , max{xn, yn}) (2.12)
e
x ∧pny = (min{x1, y1}, . . . , min{xn, yn}), (2.13)
para cada i = 1, . . . , n.
O poset hLn([0, 1]), ≤pni é um reticulado contínuo [10] e assim um reticulado
distri-butivo completo, tendo /0/ne /1/ncomo seu menor e maior elemento, respectivamente
(ver [43, 75]).
Como visto nas seções anteriores, pode-se estender os conceitos dos operadores fuzzy para reticulados limitados. Nesse sentido, Bedregal et al. em [10] estende os conceitos de agregação, t-norma e negação fuzzy como segue:
Definição 2.26 [10] Seja m, n ∈ N∗ tal que m ≥ 2. Uma função F : Ln([0, 1])m →
Ln([0, 1]) é uma função de agregação n-dimensional m-ária, se para cada xi, yi ∈
Ln([0, 1]), i = 1, . . . , m, tem-se:
i) Se xi ≤pnyi para cada i = 1, . . . , m, então F (x1, . . . , xm) ≤pn F (y1, . . . , ym);
ii) F (/0/n, . . . , /0/n) = /0/n;
iii) F (/1/n, . . . , /1/n) = /1/n.
Definição 2.27 [10] Uma função T : Ln([0, 1])2 → Ln([0, 1]) é uma t-norma
n-dimensional, se para cada x, y, z ∈ Ln([0, 1]):
i) T (x, y) = T (y, x);
ii) T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z); iii) Se x ≤p
ny, então T (x, z) ≤pnT (y, z);
iv) T (x, /1/n) = x.
Definição 2.28 [10] Um operador N : Ln([0, 1]) → Ln([0, 1]) é uma negação fuzzy
N1) N (/0/n) = /1/n e N (/1/n) = /0/n; e
N2) Se x ≤pny, então N (y) ≤pn N (x).
N satisfaz a propriedade extra de involução e é chamada de negação forte n-dimensional se
N3) N (N (x)) = x para todo x ∈ Ln([0, 1]).
Observação 2.6 Negações fortes n-dimensionais são bijetivas e portanto estritamente decrescentes.
Proposição 2.6 [10, Proposição 3.1] Sejam N1, . . . , Nn negações fuzzy tais que N1 ≤
· · · ≤ Nn. Então, N^1. . . Nn : Ln([0, 1]) → Ln([0, 1]) definida por
^
N1. . . Nn(x) = (N1(πnn(x)), . . . , Nn(π1n(x))) (2.14)
é uma negação fuzzy n-dimensional.
Exemplo 2.13 Quando N1 = · · · = Nn = NS, então N^1. . . Nn será denotado por
NS e será chamada de negação fuzzy n-dimensional padrão, donde NS(x) = (1 −
πn
n(x), . . . , 1 − π1n(x)), para todo x ∈ Ln([0, 1]).
Em [32], De Miguel et al. introduziu o conceito de ordens admissíveis sobre Ln([0, 1]) com respeito à ordem do produto ≤pn. Particularmente, se a ordem parcial
sobre Ln([0, 1]) é tomada como ≤pn, a ordem n dada como na Definição 2.3 é chamada
apenas admissível, por simplicidade.
Exemplo 2.14 Considere a ordem parcial ≤p2 sobre L2([0, 1]), i.e. (a, b) ≤2 (x, y) se,
e somente se, x ≤ a e b ≤ y. Então a relação definida por
(a, b) 2 (x, y) ⇔ b < x ou x ≤ a e b ≤ y ou a < x e b < y. é uma ordem total sobre L2([0, 1]) que refina ≤
p
2. Logo, 2 é uma ordem admissível
sobre L2([0, 1]) com respeito a ≤ p 2.
Ainda em [32], De Miguel et al. definem um método de construção de ordens parciais sobre Ln([0, 1]) (Definição 2.29) e estabelece algumas condições para tais ordens
parciais serem admissíveis.
Definição 2.29 Seja M = (M1, . . . , Mn) uma sequência de n funções de agregação
i) x <M y se, e somente se, existe k com 1 ≤ k ≤ n tal que Mj(x) = Mj(y) para todo
1 ≤ j ≤ k − 1 e Mk(x) < Mk(y).
ii) x ≤M y se, e somente se, x <My ou x = y.
Em hLn([0, 1]), ≤pni, pode-se definir duas operações binárias da seguinte forma:
Definição 2.30 Sejam r ∈ [0, 1] e x, y ∈ Ln([0, 1]). Definimos sobre hLn([0, 1]), ≤pni
duas operações binárias, uma multiplicação por escalar · e uma soma limitada +++, como segue:
i) r · x = (rx1, . . . , rxn) (produto escalar);
ii) x +++ y = (min{x1+ y1, 1}, . . . , min{xn+ yn, 1}) (soma limitada).
Estas operações estão bem definidas, uma vez que das propriedades da ordem usual dos números reais, tem-se ca ≤ cb sempre que c ≥ 0 e a ≤ b, assim dados i, j ∈ {1, . . . , n} tais que i ≤ j segue 0 ≤ rxi ≤ rxj ≤ 1, logo r · x ∈ Ln([0, 1]). Além
disso, desde que xi ≤ xj e yi ≤ yj, ainda das propriedades da ordem usual em R,
tem-se xi+ yi ≤ xj+ yj, e consequentemente min{xi+ yi, 1} ≤ min{xj+ yj, 1}. Como
0 ≤ min{xi+ yi, 1} ≤ 1, para todo xi, yi ∈ [0, 1], i = 1, . . . , n, então x +++ y ∈ Ln([0, 1]).
Ademais, se y ≤pn x, então a subtração é dada por x −−− y = (x1 − y1, . . . , xn − yn)
também está bem definida em Ln([0, 1]).
Observação 2.7 hLn([0, 1]), ≤pni munido com a soma limitada +++ é um monoide
co-mutativo. Além disso, o produto escalar · tem as seguintes propriedades, para todo r, s ∈ [0, 1] e todo x ∈ Ln([0, 1]):
i) (rs) · x = r(s · x); ii) 1 · x = x.
Será denotado r · x simplesmente por rx.
Observação 2.8 Seja [a, b] ⊆ [0, 1]. Então Ln([a, b]) = {(x1, . . . , xn) ∈ [a, b]n | a ≤
x1 ≤ · · · ≤ xn ≤ b} é um subconjunto de Ln[0, 1]. Note que r = (b − a)−1 ∈ R+
e x −−− /a/n ∈ Ln([a, b]) ⊆ Ln([0, 1]), para todo x ∈ Ln([a, b]), então r(x −−− /a/n) =
Capítulo 3
Somas Ordinais das Principais Classes
de Negações Fuzzy e das Negações
Naturais de t-Normas, t-Conormas e
Implicações Fuzzy
As somas ordinais de negações fuzzy foram apresentadas com a finalidade de se estudar somas ordinais de famílias de t-normas, t-conormas e negações fuzzy, em que estas formam triplas de De Morgan (para mais detalhes ver [13]). Neste capítulo, será mostrado novos resultados sobre famílias de somas ordinais de negações fuzzy pertencentes a algumas classes de negações. Além disso, os resultados aqui apontados darão um arcabouço teórico para iniciar os estudos sobre a extensão multidimensional dessas somas ordinais que serão vistas no próximo capítulo.
3.1
Somas Ordinais de Negações Fuzzy
Nesta seção, será usada a definição de somas ordinais de negações fuzzy introdu-zidas em [13], para mostrar alguns resultados envolvendo: ponto de equilíbrio, relações entre algumas classes de negações fuzzy e que a soma ordinal de uma família de nega-ções fuzzy é uma negação fuzzy.
Definição 3.1 [13, Definição 3.1] Sejam {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy sobre
de [0, 1]. Então a função NI : [0, 1] → [0, 1] definida por NI(x) = (1 − bi) + (bi− ai) Ni x − ai bi− ai , se x ∈ [ai, bi] NS(x), caso contrário. (3.1)
é chamada de soma ordinal dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I.
Lema 3.1 [13, Lema 3.1] Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos
abertos dois a dois disjuntos de [0, 1], {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy e NI a
soma ordinal dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I. Então,
i) Se x ∈ [ai, bi] para algum i ∈ I, então NI(x) ∈ [1 − bi, 1 − ai];
ii) Se x 6∈S
i∈I[ai, bi], então NI(x) 6∈
S
i∈I[1 − bi, 1 − ai].
Proposição 3.1 [13, Proposição 3.1] Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de
subintervalos abertos dois a dois disjuntos de [0, 1] e {Ni}i∈I uma família de negações
fuzzy. Então a soma ordinal NI dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I, é uma negação fuzzy.
Se {Ni}i∈I é uma família de negações fuzzy tais que {(Ni(bi), Ni(ai))}i∈I é
tam-bém uma família não vazia de subintervalos abertos dois a dois disjuntos de [0, 1], então a soma ordinal de uma família de t-normas e t-conormas, {Ti}i∈I e {Si}i∈I, com
respeito a {(Ni(bi), Ni(ai))}i∈I será denotada por TIN e SIN, respectivamente.
Proposição 3.2 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos
dois a dois disjuntos de [0, 1], {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy e NI a soma
ordinal dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I. Se, para algum i ∈ I, Ni tem um ponto de
equilíbrio ei e bi = 1 − ai, então ai+ (bi− ai)ei é o ponto de equilíbrio de NI.
Demonstração. Suponha que Ni(ei) = ei e bi = 1 − ai, para algum i ∈ I. Como
xi = ai+ (bi− ai)ei ∈ [ai, bi], então NI(xi) = (1 − bi) + (bi − ai) Ni xi− ai bi− ai . Desde que, xi− ai bi− ai = ei e ai = 1 − bi, tem-se que NI(ai+ (bi− ai)ei) = 1 − bi+ (bi− ai) Ni(ei) = 1 − bi+ (bi− ai)ei = ai+ (bi− ai)ei
Proposição 3.3 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos
dois a dois disjuntos de [0, 1], {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy e NI a soma
ordinal dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I. Então NI ≤ NS se, e somente se, Ni ≤ NS
para todo i ∈ I.
Demonstração. (⇒) Sejam i ∈ I e x ∈ [0, 1]. Então xi = ai + (bi − ai)x ∈ [ai, bi].
Daí, supondo NI ≤ NS, tem-se
Ni(x) = Ni xi− ai bi− ai = NI(xi) − (1 − bi) bi− ai ≤ N S(x i) − (1 − bi) bi − ai = bi− xi bi− ai = 1 − x = NS(x) (⇐) Suponha que Ni ≤ NS para todo i ∈ I. Então
NI(x) = (1 − bi) + (bi− ai) Ni x − ai bi− ai , se x ∈ [ai, bi] NS(x), caso contrário. ≤ (1 − bi) + (bi− ai) NS x − ai bi− ai , se x ∈ [ai, bi] NS(x), caso contrário. = NS(x). Proposição 3.4 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos
dois a dois disjuntos de [0, 1], {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy e NI a soma
ordinal dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I. Então, NI ≥ NS se, e somente se, Ni ≥ NS
para todo i ∈ I.
Demonstração. Análogo à Proposição 3.3.
Proposição 3.5 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos
dois a dois disjuntos de [0, 1], {Ni}i∈I e {Ni0}i∈I duas famílias de negações fuzzy e NI
e NI0 as somas ordinais dos somandos (ai, bi, Ni) e (ai, bi, Ni0), i ∈ I, respectivamente.
Demonstração. (⇒) Se Ni 6= Ni0, para algum i ∈ I, então existe x ∈ [0, 1] tal que Ni(x) 6= Ni0(x) e portanto, Ni y−ai bi−ai 6= N0 i y−ai bi−ai para y = bix + ai(1 − x). Assim, y ∈ [ai, bi] e daí NI(y) = (1 − bi) + (bi− ai)Ni y−ai bi−ai 6= (1 − bi) + (bi− ai)Ni0 y−ai bi−ai = NI0(y). Desse modo, por contraposição, se NI = NI0, então Ni = Ni0 para cada i ∈ I.
(⇐) Direto.
A Proposição 3.5 mostra que a construção por somas ordinais de uma negação fuzzy é única para uma família não vazia de subintervalos abertos dois a dois disjuntos de [0, 1] fixada. Contudo, se for considerada diferentes famílias de subintervalos, então, em geral, a representação não é única. De fato, qualquer negação fuzzy N é igual a NI para I = {1}, a1 = 0, b1 = 1 e N1 = N , chamada soma ordinal trivial representada
por N . Vale a pena notar que existem negações fuzzy com uma única representação de soma ordinal, a trivial, por isso são chamadas de ordinalmente irredutíveis, por exemplo, a negação N (x) = 1 − x2.
3.2
Somas Ordinais de Negações Fuzzy e Classes de
Negações Fuzzy
Nesta seção, serão provadas algumas proposições e teoremas usando definições e resultados introduzidos nas seções anteriores. Serão estabelecidas condições para a soma ordinal de uma família de negações fuzzy resultar em uma negação fuzzy per-tencente a alguma das classe de negações fuzzy, tais como: estrita, forte, de fronteira, contínua e invertível.
Lema 3.2 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos dois a
dois disjuntos de [0, 1], {Ni}i∈I uma família de funções e NI a função obtida como em
Eq. (3.1). Então, NI(ai) = 1 − ai e NI(bi) = 1 − bi, para cada i ∈ I.
Demonstração. Para cada i ∈ I, NI(ai) = (1 − bi) + (bi− ai)Ni
ai− ai
bi − ai
= 1 − bi+
(bi−ai)Ni(0) = 1−aie NI(bi) = (1−bi)+(bi−ai)Ni
bi− ai
bi− ai
= 1−bi+(bi−ai)Ni(1) =
1 − bi.
Proposição 3.6 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos
dois a dois disjuntos de [0, 1] e {Ni}i∈I uma família de funções e NI a função obtida
como em Eq. (3.1). Todas Ni’s são negações fuzzy (contínuas, estritamente
Demonstração. (⇒) Se todos as Ni’s são negações fuzzy, então, pela Proposição 3.1,
NI é uma negação fuzzy. Agora, suponha que para cada i ∈ I, Ni é contínua. Então,
NI|[ai,bi](x) = (1 − bi) + (bi − ai)Ni
x − ai bi− ai
é claramente contínua. Uma vez que NS é contínua, então é suficiente provar que para cada i ∈ I, os limites laterais lim
x&ai NS(x) = N I(ai) e lim x%bi NS(x) = N I(bi). De fato, lim x&ai NS(x) = lim x&ai 1 − x = 1 − ai = (1 − bi) + (bi− ai) Ni(0) = (1 − bi) + (bi− ai) Ni ai− ai bi− ai = NI(ai).
Analogamente, prova-se que lim
x%bi
NS(x) = NI(bi).
Agora será provado que NI é estritamente decrescente quando todos Ni’s são
estritamente decrescentes. Se x < y, então tem-se os seguintes casos: Caso 1: Se x, y ∈ [ai, bi] para algum i ∈ I, então
x − ai bi− ai < y − ai bi− ai e portanto Ni y − ai bi− ai < Ni x − ai bi− ai
. Daí, pela Eq. (3.1), NI(y) < NI(x).
Caso 2: Se x ∈ [ai, bi] e y ∈ [aj, bj] para algum i, j ∈ I tal que i 6= j, então ai < bi ≤
aj < bj. Daí, pelo Lema 3.1, NI(y) ∈ [1 − bj, 1 − aj] e NI(x) ∈ [1 − bi, 1 − ai].
Então, desde que 1 − bj < 1 − ai, tem-se NI(y) < NI(x).
Caso 3: Se x ∈ [ai, bi] para algum i ∈ I e y 6∈ S j∈I
[aj, bj], então bi < y e assim
1 − y < 1 − bi. Uma vez que, pelo Lema 3.1, 1 − bi ≤ NI(x) e pela Eq. (3.1)
tem-se NI(y) = 1 − y, então segue que NI(y) < NI(x).
Caso 4: Se x 6∈ S
j∈I[aj, bj] e y ∈ [ai, bi] para algum i ∈ I, então x < ai e, pela Eq.
(3.1) tem-se NI(x) = 1 − x. Portanto, pelo Lema 3.1 segue que NI(y) ≤ 1 − ai <
1 − x = NI(x).
Caso 5: Se x, y 6∈ S
i∈I
[ai, bi], então pela Eq. (3.1) obtém-se NI(y) = 1 − y < 1 − x =
Logo, NI é estritamente decrescente.
(⇐) Se NI é uma negação fuzzy, então para cada i ∈ I,
Ni(0) = Ni ai− ai bi− ai = −(1 − bi) + (1 − bi) + (bi− ai)Ni ai− ai bi − ai bi− ai = NI(ai) − (1 − bi) bi− ai = 1 − ai− (1 − bi) bi− ai pelo Lema 3.2 = 1. Analogamente, Ni(1) = Ni bi− ai bi− ai = −(1 − bi) + (1 − bi) + (bi− ai)Ni bi − ai bi − ai bi− ai = NI(bi) − (1 − bi) bi− ai = 1 − bi− (1 − bi) bi− ai pelo Lema 3.2 = 0.
Seja i ∈ I, x, y ∈ [0, 1] tal que x ≤ y, xi = ai+ (bi− ai)x e yi = ai+ (bi− ai)y. Então,
ai ≤ xi ≤ yi ≤ bi e portanto, NI(yi) ≤ NI(xi). Daí, 1 − bi+ (bi− ai)Ni(y) = 1 − bi+ (bi− ai)Ni yi− ai bi− ai ≤ 1 − bi+ (bi− ai)Ni xi− ai bi− ai = 1 − bi+ (bi− ai)Ni(x).
Logo, Ni(y) ≤ Ni(x) e portanto Ni é uma negação fuzzy para cada i ∈ I. Além disso,
da Eq. (3.1), claramente para cada i ∈ I, se NI é contínua (estrita), então Ni também
o será.
Proposição 3.7 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos
dois a dois disjuntos de [0, 1] e {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy tal que Ni é
non-filling quando ai = 0 e non-vanishing quando bi = 1. Então, a soma ordinal NI
Demonstração. Pela Proposição 3.1, NI é uma negação fuzzy. Seja x ∈ (0, 1). Se
x 6∈ S
i∈I
[ai, bi] então, da Eq. (3.1) segue que NI(x) = NS(x) ∈ (0, 1). Suponha x ∈ [ai, bi]
para algum i ∈ I, então pelo Lema 3.1 tem-se que NI(x) ∈ [1 − bi, 1 − ai]. Se ai 6= 0 e
bi 6= 1, então 0 < 1 − bi ≤ NI(x) ≤ 1 − ai < 1, i.e., NI(x) ∈ (0, 1). Se ai = 0, então
pela Eq. (3.1) obtem-se x − ai bi − ai = x bi ∈ (0, 1) e 0 < NI(x) = 1 − bi + biNi x bi < 1, uma vez que Ni é non-filling neste caso. Analogamente, se bi = 1, então
x − ai bi− ai = x − ai 1 − ai ∈ (0, 1) e assim 0 < NI(x) = (1 − ai)Ni x − ai 1 − ai < 1, pois Ni é non-vanishing.
Portanto, para cada x ∈ (0, 1), tem-se NI(x) ∈ (0, 1), ou seja, NI é uma negação fuzzy
fronteira.
Corolário 3.1 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos dois
a dois disjuntos de [0, 1] e {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy. Se ai 6= 0 e bi 6= 1,
para cada i ∈ I, então NI é uma negação fuzzy fronteira.
Proposição 3.8 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos
dois a dois disjuntos de [0, 1] e {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy. Se a soma
ordinal NI dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I, satisfaz as duas propriedades seguintes
(i) NI(x) = 1 − ai para algum i ∈ I, apenas quando x = ai; e
(ii) NI(x) = 1 − bi para algum i ∈ I, apenas quando x = bi;
então Ni é uma negação fuzzy fronteira para cada i ∈ I.
Demonstração. Suponha que para algum i ∈ I, Ni não é fronteira. Dessa forma,
existe x 6= 1 tal que Ni(x) = 0 ou existe x 6= 0 tal que Ni(x) = 1. Seja xi = ai+(bi−ai)x,
então xi ∈ [ai, bi]. No primeiro caso, tem-se que
NI(xi) = 1 − bi+ (bi− ai)Ni
xi− ai
bi− ai
= 1 − bi+ (bi− ai)Ni(x) = 1 − bi.
Assim, pela segunda propriedade, xi = bi e portanto, x = 1 o que é uma contradição.
O segundo caso é análogo. Logo, para cada i ∈ I, a negação fuzzy Ni é fronteira.
Teorema 3.1 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos dois
a dois disjuntos de [0, 1] e {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy. Se todas as Ni’s são
negações fuzzy estritas e, para cada i ∈ I, existe j ∈ I tal que [aj, bj] = [1 − bi, 1 − ai]
e Nj = Ni−1, então a soma ordinal NI dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I, é uma negação
Demonstração. Da Proposição 3.1, NI é uma negação fuzzy. Além disso, para
qualquer x ∈ [0, 1] se x ∈ [ai, bi] para algum i ∈ I, então por hipótese existe j ∈ I tal
que [aj, bj] = [1 − bi, 1 − ai] e pela Eq. (3.1), NI(x) = (1 − bi) + (bi− ai) Ni
x − ai bi− ai ∈ [1 − bi, 1 − ai] = [aj, bj]. Portanto, NI(NI(x)) = (1 − bj) + (bj− aj)Nj (1 − bi) + (bi− ai)Ni x − ai bi− ai − aj bj − aj = ai+ (bi− ai)Ni−1 (1 − bi) + (bi− ai)Ni x − ai bi− ai − (1 − bi) bi − ai = x. Se x 6∈ S i∈I
[ai, bi], então NI(x) = 1 − x e, pelo Lema 3.1 e a hipótese, NI(x) 6∈ S i∈I [1 − bi, 1 − ai] = S i∈I [ai, bi]. Assim, NI(NI(x)) = 1 − (1 − x) = x.
Teorema 3.2 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos dois
a dois disjuntos de [0, 1] e {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy. Se a soma ordinal
NI dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I é uma negação fuzzy forte, então todos os Ni’s são
negações fuzzy estritas e, para cada i ∈ I, existe j ∈ I tal que [aj, bj] = [1 − bi, 1 − ai]
e Nj = Ni−1. Além disso, se para cada i, j ∈ I, ai 6= bj e Ni 6= NS, então para cada
i ∈ I existe j ∈ I tal que [aj, bj] = [1 − bi, 1 − ai] e Nj = Ni−1.
Demonstração. Se x < y e i ∈ I, então tomando xi = ai+ (bi− ai)x e yi = ai+ (bi−
ai)y, tem-se que xi < yi, xi, yi ∈ [ai, bi], Ni(x) = Ni
xi− ai bi− ai e Ni(y) = Ni yi − ai bi− ai . Desde que, NI(yi) < NI(xi), então pela Eq. (3.1), (1 − bi) + (bi− ai) Ni
yi− ai bi− ai < (1 − bi) + (bi− ai) Ni xi− ai bi− ai . Daí, Ni(y) = Ni yi− ai bi− ai < Ni xi− ai bi− ai = Ni(x) e
portanto cada Ni é estritamente decrescente. Por outro lado, pelo Lema 3.1, é claro que
caso algum Ni não seja contínua, então pela Eq. (3.1), NI também não seria contínua.
Assim, cada Ni é estrita.
Agora, suponha que para cada i, j ∈ I, ai 6= bj quando i 6= j e Ni 6= NS. Se
1 − ai ∈ S j∈I
[aj, bj], então 1 − ai ∈ [aj, bj] para algum j ∈ I. Se 1 − ai < bj, então existe
> 0 tal que 1−ai+ < bj, mas ai− 6∈
S
j∈I
[aj, bj]. Então, NI(ai−) = 1−ai+ ∈ (aj, bj)
ai− = NI(NI(ai− )) = NI(1 − ai+ ) = 1 − bj + (bj − aj)Nj (1 − ai+ ) − aj bj − aj , pela Eq. (3.1) 6= 1 − bj + (bj − aj) 1 −(1 − ai+ ) − aj bj − aj , desde que NJ 6= NS = 1 − bj + (bj − aj) − ((1 − ai+ ) − aj) = ai− .
o que é uma contradição, e consequentemente 1 − ai = bj. Analogamente é possível
provar que 1 − bi = aj.
Suponha que Nj 6= Ni−1, então existe x ∈ [0, 1] tal que Nj(x) 6= Ni−1(x). Seja
xj = aj + (bj − aj)x e assim, x = xj − aj bj − aj . NI(NI(xj)) = NI 1 − bj+ (bj − aj)Nj xj − aj bj− aj = NI(1 − bj+ (bj − aj)Nj(x)) = NI(ai+ (bi− ai)Nj(x)) 6= NI(ai+ (bi− ai)Ni−1(x)) = 1 − bi + (bi − ai)Ni ai+ (bi− ai)Ni−1(x) − ai bi− ai = 1 − bi + (bi − ai)x = xj
o que é uma contradição, uma vez que NI é forte. Portanto, Nj = Ni−1.
Corolário 3.2 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos dois
a dois disjuntos de [0, 1] e {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy tais que para cada
i, j ∈ I, tem-se ai 6= bj e Ni 6= NS. Então, a soma ordinal NI dos somandos (ai, bi, Ni),
i ∈ I, é uma negação fuzzy forte se, e somente se, todos os Ni’s são negações fuzzy
estritas e, para cada i ∈ I, existe j ∈ I tal que [aj, bj] = [1 − bi, 1 − ai] e Nj = Ni−1.
Demonstração. Direto dos Teoremas 3.1 e 3.2.
Proposição 3.9 Sejam {(ai, bi)}i∈I uma família não vazia de subintervalos abertos
dois a dois disjuntos de [0, 1], {Ni}i∈I uma família de negações fuzzy inversíveis, NI
a soma ordinal dos somandos (ai, bi, Ni), i ∈ I, e NI−1 a soma ordinal dos somandos
(1 − bi, 1 − ai, Ni−1), i ∈ I. Então, N −1
