Modelamento matemático de máquina de indução trifásica sem mancais

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Modelamento matemático

de máquina de indução

trifásica sem mancais

132 p. : PDF ; 21 Mb.

Modo de acesso: http://repositorio.ufrn.br ISBN 978-85-425-0827-7

Inclui bibliografia.

Originalmente apresentado como tese da autora (doutorado – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2006).

1. Máquinas elétricas de indução. 2. Máquinas sem mancais – Modelos. 3. Motor de indução trifásico. 4. Rotor bobinado. I. Título.

RN/UF/BCZM 2018/49 CDD 621.31042

CDU 621.313.33 Elaborado por: Cirlene Maciel de Oliveira Melo – CRB-15/280 Todos os direitos desta edição reservados à EDUFRN – Editora da UFRN

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desenvolvido na Universidade Federal do Rio Grande do Norte, no período de 2003 a 2006.

A tese foi reformulada para apresentar, de forma mais didática, um modelo para a máquina de indução sem mancais com bobinado dividido. O trabalho teve como principal objetivo a obtenção do modelo da máquina para que possam ser implementados controladores mais eficientes. Para se alcançar tal modelo, fez-se uso dos mesmos artifícios utilizados para as máquinas convencionais adotados na literatura, o que possibilitou um manuseio simplificado das variáveis envolvidas.

A máquina estudada é resultado da adaptação de uma máquina de indução convencional, o que foi possível dividindo-se os enrolamentos do estator e tor-nando acessíveis todos os seus terminais. Essa técnica dispensa o acréscimo de um outro enrolamento ao estator para a realização do controle de posição radial, o que resulta em uma máquina mais compacta. Uma outra característica dessa máquina é a variação da matriz de indutâncias em função do deslocamento radial do rotor, a variação do entreferro produz variações no fluxo e, consequentemente, nos valores de indutâncias tanto próprias quanto mútuas. O modelo da máquina convencional pode ser utilizado para a máquina sem mancais quando o rotor estiver fixo no centro, porém, em situações de deslocamento radial, esse modelo falha e não pode ser aplicado.

CAPÍTULO 1 – CONCEITOS BÁSICOS ...9

Máquina de indução ... 9

Mancal mecânico ... 10

Mancal magnético ... 10

Máquina sem mancais ... 12

Teoria da função enrolamento ... 12

Transformação trifásico/bifásico ... 15

CAPÍTULO 2 – DESCRIÇÃO DA MÁQUINA SEM MANCAIS ... 22

Descrição do protótipo ... 22

Enrolamentos ... 23

Campo magnético no entreferro ... 27

Função inverso do entreferro... 29

Função enrolamento ... 32

Expressões genéricas de fluxo e indutância ... 34

Cálculo das indutâncias da máquina sem mancais ... 37

CAPÍTULO 3 – MODELAGEM DA MÁQUINA DE INDUÇÃO SEM MANCAIS .... 52

Correntes da máquina ... 52

Equações de fluxo ...54

Equações de tensão ... 55

Equação de torque ... 57

Modelo da máquina ... 62

Modelo da posição radial ...66

Resultados calculados ...96

Indutâncias do rotor ... 105

Indutâncias mútuas entre estator e rotor ... 106

Resultados medidos da máquina sem mancais ... 115

Análise dos resultados calculados e experimentais ... 120

Glossário ... 125

Abreviaturas ... 125

Símbolos ... 126

Para o entendimento da modelagem da máquina de indução sem mancais, é necessária uma fundamentação teórica relativa aos temas abordados ao longo de todo o trabalho. Serão mostrados conceitos diretamente aplicados no estudo das máquinas sem mancais, bem como conceitos que apenas facilitam seu entendimento.

Máquina de indução

A máquina de indução é uma das máquinas mais encontradas em aplicações comerciais, isso ocorre devido a sua robustez, simplicidade e ao seu baixo custo, quando comparada a outros tipos de máquinas.

Como o próprio nome já diz, o funcionamento da máquina se dá por meio de indução magnética, esteja ela atuando como motor ou gerador. No caso da máquina funcionando como motor, a alimentação se dá por meio de tensões alternadas e defasadas, que por sua vez induzem correntes no rotor. Quando a máquina opera como gerador, o fluxo de energia se inverte, com a rotação do eixo surge nos terminais do estator uma força eletromotriz (FITZGERALD; KINGSLEY JR; KUSKO, 1975; SIMONE, 2000).

O tipo de rotor mais comumente encontrado em máquinas de indução convencionais é o rotor em gaiola de esquilo, podendo ainda ser utilizado o rotor bobinado. O rotor em gaiola de esquilo funciona como um espelho para o estator. Caso a máquina tenha a configuração de dois polos, o rotor em gaiola refletirá correntes referentes a dois polos, se a configuração for de quatro polos, refletirá correntes de quatro polos, e assim acontece com os sinais circulantes no estator. A Figura 1 mostra um rotor em gaiola de esquilo.

Figura 1 – Rotor gaiola de esquilo

Fonte: autoria própria

Mancal mecânico

O mancal é a peça da máquina que sustenta o rotor. Como está em cons-tante atrito com o eixo, o qual está em rotação, então o seu desgaste é contínuo e acentuado. O mancal mecânico é o principal alvo da manutenção das máquinas elétricas. Também conhecido como rolamento, normalmente é utilizado com óleo lubrificante para se conseguir reduzir o atrito e amenizar o calor gerado.

O mancal é a parte da máquina responsável pela estabilidade radial do rotor e é disposto como mostrado na Figura 2.

Figura 2 – Esquema de uma máquina com mancal mecânico

Fonte: autoria própria

Mancal magnético

O mancal magnético tem a mesma função do mancal mecânico, porém não existe o desgaste provocado pelo atrito, uma vez que não existe contato do mancal com o eixo (SCHWEITZER; BLEULER; TRAXLER, 1994; HERMAN, 1973, 1974; HIGUCHI, 1985; OKADA et al., 1998).

A sustentação do rotor se dá por meio de forças magnéticas que o mantêm livre de contato físico. Seu funcionamento baseia-se na medida de posição do corpo em que um controlador calcula o nível de força magnética que deve ser aplicado ao corpo, atraindo-o mais ou menos, no intuito de mantê-lo sempre posicionado de acordo com a referência.

A estrutura de um mancal magnético pode ser vista na Figura 3, a qual mostra, de uma forma simples, seu princípio de operação.

Figura 3 – Princípio de funcionamento do mancal magnético

Fonte: autoria própria

A estrutura do mancal magnético em uma máquina é semelhante à de um mancal mecânico, porém ocupa um espaço maior, uma vez que necessita de um aparato para a geração da força magnética de posicionamento. O mancal magnético na máquina está representado na Figura 4.

Figura 4 – Esquema de uma máquina com mancal magnético

Máquina sem mancais

As máquinas sem mancais surgiram em decorrência da necessidade de diminuição do volume da máquina, que foi aumentado devido à substituição dos mancais convencionais por mancais magnéticos (BOSCH, 1988).

Esse tipo de máquina pode apresentar configurações diferentes quanto à forma, bem como ao controle de posicionamento do rotor. Pode ser adicionado ao estator um segundo enrolamento (CHIBA et al., 1994; YAHIA; HENNEBERGER, 1998; OKADA et al., 1998) responsável apenas pelo controle de posição radial do rotor, que é independente do enrolamento de força, ou então pode-se fazer alterações nos enrolamentos do estator a fim de serem aproveitados na realização do controle de posição além de suas funções convencionais de geração de torque (SALAZAR; STEPHAN; DUNFORD, 1993a; SALAZAR; STEPHAN, 1993b; SANTISTEBAN; SALAZAR; STEPHAN, 1996; FERREIRA, 2002; OGURI et al., 2000).

A estrutura esquemática de uma máquina sem mancais é mostrada na Figura 5.

Figura 5 – Esquema de uma máquina sem mancais

Fonte: autoria própria

Teoria da função enrolamento

A teoria da função enrolamento (winding function theory) é uma abordagem dada às máquinas elétricas que facilita a obtenção de algumas variáveis envolvidas no estudo de máquinas elétricas, como campo magnético, indutâncias e torque.

A teoria baseia-se na distribuição espacial dos condutores envolvidos, em que uma função volta (turn function) representa o número de condutores

transportando corrente positiva entre um referencial e um determinado ponto arbitrário de posição (SCHIMITZ, 1965). A função volta é uma característica do enrolamento e pode ser determinada analisando-se a forma como os condutores estão dispostos nas ranhuras.

A partir da determinação da função volta, pode-se determinar a função enrolamento. A função enrolamento nada mais é do que a representação da função volta ajustada em torno do valor zero, como mostrado na Equação 1, para uma bobina genérica Z.

N

_z

(q)=n

_z

(q)–avg(n

_θ

)

(1)

onde avg significa a média e q corresponde a uma posição arbitrária. Para um caso simples, como ilustrado na Figura 6, tem-se o enrolamento do estator distribuído em quatro condutores, igualmente espaçados ao redor da superfície do rotor, de forma a caracterizar uma distribuição de quatro polos. Essa é uma forma simples de determinar a corrente enlaçada pelo caminho de integração necessário ao cálculo do campo magnético no entreferro.

Figura 6 – Esquema de distribuição de condutores no estator

Fonte: autoria própria

Observando-se a Figura 6, tem-se que, à medida que o ângulo q aumenta, a corrente que é enlaçada pelo caminho fechado abcd varia. Quando o ângulo q é menor que π₄ , por exemplo, nenhuma corrente é enlaçada pelo caminho fechado,

porém quando o ângulo q assume valores entre π

4 e 3π4 , essa situação muda, pois o caminho fechado abcd engloba uma quantidade de corrente total diferente de zero. Esse princípio é utilizado na determinação da função volta.

A Figura 7 mostra dois exemplos de funções volta (n_z) e dois exemplos de função enrolamento (N_z), na qual N representa o número de bobinas por fase.

Figura 7 – Função volta (n_z) e função enrolamento (N_z)

Fonte: autoria própria

É importante observar que a média da função volta não é a mesma para o entreferro não uniforme (FAIZ; TABATABAEI, 2002), a qual será descrita poste-riormente com mais detalhes.

Conhecendo-se a função enrolamento, pode-se calcular a intensidade de campo magnético no entreferro, usando a Equação 2 para o caso do entreferro uniforme:

H_g

( )

θ = iz

gNz

( )

θ

,

(2)

Transformação trifásico/bifásico

Este tópico trata das transformações que estão envolvidas na mudança de espaço, à qual as variáveis são submetidas. Transformações matemáticas são comumente utilizadas no estudo de máquinas elétricas, a fim de facilitar a solução de problemas como acoplamento de variáveis, por exemplo, e também para tratar todas as variáveis envolvidas em um mesmo referencial.

Inicialmente, será tratada a mudança de referência do sistema trifásico con-vencional para um sistema bifásico estacionário αβ, e posteriormente a mudança do sistema estacionário bifásico para o sistema dq, o qual tem seus eixos coincidentes com o referencial que se desejar. No caso da máquina sem mancal estudada, o sistema dq coincide com a posição do fluxo enlaçado pelo rotor.

Transformação

αβ

Para fins de simplificação, as variáveis da máquina serão tratadas em um sistema de coordenadas bifásico, para tanto é utilizada a transformação αβ (BARBI, 1985). A Figura 8 mostra os dois sistemas de referência envolvidos na transformação, o trifásico, abc, e o bifásico, αβ.

Figura 8 – Relação entre sistema trifásico (abc) e sistema αβ

Para tanto, são definidas as matrizes transformações a seguir: T_αβ0= 2 3 1 − 1 2 − 12 0 3 2 − 32 1 2 1 2 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

,

(3)

T_αβ0−1 _{= 2} 3 1 0 1 2 − 1 2 23 1₂ − 1 2 − 32 1₂ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

,

(4)

em que:

F

αβ0

=

T

_αβ0

.F

abc

F

abc

=

T

_αβ0−1

.F

aβc

(5)

sendo F o vetor corrente, tensão ou fluxo. Dessa forma, ficam conhecidos esses

vetores em coordenadas αβ0.

Portanto, a relação entre as variáveis no espaço αβ0 e abc fica:

i

_α

i

_β

i

₀

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

=

T

_αβ0

.

i

_a

i

_b

i

_c

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

i

_a

i

_b

i

_c

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

=

T

_αβ0−1

.

i

_α

i

_β

i

₀

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

para a corrente,

₍₆₎

u

_α

u

_β

u

₀

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

=

T

_αβ0

.

u

_a

u

_b

u

_c

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

u

_a

u

_b

u

_c

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

=

T

_αβ0−1

.

u

_α

u

_β

u

₀

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

para a tensão

(7)

e

λ

_α

λ

_β

λ

₀

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

=

T

_αβ0

.

λ

_a

λ

_b

λ

_c

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

λ

_a

λ

_b

λ

_c

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

=

T

_αβ0−1

.

λ

_α

λ

_β

λ

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

para o fluxo.

(8)

Transformação

dq

A transformação dq consiste em uma transformação linear, em que o prin-cipal objetivo é a simplificação do modelo da máquina. O modelo trata a máquina em um sistema de duas coordenadas hipotéticas dq, o que implica, implicitamente, na transformação de uma máquina trifásica em uma bifásica (BARBI, 1985).

Fisicamente, trata o enrolamento rotórico girante como rotórico pseu-doestacionário, transformando um conjunto de enrolamentos girantes em um conjunto de enrolamentos fixos.

A Figura 9 mostra a relação de ângulos entre um sistema trifásico e as coordenadas dq.

Figura 9 – Relação entre sistema αβ e dq

Fonte: autoria própria

O tratamento das equações envolvidas no modelo da máquina pode ser ainda simplificado quando as novas coordenadas bifásicas αβ0 são transportadas a um referencial conhecido, que no caso foi adotado como sendo o fluxo do rotor. Portanto, um vetor no novo sistema de coordenadas, dq0, relaciona-se com o sistema estacionário αβ0 (BARBI, 1985) como:

F

dq0

=

T

_dq0

( )

θ

.F

αβ0

F

αβ0

=

T

_dq0−1

( )

θ

.F

dq0

(9)

T_dq0

( )

θ = cos θ

_{( )}

−sen θ

_{( )}

0 sen θ

_{( )}

cos θ

_{( )}

0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(10)

T_dq0−1

_{( )}

_{θ =} cos θ

_{( )}

sen θ

_{( )}

0 −sen θ

_{( )}

cos θ

_{( )}

0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(11)

A terceira linha e a terceira coluna das matrizes transformação T_dqo(θ) e T_dqo-1_{(θ) podem ser desprezadas para essa transformação, porém serão mantidas,}

pois serão necessárias mais adiante, devido aos cálculos para o sistema trifásico. Portanto,

i

_d

i

_q

i

₀

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

=

T

_dq0

( )

θ

.

i

_α

i

β

i

₀

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

i

_α

i

β

i

₀

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

=

T

_dq0−1

( )

θ

.

i

_d

i

_q

i

₀

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

para a corrente,

₍₁₂₎

u_d u_q u₀ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ =T_dq0

( )

θ . u_α u_β u₀ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ u_α u_β u₀ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ =T_dq0−1

( )

θ . u_d u_q u₀ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

para a tensão

₍₁₃₎

e λ_d λ_q λ₀ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ =T_dq0

( )

θ . λ_α λ_β λ₀ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ λ_α λ_β λ₀ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ =T_dq0−1

( )

θ . λ_d λ_q λ₀ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

para o fluxo.

(14)

Transformação direta trifásico/

dq0

Para uma transformação direta entre o espaço abc e dq0, basta manipular as equações que definem as transformações. Se:

F

dq0

₌

_T

dq0

( )

θ

.F

αβ0

e F

αβ0

=

T

αβ0

.F

abc

F

abc

₌

_T

αβ0−1

.F

αβ0

e F

αβ0

=

T

dq0−1

( )

θ

.F

dq0

,

₍₁₅₎

Então,

F

dq0

₌

_T

dq0

( )

θ

.T

αβ0

.F

abc

F

abc

=

T

_αβ0−1

.T

_dq0−1

( )

θ

.F

dq0

.

(16)

em que: T_dq0

( )

θ .T_αβ0= 2 3 cos θ

_{( )}

−sen θ

_{( )}

0 sen θ

_{( )}

cos θ

_{( )}

0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 −1 2 −12 0 3 2 − 32 1 2 1 2 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(17)

T_dq0

( )

θ.T_αβ0= 2 3

cos θ

( )

− 1

2

(

cos θ

( )

+ 3sen θ

( )

)

12

(

−cos θ

( )

+ 3sen θ

( )

)

sen θ

( )

1₂

(

−sen θ

( )

+ 3cos θ

( )

)

− 1

2

(

sen θ

( )

+ 3cos θ

( )

)

1 2 1 2 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(18)

e T_αβ0−1 _.T dq0−1

( )

θ = 2₃ 1 0 1 2 −1 2 23 12 −1 2 − 32 1₂ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ cos θ

_{( )}

sen θ

_{( )}

0 −sen θ

_{( )}

cos θ

_{( )}

0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(19)

T_αβ0−1 _.T dq0−1

( )

θ = 2₃ cos θ

( )

sen θ

( )

1 2 − 1

2

(

cos θ

( )

+ 3sen θ

( )

)

21

(

−sen θ

( )

+ 3cos θ

( )

)

12 1

2

(

−cos θ

( )

+ 3sen θ

( )

)

− 12

(

sen θ

( )

+ 3cos θ

( )

)

12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(20)

Dessa forma, foram apresentadas as principais características das ferra-mentas que embasam este trabalho. Foram descritas as diferenças básicas entre máquina com mancal mecânico, com mancal magnético e sem mancais. Foram apresentadas as principais características da máquina de indução, pelo fato de ter sido essa máquina a escolhida para o projeto.

Fez-se uma breve introdução a respeito da teoria da função enrolamento, que é uma forma de analisar a máquina e de determinar seus parâmetros de uma maneira simplificada. Essa teoria serve de base para a determinação da matriz de indutância, aqui apresentada para o caso convencional, sendo, posteriormente, estendida ao caso da máquina sem mancais.

Por fim, uma representação da transformação trifásico/bifásico também foi apresentada, a qual será essencial para a simplificação do modelo de posição radial.

Para o estudo e análise da máquina sem mancais, foi construído um protótipo cujas características serão descritas a seguir. O protótipo é um modelo desenvolvido para que testes sejam realizados, a fim de embasar o estudo da máquina sem mancais. A determinação do comportamento das indutâncias em decorrência do deslocamento radial do rotor também será mostrada.

Em uma máquina de indução convencional, a determinação da matriz indutância é de amplo conhecimento na comunidade científica. Normalmente, são considerados alguns aspectos, como por exemplo, a igualdade entre as bobi-nas, já que são feitas do mesmo material e possuem o mesmo número de voltas; a distribuição espacial das bobinas é dada de maneira uniforme; o entreferro é constante em toda a circunferência e o campo magnético gerado é simétrico ao longo do entreferro. Porém, algumas das considerações feitas para as máquinas convencionais não podem ser adotadas para as máquinas sem mancais. Como o rotor tem a liberdade de se mover radialmente, o entreferro passa a variar de acordo com o deslocamento X e Y do rotor (considerando um plano perpendicular ao eixo axial). Com o entreferro não uniforme, as linhas de fluxo passam a assumir densidade e caminhos distintos, isso ocorre pelo fato de as indutâncias não apre-sentarem valores constantes, dependendo agora do valor do entreferro (ALWASH, 1995; BAOGUO; FENGXIANG; QISHI; BAOGUO, 2001; BARTHOD; LEMARQUAND, 1995; BOJOI et al., 2003; BOSSIO et al., 2001; DORREL; THOMSOM; ROACH, 1995).

O modelo da máquina sem mancais depende crucialmente da maneira como as indutâncias variam em função do deslocamento do rotor. A seguir, serão mostrados os valores de indutâncias próprias e mútuas das seis bobinas do estator, bem como das do rotor.

Descrição do protótipo

O primeiro protótipo foi construído na vertical no intuito de, inicialmente, facilitar o controle de posicionamento (FERREIRA, 2002). Seu topo é livre de movi-mentos e em sua base existe um mancal autocompensado que permite o rotor se

movimentar como um pião. Transpostas as dificuldades iniciais, a etapa seguinte diz respeito a uma máquina na horizontal, com dois conjuntos motor-mancal, na qual a gravidade passa a ser um fator a ser considerado.

O protótipo horizontal é uma máquina de indução trifásica, com potência de 1,5 kW, quatro polos, e possui mancais mecânicos somente para evitar que o rotor toque o estator na partida, bem como no caso de falha no controle.

Enrolamentos

A máquina sem mancais é derivada da máquina de indução convencional, o que ocorre mediante modificação no seu bobinado, tornando possível a realização do controle de posição radial. A máquina sem mancais apresenta modificações estruturais, tanto no rotor quanto no estator, que não a descaracterizam como máquina de indução. As modificações não afetam o funcionamento como máquina de indução, porém, levam em consideração o deslocamento radial do rotor.

Estator

A máquina sem mancais apresenta o bobinado do estator dividido em duas partes, e cada fase passa a ter duas bobinas, o que viabiliza o controle de posi-cionamento radial. As correntes que circulam nessas bobinas são controladas de forma independente e cada uma é alimentada por um inversor. Essa configuração permite o controle da posição do rotor sem que haja a necessidade de adicionar ao estator um outro enrolamento para o controle de posição. Portanto, o mesmo enrolamento que é responsável pelo acionamento da máquina passa a ser respon-sável também pelo controle de posição radial do rotor, manipulando-se apenas os campos nas bobinas divididas (FERREIRA, 2002, 2005).

As bobinas de uma mesma fase são dispostas em posições opostas em relação ao rotor, mantendo-se o defasamento de 120º entre as fases. O processo de centra-lização do rotor se dá devido ao fato de que, quando há um desbalanceamento no rotor, existe um aumento de corrente em uma bobina e uma diminuição na bobina oposta, sempre no sentido de aumentar a força na direção de maior entreferro e diminuí-la onde o entreferro é menor.

O fluxo da máquina de quatro polos sem mancais apresenta as mesmas características da máquina convencional, quando seu rotor se encontra centra-lizado, entretanto, quando isso não ocorre, há uma concentração maior de linhas de fluxo na região que exige maior força.

A Figura 10 mostra, esquematicamente, a disposição das bobinas no estator, a qual disponibiliza todos os terminais para as devidas ligações (KHOO, 2005).

Essa configuração faz com que o controle de posição atue adequadamente sem que haja interferência significativa na geração do torque, propiciando o funcionamento normal da máquina, uma vez que a corrente total por fase per-manece inalterada.

O arranjo implementado permite que haja uma divisão ponderada da corrente na fase e, portanto, quando ocorre um deslocamento do rotor em determinada direção, a corrente nas partes da bobina de uma mesma fase ficará desigual, aumentando em um lado e diminuindo no outro, devido a cada metade de bobina estar disposta simetricamente em relação ao rotor. Dessa forma, o controle atua para que a força aumente na direção de maior entreferro e enfraqueça no sentido oposto, mas sempre mantendo como soma das correntes nas duas partes o valor nominal de corrente, para que o campo girante não seja alterado.

Figura 10 – Representação esquemática do arranjo de bobinas do estator da máquina sem mancais

Fonte: autoria própria

A configuração de quatro polos e a disposição das bobinas no estator, mos-trada na Figura 11, possibilitam a implementação do controle de posicionamento tal como é proposto.

Figura 11– Bobinamento do estator

Fonte: autoria própria

Sendo T1 a T12 os terminais acessíveis da máquina, as bobinas azuis, verdes e vermelhas representam as fases a, b e c, respectivamente.

Rotor

Apesar de o rotor em gaiola de esquilo ser o tipo de rotor mais utilizado em máquinas de indução, este não foi adotado. Essa rejeição se deve ao fato de esse tipo de rotor não apresentar resposta satisfatória ao controle de posicionamento radial (CHIBA; FUKAO, 1998).

Para solucionar esse problema, foi adotada uma outra configuração, um rotor bobinado sem terminais acessíveis. Uma configuração de quatro polos foi adotada por apresentar melhores resultados com as máquinas sem mancais (CHIBA et al., 1996). A configuração para o rotor adotada pode ser vista na Figura 12.

Figura 12 – Configuração do rotor

Fonte: autoria própria

A Figura 12 mostra somente um circuito do rotor, embora existam quatro circuitos dessa natureza, igualmente espaçados. O modelo de rotor escolhido garante que somente serão gerados campos de quatro polos referentes à fre-quência de alimentação da máquina. Isso é conveniente, uma vez que circulam nas bobinas sinais modulados que injetam no sistema frequências superiores à frequência de alimentação. Os sinais com frequências mais elevadas facilmente causam interferências, mas com a utilização desse tipo de rotor, esses sinais são cortados, prevalecendo o sinal de alimentação da máquina.

O rotor é composto de material ferrolaminado, o que reduz o aparecimento de forças degenerativas resultantes de correntes que representam perdas. Seu momento de inércia é calculado no Apêndice B.

O sensor utilizado para medir a posição radial do rotor é um dispositivo eletrônico baseado em correntes parasitas fabricado pela Applied Electronics Corporation®, que mede deslocamento sem que haja contato. Para tanto, o dis-positivo é composto por um bloco amplificador e uma ponteira com um sinal de alta frequência.

Quando o material condutor é aproximado do campo magnético, as variações causadas no dispositivo, geradas pela variação de relutância, mudam a amplitude do sinal de alta frequência, na mesma proporção do deslocamento. O sensor atua de forma linear para valores de entreferro em torno de 1 mm.

Esse tipo de sensor opera em qualquer tipo de metal com características magnéticas ou não, porém, a resposta depende da condutividade elétrica ou magnética.

Campo magnético no entreferro

Para a determinação das indutâncias, é necessário, primeiramente, determi-nar o campo magnético resultante no entreferro, que é decorrência da interação das correntes do estator e do rotor.

Para dar início às análises envolvendo o campo magnético, primeiramente, são feitas algumas considerações. A máquina deve ser construída de tal forma que a soma líquida das correntes seja nula; o raio do rotor é muito maior que o tamanho do entreferro; o campo magnético apresenta o mesmo comportamento ao longo de todo comprimento axial da máquina, o desvio de comportamento do campo magnético nas extremidades da máquina é desconsiderado; e a permeabilidade do ferro é tida como infinita (SCHIMITZ, 1965).

A Lei de Ampere diz que:

H

_z

! "

!

.d l

>

#∫

=

corrente entrelaçada,

(21)

em que o caminho fechado que envolve a corrente da bobina z está em um plano perpendicular ao eixo da máquina. A corrente enlaçada terá valores diferentes, de acordo com a posição angular α. Aplicando-se a Equação 21, ao longo da porção do entreferro do caminho da corrente, tem-se:

H_z ! "! α

( )

.d l>

!∫

=

∫

_entreferroH" #"_z

( )

α d l>

,

(22)

ou ainda: H_z u ru α

( )

d l> entreferro

∫

=H_z

( )

α g α

( )

−H_z

( )

0 g 0

( )

.

(23)

Em que g(α) é a função entreferro. A parcela Hz(0) aparece em todas as situações, pois o caminho fechado sempre passa por α = 0, como representado na Figura 6.

A corrente enlaçada que aparece na Equação 21 pode ser descrita como:

em que n_z é definida como função volta, a qual representa o número líquido de condutores que carrega corrente positiva de um referencial zero até uma posição arbitrária, que para o caso da máquina sem mancais estudada será descrita mais adiante.

Assim sendo, agrupando-se as Equações 23 e 24, tem-se:

H_z

( )

α g α

( )

−H_z

( )

0 g 0

( )

=n_z

( )

α i_z

,

(25)

e isolando H_z(α) tem-se

H_z

( )

α =nz

( )

α iz+Hz

( )

0 g 0

( )

g α

_{( )}

.

(26)

Para facilitar os cálculos, a função inversa do entreferro será considerada ao invés da função entreferro, a qual será definida mais adiante. Reescrevendo a Equação 26, tem-se:

H_z

( )

α =_⎡⎣n_z

( )

α i_z+H_z

( )

0 g 0

( )

_{⎤⎦.P α}

( )

₍₂₇₎

Aplicando-se a lei de Gauss para o campo magnético, a qual diz que o fluxo magnético total que cruza uma superfície fechada é igual a zero, tem-se:

φ

_total

=

_!∫

_s

B.dA

=µ

₀

_!∫

_s

H.dA

=

0.

₍₂₈₎

Como H_z(α) é normal à superfície do rotor, a integral da Equação 28 pode

ser simplificada a: B.dA

s

!∫

=µ₀rl

∫

₀2πH_z

( )

α dα=0,

(29)

Substituindo-se a Equação 27 na Equação 29, tem-se: µ₀rl

_∫

₀2π_⎡⎣n_z

( )

α i_z+H_z

( )

0 g 0

( )

_{⎤⎦⋅P α}

( )

dα=0,

(30)

Reescrevendo, tem-se: H_z

( )

0 =−izu0rl 0 nz

( )

α .P α

( )

dα 2π

∫

g 0

( )

µ₀rl

_∫

₀2πP α

( )

dα

.

(31)

Chamando g(0) de g₀ e fazendo-se as devidas simplificações, tem-se:

H_z

( )

0 = −iz 0 nz

( )

α .P α

( )

dα 2π

∫

g₀

∫

₀2πP α

( )

dα

.

₍₃₂₎

Substituindo-se a Equação 32 na Equação 27 vem: H_z

( )

α = n_z

( )

α − 0 nz

( )

α .P α

( )

dα 2π

∫

P α

_{( )}

dα 0 2π

∫

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ .i_zP α

_{( )}

.

₍₃₃₎

Função inverso do entreferro

Um parâmetro importante na obtenção da indutância mútua é a função inverso do entreferro. Essa função é utilizada em vez da própria função entreferro, para facilitar a manipulação matemática, uma vez que a função entreferro sempre aparece no denominador das equações, o que dificulta o cálculo de integrais, por exemplo.

A equação da função inversa do entreferro é obtida a partir da expressão do entreferro que foi aproximada pelos primeiros dois termos da série de Fourier, a qual pode ser usada para qualquer máquina com rotor e estator cilíndrico (FAIZ; TABATABAEI, 2002).

g α

_{( )}

≈g₀−g₀δcos α− γ

(

)

₍₃₄₎

em que α é o ângulo de referência em relação à bobina a1 no estator e γ indica a direção do deslocamento do rotor e está melhor representada na Figura 13, em decorrência de um deslocamento com componentes x e y.

Figura 13 – Ângulo do deslocamento do rotor

Fonte: autoria própria

A função inversa do entreferro em função da posição do rotor ao longo do entreferro é dada por:

P α

_{( )}

= 1

g

₀

P

i

cos iα−iγ

(

)

i=0 ∞

∑

,

(35)

em que

γ =

arctg y

x

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟ para x ≤ 0

arctg y

x

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟+ π para x < 0

⎧

⎨

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

(36)

e P₀= 1 1− δ2 P_i= 2 1− δ2 1− 1− δ2 δ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ i ,i = 1,2,3... ,

(37)

sendo:

δ =

x

2

₊

_y

2

g

₀

(38)

em que x e y são os deslocamentos do rotor no plano que corta a máquina perpendicularmente ao rotor.

Sugere-se que a Equação 37 seja aproximada com i = 2, assumindo valor igual à (metade do número de polos), como a máquina aqui estudada apresenta 4 polos, então, será feito i = 2. Portanto, P(α) será definida como:

P α

_{( )}

= 1

g

₀

1

1−δ

2

cos 0

( )

+

2

1−δ

2

1− 1−δ

2

δ

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟cos

(

α − γ

)

+

+

2

1−δ

2

1− 1−δ

2

δ

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

2

cos 2α−2γ

₍

₎

⎛

⎝

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

.

(39)

Ou ainda: P α

_{( )}

= k1 g₀

(

1+2.k2.cos α− γ

(

)

+2.k22cos 2α−2γ

(

)

)

.

(40)

em que:

k1= 1

1−δ

2

k2= 1− 1−δ

2

δ

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

(41)

e na forma exponencial tem-se:

P α

_{( )}

= k1

g

₀

(

1+k2e

jα

e

−jγ

+

k2e

−jα

e

jγ

+

k2

2

e

j2α

e

−j2γ

+

k2

2

e

−j2α

e

j2γ

)

. (42)

Observa-se que, para o rotor centralizado, k1 assume a unidade e k2 torna-se zero.

Função enrolamento

A função enrolamento (winding function) (SCHMITZ; NOVOTNY, 1965) para o entreferro não uniforme é definida a partir da Equação 43 como sendo:

N_z

( )

α =n_z

( )

α − 0 nz

( )

α .P α

( )

dα 2π

∫

P α

_{( )}

dα 0 2π

∫

.

(43)

Para o caso do entreferro uniforme, a função inversa do entreferro seria constante, e a integral da função volta seria simplesmente uma média (avg) da função. Logo, a função enrolamento se resumiria a:

N_z

( )

α =n_z

( )

α −avg.n_z.

₍₄₄₎

A relação da função enrolamento com o campo magnético, para a máquina com o entreferro não uniforme, tendo em vista as Equações 33 e 43, é então dada por:

É importante observar que usar a função enrolamento simplificada, usada para a máquina convencional com entreferro não uniforme, na máquina sem mancais seria um erro. A variação no entreferro implica em um deslocamento vertical na função enrolamento, e uma consideração equivocada geraria erros em parâmetros calculados posteriormente.

Para a distribuição de bobinas da máquina sem mancal estudada, a função

n_z definida para cada bobina do estator é representada na Figura 14. As bobinas do estator são consideradas iguais e com quantidade N de bobinas.

Figura 14 – Função volta das bobinas do estator

Fonte: autoria própria

Para determinar a função enrolamento definida na Equação 43, inicialmente será calculada a primeira integral genérica para uma bobina z:

n_z

( )

α .P α

( )

dα 0 2π

∫

= Nk1 g₀

(

1+2.k2.cos α− γ

(

)

+2.k22cos 2α−2γ

(

)

)

dα, θ1 θ2

∫

(46)

onde θ1 e θ2 são os limites de ativação da função n_z. Solucionando-se, vem: n_z

( )

α .P α

( )

dα 0 2π

∫

= Nk1 g₀ θ2−θ1+2.k2. sen θ2− γ

(

₍

₎

−sen θ1− γ

(

)

)

+ +k22

₍

sen 2θ2−2γ

₍

₎

−sen 2θ1−2γ

₍

₎

₎

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

_.

(47)

Já a segunda integral da Equação 43 é dada por:

P α

_{( )}

dα 0 2π

∫

= k1 g₀

(

1+2.k2.cos α− γ

(

)

+2.k22cos 2α−2γ

(

)

)

dα, 0 2π

∫

(48)

que é igual a: P 0 2π

∫

( )

θ dθ = 2πk1 g₀ .

(49)

Substituindo as Equações 47 e 49 na Equação 43, tem-se a expressão da função enrolamento para uma determinada bobina Z.

N

_z

( )

α

=

n

_z

( )

α

− N

2π

θ2−θ1+2.k2. sen θ2− γ

(

₍

₎

−

sen θ1− γ

(

)

)

+

+k2

2

(

sen 2θ2−2γ

₍

₎

−

sen 2θ1−2γ

(

)

)

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

.

(50)

Expressões genéricas de fluxo e indutância

Para que sejam determinadas as indutâncias, primeiramente serão deter-minados os enlaces de fluxo. De uma forma genérica, pode-se escrever o fluxo concatenado como sendo

λ =

∫∫

_sB.dA,

₍₅₁₎

em que a superfície S é qualquer superfície limitada pelos condutores que compõe o enrolamento. Partindo-se das considerações anteriores, a Equação 51 pode ser simplificada a:

λ =rl B

∫

_{α z}

( )

α dα,

₍₅₂₎

sendo B_z a densidade de campo no entreferro.

Os limites dessa integração são determinados pela configuração específica do enrolamento em análise. Uma maneira de simplificar tal escolha seria a utilização da função volta, o que descartaria a preocupação de definir apropriadamente os limites da integração. Portanto, a Equação 52 é reescrita como:

λ =rl n_z

( )

α B_z

( )

α dα.

0 2π

∫

(53)

A expressão da densidade do campo no entreferro é definida como:

B_z

( )

α =µ₀H_z

( )

α .

₍₅₄₎

Substituindo a Equação 45 na Equação 54, tem-se:

B_z

( )

α =µ₀i_zN_z

( )

α P α

( )

,

₍₅₅₎

e substituindo então a Equação 55 na Equação 53, vem: λ =rlµ₀i_z n_z

( )

α N_z

( )

α P α

( )

dα.

0 2π

∫

(56)

Indutâncias próprias

O cálculo das indutâncias próprias é dado através da relação do fluxo com a corrente da bobina genérica z,

L_zz=λzz

i_z =rlµ0 nz

( )

α Nz

( )

α P α

( )

dα. 0

2π

A Equação 57 é inclusive válida para as bobinas do rotor.

Uma forma de simplificar a Equação 57 é substituir a expressão da função enrolamento, dada pela Equação 43, então:

L_zz=λzz i_z =rlµ0 nz

( )

θ nz

( )

θ − n_z

( )

θ .P θ

( )

dθ 0 2π

∫

P θ

_{( )}

dθ 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟⎟P θ

( )

dθ, 0 2π

∫

(58)

simplificando vem:

L

_zz

=

rlµ

₀

n

_z2

_{P − rlµ}

0

n

_z

P

2

P

,

(59)

onde f = f α

_{( )}

dα. 0 2π

∫

(60)

Indutâncias mútuas

Para a determinação das indutâncias mútuas das bobinas, será necessário reescrever a expressão do fluxo como fluxo mútuo, então tem-se:

λ_zw=rlµ₀i_w n_z

( )

α N_w

( )

α P α

( )

dα

0 2π

∫

,

(61)

logo a expressão para a indutância mútua é:

L_zw=λzw

i_w =rlµ0 nz

( )

α Nw

( )

α P α

( )

dα. 0

2π

∫

(62)

Simplificando da mesma forma como no caso da indutância própria, tem-se:

L_zw=λzw i_w =rlµ0 nz

( )

α nw

( )

α − n_w

( )

α .P α

( )

dα 0 2π

∫

P α

_{( )}

dα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟⎟P α

( )

dα. 0 2π

∫

(63)

Então tem-se:

L

_zw

=

rlµ

₀

n

_z

n

_w

P −rlµ

₀

n

z

P n

w

P

P

.

(64)

Cálculo das indutâncias da máquina sem mancais

O cálculo das indutâncias será dividido em três partes, as indutâncias próprias e mútuas entre as bobinas do estator, as indutâncias próprias e mútuas entre as bobinas do rotor e, por fim, as indutâncias mútuas geradas em decorrência da interação estator-rotor.

Indutância própria e mútua das bobinas do estator

Para que sejam determinadas as indutâncias de cada bobina, serão calculadas inicialmente as integrais que compõem suas expressões. Será analisada a expressão de indutância que está representada na Equação 64, que foi reescrita na forma:

L_zw=µ₀rl P α

( )

n_z

( )

α n_w

( )

α dα− P α

_{( )}

n_z

( )

α dα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ P α

( )

n_w

( )

α dα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ P α

_{( )}

dα 0 2π

∫

0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

(65)

e para a indutância própria:

L_z=µ₀rl P α

( )

n_z2

( )

α dα− P α

_{( )}

n_z

( )

α dα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ 2 P α

_{( )}

dα 0 2π

∫

0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

(66)

ou ainda:

L_zw=µ₀rl integral 3−

(

integral 1

)

(

integral 2

)

integral 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟

(67)

e L_z=µ₀rl integral 5−

(

integral 1

)

2 integral 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟.

(68)

Para que se possa encontrar os valores de indutância, é necessário encontrar as funções que compõem a sua expressão. Partindo-se da expressão genérica das Equações 65 e 66 de indutância entre duas bobinas, z e w, tem-se as integrais do tipo:

integral 1 ⇒ P α

_{( )}

n_z

( )

α dα 0 2π

∫

integral 2 ⇒ P α

_{( )}

n_w

( )

α dα 0 2π

∫

integral 3 ⇒ P α

_{( )}

n_z

( )

α n_w

( )

α dα 0 2π

∫

integral 4 ⇒ P α

_{( )}

dα 0 2π

∫

integral 5 ⇒ P α

_{( )}

n2_w

_{( )}

_{α dα} 0 2π

∫

Antes de iniciar o cálculo das integrais, é necessário definir os limites da função volta, que é diferente para cada bobina do estator. Os limites são chamados de θ1 e θ2 e são mostrados na Tabela 1.

Tabela 1 – Ângulos limites para ativação da função volta do estator Bobina θ1 θ2 a1 − π 4 π 4 a2 3π 4 5π4 b1 5π 12 11π12 b2 17π 12 23π12 c1 13π 12 19π12 c2 π 12 7π12

Fonte: autoria própria

Cálculo da integral 1

P α

_{( )}

n_z

( )

α dα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟

Considerando a bobina genérica z e a Equação 40 para a função inversa do entreferro, a integral 1 é dada por:

P α

_{( )}

n_z

( )

α dα 0 2π

∫

= N.k1 g_{0 θ1}

(

1+2.k2.cos α− γ

(

)

+2.k22cos 2α−2γ

(

)

)

dα. θ2

∫

(69)

em que N é o número de voltas da bobina z, e n_z assume valor diferente de

Solucionando a integral 1, tem-se: P α

_{( )}

n_z

( )

α dα 0 2π

∫

= N.k1 g₀ . θ₂−θ₁

(

)

+2.k2. sen θ

(

(

₂− γ

)

−sen θ

(

₁− γ

)

)

+ +k22

₍

sen 2θ

₍

₂−2γ

₎

−sen 2θ

₍

₁−2γ

₎

₎

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥.

(70)

Arrumando a equação vem:

P α

_{( )}

n_z

( )

α dα 0 2π

∫

= Nk1 g₀ . θ₂−θ₁

(

)

+

+2.k2. cos γ

( )

. sen θ

(

( )

2 −sen θ

( )

1

)

−sen γ

_{( )}

. cos θ

₍

_{( )}

₂ −cos θ

_{( )}

₁

₎

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ +k22 cos 2γ

( )

. sen 2θ

(

( )

2 −sen 2θ

( )

1

)

−sen 2γ

_{( )}

. cos 2θ

(

_{( )}

₂ −cos 2θ

( )

₁

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .

₍₇₁₎

Cálculo da integral 2

P α

( )

nw

( )

α dα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟

A integral 2 tem a mesma forma da integral 1, variando apenas os limites

θ₁ e θ₂ da função n_z utilizada (ver Tabela 1).

P α

_{( )}

n_w

( )

α dα 0 2π

∫

= Nk1 g₀ . θ₂−θ₁

(

)

+

+2.k2. cos γ

( )

. sen θ

(

( )

2 −sen θ

( )

1

)

−sen γ

_{( )}

. cos θ

(

_{( )}

₂ −cos θ

( )

₁

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ +k22 cos 2γ

( )

. sen 2θ

(

( )

2 −sen 2θ

( )

1

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θ

(

( )

₂ −cos 2θ

( )

₁

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .

₍₇₂₎

Cálculo da integral 3

P α

( )

nz

( )

α nw

( )

α dα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟

O cálculo da integral 3 também apresenta semelhança com o cálculo da integral 1, a mesma equação pode ser utilizada se os limites de integração θ₁ e θ₂ forem substituídos pelos limites θ₃ e θ₄ de interseção das funções n_z e n_w utilizadas. Os valores de θ₃ e θ₄ para a interseção das bobinas do estator são mostrados na Tabela 2.

Portanto, a integral 3 também apresenta a mesma forma:

P α

( )

n_z

( )

α n_w

( )

α dα 0 2π

∫

= N2k1 g₀ ⋅ θ₄− θ₃

(

)

+2.k2. cos γ

( )

. sen θ

(

( )

4 −sen θ

( )

3

)

−sen γ

( )

. cos θ

(

( )

₄ −cos θ

( )

₃

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ +k22 cos 2γ

( )

. sen 2θ

(

( )

4 −sen 2θ

( )

3

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θ

(

( )

₄ −cos 2θ

( )

₃

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .

₍₇₃₎

Tabela 2 – Ângulos limites de interseção das funções volta do estator (θ3 a θ4)

a1 a2 b1 b2 c1 c2 a1 - 0 a 0 0 a 0 7π 4 a 2312π 0 a 0 12π aπ4 a2 0 a 0 - 3π 4 a 11 π 12 0 a 0 13π12 a 5 π 4 0 a 0 b1 0 a 0 3π 4 a 11 π 12 - 0 a 0 0 a 0 5π12a 7 π 12 b2 7π 4 a 23 π 12 0 a 0 0 a 0 - 17π12 a 19 π 12 0 a 0 c1 0 a 0 13π 12 a 5 π 4 0 a 0 17π 12 a 19 π 12 - 0 a 0 c2

π

12

a

π

4

0 a 0 5π12a 7 π 12 0 a 0 0 a 0

Cálculo da integral 4

P α

( )

dα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟

O cálculo da integral 4, que envolve a integral da função inversa do entre-ferro, é dado por:

P α

_{( )}

dα 0 2π

∫

= k1 g₀ 0 2π

∫

(

1+2.k2.cos α− γ

₍

₎

+2.k22cos 2α−2γ

(

)

)

dα,

₍₇₄₎

P α

_{( )}

dα 0 2π

∫

= k1

g₀⎣⎡2π+2.k2. sen 2π− γ

(

(

)

−sen −γ

( )

)

+k22

(

sen 4π−2γ

(

)

−sen −2γ

( )

)

⎤⎦

(75)

Logo, P α

( )

dα 0 2π

∫

= 2π⋅k1 g₀

.

(76)

Cálculo da integral 5

P α

( )

nz2dα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟

A integral 5 é semelhante à integral 3, onde os limites θ1 e θ2 são os limites de ativação da bobina Z, de acordo com a Tabela 1.

P α

_{( )}

n2_z

_{( )}

_{α dα} 0 2π

∫

= N2k1 g₀ θ₂−θ₁

(

)

+2.k2. cos γ

( )

. sen θ

(

( )

2 −sen θ

( )

1

)

−sen γ

_{( )}

. cos θ

(

_{( )}

₂ −cos θ

( )

₁

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ +k22 cos 2γ

( )

. sen 2θ

(

( )

2 −sen 2θ

( )

1

)

−sen 2γ

_{( )}

. cos 2θ

(

_{( )}

₂ −cos 2θ

( )

₁

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .

₍₇₇₎

Conhecendo-se todas as integrais envolvidas, tem-se que a expressão para a indutância mútua é:

Lzw=µ0rl integral 3−

(

integral 1_{integral 4}

)

(

integral 2

)

⎛ ⎝

⎜⎜ ⎞

⎠

e para a indutância própria: L_z=µ₀rl integral 5−

(

integral 1

)

2 integral 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟,

(79)

cujas integrais foram definidas, em resumo, como: integral 1 P α

( )

n_z

( )

αdα 0 2π

∫

= Nk1⋅ g₀ ⋅ θ₂− θ₁

(

)

+2.k2. cos γ

(

( )

. sen θ

(

( )

2 −sen θ

( )

1

)

−sen γ

( )

. cos θ

(

( )

2 −cos θ

( )

1

)

)

+ +k22 _{cos 2γ}

( )

_{. sen 2θ}

2

( )

−sen 2θ

( )

₁

(

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θ

(

( )

₂ −cos 2θ

( )

₁

)

(

)

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

(80)

integral 2 P α

( )

n_w

( )

αdα 0 2π

∫

= Nk1 g₀ ⋅ θ₂− θ₁

(

)

+2.k2. cos γ

(

( )

. sen θ

(

( )

₂ −sen θ

( )

₁

)

−sen γ

( )

. cos θ

(

( )

₂ −cos θ

( )

₁

)

)

+ +k22 _{cos 2γ}

( )

_{. sen 2θ}

2

( )

−sen 2θ

( )

1

(

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θ

(

( )

2 −cos 2θ

( )

1

)

(

)

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

(81)

integral 3 P α

( )

n_z

( )

α n_w

( )

α dα 0 2π

∫

= N2k1 g0 ⋅ θ₄− θ₃

(

)

+2.k2. cos γ

( )

. sen θ

(

( )

4 −sen θ

( )

3

)

−sen γ

( )

. cos θ

(

( )

4 −cos θ

( )

3

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+

+k22 cos 2γ

( )

. sen 2θ

(

( )

4 −sen 2θ

( )

3

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θ

(

( )

₄ −cos 2θ

( )

₃

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(82)

integral 4 P α

_{( )}

dα = 2π.k1 g₀ 0 2π

∫

(83)

integral 5 P α

( )

n2z

( )

α dα = N 2_k1 g₀ . θ₂− θ₁

(

)

+2.k2. cos γ

( )

. sen θ

(

( )

2 −sen θ

( )

1

)

−sen γ

( )

. cos θ

(

( )

₂ −cos θ

( )

₁

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+

+k22 cos 2γ

( )

. sen 2θ

(

( )

2 −sen 2θ

( )

1

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θ

(

( )

2 −cos 2θ

( )

1

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 2π

∫

(84)

Indutância própria e mútua das bobinas do rotor

O rotor adotado apresenta características particulares, como visto anterior-mente. Essa mudança no rotor faz com que as interferências sejam minimizadas, uma vez que garante a presença apenas de sinais de quatro polos, relativos ao acionamento e, consequentemente, à geração de força. Portanto, o rotor funciona como um “espelho” para as correntes que geram o torque e descarta os demais sinais, referentes às variações de correntes que surgem com o controle de posição radial, por exemplo.

Em uma abordagem convencional da máquina de indução, a modelagem da máquina que apresenta um rotor em gaiola é baseada no que é refletido pelo rotor a partir do estator. Essa característica também pode ser aplicada ao estudo da máquina sem mancais, uma vez que, do ponto de vista de acionamento, o rotor de quatro polos apresenta o mesmo princípio do rotor em gaiola.

Portanto, a Figura 15 mostra a função n_R definida para cada bobina do rotor, em que as bobinas são consideradas iguais e com quantidade N_R de voltas.

Figura 15 – Função volta das bobinas do rotor

Fonte: autoria própria

Dessa forma, a indutância própria do rotor, para uma bobina genérica R, é definida por:

L_R= µ₀rl P β

( )

n_R z 2

( )

_{β dβ} 0 2π

∫

− P β

( )

n_R

( )

βdβ 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 P β

( )

dβ 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

,

₍₈₅₎

e a indutância mútua entre as bobinas Ri e Rj do rotor por:

LRiRj= µ0rl P β

( )

nRi

( )

β nRj

( )

βdβ 0 2π

∫

− P β

_{( )}

nRi

( )

βdα 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ P β

( )

nRj

( )

βdβ 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ P β

_{( )}

dβ 0 2π

∫

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

(86)

em que β=α-ε, sendo ε o ângulo que determina a posição do rotor. As indutân-cias podem ainda ser escritas em função das integrais:

L_R=µ₀rl integral 5_R−integral 1R 2 integral 4_R ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟

(87)

e

L_RiRj=µ₀rl integral 3_R−

(

integral 1R

)

(

integral 2R

)

integral 4_R ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟,

(88)

sendo as integrais definidas por: integral 1_R P β

( )

nRi

( )

βdβ 0 2π ∫ = NRk1 g0 . θr₂− θr₁

(

)

+2.k2. cos γ

(

( )

. sen θr

(

( )

₂ −sen θr

( )

₁

)

−sen γ

( )

. cos θr

(

( )

₂ −cos θr

( )

₁

)

)

+ +k22 _{cos 2γ}

( )

_{. sen 2θr}

2

( )

−sen 2θr

( )

1

(

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θr

(

( )

2 −cos 2θr

( )

1

)

(

)

+

θr₄− θr₃

(

)

+2.k2. cos γ

(

( )

. sen θr

(

( )

₄ −sen θr

( )

₃

)

−sen γ

( )

. cos θr

(

( )

₄ −cos θr

( )

₃

)

)

+ +k22 _{cos 2γ}

( )

_{. sen 2θr}

4

( )

−sen 2θr

( )

₃

(

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θr

(

( )

₄ −cos 2θr

( )

₃

)

(

)

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(89)

integral 2_R P β

( )

n_Rj

( )

βdβ 0 2π ∫ = NRk1 g₀ . θr₂− θr₁

(

)

+2.k2. cos γ

(

( )

. sen θr

(

( )

₂ −sen θr

( )

₁

)

−sen γ

( )

. cos θr

(

( )

₂ −cos θr

( )

₁

)

)

+ +k22 _{cos 2γ}

( )

_{. sen 2θr}

2

( )

−sen 2θr

( )

₁

(

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θr

(

( )

₂ −cos 2θr

( )

₁

)

(

)

+

θr4− θr3

(

)

+2.k2. cos γ

(

( )

. sen θr

(

( )

4 −sen θr

( )

3

)

−sen γ

( )

. cos θr

(

( )

4 −cos θr

( )

3

)

)

+

+k22 _{cos 2γ}

( )

_{. sen 2θr} 4

( )

−sen 2θr

( )

₃

(

)

−sen 2γ

( )

. cos 2θr

(

( )

₄ −cos 2θr

( )

₃

)

(

)

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(90)

integral 3_R P β

_{( )}

n_Ri

( )

β n_Rj

( )

β dβ 0 2π

∫

=NR2k1 g₀ . θi₂−θi₁

(

)

+2.k2. cos γ

( )

. sen θi

(

( )

2 −sen θi

( )

1

)

−sen γ

_{( )}

. cos θi

(

_{( )}

₂ −cos θi

( )

₁

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ +k22 cos 2γ

( )

. sen 2θi

(

( )

2 −sen 2θi

( )

1

)

−sen 2γ

_{( )}

. cos 2θi

(

_{( )}

₂ −cos 2θi

(

₁

)

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ + θi

₍

₄−θi₃

₎

+2.k2. cos γ

( )

. sen θi

(

( )

4 −sen θi

( )

3

)

−sen γ

_{( )}

. cos θi

(

_{( )}

₄ −cos θi

( )

₃

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ +k22 cos 2γ

( )

. sen 2θi

(

(

4

)

−sen 2θi

( )

3

)

−sen 2γ

_{( )}

. cos 2θi

(

₍

₄

₎

−cos 2θi

( )

₃

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(91)

integral 4_R P β

_{( )}

dβ 0 2π

∫

= 2π.k1 g₀

(92)

integral 5_R P β

_{( )}

n_Ri2

_{( )}

_{β dβ} 0 2π

∫

=NR 2_k1 g₀ . θr₂−θr₁

(

)

+2.k2. cos γ

( )

. sen θr

(

( )

2 −sen θr

( )

1

)

−sen γ

_{( )}

. cos θr

₍

_{( )}

₂ −cos θr

_{( )}

₁

₎

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ +k22 cos 2γ

( )

. sen 2θr

(

( )

2 −sen 2θr

( )

1

)

−sen 2γ

_{( )}

. cos 2θr

(

_{( )}

₂ −cos 2θr

(

₁

)

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ + θr

₍

₄−θr₃

₎

+2.k2. cos γ

( )

. sen θr

(

( )

4 −sen θr

( )

3

)

−sen γ

( )

. cos θr

(

( )

₄ −cos θr

( )

₃

)

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟+ +k22 cos 2γ

( )

. sen 2θr

(

(

4

)

−sen 2θr

(

3

)

)

−sen 2γ

_{( )}

. cos 2θr

₍

₍

₄

₎

−cos 2θr

₍

₃

₎

₎

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(93)