A Distribuição de Weibull Aplicada à Fiabilidade
Trabalho Prático de Investigação - Tema 1
Resumo
Pretende-se com este trabalho caracterizar a fiabilidade a partir da distribuição de Weibull. Para tal, é necessária a introdução de conceitos básicos de fiabilidade assim como as características da referida distribuição. Esta abordagem da fiabilidade requer a existência de dados estatísticos ou histórico de falhas.
1. Introdução
Diante de um mercado altamente competitivo, onde os clientes estão-se a tornar cada vez mais exigentes, e os produtos, por sua vez, cada vez mais complexos, as empresas têm vindo a sentir a necessidade de modernização das suas linhas de produção. Entretanto mostra-se necessário que tal modernização venha acompanhada de procedimentos que, baseados em informações quantitativas, sejam capazes de optimizar a utilização e a manutenção desses novos meios produtivos.
Nesse sentido, impulsionada pelo aparecimento de softwares, especialmente desenvolvidos para facilitar a resolução de cálculos e para gerar relatórios instantâneos, a engenharia da fiabilidade vem ganhando cada vez mais destaque, uma vez que tem como principal objectivo estabelecer, através de modelos estatísticos, o tempo no qual um sistema estará disponível, informação fundamental tanto para a proposição do tempo de garantia de um determinado produto quanto para a gestão da manutenção de um ambiente fabril.
2. A gestão da manutenção como Instrumento de Competitividade
Com as frequentes mudanças ocorridas na economia, têm levado as empresas a procurarem diferenciadores em seus processos produtivos. Não basta somente produzir a um menor custo, deve-se agregar ao produto qualidade, preço e prazo de entrega. Neste sentido, as empresas devem projectar produtos que tenham o máximo de valor agregado com custos reduzidos, a fim de aumentar a produtividade. A produtividade de um produto pode ser descrita pelo quociente entre qualidade e custos. Uma vez que os padrões de qualidade são ditados pelos clientes, que a cada dia estão mais exigentes, para uma empresa tornar-se produtiva, ela deve minimizar seus custos de produção. Portanto, para se desenvolver e para se tornar mais eficiente, mostra-se necessário que um grande esforço seja empenhado à gestão da manutenção.
Desta forma, a manutenção tem evoluído significativamente, deixando em segundo plano o papel de conservar (consertar ou reparar) dando prioridade ao manter (prevenir, corrigir). Na busca de uma maior produtividade, a gestão da produção trilhou os seguintes passos evolutivos:
I - Manutenção Correctiva: Reparar quando falhar; II - Manutenção Preventiva: Reparar antes que falhe;
III - Manutenção Condicionada: monitorar e reparar somente na eminência de falha;
3. Conceitos básicos 3.1 Definição de falha
O que é uma falha?
Falha é o limite da capacidade de um item em desempenhar a função requerida. Entretanto, o
item pode estar degradado ou ao mesmo tempo avariado e ainda não causar uma falha. A esse fenómeno é atribuído o nome de defeito, que significa qualquer desvio de uma característica de um item em relação aos seus requisitos.
As falhas, para objectivos deste trabalho, são classificadas em duas categorias:
Falha funcional: incapacidade de um item de desempenhar uma função específica dentro de
limites desejados. Também é conhecida como estado de falha;
Falha potencial: condição identificável e mensurável que indica uma falha funcional pendente
ou em processo de ocorrência. Muitas vezes se apresenta em forma de defeito.
Prevenir e corrigir falhas constituem os objectivos primários da manutenção. Para isto é necessário conhecer como os itens falham, caracterizando a forma como as falhas ocorrem.
3.2 Modo de falha
Modo de falha é um evento ou condição física que causa uma falha funcional. Está associado à
causa da transição do estado normal para o estado anormal. Em geral podem ser divididos em mecânicos, eléctricos, estruturais e humanos.
3.3 Tempo até à falha
O tempo até falha pode ser definido como o tempo decorrido desde o instante em que o item é colocado em funcionamento até à sua primeira falha. Pode assumir valores discretos, como por exemplo, o número de ciclos até à falha.
3.4 Probabilidade de falha
A densidade de probabilidade de ocorrência de falha é definida pela modelagem da variação temporal da probabilidade de falha funcional do item por unidade de tempo. É a definição matemática do valor associada à probabilidade de ocorrência deste valor. É encontrada através da equação 1.
A distribuição de probabilidade acumulada de ocorrência de falha é definida como a probabilidade de falha de um item em uma missão de duração menor ou igual a t. É encontrada através da equação 2.
dt
t
dF
t
f
(
)
(
)
(1)
tf
t
dt
t
F
(
)
(
)
(2)onde f(t) é a função densidade de probabilidade de falha, F(t) é a distribuição de probabilidade acumulada de falhas e t é o tempo até falha.
3.5 Fiabilidade
Sob o enfoque da manutenção preventiva mostra-se indispensável a utilização de ferramentas quantitativas capazes de medir o risco de falha de um dado componente. Define-se fiabilidade como sendo “a probabilidade de um item desempenhar satisfatoriamente a função requerida, sob condições de operação estabelecidas, por um período de tempo predeterminado”. Uma vez que a fiabilidade e o tempo de falha de um dado componente são acontecimentos complementares, fica evidente a relação entre o estudo de fiabilidade e o sucesso da manutenção preventiva.
Matematicamente, a fiabilidade é descrita segundo as Equações 3 ou 4:
tdt
t
f
t
R
(
)
(
)
(3))
(
1
)
(
t
F
t
R
(4) Onde:R(t) é a fiabilidade; f (t) é a função da densidade de probabilidade (f. d. p.) e t é o período de vida útil.
3.6 Taxa de falha ou função de risco
A taxa de falha, também conhecida como função de risco, é definida pela probabilidade condicional da ocorrência de falha no intervalo de t a t + dt, dado que não houve falha até o instante t, divido pelo intervalo dt. A função é representada matematicamente pela equação 5.
)
(
)
(
)
(
)
(
t
R
t
f
t
h
t
(5) 3.7 Variáveis aleatóriasSe uma variável aleatória puder assumir valores numa escala contínua é uma variável aleatória continua. A probabilidade que um valor particular de uma variável aleatória contínua se verifique é zero, devido à infinidade de valores possíveis. Portanto no caso de variáveis contínuas, é necessário considerar a probabilidade de que a variável aleatória fique dentro de um intervalo, mais do que um ponto. A probabilidade de que t fique num valor do intervalo tx a ty é:
t
t
t
f
t
dt
p
y x t t y x
(
)
(6)e f(t) é uma função densidade para a variável aleatória continua.
1
)
(
f
t
dt
z a t t (7)Podemos, através de um do histograma de frequências relativas, comprová-lo.
Se pensarmos num certo número de máquinas similares sujeitas a varia, não esperaremos que cada uma delas falhe depois do mesmo número de horas de funcionamento. Anotando o tempo de funcionamento até a avaria de cada máquina é possível traçar um histograma no qual a área associada com qualquer intervalo mostre a frequência relativa da avaria ocorrendo nestes intervalos (ver figura 1).
Figura 1- Histograma
Se agora desejarmos determinar a probabilidade de um avaria ocorrer entre os tempos de funcionamento tx e ty multiplica-se a ordenada y pelo intervalo (ty - tx).
Assim, a probabilidade de avaria ocorrer entre os tempos ta e tz, em que ta e tz são
respectivamente as horas de funcionamento mais baixas e mais elevadas em que o equipamento falhou, é a unidade. Isto é, admite-se como certo a ocorrência da avaria no intervalo (ta, tz) e a área do histograma é igual a 1.
Em estudos de manutenção opta-se em vez dos histogramas de frequência relativa, as funções de densidade de probabilidade. Estas são semelhantes àqueles excepto que é usada uma curva contínua, como indicado na figura 2. A equação da curva função de densidade é designada por f(t).
Figura 2 - Gráfico função de densidade de probabilidade
Tal como com a área sob o histograma de frequência relativa, a área sob a curva de densidade de probabilidade é igual à unidade.
4. Distribuição de Weibull
Nomeada pelo seu criador Waloddi Weibull, a distribuição Weibull é a mais utilizada em estudos de fiabilidade, de entre as funções de densidade de probabilidade existentes, análise de sobrevivência e em outras áreas devido a sua versatilidade.
Ernst Hjalmar Waloddi Weibull (18 de Junho de 1887-Annecy, 12 de Outubro de 1979) foi um engenheiro e matemático sueco. É reconhecido pelo seu trabalho na área da fadiga de materiais e na estatística pelos seus estudos sobre a distribuição de Weibull.
Uma distribuição é definida matematicamente pela sua equação de função de densidade de probabilidade (f. d. p.). Existem outras formas de parametrizar a distribuição Weibull, mas a expressão mais geral da f. d. p. da distribuição weibull de 3 parâmetros, é dada pela equação 8.
te
t
t
f
1)
(
(8) onde: t>0; β>0 e η >0t é a variável que define o período de vida útil podendo ser expresso em distância percorrida (km), em número de ciclos (n) ou em tempo de funcionamento (h);
β é o parâmetro de forma; η é o parâmetro de escala; γ é o parâmetro de posição;
A figura 3 realça o parâmetro de posição γ.
Nos estudos de fiabilidade, o parâmetro γ caracteriza a vida inicial do item sendo, na maioria das aplicações, desprezado, γ=0. Nesses casos, onde se assume γ=0, a equação 8 pode ser simplificada e a distribuição Weibull fica representada na sua forma biparamétrica (equação 9).
te
t
t
f
1)
(
(9)Substituindo-se a equação 9 na equação 2 temos a equação 10:
dt
e
t
t
F
t t
0 11
)
(
(10)Calculando-se o integral proposto na equação 10 temos a seguinte função para o calculo da fiabilidade:
te
t
F )
(
(11)Outra medida importante na fiabilidade está associada à taxa de falhas λ(t). De um modo geral, a taxa de falhas pode ser descrita como a razão entre o número de falhas num determinado tempo de vida e o número de componentes sujeitos à falha. Matematicamente, levando-se em conta a distribuição Weibull biparamétrica, a taxa de falhas é descrita segundo a Equação (12).
1
)
(
)
(
)
(
t
t
R
t
f
t
(12)4.2 Relações entre os parâmetros da distribuição Weibull e o planeamento da Manutenção
No que segue, são apresentados os parâmetros característicos da distribuição Weibull a fim de se caracterizar seus efeitos no comportamento da função de densidade de probabilidade, das curvas de fiabilidade e de taxa de falhas e, consequentemente, nas estratégias da gestão da manutenção.
4.3 O parâmetro de forma (β)
O parâmetro β é um número puro, isto é, adimensional e como o próprio nome sugere, tal parâmetro interfere no formato da função de densidade de probabilidade como veremos a seguir:
Quando β < 1 a função densidade de probabilidade (f. d. p.) de falhas apresenta frequências elevadas na parte inicial da vida, tais falhas são comumente denominadas de falhas prematuras e, de maneira geral, estão associadas a defeitos originados no projeto, na produção ou na operação. Nestes casos, do ponto de vista da gestão da de manutenção, não
há como se antever tais defeitos e para itens nesta condição mostra-se mais indicado optar-se pela manutenção corretiva ou preventiva.
Para ilustração, na Figura 4 são apresentadas a FDP, a curva de fiabilidade e a curva da taxa de falhas para um componente fictício cuja probabilidade de falha segue uma distribuição Weibull biparamétrica com β= 0,8 e η=30.
Figura 4 - Distribuição da probabilidade de falhas, fiabilidade e taxa de falhas baseadas na distribuição Weibull biparamétrica ( β= 0,8 e η=30).
Analisando-se a Figura 4, podemos verificar o formato assumido pela distribuição Weibull. Verifica-se que a freqüência de falhas é elevada na vida inicial do componente fazendo que a fiabilidade do mesmo decresça de forma acelerada neste mesmo período.O comportamento da taxa de falhas é uma combinação da probabilidade de falha e da fiabilidade (Equação 5) e evidencia que a ocorrência de falhas é mais elevada na vida inicial do componente, diminuindo drasticamente com o tempo de vida e, a partir de um dado momento, aproxima-se de um valor constante. Em outras palavras, o comportamento da taxa de falhas evidencia que em boa parte dos componentes avaliados, apresentaram falhas prematuras, defeitos, e os componentes que não falharam, até um determinado tempo de vida, tendem a funcionar segundo as suas características de projeto.
Quando β=1, a função densidade de probabilidade equivale à função distribuição exponencial. Nesse caso, a taxa de falhas é constante e as falhas ocorrem de forma aleatória. Esse comportamento está associado, sobretudo, às características de projeto do componente avaliado e também denominado vida útil. Nesse caso, a manutenção corretiva e a manutenção preventiva são as mais indicadas (Figura 5).
Figura 5 - Distribuição da probabilidade de falhas, fiabilidade e taxa de falhas baseadas na distribuição Weibull biparamétrica ( β= 1 e η=30).
Quando β > 1 existem modos de falhas predominantes e, nesses casos, após efetuar-se estudos sobre os tempos médios entre falha (MTBF) e se analisar o efeito e o modo da falha (FMEA), é possível a manutenção preventiva dos itens que estão sendo analisados. Na Figura 6, são apresentados à densidade de probabilidade, a confiança e a taxa de falhas considerando-se uma distribuição Weibull biparamétrica (β=4 e η=30). Analisando-se essa a densidade de probabilidade, percebe-se que grande parte da densidade de falhas concentra-se ao redor de um determinado tempo de vida. Nesse caso, T=30, e é justamente esse comportamento que caracteriza as falhas predominantes. De maneira geral, ele está ligado ao desgaste natural de um determinado componente. Nesse sentido, a manutenção preditiva tem como preceito básico o reparo na eminência da falha. Assim, as curvas de fiabilidade e da taxa de falha trazem informações importantes que devem subsidiar a tomada de decisão sobre “o momento de se reparar”.
Figura 6 - Distribuição da probabilidade de falhas, fiabilidade e taxa de falhas baseadas na distribuição Weibull biparamétrica ( β= 4 e η=30).
4.4 Parâmetro de Escala (η)
O parâmetro de escala (η) está associado à vida característica de um determinado componente. Ele descreve e representa uma distância, tempo ou ciclos transcorridos desde o início da atividade até o momento da falha. Nesse sentido, caso não apresente defeitos, falhas prematuras, as falhas predominantes de um determinado componente, que, como abordado anteriormente, estão associadas ao desgaste do mesmo, tendem a ocorrer nas proximidades de sua vida característica; ou seja, nos casos em que ocorrem falhas predominantes, as mesmas tendem a concentra-se nas proximidades do parâmetro de escala.
De maneira geral, podemos afirmar que:
Se η é aumentado, enquanto β é mantido constante, a distribuição, ou seja, a "curva" começa a se estender, esticar para direita e sua altura diminui, ao manter sua forma e posição.
Se η é diminuído, enquanto β é mantido constante, a distribuição começa a se estreitar para dentro, para esquerda (isto é para sua origem ou para 0 ou γ), e aumenta a sua altura.
Os comportamentos descritos acima, podem ser visualizados na Figura 7, onde são apresentados a densidade de probabilidade, a confiança e a taxa de falhas considerando-se uma distribuição Weibull biparamétrica mantendo-se fixo o parâmetro de forma (β=4) e o parâmetro de escala η assumiu os valores 10, 20 e 30.
