D EPART AME N TO DE E N G E N H A R I A M E C Â N I C A
TORÇÃO EM BARRAS PRISMÁTICAS DE SECÇÃO T R A N S V E R S A L A R B I T R A R I A E M U L T I C O N E X A - A B O R D A G E M POR ELEMENTOS FINITOS I S O P ARA METRI COS
DISSERTAÇÃO S U B M ETIDA A UNIVER S IDA D E F ED E R A L DE SANTA C A T A R I N A PA RA OBTENÇÃO DE GRAU DE M E S T R E E M E N G E N H A R I A
M A N O E L PE R E I R A DE A N DRADE FILHO
TORÇ Ã O E M BARRAS PRISMÁTICAS DE SECÇÃO T R A N S V E R S A L A R B I T R Á R I A E M U L T I C O N E X A - A B O R D A G E M POR E LEM ENTOS FINITOS I S O P A R A M Ê T R I C O S
MANO E L P ER E I R A DE A NDR A DE FILHO
E S T A DISSERTAÇÃO FOI J U L G A D A P A R A O B T E N Ç Ã O DO TÍTULO DE
MESTRE EM E N G E N H A R I A
E S P E C I AL IDADE E N G E N H A R I A MECÂNICA, Á R E A DE C O N C E N T R A Ç Ã O .P ROJETO M ECÂ N IC O E A P R O V A D A E M S UA F O R M A FINAL PELO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO.
P r o f . CloV^s—Spe¥fe-de"i^rcellos, Ph. D . Orientado r
A P R E S E N T A D A PERANTE A BANCA E X A M I N A D O R A C O M P O S T A DOS PROFESSORES:
___________________ .J X
- Ao Prof. Clovis Sperb de Barcellos, Ph.D., p e l a orien tação neste trabalho e ensinamentos*
- Aos Profs :
Domingos Boechat Alves, Ph.D. José Joio de Espíndola, Ph.D. N e l s o n Back,
Ph.D-Ja-roslav Kozel, Ph.D. (In Memorianù Sergio Colle, Ph.D.
pelos ensinamentos;
- A CHESF - Companhia Hidro E l é t r i c a do Sao F r a n c i s c o , p e l a indicação e apoio a r ea liz a ção do Curso de P o s - G r a d u a ç ã o n a UFS C e a este trabalho, em ¿special aos Engenheiros:
F elício Limeira de F ran ç a A l d e m i r Sobreira de Ol i veira Ad el mo Lapa Filho
- A UFSC, em pa r t i c u l a r a C o o r d en adori a do Curso de Pos- Graduação através do Prof. Arno. Blass, Ph.D.
I N D I C E
RESUMO ... . . . ... ... ... ... ... . viii
A B S T R A C T ... ... . ix
C APÍTULO 1 - INFORMAÇÕES GERAIS SOBRE O TRABA LHO ... 1
1.1. Introdução ... ... ... ... 1
1.2. Métodos Numéricos ... ... . .. . 2
1.3., Descrição E s p e c í f i c a dos Objetivos do T r a b a l h o ... . 2
1.4. Descrição Su ma ri a do Conteúdo do T rab a l h o ... 3
CAPÍTULO 2 - FORMULAÇÃO T E Õ R I C A DO P R O B L E M A DE T O R Ç Ã O , . . . ... 5
2.1. In t rodução ’... ... < ... 5
2.2. Formulação do P ro bl em a pe l a Função de To r ç ã o de Rnandtl. 5 2.3. Campo dè De s loc a men t o ... ... •... 91
2.4. Relações - Função de Torção X Função de E m p e n a m e n t o ... 10
2.5. Determinação da Constante A - E qua ção de E q u i l í b r i o ... ■ 10
'2.6. Resumo : . . . . ... ... ... ... . 11
2.7. Outras Formulações ... . . ... . 11
2.7.1. Função de E m p e n a men t o Y ... ... 11
2.7.2. Função X = con j ugada de V ... ... . 12
2.8. . Obtenção do Funcional do Pro b lem a de T o r ç ã o . ... . . 12
CAPÍTULO 3 - 0 MÉTODO DO ELEMENT O FINITO ... ... 15
3.1. Introdução - Descrição do Método .... . ... 15
3.2.-. E s colha do Tipo de E l e m e n t o ... ... ... 16
3.3. Elementos Curvos Isoparamétricos ... ... 1-7 3.4. De talhamento Geral do M éto d o - A p l i c a ç ã o P a r t i c u l a r ao Problema de Torção ... . ... . . ¿. ... 21
3.5. Integração Num é r i c a Ga uss i a n a para E leme n t o s I s o p a r a m é tricos ... ... ... 29
CAPÍTULO. 4 - D E S C R I Ç Ã O DA SOLUÇÃO C O M P U T A C I O N A L DO P R O B L E M A .. 31
4.2. E s t r a t e g i a para Solução do Pr o ble m a ... . 31
4.3. Calculo das Areas das Cavidades .-... ... . 35
4.4. De s crição do Pr o grama DEPMOOl ... ... . 3 7 4.4.1. De f in iç ão dos Parâmetros Principais ... . 37
4.4.2. F lu xograma Gérai ... . . . * ... ... . 40
CAPÍTULO 5 - A PR ES EN TA ÇÃ O DOS RESUL T ADO S ... ... 42
5.1. Introdução ... '....■... ... . 42
5.2. Soluções Analíticas Conhecidas ... 42
5.2.1. Secção Elípt i c a ou Circular . ... . 42
5.2.2. Secção Retang u lar ou Q uad r ada ... ... . 4 3 5.2.3. Secção Circular Vazada ... .. . . ... . 44
5.2.4. Secção Tri ang u lar E q u i l á ter a ... •••• J5.3.' Interpretação dos Resultados Obtidos ... ... 45
5.3.1. Mo d el o Elí p tic o com 12 Elementos Isoparametricos - ANEXO 2... 46
5.3.2. Mo d el o Elí ptico co m 4 8 Elementos Isoparametricos - ANEXO 3... 4 7 5.3.3. M o de lo Elí p tic o com 64 Elementos Isoparametricos - ANEXO 4... 4 9 5.3.4. M o d e l o Ret a ngu l ar com 24 E lem entos Isoparamétricos-ANEXO 5... 50
5.3.5. M o d e l o Ret a ngu l ar com 32 Elemen t os Isoparamétricos-ANEXO 6... 51
5.3.6. M o d e l o Circular Vazado com 24 E l ementos I s o p a r a m é t r i c o s - AN EX O 7 . . ... ... . . . ... .... ... 52
5.3.7. M o de lo Circular Vazado com 48 Ele mentos I s o p a r a m é t r i c o s - A NE X O 8 ... ... ... ... ... . 52
5.3.8. M o d e l o Quadrado com Furo Q uadrado ■ com 144 Elementos I s o p ar a metricos - ANEXOS 9 e 10 ... . .. 53
5.3.9. Mo d e l o Quadrado com 100 Ele m e n t o s I soparametricos ANEXO. 11 ... ... . .. . . ... . . 55
CAPÍTULO 6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES ; ... ... . 58
6.1. Recomendaç õ es e Precauções Para o M a p e a m e n t o de Domínios c o m Elementos. Isoparametricos ... ... . 58
6.2. Um a Interpr et aç ão mais Geral para Conteúdo do P r o g r a m a DEPMOOl (Sugestões Para Novos D e s e n v o l v i m e n t o s ) . . . ... 59
6.3. A l t e r n a t i v a para Problema de T orção e m Domínios Compostos de Diferentes Materiais ... ... . . . . ... 62
R EFERÊNCIAS BIBLIOG R ÁFI C AS ... . . ... .... ... ... AP ÊNDI C E . . .----. . . --- - - --- --- ... ANEXOS ... . . ...;•« . . . . ... ... ... ANEXO 1 - Interpretações das Tensões ... . ... ... ANEXO 2 - Modelo El íp t i c o com 12 Elementos - M a l h a de Ele me n t o s
Finitos Isoparamétricos ... . ... ... AN EXO 2-A- Modelo Elí p t i c o com 12 Elementos - D e t a l h a m e n t o das
Coordenadas Nodais ... ... AN EXO 3 - M odelo E lí pt ic o com' 48 Elementos - M a l h a de Ele mento s
Finitos Isoparamétricos .... A NEX O 3-A- Modelo Elíptico com 48 Elementos - D eta lhame nto das Coordenadas Nodais ... ... ... A NEXO 4 - Modelo El íp t i c o c om 64 Elementos - M a l h a de El ementos
Finitos Isoparamétricos ... ... A N EXO 4-A- Modelo E lí p t i c o c om 64 Elementos - Det a l h a m e n t o das
Coordenadas Nodais ... ... A NE X O 5 - M odelo Retangular, com 24 Elementos - M a l h a de E l e m e n
tos Finitos I soparamétricos ... ... ... A N E X O 6 - Modelo Retang ula r com 32 E l ementos - M a l h a de E l e m e n tos Finitos I soparamétricos ... ANEXO 7 - Modelo Circular Vazado com 24 Elementos - Malha de
Elementos Finitos Isoparamétricos ... ...
A NE X O 8 - M odelo C irc u lar Vazado com 48 Ele mentos - 'Malha de Elementos Finitos Is o paramétricos ... .
A NE X O 9 Modelo Q ua drado com Furo Qu a drado com 144 El eme ntos -M alha de Elementos Finitos I s o p a r amétr ico s ... A NE X O 10- Modelo Q u adr a do c om Furo Qu a drado c o m 144 Elementos -
Malha de E le mentos Finitos I s o p a r a m é t r i c o s - Nova Ordenação dos Nodos ... ... ... A NEX O 11- M odelo Quadrado com 100 Elementos - M a l h a de E l e m e n
tos Finitos Isoparamétricos • ... » ...
64 6 5 69 70 71 . 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83
RESUMO
Neste trabalho o p rob l e m a de t orção e m b arr as p r i s m á t i cas de secção tr ansversal arbitraria.e m u l t i c o n e x a é f o r m u l a d o a- través da função de torção de Prandtl, sendo inclusive obti do u m fun c ional para este problema.
A solução deste p r o b l e m a ê o b t i d a u t i l i z a n d o - s e e l e m e n tos finitos curvos i s o p a r a m é t r i c o s . U m p rog r a m a c o m p u ta cio nal foi desenvolvido 5 permi ti nd o a de terminação da constante g e o m é t r i c a de rigidez da secção, o ângulo de torção, f o r m a de “e m p e n a mento e as' tensões de cisalhamento e m q u a l q u e r •po nto da barra, e m f u n ç ã o dó torque a t u a n t e .
Os resultados obtidos são apresentados e comparados com as soluções analíticas e/ou numéricas e n c o n t rad as n a l i t e r a t u r a .
Inúmeros problemas em eng e nha ria são regid os p elo m e s m o tipo de equação diferencial p arcial L a p la ceana que rege o p r o b l e m a de t orção 5 po de nd o este trabalho servir como base a so lução destes pr o bl e m a s e isto ta m b é m é discutido neste trabalho.
The b e h a v i o r of pr i sma t ic bars of a r b i t r a r y cross section with o r wi t hou t holes, u n d e r t o r s i o n loads, is f o r m u l a ted through Prandtl torsion function. A functional is also d e v e loped to solve this problem.
■ ■I ■ '
The solution for this p r o b l e m was re ac h é d u s i n g curved isopara me tr ic finite elements. A c o m p u t ati onal p r o g r a m was developed, a ll ow in g to reach the stiffness geometri c c o n s tant of the section, the to rsi o n angle, the w a r p i n g f u n c t i o n and the shearing stresses at any point o f bar, as a function o f the imposed torque.
The solutions are shown and compared w ith analyti cal and numerical solutions pre s e n t e d in the .sp ecifi c l i t e r a t u re.
Several p r o b l e m in e n g i n n e r i n g are d e f i n e d in terms of the same d if ferential p arcial L a p l a c e 1s equation, whiûh define the t orsion problem, therefore this p a p e r cou ld be us ed as a b a ck gr o u n d for the solution o f .these problems and about this a discussion is showed.
1 .1 - I ntrodução
Na formulação t eórica de analise de sistemas contínuos, a eta p a de o b tenção da eq uação ou conjunto de equações d i f e r enc iai s que r e g e m o pr ob l e m a juntamente com as condições de cont orn o asso ciadas, e mbora r eq u e i r a e m alguns casos técnicas mais s o f i s t i c a d a s como por exemplo calculo variacional, não se const itui na p rin c i pa l dificuldade. 0 grande p r o b l e m a consiste sim, na s ol u ç ã o da eq u ação ou conjunto de equações diferenciais, Obedecida s todas as condições de contorno e outras restrições adicionais. Apena s pa r a uma classe muito re s tri t a destes problemas é que se conhece a so l u fção exata (analítica, fechada) obtidas p or técnicas tais como sepa ra ç ã o de v a r i á v e i s , funções tentativas e o u t r a s . Na m e d i d a e m que a c o m pl e xi d ade do si stema a ume n ta : as soluções exatas p r a t i c a m e n te t o rn a m - s e impossíveis de s e r e m obtidas.
S e ja agora o pro b l e m a mais geral da T e o r i a dá E l a s t i c i d a d e qu al seja: "Análise Di nâmica Tr i di m e n s i o n a l em Meios E lásti cos Contínuo", no Apê ndi c e A são citados os requis itos n ec e s s á r i o s ã solução deste problema| 2 |. E s t a f ormulação é i m p r e s c i n d í v e l e m e_s truturas solidas não modeláveis po r cascas, p o r e xemplo em anãli se de tensões e m rotores de máquinas de fluxo, vasos de c o n t e n ç ã o de reatores nucleares, etc. P art i cu l a r i z a n d o as expressões apr es e n tadas. no A pêndice A, obtém-se as relações v álidas e m análise bidd. men s i o n a l (estado plano de tensões ou d e f o r m a ç õ e s ) , neste caso en q u a d r a m - s e po r exemplo barragens, condutos forçados, etc.
E m análise geral de cascas, um conj unt o de nada menos que 6 (seis) equações diferenciais parciais ainda mais complexas que as dadas em (A.l), são requeridas p a r a s a t i s f a z e r e m as condições de equilíbrio. Resumindo: soluções analíticas e m probl ema s trid_i m e n s i o n a i s de Ela sti c ida d e o u .me s mo de cascas, pr at i c a m e n t e inexis_ tem.
Generalizando, inúmeros problemas em Engenharia , s eja de Elasticidade, Mecâ n i c a d o s .F l u i d o s , Dis t r i b u i ç ã o de Calor, T e r m o - Elasticidade, Campos Elétricos ou Magnéticos, entre Outros, são re rigos po r equação ou si st em a de equações di ferenciais parc iai s e
respectivas equações de contorno. Â cada u m destes : p r o b l e m a s já se conhece ou pode-se' o bt er u m fu n ci o n a l de " energia g e n e r a l i z a d a " (dimensionalmente pode não si g n i f i c a r uma energia) o q u a l o t i m i z a do rep r od u z todas as equações de e q uil í brio e de co nt o r n o do proble
m a . •
E x i s t e m vários princípios v a r i a c i o n a i s e s p e c i a l m e n t e em pro blemas de Elastic i dad e |3 e 4|, assim, como deve e x i s t i r ou ainda p o d e m ser obtidos, princípios variac ion a is pa ra pro bl e m a s das o u tras áreas aqui citadas. No capítulo seguinte, u m p r i n c í p i o varia- cional para o prob l ema de torção será obtido, p a r t i n d o - s e da e q u a ção de eq u ilíbrio (problema inverso').
Concluindo pode-se adiantai? que, confO;rme v er e m o s no c a p í tulo 3, a aplicação do M é t o d o do E l eme n to Pin ito es tá in t i m a m e n t e ligada a otimizações de funcionais.
1.2 - M é t od os Numéricos
M o t i v a d o pela n ec es si da d e de s o l u c i o n a r toda essa g a m a de p r oblemas anteriormente expostos * su r g i r a m os m é t o d o s nu mér i c o s , que'.são técnicas a p r o xim a das - con v erg e ntes c o m u t i l i z a ç ã o cada vez mais frequente e de grande confiabilidade; Entre os m é t o d o s mais e fici e n te s e usuais destacam-se: Elementos Finitos, Di f e r e n ç a s .Fi nitas e M a trizes de Tr an s f e r e n c i a |l, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11 e 12 | . E m todos, o que se p ro c u r a b a s i c a m e n t e é t r a n s f o r m a r de m o d o c o n sistente , a equação ou sistema de- e*quações diferenciais que r e g e m o p r o b l e m a em u m sistema de equações algébricas, i n t r o d u z i n do-se nestas as condições de contorno (vínculos do sistema: n a t u rais ou geométricos).
0 enfoque principal deste t r ab a l h o é dado ao M é t o d o do E l e m e n t o Finito e para sua concepção é ind isp ensáv el CQriaecxmentos básicos sobre Cálculo Va r i a c i o n a l | 3,4,6, e 1 0 1 .
1.3 - De f inição Espec ífi c a dos Objetivos do Tr abalh o
0 o bj et iv o princi p al deste t r aba l ho é a apre s e n t a ç ã o e x p l í cita do M é t o d o do Elemento Finito â solução de u m p r o b l e m a e m u m m e i o e lá stico contínuo, nô caso: "Torção em Barras P r i s m ática s de
rica deste p r o b l e m a . ë feita através d a função de t orção de Pr an d t l e a s o lução numéri ca é o bt id a u t i l i zan d o-s e el ementos finitos c u r vos do tipo isoparamétricos.
Trata-se de um p ro b l e m a de E l a s t i c i d a d e e m d omínio plano multiconexo, onde con f orm e serã m ost r a d o no ca pítul o s equinte pode ser abordado através de uma função de torção <J> , ficando o p r o b l e m a re strito a solução de uma equ ação d i f e r en cial p a r c i a l do tipo La p lac e a n a n ã o ' h o m o g e n e a c o m condições de con torno do tipo con st a n tes nas bordas internas e externas. As tensões cisalhantes o X z e estão diretamente r elacionadas com esta função sendo que, obti da a solução de 4> , d e termina-se a constante g e o m é t r i c a de r igidez da secção, o ângulo de torção, as tensões e as"form as de e m p e n a m e n to e m todos os pontos nodais da secção considerada.
No te-se ainda que, inúmeros problemas de E n g e n h a r i a são re gidos p e la mesma equação d iferencial pa r cia l do tipo da aqui reso_l vida [3 e *4 j (capítulos 10 ,e 17, r e s p ect i vam ente) , m u d a n d o - s e e m alguns casos apenas as condições de contorno. Ne ste sentido, o con téúdo teõrico e o pr õp ri o pro g ram a c o m p u ta cio nal desen vol vidos nes te t r a balho são fundamentais, servindo de b ase p a r a a sol u ç ã o de tais problemas e isto está descrito n a i mport ant e di scussão que é feita no item 6.2 do Capítulo final deste trabalho.
1.4 - Da s c r iç ão Su m ari a do Conteúdo do T rab a l h o *
No Capítulo 2,é ap r e sen t ada a f o rmul açã o co mpleta do pro b l e ma de torção através da função de .Prandtl, sendo inclusi ve apr e s e n tadas o u tr a s-alternativas de formulação do p r o b l e m a p or outras fun
çõés:V de empenamento e x conjugada de ¥. U m funcional p a r a o pro
b l e m a de torção é t a m b é m detalhadamente obtido.
No Capítulo 3, em p aralelo a a pre s e n t a ç ã o d eta l h a d a que é feita para o probl e ma de t o r ç ã o ,.o mé t odo do e l e m e n t o fini to é de scrito de u m modo b astante geral, p e r m i t i n d o maiores conclusões sobre suas p o t e n c i a l i d a d e s .
No Capítulo 4 é a pr es enta d a uma d escr i ç ã o de talha da da solu ção computacional do problema, est r até g ia de solução, d e s c r i ç ã o dos parâmetros do prog r a m a DEPMOOl, incluindo u m f l u x og ram a geral do mesmo.
No Capítulo .5, é feita a a p r e s e n taçã o dos resul t a d o s in cl u i n do urna arialise i n t e rp r eta t iva para cada ura dos modelos p e s q u i s a d o s , sendo ainda feita uma analise co m p a r a t i v a da p e r f o r m a c e do e le me n to finito i s o p a r a m é t r i c o .u til izado neste trabalho, em r e l a ç ã o ao el e m en t o t riang u l a r linear Cmais r u d i m e n t a r ) , a p r e s e n t a d o por Brebbia e Ferrante |5 ¡.
Finalmente, no Capítulo 6 são a p rese nta das as c onclu sõe s e sugestões do' trabalho, incluindo: rec o mend açõ es e p r e c a u ç õ e s p a r a ma p e a m e n t o de domínio com elementos i s oparamétricos, u m a inte r p r e tação mais geral do conteúdo do p r o g r a m a DE PM001 e por úl t i m o uma formula ç ã o para problemas de t orç ã o e m d o m í n i o com pos to de d if e r e n
2. formul açAq t eó r i c a do p r o b l e m de TORÇAO 2 .1 - Introdução
Seja uma b a r r a pr i s mática de secção t r a n s v ersal a r b i t r a ria e m u l t i c o n e x a ( m u l t i v a z a d a ) , sub m etida a mom e n t o s torsores nos terminais e em equil íb ri o - (Figura 2.1).
Como os extremos da barra são sujeitos apenas a tensões ci zalhantes no plano xy, devido a ação de u m m o m e n t o torsor as tensões na superfície lateral po dem ser consideradas nulas, daí o seguinte estado de tensões pa ra este p r o b l e m a pode ser assumi
do: F i g u r a 2.1. - Ca) b a r r a prisinã
tic a Cb) secção transver sal. cr = a = a
x y z cr xy = 0 C2.1)
Gomo os planos terminais são i d e n t i camen te c a r r e g a d o s , pode-se as sumir o xz e a y z como funções de x e y somente. N ote -se entre “* tanto que estas tensões v a r i a m de secção a secção ao longo do eixo, isto devido a distribuição de ao longo da barra.
Para uma analise estática deste problema, c ons i d e r a n d o d e s prezáveis as forças de corpo (influência de peso p r õ p r i o , no caso) e influências térmicas, as equações gerais de e quili bri o da E l a s ticidade (A.l), se red u z e m a:
5gxz + 3CTyz
= 0 (2.2)
3 x 3y. .
2.2 - Formulação do P ro blema pela Fu nção de Torção de Pr andtl Prandtl v e r i f i c o u que (2.2) é satisféita, definindo função <J)(x,y) tal que:
= ü a = —
3y . yz 3x
u ma
°xz
À função ¢) assim definida é denominada, fu n ç ã o de torção de Prandtl. As equações de co mp ati b ili d ade em termos de tensões, da. das pelas relações CA.2), t a m b é m de v em ser atendidas e n e s t e caso se r e d u z e m a
2 2
V o - V o - xz yz 0 sendo todas as demais satisfeitas.
C2.5 ,6)
Desenvolvendo agora as relações C2.5,6), levando -se em conta C2.3,4) , temos :
Ca xz - O ) = v!c-^ + 2i-)= v2C— +'yz
3y 3x 3x 3 y
= V.2V4> = V . V 2<}> = 0
V 2$ = A C2.7)
P o r t a n t o C2.7) fornece o r e q u i s i t o para a c omp at i b i l i d a d e de $ , sen do A u m a constante que esta re l a c i o n a d a com o ângul o de t o r ç ã o 0, co m o sè r ã.mostrado no item 2.5.
Resta agora v e r i f i c a r as relações C A . 3) de condições de
contorno lateral: Y ^-contorno lateral c0
xy -xz = 0 • dy V S. ds a / / P o II cc /\ /\P dx x V Â + C T m + a n . . . y yz ax z ^ + a ,'in + a n = - yz z 0
F igu r a 2.2 - Co-senos diretores da n o r m a l ao con torno Co
rNeste caso: p = C£,m,0), sendo que as duas pr ime i r a s equ ações são a utoma ti c am en te satisfeitas e a u l t i m a fornece:
Onde :
a xz £+ cr m = yz 0
í i cose = m = cosa = dxds
C2, 8)
•Substituindo agora as relações^ (2.3,4) e ( 2 . 9., 10 ) e m
(2.8) , resulta: . '
dy ch£ dx _ n
9y ds 9x ds ■p., 0ds
<(> = Ko (constante) e m C( (2.1 1) Uma análise inteiramente aná l o g a pode ser feita para os contornos internos , fornecendo:
<J> = k. i = 0,p (2.1 2)
onde k^ são constantes associadas aos p contornos da secção, sendo que apenas uma destas constantes pode ser a ssumida a r b i t r a riamente ( I2 ¡ — páginas 111 a 113).
As condições de contorno nos planos terminais da b a r r a p e r m i t e m escrever: ff o dxdy = . R " P i y ff axz dxdy = f dx f 4 y dy R /<í> Iy 2 dx = 0 yi (2.13) ff o dxdy = R p2. ff o dxdy = R yz f$\Xz dy = 0
■
/dy/ II dx
(2.14)Tendo e m vista as relações : (2 .12 ) , (.2.13) e (2.14) são i m e d i a t a mente satisfeitas, mesmo nos casos de regiões m u l t i c o n e x a s , pois : <j> |y 2 = 0 , V d x yi dx. = <J> - <J) = 0 To T o dxi -»■ = <í> a - 4>0 + <J)Q - <j)j = 0 d x2 r.3-*-= <j) 3 - (|)o + ¢2 -► IF = 0X A n a l o g a m e n t e , V d y <f> 2 - Q E F ; = 0 *1
Figura 2.3 - Sec ção t r a n s v e r sal tí p i c a
ÏM > . M t =//R (X o yz - y áx 2 ) dxdy (2 .16) substi t u i nd o as relações (2.3,4)e m (2.15), vem:
M t = - " r(* H + y ' H 5 « - i s )
a di c io n a d o e subtraindo 24>dxdy em (2.16), temos: M t = “f f ^ 2^ t X :|¿ + y ||) dxdy ■>
M t = //R 2<j)dxdy - //R { -|^ (x<f>) + (y<ji) } dxdy (2.17) 3V 3TJ
us a ndo o teorema de Green: /Q ( Udx + Vdy) = ”3y^ dxdy, no segundo termo de (2.17), vem:
= 2//R <J>dxdy - & c<p (xdy - ydx) (2.18) P ara regiões m u l t i c o n e x a s :
á <J> (xdy - ydx) = (xdy - ydx) - é - <¡> (xdy - ydx) - ...
o ^
-# <p (xdy - ydx) (2.19)
CP . . •
Fazendo agora U = - y e V=x, o t eorema de Green fornece:
d> (xdy - ydx) = 2 ff* dxdy = 2A. (2,20)
ci K i
õnde A^ r e presenta a area da cavidade do contor no .
L evando agora em conta as relações (2.12) e (2.20), (2.19) fica: Í*C <J> (xdy-ydx) = 2 K0 A0- 2 K i A i - 2 K2Az ... . - 2KpA p
. Gomo um dos valores de (2.12) pode ser assu mid o arbi trariamente, façamos ko. = 0 p a r a o contorno externo, daí s u b s t i t u i n do (2.2 1) em (2.18), re s ult a : :■ i : ' L
M. = 2//t)<i>dxdy + 2 E k.A.
1 R i=l 1 1
(2 .2 2)
que r e p r e s e n t a a relação m o m e n t o t ors o r X função tensão p a r a tor ção e m ' secções m u l t i c o n e x a s .
2.3 - Campo de Deslocamento
As s umido o campo de t e n s õ e s , a = a - a
y z xy .n e axz . 3 49y * y z 1 _ _ 3 ¢)8x (2.23) e p o ss í v e l o b t e r de imediato, através das relações (A.5)e (A. 8) o campo de deformações:
• xz
e = e = e = e x y. z xy = 0 e e xz = ~G e yz >yz (2.24)
e finalmente por intergração das relações (A.4) da E l a s t i c i d a d e , obtem -s è ( |2 | - paginas 102 e 103) o campo de descolamento:
u = V = w = - 0 zy 0zx 1+ 0zb ! - 0za ©'{'(Xjy) ¡- 0(bx-ay.)+c! (2.25) onde :
0 - Ângulo de torção p or unidade de c omprimento (a,b) - Centro de torção:
Neste ponto os deslocamentos u e V se an ul am e a secção
da barr a gira como u m corpo rígido em torno do eixo que contém este ponto (dito ei. xo de torção)
centro de torção Figura 2.4- Coordenadas do centro de torção.
Ÿ(x,y)- Função de empenamento: -;
É a forma da par c e l a do de s loc a men to de w que p r o d u z d e f o r mação.: Quando o centro do s i ste ma de r e f e r e n c i a co in c i d e com o centro de torção, 'Kxjy) fornece diretame nte a for . m a do e mpenamento da secção (a fnenos de uma co nstante ad_i
tiva).
Do ponto de vista de analise de tensões, a e s c o l h a do s i stema de r e f e rênc i a pode s e r ar b itr a r i a visto que as pa rcelas en tre linhas tracejadas e que r e l a c i o n a m os valores a , . b e c n ao p r o d u z e m d e f o r m a ç õ e s , repres enta n do a ssi m deslocam ento de corpo rí g id o . Para esta verificação, ba s t a s u b s t i t u i r estas parcelas ñas relações (A.4) da Elasticidade. . .
2.4 - Relação - Função de Torção x Função de Emp ena mento
S u b s t i t u i n d o as relações (2-.25) nas relações (A.4) da E lasticidade, vem: E -■= 6- - eb _ ey + 6b + e = 0(|^ - y) (2.26) xz ■o X J xz 3x -7 . E = 0— + 0a + 0x - 0a -*■ e = 0 ( H + x) (2.27) y z 3y yz 9y ■
levando em conta as rèlações (2.24), vem:
a G0(|1 - y) a = . G Q ( ~ + x) (2 . 28 ,29)
x z 3x J y z 3y 5
e agora s u b s t i t u i n d o (2 .3,4) em (2.28,29) resulta:
| | = G 8 ( M - y) . I l = ee c|| ♦ X ) (2.30,31)
2.5 - Determinaçã o da Constante X - (Equação de Equilíbrio)
D i f e r e n c i a n d o as relações (2.30,31), r e s p e c t i v a m e n t e em re lação a y e x, resulta:
; A_ji> = G6(— --- 1) - 2-$- - G 0 ( 2 J L _ + 1) -*■>:. .>
9y 2 9x9y 9x ¿j..-. 9x9y
2 2
2-1 4 " + = - 2G0 -»■ V <|> = - 2G0 .(2.32)
9X 9y
levando - s e agora, e m conta (2.7), res u lta finalmente: À .= - 2G0. 2.6 - Resumo
A formulação do p ro b lem a de tor ção e m barras prism áti c a s c o m secção transversal arbitrá r ia e multicone xa, através da função de torção de Prandtl, satisfeitos todos os requisit os da E l a s t i c i dade, resume-se e m determi na r (p., tal que:
2 _
V <j> = - 2G0 em R (Região ou Domínio) ¢ = 0 e m Co(Contorno externo)
(f> =. em C^( Contorno interno), i = 1 ,p .onde as seguintes relações são válidas:
' a xz = 9y , a ’yz = - 9x ’, a xz = G0 (-||. - y) , a 9x J ’ yz = G6 (-P- +: x) 9y
P . . •
M t = 2/ /R <J)dxdy + 2 Z = ± k ^ 2.7 - Outras Formulações
Ê possível ainda, o b t e r a e q u a ç ã o de equi líb rio e c o n d i ção de contorno deste pr o blema em termos de ¥ o u mesmo at ravés de uma função conjugada desta, x* São p r o c e dimen tos simples e s e m e lhantes j 2 j ao da formulação através de ¢) aqui apresentado. Resumi . d a m e n t e , temos :
2.7.1 - Função de Em pe na me nt o Ÿ
2 *
2 V x X i x = - M 9X - 3Y 3x 3y ’ 3y 3x a xz = G0 (-1^. - y) , 3y J a = - G6 (-1^- - x) 5 yz 3x
No t e - s e que nas 3 (três) formulações aqui apresentadas, as 4>, Y e x estio i nt e r- relacionadas .
2.8 - O b t enção do Funcional do Pro b lem a de Torção
0 p r o c e dim e nto agora é o inverso ou seja, c o n h e c i d a a eq u aç ã o (ou conjunto de equações) difere ncial que rege (m) o pro
blema, juntamente com a (s) equação (ões) de contorno-, o que se p r o c u r a é de te rm in ar u m funcional (neste caso de torção) , que otjL m iz a do reproduz todos os requisitos do problema. Isto t a m b é m e po s sí v e l (notem a flexibilidade) assim, obtido o fu nci o n a l , a formul a ç ão do pr ob le ma pelo Método do E lem ento Finito e t a m b é m p o s s í v e l como veremos adiante.
Para problemas regidos po r sistemas de equações dif ere n ciais lineares do tipo:
\
A(U) L { U } + b = 0 (2.3:3)
sendo :
L - o p e r a d o r diferencial linear b - função de "cargas" do problema. U - variável .dependente do pro blema
e sendo ainda o o p erador L a u t o - a d j u n t o , ou seja:
funções = 0
1 2 2 .
/DU L {V> dD ^ / DV L :{U> dD ; . : r C2.3U) onde : U e V.são funções comparatrizes |6| isto é, s a t i s f a z e m as con : dições de contorno naturais e geométricas e os r equis ito s de conti m i idade e derivações até a o r d e m 2q sendo q a o r d e m da mais a l t a de r ivada do funcional.
Admitidas as considerações acima, é facil v e r i f i c a r que:
F = /D (| u L íU} + Ub) dD (2.35) é u m p r i n cí pi o variacional para o p r o b l e m a (2.33), de fato:
ÔF = / D {| ( ÔU L {U} + U ÔL {U})+ ôU b > d D
•= /D (¿ ( 6U L {U} + U L {6U>) + 5U b } d D • = / d CL{U} + b) 6UdD= 0 ■* ,L{U} + b = 0
No nosso caso, definindo:
L = V2 =• (— + — U = <f> e b = 2 G 0 , vem: 3 x2 3y 2 . a2 a2 (— + — — ) (j) + 2G0 = 0 e assim, (2.35) fornece: 3 x 2 3y 2 - F = ff {i <p ( ^ ' , + + 2G0cf>}dxdy (2.36) R 3 x2 3 y2
Por outro lado, ut il iz an do o teorema de Green:
"
r
u ü dx<Jy = - l ^ V d x d y + V v ‘- S ' “s " R U H dxdy = - f ^ d x d y * u m (+§) dsOs dois primeiros termos da integral (2.36), fornecem:
\ / j V * l ÿ / H ’ d x d y = ' i r / R l | • f y d x d y + I ‘ M I f ' s f 0 d s S u b s t i tu i ndo em (2.36), resulta:
F = - " R {l I < i l )2+ (H )2 | - 2S0f>.^dy * ï V j f Ss *
F = - ffv {i I (-^)2 + ( ^ ) 2 | - 2G0<j>}dxdy (2.37) . 9x . 9y
Portanto, (2.37) repre se nt a u m funcional do p r o b l e m a de t orç ão , formulado através da função de torção de Prandtl.
Apenas a título de verificação,
<5F = - / / { M 6 ( ¾ + M 6 ( ¾ - 2G0ô<J>}dxdy ( 2 . 3 8 ) K 3 x 3 x 3 y » 3y . 2
J rR
II
h
dxdy =•'- •'■
•'s
¡x*
*£c
II
ds
. 2 f f v — — (6<¡>) dxdy z - //p f- &¡>dkdy +é — 6(()(-) ds R 3y 3y ' R 3y c 3y dss ubs t i tu i ndo agora em (2 . 38) resulta:
2 2 ÔF = // '(ÎL4. + + 2G0)6«j> dxdy ' + d> ^ 6<f>ds = 0 + K 3 x2 3 y2 c ds 2 2 M + M + 2G0 =0 em R 3x 3y — = 0 em C . , i = 0,p ds ^ 2 V <(> = -2G0 e m R <f> = k^ e m , i = o,p
e assim, de fato a otimiza ç ão do funcional de torçã o ( 2 . 3 7 ) re - p r o d u z a equação fundamental que rege o problema, juntamente c o m as equações de contorno associadas <
3. O MÉ T O D O DO ELE MEN T O FINITO
3.1 - I ntrodução - D es crição do Mé t o d o ¡
-Todas as etapas a seguir descritas, serão explicitamente de monst r ad a s mais adiante p ara o nosso p a r t i c u l a r p r o b l e m a de torção, sendo entret anto estes p r o c e d i m e n t o s , de c aráte r comum, in t e i r a m e n te geral e validos p a r a .todos os problemas formulados pelo mé t o d o do e l e m e n t o 'finito :
1 - Ne s t e método, o domínio ou r egião (linear, p l a n a ou solida) do . problema, é dividido em subdomínios (sub-regiões) de m o d o que a
união destes, repro duz (mapeia) todo o dom ínio (região), não h a vendo superposição. A cada s ubd o mín i o (sub-região) c o r r e spo n d e r ã u m elemento linear, plano ou solido, co nform e o tipo de domí
nio ( r e g i ã o ) . ‘ . • .
2 - As variáveis dos subdomínios relaciona das no funcio nal do pro blema, são postas como sendo uma combin açã o dos valores nodais
(puntuáis)' destas variáveis, ponderados p o r funções de i nt e r p o l a ç ã o . A s s i m , . as variáveis do fun c ional são p ort a n t o i n t e r p o l a das e as incógnitas do p r o b l e m a . p a s s a m a ser os valores nodais destas variáveis.
3 - Como o funcional do p ro bl e m a é v á l i d o em todo o dominio, é con sequentemente, ta mbém válido p a ra os seus subdomínios ( e l e m e n tos ). A o se ot im iz ar o funcional c o r r e spo nde nte a u m e lem e n t o ge n ér i co por exemplo e, e c o n s i de r and o as in terpolações previjs tas e anterio rm en te c i t a d a s , agora ao inves dé se ob t e r urna e q u a ç ã o diferencial que rege o p r o b l e m a para o s u b d o m í n i o (ele m e n t ó e ), o que se o b t é m é u m sis t ema de equações al géb rica s no qual as incógnitas são os V a l o r e s .nodais das variáveis do fun ' cional correspondentes ao el e men t o e.
*+ - A s eg u ir são feitas otimizações e m todos os funcionáis relati vos a cada um dos n elementos que m a p e i a m o d o m í n i o , o b t e n d o n sistemas de equações a l g é b r i c a s .do tipo de scrito anteriormente. Note-se que o integrando destes funcionais é o mesmo, o que mu
da sao*os subdom ín io s e co n seq u ent e ment e as regiões de. i n t e g r a ção. .
5 - A s up e rposição dos n sistemas de equações algébricas vai se n d o feita na me d i d a em que se vai o t imi z a n d o cada um dos funciona i s dos elementos, r esu l tan d o num si stema global de equações algé b r i c a s , o qual r el ac io na todas as incognitas (valores nodais das variaveis sobre todos os nodos da. malha) .
6 - Para alguns tipos de elementos, a ' obt e n ç ã o do sistema de e q u a ções algébricas (matrizes de "rigidez" e "carga") c o r r e s p o n d e n . te a cada elemento, é feita e m um s i ste ma de r e f e r ê n c i a local , não c o i n c i d e n t e . c o m o sistema de r e f e r ê n c i a global ad o t a d o p a r a o problema, e a s s i m nestes casos se r e q u e r antes da etapa de s uperpo si çã o citada em 5 , a aplicação de convenientes matr i z e s de t ra n sforma ç ão para o si stema global, fi o c„aso por exe mpl o de. estruturas espaciais compostas de vigas ou t r e l i ç a s .
7 - A g o r a são colocados diretamente rio sis t e m a gl obal de equações a l g é b r i c a s , os vínculos do problema, ou seja, as condições de contorno sòbre os valores nodais das variáveis do f u n c i o n a l os quais p os s u a m restrições. E v i d e n t e m e n t e o tipo de c o n d i ç ã o . de contorno Cvínculo, restrição) depende da n a t u r e z a d o problema.
8 - Resol v e -s e o sistema global de equações algébricas ob tido con forme etapas até então descritas, o b tend o-s e assim, de m o d o con si stente, os valores nodais de todas as incognitas (valores no dais das variaveis sobre todos os nodos da malha).
9 - "Além das. variaveis do funcional, este m é t o d o permite d e t e r m i n a r os valores de outras variaveis, as quais e s t e j a m r ela c i o n a d a s c om as variaveis do funcional por. derivação, ou me smo p o r inte grações destas.
3.2 - E s co l ha do Tipo de Elemento
tipos de elementos mostrados, pod eri a ser usado p a r a m a p e a r a região R indi, cada, en t r etanto a escolha do tipo de elem e n to nao é arbitr a ria e depende do funcional (tipo de problema) e da p r e c i s ã o desejada.
Uma es colha inadequada, por exemplo u m elemento mais pr ec á r io (pou cos nodos) pode r equ e rer um refino mu_i to grande da má l h a para obter valores convergentes admissíveis e p o r conta disso, o custo da s olução (tempo de computação, tempo de e la bo r ação da m a "lha, nú m e r o de cartões de dados) tor
na-se bastante oneroso e desnecessário. Figura 3.1 - Exenplos de elé mentos planos. E m geral a c o nve r gên c ia n e s t e m é t o d o e a s s e g u r a d a q uan d o a es c o lh a do elemento é tal que para u m f u n c i o n a l cuja o r d e m da mais alta derivada seja n, as funções de i n t e r p o l a ç ã o associadas s e j a m contínuas e deriváveis pelo menos até a o r d e m n -1.
E scol h i d o o tipo de elemento, o d omínio dp p r o b l e m a é s e m pre m a p e a d o com este me s mo elemento, p r i n c i p a l m e n t e .por razões de simpli f ic a ções computacionais. .
3.3 - Elementos Curvos I so pa ramétricos
0 enfoque p r i n c i p a l deste tr abalho é dado aos elementos de faces curvas (os mais gerais e precisos), em p a r t i c u l a r ao tipo n9
9, que satisfaz as condições de c o nve r gên cia requer idas p a r a o Fun cio n a l de Torção.
Estes elementos te m a v a n t a g e m em p r i m e i r o lugar, de m a pea r quase exatamente os contornos curvos, a p r o x imán dol os por ar cos de parábola (no caso do tipo n'99) , ao co ntr ário dos elementos de .faces retas. Pos s u em ainda técnicas b e m mais precisas de inte gração n u m érica na obt enção das matrizes de r ig i d e z associadas a
cada elemento, dispen sa nd o a i n d a , a e tap a númer o 6 do i t e m 3.1,
Devido a complexidade que se te ria na i n t e g ração em s u b - re giões curvas e tendo e m vista as variações de forma destas s u b - r e giões de e lemento p ar a elemento e m uma m e s m a malha, para estes ti pos de elementos faz-se n ece s sár i o utili-zar uma t r a n s f o r m a ç ã o de coordenadas do sistema curvilíneo onde está o ele mento p a r a u m ou tro r e ti líneo n o r m a l i z a d o , conforme m o s t r a d o na Figura 3.2.
Da 't eo ri a de sistemas curvilíneos vista e m cursos de cálculo integral, t e m - sè que : dx dy = det J d£ dn onde: J = 3£ 9x 3n 9y3n (3.1) (3.2)
e ainda mais, existe uma r elação biunívoca, de cada p o nto dos s u b d o m í n i o s , entre . os dois sistemas de re f erê n cia (I) e (II), ou seja: »----(1,0) ,1) ,1) h(0,l) ( S IS T E M A OE R E F E R E N C IA ( X I ) Figura 3.2 - Sistemas de referênc ias (x,y) = f(S,n) (3.3)
Assim, o p ro bl em a pode ser. t ota lm e n t e re sol v i d o no siste ma (II). Para elementos curvos i s opa r amé trico s como os aqui apre sentados ,• as mesmas funções de i n t e r p olaç ão associadas aos respecti vos nodos são usadas tanto p ara i n t e r p o l a r as variáveis do f u n c i o nal, como ta m b é m a geometria do e l e m e n t o .
As funções "Serendipity" de i n t e r p o l a ç ã o p a r a o : .elemento aqui exposto, associadas aos seus 8 (oito) nodos, são r e s p e c t i v a m e n te :
N j (C ,n ) = ^ (i+ç)(i+n)(ç+n-D-. ■
■N2(ç,n) = ¿ (i +D (i -n ) ( ç - n - i )
N3(ç,n) = (í-ç) (i+n) (-ç+n-i)
N ^ Í ÇjTI) = | (I-ç) (i-n) (-C-T1-1) C3,4l
N 5(C,n) = \ ( í + D ( 1- n 2)
N6(C,n) = \ (í- ç2)(i+n)
N 7(ç,n) = \ (i-ç2 )(i-n)
N ô (i,n) = \ ( í - ç ) C i - n 2 )
Note-se que elas s at isf a zem os req uis itos 'básicos de in ter p ol a ç ã o para os nodos do ele mento n u m e r a d o na Figura 3 .2 , ou se
ja: ’
N i CÇj ,r) j ) = • C3.5)
onde :
1 se i=j 0 se i^j
P a rtindo-se das relações (3.4), de im ediat o obtem-se a s ’ de rivadas das funções de i n terpolação c o m r e s p e i t o a £ dadas pelas re l a ç õ e s :
— 2(ç,n) = I {(i-n)CÇ-n-i-) + Ci+ç)Ci-n)} 3Ç — 3(ç,n) =-4 {(í+n)C-ç+n-D + d - ç ) ( i + n )> aç • — * U , n ) = - -i{Ci -n) H -n- l ) + (l-ç)Cl-n)} H 4 (3.6) — 5U > n ) = + i C i - n 2 ) H - ^6U , n ) = - e'(i.+n> 3? — 7(Ç,n) = -
í
Cl-n) 3Ç — e U , n ) = - i C i - n 2 ) 3Çe ag o r a d er ivação com re speito a ry» nas relações (3.4), resulta:
— M ç ,n) =.■ 4 '{(1+ç) ( ç + n - D + ( i + ç ) ( l + n ) }
3n 4
i ü 3(ç,n) = i { ( 1 - ç ) ( - ç + n - D + < i - ç ) ( i + n ) >
u-M * C ç , n ) = - -{(l-ç)C-ç-n-i) + (i-ç)(i-ri)K an Lf (3.7) — s(ç,n)= -Ci+ç)n 3n 3N >. 1,-,- P2> — 6(ç,n)= - Ci-ç ) 3n
2
— 7<ç ,n) = .-¿(i-E2) 3n 2 — e(ç,n)= -(.1-Ç)n 3n3.4 - D e t a l h ament o Geral do Método - A p l i c a ç ã o P a r t i c u l a r ao P roble m a de Torção.
Todo o p ro ce di me nt o que daqui p or diante será a d o t a d o p a r a o .Funcional de Torção, seria na sua e s s e n ci alida de a nalogo seja qual fosse o funcional (tipo de problema). Dito isto, as etapas daqui por diante detalhadas', p o d e m (e devem) ser vistas de m odo b e m mais ge ral. A s s i m p o r exemplo, ^(função de .torção) pode ser encar ado como um ‘"de slocamento generalizado" ( d imensionalmente pode não si gnifi car um d e s l o c a m e n t o ) .
0 funcional para o p r obl ema de torção ob tido no c a p í t u l o anterior, e como vimos:
F = - / / R { - I ( ¾ % ( - ^ ) 2 I - 2G0 <|>}dx dy (3 .8)
K 2 3x 3y
De acordo com o que jã foi dito sobre as interpo laç ões pre vistas no m é t o d o , podemos escrever:
+ . + . 8
t t 8 X =
n.xl =
x p. nt = £ N. tç.níx. ( 3 . 1 0 ) vs. 6 ^ * - ï 1 1 • l * J . t t 8 y = N . Y ^ = Y . N = Z N ± C Ç . n ^ - ( 3 , 1 1 ) e e i = 1 onde : N = (Ni CÇ,n) , N2 (Ç,n),..'.---.*N8(C»ri)}l x 8 - (3.12) <|> - {4>i s<í>2 ... >^8^ lx8 (3.13) X e5 .tXi,X2 j ... . . , x 8 } ix 8 (3.14) Y e = {Y i , Y 2 >...’Y ®}l x8 (3.15)Os valores de N sã-o dados e m (3.4), os de )Je e £ e > são as coord e n a das nodais (valores conhecidos), sendo os valor es de jj>e as incogni tas do problema.
Conside ra nd o as relações (3.9) a C3.15), podemos escrever:
Í2S = M . x* = X = I M i ( ç jn)x.. (3.16) 3Ç 3Ç ~ e e 3Ç i = l 3Ç 1 . 2 * - 11' . x* = X . ^ = Z- M í ( ç jT1)x. (3.17) 3n 3n e 3ti i=i 3n 1 l ï . - M . y 1 : Y . ^ : E M i ( Ç jn)Y . (3.18) 3Ç 3Ç e e 3Ç i=l 3Ç X - M . = y . ^ = I — i(Ç.,n)Y.-.- (3.19) 3n 3n ~ e 3n i=i 3n 1 onde :
^
= { — 1 C Ç , n ) , — 2 ( Ç , n ) , ... , ~ e U , n ) } ( 3 . 2 0 ) 3Ç 3Ç 3Ç • 3Ç 1x83N r 3N \ 3N
.
_ . _ü = { — j (ç,n), ■— 2(.^,n), 3n 3n 3n 3N a \i , — e CÇ,n)} 3n 1x8 (3.21)sendo que os valores dos componentes dos vetores 3$/3£ e 3N/3r\ são dados nas relações (3.6) e ( 3 . 7 ), r e s p e c t i v a m e n t e .
Precisamos d e t e rmi n ar agora e m termos de Ç e n , as
ções d<p/dx e 3<|>/3y que a p a r e c e m no funcional (3.8) do nosso proble
ma. Para isto, levando e m conta (3.9), temos: 8
3x 3x 3x
3N
i — 1 3x (3.22)
34) 3Jâ ,t . 3N ® 3N. s ,
— = — *íe = áe * ■
= z
— i(ç,n)4>i3y 9y 3y i=l 3y
(3.23)
Resta agora a o bt enção e xpl í cit a de 3N/3x e 3N73y e m ter mos de Ç e n . Para isto, podemos escrever:
M = M ¿2S + M l y 3Ç 3x 3 Ç 3y 3Ç
(3.24) M = M 12S + M i z
3n 3x 3r¡ 3y 3ri
M a t r i c i a l m e n t e , as relações -(3.240 p o d e m ser escritas
seguinte forma: ■ • da
M
4 r M 3n -3x 3£ 3x 3ri "iX 3n 9» w . M -3x . = j ■« 3x > 8» 3U 3y 3y s .M / i £1 V 'm ' 3x 3 £ an 3£ 3Ç T-1 , _ ! ■ =■ J “det J ■ l ü M _ 3x 3x 3y 3n 3n • 3Ç ^ / 3n (3.25)
Sendo J a m e s m a matriz da equação (3.1) e e d e n o m i n a d a m a t r i z J a c o bian o ou de t r a n s fo rm aç ão de coordenadas. Usando agora as re lações
(3.16) a (3.19) era (3.25), re sulta finalmente:
M =
1 ( M 3x detJ 3n t 3£ _ ¿ N ■ t 3 ^ 3Ç 3Ç e ,3n (3.26) onde : M = . x t M , M . x t M ) 3y detJ 3n ~e 3Ç 3Ç 6 3n detJ = 3C X * M . Y t - M . x* 3n 3n M .f
6 3Ç (3.27) (3.28)A g o r a que temos todos os m embros do funcional (3.8) conhe cidos e m termos de Ç eíi, podemos p a s s a r para a etapa número 3 que é descrita no i t e m 3.1. Ou seja, como o f u nci o n a l ë válido em todo o dominio, p a ra u m subdomínio associa d o a u m dado el em e n t o g e n é r i c o e, podemos escrever:
F = - 7 / p { i I •( )2 + ( ) ¿ }-2GQ$}dxdy e ' Re 2- 3x 3y
o tim i zan d o (3.29), vem:
(3.29)
= - f f n 6(®Í) + M ó ( M ) - 2G0 6<|).}dxdy
3x 3x 3y 3y
Re (3.30)
S u bstit u i n d o - s e agora'as relações (3 .1), (3 .9),(3.22),(3.23) e m (3.30) e c o n s i d e ran d o os limites de integr ação do s i s t e m a de r e f e r e n c i a (II), teremos:
ÔF = - / f 1 {ô(è - ) + <5(6- + e • - 1 - 1 *-e 3x ■ 3x 6 '■ *e dy dy e , - 2G Q 6 C $ èN t )} detJ dÇdn ou: 6F = -6(() { / 1 / 1 m + iíí.M) detJdÇdn) + e -e -i -i 9x 3x 3y gy e 6$ { / 1 / 1 2G0Nt detJdÇdri) = 0 +e - 1 _ i ~ ge i e = £ e C 3 -31) onde: k 8 x 8 = / / m t M * 1 Ü ) <j e t j d t d n w ~ l 3x 3x 3y 3y ( 3.32) / i / 1 r Px8 (ç,n)dçdn -i - 1 "l O vl 1 1 4- 1 1 . Û yl P = / / 2G0N d e tJdÇdri = / / I (£,n)d£dn C3.33) ^ e _ i _ i ~ - l - i o 8x1 2
Note-se as s i m que (3.31) r e p r e s e n t a a g o r a de fato u m s i s t £ m a de equações lineares algébricas, ao invés de uma e quação dif e r e n ciai p a rcial do tipo (2.32). E n ten d a-s e que (3.31) e quivale neste p r o b l e m a a (2.32) , sendo :
- É sempre uma m at ri z qua d rad a (neste p r o b l e m a 1* 8x8), d e n o m i n a d a • "matriz- de ri gidez generalizada" a s s o c i a d a . a um e lem ento (sub
domínio) genérico e do problema.
Pe - £ uma matriz coluna (neste pr o b l e m a -* 8 x 1 ) , d e n o m i n a d a " ma t r i z de carga generalizada" as s ociada a um ele mento (subdomínio) g e
n érico e do problema.
E m geral, o n úmero de linhas de K£ e jPe é igual ao n ú m e r o de nodos por e le mento vezes o número de graus de liberdade por nodo.
Perceba-se que neste pr o ble m a .a? cada - n o d o está ' associ^&oí u m ún i c o grau de liberdade (¢) e como neste caso temos oit o nodos- por elemento, de fato o s istema de equações lineares a lgébricas a£ sociadas a cada elemento (subdomínio) é de 8 equações x 8 incõgni t a s . A penas exemplificando, em u m p r o b l e m a t r i d i m e n s i o n a l de Elasti. cidade e anali sa do estaticamente, u t i l i z and o el em e n t o i so p a r a m é t r i co solido, si milar ao aqui apresentado, nad a menos que 20 nodos se r i a m ne c e s sá rios p or elemento, tendo cada nodo, 3 (três) graus de li b erdade Cu, v e. w) em termos de deslocamento. Daí a cada um deste, el e men t o (subdomínio), um s i ste m a de 60 equações algébricas é obti. do, ou seja K e e P g sao r e spe c t i v a m e n t e de dimensões C 6 0 x 6 0 )e C60xl). Voltando ao pr ob le ma de torção, a s u p e r posi ção de todas as equações do tipo C 3 .3 1 ) , re l aci o nad a s a todos os el ementos Csubdo m i n i o s ) que m a p e i a m inteiramente o d o m í n i o , permitè forma r u m siste: m a global de equações algébricas lineares do tipo:
K óf ' = P~
« *• ~ (3.34)
ónde :
K - "Matriz Global de Rigidez G ene ralizada" do problema, ti po qu a d rad a e de dimensão igual ao n ume r o total de nodos do do mínio ■vezes o n úmero de graus de liberdade de cada nodo. Neste e x e m pi o coincide com o n úmero de nodos do domínio, visto que o núme ro de graus de liberdade p o r npdo neste caso é 1 (um).
N a realidade, a s u p e r p o siç ã o das ma trizes p a r a a gera çao de K l e v a ao ap arecimento de componentes nulos e m trechos tri a n guiares nas partes s uperior e in f e r i o r de K, sendo esta p o r t a n t o do' tipo sem i ba n da ou ba nd a (Figura 3.3.a), conforme K„ seja ou nã o simé
- • 1 " "■ ’ 11 " '
tl?ica. No p re sente p r o b l e m a como o funcional é urna forma q u a d r á t i ca. e simétrica.
K = (b)
L B * N C
D evido a estes fatos, b a s t a a r m a z e n a r no c o m p u t a d o r , K com di m ens ã o LB.XH£. onde :
LB - S e m i l a r g u r a de ba nd a igual a: (Dmax + 1)N, sendo Dm ãx a m a i o r dif e re n ça entre os números de dois nodos q u a i s q u e r de q u a l q u e r el e mento do domínio, e N e nú m ero de graus de liberdade po r nodo. N ot e- se porta n to que o va l or de LJ3 depende da o r d e m de num e r a ç ã o dos nodos sobre a malha.
NC - N ú m e ro total de nodos do domínio vezes o n ú m e r o de graus . de liberdade por nodo.
P - "Matriz Global de Carga Gener a liz a da" do problema, t ipo c o l u n a e c o m n úmero total de linhas 'iguàl ao n ú m e r o de colunas de K. (J)"^ - "Matriz Global de Desloc a men t o G ene r ali zado" do sistema, t i p o
A#
c oluna e c om núm e ro total de linhas igual ao número de linhas .de £ ou £ .
.Montado o s istema global de equações lineares algébricas, a etapa seguinte é a colocação das condições de contorno ( vínculos, restrições) do p r o b l e m a que é feita diretament e sobre (3.34). No caso do p r o b l e m a e m questão, como vimos, b a s t a i m p o r os valores no dais de ¢, nulos no contorno e xte r no e constantes nos contornos in
ternos, ou seja: • *
(J> = 0 e m C0
<j> = e m C. , i = l,n
. ’ Feito isto, resta re solver o s i ste ma (3.34) e o b t e r os va lores nodais <j>! , <j>.2 ,. . ... ..., .<|>n .
Note-se que os valores assim obtidos, sa t i s f a z e m g l o b a l m e n te a equação de equilíbrio (equivalente) do problema, e todas as condições de contorno do problema.
A aproximação existente neste método está em se a s s u m i r previamente a forma (através das funções de interpolação) para a configuração dos deslocamentos generalizados no interior dos subdo
minios ( e l e m e n t o s ) . En tretanto, uma das maiores vantagens deste mé todo re side exatamente neste fato, isto porque, c onhec ido o v e t o r é"*' dos deslocamentos generalizados obtido de m o d o consis ten te con forme as etapas descritas, pode-se: *
1 - Obter os seus valores em qu a l q u e r ponto no inte r i o r de u m subdc> mi n i o (elemento) e p or conseguinte do domínio,
2 - Pode-se ~ de rivar os deslocamentos g e n e r a liz ados e m r e l a ç ã o as vai riãveis independentes do funcional, ob ten do a s s i m valores cujo signif ic ado físico depende da n a t u r e z a do problema. Por exemplo: t e ns ã o (como a q u i ) , fluxo de temperatura, fluxo de e s c o a m e n t o de líquido, fluxo de pot e n cia l (elétrico ou magnéti co) , etc, (pensem o u t r o s ) .
i
3 - Pode-se até i nt e g r a r os deslocamentos g eneralizados e m relação. as variáveis indepen de nt es do funcional, e isto neste t r a b a l h o t a m b é m serã feito pa ra ob t er o ângulo de torç ão e a fo rma de e m pe n am e nto de cada secção. Ê evidente que e m outros tipos de problemas, os valores a s s i m obtidos terão s i g n ific ado físico ine rentes a natur eza dos mesmos.
Neste trabalho, as etapas de m o n t a g e m do sis tema (3.34) fei
ta na. forma da Figura 3.3.b, a c olo cação das condições de cont o r n o e a so lução do s is te ma global de equações lineares algébricas são feitas co m a ajuda das sub-rotinas computacionais SORIT, COCON e I M B , respectivamente. Estas sub-rotinas f o r a m desen volvi das na UFSC pe l o GRANTE - Grupo de An alise de T e n s õ e s , sendo b a s t a n t e gerais e ap l i c a veis a problemas ainda mais completos (maior numero' de graus de li^ b erd a de por nõ) que o r e solvido neste trabalho, p e r m i t i n d o a so lução s i m u l t â n e a do sistema (3.34) para diversos tipos de carregamentos(P), p ode n do ainda as condições de contorno .que r e l a c i o n a m os graus de liberdade I, J e K, s e r e m dos seguintes tipos:
1 - <(>j = 0 ("deslocamento" nulo especificado). 2 - <f>j = k ("deslocamento" não nulo especificado). • 3 - = a <J>j •
4 - ( p I = y + a < í > j . + 3 4 >k - : ; 5 - 4>j = Y +• a<J)j
onde a, g e Y sio constantes que d e p e n d e m da n a t u r e z a do problema. 3.5 - I n te g r ação Nu mé ri ca Gau s s i a n a Para Elementos Isop ar a m é t r i c o s
A formula de integr aç ão n u m é r i c a G a u s s i a n a de n pontos* integra e xatamente um po li nó mi o de o r d e m até 2n-l. No te-se que o integr a nd o de l$e , Ij(£,ri) é uma matriz 8 x 8 , cujos componentes são funções de ( Ç ,n)•
S u bs ti tu in do con v eni e nte m ent e as relações (3.26) a (3.28) e m (3.32), a or de m das funções não polino m iai s d e #I 1 (£,n) pode ser avaliada, a n alogamente para £ 2 (Ç , n )s u bs t i t u i n d o (3 . 28) e ( 3 .12) dl r e tamente e m (3.33) verifi ca -s e que as funções a s s i m obtidas são polinó mi o s de até 5â or d em e m £ ou r\.
Neste trabalho, para o btenção das matrizes e Jg sera a dotado a fórmula de int e gra ç ão n u m é r i c a G a u s s i a n a e m domínios bi dimensionais, com 3 pontos (n = 3) de i n tegr açã o em cada uma das di. reções Ç e n . Assim, a integra ç ão das funções de è exata e par a as funções de I,^ es_tas são integradas a s s u m indo- se como s end o arcos de polinó m io s de 5§ or de m em cada uma das d i r e ç õ e s . Como veremos pos teriormente, os resultados p ar a o nú m ero de pontos de i n t e g r a ç ã o adot a do ne s t e problema são inteir a men t e s a t i s f a t ó r i o s .
Para n = 3 em domínios bid i men s iona is, a ex press ão para a i nte g ra ç ã o numéric a Ga us si an a é: f f 1 G (Ç,n) dÇdn = z i H- H. G(a_. , a . ) (3.35) - í - i i = i j = i x J x j onde: • Ha =-0.7745966692 H 2 = 0. Hj = 0.7745966692 ái = 0.5555555555 a2 = 0. a 3 = 0.5555555555
Isto posto, estamos com todos os dados requerid os pelo m é t o d o p a r a e labor a çã o de algoritmos numéricos para sol ução do p r o b l e m a de t or ção aqui proposto.
4. DESCRIÇÃO DA SOLUÇÃO C O M P U T A C ION A L DO P R O B L E M A
4.1 - Introdução
É simplesmente i mpr a tic á vel um p r o c e d i m e n t o manual, m e s m o c o m ajuda de calculadoras convencionais pr og r a m á v e i s par a a r é s o l u ção de u m p roblema pelo Mé t odo do Ele m e n t o Finito. Não apenas p e l a nec e ss i d a de de re so l v e r o si stema de equações ( 3 •31) , onde nos exera pios que serão apresentados visando obter bons resultados, v a r i a de 45 a ate 5 76 graus de liberdade por m a l h a Cigual número, de equa ç õ e s ) , afora as etapas antecedentes de:
1 - Obter as matrizes de "Rigidez" e "Carga" p a r a cada s u b d o m í n i o ãtravés de in te gr aç ão de cada compon e nte d e s t a s .
2 - M o n t a g e m das matrizes dos Elementos (Subdomínios) no s i s t e m a global de e q u a ç õ e s .
3 - Colocação das condições de contorno Crestrições ou vínculos do p r o b l e m a ) .
M esmo em malhas simples e com poucos graus de- liberdade, como aqui, u m p r o c e di me nt o deste tipo levaria dias, meses, e não se teria jamais a confia bi li da de de uma t éc n i c a co mp u t a c i o n a l através de algoritmos numéricos codificados.
4.2 - E s tr a tégia par a So lução do P rob l e m a ' Como o angulo de torção C.0) t a m b é m é d e s c o n h e c i d o • a p r i o ri, façamos a seguinte m uda n ç a de variável:
<j> = G 6 4> * ■ (4.1)
Substi tu in do agora no funcional, o p r o b l e m a fica r e d u z i d o inicialmente a:
V 2<t>* = -2 em R
<J>* = 0 e m C0 (contorno externo) (4.2) <J>* = ki* em C^ (contornos internos) , i = l,p
R e solvido o p ro b l e m a (4.2), o b tem -se todos os valores no ítf
dais de <}> e assi m pode-se d e t e r m i n a r a constante g e o m é t r i c a de rjL gidez (J) de cada secção, pois:
Tendo em vista (4.1), (4.3) fornece:
J = 2//'<(> dxdy + 2E k.*' A. (4.4
K . . . 1 1
1 = 1
Ou ainda, levando em conta (3.33) e (4.1), vem:
(4.5)
Onde :
Matriz - co luna de "carga" d o elem e n t o e do- p rob l ema dado pelas relações (4.2)
Matriz - linha dos "deslocamentos" do e l e m e n t o e do p r o b l e m a dado pelas re lações (4.2)
p - Numero de cavidades (furos) da secção
NE - Número de Ele m ent o s ( S u b d o m í n i o s ) da m a l h a
i - Valor constante de 4> sobre o co ntorn o da caví dade i
- A re a da cavidade (.furo) jL da secção
A g o r a através de (4.3), podemos cal cular o á ngu lo de t o r ção 0, ou seja:
Onde e G sao dados e J obtido po r
A etapa seguinte é a obt e nçã o das t e n s o e s . L evand o e m con ta (4.1), vem:
ex = M - a = ' G0 (4.7)
xz 3y XZ 3y
a =--51 -*■ 0 =-60 (4.8)
y z 3x y z 3x
em termos de valores ate então conhecidos, temos:
CT (Ç,n) = G0 ( Ç , n ) • (4.9)
xz 8y •
ay z U , n ) =-G0 .(^n). (4.10)
A última etapa é a obtenção da forma de e m p e n a m e n t o Y . Pa r tindo das relações C2.30,31) e levando e m conta (4.1), temos:
, . f i
y = /x ( M + y ) 3x , .> = / y ( _ Ü ‘ - x) 3y (4.11,12)
° 3y ° 3x
Por outro lado,
3x = — 3Ç + — 3n , 3y* = - ^ 3Ç + - ^ 3n (4.13,14) ■ 3 Ç 3n 3 Ç 3 ti Levando e m conta as r é l a ç o e s : X* , y = n i > — = 3Ç 3Ç e 3£ ' 3£ (4.15) i S . l B . j j t , â ï = M . x t
V
, 3n 3n 3ri 3n 3x 3x * 3y 3y ~eS u b s t i tu in do agora as relações (4.15) e m (4.11,12) , e con s i d e ra n d o ainda as formulas de integra ç ão Gauss i'ana pa ra domínios ’ u n idimensionais, a s r e l a ç õ e s (4.11,12) resultam: i j i , n ) = I ) H 1 = 1 3y e 3 Ç ~ e 1 I n.y"^ ) C - ^ L ) H . j=i 3y 3n e D Te<e.n)=:^ ‘1 = 1 3x T ^ í ê + !Ke > Cr f X e > H i3£ j=l 3x 3n 'e : Cíi n t ’T’) « • "lut» (4.16) (4.17)
Note-se que os limites de i nte graçã o em (4.11,12) são da dos no domínio e as relações (4.16) ou (4 .1 7 ), f o r n e c e m apenas a c o n t r ib u iç ã o do subdomínio (elemento) e para o v a l o r de ï. A s s i m por e x e mp l o para u m ponto n od al n do do mínio da .Figura 4.1.0., o va lor àe ï neste ponto, serã:
n
Yn U,ri) = 2 ^e .(C,n) e = l
(4 .18)
Onde são dados p o r (4.16) ou (4.17). Na escolha destas relações re comenda-se le va r e m conta em qual das direções a varia ção, e s p e r a d a de <(> é menor, o que levara a me lhores resultados.
Seria de certa forma difícil, e s t a b e l e c e r um a l g o r i t m o n u m é r i c o de geração de Y que servisse para q u a l q u e r tipo de malha. De vido a este fato, e studou-se algumas a l ternativas v isand o dar dire ta mente (sem superposição) o valor da forma de empenamento. A se guir e apresentada- uma destas altérnat-ivas e que foi usada e m al gumas malhas para obter uma pr i mè i r a a p roxi maç ão para ¥.
Partindo da 2- r elação de (4.11,12), temos
A
¥ = - x y - /y — 3y
S u b s t itu i ndo as relações (4.15) em (4.19) e . p o s t e r i o r m e n te a d i c i o n an do .(4.17) e dividindo p o r 2, temos: T(Ç,n) = - 4 - (N.ï|) + I ( 2 - ¾ -í;'- - N.J* ) ¿ e e i=1 9x e e ‘1!-
&
H i j=l. (Çi n t ,n) •E (2 + N . X t ) (|^. X t -)H. } , _ 3x *e 3x* *e ~ ~e Sn 3n J C í ’n i n t > (4.20) •y S IS T E M A R E T IL IN E O N O R M A L IZ A D O . (b)Figura 4.1 - M a p e a m e n t o p or elementos isoparamétri. c o s . (a)- sistema c u r v i l í n e o , (b)- s i¿ . tem a normalizado.
E m modelos elípticos, referen c iad os de m o d o c o n v e n c i o n a l , a va r iação de <f> e m relação a x é mais suave e (4.20) for nece re sultados r a z o á v e i s .
Vale s al ie nt a r entretanto, que o p r o c e d i m e n t o co rreto e c onvergente para o cálculo de f é o bti d o através de (4.18).
4.3 - Cálculo das Areas das Cavidades
Seja R um domínio plano m u l t i c o n e x o qualquer. A á rea re lativa a um furo genérico I , pode ser obt ida ap r o x i m a d a m e n t e p or conveniente soma das áreas dos arcos de parábolas formados p o r to
dos os elementos k que c o n t o r n a m o furo . Conhecidos os três p o n tos da face de'um ele mento genérico k que co nt o r n a o furo I ( F ig ur a 4.2), é u n ívoca a p a r á b o l a que con t ém estes p o n t o s , ou seja:
y = ax + b x + c i a i V = ax + b x + c -*•< 2 2 2 V = ax + bx + c 3 3 3 , (y - y )(x - X ) - (y - y )(x - x ) 1 J 3 1 2______ 1 2 1_____ 3 Cx2 - x Z)(y - y ) - C x ¿ - x z)(y - y )2 „ 2 b = 1 3 1 2 1____________ 2 1 c = y- - a x 2. - b x i i i Onde ; A = (x 2 i x 2 ) Cx 3 1 x ) - Cx .- 2 1 X ) ( x 2 - X 2 ) 3 1 2
F igura 4.2 - Es q uem a para cálculo das áreas das ca vidades de se cção multiconexa.
Por outro lado, a área cor r esp onden te a este arco de pa ra b o l a e
^ = /x '3 ydx = f ^ 3 C a x z + b x + c) dx
P x _ ■x J-X 3 ,
1
Agora, pe rc or re nd o- se a cavidade no sent ido horario, as a reas c or r es pondentes aos arcos de par á b o l a situados na parte supe r ior da cavidade sao positivas e as a baixo serão neg ativas (veja os limites de integração) . Po rt anto a soma al géb r i c a das relações(4.2'l) a ssi m calculadas, fornece a área desejada.
4.4 - D e sc rição do Programa DEPMOOl
4.4.1 - D e fi ni çã o dos Parâmetros Principais
N E LEM - Numero de elementos ou . subdomínios da m a l h a NDENO -1 Numero dos nós (nodos) por elemento
N G L • - Número de graus de liberdade por no (nodo) LEL - N úmero de graus de liberdade por elemento NK - N úmero de carregamentos
LRE - LEL * (LEL + 1)/2
LB - Largura m í n i m a da s e m i b a n d a de R
NC - NGL * (número total de nos do domín io mapeado) NCC - N úm er o de nos com condição de contorno
X ( N E L E M , N D E N O ) - Cada linha desta ma t r i z a r m a z e n a as a b c i £ sas de cada elemento, ordenadamente.
Y (N E L E M ,N D E N O ) - Cada linha desta ma t r i z a r m a z e n a as orde nadas de cada elemento, ordenadamente.
NF - Número de cavidades ou furos da secção transversal. NEL DF - Número de elementos que c o n t o r n a m as cavidades 1 ou
*s •
f u r o s . • ,
NNDUMF(NF) - Número de u m no do furo, I, I = 1, N F . R ( L B , N C ) - Matriz de rigidez global do domínio. F(NC,NK) - Matriz de carga global do domínio.
R E I ( L E L , L E L ) -Matriz q uad r a d a que arm a z e n a t e m p o r a r i a m e n t e a rigidez de cada elemento.
