Lista3-EletroI-2017-2

Instituto de Física - UFRJ - Prof. C. Farina - 2017-2

Problemas obrigatórios: 4, 6, 13, 16, 17 e 18

Data de entrega: 5 de setembro de 2017

1. Considere dois pares de cargas elétricas: o primeiro é formado pelas cargas−q e q, enquanto o segundo, pelas cargas−q′e q′, sendo q e q′ cargas positivas. As cargas−q e q estão fixas sobre o eixo OX , nas posições (−a/2, 0) e (a/2, 0), respectivamente. As cargas −q′ e q′ também estão fixas sobre o eixoOX , nas posições (x − b/2, 0) e (x + b/2, 0), respectivamente, sendo x > (a + b)/2, por hipótese (veja a figura).

O

X

−q

q

dipolo 1

−q

x

_q

dipolo 2

Considerando a situação em que x≫ a, b, calcule a força eletrostática resultante exercida pelo primeiro par de cargas sobre o segundo. Ou seja, calcule a força F2(1) que o primeiro dipolo

exerce sobre o segundo quando estão muito afastados.

2. Considere dois pares de cargas elétricas: o primeiro é formado pelas cargas q e−q, enquanto o segundo, pelas cargas q′ e−q′, sendo q e q′ cargas positivas. As cargas q e−q estão fixas sobre o eixo OY, nas posições (0, d/2) e (0, −d/2), respectivamente. Já as cargas q′ e −q′ estão fixas nas posições (x, d/2) e (x,−d/2), respectivamente, sendo x > 0, por hipótese (veja a figura).

O

_X

Y

−q

q

dipolo 1

−q

q

dipolo 2

x

Considerando a situação em que x ≫ d, calcule a força eletrostática resultante exercida pelo primeiro par de cargas sobre o segundo. Ou seja, usando uma linguagem mais informal, calcule a força F2(1)que o primeiro dipolo exerce sobre o segundo quando estão muito afastados.

3. Considere dois dipolos paralelos mas não colineares, de mesmo módulo, sentidos opostos e separados um do outro por uma distância a. O dipolo que aponta para cima é formado pelas cargas −q e q, fixas nas posições (a/2, −d/2) e (a/2, d/2), respectivamente. O dipolo que aponta para baixo também é constituído pelas cargas−q e q, mas com essas fixas nas posições (−a/2, d/2) e (−a/2, −d/2), respectivamente. Uma carga puntiforme é colocada sobre o eixo OX numa posição de coordenada x, onde x > a/2 (veja a figura).

O

X

Y

−q

q

q

−q

par de dipolos opostos

q

x

Considerando a situação em que x≫ d, a, calcule a força eletrostática resultante exercida pelo par de dipolos sobre a carga q0. Note que mesmo sendo nulo o momento de dipolo total do par

de dipolos, ainda assim essas quatro cargas exercem uma força não-nula sobre q0 (trata-se da

força de um quadrupolo elétrico sobre uma carga puntiforme).

Sugestão: tome como dada a expressão da força exercida por um dipolo elétrico sobre uma carga puntiforme, mas lembre-se de que as distâncias de cada dipolo à carga q0 não são iguais.

Faça, então, uma expansão em potências a/x e mantenha apenas o primeiro termo não-nulo. 4. Desafio 3.1: força entre dipolos puntiformes

(a) Mostre que a força eletrostática que atua sobre um dipolo puntiforme de momento de dipolo elétrico p, localizado na posição r, quando este se encontra na presença de um campo eletrostático E(r) é dada por

Fp = (p· ∇)E(r) (1)

(b) Suponha que o campo que atua nesse dipolo, localizado na posição r, seja o de um outro dipolo puntiforme, de momento de dipolo p′que está fixo na origem. Utilizando a fórmula deduzida no item anterior, mostre que a força sobre o dipolo de momento p pode ser escrita na forma independente de sistema de coordenada escrita a seguir,

Fpp′ = 1 4πϵ0 { 3(p· ˆr)p′+ 3(p′· ˆr)p + 3(p · p′)ˆr− 15(p · ˆr)(p′ · ˆr)ˆr r4 } (2)

(c) Utilizando a expressão anterior, reobtenha como casos particulares os resultados encon-trados nos exercícios 1 e 2 desta lista.

5. Considere um dipolo puntiforme, de momento de dipolo elétrico p = p0ˆz, localizado em um

ponto genérico P (0, 0, z) do eixoOZ. Suponha, ainda, que um anel de raio R e uniformemente carregado com densidade linear de carga λ esteja no planoOX Y e tenha o seu centro na origem dos eixos cartesianos.

(a) Calcule a força eletrostática exercida pelo anel sobre o dipolo. Mesmo se tratando de um dipolo puntiforme, verifique que essa força não é nula quando ele se encontra no centro

pontos nos quais essa força é nula, assim como os intervalos nos quais essa força é atrativa e repulsiva.

(c) Você saberia dar uma interpretação simples para o fato de que há pontos do eixoOZ nos quais a força sobre o dipolo é nula? (pense em linhas de campo)

6. Duas hastes idênticas, ambas de comprimento ℓ e carregadas uniformemente com densidade linear de carga λ, estão dispostas como mostra a figura.

O X λ −a −a − ℓ λ a a + ℓ

(a) Calcule a força eletrostática Fde exercida pela haste da esquerda sobre a haste da direita.

(b) Mostre que para grandes distâncias entre as hastes, isto é, ℓ/a ≪ 1, a força entre elas se reduz à força coulombiana entre duas partículas de cargas iguais a q = λℓ separadas por uma distância 2a.

7. Considere um anel de raio a que se encontra carregado uniformemente com densidade linear de carga λ0. Considere, também, uma barra semi-infinita com densidade linear de carga λ0,

perpendicular ao plano do anél e localizada de tal forma que um de seus extremos coincide com o centro do anél, como indica a figura.

λ

a

λ

Determine a força eletrostática resultante exercida pelo anel sobre a barra.

8. Calcule por integração direta o campo eletrostático criado por uma casca esférica de raio R uniformemente carregada com carga Q em qualquer ponto do espaço (exceto nos pontos da casca, onde tal campo não está definido).

9. Considere uma carga puntiforme q localizada na origem dos eixos cartesianos e um disco de raio a, centrado em (0, 0, h) e cujo plano está paralelo ao plano OX Y. Utilize como unitário normal à superfície ˆn = ˆz. Y X Z

h

a

(a) Calcule o ângulo sólido Ω subentendido pelo disco a partir da origem dividindo a área da calota esférica centrada na origem e com a mesma borda que o disco pelo raio ao quadrado da calota.

(b) Calcule o fluxo do campo elétrico da carga q através do disco efetuando explicitamente a integral de superfície sobre o disco. Confira o resultado utilizando a fórmula Φ = (q/4πϵ0)Ω e a expressão obtida no item anterior.

10. Um dipolo puntiforme p, de magnitude p, está localizado na origem dos eixos cartesianos e orientado de forma que p = p ˆz. Calcule o fluxo de seu campo elétrico através de uma

superfície circular de raio a, centrada em (0, 0, h), orientada paralelamente ao plano OX Y e cujo vetor normal é escolhido como ˆn = ˆz (veja a figura).

Y X Z

h

a

11. O objetivo deste problema é reobter o resultado do problema anterior mas utilizando, agora, um método baseado no conceito de ângulo sólido e no fato de que um dipolo puntiforme pode ser pensado como um limite apropriado de duas cargas opostas cuja distância tende a zero. Com esse objetivo, considere a carga negativa −q na origem e a carga positiva q na posição (0, 0, d). Denote por Ω+o ângulo sólido subentendido pela superfície relativo à carga q e por

Ω₋o ângulo sólido subentendido pela superfície relativo à carga−q, como ilustra a figura. (a) Escreva uma expressão para o fluxo Φ do campo eletrostático criado pelo par de cargas q

Y X

h

a

(b) Utilizando a expressão para Ω(h, a) obtida no item (a) do problema 2 na expressão encon-trada no item anterior e tomando os limites apropriados para obter o fluxo do campo do dipolo puntiforme, reobtenha o resultado do problema anterior.

12. Considere uma esfera de raio a uniformemente carregada com densidade volumar de carga ρ. Calcule a força que o hemisfério sul exerce sobre o hemisfério norte.

sugestão: inicialmente, calcule utilizando a lei de Gauss o campo eletrostático em um ponto qualquer no interior da esfera. Em seguida, use o fato de que a força sobre uma carga infinite-simal dq localizada na posição r é dada por dF = dqE(r).

13. Demonstre o teorema da média para o potencial eletrostático, isto é, mostre que em uma região livre de cargas, a média do potencial em uma superfície esférica de raio R é igual ao valor do potencial no centro dessa superfície, qualquer que seja R.

(a) Demonstre, inicialmente, supondo que o potencial no espaço livre seja o de uma carga puntiforme e utilize o princípio da superposição.

(b) Utilize a identidade de Green,

∫ R [ f∇2g− g∇2f]dV = I ∂R (f∇g − g∇f) · ˆn dA , (3) escolhendo apropriadamente as funções f e g.

14. Teorema de unicidade

Demonstre que em uma região R, contendo condutores e uma distribuição de cargas descrita pela densidade ρ(r), o campo elétrico ficará univocamente determinado se a carga total em cada condutor for especificada.

15. Considere um condutor esférico de raio b que contenha em seu interior uma cavidade esférica de raio a cujo centro não coincide com o centro do condutor. Suponha que a posição do centro da cavidade e o valor de a sejam tais que a cavidade esteja integralmente no interior do condutor, como mostra a figura. Considere, ainda, que uma carga puntiforme q esteja situada no centro da cavidade e que o condutor tenha carga total nula.

condutor

q

a

b

(a) Determine as densidades superficiais de carga na superfície da cavidade e na superfície externa do condutor. Justifique a sua resposta.

(b) Determine o campo eletrostático em um ponto qualquer do espaço. Desenhe algumas linhas de campo dentro da cavidade e fora do condutor.

Sugestão: para resolver esse problema, use o fato de que só há um modo de as cargas do condutor se distribuirem na superfície externa do condutor e na superfície da cavidade de modo a anular o campo eletrostático no interior do condutor. Portanto, se você descobrir uma possibilidade, ela é a solução do problema. De fato, pode-se mostrar que a solução para esse tipo de problema existe e é única.

16. Um condutor esférico de raio R e carga total nula contém em seu interior uma cavidade de formato arbitrário. Dentro dela, há uma carga puntiforme q localizada em uma posição genérica dentro da mesma, como indica a figura. O condutor está em equilíbrio eletrostático.

condutor

R

(c) Uma carga puntiforme Q é trazida para um ponto na vizinhança da esfera condutora e mantida fixa nessa posição. Quais, dentre as seguintes quantidades, sofreram modificação: (i) densidade superficial de carga na superfície externa da esfera condutora;

(ii) densidade superficial de carga na superfície da cavidade;

(iii) força eletrostática sobre a carga puntiforme q, localizada dentro da cavidade. (siga a sugestão dada no problema anterior).

17. Desafio 3.1: linhas de campo

Considere uma carga puntiforme positiva q1 e uma outra, negativa, q2, e seja r a reta que passa

por elas. A figura mostra uma linha de campo, associada ao campo eletrostático total gerado pelas duas cargas, cuja direção de saída da carga q1forma um ângulo θ1com a reta r.

Reta r

d

q

θ

q

θ

(a) A partir da figura, responda se|q1| > |q2|, |q1| < |q2| ou |q1| = |q2|.

(b) Caso a distância d fosse aumentada, mas a linha considerada ainda fizesse o mesmo ângulo θ1 com a reta r, o que aconteceria com o ângulo de chegada θ2, aumentaria, diminuiria ou

permaneceria o mesmo?

(c) A partir dos dados do problema, determine o ângulo entre essa linha de campo e a reta r na chegada à carga q2, isto é, determine o ângulo θ2 indicado no figura.

(d) Existem linhas de campo que escapam para o infinito? Em caso afirmativo, calcule o ângulo de saída crítico, θ1c, acima do qual a linha não atinge a carga q2.

18. Desafio 3.2: potencial eletrostático

Considere metade de uma casca esférica, de raio R e centro C, uniformemente carregada com densidade superficial σ. Considere, também, um ponto P localizado no plano que passa pela borda circular da calota, de modo que P , C e a borda da calota estão no mesmo plano. Suponha, ainda, que P esteja a uma distância r, 0 < r < R, do centro C da calota, como indica a figura.

σ

C P

r

R

19. Considere uma esfera de raio R uniformemente carregada com carga total Q. Calcule o poten-cial eletrostático criado por essa esfera em qualquer ponto do espaço seguindo os dois procedi-mentos descritos a seguir.

(a) Resolva a equação de Poisson,∇2V (r) =−ρ(r)/ϵ0, com o potencial sujeito às seguintes

condições de contorno: (i) o potencial deve se anular no infinito; (ii) o potencial deve ser finito no centro da esfera, tomado como origem; (iii) o potencial deve ser contínuo em r = R e (iv) em r = R, o potencial deve ter o valor V (R) = _4πϵQ

0R.

(b) Calcule inicialmente o campo eletrostático criado por essa esfera e utilize, então, a fórmula V (r) =−∫_∞r E(r′)· dr′

20. O objetivo desse problema é calcular a energia eletrostática de uma esfera de raio R uniforme-mente carregada com carga total Q utilizando três procedimentos diferentes.

(a) Considere a esfera como uma cebola, formada por diversas cascas de espessura bem pequena (no limite, serão infinitas cascas com espessura infinitesimal cada uma). Cal-cule, então, o trabalho total das forças eletrostáticas realizado quando a esfera é desfeita levando-se cada casca para o infinito.

(b) Calcule a auto-energia da esfera utilizando a expressão para a energia eletrostática U de uma distribuição contínua qualquer de cargas

U = 1 2 ∫ Rρ(r)V (r) d 3 r , (4)

onde R é a região onde a densidade volumar de cargas é diferente de zero. Confira o resultado com o do item anterior.

(c) Integrando em todo o espaço a densidade de energia armazenada no campo, ou seja, utili-zando a fórmula

U = 1 2ϵ0

∫