Professor: Rodrigo Moura Econometria
Monitor: Tiago Souza MFEE
Lista 7 1. Tome
y1 = β0+ β1y2+ β2z1+ u1
onde Cov(y2, u1) 6= 0. Seja z2 tal que:
y2 = π0+ π1z1+ π2z2+ v2
onde E(v2) = 0; Cov(z1, v2) = 0; Cov(z2, v2) = 0 e Cov(z3, v2) = 0. Temos que ter
que π2 6= 0. Podemos calcular atrav´es de MQO
b
y2 =bπ0+πb1z1 +πb2z2
Uma vez obtido yb2, podemos fazer MOQda regress˜ao incial utilizando by2 no lugar de y2. Ent˜ao: n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1by2i− ˆβ2z1i = 0 (1) n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1yb2i− ˆβ2z1i z1i = 0 (2) n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1by2i− ˆβ2z1i b y2i = 0 (3)
Para (1), sabendo queyb2i= y2i−bv2i, teremos:
n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1by2i− ˆβ2z1i = 0 n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1(y2i−bv2i) − ˆβ2z1i = 0 n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1y2i− ˆβ2z1i + ˆβ1 n X i=1 (bv2i) | {z }
=0pela CPO do 1◦Est´agio
Para (2), analogamente: n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1by2i− ˆβ2z1i z1i = 0 n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1(y2i−bv2i) − ˆβ2z1i z1i = 0 n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1y2i− ˆβ2z1i z1i+ ˆβ1 n X i=1 (vb2i)z1i | {z }
=0pela CPO do 1◦Est´agio
= 0
Para (3) temos que
n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1by2i− ˆβ2z1i (bπ0+πb1z1 +πb2z2) = 0 b π0 n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1yb2i− ˆβ2z1i =0 CP O +πb1 n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1by2i− ˆβ2z1i z1 =0 CP O + +bπ2 n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1yb2i− ˆβ2z1i z2 = 0 n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1y2i− ˆβ2z1i z2 = 0
Essas s˜ao as CPO’s do MQ2E, que s˜ao idˆenticas as de VI quando h´a apenas um instrumento. Lembre-se que essas CPO´s s˜ao encontradas pelo m´etodo dos mo-mentos.
2. Seja
y1 = β0+ β1y2+ β2z1+ ... + βkzk−1+ u1
onde zj, j = 1, ..., k − 1, s˜ao ex´ogenos e y2 ´e end´ogena. Todos estimadores MQO
ser˜ao viesados e inconsistentes neste caso. Seja zk um instrumento para y2. Assim,
assumimos que:
(a) u1 tem m´edia zero, E (u1) = 0
(b) zj, j = 1, ...., k, s˜ao n˜ao correlacionados com u1, ou seja, Cov (zj, u1) = 0,
j = 1, ..., k, ou seja, todos os regressores, com excess˜ao de y2, e o instrumento
s˜ao ex´ogenos. Atrav´es destas hip´oteses, via m´etodos dos momentos, podemos inferir os parˆametros (basta expressar em termos amostrais estas hip´oteses,
que seriam o ”an´alogo”das CPOs do problema de MQO), ou seja: n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1y2i− ˆβ2z1i− ... − ˆβkzk−1 = 0 (1) n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1y2i− ˆβ2z1i− ... − ˆβkzk−1 z1i = 0 (2) . . . n X i=1 y1i− ˆβ0− ˆβ1y2i− ˆβ2z1i− ... − ˆβkzk−1 zk−1i = 0 (k-1) n X i=1 y1i− ˆβ0 − ˆβ1y2i− ˆβ2z1i− ... − ˆβkzk−1 zki = 0 (k) Temos que (1) n ˆβ0 = n X i=1 y1i− ˆβ1y2i− ˆβ2z1i− ... − ˆβkzk−1 ˆ β0 = y1− ˆβ1y2− ˆβ2z1... − ˆβkzk−1 Inserindo na equa¸c˜ao (2): n X i=1 y1i− (y1− ˆβ1y2− ˆβ2z1... − ˆβkzk−1) − ˆβ1y2i− ˆβ2z1i− ... − ˆβkzk−1 z1i= 0 n X i=1 ˆ β2(z1i− z1)z1i = n X i=1 h (y1i− y1) − ˆβ1(y2i− y2) − ... − ˆβk(zk−1i− zk−1) i z1i ˆ β2 = Pn i=1 h (y1i− y1) − ˆβ1(y2i− y2) − ... − ˆβk(zk−1i− zk−1) i z1i Pn i=1(z1i− z1)2
Fazendo isso para todas as outras equa¸c˜oes:
ˆ β3 = Pn i=1 h (y1i− y1) − ˆβ1(y2i− y2) − ... − ˆβk(zk−1i− zk−1) i z2i Pn i=1(z2i− z2)2 .... ˆ βk = Pn i=1 h (y1i− y1) − ˆβ1(y2i− y2) − ... − ˆβk−1(zk−2i− zk−2) i zk−1i Pn i=1(zk−1i − zk−1)2 ˆ β1 = Pn i=1 h (y1i− y1) − ˆβ2(z1i− z1) − ... − ˆβk−1(zk−2i− zk−2) i zki Pn i=1(y2i− y2)zki
3. (a) O erro deve conter entre outras coisas, renda familiar, que ´e positivamente correlacionada com possuir um PC
(b) Os Pais rico podem pagar um PC para os filhos. Logo s˜ao positivamente correlacionados Para ser VI ´e preciso que :
1) cov(x, z) 6= 0 2) cov(u, z) = 0
Onde x=PC; z= renda anual dos pais. Nesse caso, a renda dos pais deve falhar na hip´otese (2), uma vez que deve ser correlacionada com outros fatores que explicam a nota
(c) Esse dado, alunos que receberam subven¸c˜ao, respeita as 2 hip´oteses para ser uma VI v´alida. Respeita (1) e como os alunos foram aleatoriamente selecio-nados, tamb´em respeita (2).
4. Seja 15.10 b βV I = P(zi− z)(yi− y) P(zi− z)(xi− x) = P(yi− y)zi P(zi− z)xi O numerador fica: X (yi − y)zi = X ziyi− X zi y = n1 X yi− yn1 = n1yi− n1y = n1(y1− y)
onde n1 = P zi quando zi = 1 e (P yn1izi) = y1´e a m´edia de yi quando zi = 1.
Podemos reescrever: y =n0 n y0 +n1 n y1 onde n0 = n − n1 Ent˜ao y1−y = [y1−n0 n y0−n1 n y1] = (n − n1 n )y1− n0 n y0 =h(n0 n )y1− n0 n y0i= (n0 n ) (y1 − y0) O numerador fica b βV I = (n1n0 n ) (y1− y0) P(zi− z)xi
Fazendo o racioc´ıcio an´alogo
b βV I = (n1n0 n ) (y1− y0) (n1n0 n ) (x1− x0) = (y1− y0) (x1− x0) 5. (a) Seja (15.26) y2 = π0 + π1z1 + π2z2 + v2 e (15.22) y1 = β0 + β1y2 + β2z1 +
u1.Colocando (15.26) dentro de (15.22), temos:
y1 = β0+ β1(π0+ π1z1+ π2z2+ v2) + β2z1+ u1
y1 = β0+ β1π0+ (β1π1+ β2)z1+ β1π2z2+ β1v2 + u1
y1 = α0+ α1z1+ α2z2+ v1
(b) v1 = β1v2+ u1
(c) Por hip´otese, u1tem m´edia zero e ´e n˜ao correlacionado com z1e z2, e v2tamb´em
e z2, portanto podemos estimar comsistentemente atrav´es de MQO 6. Temos que salario = β0+ β1educ + u (1) Ent˜ao e β1 = P(xi− x)yi P(xi− x)2
onde xi = educ e yi=salario. Agora suponha que
salario = β0+ β1educ + β2trab inf +u (2)
onde zi = trab inf . Vamos inserir o modelo corretamente especificado (2) em (1):
e β1 = P(xi− x)(β0+ β1xi+ β2zi+ ui) P(xi− x)2 = β0P(xi− x) + β1P(xi− x)xi+ β2P(xi − x)zi+P(xi− x)ui P(xi− x)2 = β1P(xi− x) 2+ β 2P(xi− x)zi+P(xi− x)ui P(xi− x)2 = β1 + β2P(xi− x)zi+P(xi− x)ui P(xi− x)2 E( eβ1) = β1 + β2P(xi− x)zi P(xi− x)2 (3) sendo que P(xi−x)zi
P(xi−x)2 ⇒ ´e exatamente o coeficiente de inclina¸c˜ao da regress˜ao de z
sobre x :
zi = eδ0+ eδ1xi
Podemos reescrever (3) como:
E( eβ1) = β1+ β2eδ1
O vi´es em eβ1 ´e
E( eβ1) − β1 = β2eδ1
Portanto, o vi´es de eβ1 depende do sinal de β2 e de eδ1(sendo que esse tem o mesmo
sinal da corr(xi, zi)). Analizando (2) esperamos β2 < 0 (uma vez que s˜ao as
pes-soas menos qualificadas que est˜ao neste setor) e que eδ1 < 0 (dado do problema).
Logo, β2eδ1 > 0 ⇒ E( eβ1) > β1 ⇒ao inserirmos a vari´avel trabalho informal (zi) o coeficiente da vari´avel escolaridade diminui.
7. (a) Como lucros totais ´e uma vari´avel importante para explicar o pre¸co das a¸c˜oes, a sua exclus˜ao gerou uma m´a especifica¸c˜ao do modelo. Logo, o coeficiente referente a LN REST passa a ter vi´es.
(b) Temos que
E( bβLN REST) − bβLN REST = γ bβLN LT
onde
Substituindo valores
