Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo

(1)

TEMPO

Paulo Lopes dos Santos

Departamento de Engenharia Electrot´

ecnica e Computadores

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Rua Dr Roberto Frias, s/n

4200-464 Porto, Portugal

Email: pjsantos@fe.up.pt

(2)

Conte´

udo

1 Representa¸c˜ao de Sistemas no Espa¸co de Estados 2

2 Estabilidade assint´otica 4

3 Acessibilidade e Controlabilidade 9

4 Observabilidade 15

5 Decomposi¸c˜ao Can´onica de Kalman 22

6 Fun¸cões de Transferência e Realiza¸cões M´ınimas 27

7 Realiza¸c˜oes Equilibradas 28

(3)

1 Representa¸

c˜

ao de Sistemas no Espa¸

co de Estados

Um sistema linear e invariante no tempo com m entradas e ℓ sa´ıdas pode ser representado atrav´es do seguinte modelo

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) (1)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (2)

onde x(t)∈ IRn ´e o vector de estado, u(t)∈ IRm o vector das entradas e y(t)∈ IRℓ o vector das sa´ıdas. As matrizes A ∈ IRn×n, B ∈ IRn×m, C ∈ IRℓ×n e D ∈ IRℓ×m s˜ao constantes e constituem os parˆametros do modelo.

Se conhecermos x(t0), podemos calcular x(t0+ 1) e x(t0+ 2) da seguinte forma

x(t0+ 1) = Ax(t0) + Bu(t0)

x(t0+ 2) = Ax(t0+ 1) + Bu(t0+ 1) =

= A (Ax(t0) + Bu(t0)) + Bu(t0 + 1) = A2x(t0) + ABu(t0) + Bu(t0+ 1).

Admitindo que, para t > t0,

x(t) = At−t0_x(t

0) + At−t0−1Bu(t0) + At−t0−2Bu(t0+ 1) +· · · + ABu(t − 2) + Bu(t − 1),

ent˜ao, atrav´es de (1), teremos

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) =

= A(At−t0_x(t

0) + At−t0−1Bu(t0) + At−t0−2Bu(t0+ 1) +· · · + Bu(t − 1)

)

+ Bu(t) = = At+1−t0_x(t

0) + At−t0Bu(t0) + At−t0−1Bu(t0+ 1) +· · · + ABu(t − 1) + Bu(t),

ficando demonstrado, por indu¸c˜ao, que

x(t) = At−t0_x(t 0) + t−t∑0−1 τ′=0 At−t0−1−τ′_Bu(t 0+ τ′). (3)

De (2), a sa´ıda do sistema ser´a

y(t) = CAt−t0_x(t 0) + t−t∑0−1 τ′=0 CAt−t0−1−τ′_Bu(t 0+ τ′) + Du(t). (4) Definindo τ = t− t0− τ (τ′ = t− t0− τ′), ent˜ao y(t) = CAt−t0_x(t 0) + Du(t) + t−t0 ∑ τ =1 CAτ−1Bu(t− τ) (5)

(4)

Se, nesta equa¸c˜ao, t0 = 0, x(0) = 0n e se u(t) for um impulso de Dirac, ou seja, se

u(t) =

{

1, t = 0 0, t̸= 0 ,

obtemos a resposta impulsional do sistema dada por

h(t) =

{

D, t = 0

CAt−1_{B, t > 0}

Fazendo t0 → −∞ e x(t0) = 0, vemos que y(t) ´e pode ser calculado a partir da soma de

convolu¸c˜ao y(t) = ∞ ∑ τ =0 h(τ )u(t− τ),

que é dependente da sequˆencia de entrada u(k) desde de k = −∞ até k = t. A equa¸cões (4) e (5) mostram-nos, porém, que, para saber a evolu¸c˜ao do sistema a partir de t0 ̸= ∞, só

necessitamos de conhecer x(t0) e u(k) a partir desse instante. Deste modo, x(t0) constitui a

mem´oria de todo o comportamento do sistema para t < t0, sendo, por isso, o seu estado no

instante t0 e (1)-(2) o seu modelo de estado.

Exemplo 1 :

O modelo de estado discreto duma massa M em movimento numa superf´ıcie sem atrito ´e

[ x1(t + 1) x2(t + 1) ] = [ 1 1 0 1 ] [ x1(t) x2(t) ] + 1 M [ ₁ 2 1 ] u(t) (6) [ y1(t) y2(t) ] = [ 1 0 0 1 ] [ x1(t) x2(t) ] (7)

Neste modelo y1(t) = x1(t) é a posi¸cão do corpo, y2(t) = x2(t) é a sua velocidade e u(t) a for¸ca

que lhe é aplicada que se mantém constante entre dois instantes de amostragem consecutivos. O per´ıodo de amostragem é de 1 segundo. Se M = 1000 Kg e se, no instante t = 0 a massa estiver na posi¸cão nula com uma velocidade de 20 m/s (x1(0) = 0 e x2(0) = 20) e lhe for

aplicada uma for¸ca constante de −1000 N (u(t) = −1000 N, t > 0), o corpo pára em 20 segundos a uma distância de 200 metros da origem. Se, no entanto, a velocidade no instante inicial for de 40m/s (x1(0) = 0 e x2(0) = 40), a mesma entrada só faz parar a massa ao fim

(5)

0 5 10 15 20 0 0 200 20 40 400 600 60 d2(t) v2(t) v1(t) d1(t) v(m/s) d(m) t(seg)

Figura 1: Resposta do sistema (6)-(7) para diferentes condi¸c˜oes iniciais. Nesta figura v1(t)

e d1(t) s˜ao, respectivamente, a velocidade e a distˆancia percorrida (y1(t) e y2(t)) quando

xT(0) = [ 0 20 ] e v2(t) e d2(t) as mesmas vari´aveis quando xT(0) = [ 0 40 ]

2 Estabilidade assint´

otica

Se u(t) = 0m, ∀t, o sistema (1)-(2) passa a ser aut´onomo sendo descrito pela equa¸c˜ao

x(t + 1) = Ax(t). (8)

O pontos {x|Ax = x} s˜ao os pontos de equil´ıbrio. Como

Ax = x⇔ Ax − x = 0n ⇔ (A − In) x = 0n,

podemos concluir que o conjunto dos pontos de equil´ıbrio é o n´ucleo de A− In. Se esta for tiver caracter´ıstica n (se for n˜ao singular) então este conjunto será constitu´ıdo unicamente pela origem. Se for singular, será um subespa¸co de dimens˜ao n− car(A − In). Se largarmos o sistema num estado x(0) = x0, este segue uma trajectória

x(t) = Atx0 (9)

Defini¸c˜ao 1: O sistema (8) ´e assintoticamente est´avel se, quando largado em qualquer

estado inicial x(0) ∈ IRn, o seu vector de estado x(t) convergir para a origem. Nestas condi¸c˜oes, dizemos, simplesmente, que A ´e uma matriz est´avel.

O teorema de Lyapunov permite-nos verificar se um sistema ´e est´avel.

Teorema 1 (Teorema de Lyapunov): O sistema (8) ´e est´avel se e s´o se qualquer uma

(6)

1. Os valores absolutos de todos os valores pr´oprios de A serem inferiores a 1, isto ´e,

|λi(A)| < 1 i = 1, . . . , n (10)

ou

ρ(A) < 1

em que ρ(A) significa raio espectral de A.

2. Se para qualquer Q≻ 0n_×n a equa¸c˜ao de Lyapunov

P = ATP A + Q (11)

tem uma única solu¸cão P ≻ 0n_×n. Aqui as nota¸cões X ≻ 0n_×ne X ≻ Y , para X, Y ∈ IRn×n significam X e X− Y são,respectivamente, matrizes definidas positivas.

Demonstra¸c˜ao:

1. De (9) conclu´ımos que limt→∞ = 0n se e s´o se (10) se verificar.

2. • Condi¸c˜ao necess´aria: Vectorizando (11) teremos

vec(P ) = (AT ⊗ AT)vec(P ) + vec(Q).

Como esta ´e uma equa¸c˜ao linear em vec(P ), ter´a uma ´unica solu¸c˜ao se In2− AT⊗ AT

for n˜ao singular. Como

λi(In− X) = 1 − λi(X), i = 1, . . . , n, ∀X_∈IRn×n

λℓ(X⊗ X) = λi(X)λj(X), ℓ = 1, . . . , n2, i, j = 1, . . . , n, ∀X_∈IRn×n

ent˜ao se A for estável I_n2−AT⊗AT é não singular pois não tem nenhum valor próprio

nulo. Por outro lado, nestas condi¸c˜oes a s´erie

P = ∞ ∑ k=0 ( AT)kQAk

(7)

converge e é a solu¸cão de (11) pois ATP A + Q = AT ∞ ∑ k=0 ( AT)kQAkA + Q = (AT)0QA0+ ∞ ∑ k=1 ( AT)kQAkA0 = = ∞ ∑ k=0 ( AT)kQAk= P. Como Q≻ 0n×n, ent˜ao P ≻ 0n×n. • Condi¸cão suficiente:

Suponhamos agora que P ≻ 0n_×n e que A ´e inst´avel. Isto significa que A tem um valor pr´oprio λ0 tal que ∥λ0| ≥ 0. Se λ0´e valor pr´oprio de A ent˜ao λ∗0, onde∗ significa

conjugado complexo, tamb´em ´e. Por outro lado, se v0 for um vector pr´oprio associado

a λ0, v∗0 ´e um vector pr´oprio associado a λ∗0. Se multiplicarmos (11) `a esquerda por

v₀H = (v₀T)∗ e `a direita por v0, obtemos

v₀HP v0 = v0HA T P Av0+ v0HQv0 = λ∗0v H 0 P v0λ0+ vH0 Qv0 =|λ0|2v0HP v0+ vH0 Qv0 ⇔ ⇔ (1− |λ0| 2) v₀HP v0 = vH0 Qv0.

Sendo Q≻ 0n_×nent˜ao v₀HQv0 > 0 e, consequentemente,

(

1− |λ0|2

)

vH₀ P v0 > 0. Como

|λ0| > 1, ent˜ao 1 − |λ0|2 < 0 e v0HP v0 < 0, o que nunca pode acontecer pois, P ´e, por

hip´otese, uma matriz definida positiva (P ≻ 0n_×n).

2

Exemplo 2 - Estabilidade dum sistema de ordem 1:

Consideremos o seguinte sistema de primeira ordem x(t + 1) = ax(t) x(t), a ∈ IR

Como a ∈ IR, n = 1 e λ1(a) = a. Logo o sistema será estável se e só se |a| < 1.

Alterna-tivamente podemos deduzir a condi¸cão de estabilidade da solu¸cão da equa¸cão de Lyapunov que, nestas, condi¸cões, será

p = a2p + q, q > 0.

A solu¸cão desta equa¸cão é p = q

(8)

e, como q é positivo, só será positiva se e só se a2 < 1 ⇔ |a| < 1, que não é mais do que a condi¸cão de estabilidade obtida pelo critério baseado na localiza¸cão dos valores próprios do sistema no interior do c´ırculo unitário.

Exemplo 3 - Estabilidade dum sistema de de ordem 2 com valores pr´oprios

reais e distintos:

Consideremos o seguinte sistema

x(t + 1) = Ax(t), x(t)∈ IR2, A∈ IR2×2

em que λ1 ̸= λ2 são os valores próprios de A associados aos vectores próprios v1 e v2,

respectivamente. Uma condi¸cão necessária e suficiente para que este sistema seja estável é que solu¸cão P da equa¸cão de Lyapunov

P = ATP A + Q

seja única e definida positiva. Seja T ∈ IR2×2 uma matriz não singular. Multiplicando ambos os membros desta equa¸cão à esquerda por TT _{e ´}_{a direita por T obtemos a seguinte igualdade}

TTP T = TTATP AT + TTQT = TTATT−TTTP T T−1AT + TTQT =

= (T−1AT)T (TTP T) (T−1AT)+ TTQT

Definindo ¯P = TT_{P T , ¯}_{A = T}−1_{AT e ¯}_{Q = T}T_{QT , podemos reescrever esta igualdade na} forma

¯

P = ¯ATP ¯A + ¯Q, (12)

e verificar que continua a ser uma equa¸cão de Lyapunov. Como A e ¯A têm os mesmos valores próprios, o sistema será estável se e só se a solu¸cão ¯P desta equa¸cão for única e definida positiva. Se T =[ v1 v2 ] então, ¯ A = Λ = [ λ1 0 0 λ2 ] . (13)

Nestas condi¸cões, a solu¸cão de (12) é a matriz cuja vectoriza¸cão é vec( ¯P ) =(I4− ΛT ⊗ ΛT

)₋₁

vec( ¯Q) = (I4− Λ ⊗ Λ)−1vec( ¯Q), (14)

pois Λ ´e diagonal. Seja

¯ Q = [ ¯ q11 q¯12 ¯ q12 q¯22 ] . (15)

(9)

Como ¯Q ´e definida positiva ent˜ao ¯ q11 > 0 (16) ¯ q22 > 0 (17) det ¯Q = q¯11q¯22− ¯q122 > 0 (18)

pois, sabe-se a verifica¸cão simultânea destas desigualdades é uma condi¸cão necessária e su-ficiente para que uma matriz de R2×2 seja definida positiva. Utilizando as defini¸cões de Λ e Q em (13) e (15), respectivamente, podemos reescrever a expressão (14) da vectoriza¸cão de

¯ P , na forma vec( ¯P ) =         1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     −     λ2 1 0 0 0 0 λ1λ2 0 0 0 0 λ2λ1 0 0 0 0 λ2 2         −1    ¯ q11 ¯ q12 ¯ q12 ¯ q22     = =      1 1−λ2 1 0 0 0 0 ₁_−λ1 1λ2 0 0 0 0 ₁_−λ1 1λ2 0 0 0 0 ₁_−λ1 2 2      −1    ¯ q11 ¯ q12 ¯ q12 ¯ q22     =      ¯ q11 1−λ2 1 ¯ q12 1−λ1λ2 ¯ q12 1−λ1λ2 ¯ q22 1−λ2 2      sendo ¯ P = [ _q_¯ 11 1−λ2 1 ¯ q12 1−λ1λ2 ¯ q12 1−λ1λ2 ¯ q22 1−λ2 2 ]

Atrav´es de (16) e (17) podemos concluir que, se ¯P for definida positiva, ent˜ao |λ1| < 1 e

|λ2| < 1 e, consequentemente, o sistema ´e est´avel. Por outro lado, como

( 1− λ2₁) (1− λ2₂)− (1 − λ1λ2)2 =−(λ2− λ1)2 < 0 ⇒ ( 1− λ2₁) (1− λ₂2) < (1− λ1λ2)2 e ¯ q11q¯22 > ¯q122

ent˜ao, se |λ1| < 1 e |λ2| < 1 (se o sistema for est´avel) temos

¯ q11q¯22 (1− λ2 1) (1− λ22) > q¯ 2 12 (1− λ1λ2)2

e, consequentemente, ¯P é definida positiva. Como P = T−TP T¯ −1, P e ¯P têm o mesmo sinal, ou seja, se uma é definida positiva a outra também o é e vice-versa.

(10)

3 Acessibilidade e Controlabilidade

Nesta seçcão iremos estudar a acessibilidade que é uma das propriedades mais importantes dos sistemas discretos. Veremos que a controlabilidade que é um conceito muito próximo do da acessibilidade. Quando a matriz de estado A ´e não singular os conceitos de acessibili-dade e controlabiliacessibili-dade são mesmo equivalentes. Definiremos também o conceito de sistema estabilizável que, tal como o nome diz, indica-nos se é poss´ıvel estabilizar um sistema.

Defini¸c˜ao 2: Acessibilidade.

Um sistema ´e acess´ıvel se a origem puder ser transferida para qualquer estado x1 ∈ IRn

em n per´ıodos de amostragem, ou seja, se existir uma sequˆencia de n entradas u(t0), u(t0+

1), . . . , u(t0+ n− 1) que transfira o sistema do estado x(t0) = 0n para x(n) = x1 em que x1

´

e qualquer estado de Rn.

Defini¸c˜ao 3: Controlabilidade.

Um sistema ´e control´avel se qualquer estado x(t0) = x0 ∈ IRn puder ser transferido para a

origem atrav´es de uma sequˆencia de n entradas u(t0), u(t0+ 1), . . . , u(t0+ n− 1).

Quando o sistema (1)-(2) ´e acess´ıvel dizemos simplesmente que o par (A, B) ´e acess´ıvel. Se for control´avel dizemos, identicamente, que o par (A, B) ´e control´avel.

Teorema 2: As condi¸cões seguintes são condi¸cões necessárias e suficientes para que o par

(A, B) seja acess´ıvel

1. car(C) = n ou im(C) = IRn em que C =[ B AB . . . An−1_B ]_{∈ IR}n×nm_. 2. car([ A− λiIn | B

])

= n, para todos os valores pr´oprios λi de A.

3. Os valores pr´oprios de A− BK, K ∈ IRm×n podem ser alocados arbitrariamente.

Demonstra¸c˜ao: 1. Se fizermos τ′ = t− t0− τ em (3) teremos x(t) = At−t0_x(t 0) + t−t0 ∑ τ′=1 Aτ′−1Bu(t− τ′) = = At−t0_x(t 0) + [ B AB · · · At−t0−1_B ]      u(t− 1) u(t− 2) .. . u(t0)     =Ct−t0U R to:t−1

(11)

em que UR to:t−1 =      u(t− 1) u(t− 2) .. . u(t0)     . e Ct−t0 = [ B AB · · · At−t0−1_B ]_.

Se partirmos dum estado inicial x(t0) = 0n, o sistema atinge, ao fim de n per´ıodos de

amostragem um estado x1 = x(t0+ n) = CUtR0:t0+n−1. Isto significa que x1 ∈ im(C) e que,

consequentemente, x1 pode ser qualquer ponto de Rn se e s´o se

im(C) = Rn⇔ car(C) = n.

2. • Condi¸c˜ao necess´aria Seja car([ A− λiIn | B

])

= r ≥ n. O subespa¸co gerado pelas colunas desta ma-triz, im([ A− λiIn | B

])

, terá então dimens˜ao r, sendo n− r a dimensão do seu complemento ortogonal, ker([ A− λiIn | B

])T . Se v∈ ker([ A− λiIn | B ])T , vT [ A− λiIn | B ] = 01×(n+m) (19)

Para que esta condi¸c˜ao se verifique, vT tem que ser ortogonal `as colunas de A− λiIn

e de B, isto ´e { vT_(A− λi_I n) = 01×n ⇔ vTA = λivT vTB = 01×m ⇒                  vT_{AB = λ} ivTB = 01×m vT_A2_{B = λ} ivTAB = λ2ivTB = 01×m .. . λivTAkB = λivTAk−1B =· · · = λkivTB = = 01×m .. . Multiplicando vT porC, vTC = vT[ B AB · · · An−1_B ] ₌[ _vT_{B v}T_AB _{· · · v}T_An−1_B ] ₌ = [ 01×m 01×m · · · 01×m ] = 01×nm,

(12)

verificamos que v ∈ ker(CT). Logo ker([ A− λiIn | B ]T) ⊆ ker(CT)⇒ ⇒ n − car([ A− λiIn | B ]) ≤ n − car(C) ⇒ ⇒ car (C) ≤ car([ A− λiIn | B ]).

Se (A, B) for acess´ıvel ent˜ao car(CT)_{= n e, consequentemente,}

car([ A− λiIn | B ])= n.

• Condi¸c˜ao suficiente:

Para provar que é condi¸cão temos primeiro que transformar o sistema numa forma triangular. Os detalhes desta demonstra¸cão podem ser vistos na seçcão 2.4.3 de Kailath (1980).

3. Ver Kailath (1980).

2

De acordo com a defini¸c˜ao, um sistema ´e control´avel se, para qualquer estado inicial x(t0) =

x0 ∈ IRn, existir um vector −UtR0:t0+n que seja a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

x(t0+ n) = Anx0− CUtR0:t0+n−1 = 0n⇔ A

n_x

0 =CUtR0:t0+n−1

Esta equa¸c˜ao mostra-nos que o sistema ´e control´avel se e s´o , An_x

0 ∀x0∈IRn pertencer `a

imagem de C, ou seja, se e s´o se,

im(A) ⊆ im(C) (20)

Se A for não singular e o sistema control´avel, então car (C) = n e o sistema também é acess´ıvel. Conclu´ımos, assim, que os conceitos de Controlabilidade e de Acessibilidade s˜ao equivalentes quando A n˜ao é singular. Por outro lado, podemos ver facilmente que

Acessibilidade ⇒ Controlabilidade, qualquer que seja A. No entanto, se A for n˜ao

singular, o sistema pode não ser acess´ıvel e ser controlável desde que a condi¸cão (20) se verifique.

O facto de um sistema n˜ao ser acess´ıvel n˜ao significa que todos os estados sejam

in-acess´ıveis. Como, para x(t0) = 0n,

(13)

podemos sempre transferir o sistema da origem para qualquer estado de im(C) em n per´ıodos de amostragem. A imagem de C será, então, o conjunto dos estados acess´ıveis. Como este conjunto é um subespa¸co, é natural que exista uma representa¸cão em que o conjunto dos estados acess´ıveis seja definido por nc vari´aveis de estado (nc = car(C)) e o seu complemento

ortogonal definido pelas n− nc restantes. Esta possibilidade ´e confirmada pelo seguinte teorema

Teorema 3: Se o par (A, B) n˜ao for acess´ıvel tal que car(C) = nc < n, ent˜ao existe uma matriz T n˜ao singular tal que

¯ A = T−1AT = [ _¯ A11 A¯12 0n−nc×nc A¯22 ] ¯ B = T−1B = [ _¯ B1 0n−nc×m ] Demonstra¸c˜ao: Sejam C = [ B AB · · · An−1B ] e ¯ C = [ _B¯ _{A ¯}¯_B _{· · · ¯}_An−1_B_¯ ] ₌ = [ T−1B | T−1AT T−1B | · · · | T−1An−1T T−1B ] = = [ T−1B T−1AB · · · T−1An−1B ] = T−1[ B AB · · · An−1B ] = T−1C as matrizes de controlabilidade dos pares (A, B) e ( ¯A, ¯B), respectivamente. Como

¯ A ¯B = [ _¯ A11 A¯12 0n−nc×nc A¯22 ] [ _¯ B1 0n−nc×m ] = [ _¯ A11B¯1 0n−nc×m ] ¯ A2B =¯ A¯(A ¯¯B)= [ _¯ A11 A¯12 0n−nc×nc A¯22 ] [ _¯ A11B¯1 0n−nc×m ] = [ _¯ A2₁₁B¯1 0n−nc×m ] .. . ¯ AkB =¯ A¯(A¯k−1B¯)= [ _¯ A11 A¯12 0n−nc×nc A¯22 ] [ _¯ Ak₁₁−1B¯1 0n−nc×m ] = [ _¯ Ak 11B¯1 0n−nc×m ] , ent˜ao ¯ C = T−1_{C =}[ B¯1 A¯11B¯1 . . . A¯n11−1B¯1 0n−nc×m 0n−nc×m 0n−nc×m 0n−nc×m ] .

A decomposi¸c˜ao em valores singular (svd) de C ´e

(14)

onde S = [ S+ 0nc×nm−nc 0_n−nc×nc 0n−nc×nm−nc ] V = [ Vnc Vn−nc ] com S+ =      σ1 0 · · · 0 0 σ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · σn_−nc      Vnc = [ v1 v2 · · · vnc ] Vn−nc = [ vnc+1 vnc+2 · · · vn ] Se fizermos T = U temos T−1C = UTU SVT = [ S+ 0nc×nm−nc 0n−nc×nc 0n−nc×nm−nc ] [ VT nc V_nT_−n_c ] = [ S+VnTc 0n−nc×mn ] = = [ _¯ B1 A¯11B¯1 . . . A¯n11−1B¯1 0n−nc×m 0n−nc×m 0n−nc×m 0n−nc×m ] = ¯C. 2

Este teorema permite-nos dividir este sistema em dois: Um acess´ıvel e outro não acess´ıvel. A sua demonstra¸cão sugere uma forma de obtermos esta separa¸cão que sistematizamos no seguinte algoritmo.

Algoritmo 1: Determina¸c˜ao do subsistema control´avel

• Entrada: Par (A, B)

• Sa´ıda: Transforma¸c˜ao de Similaridade T

1. Calcular a Matriz da Controlabilidade C =[ B AB · · · An−1_B ]_. 2. Efectuar a decomposi¸c˜ao em valores singulares (svd) de C = USVT 3. Fazer T = U .

(15)

Exemplo 4 - Determina¸c˜ao do subsistema control´avel num sistema de 2a or-dem

Consideremos o seguinte sistema x(t + 1) = [ 1.4 0.48 −1 0 ] x(t) + [ −0.6 1 ] u(t) y(t) = [ 1 0.8 ]x(t).

A sua matriz da controlabilidade ´e C = [ [ −0.6 1 ] [ 1.4 0.48 −1 0 ] [ −0.6 1 ] ] = [ −0.6 −0.36 1 0.6 ] .

Como det(C) = 0 a sua caracter´ıstica é 1 e, consequentemente, o sistema não é acess´ıvel. Os valores próprios deste sistema são λ1 = 0.6 e λ2 = 0.8. Como

car {[ [ 1.4 0.48 −1 0 ] − λ2 [ 1 0 0 1 ] [ −0.6 1 ] ]} = car {[ 0.6 0.48 −0.6 −1 −0.8 1 ]} = 1 O modo λt₂ = 0.8t n˜ao ´e acess´ıvel.

Efectuando a decomposi¸c˜ao em valores singulares de C, C = USVT ₌ [ −0.5145 0.8575 0.8575 0.5145 ] [ 1.36 0 0 0 ] [ 0.8575 0.5145 0.5145 −0.8575 ]

e fazendo a mudan¸ca de coordenadas

¯ x(t) = [ ¯ xc(t) ¯ x¯c(t) ] = T−1x(t) com T = U =[ Uc Ur ] = [ −0.5145 0.8575 0.8575 0.5145 ] obtemos a representa¸c˜ao [ ¯ xc(t + 1) ¯ xc¯(t + 1) ] = [ 0.6 −1.48 0 0.8 ] [ ¯ xc(t) ¯ x¯c(t) ] + [ 1.1662 0 ] u(t) y(t) = [ 0.1715 1.2691 ] [ ¯xc(t) ¯ x¯c(t) ]

Onde o eixo ¯xc constitui o subespa¸co dos estados acess´ıveis e ¯x¯c o seu complemento ortogonal. Dado que a matriz de estado ¯A é triangular inferior, os elementos da sua diagonal principal são os valores próprios do sistema. Por outro lado, uma vez que o segundo elemento do

(16)

+ 0.6 −1.48 0.8 1.2691 0.1715 1.1662 y(t) + + z−1 z−1 ¯ xc(t + 1) x¯c(t) ¯ x¯c(t + 1) x¯c¯(t) u(t) + +

Figura 2: Representa¸c˜ao dum sistema de 2a _{ordem com separa¸c˜}_{ao dos subsistemas acess´ıvel}

e n˜ao acess´ıvel.

vector de controlo ¯B é nulo, confirmamos que [ ¯A]22= λ2 = 0.8 é o valor próprio cujo modo

não é acess´ıvel (ver fig. 2). Se trocarmos a ordem das colunas de T , isto é, se fizermos T1 = [ Ur Uc ] = [ 0.8575 −0.5145 0.5145 0.8575 ] , obtemos a permuta¸cão [ x¯T ¯ c x¯Tc ]T

do vector de estado a que corresponde o seguinte modelo

[ ¯ xc¯(t + 1) ¯ xc(t + 1) ] = [ 0.8 0 −1.48 0.6 ] [ ¯ x¯c(t) ¯ xc(t) ] + [ 0 1.1662 ] u(t) y(t) = [ 1.2691 0.1715 ] [ ¯x¯c(t) ¯ xc(t) ]

4 Observabilidade

Nos sistemas que estamos a considerar os únicos sinais acess´ıveis ao exterior (medidos) são a entrada u(t) e a sa´ıda y(t). No entanto, muitas vezes tamb´em estamos interessados em conhecer as suas variáveis de estado. Se o sistema for observável podemos estimar estas variáveis sem ter necessidade de colocar outros sensores.

Defini¸c˜ao 4: Dizemos que um sistema ´e observável se o seu estado inicial for recuper´avel das n primeiras observa¸cões da sa´ıda y(0), y(1),. . . ,y(n− 1). Nestas condi¸cões dizemos que o par (C, A) ´e observável.

O próximo teorema diz-nos em que condi¸cões é que um sistema é observável.

Teorema 4: As condi¸cões seguintes são condi¸cões necessárias e suficientes para que o par

(17)

1. car(O) = n ou im(O) = IRn em que O =      C CA .. . CAn−1     ∈ IR nℓ×n . 2. car ([ A− λiIn C ])

= n, para todos os valores pr´oprios λi de A.

3. Os valores pr´oprios de A− LC, L ∈ IRn×ℓ podem ser alocados arbitrariamente.

1. Vimos anteriormente que, para t0=0,

x(t) = Atx(0) +CtU_0:tR₋₁ = Atx(0) +[ B AB · · · At−1B ]      u(t− 1) u(t− 2) .. . u(0)     . Se definirmos CR t = [ At−1_B _{· · · AB B} ] _e _Ut −1      u(0) u(1) .. . u(t− 1)      podemos escrever x(t) = Atx(0) +CRUt₋₁. Como y(t) = Cx(t) + Du(t) = CAtx(0) +[ CC_tR D ]Ut,

(18)

ent˜ao

y(0) = Cx(0) + Du(0) =

= Cx(0) +[ D 0 0 · · · 0 ]Un₋₁

y(1) = CAx(0) +[ CC₁R D ]U1 = CAx(0) + CBu(0) + Du(1) =

= [ CB D 0 · · · 0 ]Un₋₁

y(2) = CA2x(0) +[ CC₁R D ]U2 = CA2x(0) + CABu(0) + CBu(1) + Du(2) =

= [ CAB CB D · · · 0 ]Un₋₁ .. . y(n− 1) = CAn−1x(0) +[ CC₁R D ]Un₋₁ = = CAn−1x(0) +[ CAn−2_{B CA}n−3_{B CA}n−4 · · · D ]_Un −1.

Este sistema de equa¸c˜oes pode ser escrito na forma matricial

Yn−1 =Ox(0) + HnUn−1 ⇔ Ox(0) = Yn−1− HnUn−1 (21)

onde O foi definido anteriormente e

Hn =        D 0 0 · · · 0 CB D 0 · · · 0 CAB CB D · · · 0 .. . ... ... . .. ... CAn−2_{B CA}n−3_{B CA}n−4 _{· · · D}        .

Como o n´umero ℓn de linhas de O é maior ou igual ao seu número n de colunas, então, se car(O) = n, o seu pseudo-inverso será O† =(OT_O)−1_OT _e _O†_{O = In}_{. Podemos ent˜}_ao

determinar x(0) multiplicando `a esquerda ambos os membros da ´ultima equa¸c˜ao de (21) por O†, ou seja

x(0) = O†(Yn−1− HnUn−1) =

(

OT_O)−1_OT

(Yn−1− HnUn−1) .

Se O não tiver caracter´ıstica n, então O†O ∈ IRn×n é singular e, consequentemente, (21) tem uma infinidade de solu¸cões n˜ao sendo, por isso, poss´ıvel determinar x(0).

(19)

2. e 3. Se definirmos o sistema

xd(t + 1) = ATxd(t) + CTu(t) yd(t) = BTxd(t)

verificamos que existe uma dualidade entre os conceitos de controlabilidade e observabili-dade. Esta dualidade significa que a observabilidade do par (C, A) ´e equivalente `a contro-labilidade de (AT_{, C}T_{). Deste modo, todas as condi¸c˜}_{oes deste teorema s˜}_{ao equivalentes `}_as

do teorema 2.

2

Nos sistemas não observáveis só não é poss´ıvel determinar as componentes do estado inicial situadas no núcleo da matriz de observabilidade O. Por este motivo, este subespa¸co é designado por subespa¸co dos estados não observáveis. O próximo teorema mostra-nos que ´

e poss´ıvel determinar uma representa¸cão de estado em que o subespa¸co dos estados não observáveis é gerado por eixos da base canónica, o que nos permite dividir o sistema em dois subsistemas: um observável e outro não observável.

Teorema 5: Se o par (C, A) n˜ao for observável tal que car(O) = no < n, então existe uma matriz T não singular tal que

¯ A = T−1AT = [ _¯ A11 0no×n−no ¯ A21 A¯22 ] ¯ C = CT =[ C¯1 0ℓ×n−no ] Demonstra¸c˜ao: Sejam O =      C CA .. . CAn−1      e ¯ O =      ¯ C ¯ C ¯A .. . ¯ C ¯An−1     =      CT CT T−1AT .. . CT T−1An−1_T     =     CT CAT · · · CAn−1_T     =     C CA · · · CAn−1     = CT

(20)

as matrizes de observabilidade dos pares (C, A) e ( ¯C, ¯A), respectivamente. Como ¯ C ¯A = [ C¯1 0ℓ×n−no ] [ ¯A11 0no×n−no ¯ A21 A¯22 ] =[ C ¯¯A11 0ℓ×n−no ] ¯ C ¯A2 = (C ¯¯A)A =¯ [ C ¯¯A11 0ℓ×n−no ] [ ¯A11 0ℓ×n−no ¯ A21 A¯22 ] =[ C ¯¯A2₁₁ 0ℓ×n−no ] .. . ¯ C ¯Ak = (C ¯¯Ak−1)A =¯ [ C ¯¯Ak₁₁−1 0ℓ×n−no ] [ ¯A11 0ℓ×n−no ¯ A21 A¯22 ] = = [ C ¯¯Ak₁₁ 0ℓ×n−no ] , ent˜ao ¯ O =      ¯ C 0ℓ×n−no ¯ C ¯A11 0ℓ×n−no .. . ... ¯ C ¯An₁₁−1 0ℓ×n−no     =OT.

A decomposi¸c˜ao em valores singulares (svd) de O ´e

O = USVT onde S = [ S+ 0no×n−no 0ℓn−no×no 0ℓn−no×n−no ] U = [ Uno Un−no ] com S+ =      σ1 0 · · · 0 0 σ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · σn_−no      Uno = [ u1 u2 · · · uno ] Un−no = [ uno+1 uno+2 · · · un ] Se fizermos T = V

(21)

temos OT = USVT_{V = U S =}[ _U no Un−no ] [ S+ 0no×n−no 0ℓn−no×no 0ℓn−no×n−no ] = = [ UnoS+ 0ℓn×n−no ] =      ¯ C 0ℓ×n−no ¯ C ¯A11 0ℓ×n−no .. . ... ¯ C ¯An₁₁−1 0ℓ×n−no     = ¯O. 2

No algoritmo seguinte sistematizamos a divisão dum sistema num subsistema observável e noutro não observável.

Algoritmo 2: Determina¸c˜ao do subsistema observ´avel

• Entrada: Par (C, A)

• Sa´ıda: Transforma¸c˜ao de Similaridade T

1. Calcular a Matriz da Observabilidade O =

     C CA .. . CAn−1     .

2. Efectuar a decomposi¸c˜ao em valores singulares (svd) de O = USVT 3. Fazer T = V .

Exemplo 5 - Determina¸c˜ao do subsistema observ´avel num sistema de 2a _ordem

Consideremos o seguinte sistema

x(t + 1) = [ 1.4 0.48 −1 0 ] x(t) + [ −0.8 1 ] u(t) y(t) = [ 1 0.6 ]x(t).

A sua matriz da observabilidade ´e

O =       [ 1 0.6 ] [ 1 0.6 ] [ 1.4 0.48 −1 0 ]      = [ 1 0.6 0.8 0.48 ] .

(22)

Como det(O) = 0 a sua caracter´ıstica é 1 e, consequentemente, o sistema não é observável. Recordemos que os valores próprios deste sistema são λ1 = 0.6 e λ2 = 0.8. Como

car                  [ 1.4 0.48 −1 0 ] − λ1 [ 1 0 0 1 ] [ 1 0.6 ]                  = car      0.8_{−1 −0.6}0.48 1 0.6     = 1

O modo λt₁ = 0.6t não é observável.

Efectuando a decomposi¸c˜ao em valores singulares de O, O = USVT = [ −0.7809 −0.6247 −0.6247 0.7809 ] [ 1.4835 0 0 0 ] [ −0.8575 −0.5145 −0.5145 0.8575 ]

e fazendo a mudan¸ca de coordenadas

¯ x(t) = [ ¯ xo(t) ¯ x¯o(t) ] = T−1x(t) com T = V =[ Vo Vr ] = [ −0.8575 −0.5145 −0.5145 0.8575 ] obtemos a representa¸c˜ao [ ¯ xo(t + 1) ¯ xo¯(t + 1) ] = [ 0.8 0 1.48 0.6 ] [ ¯ xo(t) ¯ xo¯(t) ] + [ −0.1715 −1.2691 ] u(t) y(t) = [ 1.1662 0 ] [ ¯xo(t) ¯ xo¯(t) ]

Onde o eixo ¯x¯o constitui o subespa¸co dos estados n˜ao observ´aveis e ¯xo o seu complemento

¯ xo¯(t + 1) 0.8 1.48 1.1662 0.6 −0.1715 −1.2691 + + z−1 z−1 ¯ xo(t + 1) x¯o(t) ¯ xo¯(t) + + ₊ y(t) u(t)

Figura 3: Representa¸c˜ao dum sistema de 2a_{ordem com separa¸c˜}_{ao dos subsistemas observ´}_avel

e n˜ao observ´avel.

(23)

principal são os valores próprios do sistema. Por outro lado, uma vez que o segundo elemento de ¯C é nulo, confirmamos que [ ¯A]22= λ1 = 0.6 é o valor próprio cujo modo não é acess´ıvel

(ver fig. 3).

Se trocarmos a ordem das colunas de T , isto ´e, se fizermos T1 = [ Vr Vo ] = [ −0.5145 −0.8575 0.8575 −0.5145 ]

obtemos a permuta¸c˜ao [ x¯T_o_¯ x¯T_o ]T do vector de estado a que corresponde o seguinte modelo

[ ¯ xo¯(t + 1) ¯ xo(t + 1) ] = [ 0.6 1.48 0 0.8 ] [ ¯ xo¯(t) ¯ xo(t) ] + [ −1.2691 −0.1715 ] u(t) y(t) = [ 0 1.1662 ] [ ¯xo¯(t) ¯ xo(t) ] .

5 Decomposi¸

c˜

ao Can´

onica de Kalman

u(t) Sco¯ S¯c¯o Sc¯o D Sco y(t)

Figura 4: Decomposi¸c˜ao can´onica de Kalman.

Se decompusermos um sistemaS em dois subsistemas, um acess´ıvel e outro não acess´ıvel, e, se cada um destes sistemas for dividido em subsistemas observáveis e não observáveis, obtemos a decomposi¸cão canónica de kalman, representada na figura 4, e que é constitu´ıda pelos seguintes subsistemas

• Sco, control´avel e observ´avel

• Sc¯o, controlável e não observável • Sc¯¯o, não controlável e não observável

(24)

• Soc¯ , não controlável e observável

Esta decomposi¸c˜ao ´e formalizada pelo seguinte teorema.

Teorema 6 : Decomposi¸c˜ao can´onica de Kalman

Um sistema S = (A, B, C, D), com A ∈ IRn×n, B ∈ IRn×m, C ∈ IRℓ×n e D ∈ IRℓ×m, pode ser representado na forma     ¯ xc¯o(t + 1) ¯ xco(t + 1) ¯ x¯c¯o(t + 1) ¯ x¯co(t + 1)     =     ¯ A11 A¯12 A¯13 A¯14 0nco×nc¯o A¯22 A¯23 A¯24 0nc¯¯o×nc¯o 0n¯c¯o×nco A¯33 A¯34 0nco¯ ×nc¯o 0n¯co×nco 0n¯co×n¯c¯o A¯44         ¯ xc¯o(t) ¯ xco(t) ¯ x¯c¯o(t) ¯ x¯co(t)     +     ¯ B1 ¯ B2 0n¯c¯o×m 0n¯co×m     u(t) y(t) = [ 0ℓ×nc¯o C¯2 0ℓ×n¯c¯o C¯4 ]     ¯ xc¯o(t) ¯ xco(t) ¯ x¯c¯o(t) ¯ x¯co(t)     + Du(t) (22) onde

• xc¯o(t)∈ IRnc¯o é acess´ıvel mas não observável; • xco(t)∈ IRnco _´_{e acess´ıvel e observ´}_avel;

• xc¯¯o(t)∈ IRn¯c¯o é não acess´ıvel e não observável; • xco¯ (t)∈ IRn¯co é não acess´ıvel e observável;

• nc¯o+ nco+ n¯c¯o+ nco¯ = n.

Utilizando o algoritmo 1 calculemos uma matriz de similaridade T1 ∈ IRn×nque nos permita

obter a representa¸c˜ao [ xc(t + 1) xc¯(t + 1) ] = [ _¯ Acc A¯c¯c 0n¯c×nc A¯¯c¯c ] [ xc(t) xc¯(t) ] + [ _¯ Bc 0n¯c×m ] u(t) y(t) = [ C¯c C¯¯c ] [ xc(t) x¯c(t) ]

onde xc(t)∈ IRnc ´e acess´ıvel, x¯c(t)∈ IRn¯c ´e n˜ao acess´ıvel e nc+ n¯c = n. Calculemos a seguir

as matrizes da observabilidade ¯Oc e ¯O¯c dos subsistemas acess´ıvel e n˜ao acess´ıvel xc(t + 1) = A¯ccxc(t) + ¯Bcu(t)

(25)

e xc¯(t + 1) = A¯¯c¯cxc¯(t) y(t)¯c = C¯¯cxc¯(t), respectivamente. Sejam nco = car( ¯Oc) nc¯o = nc− nco n¯co = car( ¯Oc¯) n¯c¯o = nc− n¯co.

Efectuemos, agora, as decomposi¸c˜oes em valores singulares de ¯Oc e ¯O¯c,

¯ Oc = UcSc [ VT co VT c¯o ] ¯ O¯c = Uc¯Sc¯ [ V_¯_coT VT ¯ c¯o ]

em que Vco∈ IRnc×nco e V¯co∈ IRn¯c×nco¯ s˜ao, respectivamente, bases ortonormais para im( ¯OTc)

e im( ¯OT

¯

c), respectivamente, sendo Vc¯o ∈ IRnc×nc¯o e V¯c¯o ∈ IRnc¯×n¯c¯o bases ortonormais dos seus

n´ucleos (ker( ¯Oc) e ker( ¯O¯c)). Notemos que nco+ nc¯o = nc e que nco¯ + n¯c¯o = n¯c. Se definirmos Tc = [ Vc¯o Vco ] ∈ IRnc×nc_, ent˜ao ¯ OcTc = UcSc [ VT co V_c¯T_o ] [ Vc¯o Vco ] =[ Uco Uc¯o ] [ S+ 0nco×nc¯o 0nc¯o×nco 0nc¯o×nc¯o ] [ VT coVc¯o VcoTVco V_c¯T_oVc¯o Vc¯ToVco ] = = [ UcoS+ 0nco×nc¯o ] [ 0nco×nc¯o Inco×nco Inc¯o×nc¯o 0nc¯o×nco ] =[ 0nco×nc¯o UcoS+ ] .

Isto significa que

T_c−1AccTc¯ = [ _¯ A11 A¯12 0nc¯o×nc¯o A¯22 ] (23) T_c−1B¯c = [ _¯ B1 ¯ B2 ] (24) ¯ CcTc = [ 0ℓ×nc¯o C¯2 ] . (25)

Pode-se provar, de forma idˆentica, que para

T¯c =

[

V¯c¯o Vco¯

]

(26)

tem-se T_¯_c−1Ac¯¯cTc¯ = [ _¯ A33 A¯34 0nco¯ ×nc¯¯o A44 ] (26) ¯ C¯cTc¯ = [ 0ℓ×n¯c¯o C¯4 ] . (27) Definindo T2 = [ Tc 0nc×nc¯ 0n¯c×nc T¯c ] , teremos ¯ A = T₂−1 [ _¯ Acc A¯c¯c 0nc¯×nc A¯¯c¯c ] T2 = [ T_c−1 0nc×n¯c 0nc¯×nc T¯c−1 ] [ _¯ Acc A¯c¯c 0n¯c×nc A¯¯c¯c ] [ Tc 0nc×nc¯ 0n¯c×nc T¯c ] = = [ T_c−1A¯ccTc Tc−1Ac¯cT¯c 0n¯c×nc T −1 ¯ c A¯¯c¯cT¯c¯c ] . fazendo T_c−1Ac¯cTc¯= [ _¯ A13 A¯14 ¯ A23 A¯24 ] ∈ IRnc×nc¯¯o+nco¯ _,

de (23) e (26), e uma vez que 0n¯c×nc = [ 0n¯c¯o×nc¯o 0n¯c¯o×nco 0n¯co×nc¯o 0n¯co×nco ] , podemos escrever ¯ A =     ¯ A11 A¯12 A¯13 A¯14 0nco×nc¯o A¯22 A¯23 A¯24 0n¯c¯o×nc¯o 0nc¯¯o×nco A¯33 A¯34 0n¯co×nc¯o 0nco¯ ×nco 0n¯co×nc¯¯o A¯44     . Por outro lado,

T₂−1 [ _¯ Bc 0nc ] = [ T_c−1 0nc×n¯c 0n¯c×nc T −1 ¯ c ] [ _¯ Bc 0nc ] = [ T_c−1B¯c 0nc ] =     ¯ B1 ¯ B2 0nc¯¯o 0nco¯     e [ _¯ Cc C¯¯c ] T2 = [ _¯ Cc C¯¯c ] [ Tc 0nc×nc¯ 0n¯c×nc T¯c ] =[ C¯cTc C¯¯cT¯c ] = = [ 0ℓ×nc¯o C¯2 0ℓ×nc¯¯o C¯4 ] .

Conclu´ımos, ent˜ao, que se fizermos a mudan¸ca de vari´avel ¯x = T−1x com T = T2T1, obtemos

a decomposi¸cão canónica de Kalman dada por (22), ficando assim completa a demonstra¸cão.

2

A demonstra¸cão deste teorema sugere-nos o seguinte algoritmo para efectuar a decomposi¸cão canónica de Kalman:

(27)

Algoritmo 3: Determina¸c˜ao duma decomposi¸c˜ao can´onica de Kalman

• Entrada: Sistema (A, B, C), A ∈ IRn×n

, B ∈ IRn×m e C ∈ IRℓ×n. • Sa´ıda: Matriz de Transforma¸c˜ao de Similaridade T ∈ IRn×n

1 - Calcular a Matriz da Controlabilidade C =[ B AB · · · An−1B ]. 2 - Fazer nc = car(C) e n¯c = n− nc.

3 - Efectuar a decomposi¸c˜ao em valores singulares (svd) de C = USVT 4 - Fazer T1 = U e calcular [ _¯ Acc A¯c¯c 0n¯c×nc A¯¯c¯c ] = T1AT1T (T1 ´e ortonormal logo T1−1 = T T 1 ) T₁TB = [ _¯ Bc 0nc¯×m ] CT1 = [ _¯ Cc C¯c¯ ] com ¯Acc ∈ IRnc×nc, ¯Ac¯c ∈ IRnc×nc¯, ¯A¯c¯c ∈ IRn¯c×nc¯, ¯Bc ∈ IRnc×m, ¯Cc ∈ IRℓ×nc e ¯ C¯c ∈ IRℓ×n¯c. 5 - Calcular ¯ Oc =      ¯ Cc ¯ CcA¯cc .. . ¯ CcA¯nccc−1     ∈ IR ℓnc×nc

6 - Fazer nco = car( ¯Oc) e nc¯o= nc− nco.

7 - Efectuar a svd de ¯Oc, ¯ Oc = UcSc [ VT co VT c¯o ] com Vco ∈ IRnc×nco e Vc¯o ∈ IRnc×nco¯ . 8 - Fazer Tc = [ Vc¯o Vco ] ∈ IRnc×nc_. 9 - Calcular ¯ O¯c =      ¯ Cc¯ ¯ C¯cA¯c¯¯c .. . ¯ C¯cA¯n¯c¯cc−1     ∈ IRℓn¯c×nc¯

(28)

10 - Fazer nco¯ = car( ¯O¯c) e n¯c¯o= n¯c− nco.¯ 11 - Efectuar a svd de ¯O¯c, ¯ O¯c = Uc¯Sc¯ [ VT ¯ co V_¯_c¯T_o ] com V¯co∈ IRnc¯×n¯co e V¯c¯o ∈ IRn¯c×nc¯¯o. 12 - Fazer T¯c = [ V¯c¯o Vco¯ ] ∈ IRnc¯×n¯c_. 13 - Fazer T2 = [ Tc 0nc×n¯c 0n¯c×ncT¯c ] ∈ IRm×n T = T1T2

6 Fun¸

c˜

oes de Transferˆ

encia e Realiza¸

c˜

oes M´ınimas

Vimos, anteriormente, que a resposta impulsional dum sistema S = (A, B, C, D) ´e

h(t) =

{

D, t = 0 CAt−1_{B t > 0}

Os elementos desta sequˆencia, h(0) = D e h(t) = CAt−1_{B, t = 1, 2, . . . s˜}_{ao habitualmente}

designados por parâmetros de Markov. A fun¸c˜ao de transferência do sistema é a trans-formada z da sua resposta impulsional, ou seja

H(z) = ∞ ∑ t=0 h(t)z−t = D + ∞ ∑ t=1 CAt−1Bz−1

A partir de (1) e (2) tamb´em podemos chegar a

H(z) = C(zIn− A)−1B + D.

Pode-se verificar facilmente que S e ST = (T−1AT, T−1B, CT, D) onde T ´e uma matriz

n×n com caracter´ıstica n, tˆem a mesma resposta impulsional e, consequentemente, a mesma

fun¸cão de transferência. Vemos, assim, que uma fun¸cão de transferência pode ser represen-tada por uma infinidade de modelos de estado. Chamamos, a cada um desses modelos de estado, uma realiza¸c˜ao de H(s). A dimens˜ao das diferentes realiza¸cões também não é única. No entanto, cada realiza¸cão tem que ter uma dimensão superior ou igual a um determinado

(29)

limite inferior. Quando a dimensão de uma realiza¸cão é igual a esse limite dizemos que essa realiza¸cão ´e m´ınima. Segue-se um teorema que caracteriza as realiza¸c˜oes m´ınimas.

Teorema 7: Uma realiza¸cão (A, B, C, D) de H(z) é m´ınima se e só se os pares (A, B) e

(A, C) forem simultaneamente acess´ıvel e observ´avel, respectivamente. SeS1 = (A1, B1, C1, D1)

e S2 = (A2, B2, C2, D2) forem realiza¸c˜oes m´ınimas de ordem n da mesma fun¸c˜ao de

trans-ferência H(z), então existe uma matriz não singular T ∈ IRn×n tal que A2 = T−1A1T

B2 = T−1B1

C2 = C1T

D2 = D1

Demonstra¸c˜ao: ver Katayama

2

7 Realiza¸

c˜

oes Equilibradas

Vimos, na seçcão anterior, que o número de realiza¸cões de uma fun¸cão de transferência ´

e infinito. No entanto, existem umas que, por um motivo ou por outro, assumem uma particular importˆancia. Entre estas podemos destacar as realiza¸c˜oes

• Canónica Controlável; • Canónica Observável • Diagonal

• etc.

Nesta seçcão vamos estudar as realiza¸cões equilibradas. Estas realiza¸cões são numerica-mente robustas e facilitam a aproxima¸cão de um sistema por modelos de ordem inferior, as suas vari´aveis de estado definem a subespa¸cos com graus de acessibilidade e observabilidade equivalentes. Os graus de acessibilidade e observabilidade podem ser definidos a partir dos Gramianos da Controlabilidade e Observabilidade, respectivamente.

(30)

Defini¸c˜ao 5: Se (A, B, C, D) for uma realiza¸cão estável então as solu¸cões P e Q das equa¸cões de Lyapunov

P = AP AT + BBT

Q = ATQA + CTC

s˜ao, respectivamente, os Gramianos da Controlabilidade e da Observabilidade.

O teorema seguinte mostra-nos que os gramianos da controlabilidade e da obervabilidade permitem testar a acessibilidade e a observabilidade de um sistema

Teorema 8: Se A for est´avel, ent˜ao,

(A, B) acess´ıvel ⇔ P ≻ 0n_×n (28)

(C, A) observ´avel ⇔ Q ≻ 0n_×n (29)

Vimos, anteriormente, que, se A for est´avel, a solu¸c˜ao de (28) ´e

P = ∞ ∑ i=1 AiBBT (AT)i =[ B AB · · · Ai_B _{· · ·} ]         BT BTAT .. . BT (AT)i .. .         =C∞C_∞T onde C∞=[ B AB · · · Ai_B · · · ] ´

e a matriz da controlabilidade alargada a um horizonte infinito. Esta expressão mostra-nos que car(P ) = car(C_∞). Por outro lado, sabemos que, como consequência do teorema de CayleyHamilton, para A∈ IRn×n e i ≥ n, Ai é uma combina¸c˜ao linear das n− 1 primeiras potˆencias de A, isto ´e,

Ai = α0In+ α1A +· · · + αn−1An−1, i≥ n, αk ∈ IR, k = 0, . . . , n − 1. (30)

Daqui resulta que os blocos de colunas Ai_{B, i = n, n + 1, . . . , de} C

∞ sejam combina¸c˜oes

lineares de Ak_{B, k = 0, . . . , n}− 1, ou seja, dos seus n primeiros blocos de colunas. Deste

(31)

car(C_∞) = car(C) e que, consequentemente, car(P ) = car(C). Logo, o par (A, B) só é acess´ıvel se e s´o se car(P ) = n o que é equivalente a P ≻ 0n×n pois, sendo A est´avel,

P ´e sempre uma matriz n˜ao negativa. A dualidade entre os conceitos de observabilidade e acessibilidade anteriormente referidas, juntamente com os argumentos que acabamos de expor, permitem-nos provar a afirma¸c˜ao (29) e que Q = OT

∞O∞ onde O∞=          C CA CA2 .. . CAi .. .          . 2

Recordemos que, partindo dum estado inicial nulo, o sistema (A, B, C, D) atingir´a, no in-stante t > t0, o estado x(t) = Ct_−t₀U_tR_o_:t₋₁ onde UR to:t−1 =      u(t− 1) u(t− 2) .. . u(t0)      Ct−t0 = [ B AB · · · At−t0−1 ]_. Se t0 → −∞, teremos x(t) =C∞U_∞R

onde U_∞R ´e a matriz de cauda infinita

UR ∞ =    u(t− 1) u(t− 2) .. .    . Calculemos agora

x(t)TP−1x(t) = (C∞U_∞R)T(C∞C_∞T)−1(C∞U_∞R) = U_∞RT C_∞T (C∞C_∞T)−1C∞U_∞R. (31) Fazendo a svd deC∞,

(32)

podemos verificar que CT ∞ ( C∞C∞T )−1_C ∞= V VT.

o que nos permite rescrever (31) na forma

x(t)TP−1x(t) = U_∞RT V VTU_∞R =(VTU_∞R)T (VTU_∞R)= VTU_∞R 2

2.

Ora, sendo V uma matriz ortonormal, VT ´e um alinhador, isto ´e, uma matriz que, na transforma¸c˜ao VT_UR

∞, se limita a rodar U∞R por forma a alinhar as colunas de V com a base

can´onica. Assim

VTU_∞R 2₂ = U_∞R 2₂ = U_∞RT U_∞R =

t

∑

τ =−∞ u2(τ )

o que nos permite concluir que x(t)TP−1x(t) ´e a energia Ec que a entrada u(t) necessita para

que, no intervalo de tempo (−∞, t], consiga levar o estado do sistema da origem at´e x(t). Seja

P = UpSpUpT

a svd de P (recordemos que P ´e sim´etrica) sendo σp1, σp2, . . . , σpn os seus valores singulares

(elementos da diagonal principal de Sp) e up1, up2, . . . , upn as colunas de Up. Decomponhamos

x(t) segundo up1, up2, . . . , upn, ou seja, x(t) = α1up1+ α2up2 +· · · + αnupn = [ up1 up2 · · · upn ]      α1 α2 .. . αn     = Upα

A energia da entrada para levar o sistema da origem at´e x(t) no intervalo de tempo (−∞, t] ser´a

Ec = x(t)TP−1x(t) = (Upα)T (UpSpU_pT)−1(Upα) = αTU_pT (UpS_p−1U_pT)Upα = αTS_p−1α

= α1 σp1 + α2 σp2 +· · · + αn σpn

Como σp1 ≥ σp2· · · ≥ σpn, ent˜ao, se i < j < n e αi = αj, a entrada necessita de menos

energia para levar o sistema ao estado xi = αiupi do que para o levar a xj = αjupj. Podemos,

então, afirmar que os estados na direçc˜ao de upi s˜ao mais acess´ıveis do que os da direçc˜ao de

(33)

de estados em subespa¸cos com diferentes graus de acessibilidade.

Se, no instante t = 0 largarmos o sistema no estado x0, teremos

                 y(0) = Cx0 y(1) = CAx0 y(2) = CA2x0 .. . y(t) = At−1x0 .. . ⇔ Y0:∞=O∞x0 onde Y0:∞ =          y(0) y(1) y(2) .. . y(t) .. .          eO_∞=          C CA CA2 .. . CAt−1 .. .          ,

sendo a energia da sa´ıda dada por

E0 = ∞ ∑ t=0 y2(t) =Y_0:T_∞Y0:∞= (O∞x0) T (O_∞x0) = xT0O T ∞O∞x0 = xT0 ( OT ∞O∞)x0 = xT0Qx0 (32) em que Q ´e o Gramiano da Observabilidade. Se

Q = UqSqUqT

for a svd de Q sendo σq1, σq2, . . . , σqn s˜ao os valores singulares de Sq e uq1, uq2, . . . , uqn as

colunas de Uq. Se decompusermos x0 segundo as colunas de Uq, isto ´e, se

x0 = β1uq1 + β2uq2 +· · · + βnuqn = [ uq1 uq2 · · · uqn ]      β1 β2 .. . βn     = Uqβ

podemos reescrever (32) na forma

E0 = xT0Qx0 = (Uqβ)T ( UqSqUqT ) (Uqβ) = βTUqTUqSqUqTUqβ = βTSqβ = = β1σq1 + β2σq2 +· · · + βσqn.

(34)

Esta express˜ao mostra que tamb´em podemos dividir o espa¸co de estados em subespa¸cos com diferentes graus de observabilidade.

Se, num determinado sistema, vários valores singulares do Gramiano da Controlabilidade (ou do Gramiano da Observabilidade) forem muito pequenos, podemos ser tentados a re-duzir a ordem do modelo, retirando do espa¸co de estados o subespa¸co gerado pelos vectores singulares associados a esses valores singulares. Isto, porque a fun¸cão de transferência é de-terminada pelo subsistema acess´ıvel e observável e, consequentemente, os modos associados a estados pouco acess´ıveis (ou pouco observáveis) não deverão ter influência significativa. Este racioc´ınio falha porque um subespa¸co pouco acess´ıvel pode ser muito observável (e vice-versa)

e, previsivelmente, ter uma influência significativa na fun¸cão de transferência. No entanto, existem realiza¸cões onde os graus de acessibilidade e controlabilidade são idênticos. Essas realiza¸cões s˜ao designadas como realiza¸cões equilibradas e permitem-nos fazer a reduzir

a ordem de um modelo desprezando os subespa¸cos de estado que s˜ao simultaneamente pouco acess´ıveis e pouco control´aveis.

Defini¸c˜ao 6: Seja ( ¯A, ¯B, ¯C, ¯D) uma realiza¸cão m´ınima da fun¸cão de transferência H(z).

( ¯A, ¯B, ¯C, ¯D) é designada como realiza¸cão equilibrada se 1. A for uma matriz estável

2. Os Gramianos da Controlabilidade e da Observabilidade ¯P e ¯Q, respectivamente, s˜ao ma-trizes diagonais iguais, isto ´e,

¯ P = ¯Q = Σ =      σ1 0 · · · 0 0 σ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · σn      com σ1 ≥ σ2 ≥ · · · > σn e satisfazendo Σ = AΣ ¯¯ AT + ¯B ¯BT Σ = A¯TΣ ¯A + ¯CTC¯

Segue-se um algoritmo que nos permite obter uma realiza¸c˜ao equilibrada ( ¯A, ¯B, ¯C, ¯D) a

(35)

Algoritmo 4: Determina¸c˜ao duma Realiza¸c˜ao Equilibrada

• Entrada: Realiza¸c˜ao m´ınima est´avel (A, B, C), A ∈ IRn×n

, B ∈ IRn×m e C ∈

IRℓ×n.

• Sa´ıda: Matriz de valores singulares do sistema Σ e Matriz de Transforma¸c˜ao de Similaridade T ∈ IRn×n tal que ( ¯A, ¯B, ¯C) = (T−1AT, T−1B, CT ) seja uma realiza¸c˜ao equilibrada

1. Calcular P e Q atrav´es da resolu¸c˜ao de P = AP AT + BBT Q = ATQA + CTC 2. Efectuar a svd de Q Q = UqSqUqT 3. Definir R = S 1 2 qUqT 4. Calcular a svd de RP RT RP RT = U SUT 5. Fazer Σ = S12 T = R−1U Σ12

Para demonstrarmos que, com T calculada atrav´es deste algoritmo, a realiza¸c˜ao ( ¯A, ¯B, ¯C) =

(T−1AT, T−1B, CT ) ´e equilibrada podemos, em primeiro lugar verificar que

¯

C∞ = [ B¯ A ¯¯B · · · ¯Ai_B¯ · · · ]₌[ _T−1_{B T}−1_{AT T}−1_B · · · T−1_Ai_{T T}−1_B · · · ] ₌

= [ T−1B T−1AB · · · T−1Ai_B _{· · ·} ]_{= T}−1[ _{B AB} _{· · · A}i_B _{· · ·} ]_{= T}−1_C∞ ⇒ ¯P = ¯C_∞C¯_∞T = T−1C_∞C_∞TT−T = T−1P T−T

(36)

e que ¯ O∞ =        ¯ C ¯ C ¯A .. . ¯ C ¯Ai .. .        =        CT CT T−1AT .. . CT T−1Ai_T .. .        =        CT CAT .. . CAi_T .. .        =        C CA .. . CAi .. .        T = O∞T ⇒ ⇒ ¯Q = ¯C_∞TC∞¯ = TTC_∞TC∞T = TTQT. Fazendo Q = UqSqUqT R = S 1 2 qU_qT ⇒ Q = RTR RP RT = U SUT Σ = S12 ⇔ S = Σ2 e T = R−1U Σ12 teremos ¯ P = T−1P T = Σ−12UTRP RTU Σ− 1 2 = Σ− 1 2UT(RP RT)U Σ− 1 2 = = Σ−12(UTU )S(UTU )Σ− 1 2 = Σ− 1 2Σ2Σ− 1 2 = Σ e ¯ Q = TTQT = Σ12UTR−TQR−1U Σ 1 2 = Σ 1 2UTR−T(RTR)R−1U Σ 1 2 = = Σ12UT(R−TRT)(RR−1)U Σ 1 2 = Σ 1 2UTU Σ 1 2 = Σ 1 2Σ 1 2 = Σ

pelo que podemos concluir que Σ ´e a matriz de valores singulares do sistema e T = R−1U Σ12

a matriz de similaridade que nos permite obter uma realiza¸c˜ao equilibrada.

8 Redu¸

c˜

ao da Ordem do Modelo

Como, nas realiza¸cões equilibradas, os Graminanos da Controlabilidade e Observabilidade são iguais e diagonais podemos efectuar uma redu¸cão de ordem do modelo, eliminado as

(37)

vari´aveis de estado (subespa¸cos) com reduzido grau de acessibilidade e observabilidade. Seja [ ¯ x1(t + 1) ¯ x2(t + 1) ] = [ _¯ A11 A¯12 ¯ A21 A¯22 ] [ ¯ x1(t) ¯ x2(t) ] + [ _¯ B1 ¯ B2 ] u(t) (33) y(t) = [ C¯1 C¯2 ] [ ¯x1(t) ¯ x2(t) ] + ¯Du(t) (34)

onde ¯x1(t) ∈ IRnr, x2(t) ∈ IRk, u(t) ∈ IRm, y(t) ∈ IRℓ, ¯A11 ∈ IRnr×nr, ¯A12 ∈ IRnr×k,

¯

A21 ∈ IRk×nr, ¯A22 ∈ IRk×k, ¯B1 ∈ IRnr×m, ¯B2 ∈ IRk×m, ¯C1 ∈ IRℓ×nr, ¯C2 ∈ IRℓ×k, ¯D∈ IRℓ×m e

nr+ k = n, uma realiza¸c˜ao equilibrada com ¯ P = Q = Σ =¯ [ Σ1 0 0 Σ2 ] (35) Σ1 =      σ1 0 · · · 0 0 σ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · σnr     ∈ IRnr×nr (36) Σ2 =      σnr+1 0 · · · 0 0 σ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · σn     ∈ IRk×k (37) e σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σnr > σnr+1 ≥ · · · ≥ σn > 0. (38)

Se σnr+1 ≈ 0 podemos aproximar o sistema por

¯

x1(t + 1) = A¯11x¯1(t) + ¯B1u(t)

yr(t) = C¯1x¯1(t) + ¯Du(t).

Lema 1: Se (33)-(34) for uma realiza¸cão equilibrada de uma fun¸cão de transferência H(z) com os Gramianos de Controlabilidade e Observabilidade dados por (35)-(38) então a fun¸cão de transferência Hr(z) = ¯C1

(

Inr − ¯A11

)₋₁ _¯

B1+ ¯D tem as seguintes caracter´ısticas:

1. ´E est´avel

2. ( ¯A11, ¯B1, ¯C1, ¯D) ´e uma realiza¸c˜ao m´ınima de Hr

3. ∥H(ejω₎_{− Hr}_(ejω₎_∥

(38)

Demonstra¸c˜ao: ver Katayama.

2

Embora seja uma boa aproxima¸c˜ao de H(z), a realiza¸c˜ao ( ¯A11, ¯B1, ¯C1, ¯D) n˜ao ´e equilibrada

e o ganho `as baixas frequˆencias (ganho DC) de Hr(z) ´e diferente do de H(z). Podemos, no

entanto, obter uma realiza¸c˜ao equilibrada duma outra fun¸c˜ao de transferˆencia Hr1(z) com

ordem e erro de aproxima¸c˜ao igual `as de Hr(z), e ganho DC igual ao de H(z). Para ver

como se pode obter esta realiza¸c˜ao consideremos de novo a realiza¸c˜ao equilibrada de H(z) ¯

x1(t + 1) = A¯11x¯1(t) + ¯A12x¯2(t) + ¯B1u(t) (39)

¯

x2(t + 1) = A¯21x¯1(t) + ¯A22x¯2(t) + ¯B2u(t) (40)

y(t) = C¯1x¯1(t) + ¯C2x¯2(t) + ¯Du(t). (41)

Se u(t) for um sinal cont´ınuo x2(t) vai estabilizar em

¯ x2ss = A¯21x¯1(t) + ¯A22x¯2ss+ ¯B2u(t)⇔ ( Ik− ¯A22 ) ¯ x2ss = ¯A21x¯1(t) + ¯B2u(t)⇔ ¯ x2ss = ( Ik− ¯A22 )−1 _¯ A21x¯1(t) + ( Ik− ¯A22 )−1 _¯ B2u(t)

Substituindo x2(t) por x2ss em (39) e (41) chegamos `a realiza¸c˜ao

¯ x1(t + 1) = ( ¯ A11+ ¯A12 ( Ik− ¯A22 )₋₁ _¯ A21 ) ¯ x1(t) + ( ¯ B1+ ¯A12 ( Ik− ¯A22 )₋₁ _¯ B2 ) u(t) yr1(t) = ( ¯ C1+ ¯C2 ( Ik− ¯A22 )₋₁ _¯ A21 ) ¯ x1(t) + ( ¯ D + ¯C2 ( Ik− ¯A22 )₋₁ _¯ B2 ) u(t)

da fun¸c˜ao de transferˆencia

Hr1(z) = C¯r ( Inr − ¯Ar )−1 _¯ Br+ ¯Dr (42) onde ¯ Ar = A¯11+ ¯A12 ( Ik− ¯A22 )₋₁ _¯ A21 ¯ Br = B¯1+ ¯A12 ( Ik− ¯A22 )−1 _¯ B2 ¯ Cr = C¯1+ ¯C2 ( Ik− ¯A22 )₋₁ _¯ A21 ¯ Dr = D + ¯¯ C2 ( Ik− ¯A22 )₋₁ _¯ B2.

Como, quando u(t) for constante, yr1(t) = y(t) o ganho DC de Hr1(z) ´e igual ao de H(z).