Capítulo 4. Modelação e Simulação de Sistemas
1. A simulação de sistemas
1.1. Definição
A simulação computacional de sistemas, ou simplesmente simulação, consiste na utilização de determinadas técnicas matemáticas, utilizadas em computadores digitais, as quais permitem imitar o funcionamento de praticamente qualquer tipo de operação ou processo (sistemas) do mundo real. Existem, na literatura, muitas as definições de simulação. Para Schriber ("Simulation Using GPSS", 1974), “simulação implica a modelação de um processo ou sistema, de tal forma que o modelo imite as respostas do sistema real numa sucessão de eventos que ocorrem ao longo do tempo”. Embora Schriber seja considerado por muitos como o grande responsável pela aproximação entre programas de computadores e linguagens de simulação (foi um dos criadores do GPSS, a primeira linguagem comercial de computadores para simulação de sistemas), a sua definição não especifica que o modelo deva ser computacional, pois na época, ainda eram os modelos analógicos e físicos os usados para se estudar e analisar o comportamento de sistemas. Hoje, a simulação é quase sinónimo de simulação computacional digital, em que um modelo computacional é executado. Robert Shannon ("Systems Simulation: The Art and Science", 1975) definiu assim este tipo de modelo: “Um modelo computacional é um programa de computador cujas variáveis apresentam o mesmo comportamento dinâmico e estocástico do sistema real que representa”.
Considerando a definição anterior, Pegden ("Introduction to Simulation Using Siman", 1991), apresentou uma definição mais completa, abrangendo todo o processo de simulação: “simulação é o processo de projetar um modelo computacional de um sistema real e conduzir experiências com este modelo com o propósito de entender o seu comportamento e/ou avaliar estratégias para a sua operação”. O autor entende a simulação como um processo mais amplo, compreendendo, não só a construção do modelo, mas também todo o método experimental que se segue, procurando:
1. Descrever o comportamento do sistema;
2. Construir teorias e hipóteses considerando as observações efetuadas;
A simulação tem sido, cada vez mais, aceite e utilizada como uma técnica que permite a analistas, dos mais diversos quadrantes (administradores, engenheiros, biólogos, informáticos, etc.), verificar ou encaminhar soluções, com a profundidade desejada, dos problemas com os quais lidam diariamente.
Mais do nunca a simulação computacional tem sido utilizada, devendo-se este crescimento, sobretudo, à atual facilidade de utilização e sofisticação dos ambientes de desenvolvimento de modelos computacionais, aliadas ao crescente poder de processamento das estações de trabalho. Contando com interfaces gráficas cada vez mais amigáveis, destinadas às mais diversas plataformas e, principalmente, fazendo intenso uso da animação dos sistemas que estão sendo simulados, a simulação deixou para trás o estigma de ser utilizada apenas “quando tudo mais já foi tentado”.
1.2. As razões de usar modelos de simulação
A simulação de modelos permite ao analista realizar estudos sobre os correspondentes sistemas para responder a questões do tipo “O que aconteceria se?”. O principal apelo ao uso desta ferramenta, é que tais questões podem ser respondidas sem que os sistemas em análise sofram qualquer perturbação, uma vez que os estudos são realizados no computador. A simulação computacional permite que tais estudos sejam realizados sobre sistemas que ainda não existem, levando ao desenvolvimento de projetos eficientes antes que qualquer mudança física tenha sido iniciada.
Ao contrário dos modelos de otimização, um modelo de simulação é executado e não resolvido. As diferenças entre estas duas abordagens implicam que o modelo de simulação permite análises quase que a cada instante, isto é, à medida que vão sendo apresentadas novas descobertas sobre o comportamento do sistema modelado.
A maioria dos modelos de simulação é do tipo entrada-saída, isto é, são modelos interativos aos quais se fornecem dados de entrada, obtendo-se respostas específicas para estes dados. Não são, por natureza, modelos de otimização, não oferecendo (a menos de um razoável esforço) a possibilidade de pesquisa de uma solução ótima. Estes modelos servem essencialmente para fazer análises do comportamento do sistema sob condições específicas. Normalmente, os modelos de simulação são utilizados com o objetivo de testar uma solução de um dado problema.
Um estudo com modelos de simulação permite aos analistas considerarem níveis de detalhes mais elevados, permitindo que diferenças de comportamento, às vezes subtis, se venham a evidenciar. As abordagens tradicionais, pelo contrário, utilizam estudos preliminares estáticos e sofrem tantas simplificações que muitos projetos, depois de implantados, acabam por sofrer inúmeras modificações e adaptações.
De modo geral, as principais razões pelas quais se recomenda a utilização de modelos de simulação são as seguintes:
1. Sistema real inexistente. A simulação poderá ser usada para planear o futuro sistema; por exemplo, um novo hospital, uma nova fábrica ou um novo ambiente de suporte a negócios na Internet.
2. Experimentar com o sistema real é dispendioso. O modelo poderá indicar, com custos muito mais baixos, por exemplo, quais os benefícios de se investir num novo equipamento.
3. Experimentar com o sistema real não é apropriado. Dois casos típicos são os planeamentos do atendimento de situações de emergência e da assistência a um desastre aéreo num aeroporto. Toda a logística para acionar os serviços prestados pela polícia, bombeiros, ambulâncias, emergência hospitalar, etc., e a própria atuação destas entidades, podem ser modelada e testada no computador. Não se pode provocar um desastre para testar planos de emergência. As técnicas associadas aos modelos de simulação são, em geral, facilmente compreensíveis e justificáveis, quer para utilizadores como para os gestores que tomam a decisão de os aplicar nos seus projetos. Geralmente, esta aceitação deve-se a vários fatores, tais como:
➔ Tempo: no computador é possível realizar experiências que, se executados sobre o sistema real, poderiam consumir anos;
➔ Custo: embora a simulação em computador exija recursos humanos e alguns equipamentos, geralmente o custo de execução das experiências é muito baixo quando comparado com custo sobre o sistema real;
➔ Impossibilidade de experimentação direta: há situações em que experiências diretas no sistema real não podem ser realizadas por questões de segurança, tempo, acesso, inexistência (sistema em construção), etc.;
➔ Visualização: os computadores oferecem recursos que facilitam a visualização dos resultados de uma simulação (gráficos, tabelas, entre outros), bem como do estado do sistema durante a execução de um modelo;
➔ Repetição: depois de construído, um modelo de representação pode ser executado várias vezes a um custo muito baixo e de forma relativamente rápida;
➔ Interferência: um modelo é extremamente mais flexível para a realização de mudanças se comparado a um sistema real. Esta é uma característica bastante desejável no estudo de sistemas com objetivos de geração de informações de apoio a tomada de decisões.
➔ Semelhança com o realidade: a perceção de que o comportamento do modelo de simulação é muito semelhante ao sistema real.
Os modelos de simulação podem ser considerados como uma descrição de sistemas reais. A execução de modelos de simulação em computador tem potencial para fornecer resultados mais
precisos sem que seja preciso interferir no sistema real. Tais resultados, quando analisados estatisticamente, produzem informações que podem contribuir grandemente para a tomada de decisões que visam a solução de problemas.
Restringindo um pouco mais a simulação de sistemas para os meios computacionais, e considerando os modelos como um dos métodos de representação de sistemas, o seguinte conceito pode ser adotado:
“Simulação é uma técnica numérica para realizar experiências num computador digital, a qual envolve certos tipos de modelos lógicos que descrevem o comportamento de um sistema sobre extensos intervalos de tempo.”
Basicamente, a utilização de modelos de simulação pode oferecer vantagens quando é necessário: ➔ Estimar a distribuição de variáveis aleatórias;
➔ Testar hipóteses estatísticas;
➔ Comparar cenários representando diferentes soluções para o problema em estudo; ➔ Avaliar o comportamento de uma solução analítica;
➔ Avaliar um processo de tomadas de decisão em tempo real.
Apesar das razões para se usar modelos de simulação parecerem claras, é a identificação do sistema/problema que leva à definição dos objetivos e do tipo de modelo e de estudo de simulação que deve ser desenvolvido.
2. Modelos de simulação
2.1. Introdução
Os problemas que a indústria, serviços e organizações em geral enfrentam têm-se tornado de maiores dimensões e mais complexos, exigindo, cada vez mais, técnicas e procedimentos que ajudem no seu tratamento. Uma destas técnicas é a modelação e simulação de sistemas, cujo objetivo é representar o comportamento dos sistemas através de modelos matemáticos.
A resolução de qualquer problema requer, em primeiro, que estes sejam bem definidos, ou seja, especificar com precisão suficiente os objetivos. Para tanto, é necessário um bom conhecimento do sistema em estudo para que se possa entender o problema sem qualquer tipo de dúvidas.
A situação não é diferente quando se quer resolver problemas usando modelos de simulação. O sistema deve ser bem conhecido para que se possa detetar os problemas relacionados e traçar as metas a serem alcançadas.
A simulação de sistemas pode ser dividida nas seguintes etapas básicas, também discutidas no âmbito da Investigação Operacional:
➔ Estudo do sistema: descrever o sistema em termos de componentes, atividades, entidades, eventos, restrições, propósitos que motivaram o uso da simulação para resolver o problema; ➔ Modelo: construção do modelo de representação do sistema em estudo, o qual precisa ser
validado;
➔ Solução: realizar experiências sobre o modelo construído e utilizar as informações resultantes para propor soluções para o problema inicial;
➔ Operacionalizar solução: executar alterações no sistema real com base nos resultados da simulação.
Etapas de um modelo de simulação
Os objetivos essenciais do estudo das técnicas de simulação de sistemas concentram-se principalmente nas atividades de estudo do sistema real, na construção do modelo e na execução de experiências sobre o modelo.
2.2. Sistema
Ao longo deste texto utilizou-se, ainda que de forma subjetiva, uma associação existente entre os conceitos de simulação, sistema e modelo. Simulação é um dos muitos métodos existentes para estudar e analisar sistemas. No caso da simulação computacional, são os modelos computacionais que são usados para estudar e analisar sistemas. Mas afinal, o que é um sistema e quais são os passíveis de serem modelados e analisados através da simulação?
Para Taylor (Taylor, 1970), um sistema pode ser definido como “um conjunto de objetos, como pessoas ou máquinas, por exemplo, que atuam e interagem com a intenção de alcançar um objetivo ou um objetivo lógico”.
São inúmeros os sistemas que podem ser resolvidos usando modelos de simulação. Alguns destes sistemas são os seguintes (apresentados por categorias):
1. Sistemas de produção: manufaturação e montagem; movimentação de peças e matéria prima; alocação de mão de obra; áreas de armazenamento; layout; etc..
2. Sistemas de transporte e gestão de stocks: redes de distribuição; armazéns e entrepostos; frotas; etc.
3. Sistemas computacionais: redes de computadores; redes de comunicação; servidores de redes; arquitetura de computadores; sistemas operativos; gestores de bases de dados; etc..
4. Sistemas administrativos: seguradoras; operadores de crédito; agências financeiras; etc.. 5. Sistemas de prestação de serviços diretos ao público: hospitais; bancos; restauração; serviços
de emergência (polícia, bombeiros etc..); serviços de assistência jurídica; etc..
De uma forma geral, os objetivos de um estudo específico sobre um sistema definem os objetos que devem constituir o modelo.
Por exemplo, supondo que se pretende realizar um estudo sobre um supermercado. Se a entidade que pretende este estudo for um supervisor de caixas, possivelmente estará interessado em incluir no “seu” sistema, apenas os objetos do setor de atendimento nas caixas (subsistema) se o objetivo for pesquisar, por exemplo, a taxa de uso destes recursos, as filas que se formam ou qualidade dos serviços (considerando o tempo que um cliente leva para ser atendido). Por outro lado, se aquela entidade for um gestor de abastecimentos, deste mesmo supermercado, poderia estar interessado num estudo do setor (subsistema) correspondente à receção e armazenamento de mercadorias; neste caso, o conjunto de objetos do sistema em estudo deveria incluir o pessoal envolvido na receção, movimentação e armazenamento de produtos, os equipamentos utilizados, a disponibilidade de área de stocks, etc..
2.3. Modelo
De modo geral, os modelos são utilizados para resolver problemas reais quando, para tal, isso implicaria custos elevados utilizando a via experimental ou muito complicados para tratamento analítico.
A construção de um modelo pode visar encontrar a solução de um problema específico dentro de um sistema. Deste modo, pode existir um número variado de modelos para resolver um mesmo sistema, em que cada modelo respeita as características de um problema particular.
Depois de definido um problema dentro de um sistema para o qual se pode construir um modelo, é necessário a existência de uma estrutura organizada para construir este modelo. Para tal, utiliza-se uma linguagem de simulação capaz de fornecer esta estrutura e permitir a tradução do modelo numa forma aceitável para o seu processamento no computador. Neste caso, o computador será utilizado para executar o modelo de forma a produzir saídas que possam ser analisadas, para que as decisões relacionadas com a resolução do problema possam ser implantadas. Com a ajuda de computadores é possível simular grande quantidade de eventos em curtos espaços de tempo.
Através da execução de um modelo que representa um sistema, é possível fazer uma estimativa do comportamento futuro deste sistema. À execução de um modelo dá-se o nome de Simulação.
De notar que a experimentação não se pode comparar à simulação. Enquanto que a experimentação é caracterizada por tentativas de mudanças no próprio sistema, a simulação é executada sobre uma representação do sistema. Para além disso, a experimentação pode ter um custo muito elevado, o que justifica, na maioria dos casos, a construção de modelos de simulação.
Perante os resultados da execução de um modelo de simulação, são então realizadas análises de novas situações sobre as quais se tem pouco conhecimento, o que permite fornecer dados para a conceção de novas regras ou o ganho de experiência no projeto do próprio modelo.
Os modelos devem também incorporar elementos reais de forma simples, mantendo uma relação custo x benefício coerente. Isto é, deve-se evitar a construção de um modelo muito complexo que dificulte, ou mesmo impossibilite, a sua compreensão e manipulação. Deve-se também evitar a construção de modelos demasiado simples que não representem as propriedades desejáveis do sistema em estudo.
2.4. Cenários
No contexto dos modelos de otimização, existem objetivos a serem alcançados pelo sistema que deve funcionar satisfazendo as restrições impostas pelo meio ambiente. Desta forma, a solução do problema em análise deve ser a que melhor atinge os objetivos entre as que satisfazem as restrições.
A observação e o acompanhamento do comportamento do modelo, operando sobre uma determinada solução, são feitas para avaliar se as restrições estão sendo satisfeitas e se os objetivos estão sendo alcançados. É frequente uma solução para o problema poder representar uma configuração para o sistema ou uma política de operação do sistema. Assim, as diferentes alternativas de soluções do problema devem ser enumeradas para a definição dos cenários a serem avaliados durante as execuções da simulação.
Pode acontecer que os cenários em comparação sejam tão distintos que sejam desenvolvidos dois ou mais programas para representa-los. Mesmo nestes casos considera-se que há um único modelo que seleciona o programa a ser executado de acordo com o cenário desejado.
2.5. Parâmetros do Modelo
Os parâmetros do modelo definem o cenário de cada execução (simulação). Estes são controlados externamente pelo utilizador no início de cada execução e são constantes durante a simulação. Podem representar uma configuração específica para o sistema ou uma determinada política de operação do sistema. Podem também ser sementes de inicialização dos geradores de variáveis (aleatórias) independentes.
Entre estes parâmetros estão a quantidade e a distribuição da procura do serviço, os algoritmos de escalonamento, o número médio de vezes que um cliente visita um dispositivo, o número de clientes num sistema fechado e a distribuição do tempo entre chegadas de clientes num sistema
aberto. Alguns destes parâmetros caracterizam a carga do sistema, como seja, a distribuição do tempo entre chegadas de clientes.
Pode-se dizer que a capacidade mais importante do modelador é a perceção de como o sistema se comporta, a capacidade de estimar o conjunto inicial de parâmetros do sistema e a capacidade de realizar análises de modificação dos parâmetros com precisão.
3. Propriedades dos modelos de simulação
3.1. Introdução
A utilidade de um modelo está diretamente relacionada com a sua capacidade de incorporar elementos reais de forma simples. No entanto, um modelo deve conter os aspetos importantes do sistema real, sem que a sua complexidade impossibilite a compreensão e manipulação do mesmo. Essa característica pode ser difícil de ser alcançada, pois modelos realistas raramente são simples, e modelos simples raramente são realistas.
No que se refere aos modelos matemáticos para simulação em computadores, estes são constituídos por 4 elementos: componentes, variáveis, parâmetros e relações funcionais.
3.2. Elementos de um modelo de simulação
Os componentes representam a parte do modelo de simulação sobre a qual são realizados os estudos. Os componentes dos modelos tendem a variar muito, dependendo do sistema que está sendo simulado. Por exemplo, num sistema de gestão de redes, podem ser considerados como componentes os objetos geridos, os agentes de gestão e as aplicações geridas.
As variáveis são utilizadas nos modelos de simulação para relacionar os componente entre si. Dependendo da finalidade de uma simulação, uma variável pode ser classificada como: exógena, de estado e endógena.
As variáveis exógenas são as variáveis independentes ou de entrada do modelo. São consideradas como tendo sido previamente determinadas e fornecidas, independentemente do sistema sobre o qual está sendo construído o modelo. Desta forma, estas variáveis podem ser vistas como atuantes sobre o modelo, mas não influenciadas por ele (a direção causa-efeito ocorre apenas no sentido variável exógena --> sistema). As variáveis exógenas podem ser classificadas como controláveis e não controláveis. As variáveis controláveis são as variáveis que podem ser manipuladas ou controladas pelas entidades incumbidas da decisão ou de estabelecer o programa de ação em relação ao sistema. Variáveis não controláveis são geradas pelas circunstâncias nas quais o sistema modelado existe, e não pelo próprio sistema ou pelas entidades incumbidas das decisões relativas a elas.
As variáveis exógenas controláveis são tratadas como parâmetros. Estes parâmetros devem ser determinados pelas condições do problema ou pelas entidades encarregues da decisão. Tais condições ou entidades devem ser previamente lidos pelo computador como dados de entrada, ou geradas internamente se forem variáveis estocásticas (através de métodos pré-definidos).
As variáveis de estado descrevem o estado de um sistema ou de um de seus componentes, quer no início de um determinado período de tempo, quer no seu término, ou ainda durante o decorrer de um certo período. Estas variáveis interagem com as variáveis exógenas e endógenas, de acordo com as relações funcionais previamente estabelecidas. O valor das variáveis de estado durante um determinado período de tempo pode depender do valor de variáveis exógenas de um período de tempo anterior e de variáveis de saída de períodos precedentes. Quando um componente utiliza na sua entrada parte da sua saída ocorre um "loop" no modelo. Estes "loops" podem ser utilizados para introduzir atrasos na simulação. Num sistema de gestão de redes, as variáveis de estado podem incluir o número de pedidos na fila, resultado de uma operação de gestão ou número de objetos selecionados.
As variáveis endógenas são as dependentes ou de saída do sistema. São geradas pela interação das variáveis exógenas e de estado, de acordo com as características operacionais do sistema. Num sistema de gestão de redes, as variáveis endógenas são a média de operações realizadas com sucesso ou o conjunto de informações resultante da ocorrência de eventos nos objetos geridos.
As relações funcionais que descrevem as interações das variáveis com os componentes de um modelo são duplas: identidades e características operacionais. Ambas são usadas para gerar o comportamento do sistema. As identidades podem tomar a forma de definições ou de proposições redundantes relativas aos componentes do modelo. Para um sistema de gestão, a métrica do tráfego entre uma estação servidor e um recurso remoto pode ser considerado um exemplo de relação funcional.
Uma característica operacional é uma hipótese, geralmente uma equação matemática que relaciona as variáveis endógenas e de estado de um sistema com suas variáveis exógenas. Ao contrário dos componentes e das variáveis que podem ser diretamente observados no sistema real, os parâmetros das características operacionais apenas podem ser obtidos através da inferência estatística.
4. Classificação dos modelos de Simulação
Existem diferentes classificações propostas para os modelos de simulação. Neste documento, os modelos de simulação são classificados em três grupos:
- determinísticos e estocásticos, - estáticos e dinâmicos,
Desta forma, um modelo pode ser estocástico, dinâmico e discreto. Um exemplo com estas características são os modelos de simulação discretos.
4.1. Modelos determinísticos e modelos estocásticos
Nos modelos determinísticos não é permite às variáveis exógenas e endógenas serem variáveis aleatórias. Além disso, as características operacionais devem ser relações exatas e não funções de densidade de probabilidade. Os modelos determinísticos são computacionalmente menos exigentes do que os modelos estocásticos. Estes modelos podem geralmente ser resolvidos usando técnicas como a do cálculo de máximos e mínimos (técnica analítica).
Em resumo, os métodos analíticos são mais eficientes do que os métodos de simulação, quando aplicados na resolução de problemas determinísticos.
Os modelos são estocásticos quando pelo menos uma das características operacionais é dada por uma função de probabilidade. Geralmente são mais complexos que os modelos determinísticos. Deste modo, a simulação é mais adequada como método de análise da solução para estes modelos. Estes modelos são adequados à geração aleatória de dados para serem utilizados nas fases de observação ou de testes.
4.2. Modelos estáticos e modelos dinâmicos
Os modelos estáticos não consideram a variável de tempo. Geralmente a maioria dos trabalhos nas áreas da programação linear, não linear e na teoria dos jogos, têm sido relacionadas com modelos estáticos. No entanto, o uso de modelos de simulação pode não ser recomendado pelo facto da maioria dos modelos estáticos serem completamente determinísticos. Assim, as soluções podem normalmente ser obtidas por técnicas analíticas diretas.
Os modelos matemáticos que tratam de interações variáveis com o tempo são chamados modelos dinâmicos (ocorrência de uma ordem temporal entre eventos).
4.3. Modelos contínuos e modelos discretos
Um sistema pode ser modelado através de um modelo de mudança discreta (ou discreto) ou de um modelo de mudança contínua (ou contínuo). O tempo é a principal variável independente num modelo de simulação dinâmico. As restantes variáveis de estado podem ser consideradas como funções do tempo, portanto como variáveis dependentes.
As variáveis de estado do sistema são classificadas de acordo com os valores que tomam ao longo da simulação. Os modelos dinâmicos são classificados de acordo com os instantes de tempo em que as variáveis de estado têm os seus valores alterados.
Um modelo é discreto se todas as variáveis de estado têm os seus valores alterados apenas num número contável de instantes de tempo. Um modelo discreto é aquele em que as variáveis
tempo de evento. A variável tempo pode ser contínua ou discreta em tais modelos, dependendo se as mudanças discretas nas variáveis dependentes podem ocorrer em qualquer ponto do tempo real ou unicamente em pontos predeterminados.
Variável dependente num modelo discreto
Um modelo é contínuo se todas as variáveis de estado têm os seus valores alterados a qualquer instante de tempo. Um modelo contínuo é aquele em que as variáveis dependentes podem variar continuamente ao longo do tempo simulado. Um modelo contínuo pode ser contínuo no tempo ou discreto no tempo, dependendo se os valores das variáveis dependentes estão sempre disponíveis em qualquer ponto do tempo simulado, ou apenas em pontos específicos.
Algumas vezes pode ser útil modelar um sistema discreto como um modelo contínuo, considerando as entidades do sistema como um agregado e não como entidades individuais. Um exemplo de tal conveniência é a análise do movimento das partículas de um gás.
Um modelo é misto se algumas variáveis de estado têm os seus valores alterados a qualquer instante de tempo e outras apenas num número contável de instantes de tempo. Um modelo misto é aquele em que as variáveis dependentes podem variar discretamente, continuamente, ou continuamente com saltos discretos super-postos. A variável tempo pode ser discreta ou contínua.
O aspeto mais importante de uma simulação mista surge nas mudanças de variações discretas para contínuas e vice-versa. Uma linguagem de simulação mista deve conter meios de detetar tais ocorrências e modelar as suas consequências.
Modelo misto
Em resumo, chama-se simulação discreta à execução de um modelo de simulação discreto. Da mesma forma, chama-se simulação contínua à execução de um modelo de simulação contínuo. E, de simulação mista à execução de um modelo misto.
5. Modelos de simulação dinâmicos discretos
5.1. Componentes de um modelo de simulação
Os modelos de simulação discretos (ou apenas simulação discreta), é uma metodologia para modelar a evolução de um sistema ao longo do tempo, em que as variáveis de estado mudam instantaneamente em instantes particulares (discretos) de tempo. Os componentes de um modelo de simulação são os seguintes:
- Entidade: é um objeto de interesse do sistema (exemplos: clientes do sistema, máquinas num sistema de produção, etc.).
- Atributo: são as propriedades de uma entidade, pois existem vários tipos e cada uma com as suas propriedades (exemplos: tipos de prioridades dos clientes numa fila de espera, velocidade
- Atividade: representa um determinado período de tempo com duração específica, onde se verifica o desenvolvimento de um processo que utiliza recursos (exemplo: fazer depósitos numa agência bancária, soldar e perfurar num sistema produtivo, etc.).
- Estado do sistema: é o conjunto de variáveis necessárias para descrever o sistema em qualquer instante, as quais estão relacionadas com o objetivo do estudo (exemplos: número de servidores ocupados ou desocupados, número de clientes à espera para serem atendidos, número de máquinas em funcionamento, paradas ou avariadas, etc.).
- Evento/Acontecimento: é uma ocorrência instantânea que altera o estado do sistema (exemplos: chegada de um cliente, o terminar do serviço de um utente, uma nova avaria numa das máquinas, etc.). Os acontecimentos podem ser exógenos, no caso de terem origem fora do sistema, e endógenos, caso contrário.
- Executivo: trata-se de um mecanismo existente na estrutura de qualquer programa de simulação, que permite manter permanentemente atualizada a informação sobre as entidades. Em particular, permite conhecer em cada instante qual o estado da entidade e por quanto tempo é que esta permanece naquele estado.
Exemplo: serviço de atendimento com um servidor – objetivo do estudo:
- estimar o tempo médio de espera na fila para atendimento; – entidades:
- cliente, - servidor;
– variáveis de estado:
- estado do servidor (livre ou ocupado),
- instante de chegada de cada cliente ao sistema, - tempo de atendimento de cada cliente no balcão; – eventos/acontecimentos:
- chegada de um cliente ao sistema, - início do atendimento de um cliente;
- partida de um cliente após atendimento (no fim do serviço).
O objetivo de um modelo de simulação discreto é reproduzir as atividades das entidades envolvidas no sistema e, a partir daí, conhecer algo sobre o comportamento e desempenho do sistema. Isto é conseguido quando se definem os estados do sistema e se constroem as atividades que o movem de um estado para outro. O estado de um sistema é definido em termos de valores numéricos dados aos atributos das entidades. Um sistema está em determinado estado, quando todas as suas entidades estão em estados consonantes com o domínio dos valores dos atributos que
Em simulação discreta, o estado do sistema só pode mudar nos tempos de eventos. Uma vez que o estado do sistema permanece constante entre tempos de eventos, uma descrição completa do estado do sistema pode ser obtida avançando o tempo simulado de um evento para outro. Este mecanismo é usado na maioria das linguagens para simulação discreta.
Como os modelos de simulação discreta são dinâmicos, é necessário manter um registo do tempo simulado ao longo da simulação e um mecanismo para avançar o tempo de um instante para outro. O relógio de simulação é a variável de um modelo de simulação que regista o valor atual do tempo simulado. O relógio de simulação não tem uma unidade explícita (usa a mesma unidade dos parâmetros de entrada). O tempo simulado é diferente, quer do tempo de computador de execução da simulação, quer do tempo real.
Relações entre evento, processo e atividade.
5.2. Tipos de modelação
A formulação de um modelo de simulação discreta pode ser realizada de três formas: - pela definição das mudanças nos estados que podem ocorrer em cada tempo de evento; - pela descrição das atividades nas quais as entidades do sistema se envolvem e;
- pela descrição do processo através do qual as entidades do sistema fluem.
Um evento acontece num ponto isolado do tempo, no qual devem ser tomadas decisões de forma a iniciar ou terminar um atividade. Um processo é uma sequência ordenada de eventos e pode englobar várias atividades. Estes conceitos levam naturalmente a três alternativas de visão de um modelo de simulação discreto:
- modelação orientada ao Evento; - modelação orientada à Atividade; - modelação orientada ao Processo.
Modelação orientada ao Evento:
Um sistema é modelado pela definição das mudanças que ocorrem no tempo de evento. A tarefa do modelador é determinar os eventos que podem causar a mudança no estado do sistema e desenvolver a lógica associada com cada tipo de evento. A simulação do sistema é produzida pela execução da lógica associada a cada evento, numa sequência ordenada no tempo.
É este tipo de modelação que será estudado com mais detalhe neste documento. Modelação orientada à Atividade:
O modelador descreve as atividades nas quais as entidades do sistema estão envolvidas e estabelece as condições que causam o início e o fim de uma atividade. Os eventos que iniciam ou terminam uma atividade não são escalonados pelo modelador, mas iniciados a partir das condições especificadas para a atividade. À medida que o tempo simulado avança, as condições de início ou fim de uma atividade são examinadas. Para se assegurar que cada atividade é levada em consideração, é necessário examinar todo o conjunto de atividades a cada avanço do tempo. Modelação orientada ao Processo:
Muitas estruturas de modelos de simulação incluem sequências de eventos, as quais ocorrem em padrões definidos; por exemplo, uma fila de entidades à espera de um servidor. A lógica associada a tal sequência de eventos pode ser generalizada e definida por uma única afirmação. Uma linguagem para simulação pode então traduzir tal afirmação na sequência de eventos associada. Uma linguagem orientada ao processo emprega tais afirmações para modelar o fluxo das entidades no sistema. Estas afirmações definem uma sequência de eventos que é automaticamente executada pela linguagem de simulação.
5.3. Modelação orientada ao Evento
Existem dois métodos possíveis para avançar o tempo no sistema a ser simulado: avanço por incremento de tempo fixo (fixed increment) e avanço para o próximo evento (next event).
No método avanço por incremento de tempo fixo, um relógio virtual existente no computador permite registar o tempo instante a instante, mantendo a sequência correta dos acontecimentos. O tempo é atualizado por intervalos discretos uniformes (minutos, segundos, etc.), sendo o sistema observado em cada instante, de forma a saber se existe algum evento para ter início.
No método de avanço para o próximo evento, o avanço é por tempo variável, uma vez que é concretizado através dos instantes em que se verificam os acontecimentos. Não se analisa o período durante o qual se executa a simulação instante a instante.
1. o relógio é inicializado a zero e são determinados os instantes dos eventos futuros; 2. o relógio é avançado para o instante do próximo evento a ocorrer;
3. o estado do sistema é atualizado de acordo com esse evento e são determinados os instantes de novos eventos;
4. os passos 2 e 3 são repetidos, até se cumprir uma condição de paragem pré-estabelecida. Exemplo: sistema de atendimento com um servidor (o método de avanço para o próximo evento)
- ti = tempo de chegada do cliente i (t0 = 0)
- Ai = ti – ti-1 = tempo entre chegadas dos clientes i-1 e i
- Si = tempo de atendimento do cliente i no servidor
- Di = tempo de espera do cliente i na fila
- ci = ti + Di + Si = tempo de partida do cliente i
- ek = tempo do k-ésimo evento de qualquer tipo (chegada ou partida)
A utilização do método de avanço por incremento de tempo fixo é, em geral, mais eficiente se os acontecimentos ocorrem de forma regular ou se não forem bem conhecidos (por exemplo, em sistemas complexos no controlo ou em fases iniciais de estudos de simulação). O método de avanço para o próximo evento, em contrapartida, tem a virtude da duração designada para a unidade de tempo não afetar a velocidade de computação, o que permite poupar tempo na execução do modelo. A escolha de um ou de outro depende da natureza do sistema a ser modelado e simulado. No entanto, verifica-se que a eficiência do primeiro método aumenta com o incremento do número das variáveis de estado, e da segundo, com a duração temporal média dos acontecimentos.
Considere-se como exemplo um balcão de atendimento ao público. O objetivo do estudo deste sistema é estimar o número médio de clientes na fila, o tempo de espera médio dos clientes na fila e a percentagem de tempo de ocupação do servidor. Para tal, foram recolhidos dados (amostras)
relativos ao intervalo de tempo entre chegadas e à duração dos serviços, os quais estão sintetizados na tabela seguinte.
Tempos entre chegadas
(minutos) Frequência (%) Tempos de serviço(minutos) Frequência (%) 2 3 4 30 30 40 3 4 5 30 40 30 Os Componentes do modelo de simulação são os seguintes:
Entidades: clientes que chegam ao sistema para serem atendidos e o balcão de atendimento; Atributos: a disciplina da fila de espera admite-se ser FIFO (first in first out)
Atividades: tempo de espera na fila, tempo despendido no sistema e tempo de serviço, geridos através das duas distribuições empíricas caracterizadas na tabela anterior;
Estado do sistema: situação do servidor (ocupado ou livre), número de clientes na fila e número de clientes no sistema;
Eventos: chegada de um cliente e partida após conclusão do serviço de um cliente específico. Os tempos entre chegadas e de serviços podem ser determinados através de processos comuns de amostragem. Para tal, geram-se números com igual probabilidade de escolha e independentes entre si (pseudoaleatórios). A tabela seguinte apresenta os resultados obtidos.
Intervalo dos números
pseudoaleatórios chegadas (minutos)Tempos entre Intervalo dos númerospseudoaleatórios Tempos de serviço(minutos) 00-29 30-59 60-99 2 3 4 00-29 30-69 70-99 3 4 5 Os resultados da simulação são os que constam na tabela seguinte:
Número pseudo-aleatório Intervalo de tempo entre chegadas (minutos) Tempo acumulado (minutos) Número pseudo-aleatório Tempo de serviço (minutos) Tempo de conclusão de serviço (minutos) Tempo de espera (minutos) Tempos de disponibili-dade do servidor (minutos) 79 57 80 48 59 81 03 4 3 4 3 3 4 2 4 7 11 14 17 21 23 85 66 60 23 11 53 49 5 4 4 3 3 4 4 9 13 17 20 23 27 31 0 2 2 3 3 2 4 4 0 0 0 0 0 0
O método de simulação utilizado é o de avanço para o próximo evento, pois o incremento é aquele onde se verificam eventos instantâneos com relevância (chegada de um cliente e o terminar do serviço de um cliente). A tabela seguinte apresenta a evolução dos eventos.
Relógio de
simulação Evento Cliente Próximachegada Fila Estado doservidor Próximasaída Tempo livredo servidor espera FilaTempo de
0 - - 4 0 live ∞ 0 -4 chegada 1 7 0 ocupado (1) 9 4 0 7 chegada 2 11 1 - - - -9 partida 1 - 0 ocupado (2) 13 - 2 11 chegada 3 14 1 - - - -13 partida 2 - 0 ocupado (3) 17 - 2 14 chegada 4 17 1 - - - -17 partida 3 - 0 ocupado (4) 20 - 3 17 chegada 5 21 1 - - - -20 partida 4 - 0 ocupado (5) 23 - 3 21 chegada 6 23 1 - - - -23 partida 5 - 0 ocupado (6) 27 - 2 23 chegada 7 ∞ 1 - - - -27 partida 6 - 0 ocupado (7) 31 - 4 31 partida 7 - - livre ∞ -
-Atendendo aos objetivos do estudo, os valores estimados são os seguintes: - número médio de clientes na fila: 6/7 = 0.86 (86%)
- tempo médio de espera dos clientes na fila: 16/7 = 2.3 minutos/cliente
- percentagem de tempo de ocupação do servidor: (31-4)/31 = 27/31 = 0.87 (87%)
5.4. Desenvolvimento de um projeto de simulação
O processo de construção de modelos que representam sistemas reais pode ser estruturado por uma sequência de etapas de forma a simplificar, agilizar e melhorar a fidelidade do modelo.
A lista que a seguir se apresenta é clássica, isto é, quase todos os livros e trabalhos gerais sobre como proceder para solucionar um problema usando um processo de modelação e simulação do sistema é apresentada como se segue.
5.4.1. Formulação do problema.
Qualquer estudo de modelação e simulação deve iniciar-se pela formulação (depois da identificação) do problema que se pretende analisar. A compreensão total da situação, seja ela enumerada pelo cliente ou pelo analista, exige da parte do cliente um acordo e um entendimento completo da formulação proposta. Nesta fase, deverão ser preparadas um conjunto de hipóteses iniciais que terão de ser aceites pelo cliente. Mesmo assim, acontece com muita frequência o problema necessitar de ser reformulado durante o processo de desenvolvimento. Esta fase é das mais importantes do processo, pois irá condicionar todas as restantes atividades. A explicação sem
ambiguidade da situação é crucial, sob pena de se vir a chegar a uma solução que não corresponda à solução do problema real em avaliação.
5.4.2. Definição dos objetivos.
Os objetivos devem ser indicados pelo conjunto de questões que deverão ser respondidas pelo estudo do processo. Os objetivos deverão ser precisos, razoáveis, compreensíveis, mensuráveis e orientados para a ação, permitindo distinguir o essencial do secundário. Se a definição dos objetivos é vaga, normalmente conduz a sucessos pouco claros. São os objetivos que explicitam os focos do projeto e, em último lugar, permitirão verificar o grau de sucesso deste. Para a definição dos objetivos, devem ser respondidas questões do tipo:
a) por que o problema está a ser estudado?
b) quais serão as respostas que o estudo espera alcançar?
c) quais são os critérios para avaliação do rendimento do sistema? d) quais são as hipóteses e prerrogativas?
e) que restrições e limites são esperados das soluções obtidas? 5.4.3. Planeamento do projeto.
No planeamento do projeto pretende-se ter a certeza de que se possuem recursos suficientes no que diz respeito a pessoal, suporte, gestão, hardware e software para realização do trabalho proposto. Além disso, o planeamento deve incluir uma descrição dos vários cenários que serão investigados e um cronograma temporal das atividades que serão desenvolvidas, indicando os custos e necessidades relativas aos recursos anteriormente citados.
5.4.4. Construção do modelo.
O sistema real em análise é traduzido num modelo matemático, constituído por um conjunto de relações matemáticas e lógicas, de acordo com os componentes e a estrutura do sistema. O modelo construído consiste de uma descrição estática e de uma dinâmica. A descrição estática define os elementos do sistema e as suas características. A dinâmica define o modo como os elementos do sistema interagem causando mudanças no estado do sistema no decorrer do tempo.
O modelador deve conhecer bem a estrutura e as regras de operação do sistema e saber extrair o essencial do sistema, sem incluir detalhes desnecessários. A quantidade de detalhes incluída no modelo deve ser baseada nos objetivos para o quais foi construído.
Na construção do modelo deve-se traçar um esboço do sistema, de forma gráfica (fluxograma, por exemplo) ou algorítmica (pseudocódigo), definindo os componentes, descrevendo as variáveis e a interações lógicas que constituem o sistema. É recomendado que o modelo se inicie de forma simplificada e vá crescendo até alcançar algo mais complexo, contemplando todas as suas peculiaridades e características. O utilizador deve participar intensamente desta etapa.
5.4.5. Recolha de informação.
O aspeto mais complexo dos dado de entrada necessários para modelar um sistema é a recolha de dados em quantidade, qualidade e variedade, de forma a se desenvolver uma análise razoável. Em muitos casos é mesmo impossível ou muito difícil realizar esta tarefa, já que, por exemplo, poder-se-á estar a modelar um sistema original. Noutros casos, não existe tempo suficiente ou mão-de-obra disponível para se conseguir uma recolha de informação extensiva.
Os dados de entrada do sistema a simular são, normalmente, dados já existentes e não preparados especialmente para este fim. De salientar que, na maioria dos casos, os dados representam uma amostra do que pode ser utilizado ou do que existe disponível. Ao se afirmar que os dados são representativos, significa que são expressivos de uma população que apresenta uma certa regularidade ao longo do tempo, devendo a amostra refletir esta situação.
Geralmente os dados de entrada são valores hipotéticos ou baseados em alguma análise preliminar, e dependem do objetivo do modelo. Estes dados são factos, informações e estatísticas fundamentais, que derivam de observações, experiências pessoais ou de arquivos históricos.
5.4.6. Implementação do modelo.
O modelo de simulação construído é então codificado usando um qualquer linguagem de programação, seja ela imperativa ou de simulação; isto é, é construído o modelo implementado. 5.4.7. Verificação.
Esta fase consiste em determinar se o modelo implementado reflete de forma adequada o modelo de simulação construído. Para tal, deve-se verificar se os resultados obtidos pela execução no computador são os esperados. Recomenda-se que a verificação seja efetuada de forma continuada, não sendo boa opção concluir a implementação do modelo sem se iniciar a verificação. 5.4.8. Validação.
A validação de um modelo é o processo que permite verificar, tendo em atenção os objetivos específicos do estudo, se o modelo de simulação e uma representação ajustada do sistema. Se o modelo é válido, em termos conceptuais, então poderá ser utilizado como suporte à tomada de decisões sobre o sistema. A maior ou menor facilidade da validação depende da complexidade do sistema e da sua real existência.
De salientar que um modelo de simulação é construído para um fim específico e se é válido para este poderá não o ser para qualquer outro; ou seja, a sua validade é verificada para um conjunto de dados de entrada dentro de um determinado domínio, e não para valores fora dele.
As medidas de desempenho utilizadas para validar o modelo deverão ser as mesmas que são utilizadas pelo decisor para avaliar o sistema, devendo haver a preocupação de quem desenvolve o
modelo de o avaliar ao longo de todo o processo de construção, não adiando este processo apenas para uma fase posterior à conclusão do modelo.
Existe um conjunto de processos de natureza prática para se realizar uma conveniente validação de um modelo de simulação. Este conjunto pode ser dividido em duas categorias: a primeira inclui as designadas técnicas subjetivas e a segunda os processos formais. De entre as primeiras estão:
a) validação em face: o modelo de simulação e o sistema real devem-se assemelhar face ao conhecimento que se tem do funcionamento do sistema;
b) análise de sensibilidade: a variação dos valores de entrada deverá provocar mudanças nos resultados que sejam concordantes com uma alteração previsível; para tal, são utilizados cenários em que o comportamento real é conhecido previamente e que pode ser comparado com o comportamento obtido com a simulação;
c) testes para condições extremas: o modelo deverá responder de forma adequada quando os valores de entrada se alteram para valores extremos;
d) validação relativa às hipóteses do modelo de simulação: existem, para este caso, duas subcategorias de hipóteses: as estruturais (relacionadas com o funcionamento do sistema) e as ligadas aos dados.
As técnicas formais incluem a validação das transformações de entrada-saída e utilizando dados históricos de entrada. O princípio básico da primeira reside na comparação dos valores de saída do modelo implementado com aquele obtido no sistema real; neste processo são utilizados com frequência testes que permitem comparar valores médios ou outros parâmetros estatísticos. No segundo caso, em vez de se executar o modelo implementado com valores artificiais, utilizam-se dados do sistema recolhidos em períodos históricos; é de esperar que os resultados obtidos pelo modelo implementado sejam estatisticamente próximos dos observados no sistema real; esta comparação é realizada através de testes estatísticos.
Após o modelo ser validado torna-se necessário necessário adaptá-lo a determinadas condições de funcionamento (realizar a calibração). A calibração do modelo é um passo significativo que ocorre normalmente entre o final da validação e o início da simulação.
5.4.9. Desenho de experiências.
Os pontos a serem incluídos nesta fase são: a definição os cenários a serem simulados, o conjunto de decisões relativas à dimensão do período de simulação, o número de réplicas e as condições iniciais.
5.4.10. Execução do modelo e análise dos resultados.
A execução do modelo e a análise dos resultados obtidos permitirá estimar as medidas de desempenho para o conjunto de cenários estabelecido.
5.4.11. Mais execuções do modelo?
A partir dos resultados obtidos através da execução do modelo já realizada, o analista poderá concluir que serão ainda insuficientes ou eventualmente ser aconselhável explorar novos cenários. 5.4.12. Documentação e relatório.
Existem dois tipos de documentos a considerar: o primeiro relativo ao programa e o segundo inclui os designados por relatórios de progresso. A documentação relativa à programação é importante, pois o programa pode vir a ser utilizado posteriormente pelo analista ou por alguém diferente; desta forma, torna-se porventura necessário conhecer a forma de operar o programa. A existência de relatórios de progresso é importante, já que traduzem a história escrita do desenvolvimento do projeto; esta poderá revelar a cronologia do trabalho concretizado, das decisões tomadas, o que funcionou e não funcionou, etc..
5.4.13. Implementação da solução.
O sucesso desta fase depende da forma como os passos anteriores foram concretizados. Assim como o grau de envolvimento do utilizador final ao longo de todo o processo, é um fator de sucesso. Se os resultados do sistema virem a ser melhorados pelos resultados obtidos no modelo de simulação, o projeto poderá ser considerado um sucesso.
5.5. Implementação/codificação de um modelo de simulação discreta
Na fase de implementação do modelo de simulação é necessário ter em conta duas entidades importantes: as variáveis e as rotinas associadas ao modelo.
Para além das variáveis já referidas,
- estado do sistema: conjunto de variáveis que descrevem o estado do sistema num instante de tempo, e
- relógio de simulação: variável que regista o instante atual do tempo simulado, existem, pelo menos, mais duas:
- lista de eventos: lista com os próximos instantes de tempo em que cada tipo de evento vai ocorrer, e
- contadores estatísticos: variáveis que guardam informação estatística, recolhida ao longo da simulação, sobre o desempenho do sistema.
As rotinas necessárias são, pelo menos, as seguintes:
– rotina de inicialização: subprograma que inicializa o estado do sistema no instante 0
– rotina de gestão de tempo: subprograma que determina o próximo evento da lista de eventos e avança o relógio de simulação
– rotinas dos eventos: subprogramas (um por tipo de evento) que atualizam o estado do sistema quando ocorre um evento
– biblioteca de rotinas: conjunto de subprogramas que geram observações aleatórias das distribuições de probabilidade que são utilizadas pelo modelo
– gerador de relatórios: subprograma que calcula no fim da simulação (a partir dos contadores estatísticos) medidas de desempenho do sistema e produz um relatório
– programa principal: subprograma que chama a rotina de gestão de tempo e passa o controlo para a correspondente rotina do evento; este programa também verifica as condições de paragem e chama o gerador de relatórios no fim da simulação.
Um possível algoritmo associado à implementação do modelo de simulação é o seguinte:
5.6. Exemplo 1
Enunciado do problema:
Serviço de atendimento de clientes com apenas um servidor. Funcionamento do sistema (uma barbearia):
– os clientes chegam à barbearia e esperam numa cadeira se o barbeiro estiver ocupado; – o barbeiro serve os clientes por ordem de chegada;
Dados de entrada para a simulação do sistema (inputs): – instantes de chegada dos clientes ao sistema
– tempo de duração do serviço de cada cliente
Número de cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Instantes de chegada (min) 12 15 32 76 97 128 138 153 180 215
Tempos de serviço (min) 25 32 12 30 24 10 27 21 15 14
Objetivos:
- simular este sistema até todos os clientes serem atendidos - calcular as seguintes medidas de desempenho (outputs):
- tempo médio de permanência dos clientes no sistema - tempo médio de espera dos clientes
- número médio de clientes no sistema - número médio de clientes em espera - taxa de ocupação do servidor
Construção do modelo de simulação: – eventos:
evento de chegada e evento de partida; – variáveis de estado:
número de cliente, fila de espera (FIFO), número de clientes na fila, tipo de evento e estado do servidor (ocupado ou livre);
– lista de eventos:
próximo evento de chegada (tempo) e próximo evento de partida (tempo); – contadores estatísticos:
tempo de permanência dos clientes no sistema, tempo de espera dos clientes na fila, número de clientes que passaram pelo sistema, número de clientes que passaram pela fila e tempo de ocupação do servidor (barbeiro).
Algoritmo (eventos):
5.7. Exemplo 2
Enunciado do problema:
Serviço de atendimento de clientes com dois servidores. Funcionamento do sistema (agência de viagens):
- dois agentes trabalham em paralelo no balcão de uma agência de viagens
- os clientes, ao chegarem, formam uma única fila à espera do primeiro agente livre - se ambos os agentes estiverem livres, o cliente escolhe o Agente 1.
Dados de entrada para a simulação do sistema (inputs): – tempos entre chegadas:
- os tempos entre chegadas de clientes seguem uma distribuição exponencial negativa com valor esperado de 2.0 minutos;
- estes tempos podem ser gerados a partir de números aleatórios uniformes entre 0 e 1 com a seguinte fórmula:
- tempos de serviço:
- os tempos médios de serviço são iguais para os dois agentes;
- os tempos de serviço têm duas parcelas: um tempo constante de 1 minuto para o contacto inicial e um tempo variável uniforme entre 0.5 e 2.0 minutos;
- para gerar valores aleatórios uniformemente distribuídos entre A e B pode usar a fórmula: x = A+(B-A)*r, onde r~U(0, 1), A é o limite inferior e B o limite superior
Objetivos:
- simular o sistema até todos os clientes serem atendidos - calcular as seguintes medidas de desempenho (outputs):
- taxa de ocupação de tempo dos dois agentes - tempo médio de espera dos clientes
- tempo médio de permanência dos clientes no sistema - número médio de clientes que passaram pela fila de espera
- número médio de clientes que passaram pelo sistema (que foram atendidos) Construção do modelo de simulação (estruturas de dados):
Variáveis de estado do sistema
- Tipo de evento (chegada, partida1 ou partida2 – TipoEvento) - Número do cliente (inteiro - NumCliente)
- Estado do Agente 1 (ocupado ou livre - EstadoAgente1) - Estado do Agente 2 (ocupado ou livre - EstadoAgente2)
- Fila de espera de clientes com os tempos de chegada (fila reais – FilaEventosChegada) Relógio de simulação
- Relógio de simulação (real - Clock) Lista de eventos
- Tempo do próximo evento de chegada (real - TempoProximaChegada) - Tempo de partida do cliente no Agente 1 (real - TempoPartida1) - Tempo de partida do cliente no Agente 2 (real - TempoPartida2) Contadores estatísticos
- Tempo total de espera dos clientes (real - TempoTotalEspera) - Tempo de ocupação do Agente 1 (real - TempoOcupacaoAgente1) - Tempo de ocupação do Agente 2 (real - TempoOcupacaoAgente2)
- Tempo total de permanência dos clientes no sistema (real - TempoTotalPermanencia) - Número de clientes que passaram pelo sistema (inteiro – NumClientesSistema)
Algoritmo: Rotina de inicialização (T0): NumClientesSistema 0 EstadoAgente1 livre EstadoAgente2 livre FilaEventosChegada [] Clock 0.0 TempoProximaChegada T0 TempoPartida1 TempoPartida2 TempoTotalEspera 0 TempoOcupacaoAgente1 0 TempoOcupacaoAgente2 0 TempoTotalPermanencia 0 TotalClientesFila 0
Rotina de gestão de tempo (TempoProximaChegada, TempoPartida1, TempoPartida2): Devolve o mínimo de { TempoProximaChegada, TempoPartida1, TempoPartida2 } Devolve o tipo de evento que lhe está associado (chegada, partida1 ou partida2) Rotinas de eventos:
Evento de Chegada (Tempo)
Marcar próximo evento de chegada (consultar sequência de instantes de chegada): TempoEntreChegadas consultar sequência de valores respetiva
TempoProximaChegada Tempo + TempoEntreChegadas Se (EstadoAgente1 = ocupado) Então
Se (EstadoAgente2 = ocupado) Então
FilaEventosChegada Inserir(Tempo, FilaEventosChegada) TotalClientesFila TotalClientesFila + 1
Senão
NumClientesSistema NumClientesSistema + 1 EstadoAgente2 ocupado
TempoServico consultar sequência de valores respetiva
TempoPartida2 Tempo + TempoServico (Marcar evento de partida deste cliente) TempoOcupacaoAgente2 TempoOcupacaoAgente2 + TempoServico
TempoTotalPermanencia TempoTotalPermanencia + TempoServico Fim_Se
Senão
NumClientesSistema NumClientesSistema + 1 EstadoAgente1 ocupado
TempoServico consultar sequência de valores respetiva
TempoPartida1 Tempo + TempoServico (Marcar evento de partida deste cliente) TempoOcupacaoAgente1 TempoOcupacaoAgente1 + TempoServico
TempoTotalPermanencia TempoTotalPermanencia + TempoServico Fim_Se
Evento de Partida 1 (Tempo)
Se (FilaEventosChegada = []) Então EstadoAgente1 livre
TempoPartida1 Senão
TempoChegadaCliente Frente(FilaEventosChegada) TempoEsperaCliente Tempo - TempoChegadaCliente NumClientesSistema NumClientesSistema + 1
TempoServico consultar sequência de valores respetiva
TempoPartida1 Tempo + TempoServico (Marcar evento de partida deste cliente) FilaEventosChegada Remover(FilaEventosChegada)
TempoTotalEspera TempoTotalEspera + TempoEsperaCliente TempoOcupacaoAgente1 TempoOcupacaoAgente1 + TempoServico
TempoTotalPermanencia TempoTotalPermanencia + TempoServico + TempoEsperaCliente Fim_Se
Evento de Partida 2 (Tempo)
Se (FilaEventosChegada = []) Então EstadoAgente2 livre
TempoPartida2 Senão
TempoChegadaCliente Frente(FilaEventosChegada) TempoEsperaCliente Tempo - TempoChegadaCliente NumClientesSistema NumClientesSistema + 1
TempoServico consultar sequência de valores respetiva
TempoPartida2 Tempo + TempoServico (Marcar evento de partida deste cliente) FilaEventosChegada Remover(FilaEventosChegada)
TempoOcupacaoAgente2 TempoOcupacaoAgente2 + TempoServico
TempoTotalPermanencia TempoTotalPermanencia + TempoServico + TempoEsperaCliente Fim_Se
Programa principal:
1) T0 tempo do primeiro evento de chegada (consultar sequência de valores respetiva) 2) Executar rotina de inicialização (T0)
3) (Clock, TipoEvento) Rotina de gestão de tempo (TempoProximaChegada, TempoPartida1, TempoPartida2)
4) Se (TipoEvento = Chegada) Então NumClientes NumClientes + 1
Executar rotina Evento de chegada (Clock) Se (NumClientes = MaximoClientes) Então
TempoProximaChegada ∞ Fim_Se
Senão
Se (TipoEvento = Partida1) Então
Executar rotina Evento de partida 1 (Clock) Senão
Executar rotina Evento de partida 2 (Clock) Fim_Se
Fim_Se
5) Se (Continuar simulação) Então Regressar a 3)
Senão
Calcular medidas de desempenho Escrever relatório
Fim_Se
Simular manualmente:
– começar por calcular os instantes de chegada e os tempos de serviço (tabela seguinte):
Número de cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tempos entre chegadas (min) 3.6 5.6 2.8 0.4 0.3 1.9 5.4 0.3 4.1 1.0 0.7 0.3 Instantes de chegada (min) 3.6 9.2 12.0 12.4 12.7 14.6 20.0 20.3 24.4 25.4 26.1 26.4
– para a simulação manual (8 primeiros clientes), utilizar um quadro com as seguintes entradas:
Clock Evento NC TPC FilaEC EA1 TP1 EA2 TP2 TTP TOA1 TOA2 TCF NCS TTE
0.0 - - 3.6 [ ] livre livre 0 0 0 0 0 0 3.6 Chegada 1 9.2 - ocup 6.3 - - 2.7 2.7 - - 1 -6.3 Partida1 1 - - livre - - - -9.2 Chegada 2 12.0 - ocup 11.7 - - 5.2 5.2 - - 2 -11.7 Partida1 2 - - livre - - - -12.0 Chegada 3 12.4 - ocup 13.9 - - 7.1 7.1 - - 3 -12.4 Chegada 4 12.7 - - - ocup 15.1 9.8 - 2.7 - 4 -12.7 Chegada 5 14.6 [12.7] - - - 1 - -13.9 Partida1 3 - [ ] - 17.8 - - 14.9 11.0 - - 5 1.2 14.6 Chegada 6 20.0 [14.6] - - - 2 - -15.1 Partida2 4 - [ ] - - - 18.0 18.3 - 5.6 - 6 1.7 17.8 Partida1 5 - - livre - - - -18.0 Partida2 6 - - - - livre - - - -20.0 Chegada 7 20.3 - ocup 21.8 - - 19.8 12.5 - - 7 -20.3 Chegada 8 - - - ocup 22.5 22.0 - 7.8 - 8 -21.8 Partida1 7 - - livre - - - -22.5 Partida2 8 - - - - livre - - -
-5.8. Exemplo 3
Enunciado do problema:Sequenciamento de tarefas num job-shop. Funcionamento do sistema:
– são processadas 4 tipos de peças com 3 máquinas: Torno, Fresadora e Retificadora; – cada tipo de peça tem uma sequência de operações distinta;
– das peças a aguardar processamento numa máquina, é escolhida primeiro aquela que tiver menor tempo de operação;
– neste momento há 4 tarefas a realizar: 4 peças, uma de cada tipo.
Tipo peças 1 2 3 4
Máquinas T – F – R - F F – T - R R – T – F - T F – R – T - R Dados de entrada para a simulação do sistema (inputs):
- este problema poderia ser generalizado com
– chegadas de peças ao sistema com intervalos de tempo probabilísticos – tempos de processamento probabilísticos
– usar a sequência de operações (máquina e tempo de processamento) da tabela seguinte
Tipo peças 1 2 3 4
Máquinas 2 – 4 – 2 - 1 3 – 3 - 1 3 – 2 – 2 - 5 5 – 4 – 2 - 3 Objetivos:
– simular manualmente este sistema até processar todas as tarefas – calcular as seguintes medidas de eficiência:
- tempo total de processamento (ou makespan) - tempo médio de fluxo das tarefas
- tempo médio de espera das tarefas - taxa média de ocupação das máquinas Nota: este problema poderia ser generalizado com
– chegadas de peças ao sistema com intervalos de tempo probabilísticos – tempos de processamento probabilísticos
– adoção de outras regras de sequenciamento
5.9. Exemplo 4
Enunciado do problema:
Ao chegar à sala do professor, o aluno deve esperar numa fila até que chegue a sua vez para ser atendido. Quando chega a sua vez, o aluno conversa com o professor e depois abandona a sala dando oportunidade para que um outro aluno possa ser atendido. Apenas por uma questão de simplicidade, vamos assumir que o tempo de chegada dos alunos e o tempo gasto por cada aluno no atendimento são conhecidos (valores que constam na tabela).
Aluno Tempo dechegada (minutos) Tempo de atendimento (minutos) Aluno Tempo de chegada (minutos) Tempo de atendimento (minutos) 1 6.0 9.0 6 52.0 5.0 2 24.0 7.5 7 58.0 9.0 3 26.0 10.0 8 70.0 7.5 4 35.0 6.5 9 77.0 6.5 5 44.0 6.0 10 89.0 11.0 Objetivos:
- Tempo médio que um aluno gasta a tirar dúvidas com o professor e - Percentagem do tempo que o professor fica ocupado a tirar dúvidas. Componentes do modelo:
Entidades: alunos que vão tirar dúvidas e o professor que atende os alunos; Atributos: considera-se que os alunos são atendidos por ordem de chegada à fila;
Atividades: tempo de espera do aluno na fila, tempo total gasto pelo aluno no sistema e tempo de ocupação do professor no atendimento aos estudantes;
Estado do sistema: número do aluno no sistema, tipo de evento que ocorre, número de alunos na fila de espera (ou a fila de espera), número de alunos que passaram pelo sistema, estado do professor (ocupado ou livre) e tempo total de ocupação do professor (objetivo do estudo); Eventos: chegada de um aluno à fila para ser atendido e partida de um aluno depois de ser
atendido pelo professor (e que deixa o sistema); o início do atendimento de um aluno não é um evento, pois coincide com a chegada de um aluno (se professor livre) ou com a partida de um aluno depois de atendido pelo professor (se fila não vazia).
Para ilustrar a simulação pode-se traçar o retrato dinâmico do estado do sistema, pelo processamento dos eventos de chegada e saída de alunos ordenados no tempo. A simulação manual do exemplo, correspondente às entradas da tabela inicial, pode ser apresentada de acordo com duas visões. A visão do aluno (descrição orientada ao processo) e a visão da ocorrência ordenada dos eventos, no caso da visão do professor (descrição orientada ao evento).
A tabela seguinte apresenta a visão do aluno, assumindo inicialmente que: - não havia alunos no sistema,
- o professor estava livre e
- o primeiro aluno chegou no tempo 6.0 minutos. Nesta tabela,
- as colunas 1 e 2 foram tiradas da tabela inicial;
- a coluna 3 depende se o aluno anterior já partiu do sistema; o valor da coluna é o maior valor entre o tempo de chegada do aluno e o tempo de partida do aluno imediatamente anterior; - a coluna 4 é a soma da coluna 3 com o valor do tempo de atendimento dado na tabela inicial; - a coluna 5 computa o tempo que o aluno passa na fila, simplesmente subtraindo do tempo que o
aluno começa a ser atendido (coluna 3), o tempo em que o aluno chegou ao sistema (coluna 2); - a coluna 6 calcula o tempo que um aluno passa no sistema, subtraindo o seu tempo de chegada
(coluna 2), do seu tempo de saída (coluna 4).
O tempo médio que um aluno passa no sistema pode ser facilmente calculado pela tabela abaixo, sendo seu valor igual a 9.75 minutos.
Aluno Tempo de chegadaao sistema Tempo de iníciode atendimento Tempo de saídado sistema espera na filaTempo de Tempo totalno sistema
1 6.0 6.0 15.0 0.0 9.0
2 24.0 24.0 31.5 0.0 7.5
3 26.0 31.5 41.5 5.5 15.5
4 35.0 41.5 48.0 6.5 13.0
6 52.0 54.0 59.0 2.0 7.0
7 58.0 59.0 68.0 1.0 10.0
8 70.0 70.0 77.5 0.0 7.5
9 77.0 77.5 84.0 0.5 7.0
10 89.0 89.0 100.0 0.0 11.0
A tabela seguinte apresenta uma descrição do exemplo com modelação orientada ao evento: os eventos são listados em ordem cronológica, na qual se pode calcular a percentagem de ocupação do professor, cujo valor é igual a 78%. Para manter a ordem cronológica dos eventos, foi necessário manter um calendário de futuros eventos a serem processados, o que foi conseguido colocando pela ordem correta os eventos de chegada e de partida dos alunos. A ordem correta do processamento dos eventos foi obtida deste calendário, que vai sempre fornecer com exatidão o próximo evento a ser processado.
Tempo de
evento Aluno Tipo doevento alunos na filaNúmero de Nº de alunos nosistema Estado doProfessor ocupação do Prof.Tempo de
0.0 - - 0 0 livre -6.0 1 chegada 0 1 ocupado 15.0 1 partida 0 0 livre 9.0 24.0 2 chegada 0 1 ocupado -26.0 3 chegada 1 2 ocupado -31.5 2 partida 0 1 ocupado -35.0 4 chegada 1 2 ocupado -41.5 3 partida 0 1 ocupado -44.0 5 chegada 1 2 ocupado -48.0 4 partida 0 1 ocupado -52.0 6 chegada 1 2 ocupado -54.0 5 partida 0 1 ocupado -58.0 7 chegada 1 2 ocupado -59.0 6 partida 0 1 ocupado -68.0 7 partida 0 0 livre 44.0 70.0 8 chegada 0 1 ocupado -77.0 9 chegada 1 2 ocupado -77.5 8 partida 0 1 ocupado -84.0 9 partida 0 0 livre 14.0 89.0 10 chegada 0 1 ocupado -100.0 10 partida 0 0 livre 11.0
