Angela Nieckele PUC-Rio. Convecção e Difusão

x

A

S

A

Jx

A

Jx

_e

_e



_w

_w





x

A

S

S

A

Jx

A

Jx

_e

_e



_w

_w



(

_c



_p



_P

)



P

p

c

S

S

S







2

Esquema Diferença Central

---o---|---o---|---o---W w P e E

Considera-se perfil linear de  nos termos convectivos e difusivos

) ( ) ) _{E P} e e E P e e e e e x u x u Jx























_           2

)

(

_{E P} e e P e e e e

F

D

F

A

Jx

J

















_







2

então e e

D

F

P



)

(

)

(

e _{E P} e P e e

P

D

F

J

















_





2

1

e e e e e

A

D

A

u

F











)

,

4 ) ( ) ) _{P W} w w W P w w w w w x u x u Jx























_           2

)

(

_{P W} w w P w w w w

F

D

F

A

Jx

J

















_







2

então

)

(

)

(

w

_P

_W

w

P

w

w

P

D

F

J

















_





2

1

x

A

S

S

A

Jx

A

Jx

_e

_e



_w

_w



(

_c



_p



_P

)









 



2

1

e e E

P

D

a

Note que os coeficientes do esquema de diferença central podem ser negativos, o que pode levar a soluções

fisicamente irreais ou falta de convergência.

w

e

P

W

E

P

a

a

S

A

x

F

F

a



















 



2

1

w w W

P

D

a

x

A

S

b



_C











de

continuida

pela

zero

w

e

P

W

E

P

a

a

S

A

x

F

F

a













6 4 5 1 1 2 1            _e e ( ) E P D a 1 1 5 6 2 1           _w w ( ) W P D a 2    _{E W} P a a a

Esquema Upwind

Para resolver o problema dos coeficientes negativos do esquema de diferença central, Spalding propôs tratar o termo convectivo de forma diferente, isto é, baseado nos valores a montante.















P w W w w w F F A u     )  , 0   , 0

8

)

(

,

,

_P

_e

_E

_e

_E

_P

e

e

e

A

F

F

D

Jx



0







0











)

(

,

,

_{W w P w P W} w w w

A

F

F

D

Jx



0







0

















_e, 0



e E D F a   

x

A

S

b



_C











de

continuida

pela

zero

w

e

P

W

E

P

a

a

S

A

x

F

F

a













e e e e

x

u

Jx

_















)







w w w w x u Jx _      



)







b

a

a

a

_P



_P



_E



_E



_W



_W









_w, 0



w W D F a  

Note que agora os coeficientes são sempre positivos. No entanto se a convecção não for dominante, o termo de montante terá uma influência excessiva na solução.

10 Nova proposta: usar a solução exata da equação de conservação de forma análoga ao realizado para problema puramente difusivo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0  P = 0.0 P = 1.0 P = 50 P = -1.0 P = -50

Discussão

  x é somente linear para pequenos valores de | P | . Típico de situações altamente difusivas.

 Quando | P | é grande, o valor de  em x = x_e /2 é

praticamente igual ao valor de  na fronteira à montante. Típico de situações altamente convectivas.

 Quando | P | é grande, o valor de d  / dx em x = x_e / 2 é praticamente zero.

 É possível basear nossa equação de discretização diretamente na solução exata. Desta forma, o

comportamento de  será correto para todos os valores do

16

•A função A(P)

1





)

exp(

)

(

P

P

P

A

1 0      |) exp(| | | |) (| ) ( P P P A P A P se

•A função A(P)

1   ) exp( ) ( P P P A ]] , [[ |) (| | | |) exp(| | | |) exp(| ] |) [exp(| | | ) ( |)] exp(| |)[ | exp( | | |) | exp( | | ) ( 0 1 1 1 1 1 1 0 P P A P P P P P P P A P P P P P P A P se                      ]] , [[ |) (| ) (P A P P 0 A   

18 e e e e e e e e e

D

F

P

x

A

D

A

u

F



)

,



,









onde w w w w w w w

D

F

P

x

A

D

A

u

F



)

,



,









então

20

usando o perfil exponencial da solução exata do caso particular analisado, obtém-se

)

(

_{E P} E P e e

F

a

J













)

(

_P

_W

W

P

w

w

F

a

J













x

A

S

b

F

F

x

A

S

a

a

a

C de continuida zero w e P W E P

























24

Esquema Diferença Central

) ( _{E P} E P e e F a J      _aE  _{De (A| Pe |)}_[[_{Fe, 0]]} 2 1 P P A( )         2 1 e e E P D a







 



2

1

w w W

P

D

a

2

1

|

|

)

(

P

P

A





]] , [[ |) (| ) (P A P P 0 A    ) ( _{P W} W P w w F a J      aW  Dw (A| Pw |)[[Fw, 0]]

Esquema Upwind

]] , [[ |) | ( _{e e} 0 e E D A P F a   

1



)

( P

A

]] , [[ |) | ( _{w w} 0 w W D A P F a  

26

Esquema Híbrido

Este esquema é uma combinação do Esquema de Diferença Central e Upwind. O esquema de diferença central é utilizado enquanto os coeficientes forem

positivos, caso contrário, utiliza-se a formulação

Upwind x A Sc b x A Sp a a a F P A D a F P A D a b a a a E W P w w w W e e e E W W E E P P                  ; , |) (| ; , |) (| 0 0 0 2 1 | | , | |         P P A

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 A(| P | ) Função A(|P|) Exponencial Power-Law Híbrido Upwind Diferença Central 0 2 1 | | , | |         P P A Exponencial Power-law 1   | | | | | | P e P P A _{A| P |}_[[0,(1_{0,1| P |)}5_]] Diferença Central Upwind Híbrido

        2 1 | | | | P P A _{A| P |1}

28

Convecção e Difusão- Condições de Contorno

simetria entrada

saída

Porções Impermeáveis da Fronteira.

Convecção = zero, portanto o fluxo na fronteira é puramente difusivo. As técnicas para difusão de calor são aplicáveis.

Fronteira de Entrada de Escoamento.

Usualmente o valor de  na fronteira de entrada é conhecido. Fronteira de Saída de Escoamento.

Em geral, não possuímos nenhuma informação sobre o valor de  ou seu fluxo na fronteira de saída de escoamento.

Contudo, nenhuma informação é preciso. Fronteira de Simetria.

O componente normal de velocidade é nulo e o gradiente normal de todas as outras variáveis é nulo, portanto, a implementação é análoga a vista para situações difusivas.

° Se a difusão D_e na saída for desprezível, então P_e = F_e / D_e → ∞.

Conseqüentemente, a_E = D_e A (|P_e| ) + [[- F_e, 0]] → 0. Teremos um comportamento localmente uni-direcional, isto é _E não precisa ser conhecido.

o Desprezar a difusão na fronteira de saída é um pequeno preço que pagamos para desacoplar o domínio de cálculo da região à jusante. o Se desprezar a difusão na fronteira de saída for questionável, a localização da fronteira deve ser considerada como inadequada. um reposicionamento da fronteira deveria tornar o tratamento aceitável.

30

° Um exemplo de mau posicionamento da fronteira de saída ocorre

quando existe uma entrada de escoamento em parte da fronteira chamada saída. A solução não possuirá significado.

Equação Diferencial em coordenadas cartesianas:

Convecção e Difusão- Multi-dimensional

S

z

J

y

J

x

J

t

ρ

_x y _z

_

























z Γ -w ρ J y Γ -v ρ J x Γ -u ρ J_{x y z}               

32

Método de Volumes Finitos: Integrando sobre o

volume de controle, e implicitamente no tempo.

Alternando-se a ordem de integração de cada termo,

dependendo da conveniência.

dt dz dy dx dt dy dx dz z J dt dz dx dy y J dt dz dy dx x J dz dy dx t z y x t y x z z t z x y y t z y x x z y x t                          _              _              _              _ t S dt                      

Assumindo os fluxos constantes ao longo das

faces dos volumes de controle. Linearizando a fonte

como

Dividindo por



t têm-se

P P C S S S   













z y x P P C z y ) S (S

























      Δ Δ ) - (J ) (J Δ Δ ) - (J ) (J Δ Δ ) - (J ) (J t y x b z t z z x s y n y z y w x e x x o P o P p P ) (

34

Assumindo os fluxos constantes ao longo das

faces dos volumes de controle. Linearizando a fonte

como

Dividindo por



t têm-se

P P C S S S   













z y x P P C z y ) S (S

























      Δ Δ ) - (J ) (J Δ Δ ) - (J ) (J Δ Δ ) - (J ) (J t y x b z t z z x s y n y z y w x e x x o P o P p P ) (







 





































)

S

(S

_{C P P} z y

- J

J

- J

J

- J

J

t

b t s n w e x o P o P p P

)

(

ou

A equação na forma conservativa é valida se a

conservação de massa for satisfeita.

0 z w y v x u t ρ               

36

A equação na forma conservativa é valida se a

conservação de massa for satisfeita.

Portanto, é preciso discretizar a equação da

continuidade

0 z w y v x u t ρ                0 dt dy dx dz z dt dz dx dy y dt dz dy dx x dz dy dx t t y x z t z x y t z y x z y x t              _              _              _              _                     w v u dt

Logo

0 b F y x b y x t z x n z y e z y                                   ] ) ) [ ] ) [ ] ) [ ) (                   w w Δ Δ v) ρ v Δ Δ u) ρ u t t F s F z x s n F w F z y w e F x o P P ] [ _{e w n s t b} o P P F F F F F F t t         













38

Logo

Substituindo na equação geral,

0 b F y x b y x t z x n z y e z y                                   ] ) ) [ ] ) [ ] ) [ ) (                   w w Δ Δ v) ρ v Δ Δ u) ρ u t t F s F z x s n F w F z y w e F x o P P ] [ _{e w n s t b} o P P F F F F F F t t         















 









J - J J - J J - J



Δ Δ ) Δ S (S t F F F F F F t b t s n w e y x P P C o P o P b t s n w e o P p                z          { [ ]}











(

)

(

)



)

(

)

(

)

(

)

(

P b b P t t P s s P n n P w w P e e y x P P C o P o P o P p

F

J

F

J

F

J

F

J

F

J

F

J

Δ

Δ

) Δ

φ

S

(S

t

t































































z

40











(

)

(

)



)

(

)

(

)

(

)

(

P b b P t t P s s P n n P w w P e e y x P P C o P o P o P p

F

J

F

J

F

J

F

J

F

J

F

J

Δ

Δ

) Δ

φ

S

(S

t

t































































z

)

(

;

)

(

_{P E w w P W W P} E P e e

F

a

J

F

a

J

























)

(

;

)

(

_{P N s s P S S P} N P n n

F

a

J

F

a

J

























)

(

;

)

(

_{P T b b P B B P} T P t t

F

a

J

F

a

J

























Os fluxos podem ser obtidos em função dos valores de

Podemos reescrever a equação de discretização como ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( P B B P T T P S S P N N P W W P E E y x P P C o P o P o P p a a a a a a Δ Δ ) Δ φ S (S t t









































                 z b a a a a a a a_P



_P  _E



_E  _W



_W  _N



_N  _S



_S  _T



_T  _B



_B  Equação de Discretização:

42 o P o P C P o p B T S N W E P o P o P φ a z y x S b z y x - S a a a a a a a a Δx Δy Δz Δt ρ a ,0 b F ) b P A( b D B a ,0 t -F ) t P A( t D T a ,0 s F ) s P A( s D S a ,0 n -F ) n P A( n D N a ,0 w F ) w P A( w D W a ,0 e -F ) e P A( e D E a                             ]] [[ ]] [[ ]] [[ ]] [[ ]] [[ ]] [[

]] ) , ( ; [[ ) ( P 0 1 01P 5 A   D F P 

w

w

e

e

u

A

F

u

A

F





)

;





)

s

s

n

n

v

A

F

v

A

F





)

;





)

b

b

t

t

w

A

F

w

A

F





)

;





)

; ; e e e e x A D ) (





 w w w w x A D ) (





 n n n n y A D ) (





 s s s s y A D ) (





 t t t t z A D ) (





 b b b b z A D ) (





 ; ;

44 e E e e P e e e e A x A x A x













    ( ) ( ) ) ( w P w w W w w w w A x A x A x













) _ ( ) _ ( ) ( n N n n P n n n n A y A y A y













) _ ( ) _ ( ) ( s P s s S s s s s A y A y A y













) _ ( ) _ ( ) ( t T t t P t t t t A z A z A z













    ( ) ( ) ) ( b P b b B b b b b A z A z A z













_{)  ( )} _ ( ) ( ; ; ;

Falsa Difusão

 A falsa difusão é um dos maiores problemas em

formulação numéricas para convecção-difusão. Existe muita controvérsia a respeito da interpretação sobre o que é a falsa difusão entre os analistas numéricos.

 Para muitos, a falsa difusão é interpretada erradamente (na minha opinião) como sendo o erro de truncamento de uma expansão em série de Taylor. É dito na literatura que o esquema de diferenças centrais possui precisão de 2a. _{ordem e que o esquema "upwind" possui precisão}

de 1a. _{ordem, e conclui-se que o esquema de diferenças}

 Contudo, vimos que em problemas de

convecção-difusão, a relação  x é exponencial e a série de Taylor só fornece uma boa representação para pequenos x (ou Pe_D ). Para altos Pe_D, os resultados da série de Taylor são irrealistas e o esquema "upwind" fornece melhores resultados.

 A interpretação do erro de truncamento como sendo a falsa difusão vem do fato que é possível escrever o

esquema upwind como sendo o esquema de diferença central, com um coeficiente de difusão modificado igual a    u x/2

• esquema "upwind" a_E = D_e

• esquema "diferença central" a_E = D_e - F_e/2

• rescrevendo o esquema "upwind" a_E = D_e + F_e/2 - F_e/2 = _e/x_e + F_e/2 - F_e/2

a_E = (_e+F_ex_e/2)/x_e - F_e/2 ou

a_E = _e* /x_e - F_e/2 onde _e*=_e+F_ex_e/2

• Parece portanto que o esquema "upwind" aumenta o

coeficiente de difusão real com uma difusão fictícia igual a  u x/2. No entanto, vimos que para altos números de

Peclet, a adição deste termo é favorável e que sua

• Sob o ponto de vista da interpretação da série de Taylor, até mesmo o esquema exponencial, que é a solução exata da equação, também apresenta falsa difusão.

• Para baixos Peclet, não existe dúvida que o esquema de diferenças centrais é melhor que o "upwind" e os esquemas recomendados tendem a solução do esquema de

diferenças centrais. Se Peclet é baixo, a difusão real é grande, e o problema da falsa difusão é pequeno. Para altos Peclets, o problema da falsa difusão torna-se

importante.

• Outro fator a ser mencionado é que não é possível obter solução convergida para altos Peclet com o esquema de diferença central, só é possível compará-lo com o esquema "upwind" para baixos Peclets, quando o efeito da falsa

Interpretação Correta da Falsa Difusão

 A falsa difusão é um fenômeno multi-dimensional, não existe em situações uni-dimensionais em regime

permanente. frio quente 0 frio quente 0

 Para visualizar o que significa a falsa difusão, vamos

considerar duas correntes de fluido se encontrando. Uma quente e uma fria.

 Se =0 e o perfil de temperatura apresentar variação suave, concluímos que o esquema numérico apresenta falsa

difusão.

 Se =0 , o esquema de diferença central possui

coeficientes nulos. Logo, as técnicas iterativas não podem ser utilizadas e com métodos diretos, a solução não é

realista.

Exemplo: Método "upwind" com 0 1) Escoamento Uniforme na direção x

52

Exemplo: Método "upwind" com 0 1) Escoamento Uniforme na direção x

a_S=a_N = 0

a_E=[[-F_e,0]=0 a_W=[[F_w,0]=F_w a_P=a_w

Exemplo: Método "upwind" com 0 1) Escoamento Uniforme na direção x

a_S=a_N = 0

a_E=[[-F_e,0]=0 a_W=[[F_w,0]=F_w

a_P=a_w



_P=_W Como resultado, o valor a montante de cada linha prevalece ao longo de cada linha, mantendo a

54 2) Escoamento Uniforme fazendo 45o com a malha x=y u = v = V a_E=[[-F_e,0]=0 ; a_N=[[-F_n,0]=0 a_S=[[F_s,0]=F_{s ;} a_W=[[F_w,0]=F_w a_P= (a_w+a_S)= 2 a_w

2) Escoamento Uniforme fazendo 45o com a malha x=y u = v = V a_E=[[-F_e,0]=0 ; a_N=[[-F_n,0]=0 a_S=[[F_s,0]=F_{s ;} a_W=[[F_w,0]=F_w a_P= (a_w+a_S)= 2 a_w _P=(_W+_S)/2

Se não houvesse falsa difusão, todos os pontos acima da diagonal deveriam ser 100 e abaixo zero

56

Observação:

1) A falsa difusão só ocorre quando o escoamento é inclinado em relação à malha e quando existe um

gradiente diferente de zero da variável dependente na direção normal ao escoamento.

2) O esquema de diferença central não resolve o problema da falsa difusão e todos os outros métodos são análogos. 3) O fluxo não é constante.

A equação de conservação é

Qualquer esquema que considere o fluxo Jx constante com x sofrerá de falsa difusão.

S y J x J t y x _         0                   y J t S x J_x  y

4) O esquema de diferença central utiliza perfil linear, logo o fluxo também é linear, conseqüentemente consegue

representar melhor a influência do fluxo transversal do que os esquemas baseados em fluxo constante. Porém, a

presença dos coeficientes negativos leva a resultados irreais e dificuldade de convergência.

5) A falsa difusão pode ser minimizada se: utilizarmos pequenos x e y

orientarmos a malha com o escoamento

utilizarmos um esquema que leve em conta a

multi-dimensionalidade do escoamento, envolvendo mais pontos na discretização

6) Deve-se buscar sempre um esquema preciso, de baixo custo e facilmente programável.

58

Existem diversas tentativas de desenvolver esquemas que minimizem o efeito da falsa difusão. No entanto, ao

envolverem mais variáveis na discretização, tornam-se complicados e caros para execução.

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Existem diversas tentativas de desenvolver esquemas que minimizem o efeito da falsa difusão. No entanto, ao

envolverem mais variáveis na discretização, tornam-se complicados e caros para execução.

QUICK (Quadratic Upwind Implicit Diffeencing Convective kinematics)

Utiliza um perfil de 2ª ordem combinado com a ideia do upwind

Para malha uniforme, método A (face a meia distância entre os pontos nodais) - Tangente de um perfil quadrático é igual a linha que une os pontos da parábola

w W P w x x            e P E e x x     _      

_e 0 u   E P  EE P P e            8 1 8 6 Pollard e Siu, 1982  E P  W P  E P P e                8 9 8 1 8 6 _e 0 u         W P e  E P e  EE P e P E e P E e P e P E e e e e F F F D F F D F J                              ]] 0 , [[ 8 1 8 9 ]] 0 , [[ ]] 0 , [[ 8 1 8 6 | | _w 0 u   W P  WW P P w            8 1 8 6 _w 0 u              P W w P W w P w P W w w w w F D F F D J              1 9 1 8 6 | |  W P  E P  W P P w                8 9 8 1 8 6 _e 0 u  _e 0 u  _w 0 u  _w 0 u 

62      _{w P P P} e J Sc Sp x J

ou para garantir coeficientes positivos

) ( ) ( ) ( ) ( * P WW WW P EE EE P W * W P E E QK a a a a b             b a a a a a_P_P  _E_E  _W_W  _EE_EE  _WW_WW  p p x Sc b   w e P P WW EE W E P a a a a Sp x F F a         QK p p x b Sc b    b a a a_P_P  _E_E  _W_W  w e P P W E P a a Sp x F F a      

_e 0 u   E P  E P  EE P P e                8 1 8 2 Hayase et al, 1992  E P  W P P e            8 1 8 3 _e 0 u         W P e  E P e  E P e  EE P e P E e P E e P e P E e e e e F F F F D F F D F J                                    ]] 0 , [[ 8 1 8 2 ]] 0 , [[ ]] 0 , [[ 8 3 ]] 0 , [[ 8 1 ]] 0 , [[ _w 0 u   W P  W P  WW P P w                8 1 8 2 _w 0 u                P W w P W w P w P W w w w w F F F F D F F D F J                                   ]] 0 , [[ 1 ]] 0 , [[ 3 1 ]] 0 , [[ ]] 0 , [[ 2 ]] 0 , [[  W P  E P P w            8 1 8 3 _e 0 u  _e 0 u  _w 0 u  _w 0 u 

64      _{w P P P} e J Sc Sp x

J _{ou para garantir coeficientes positivos}

) ( ) ( ) ( ) ( * P WW WW P EE EE P W * W P E E QK a a a a b             b a a a_P_P  _E_E  _W_W  w e P P W E P a a Sp x F F a       QK p p x b Sc b    ]] 0 , [[ 8 3 ]] 0 , [[ 8 2 ]] 0 , [[ 8 1 ; ]] 0 , [[ 8 1 8 2 ]] 0 , [[ ]] 0 , [[ 8 3 ]] 0 , [[ 8 1 ; ]] 0 , [[ 8 1 ]] 0 , [[ ; ]] 0 , [[ * * w w e W w e e E w WW e EE w w W e e E F F F a F F F a F a F a F D a F D a                     ) ( ) ( ) ( ) ( * P WW WW P EE EE P W * W P E E QK a a a a b             Hayase et al, 1992

80

Esquemas TVD

• Esquemas de 2ª ordem ou maior podem gerar oscilações fisicamente irreais devido o aparecimento de coeficientes negativos.

• A classe de esquemas TVD (Total Variation Diminishing) foram formulados para fornecer soluções livres de oscilações.

• O desenvolvimento da metodologia TVD envolve grande manipulações matemáticas, porém as ideias envolvidas nestes esquemas podem ser apresentadas a parir dos conceitos básicos já discutidos.

• Nos esquemas TVD a tendência à oscilação é contra-atacada

adicionando uma difusão artificial ou adicionando pesos relacionados com a contribuição “upwind”

• Considere um escoamento positivo,  u)_e > 0

• Expandindo em série de Taylor, envolvendo dois vizinhos a montante, tem-se o esquema Upwind Linear

  2 ... 2 x x x x W P P e P e                      2 W P P e       

Esquemas TVD

• O esquema de diferença central pode ser escrito como

  2 P E P e       

• Podemos então generalizar e  _{E P}

P e         2    E P W P r        • UP (Upwind); ( r ) =0 • CD (diferença central; ( r ) =1

• LUD (linear upwind); ( r ) = r

• QUICK; ( r ) = (3 + r)/4

 u)_e > 0

Pode-se proceder da mesma forma para escoamento negativo

82

Para um esquema ser estável, não oscilatório, um esquema de alta ordem deve possuir a propriedade de preservar monotonicidade. Para isso é

necessário:

(i) Não criar um extremo local

(ii) o valor de um mínimo local deve ser não decrescente e o máximo local deve ser não crescente

• Os esquema TVD foram desenvolvidos para problemas transiente, com a propriedade de que a solução discreta deveria diminuir com o tempo.

• Posteriormente, o conceito foi aplicado para escoamentos em regime permanente

• Sweby (1984) apresentou as condições necessárias para um esquema ser TVD através de relações r-

• Se 0 < r < 1, o limite superior é ( r )= 2 r, então para esquemas TVD, ( r )  2 r • Se r  1 o limite superior é ( r ) = 2 , então para esquemas TVD, ( r )  2

• Com exceção do esquema Upwind, todos os esquemas apresentados estão fora da região TVD.

• A ideia para projetar esquemas TVD é introduzir uma modificação nos esquemas de forma a forçar que a relação r- permaneça na área sombreada da figura.

• É preciso introduzir um limite na faixa dos valores

positiveis do fluxo convectivo F_e  ( r ) (_E-_P)/2, o qual foi originalmente introduzido de forma a tornar o esquema de ordem superior. Esta função é chama de função

limitadora

• De acordo com Sweby, para o

esquema ser de 2ª ordem, ( r ) tem que passar no ponto (1,1)

• Deve ainda possuir a propriedade de simetria:  ( r ) /r =  ( 1/r)

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Equações de discretização de esquemas TVD    [[sign( ),0]]  [[ sign( e),0]] P E E EE e P E W P e u u r                    [[sign( ),0]]  [[ sign( w),0]] W P P E w W P WW W w u u r                b a a a_P_P  _E_E  _W_W  b  Sc_px_p b_TVD ]] 0 , [[ ; ]] 0 , [[ _{e W w w} e E D F a D F a      ) ( 2 ) ( | | ) ( 2 ) ( | | w _{W P} w P E e e TVD r F r F b          w e P P W E P a a Sp x F F a      