Sobre a topologia no efeito Hall quântico: um passeio através da geometria diferencial e topologia

Gustavo Henrique da Silva

Sobre a topologia no efeito Hall quântico:

um passeio através da geometria diferencial e topologia

Uberlândia

2019

Gustavo Henrique da Silva

Sobre a topologia no efeito Hall quântico:

um passeio através da geometria diferencial e topologia

Universidade Federal de Uberlândia Instituto de Física

Orientador: Prof. Dr. Gerson J. Ferreira

Uberlândia

2019

Gustavo Henrique da Silva

Sobre a topologia no efeito Hall quântico:

um passeio através da geometria diferencial e topologia

Prof. Dr. Gerson J. Ferreira - UFU

Prof. Dr. Erick Piovesan - UFU

Prof. Dr. George Balster Martins - UFU

Uberlândia

2019

Agradecimentos

Agradeço, primeiramente a meus pais pelo apoio, seja financeiro, seja emocional ao longo dos anos, pois mesmo distantes sempre se preocuparam comigo. Um agradecimento mega-especial a minha avó Raimunda e meu avô Matias que não puderam me ver formar na Universi-dade, porém sempre me viram como um orgulho para a família. Tenho absoluta certeza que se eles pudessem estar aqui iam estar com brilhos nos olhos de tamanha alegria. As minhas irmãs Clarissa e Gabriela pelos momentos de descontrações, chateasses e brigas que sempre tínhamos nas férias de verão e de inverno, sempre é bom dar um pausa para se divertir! Agradeço aos meus tios de Uberlândia (Warlen e Elina) que no primeiro ano de graduação acolheram-me em sua residência. Enfim agradeço a toda minha família (tios, primos e avós);

Agradeço, a minha namorada Ana Paula pelo apoio durante a graduação. Obrigado por toda ajuda e incentivo que me deu e, ainda, por me proporcionar momentos inesquecíveis... aos meus amigos que fiz durante a graduação aos quais sempre discutíamos sobre física e matemática, e não posso deixar de esquecer do Pokémon Go que nos divertíamos depois do almoço. Desejo à vocês uma carreira brilhante pela frente. Também aos amigos da minha cidade natal: Obrigado pelo apoio, em especial, um grande obrigado ao Diego por ter me presenteado com o livro Mecânica Quântica moderna do J. Sakurai, que foi muito útil em minha graduação!

Agradeço também a Universidade Federal de Uberlândia (UFU), ao Instituto de Física (INFIS) com seu corpo docente que contribuiu grandiosamente em minha formação acadêmica. Em especial ao meu orientador Gerson J. Ferreira que além de um ótimo professor foi um ótimo orientador. Quero também deixar um agradecimento ao Prof. Dr. Marcel Novais, pois em minha opinião, a disciplina de Mecânica Clássica I lecionada pelo mesmo, fora a melhor disciplina que cursei em minha graduação pelo modo de como ele proporcionava a turma uma maneria bela de refletir sobre as teorias da física. Por último e não menos importante, quero deixar um agradecimento à professora Adriana Rodrigues da faculdade de matemática pela ajuda em tópicos de Geometria Diferencial.

Mirror, mirror of mine, unlock of my shadows Curious I for visiting the dungeon of the ancient memories of a world poet, are numbers and infites, countless ... (Joinster G.) “Os encantos dessa sublime ciência se revelam apenas àqueles que tem coragem de irem a fundo nela.” (Carl F. Gauss)

Resumo

Se tivermos um sistema em que o autoestado do hamiltoniano é não degenerado, após uma evolução adiabática cíclica ele retornará ao seu estado inicial acrescido de uma fase devido a dinâmica do sistema e ainda também devido ao caminho traçado no espaço R, onde R é um espaço de parâmetros que retém memória de sua trajetória referente ao sistema de interesse. Se considerarmos essa trajetória uma curva fechada C, podemos afirmar que a fase geométrica é o fluxo de um campo que atravessa uma determinada superfície limitada por C e a fase de Berry pode ser reescrita usando o teorema de Stokes. Por fim temos ainda uma manifestação local de invariância das propriedades geométricas das funções de onda no espaço de parâmetros que é denominada curvatura de Berry. No contexto de semicondutores, estes desenvolvimentos mudaram nossa concepção da teoria de estrutura de bandas usual, que agora incorpora natural-mente questões da topologia das relações de dispersão e de seus autoestados. Na matemática, a topologia estuda propriedades que não são afetadas por deformações contínuas através de uma variedade topológica M e como estas propriedades de certa forma são constantes por transformações contínuas, podemos dizer que estas são invariantes topológicos. Em particular, Thouless, Kohmoto, Nightingale, den Nijs mostraram que na presença de campos magnéticos intensos, a quantização da condutividade do efeito Hall quântico pode ser compreendida em termos de um invariante topológico, o número de Chern, que é calculado através da integral da curvatura de Berry ao longo da zona de Brillouin e para poder calcular está integrar usa-se um teorema belíssimo da geometria diferencial que é sobretudo devido inicialmente a Gauss e Bonnet, e posteriormente, ao chinês Chern. Assim, pelo fato desse teorema conectar a geometria de uma superfície com sua topologia, conseguimos tirar informações da mesma simplesmente olhando sua topologia, a partir de uma grandeza denominada genus g, que é invariante por transformações contínuas. O genus que de modo grosseiro é o número de buracos contidos em uma superfície S fechada.

Palavras-Chave: Topologia. Geometria diferencial. Fase de Berry. Efeito Hall quântico.

Abstract

If we have a system where the Hamiltonian’s self-state is non-degenerate, after a cyclic adiabatic evolution it will return to its initial state plus a phase. This is due to the dynamics of the system and also due to the path traced in R, where R is parameter space that retains memory of its path referring to the system of interest. If we consider this trajectory a closed curve C, we can say that geometric phase is the flux of a field that crosses a given surface bounded by C and Berry’s phase can be rewritten using Stokes’s theorem. Finally we have a local manifestation of invariance of the properties of wave functions in the parameter space which is called Berry curvature. In the context of semiconductors, these developments have changed our conception of the usual band structure theory, which now naturally incorporates issues of topology, dispersion relations, and their self-states. In mathematics, topology studies properties that are not affected by continuous deformations through a topological variety M, and since these properties are somewhat constant by continuous transformations we can say that these are topological invariants.In particular, Thouless, Kohmoto, Nightingale, den Nijs, they showed that in the presence of intense magnetic fields, the quantization oh the quantum Hall conductivity can be understood in terms of a topological invariant, the Chern number; which is calculated by integral of the Berry curvature along the Brillouin zone, and to calculate this integral a beautiful differential theorem of geometry is used, which is primarily due initially to Gauss and Bonnet, and later to the Chinese Chern. Thus, because this theorem connects the geometry of a surface with its topology, we can derive information from it simply by looking at its topology, from a magnitude called genus g, which is invariant by continuous transformations. The genus which is roughly the number of holes contained in a closed surface.

Keywords: Topology. Diferential Geometry. Berry phase. Quantum Hall effect. Topological

Lista de Figuras

Figura 1 – Exemplo de transformações contínuas. Aqui uma xícara pode topologica-mente se transformar em um donuts sem a necessidade de rasgar ou colar a mesma[1]. . . 18

Figura 2 – Variedades diferenciáveis. Aqui temos uma variedade e estamos tomando cartas locais em R2_{a partir das aplicações f e g}[2]_{. . . . 21}

Figura 3 – Essa figura representa uma esfera S2_{composta por triângulos esféricos. As}

linhas onde estão assinaladas com setas representam curvas geodésicas[3] . 23

Figura 4 – Aqui temos triângulos formando uma esfera que diferentemente da figura 3, possuem triângulos com ângulos internos com soma igual a π. Denominamos a superfície resultante dessa junção de triângulos esféricos[4]. . . 24

Figura 5 – Campos normais em um triângulo geodésico ideal ∆0_{. Aqui temos}

represen-tados n := η e C := ζ. . . 28

Figura 6 – Figura que mostra algumas superfícies e suas respectivas curvaturas princi-pais, sendo que a única superfície que possui uma curvatura negativa é a sela

[5]_{. . . 31}

Figura 7 – Representação do teorema de Gaus-Bonnet em superfícies fechadas de genus g= 0. . . 32

Figura 8 – Representação da invariância topologica do genus. [6] . . . 32

Figura 9 – Figura mostrando a relação entre a esfera de fermi e o plot ε(kF) × KF [7]. . 37

Sumário

2.3 Teorema Elegantissimum de Gauss . . . 21

2.4 Teorema Egregium de Gauss . . . 30

2.5 Teorema de Gauss-Bonnet . . . 31

3 FUNDAMENTOS DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO . . . . 33

3.1 Teorema de Bloch. . . 33

3.2 Rede Recíproca . . . 34

3.3 Movimento dos elétrons na presença de campos magnéticos . . . 36

3.4 Efeito Hall . . . 39

4 FUNDAMENTOS DO EFEITO HALL QUÂNTICO . . . . 43

4.1 Aproximação adiabática . . . 43

4.2 A fase de Berry . . . 47

4.3 Fase de Berry para um sistema de Spin’s . . . 49

4.4 Efeito Hall quântico . . . 52

4.4.1 Níveis de Landau. . . 52

4.4.2 Estados de Bloch na presença de um campo magnético uniforme . . . 57

4.4.3 Quantização da condutância HallσH . . . 59

4.4.4 Chern number . . . 63

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . 65

15

1 INTRODUÇÃO

A fundamentação teórica da descoberta das transições de fase e fases topológicas da matéria renderam recentemente o prêmio Nobel de 2016 a David Thouless, Duncan Haldane e Mi-chael Kosterlitz[8,9]. No contexto de semicondutores, estes desenvolvimentos mudaram nossa concepção da teoria de estrutura de bandas usual, que agora incorpora naturalmente questões da topologia das relações de dispersão e de seus autoestados. Na matemática, a topologia estuda propriedades que não são afetadas por deformações contínuas através de uma variedade algébrica e como estas propriedades de certa forma são constantes podemos dizer que elas são invariantes topológicos . Em particular[10] mostraram que na presença de campos magnéticos intensos, a quantização da condutividade do efeito Hall quântico (QHE) pode ser compreendida em termos de um invariante topológico, o número de Chern, que é calculado através da integral da curvatura de Berry. Mais recentemente, mostrou-se que a polarização elétrica [11] em um isolante também é definida pela curvatura de Berry e define um invariante topológico Z2[12], que indica se existem ou não estados de borda topologicamente protegidos pelas simetrias do material.

A fase de Berry foi inicialmente proposta em 1984 pelo próprio Berry em seu artigo “Quantal phase factors accompanying adiabatic changes” [13]. Neste trabalho ele argumenta que se tivermos um sistema em que o autoestado do hamiltoniano é não degenerado, após uma evolução cíclica ele retornará ao seu estado inicial acrescido de uma fase devido a dinâmica do sistema e ainda também devido ao caminho traçado no espaço X, onde X é um espaço de parâmetros, ou seja, que retém memória de sua trajetória em X. No entanto 1983, Berry já tinha publicado o artigo “Holonomy, the Quantum Adiabatic Theorem, and Berry’s Phase” [14,15], onde ele fornece uma interpretação sobre essa contribuição geométrica.

O efeito Hall é um dos grandes resultados experimentais da física no século XIX. Este feito devido à Edwin Hall pode ser explicado teoricamente através da teoria eletromagnética clássica e dos modelos de elétrons livres que a sociedade cientifica daquela época continha [16]. Em decorrer das ferramentas que os cientistas possuíam naquela época, eles conseguiam calcular certas grandezas que surgiam quando um material metálico, por exemplo, uma folha metálica estava sujeita a um campo elétrico contido num plano transversal e um campo magnético perpendicular a este plano. Esta folha por se metálica possuí portadores de carga (um exemplo bem simples de portadores de carga são os elétrons) e que estes sob influência da forca de Lorentz, ao se mover, irão induzir uma diferença de potencial na folha que é denominada de

potencial Hall. A partir do potencial Hall podemos determinar outras grandezas, dentre estas

uma muito interessante que é a condutância hall.

Um século depois da descoberta do efeito Hall por Edwin Hall, klaus von klitzing,G. e colaboradores [17] mostraram que ao manter uma amostra bidimensional de elétrons a baixas

16 Capítulo 1. INTRODUÇÃO

temperaturas sob influência de um campo magnético intenso a condutividade Hall não apre-sentava um comportamento linear com a variação campo magnético como esperado no efeito Hall e sim era quantizada em plateaus da forma de múltiplos inteiros da quantidade e2_{/~. Essa} descoberta rendeu a Von Klitzing o prêmio nobel do ano de 1985. Na época a comunidade científica se dedicou a buscar explicações teóricas para o assim chamado efeito Hall quântico

in-teiro. Então em 1981 Laughlin[18]propôs espertamente um experimento onde fora introduzido

alguns conceitos de topologia que o levou a conjecturar que estes plateaus da condutividade Hall podiam ser explicados em termos das fases geométricas e da invariância de Gauge, isto é, considerar que os plateaus fazem parte de um invariante topológico do sistema, que no caso era o múltiplo inteiro n denominados denominado número de Chern.

Os números de Chern são números inteiros usados para distinguir estruturas invariantes em uma variedade topológica M[19]. Eles são em homenagem ao matemático chinês Shiing-Shen

Chern(1911-2004) que realizou contribuições importantes na área da geometria diferencial e

da topologia. A curvatura de Berry é calculada em um espaço de parâmetros R e este, por sua vez, pode ser considerado uma variedade M. Ao olhar para um teorema muito belo da geometria diferencial devido a Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) e a Pierre Ossian Bonnet (1819-1892) observa-se uma relação intrínseca com a curvatura de uma dada superfície com seu invariante topológico que a característica de Euler χ. Chern, porém conseguiu relacionar o inteiro n ao χ e mostrou que n é um invariante topológico[20].

Neste trabalho decidimos investigar como surge o invariante topológico número de Chern n no QHE. As motivações a cerca do tema escolhido como propósito de estudo se baseia no fato de que não há textos, em português principalmente, na literatura que falam sobre o tema de uma maneira que os alunos da graduação possam ler de forma fácil. Então introduzimos conceitos, com um ponto de vista pedagógico, para que os estudantes de graduação que se interessarem pelo tema em questão, possam ler com um certo grau de facilidade. Outro ponto que me motivou bastante a cerca do assunto é o fato de introduzir de maneira rigorosa certos conceitos matemá-ticos que são de extrema relevância para o entendimento de geometria diferencial e topologia geral que são usados na física, entretanto muitas vezes passam despercebidos pelos físicos no dia a dia. O trabalho foi divido em três partes que se enquadram em um desenvolvimento teórico que são: i. Fundamentos matemáticos; ii. Fundamentos de física do estado sólido; iii. Fundamentos do efeito Hall quântico e por fim temos a conclusão e referências.

Sugerimos ao estudante que tenha como foco uma leitura rápida sobre o estudo do efeito Hall quântico pular o capítulo 2, pois este tem um enfoque bastante matemático.

17

2 Fundamentos Matemáticos

2.1

Topologia

2.1.1

Espaço topológico

Quando estamos estudando topologia consideramos certos conjuntos que permitem a noção de continuidade. Isso começou a partir do estudo dos conjuntos abertos contidos em Rn_{, aos}

quais podemos introduzir a noção de métrica. Para exemplificar essa ideia de maneira simples, vamos considerar o plano R2_{tomar uma circunferência S}1_{centrada na origem (0,0) da forma}

S1= {(x, y) ∈ R2 : d((x, y),(0,0)) = ε}, (2.1)

onde como sabemos de geometria analítica que d((x, y),(0,0)) = p

x2+ y2. Aqui temos que d pode ser considerada uma métrica para R2_.

Definição 2.1.1 Sejam M um conjunto não vazio, d : M × M −→ R é uma métrica em M se, e somente se, para todo x, y e z ∈ M as seguintes propriedades são satisfeitas:

1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; 2. d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ M;

3. d(x, y) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular); e o par (M, d) é denominado espaço métrico.

Agora que temos noção do que é um espaço métrico podemos definir bolas abertas.

Definição 2.1.2 Uma bola aberta em um espaço métrico M com centro no ponto y e raio ε é dada por B(x, ε) = {y ∈ M : d(x, y) < ε}.

Na definição acima usamos o fato de ser < ε e não ≤ ε, pois ao considerar o segundo caso estaríamos impondo que a bola possui uma fronteira, denominada por bordo ∂M e isso implicaria que a bola seria fechada e não aberta. A partir dessa definição podemos notar que toda bola é aberta, pois temos que toda bola B(x0, ε0) ⊂ S1, onde S1 é circulo contido em R2. Uma consequência da definição de bolas abertas é que em um espaço métrico podemos dizer que um conjunto U é aberto se para cada ponto p ∈ U temos que p é centro de uma bola aberta contida em M. Essas bolas abertas formam um base para (M, d) pelo fato que U = ∪iBi(x, ε).

A importância dos espaços topológicos se dá no fato que na física sempre queremos estudar coisas que são localmente euclidianas, mesmo que estas sejam m-dimensionais. Podemos ver um espaço topológico como a generalização de um espaço métrico e isso só torna fundamental

18 Capítulo 2. Fundamentos Matemáticos

Figura 1 – Exemplo de transformações contínuas. Aqui uma xícara pode topologicamente se transformar em um donuts sem a necessidade de rasgar ou colar a mesma[1].

para noções dos conceitos de continuidade e convergência. Em topologia queremos fixar um determinado espaço topológico e estudar suas propriedades que não mudam por deformações contínuas e ao estudar esses espaços temos que ter em mente que vamos analisar também os seus subconjuntos, também conhecidos como “figuras”. Por deformações contínuas intuitivamente estamos nos referindo aquelas transformações que não “cortam” ou “colam” um determinado ponto a um subconjunto de uma figura, um exemplo disso é ao olharmos para uma esfera e tomarmos um ponto p que oscula um subconjunto A. Se partimos a esfera em dois hemisférios de uma maneira bem precisa, tal que o p se separe de A, imediatamente vemos que essa transformação não é contínua, pois antes havia apenas uma parte que era a esfera e depois observamos duas partes que são os hemisférios. Por outro lado o caso oposto que seria colar dois hemisférios com o propósito de se obter uma esfera também não é uma transformação contínua pelo mesmo argumento.

Para introduzir uma topologia, ou seja, uma possibilidade de saber quando um ponto está colado a um conjunto, temos que introduzir uma operação que nos diz quando um ponto está grudado a um subconjunto A. Dado um conjunto X podemos definir um conjunto formado pelos subconjuntos de X denominado partes de X denotado por P(X). A partir dessa definição podemos introduzir uma operação ϕ : P(X) → P(X) que dado um conjunto X nos informa qual é a família de pontos A colados a A. A partir disso já podemos ter uma breve noção de continuidade, pois de fato uma transformação f : X → Y é continua se, e somente se, ela manda os pontos os pontos colados a A a imagem dos pontos grudados a A, que matematicamente quer dizer que f (A) = f (A).

Existem certas propriedades que são axiomas e queremos que valha para a operação intro-duzida acima e que valem a pena serem enunciarmos:

1. A primeira delas é que não há nenhum ponto grudado no conjunto dos vazios œ, sendo assim temos que œ = œ;

2.1. Topologia 19

3. Se um ponto está colado aos pontos que estão colados a A, logo ele está colado a A também, ou seja A = A;

4. Dados dois conjuntos A e B, temos que p ∈ A ou p ∈ B e disso decorre que A ∪ B = A∪B;

Definição 2.1.3 Seja o conjunto C eτ o subconjunto formado pelas partes de C, denominado

P(C), entãoτ é uma topologia em C se é satisfaz as seguintes propriedades

1. œ,C ∈ τ;

2. Uλ ∈τ, λ ∈ Λ =⇒ ∪λ∈ΛUλ ∈ τ;

3. Uλ ∈τ, 1 < λ < m =⇒ ∩m_λ=1Uλ ∈τ;

O item 1 da definição acima nos diz que para ter uma topologia no conjunto C, o vazio e o próprio conjunto C devem pertencer a topologia τ. Com os itens 2 e 3 queremos dizer que a união de abertos são abertos e que a interseção de abertos são abertos.

Notemos que τ é composto por uma família de abertos, logo o par (X, τ) é dito espaço topológico, mas para abreviar notação, usualmente denotaremos X por espaço topológico[21]. Quando for o caso de usar alguma outra letra para denotar X iremos enfatizar previamente.

2.1.2

Invariantes Topológicos

Invariantes topológicos são propriedades de um determinado espaço topológico que é pre-servada por homeomorfismos. Dentre estas temos a conexividade, compacidade e o número de componentes conexas. Uma função f pode ser dita um invariante topológico se os objetos f (x) e g(y) forem isomorfos quando X e Y forem homeomorfos.

Definição 2.1.4 Sejam X e M espaços topológicos e um aberto U ⊂ M. Uma função f : X −→

M é dita contínua se a imagem inversa de qualquer aberto F−1(U) é aberta em X. Dizemos

ainda que f é um homeomorfismo se f é contínua, bijetora e possui inversa contínua.

Definição 2.1.5 Um espaço topológico X é conexo por caminhos se dados p, q ∈ X, existe um caminho em X conectando p a q. Um caminho em X é definido por uma função contínua f

∈ I = [0,1].

Para exemplificar vamos mostrar que a bola aberta B(x, ε) em Rn _{é homeomorfa ao R}n_{. Se}

tomarmos quaisquer bolas contidas em Rn_{, temos que elas são homeomorfas entre si, logo basta}

mostrar que a bola B(0,1) é homeomorfa a B(x, ε). Seja função f : B(0,1) −→ Rn_{definida por}

f (x)= x

20 Capítulo 2. Fundamentos Matemáticos

como f é racional ela possui bijeção contínua. Sua inversa g : Rn _{−→ B(0,1) é dada por}

g(y)= y

1 + ||y|| (2.3)

que é contínua e bijetora (pois de fato g(y) também é racional).

Como h : B(x, ε) −→ B(0,1), que é dada por h(y) = εy − x é um homeomorfismo, então qualquer bola em Rn _{é homeomorfa à R}n_.

Seja X um espaço topológico e x0 ∈ X. Podemos associar a esse espaço um grupo, denominado por grupo fundamental, que se constitui das classes de equivalência entre laços em X com base em x₀. Mais adiante comentaremos brevemente sobres o que são esses laços. O grupo fundamental pode ser considerado um invariante topológico pelo fato que se dois espaços Xe Y são homeomorfos, seus grupos fundamentais serão isomorfos.

Definição 2.1.6 (Laço) Sejam X um espaço topológico e x₀ um ponto fixo de X. Um laço é uma função contínuaλ : I = [0,1] −→ X, tal que λ(0) = λ(1) = x₀. E vamos denotarω(X, x₀)

o conjunto de todo sos laços {λ : I −→ X}.

Em topologia queremos saber se um espaço pode ser continuamente deformado e para isso associamos o conceito de homotopia. Existe um teorema que diz que a relação de homotopia é também uma relação de equivalência e isso se torna importante para enfatizar que os grupos homotópicos são invariantes topológicos[22].

O conjunto das classes de homotopia é um número inteiro e em um caminho fechado mede o números de voltas em uma determinada superfície. Esse conjunto não forma um grupo segundo a operação produto entre caminhos definida por ∗, pois o produto entre duas classes não está sempre bem definido[23,22]. Por outro lado se tomarmos um ponto base fixo x0em X e olharmos apenas para os caminhos que começam e terminam nesse ponto base fixado, temos que este laço irá formar um grupo que pode satisfazer a operação ∗, que é grupo fundamental, daí está a importância de definirmos a função laço.

Uma propriedade bem interessante do grupo fundamental é que ele está relacionado com a geometria das variedades topológicas e a está conexão entre topologia e geometria é atribuída à característica de Euler, a qual vamos comentar mais adiante.

2.2

Variedades Diferenciáveis

Definições para construir um alicerce para compreensão de variedades diferenciáveis:

Definição 2.2.1 Seja C um espaço topológico eτ ⊂ P(C), se diz que C é Hausdoff (T₂) se para

todo p, q ∈ C, onde p , q , ∃ Up, Uq ∈τ, tal que p ∈ Up, q ∈ Uq =⇒ Up∩ Uq = œ.

Definição 2.2.2 Uma base de (C, τ) é uma coleção B = {Up, xp} e sendo Up ∈ τ, tal que para

todo U ∈τ existe um subconjunto Λ0 ∈ Λ tal que U= ∪ p∈Λ0Up.

2.3. Teorema Elegantissimum de Gauss 21 Definição 2.2.3 C é localmente euclidiano se para p ∈ C existe U ∈ τ, onde p ∈ U e existe

uma função ϕ : U → ϕ(U) ⊂ Rn, tal que ϕ(U) é um aberto de Rn e ϕ : U → ϕ(U) é um homeomorfismo.

Definição 2.2.4 Uma variedade topológica M é um espaço topológico C tal que: M é Hausdoff, possui uma base enumerável e é localmente euclidiano.

Definição 2.2.5 Dizemos que A é um atlas maximal se para todo ϕ : U → ϕ(U) ⊂ Rnfor um homeomorfismo, tal que ϕv ∈ A, tal que V ∩ U = W , œ −→ ϕv ◦ϕ−1

 _ϕ (w),ϕ ◦ ϕ −1 v  _ϕ (w) Com base nestas variedades topológicas, definimos as variedades diferenciáveis[24,25]:

Definição 2.2.6 Uma variedade diferencial é uma variedade topológica + um Atlas maximal.

Figura 2 – Variedades diferenciáveis. Aqui temos uma variedade e estamos tomando cartas locais em R2_{a partir das aplicações f e g}[2]_.

2.3

Teorema Elegantissimum de Gauss

Existem dois resultados clássicos na geometria elementar que são bastante poupáveis para até três dimensões. Desde o ensino médio aprendemos nas aulas de matemática que a soma dos ângulos internos de um triângulo devem ser 180◦_{ou π. O outro resultado, que não pode ser tão} óbvio, é para um triângulo contido num plano S2 _{onde seus lados são comprimentos de arcos} a soma dos ângulos internos devem ser maior π. Em decorrer destes resultados podemos nos questionar sobre um relação direta que nos de uma informação sobre os ângulos de um triângulo geodésico ∆. Gauss foi um gênio da matemática e ao se deparar com o problema sugeriu a seguinte relação ∫ ∆ K =Õ i θi−π . (2.4)

22 Capítulo 2. Fundamentos Matemáticos

A integral de K é basicamente a integral de uma função contínua e limitada definida sobre um conjunto j-mensurável R ⊂ S. Quando R está contido numa vizinhança X(U), podemos definir

∫ R f = ∫ X−1_(R) ( f ◦ X)|| Xu∧ Xv|| du dv, (2.5)

Mas para o caso geral podemos fazer um j-decomposição dessa integral, ou seja ∫ R f =Õ i ∫ Ri f . (2.6)

Voltando aos resultados clássicos que já introduzimos, podemos perceber que se estivermos no plano S, então K = 0 e se estivermos em S2_{teremos que K = 1. Sendo assim a partir da fórmula} introduzida por Gauss podemos obter para o primeiro caso Íiθi = π e para o segundo caso Í

iθi = π + µ(∆). Portanto a fórmula de Gauss generaliza de forma precisa a noção da soma dos ângulos internos de um superfície S ⊂ Rn_.

Antes de introduzirmos o teorema elegantissimum de Gauss vamos introduzir o conceito de superfície regulares, de geodésicas e triângulos geodésicos.

Definição 2.3.1 Uma superfície é denominada regular S ⊂ R3 se para todo p ∈ S, existe uma vizinhança V de p em R3e uma aplicação x: U ⊂ R2→ V ∩ S tais que:

1. x é um homeomorfismo diferenciável;

2. dxq : R2→ R2é biunívoca para todo todo q ∈ U;

Definição 2.3.2 (Geodésica) Seja γ : I ⊂ R → S uma curva parametrizada e diferenciável contida em S, temos que γ é denominada uma geodésica parametrizada se a componente tangencial de seu vetor aceleração for nula, isto é, para todo t ∈ I,γ00(t) é ortogonal ao plano

tangente TpS, onde p= γ(t). Disto, uma curva regular C ⊂ S é chamada de geodésica se para

cada ponto p, encontramos uma parametrização local de C em p, tal que possamos escrever

γ : I ⊂ R → C ⊂ S.

Na geometria euclidiana temos que a menor distância de um ponto p a um ponto q é uma reta, a qual defini-se essa distância a partir da métrica euclidiana e obtemos d = |p

x2+ y2|. Em geometria diferencial geralmente se é estudado superfícies a qual esta definição de distância não se aplica. Podemos observar isso ao pegarmos dois pontos equidistantes sobre a casca de uma esfera. Ao ligarmos os dois pontos, temos que a menor distância entre eles não poderá ser uma reta, pois para ser uma curva reta teríamos que cortar a esfera em um plano, logo a menor distância será uma curvatura parametrizada por um comprimento de arco.

Definição 2.3.3 (Triângulo geodésico) Um triângulo geodésico contido em uma superfície re-gular S é um subconjunto ∆ de S homeomorfo a bola fechada Br(ε) = {x, y ∈ R2: x2+ y2 ≤ ε}

2.3. Teorema Elegantissimum de Gauss 23

contida em R2 e seu bordo∂∆ é o traço de uma curva contínua γ : I ⊂ R → S que goza das seguintes propriedades:

1. I = [a₀, a₁] ∪ [a₁, a₂] ∪ [a₂, a₃] onde a₀ < a₁< a₁ < a₂ ∈ R;

2. γ(a₀)= γ(a₃);

3. γ|[a₀,a₃) é injetiva;

4. para i = 1,2,3 temos que γ_ai−1, aié uma curva geodésica de S que podemos tomar um

intervalo estendido pori > 0, da forma que I = (ai−1−i, ai+ i) de moda que os vetores

tangentes a essas curvas em um determinado ponto estão bem definidos.

Na figura 3podemos observar uma superfície esférica resultante da reunião de triângulos geodésicos ideais compostos de curvas geodésicas. Já na figura4temos uma superfície resultante da reunião de triângulos aos quais estamos familiarizadas desde o ensino primário. Existe uma certa categoria de triângulos denotados por triângulo geodésicos ideais. Vamos desenvolver o teorema em torno desta classe de triângulos.

Figura 3 – Essa figura representa uma esfera S2 _{composta por triângulos esféricos. As linhas} onde estão assinaladas com setas representam curvas geodésicas[3]

.

Definição 2.3.4 (Triângulo geodésico ideal ∆) Um triângulo é dito geodésico ideal ∆ de uma superfície regular S se ele está contido na intersecção de bolas geodésicas com os centros em seus vértices.

Pelo fato deste estar contido numa bola geodésica, então ele está contido numa vizinhança parametrizada X(U) ⊂ S e da condição que X−1_{(U) ⊂ S é homeomorfa a bola aberta em R}2

24 Capítulo 2. Fundamentos Matemáticos

Figura 4 – Aqui temos triângulos formando uma esfera que diferentemente da figura3, possuem triângulos com ângulos internos com soma igual a π. Denominamos a superfície resultante dessa junção de triângulos esféricos[4].

Lemma .1 Sejam ∆ triângulos geodésicos ideais de uma superfície regular S e p um vértice de

∆. Então para todo ponto q oposto do lado de ∆ a p existe uma geodésica radial de p a q a qual está contida em ∆.

Demonstração 1 Seja γ : [a, b] → S uma geodésica do lado oposto a p ⊂ ∆. Podemos introduzir uma parametrização local em um sistema de coordenadas polares de forma X(U) :

U ⊂ R2 → S tal que X(U) = X(ρ, θ) = e_pρω(θ). Como queremos mostrar a existência de uma geodésica radial devemos levar em consideração que ∆ − {p} ⊂ X(U). Tomando em um uma curvaα(s) = (ρ(s), θ(s)) = X−1(X(α(s))) = X−1(γ(s)). Então para todo s ∈ (a, b), existe uma

derivada deγ(s) que podemos escrever como

γ0

(s) = X(ρ0(s)( ˜ρ(s), ˜θ(s)) + θ0(s)( ˜ρ(s), ˜θ(s)) (2.7) = Xρ(ρ0(s)( ˜ρ(s), ˜θ(s))) + Xθ(θ0(s)( ˜ρ(s), ˜θ(s))) . (2.8)

A aplicação radial Xρque surge da derivada deγ(s) é o vetor velocidade radial da geodésica

que cola p aγ(s) no ponto γ(s). Vale ressaltar que geodésicas se interceptam transversalmente. Logo o vetor velocidadeα(s) nunca é horizontal, o que explica que sua trajetória é uma função do tipoρ = ρ(θ) ∈ Ia,b = [θ(a), θ(b)).

A partir dessas considerações podemos observar que X−1(∆) é a região de U delimitada

pelo intervalo Ia,btendo como função ρ(θ) e ainda, restrita as curvas horizontais θ(s) = θ(a) e

θ(s) = θ(b), com s ∈ [a, b]. Então para toda q = γ(s0) com s0 ∈ [a, b], existe um θ0localizado

entreθaeθbtal que podemos escrever q = X(ρ(θ0), θ0). E além disso temos queρ está restrito

a variar até ummax θ₀, sendo assim ρ ∈ [0, ρ(θ)] e disso tiramos (ρ, θ₀) ∈ X−1, que implica a existência de uma geodésica radial

ρ → X(ρ, θ₀) com0 ≤ ρ ≤ ρ(θ₀) (2.9)

2.3. Teorema Elegantissimum de Gauss 25 Lemma .2 Seja ∆ um triângulo ideal em S com vértices pi, onde i= 1,2,3. Suponha que existe

a sequência (qn)n∈Nsobre o lado p1p3, tal que qn→ p1. Então denotando ∆n ⊂ ∆ o triângulo

geodésico com os vértices p₁, p₂, qnpossua

1. p₁ ˆp₂qn→0

2. p₂ ˆqnp3→ p1

3. µ(∆n) →0

Demonstração 2 Denotando porγwa geodésica contida na superfície regular que tem origem

a partir de p₂ com velocidade w ∈ Tp₂S. Existe um  e um δ, ambos positivos , tal que a

aplicação

ϕ(t, w) = γw(t), |t| < , ||w| < δ (2.10)

está bem definida e ainda é diferenciável ao longo do intervalo (−, ) ⊂ Bδ. Aqui Bδ é a bola geodésica de raio δ contida no plano tangente a superfície regular S. Temos que por hipótese que ∆ está contido numa bola geodésica de S com centro em p₂, sendo assim para todo n ∈ N existem tn ∈ (−, ) e wn∈ Bδ, tais que:

qn = γwn(t)= ϕ(t, w) . (2.11)

Uma vez que tne wnsão sequências limitadas, podemos dizer que (Tn, wn) → (t0, w0). Vamos

nos apoderar desse fato e de queϕ é contínua e limitada, logo podemos escrever

γw₀ = ϕ(t0, w0)= lim

n→∞(Tn, wn)= limn→∞qn= p1. (2.12)

Em particular temos que p₁ ˆqnp2deve ser menor que ângulo formado por^(wn, w0), sendo assim

podemos aplicar o limite

lim

n→∞p1 ˆqnp2= limn→∞^(wn, w0)= ^(w0, w0)= 0 , (2.13)

logo provamos o item i.

Para cada n ∈ N vamos obter um geodésicaγwn(t) = expp₂{twn}, onde t ∈ (−, ). Então γ0

wn(tn)= (d/dtn)expp2{twn} = wnexpp₂{tnwn}, o que implica ao tomarmos o limite temos lim

n→∞γ 0

wn(tn)= lim_n→∞wnexpp2{tnwn} = w0expp₂{t0wo} = γ_w0₀(t0). (2.14)

Considerando a geodésica de S que liga p₁a p₃denotada porγ : I ⊂ R → S, onde γ(0) = p₁, temos que qn = γ(sn) e que sn é uma sequência limitada e seu limite tende a 0. Por fim a

igualdade p₂ ˆqnp3= ^(−γ0wn(tn), γ

0_(s

n)) é válida para todo n ∈ N, sendo assim lim n→∞p2ˆqnp3 = ^(−γ 0 w₀(t0), γ 0_{(0)) = ˆp} 1 (2.15)

26 Capítulo 2. Fundamentos Matemáticos

e assim prova-se o item ii.

Falta ainda provarmos o item iii. do nosso lema. Para isso vamos fazer uma aplicação inversa em um triângulo geodésica ideal que está contido no plano tangente de S, devido a isso

∆n será levado a um compacto Ωn = exp−p₂1(∆n) ⊂ Tp₂S que claramente é limitado por uma

curva Cn, pois pegamos apenas triângulo geodésico ideal e não toda a superfície S. Vamos

considerar queθn = p1ˆp2qn e tomar um ponto an ∈ Cn, tal que ||an|| = maxω∈Cn||w||. Vale

ressaltar que o compacto está contido em um setor circular Θ que pertence ao espaço tangente de S, ou seja

Ωn ⊂ Θn ∈ Tp₂S (2.16)

e tem raio igual a ||an|| e ânguloθ. Podemos ver que

µ(Ωn) ≤ µ(Θn) (2.17)

e como sabemos calcular o lado direito da desigualdade dado por:

µ(Θn)= ∫ Θn K = θn||an|| 2 , (2.18) portanto obtemos µ(Ωn) ≤ µ(Θn)= θn||an|| 2 (2.19)

e comoµ(Θn) é limitada superiormente por µ(Θn), podemos aplicar o limite quando n vai para

o infinito emµ(Θn) e saber o que acontece comµ(Θn). Devido ao fato de ||an|| ser um sequência

limitada como denotamos anteriormente, logolimn→∞||an||= 0.

Agora para terminarmos nossa prova vamos fazer uma parametrização local X : U ⊂ R2→ S, pois queremos obterµ(∆n), tal que ∆ ⊂ X(U) e definindo c= supΩn|| Xu∧ Xv||, temos então

que µ(∆n) = ∫ Ωn || Xu∧ Xv||dudv ≤ supΩn|| Xu∧ Xv||µ(Ωn)= cµ(Ωn), (2.20) ∴ _n→∞lim µ(∆n)= 0 . (2.21)

o que prova o item iii. e por fim o lema.

Por fim vamos enunciar uma proposição que será bastante útil na demonstração do teorema que será enunciado a seguir, no entanto não a demonstraremos, mas ela pode ser vista em[26].

Proposição 1 (Existência da função ângulo diferenciável) Seja S uma superfície regular ori-entável, ou seja, temos a existência de um campo normal não nulo N. Consideremos também

γ : I → V ⊂ S uma geodésica de S que é parametrizada em relação ao comprimento de arco

eζ, η : R3campos diferenciáveis tangentes a superfície S, tais que para cada ponto p ∈⊂ V , temos que {ζ(p), η(p), N(p)}, onde N(p) é um campo normal a S, formam uma base ortonormal e com orientação positiva em TpS. Existe então uma função diferenciávelθ : I → R2

2.3. Teorema Elegantissimum de Gauss 27

γ0_{= cos θ(s)ζ(s) + sin θ(s)η(s) ∀ s ∈ I (2.22)}

e toda função θ que satisfaça a equação acima, satisfaz também

θ0_{= hζ,η}0_{i. (2.23)}

Finalmente agora temos em mãos ferramentas necessárias para enunciar e provar o teorema que dá nome a sessão. Esse teorema será bem útil para quando formos enunciar outro teorema fundamental da geometria diferencial e um dos de grande relevância para o campo da física dos isolantes topológicos que é o teorema de Gauss-Bonnet.

Teorema 2.3.1 (Teorema Elegantissimum de Gauss) Para todo triângulo geodésico ideal ∆ de uma superfície regular orientável S é válido que

∫

∆

K = ˆp₁+ ˆp₂+ ˆp₂−π , (2.24)

Onde K é a curvatura gaussiana na superfície S, pi são os vértices dos triângulos e ˆpi seus

respectivos ângulos em ∆.

Demonstração 3 Vamos pegar um ponto q que esteja contido no interior do lado p₁p₃de ∆ e vamos denotar ∆0⊂ ∆ o triângulo geodésico cujo os vértices são q, p₂, p₃. Sejaγ : I ⊂ R → S uma parametrização de∂∆0, tal que tenhamos satisfeitas as condições:

1. I = [a₀, a₁] ∪ [a₁, a₂] ∪ [a₂, a₃];

2. γ(a₀)= γ(a₃)= q, γ(a₁)= p₂eγ(a₂)= p₃;

3. cada geodésicaγi = γ|(a_i−1,ai) é parametrizada por comprimento de arco;

Podemos escolher um sistemas de coordenadas conveniente e o mais adequado neste caso será usarmos as coordenadas polares em Tp₁. Ainda iremos supor que ∆0 ⊂ V ⊂ S,onde V é um

aberto e neste aberto ∆0está definido num campo tangente unitário e diferenciávelζ, constituído pelos vetores velocidade geodésicos que partem do ponto p₁. Seja então N o campo normal em

S, podemos observar a existência de um campo tangente unitário e diferenciável em V que pode

ser escrito como

28 Capítulo 2. Fundamentos Matemáticos

Figura 5 – Campos normais em um triângulo geodésico ideal ∆0_{. Aqui temos representados} n:= η e C := ζ.

devido a isso se pegarmos um ponto p ∈ V , temos que existe uma base para R3 formada pelo conjunto {ζ(p), η(p), N(p)}. Vale ainda dizer que N é escolhido tal que sua orientação é positiva.

Note que, nesse caso, uma vez queζ “aponta para dentro” de ∆ao longo de γ₁ , “aponta para fora” de ∆ ao longo deγ₂e é tangente aγ₃ao longo deγ₃, tem-se:

1. hζ, N ∧ γ0₁i > 0 em (a₀, a₁);

2. hζ, N ∧ γ0₂i < 0 em (a₁, a₂);

3. hζ, N ∧ γ0₃i= 0 em (a₂, a₃);

Pela proposição1, temos então que para cada i = 1,2,3, existe uma função θi = θi(s) ∈ [0,2π),

tal que podemos escrever:

γ0_{= cos θ}

i(s)ζ(s) + sin θi(s)η(s) ∀ s ∈ (ai−1, ai). (2.26)

Denotando quelims→aoθ(s) = θ(a0) e ˆq o ângulo de ∆

0_{no vértice q, observa-se quecos ˆq =} cos θ1(a₀) = hζ(a₀), γ0₁(a₀)i e também sin θ₁(a₀) = hγ₁0(a₀), η0(a₀)i. Podemos escrever η0(a₀)

como um produto externo e tomar proveito da propriedade i. listada à cima

hγ0₁(a₀), η₁(a₀)i = hγ₁0(a₀), N₁0(a₀) ∧ζ(a₀)i (2.27) = −hζ(a0), N₁0(a0) ∧γ₁0(a0)i < 0 = − sin ˆq , (2.28)

então temos que

cos θ1(a0)= cos ˆq = cos(2π − ˆq) (2.29) sin θ1(a₀)= − sin ˆq = sin(2π − ˆq) (2.30)

2.3. Teorema Elegantissimum de Gauss 29

Semelhantemente podemos fazer isso para θ₁(a₁), θ₂(a₁), θ₂(a₂), θ₃(a₂) e θ₃(a₃) e vamos

obter os seguintes resultados

θ₁(a₀)= (2π − ˆq) θ₁(a₁)= 2π − p₁ˆp₂q θ₂(a₁)= π − ˆp₂ θ₂(a₂)= ˆp₃

θ₃(a₂)= π θ₃(a₃)= π

vamos escrever uma função soma dos ângulos de ∆0em função deθieθi−1, dada por Σ∆0 = Õ i [θi(ai) −θi(ai−1)] (2.32) = [θ1(a1) −θ1(a0)]+ [θ2(a2) −θ2(a1)]+ [θ3(a3) −θ3(a2)] (2.33) = ˆq + ˆp2+ ˆp3−π − p₁ˆp₂q (2.34)

e do lema.2temos quelimqn→p1p1ˆp2q = 0 e que limqn→p1 ˆqn = ˆp1, e portanto

lim q→p₁Σ∆

0 = ˆp₁+ ˆp₂+ ˆp₃−π . (2.35)

Agora vamos tomar uma parametrização local de S, X : UR2 → S, tal que o triângulo

geodésico esteja contido em X(U) e ainda queremos que em decorrer desta parametrização

N ◦ X esteja coincidente com parte Xu∧ Xv/|| Xu∧ Xv|| em U. Denotando a aplicação inversa

por Ω= X−1(U) e utilizando a seguinte relação

hζ_u, η_vi − hζ_v, η_ui = (N ◦ X)||X_u∧ X_v||, (2.36) temos que ∫ ∆0 K = ∫ Ω (N ◦ X)|| Xu∧ Xv||dudv = ∫ Ω (hζ_u, η_vi − hζ_v, η_ui)dudv . (2.37)

Uma vez que consideramosηuv = ηuv =⇒ hζu, ηvi − hζv, ηui= hζ,ηviu− hζ, ηuiv, portanto nossa

integral toma a seguinte forma de

∫ ∆0 K = ∫ Ω hζ, η_vi_u− hζ, η_ui_vdudv . (2.38)

Antes de prosseguir temos que observar que a aplicação s 7→ X−1(γ(s)) = (u(s), v(s)),

com s ∈ I, é uma parametrização para ∂Ω. Podemos reescrever então ζ(s) = ζ(u(s), v(s)) e η(u(s), v(s)). Em decorrer disto a parte hζ, η0i pode ser escrita como hζ, (((s), v(s)))0i = hζ, u0_η

v + v0ηui = u0hζ, ηvi+ v0hζ, ηui. Agora, a partir desse resultado, iremos o teorema de

Green (que pode ser encontrado em livros de cálculo) na equação2.38e assim obtendo

∫ Ω hζ, η_vi_u− hζ, η_ui_vdudv = ∫ I u0hζ, η_vi+ v0hζ, η_uids= ∫ I hζ, η0ids (2.39)

30 Capítulo 2. Fundamentos Matemáticos

e utilizado a proposição1encontramos a seguinte expressão

∫ I hζ, η0ids = 3 Õ i=1 ∫ ai a_i−1 θ0 ids = 3 Õ i=1

[θ(a_i−1) −θ(a_i)]= Σ_∆0 (2.40)

∴ ∫

∆0

K = Σ∆0 . (2.41)

Seja ∆00 ⊂ ∆ um triângulo geodésico de vértices p₁, p₂e q, é evidente que∫_∆K = ∫_∆0K+ ∫_∆00K.

Porém usando o lema.2, a medida que q a p₁, temos que a área de ∆00 converge à zero. Sendo assim lim q→p₁{ ∫ ∆0 K+ ∫ ∆00 K }= ∫ ∆ K + 0 (2.42) ou ainda lim q→p₁ ∫ ∆0 K = lim q→p₁Σ∆ 0 = ˆp₁+ ˆp₂+ ˆp₃−π (2.43) ∴ ∫ ∆ K = ˆp₁+ ˆp₂+ ˆp₃−π . (2.44)

E assim provamos esse belíssimo teorema.

2.4

Teorema Egregium de Gauss

Teorema 2.4.1 A curvatura gaussiana é invariante por isometrias locais

Demonstração 4 Seja S uma superfície regular e um ponto p ∈ S. Para todo n ∈ N, vamos tomar rn > 0, tal que, Brn(p) contenha ∆n, onde p ⊂ int(∆n). Ainda vamos supor que a

sequência (rn)n∈N seja decrescente e convirja para 0. Seja Σn a soma dos ângulos de ∆n, do

teorema Elegantissimum de Gauss temos

∫

∆n

K = Σn−π (2.45)

e a partir do teorema do valor médio obtemos

∫

∆n

K = K(pn)µ(∆n). (2.46)

Dado que {p} = ∩∞_n=1∆decorre disto que pn → p. E podemos encontrar o valor de K(p)

igualando as integrais e tomando o limite quando n → ∞

K(p)= lim n→∞

Σn−π µ(∆n)

. (2.47)

Com isso concluí-se que a curvatura é uma propriedade intrínseca de uma superfície regular e a partir desse resultado podemos analisar dois conceitos clássicos de curvatura:

H = k1+ k2

2.5. Teorema de Gauss-Bonnet 31

K = k₁.k₂. Curvatura gaussiana (2.49)

Figura 6 – Figura que mostra algumas superfícies e suas respectivas curvaturas principais, sendo que a única superfície que possui uma curvatura negativa é a sela[5]

2.5

Teorema de Gauss-Bonnet

Teorema 2.5.1 Seja S uma superfície regular compacta. Então

∫

S

K = 2π χ(S) (2.50)

Demonstração 5 Vamos considerar uma triangulação de S por triângulos geodésicos ideais

δ = {∆1, · · · , ∆F} e expressandoÍiθi j a soma dos ângulos de ∆j, onde j = 1, · · · , F. Para

cada vértice p de δ a soma dos ângulos é igual a 2π. Decorre disto que Íiθi j = 2πV, onde V é o número de vértices. Podemos observar que S = ∪∆j, segue-se então pelo teorema

Elegantissimum de Gauss temos

∫ S K = n Õ j ∫ ∆j K = F Õ j Õ i θi j −π ! = F Õ j Õ i θi j −πF = 2πV − Fπ, (2.51)

onde F é o número de faces. Cada triângulo possui 3 lados L e cada lado é comum a 2 triângulos. Logo obstemos uma relação entre as faces e os lados da forma 2L = 3F e substituindo na equação acima chegamos ao seguinte resultado:

∫

S

K = 2πV − 2πL + 2πF = 2π χ(S) , com χ(S) = V − L − F . (2.52) A figura 7 nos ajuda a entender intuitivamente o conceito do teorema de Gauss-Bonnet. Basta sabermos calcular a integral da curvatura Gaussiana em uma superfície M, à qual este cálculo não seja tão complicado (por exemplo uma esfera), que independentemente da forma das inúmeras superfícies que existem, o resultado será o mesmo desde que estas outras superfícies

32 Capítulo 2. Fundamentos Matemáticos

sejam homeomorfas a M. Adiante iremos introduzir o conceito de genus e a partir desta quantidade, podemos com praticidade saber se as superfícies serão equivalentes a M.

Figura 7 – Representação do teorema de Gaus-Bonnet em superfícies fechadas de genus g = 0. Podemos ainda relacionar o teorema de Gauss-Bonnet com a topologia da superfície através do genus g que diz simplesmente o número de furos (ou buracos) que uma dada variedade topológica possui.

Teorema 2.5.2 Um mapa de genus g possui característica de Euler χ(M):

χ(M) = V − E + F = 2g − 2 (2.53)

Devido ao fato do genus ser um invariante topológico, consequentemente temos que a característica de Euler também é. Podemos observar isso ao olhar para um torus, onde este possui g = 1. Ao aplicar uma deformação continua no torus podemos transformá-lo em uma xícara ou até mesmo em um donuts como mostra a figura 1 e ambos possuem g = 1, logo o número de buracos foi preservado mediante uma transformação continua. Disto decorre que g é um invariante topológico. Na figura abaixo é possível ver outras superfícies com seus respectivos

genuse que quando são deformadas topologicamente preservam o número de buracos.

33

3 Fundamentos de física do estado sólido

3.1

Teorema de Bloch

“Quando comecei a pensar a respeito, percebi que o problema principal estava em explicar de que forma os elétrons conseguiam passar por todos os íons do metal... através de uma análise de Fourier elementar, descobri, para minha satisfação, que a onda diferia da onda plana para elétrons livres apenas por uma modulação periódica.”

F. Bloch

Um cristal é um sólido ao qual podemos dizer que os seus constituintes estão organizados em um padrão bem definido ao longo das três direções do espaço. No entanto isso é um cristal idealizados, pois em suma um cristal possui certos tipos de impurezas e até mesmo em cristal com um alto nível de pureza existe uma probabilidade, que aumenta proporcionalmente com a temperatura, de encontrar íons mal posicionados e até mesmo vacâncias (ausência de íons ou átomos na estrutura de um sólido) que quebram a simetria do material. As imperfeições nos cristais são responsáveis por algumas propriedades em sólidos, como a resistividade e a condutividade.

Devido ao fato de que a rede cristalina é periódica podemos estudar diferentes tipos de materiais, pois cada tipo será composto de uma tipo de rede distinta. Isso possibilita a compressão de certas propriedades, dentre estas, temos as bandas proibidas de energia que são de extrema importância no estudo da física do estado sólido.

O objetivo desta sessão é estudar a dinâmica de um elétron e um rede cristalina sob a influência de um potencial periódico e para isso vamos considerar que o cristal é perfeito, ou seja, possui simetria em todas as direções. Para o caso do cristal real, temos que tomar em mãos a ferramente de teoria perturbativas que pode ser visto na referência[27].

Primeiramente vamos considerar o Hamiltoniano em uma dimensão ˆH = p2_{/2m + V(x) e}

o potencial periódico da forma V(x + a) = V(x), onde a é uma constante de periodicidade da rede. Sem mesmo conhecer os detalhes do potencial na célula unitária, somente com a simetria de translação já se pode obter uma gama de informações sobre o espectro de energia do sistema e suas autofunções.

Vamos agora introduzir o operador de simetria translacional dado por

ˆT(a) = eiaˆp/~_{, (3.1)}

tal que este ao aplicado em uma função ψ(x) (que no nosso caso é a função de onda ), faz com ela seja deslocada para esquerda ou para direita de modo que ˆT(a)ψ(x) = ψ(x + a). A periodicidade do potencial implica que [ ˆT, ˆH]= 0, portanto temos que os autovalores do operador de translação e do Hamiltoniano aplicados a função de onda ψ(x) são os mesmos, ou seja, ˆTψ(x) = λψ(x). A função de onda para elétrons em um potêncial periódico é dada por ψk(r) = uk(r)exp(ik · r)

34 Capítulo 3. Fundamentos de física do estado sólido

e para sistemas infinitos (−∞ < x < +∞) a função de onda diverge para valores extremos de x. Para solucionar esta divergência vamos escrever λ = eika, onde k é o número de onda de

Bloche admite valores dentro do conjunto dos reais[28]. Na zona de Brillouin queremos que k

esteja restringindo a um intervalo de 2π/a e de maneira costumeira vamos dividir o intervalo a seguinte forma I = (−π/a, π/a].

Para cada valor de k, as autofunções e as autoenergias podem ser obtidos ao resolver a equação de Schorödinger sobre a célula unitária com a condição do teorema de Bloch: ψ(x+a) = eikaψ(x). Podemos resolver o problema de autovalores num intervalo finito 0 < x < a, assim as autofunções e as autoenergias formam um conjunto discreto {n(k), ψnk(x), n = 0,1,2, · · · }. Devido que k varia continuamente sobre a zona de Brillouin, as autoenergias descrevem um conjunto de bandas, denominadas de bandas de Bloch.

Agora queremos generalizar o teorema de Bloch para três dimensões. Para isto devemos descrever os vetores da zona de Brillouin que são chamados de vetores da rede repríproca:

G1= 2π a2× a3 a1· a2× a3 , G2 = 2π a3× a1 a2· a3× a1 , G3 = 2π a1× a2 a3· a1× a2 (3.2) disto podemos escrever então o vetor de onda de Bloch em três dimensões como k = α1G1+

α₂G2+ α2G3.

Em três dimensões o potencial periódico da rede pode ser escrito como V(r + aj) = V(r),

onde j = 1,2,3. Também podemos reescrever o operador de translação da forma ˆTj = eiaj·ˆp/~. Aplicando o operador de translação na função de onda ψ(r) obtém-se que os autovalores de energia são da forma λj = eiK·aj. Portanto o teorema de Bloch diz que a função de onda dos elétrons em uma rede cristalina deverá conter a mesma periodicidade do potencial da própria rede, que podemos expressar como uma onda plana modulada pelo potencial periódico da rede cristalina

ψ(r) = eik·aj_u

k(r) (3.3)

onde uk(r)é uma função periódica da rede.

Também podemos fazer uma demostração utilizando teoria de grupos ou até mesmo a partir da forma integral da função de onda[29,16].

3.2

Rede Recíproca

Um Cristal é, tecnicamente, uma estrutura que possui alto ordenamento microscópico de seus constituintes (átomos, moléculas, íons · · · ) que se repete nas três dimensões. Os arranjos dos átomos em um sólido cristalino, podem ser descritos usando pontos de uma rede de linhas que se estende nas três dimensões. Essa rede é denominada rede cristalina. Por “ordenamento” queremos dizer que existe uma periodicidade dos constituintes, de forma que qualquer ponto da rede é equivalente ao primeiro.

3.2. Rede Recíproca 35

Existe um número infinito de configurações de uma rede cristalina em duas dimensões, pois não há restrições sobre o comprimento dos vetores ou sobre os ângulos que estes podem fazer entre eles. Para obter um número finito de configurações de uma rede cristalina deve-se impor certas restrições aos vetores, por exemplo, se desejássemos construir uma rede que seja invariante por rotação. Pelo fato de existir mais de um tipo de rede cristalina, defini-se então rede de Bravais cada tipo distinto de rede cristalina.

Consideremos uma rede de Bravais qualquer com a posição do centro do i-ésimo átomo da base da rede cristalina sendo escrita pelo conjunto {ri}dos pontos, tais que

ri = xia+ yib+ zic, (3.4)

onde xi, yi e zi ∈ Z e a, b e c são vetores coplanares definidos da posição do centro do átomo em relação a um ponto na rede. Para cada ri podemos associar uma operação de simetria e

translação que mantém a rede de Bravais invariante. Então se para cada ri associarmos uma

operação, podemos ver uma certa periodicidade na rede, logo o conjunto {ri}define uma certa

periodicidade da rede de Bravais. Agora imaginemos uma onda plana do tipo eikr_{, é fácil} ver que esta onda está associada a uma determinada periodicidade, pois podemos escrever uma exponencial complexa em termos de senos e cossenos, que são funções periódicas. A periodicidade dessa onda plana está inerente ao comprimento de onda, pois k = 2πλ. No entanto podemos ser deixados a levar que existe uma periodicidade para qualquer valor de k, porém só existe para certos valores discretos k.

Uma rede cristalina permanece invariante por translação da forma T = ua + vb + wc e grandezas como a concentração de cargas, densidade de elétrons, densidade de massa e densidade dos momentos magnéticos são invariantes sob T. Muitas das propriedades de um cristal podem ser relacionadas com a série de Fourier da densidade numérica de elétrons n(r), pois ela é uma função periódica n(T + r) = n(r). Podemos escrever a série de Fourier em uma dimensão para n(r) tal que

n(x)= n₀+ ∞ Õ j>0  Ajcos 2πx a j  + Bjsin 2πx a j   (3.5) Onde Aj e Bj são constantes ∈ R. Podemos simplificar a equação acima por

n(x)= ∞ Õ j>0 Cjeiφ (3.6) Onde φ = 2πx

a j e Cj ∈ C, pois assim podemos garantir que n(x) seja uma função ∈ R. Para mostrar isso partiremos de que tanto para valores de C∗

j com j < 0 quanto para Cj com j > 0 é necessário que os valores da somas sejam iguais, ou seja, isto vale se, somente se

36 Capítulo 3. Fundamentos de física do estado sólido

Fazendo n∗_{(x)+ n(x) temos que} ∞ Õ − j C_{− j}∗ eiφ+ ∞ Õ j Cjeiφ (3.8) ∞ Õ − j ∞ Õ j

C_{− j}∗ (cos φ − i sin φ) + C_j(cos φ + i sin φ) (3.9) Que podemos expandir em funções trigonométricas

∞ Õ j,−j h  Cj+ C_{− j}∗  cos φ + Cj− C_{− j}∗  isin φ i (3.10) E pela equação3.7temos que a equação3.10se torna

2 Re e{Cj}cos φ + 2 Im m{Cj}sin φ (3.11)

Podemos estender n(x) para o R3_{de forma bem similar, basta definirmos um conjunto {G} ⊂ R}3 n(r)=

∞ Õ

G

CGeiG.r (3.12)

Onde G é um conjunto de vetores que são invariantes sob as operações de translações T, esse conjunto é denominado vetor da rede recíproca e pode ser escrito como

G= n₁G1+ n2G2+ n3G3 (3.13)

Onde h, k, l ∈ Z e A, B e C são vetores que definem os eixos da rede recíproca.

3.3

Movimento dos elétrons na presença de campos magnéticos

F` = −e  E+ 1 cv × B  . (3.14)

Comparando com a segunda lei de newton e utilizando a relação de De Broglie obtêm-se que

F= mÛv = ~Ûk, (3.15)

e por fim vamos igualar as equações3.14e3.15, onde encontramos a seguinte expressão ~kÛ = −e  E+ 1 cv × B  . (3.16)

3.3. Movimento dos elétrons na presença de campos magnéticos 37

Ao resolvermos a equação de Schrödinger em 3 dimensões para para um elétron livre encontramos como solução ψk(r)= exp(ik · r), onde as componentes do vetor de onda k devem ser da forma kx = ky = kz = 2nπ/L, sendo que n ∈ Z e desta forma as componentes de k satisfazem as condições de contorno. Podemos substituir a solução que obtemos da equação de Schrödinger na equação de autovalores e consequentemente encontrar os valores de energia acessíveis do sistema que podem ser escritos por εk = ~2k2/2m. A energia de Fermi εF é definida como sendo a energia do nível mais alto ocupado no estado fundamental de um sistema contento N elétrons, onde o número total de elétrons deve se levar em conta que estes podem ter o spin up ou down, então N = 2nF. No estado fundamental deste sistema, podemos representar os orbitais ocupados pelos elétrons, como pontos no interior de uma esfera no espaço recíproco e a energia contida na superfície dessa esfera é a própria energia de Fermi. Os vetores de onda com respeito à esta superfície possuem módulo kF, tal que ao substituir no valor da energia obtido a partir da equação de autovalores podemos obter a energia de Fermi εF = ~2k_F2/2m. O vetor de onda de onda pode ser escrito com respeito a kx, ky, kz da seguinte forma k2 = k2x + k2y+ k2z e na geometria analítica temos que o módulo de k será a raio de uma esfera. Portanto a esfera de raio kF no espaço recíproco é denominada esfera de Fermi.

Figura 9 – Figura mostrando a relação entre a esfera de fermi e o plot ε(kF) × KF [7]. Se não houver colisões dos portadores de carga com qualquer tipo de impurezas, fônons ou com alguma imperfeição na rede cristalina, teremos que a esfera de Fermi irá se mover com velocidade constante no espaço recíproco. Para encontrarmos o valor de k iremos integrar a equação3.16 e iremos considerar o caso em que E é constante e que B , 0 num intervalo de tempo de 0 à t, donde

Û k ≡ dk

38 Capítulo 3. Fundamentos de física do estado sólido Sendo assim, ∫ t 0 dk dtdt = − e ~ ∫ t 0  E+ 1 cv × B  dt, (3.18) que resulta em δk = −e ~Et, (3.19)

Onde definimos δk = k(t) − k(0). Cada elétron representado na espera de Fermi, sofre um deslocamento δk, logo podemos induzir que a esfera de Fermi se desloca como um todo a uma velocidade constante. Podemos imaginar ainda que se a esfera de Fermi colidir com alguma impureza no meio, ela terá um retardo em sua velocidade que era constante e podemos definir esse retardo como τ−1_{, onde τ é o tempo médio das colisões. Relacionando as equações3.16} com a equação3.19e levando em consideração o termo de colisão com o meio obtemos

F= ~dδk dt + ~ τδk = ~  d dt + 1 τ  δk . (3.20)

Notemos que o termo d/dt representa nada mais, nada menos que a aceleração dos elétrons na esfera de Fermi.

Para o caso em que B , 0 e uniforme temos que mv = ~k = ~δk. Logo, se derivarmos encontramos F, então podemos associá-las a equação3.20de modo que obtemos

F=  d dt + 1 τ  mv=  d dt + 1 τ  ~δk (3.21)

e igualando o primeiro termo da equação acima a força de Lorenzt F` chegamos a  d dt + 1 τ  mv= −e  E+ 1 cv × B  . (3.22)

Como B , 0 e é uniforme, vamos definir e fixar B numa direção qualquer, por exemplo,

B= Bˆz = Bz. Sabemos que E ⊥ B e que B deve ser ortogonal a v, então definindo E = E ˆx e

v= vˆy, a partir da equação3.22obtemos

 d dt + 1 τ  mv= −e  E ˆx+ 1 cBvy(ˆy × ˆz)  = −e  Ex+ 1 cBvy  . (3.23)

Como os elétrons sentem o campo elétrico e começam a se mover na direção dele, na equação acima, no lado esquerdo da primeira igualdade teremos que v terá a mesma direção de E que resulta em  d dt + 1 τ  mvx = −e  Ex+ 1 cBvy  . (3.24)

Para o caso em que temos E = E ˆy e v = vˆx obtemos  d dt + 1 τ  mvy = −e  Ey− 1 cBvx  . (3.25)

3.4. Efeito Hall 39

Para o caso que nos restou temos E = E ˆz, mas E deve ser perpendicular a B, no entanto já definimos uma direção para B. No entanto para que seja possível que os elétrons adquiram uma velocidade na direção do eixo z o campo magnético deve se anular na direção z. Por fim podemos escrever  d dt + 1 τ  mvz = −eEz . (3.26)

Nosso objetivo agora é encontrar os valores de vx, vy e de vz. Para isso começaremos supondo que E é constante, pois com essa suposição num dado regime estacionário as derivadas em relação ao tempo irão se anular. Para vx a expressão 3.24 resulta já supondo que E seja constante em 1 τmvx = −eEx− 1 cBvy, (3.27) ∴ vx = − eτEx m − eB mcτvy . ∴ vx = − eτEx m −ωcτvy . (3.28)

Onde definimos que ωc = eB/mc é a frequência ciclotônica. Fazendo também para vy e vz obtemos ∴ vy = − eτEy m + ωcτvx . (3.29) ∴ vz = − eτ mEz . (3.30)

3.4

Efeito Hall

Agora que já falamos sobre o movimento de uma esfera de elétrons sobre influência de um campo externo, que no nosso caso era o campo magnético e elétrico, podemos falar sobre um outro campo o qual pode influenciar o movimento dos elétrons. Imaginemos um condutor, onde entre suas faces temos uma corrente J fluindo numa dada direção ˆx, se colocarmos esse condutor num campo B irá surgir uma diferença de potencial entre as faces. Denomina-se esse fenômeno de efeito Hall. Como temos J = J ˆx teremos que os elétrons irão se mover na direção −ˆx, pois é padronizado que a direção positiva da corrente se dá aos movimentos das cargas positivas. Ao aplicarmos um campo magnético perpendicular a corrente o elétrons estarão sujeitos a força de Lorentz Fm = −e 1 cv × B  = −evB c ( ˆ−x × ˆz) = −evB c , ˆy (3.31)