INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CÁLCULO DE LIMITANTE INFERIOR PARA O VALOR
SINGULAR ESTRUTURADO VIA OTIMIZAÇÃO
NÃO-DIFERENCIÁVEL
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mes-trado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar de En-genharia, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Cap Alberto Mota Simões - Dr. ISAE
Rio de Janeiro
2012
c2012
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA Praça General Tibúrcio, 80-Praia Vermelha Rio de Janeiro-RJ CEP 22290-270
Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e do orientador.
L557 Lemos, Rodrigo Garrido da Silva
Cálculo de limitante inferior para o valor singular estruturado via otimização não-diferenciável / Rodrigo Garrido da Silva Lemos. - Rio de Janeiro : Instituto Militar de Engenharia, 2012.
104 p.: il.
Dissertação (mestrado) - Instituto Militar de Engenharia - Rio de Janeiro, 2012.
1. Engenharia elétrica (teses e dissertações). 2. Controle robusto 3. Valor Singular Estruturado 4. Otimização não-diferenciável I. Título II. Instituto Militar de Engenharia.
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
RODRIGO GARRIDO DA SILVA LEMOS
CÁLCULO DE LIMITANTE INFERIOR PARA O VALOR SINGULAR ESTRUTURADO VIA OTIMIZAÇÃO NÃO-DIFERENCIÁVEL
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Cap Alberto Mota Simões - Dr. ISAE
Aprovada em 09 de Março 2012 pela seguinte Banca Examinadora:
Cap Alberto Mota Simões - Dr. ISAE do IME
Cel Paulo César Pellanda - Dr. ENSAE do IME
Ricardo Hiroshi Caldeira Takahashi - Dr. UNICAMP da UFMG
Leonardo Antônio Borges Tôrres - Dr. UFMG da UFMG
Rio de Janeiro 2012
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador, Cap Alberto Mota Simões, pela dedicação, atenção e compre-ensão dispensados, que somados ao compartilhamento de notório saber possibilitaram o desenvolvimento desse trabalho.
Aos meus pais, Nelson da Silva Lemos e Iris Garrido da Silva Lemos, in memorian, por tudo.
Ao meu primo, Andersen, pelos constantes apoio e incentivo, sem os quais esse obje-tivo jamais teria sido alcançado.
À minha esposa, Ana Paula, por dividir comigo, a cada dia, os risos dos momentos felizes e as lágrimas dos momentos tristes.
Aos meus familiares, que contribuíram de maneira significante com a minha forma-ção, em especial ao meu irmão Rafael, às minhas tias Isis e Célia e à minha madrinha Conceição.
Epígrafe
“Julgue seu sucesso pelas coisas que você teve que renunciar para conseguir.” Dalai Lama
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . 9
LISTA DE SMBOLOS E ABREVIATURAS . . . 12
1 INTRODUÇÃO . . . 17
1.1 Motivação do trabalho . . . 18
1.2 Organização da dissertação . . . 20
2 ANÁLISE DE ROBUSTEZ . . . 21
2.1 Caracterização das incertezas . . . 21
2.2 Quadro de trabalho para a análise de robustez . . . 23
2.2.1 Representação de incertezas . . . 23
2.2.2 Definições de estabilidade e desempenho robustos . . . 25
2.2.3 Estabilidade robusta na estrutura M ∆ . . . 26
2.3 Valor singular estruturado . . . 27
2.3.1 Estabilidade robusta para bloco de incertezas diagonal . . . 30
2.4 Valor singular estruturado oblíquo . . . 31
2.5 Desempenho robusto . . . 32
2.5.1 Teste-
µ
para desempenho robusto . . . 332.6 Análise
µ
por espaço de estados . . . 373 ELEMENTOS DE OTIMIZAÇÃO NÃO-DIFERENCIÁVEL . . . 41
3.1 Análise não-diferenciável . . . 41
3.1.1 Introducão . . . 41
3.1.2 Subdiferencial de uma função convexa . . . 42
3.1.3 Subdiferencial de Clarke . . . 44
3.1.4 Regras de cálculo do subdiferencial de Clarke . . . 46
3.2 Técnica de otimização não-diferenciável . . . 49
3.2.1 Algoritmo de penalização exata . . . 49
4 APLICAÇÕES NUMÉRICAS . . . 59
4.1 Exemplo com incertezas puramente reais . . . 59
4.2 Exemplo com incertezas mistas . . . 63
4.3 Sistema massa-mola-amortecedor . . . 69
4.4 Sistema de controle de voo longitudinal de míssil . . . 74
4.5 Avião flexível . . . 83
5 CONCLUSÃO . . . 92
5.1 Visão geral do trabalho . . . 92
5.2 Estudos de caso . . . 92
5.3 Sugestão para trabalhos futuros . . . 93
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRFICAS . . . 95
7 APÊNDICES . . . 98
7.1 Transformações Fracionais Lineares . . . 98
7.1.1 Interconexão de LFT . . . 99
7.2 Autovalores e autovetores . . . 100
7.3 Valores singulares . . . 102
7.4 Critério de Nyquist Generalizado . . . 103
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIG.2.1 Incerteza multiplicativa de entrada . . . 22
FIG.2.2 Estrutura M ∆ para análise de robustez em estabilidade . . . 24
FIG.2.3 Estrutura N ∆ para análise de robustez em desempenho . . . 24
FIG.2.4 Forma padrão para síntese de controladores . . . 25
FIG.2.5 Estrutura M ∆ particionada para análise ν . . . 31
FIG.2.6 Estrutura G ˆ∆ . . . 33
FIG.2.7 ∆p incluso na estrutura N ∆ . . . 35
FIG.2.8 Estrutura N ˆ∆ . . . 35
FIG.2.9 Teste µ - espaço de estados . . . 39
FIG.3.1 Interpretação geométrica do subdiferencial de uma função convexa (HIRIART-URRUTY, 1993) . . . 45
FIG.3.2 Interpretação geométrica do subdiferencial de Clarke . . . 47
FIG.4.1 Limitantes de µ com 1 ponto inicial: 1a aplicação . . . . . 60
FIG.4.2 Limitantes de µ com 5 pontos iniciais: 1a aplicação . . . . 61
FIG.4.3 Limitantes de µ com 10 pontos iniciais: 1a aplicação . . . 62
FIG.4.4 Análise de singularidade via menor valor singular (GB/ND-GF): 1a aplicação. . . 62
FIG.4.5 Análise de singularidade via recíproco do número de condiciona-mento (GB/ND-GF): 1a aplicação. . . 63
FIG.4.6 Diagramas de blocos do sistema em malha fechada: 2a aplicação. . . . 63
FIG.4.7 Limitantes de µ: 2a aplicação . . . . 65
FIG.4.8 Análise de singularidade via menor valor singular (GB/ND-GF): 2a aplicação (estabilidade robusta). . . 66
FIG.4.9 Análise de singularidade via recíproco do número de condiciona-mento (GB/ND-GF): 2a aplicação (estabilidade robusta). . . 66
FIG.4.10 Limitantes para o pior caso de ganho da transferência F : 2a apli-cação. . . 67
FIG.4.11 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-GF): 2a apli-cação (desempenho robusto). . . 68
FIG.4.12 Análise de singularidade via recíproco do número de
condiciona-mento (ND-GF): 2a aplicação (desempenho robusto). . . . . 69
FIG.4.13 Sistema massa-mola-amortecedor. . . 69 FIG.4.14 Limitantes de µ: massa-mola-amortecedor. . . 71 FIG.4.15 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE):
massa-mola-amortecedor. . . 73 FIG.4.16 Análise de singularidade via recíproco do número de
condiciona-mento (ND-EE): massa-mola-amortecedor. . . 73 FIG.4.17 Diagrama de blocos do míssil. . . 74 FIG.4.18 Limitantes de µ: míssil. . . 75 FIG.4.19 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): míssil
(análise µ). . . 77 FIG.4.20 Análise de singularidade via recíproco do número de
condiciona-mento (ND-EE): míssil (análise µ). . . 77 FIG.4.21 Limitante de µ: míssil (Mα e Mβ reduzidos). . . 78
FIG.4.22 Análise de singularidade via menor valor singular para
(GB/ND-GF): míssil. . . 79 FIG.4.23 Análise de singularidade via recíproco do número de
condiciona-mento (GB/ND-GF): míssil. . . 79 FIG.4.24 Limitantes de ν: míssil. . . 80 FIG.4.25 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): míssil
(análise ν). . . 82 FIG.4.26 Análise de singularidade via recíproco do número de
condiciona-mento (ND-EE): míssil (análise ν). . . 82 FIG.4.27 Limitante para µ - míssil: Zα e Zβ reduzidos . . . 83
FIG.4.28 Limitantes de µ - avião flexível. . . 84 FIG.4.29 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): avião
flexível (análise µ). . . 85 FIG.4.30 Análise de singularidade via recíproco do número de
condiciona-mento (ND-EE): avião flexível (análise µ). . . 86 FIG.4.31 Limitantes de ν - avião flexível: restrição na faixa de variação dos
FIG.4.32 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): avião
flexível (1a análise ν. . . . . 88
FIG.4.33 Análise de singularidade via recíproco do número de condiciona-mento (ND-EE): avião flexível (1a análise ν). . . 89
FIG.4.34 Limitantes de ν: avião flexível (restrição na faixa de variação das frequências naturais dos modos flexíveis). . . 90
FIG.4.35 Análise de singularidade via recíproco do número de condiciona-mento (ND-EE): avião flexível (2a análise ν). . . 91
FIG.4.36 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): avião flexível (2a análise ν). . . . 91
FIG.7.1 LFT inferior em função de K . . . 98
FIG.7.2 LFT superior em função de ∆ . . . 99
FIG.7.3 Interconexão de LFTs resulta em uma LFT . . . 99
LISTA DE SMBOLOS E ABREVIATURAS
ABREVIATURAS
VANT - Veículo Aéreo Não-Tripulado
UAV - Unmanned Aerial Vehicle
LFT - Linear Fractional Transformations
PI - Power Iteration
GBLB - Gain Based Lower Bound
EN - Estabilidade Nominal
ER - Estabilidade Robusta
DN - Desempenho Nominal
DR - Desempenho Robusto
LS - Limitante Superior
LI GB - Limitante Inferior Gain Based
LI ND-GF - Limitante Inferior Não-Diferenciável Grade de Frequências LI ND-EE - Limitante Inferior Não-Diferenciável Espaço de Estados LS-WC - Limitante Superior Worst Case
LI-WC - Limitante Inferior Worst Case
FIG(s) - Figura(s)
TEO(s) - Teorema(s)
EQ(s) - Equação(ções)
MIMO - Multiple-Imput Multiple-Output CQP - Convex Quadratic Programming SDP - Semidefinite Programming
SÍMBOLOS
, - igual, por definição
∀ - para todo
⇒ - se, então
2 - fim de demonstração a ∈ A - a pertence ao conjunto A
R - conjunto dos números reais
Rn×m - matriz real com n linhas e m colunas Rn - vetor coluna real com n elementos C - conjunto dos números complexos
Cn×m - matriz complexa com n linhas e m colunas Cn - vetor coluna complexo com n elementos co - fecho convexo de um conjunto
MT - transposta da matriz M
M∗ - adjunta da matriz M
MH - transposta conjugada da matriz M
Ip - matriz identidade de ordem p
Tr - traço da matriz quadrada
det - determinante da matriz Re - parte real de uma matriz
Im - parte imaginária de uma matriz
λ - autovalor
q - autovetor
ρ - raio espectral
Hm - conjunto de matrizes hermitianas de ordem m X 0 - matriz X é positiva definida
X 0 - matriz X é positiva semidefinida
X ∗ Y - produto estrela de Redheffer entre as matrizes X e Y µ - valor singular estruturado
ν - valor singular estruturado oblíquo
σ - valor singular
σ - maior valor singular
σ - menor valor singular
B(δ, ρ) - bola de raio ρ > 0 centrada no ponto δ
Jf(δ) - matriz jacobiana para o campo vetorial f(·) em δ
∂f (δ) - subdiferencial de Clarke em δ Epi(f ) - Epígrafo da função f
f0(δ; h) - derivada direcional de δ na direção h ∇δf (δ, y) - gradiente em relação à primeira variável
Fu - LFT superior
RESUMO
Este trabalho trata da análise de robustez de sistemas incertos via otimização não-diferenciável.
É proposta uma nova técnica baseada em otimização não-diferenciável para o cálculo de limitante inferior para o valor singular estruturado µ e para o valor singular estruturado oblíquo ν (skewed-µ), duas valiosas ferramentas para análise de robustez de sistemas incertos. µ e ν podem ser aplicados na análise de robustez de controladores utilizados em aplicações militares como mísseis e Veículos Aéreos Não-Tripulados (VANT). Exemplos numéricos mostram que em alguns casos os limitantes inferiores encontrados, tanto para µ quanto para ν, são iguais aos seus valores verdadeiros. Para o cálculo dos limitantes é utilizado um eficiente algoritmo de otimização dotado de certificado de convergência e otimalidade local. Em virtude da eficiência da técnica não-diferenciável, o algoritmo pode ser aplicado para resolver, até mesmo, problemas que envolvam um significativo número de incertezas paramétricas. Outra característica interessante da abordagem não-diferenciável proposta é o pequeno impacto causado no tempo computacional pelo número de repetições das incertezas escalares no bloco estruturado das incertezas.
Para algumas aplicações desafiadoras, como as discutidas neste trabalho, a técnica proposta pode fornecer limitantes inferiores menos conservadores quando comparada com as técnicas mais populares atualmente disponíveis.
ABSTRACT
This work deals with robustness analysis of uncertain systems by non-smooth opti-mization.
It is proposed a new technique based on non-smooth optimization to directly compute lower bounds on the structured singular value µ and the skew structured singular value ν, which are two valuable tools for robustness analysis of uncertain systems. µ and ν can be applied to the robustness analysis of controllers used in military applications such as missiles and Unmanned Aerial Vehicles (UAV). Numerical examples show that in some cases the lower bounds found for both µ and ν are equal to their true values. For the computation of bounds is used an optimization algorithm endowed with a certificate of convergence and local optimality. Thanks to the efficiency of the non-smooth technique, the algorithm can be applied to solve problems that involve even a significant number of parametric uncertainties. Another interesting feature of the proposed non-smooth approach is the little impact of dimension of repeated scalar uncertainties in the overall structured uncertainty matrix on the computational time.
For some challenging applications, such as those discussed in this work, the proposed technique can provide tighter lower bounds when compared with the most popular tech-niques currently available.
1 INTRODUÇÃO
Modelos matemáticos não possuem a capacidade de descrever com exatidão o compor-tamento de sistemas físicos reais. No entanto, muitas vezes, para fins de análise e projeto, é conveniente utilizá-los para se obter uma aproximação do comportamento de um deter-minado sistema. Para muitas aplicações as aproximações se mostram eficazes, mas em algumas circunstâncias, sobretudo em sistemas de alto desempenho, é possível que um projeto de controle forneça bons resultados na simulação de seu modelo nominal, mas não seja aplicável ao sistema físico real. Esse problema surge na medida em que o modelo não é suficientemente preciso. A Teoria de Controle Robusto (ZHOU, 1996) (SKOGESTAD, 2005) leva em conta as incertezas e imprecisões inerentes ao modelo, visando possibilitar uma análise sistemática e o desenvolvimento de técnicas de projeto para o tratamento dessas incertezas.
O ponto de partida é considerar um modelo nominal e o conjunto de incertezas que o afeta. O sistema obtido é dito robusto se mantém suas propriedades mesmo sob influência dessas incertezas. Duas propriedades que são especialmente avaliadas são a estabilidade e o desempenho. Problemas de controle robusto seguem basicamente duas linhas: a análise de robustez e a síntese de controladores robustos. A primeira consiste em avaliar as propriedades de um sistema dado (em geral, planta e controlador) sob influência de um conjunto de incertezas. A segunda consiste em projetar um controlador que atenda, em malha fechada, as condições de robustez requeridas. Essa dissertação abordará o problema de análise de robustez.
Existem várias hipóteses que podem ser adotadas para traduzir o conhecimento prévio que se tem acerca das incertezas e esse fato gera diferentes paradigmas para análise de robustez. Para que sejam obtidas descrições mais realistas dos sistemas físicos, é preciso permitir que modelos matemáticos mais sofisticados sejam utilizados na representação do conjunto de incertezas. Porém, essa medida pode acarretar dificuldades no tratamento do problema.
Um significativo número de aplicações pode ser representado supondo-se que as in-certezas sejam limitadas em norma. A medida de robustez será dada, então, em função da menor incerteza para a qual uma determinada propriedade do sistema não seja
aten-dida. No quadro de trabalho utilizado, as diferentes fontes de incertezas são organizadas em uma matriz bloco diagonal, o que induz uma estrutura para o conjunto. Esta confi-guração motiva a definição do valor singular estruturado µ (DOYLE, 1982), que é uma ferramenta matemática utilizada para se medir a robustez de sistemas incertos sujeitos à incertezas estruturadas. Outra grandeza utilizada para a análise de robustez é o valor singular estruturado oblíquo ν (skewed-µ) (FAN, 1992) que consiste em uma generalização para µ.
1.1 MOTIVAÇÃO DO TRABALHO
µ e ν são duas valiosas ferramentas utilizadas para análise de robustez de sistemas in-certos. Originalmente desenvolvido para análise de robustez em estabilidade, µ também pode ser utilizado para avaliação da robustez em desempenho via Teorema Principal de Malha (Main Loop Theorem) (PACKARD, 1993a). No entanto, alguns problemas mais complexos de análise de robustez só podem ser tratados através do caso mais geral, a análise ν. Podem ser citados como exemplos típicos, a avaliação do pior caso de desem-penho H∞, a maior incerteza permitida (FAN, 1992), e a obtenção da maior incerteza
paramétrica aceitável na presença de dinâmicas negligenciadas (FERRERES, 1996), todos apresentando grande relevância do ponto de vista da engenharia.
Uma abordagem possível para a obtenção de ν consiste na resolução iterativa de problemas µ (SKOGESTAD, 2005). Infelizmente, o cálculo de µ não é uma tarefa trivial e foi provado que, em geral, trata-se de um problema NP-difícil (BLONDEL, 2000). Para o caso de incertezas puramente reais até, mesmo o cálculo de um valor aproximado de µ é um problema NP-difícil (FU, 1997). Em virtude disso, na prática obtém-se uma estimativa do valor de µ a partir do cálculo de limitantes superior e inferior. Em contraste com o cálculo do limitante superior, que permite uma formulação convexa (FAN, 1991) (YOUNG, 1992), o cálculo do limitante inferior representa um problema bem mais delicado. A obtenção de limitantes inferiores justos tem grande importância, uma vez que que o limitante superior pode ser conservador (MEINSMA, 1997), especialmente quando há presença de incertezas paramétricas repetidas.
No caso puramente complexo, o algoritmo baseado no método das potências (PI, de power iteration) (PACKARD, 1993a) geralmente fornece bons limites inferiores com baixo tempo computacional. O método foi estendido para o caso em que há presença de
incertezas mistas em (YOUNG, 1997), mas infelizmente não fornece bons resultados para algumas classes de problemas, incluindo o caso puramente real (NEWLIN, 1995). Algumas abordagens tem sido propostas na literatura com o objetivo de contornar as limitações do algoritmo PI nos casos de incertezas puramente reais ou mistas. O algoritmo GBLB (gain-based lower bound) (SEILER, 2010) fornece limitantes inferiores melhores em alguns casos. Esquemas de regularização (PACKARD, 1993b) (FERRERES, 2001) podem representar uma alternativa válida, mas geralmente é difícil inferir quão longe do problema original está o problema resolvido. O algoritmo em tempo polinomial apresentado em (DAILEY, 1990) fornece bons resultados para o caso puramente real, mas possui a limitação de funcionar bem somente em problemas que envolvem um número pequeno de parâmetros incertos.
Programação não-linear foi utilizada em (HAYES, 2001) (BATES, 2004) para a obten-ção de um limitante inferior para µ. No entanto, quando se utiliza técnicas de otimizaobten-ção diferenciável para se tratar um problema genuinamente não-diferenciável, nenhum certifi-cado formal de convergência ou otimalidade pode ser fornecido. De fato, existe uma longa experiência no uso de métodos diferenciáveis clássicos para a solução de problemas não-diferenciáveis. Na prática, ótimos locais são pontos de não diferenciabilidade (ZOWE, 1987). A utilização de métodos diferenciáveis invariavelmente provoca falhas em pontos que não são ótimos locais mas que possuem características de não-diferenciabilidade.
Poucos trabalhos têm sido propostos tratando do cálculo direto de um limitante inferior para ν. Em (HOLLAND, 2005), o algoritmo PI foi estendido para problemas ν. Estratégia similares foram adotadas em (FERRERES, 1996) (GLAVASKI, 1998). Infelizmente, todas essas técnicas enfrentam as mesmas dificuldades de convergência do algoritmo PI original. Nessa dissertação, será apresentada uma abordagem baseada em otimização não-diferenciável para o cálculo de limitantes inferiores para µ e ν. Para isso, um problema de otimização não-convexa, não-diferenciável e com restrição será resolvido através de um eficiente algoritmo dotado de certificado de convergência e otimalidade local. O obje-tivo principal do trabalho é comprovar a eficiência da técnica proposta, com a realização de extensivos testes numéricos. É mostrado que para algumas aplicações desafiadoras a técnica de otimização não-diferenciável fornece limitantes menos conservadores quando comparada com as técnicas atualmente disponíveis. Além disso, em muitos casos o li-mitante inferior obtido é igual ao valor verdadeiro de µ ou de ν. Graças à eficiência do algoritmo, o método pode ser aplicado em uma grande classe de problemas, até mesmo
nos casos com grande número de incertezas paramétricas. Outra característica fundamen-tal da abordagem não-diferenciável é que a dimensão de incertezas escalares repetidas na matriz estruturada de incertezas parece ter pequeno impacto no tempo computacional global.
1.2 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
Além dessa introdução, a dissertação está organizada em mais 4 capítulos:
• Capítulo 2: São abordados os aspectos da teoria de controle robusto utilizados na análise de robustez de sistemas incertos. É proposta uma formulação geral para o tratamento das incertezas. A ideia principal é reuní-las em uma matriz bloco-diagonal, dando origem a um bloco de incertezas ∆ estruturado. Em seguida é definida a grandeza µ, ferramenta que permite, no domínio da frequência, medir a robustez de sistemas incertos com ∆ estruturado. É proposta uma estratégia baseada em otimização não-diferenciável para o cálculo direto de limitantes inferiores para µ. São apresentados, ainda, testes para análise de estabilidade e desempenho robustos que consistem, sumariamente, em realizar uma pesquisa do valor de pico de µ em todo o domínio de frequência. Nesse capítulo, também é definida a grandeza ν. Uma estratégia similar à primeira é adotada para obtenção de limitantes inferiores para ν. Por fim, é apresentada uma abordagem por espaço de estados que permite eliminar a pesquisa frequencial, tratando a frequência como um parâmetro incerto. • Capítulo 3: São apresentados elementos de otimização não-diferenciável e é discu-tido como a obtenção de limitantes inferiores para µ e ν pode ser realizada através de eficientes programas de otimização não-convexa, não-diferenciável com restri-ção. Cabe ressaltar aqui que a implementação do algoritmo não foi objetivo desse trabalho, mas sim a sua aplicação em diversos problemas de controle.
• Capítulo 4: São realizados extensivos testes numéricos onde o valor prático da técnica proposta é avaliado. Os resultados obtidos são comparados com os obtidos pelas técnicas mais populares disponíveis atualmente.
• Capítulo 5: Finalmente, nesse capítulo, são apresentadas as conclusões do trabalho e as perspectivas de estudos futuros.
2 ANÁLISE DE ROBUSTEZ
2.1 CARACTERIZAÇÃO DAS INCERTEZAS
A maioria dos projetos de controle é baseada no uso de modelos que aproximam um determinado sistema físico. A relação entre os modelos e a realidade que eles representam é sutil e complexa. Um modelo matemático fornece um mapa de entradas e respostas e sua qualidade depende de quão perto essas respostas estão daquelas fornecidas pela planta verdadeira. Nenhum modelo único é capaz de traduzir o comportamento da planta verdadeira, precisa-se, no mínimo, de um conjunto de mapas. Obter um conjunto de modelos que contenha a planta verdadeira é uma tarefa bastante difícil, tendo em vista que, o universo matemático é diferente do universo de sistemas físicos. Um bom modelo deve ser simples o suficiente para facilitar sua concepção e complexo o suficiente para garantir sua aplicabilidade ao sistema real.
O termo incertezas refere-se às diferenças ou erros entre os modelos e a realidade e qualquer mecanismo usado para expressar esses erros é chamado de representação de incertezas.
As incertezas podem ter várias origens:
• Possibilidade de haver parâmetros do modelo linear que são conhecidos apenas apro-ximadamente ou com erro.
• Variação dos parâmetros devido à não-linearidade ou mudança do ponto de opera-ção.
• Imperfeições nos sensores.
• Em altas frequências, a estrutura e a ordem do modelo são desconhecidos.
• Mesmo quando um modelo bastante detalhado está disponível, pode-se optar em utilizar um modelo mais simples, porém tratável computacionalmente. As dinâmicas negligenciadas então são representadas como incertezas.
Os vários tipos de incertezas do modelo podem ser agrupados em duas classes princi-pais:
a) Incerteza paramétrica: A estrutura do modelo, incluindo sua ordem, é conhecida, mas alguns parâmetros são incertos.
b) Dinâmicas não modeladas ou negligenciadas: O modelo utilizado não é preciso devido ao desconhecimento de sua dinâmica, geralmente em altas frequências, à negligências deliberadas ou por falta de compreensão do processo físico. Qualquer modelo de um sistema real, invariavelmente, irá conter essa fonte de incerteza. Incertezas paramétricas podem ser quantificadas a partir de um valor nominal p0 e de
uma ponderação α que determina a faixa de variação. Desta maneira, tem-se conjuntos de parâmetros com a seguinte forma:
pp = p0+ αδp0 (2.1)
onde δ é um escalar real satisfazendo |δ| ≤ 1.
Dinâmicas não modeladas ou negligenciadas são menos precisas e mais difíceis de serem quantificadas. Uma abordagem válida para descrever essa classe de incertezas é o domínio da frequência, que dá origem a perturbações complexas normalizadas k∆(s)k∞≤ 1.
Pode ser considerada, ainda, uma terceira classe, que consiste em uma ou mais fontes de incertezas paramétricas e/ou dinâmicas não modeladas/negligenciadas reunidas em uma única incerteza concentrada. Como exemplos para essa classe podem ser citadas as incertezas multiplicativas. A FIG. 2.1 ilustra uma incerteza multiplicativa de entrada.
FIG. 2.1: Incerteza multiplicativa de entrada
O conjunto de plantas incertas gerado tem a seguinte forma:
ΠI : Gp(s) = G(s)(I + WI(s)∆I(s)), |∆I(jω)| ≤ 1 ∀ω (2.2)
2.2 QUADRO DE TRABALHO PARA A ANÁLISE DE ROBUSTEZ 2.2.1 REPRESENTAÇÃO DE INCERTEZAS
O ponto de partida para a análise de robustez é a definição de uma forma padrão para representar os sistemas incertos, na qual todas as incertezas que os afetam são isoladas em uma matriz bloco-diagonal, chamada de bloco de incertezas ∆:
∆ = ∆1 . .. ∆i . .. , (2.3)
onde cada bloco ∆i pode representar uma fonte específica de incerteza, como, por exemplo,
incerteza de entrada, ∆I, ou incerteza paramétrica, δi, onde δi é real.
Define-se uma estrutura geral para o bloco de incertezas utilizando-se a seguinte no-tação padrão: ∆ =∆ = diag(δr1Ik1, . . . , δ r mrIkmr, δ c mr+1Ikmr +1, . . . , δ c 1Ikmr +mc, ∆ C 1, . . . , ∆ C mC) : δir∈ R, δic∈ C, ∆Ci ∈ Ckmr +mc+i×kmr +mc+i . (2.4)
Tipicamente, os escalares reais δr
i representam incertezas paramétricas, enquanto que os
escalares complexos δic e os blocos complexos cheios ∆Ci representam dinâmicas não mo-deladas ou negligenciadas. Os inteiros mr, mc and mC denotam o número de escalares
reais repetidos, escalares complexos repetidos e blocos complexos cheios, respectivamente. O bloco de incertezas ∆ é dito complexo se é composto somente por escalares comple-xos ou blocos complecomple-xos cheios. É dito real se é composto somente por escalares reais. Finalmente, se possui simultaneamente incertezas complexas e reais é dito misto.
Se o objetivo é a análise de robustez em estabilidade, utiliza-se a estrutura M ∆ (FIG. 2.2 para representar o sistema incerto, onde M (s) representa o sistema nominal.
FIG. 2.2: Estrutura M ∆ para análise de robustez em estabilidade
Alternativamente, se o objetivo é a análise de robustez em desempenho utiliza-se a estrutura N ∆ mostrada na FIG. 2.3.
FIG. 2.3: Estrutura N ∆ para análise de robustez em desempenho
A Função de Transferência de w para z do sistema em malha fechada é dada pela Transformação Fracional Linear (LFT, do inglês Linear Fractional Transformation)(Seção 7.1 do Apêndice) superior entre N e ∆,
z = Fu(N, ∆)w =N22+ N21∆(I − N11∆)−1N12 w. (2.5)
N (s) normalmente é obtido a partir da LFT inferior envolvendo a planta generalizada P (SKOGESTAD, 2005) e um controlador K, N (s) = Fl(P (s), K(s)) = " N11(s) N12(s) N21(s) N22(s) # . (2.6)
A FIG. 2.4 ilustra a forma padrão mais geral, envolvendo P , um controlador K e o bloco de incertezas ∆:
FIG. 2.4: Forma padrão para síntese de controladores com, P (s) = P11(s) P12(s) P13(s) P21(s) P22(s) P23(s) P31(s) P32(s) P33(s) . (2.7)
Para se estabelecer as condições de robustez, cada incerteza individual será considerada normalizada, ou seja:
σ (∆i(jω)) ≤ 1 ∀ω; |δi| ≤ 1. (2.8)
Como o maior valor singular de uma matriz bloco-diagonal é igual ao máximo entre os maiores valores singulares dos blocos individuais (Seção 7.3), então o bloco geral de incertezas também será normalizado:
σ (∆(jω)) ≤ 1 ∀ω ⇔ k∆k∞ ≤ 1. (2.9)
No quadro de trabalho proposto, ∆ possui uma estrutura definida. Portanto, as con-dições de estabilidade e desempenho robustos serão estabelecidas para um subconjunto que possua a estrutura dada pela EQ. 2.4 que satisfaça a EQ. 2.9.
A hipótese de considerar ∆ estável pode ser relaxada, mas as condições de robustez tornam-se mais difíceis de serem obtidas. Além disso, se for usada a forma correta para representar as incertezas e se for permitida a ocorrência de incertezas múltiplas, sempre será possível gerar a classe de plantas desejada utilizando-se somente incertezas estáveis.
2.2.2 DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE E DESEMPENHO ROBUSTOS
Foi discutido na Seção 2.2.1 como representar um sistema incerto através da estrutura N ∆ (FIG. 2.3). O próximo passo da análise é verificar se o sistema possui, sob influência
das incertezas, estabilidade e desempenho aceitável.
• Análise de estabilidade robusta: Consiste em determinar se um dado sistema incerto permanece estável para todo ∆ permitido.
• Análise de desempenho robusto: Se há estabilidade robusta, determina-se o maior "tamanho"da função de transferência que relaciona as entradas exógenas w com as saídas exógenas z para todo ∆ permitido.
Na FIG. 2.3, w representa as entradas exógenas (por exemplo, distúrbios e referências normalizados) e z representa as saídas exógenas (por exemplo, erros normalizados). A Função de Transferência de w para z é dada pela EQ. 2.5, z = F w, onde
F , Fu(N, ∆) =N22+ N21∆(I − N11∆)−1N12 . (2.10)
Será usada a norma H∞ para medir o desempenho. A condição para que se tenha
desempenho robusto é kF k∞≤ 1, ∀ ∆ permitido.
Na estrutura N ∆, as condições de estabilidade e desempenho podem então ser resu-midas como se segue:
Estabilidade Nominal (EN) ⇔ N é internamente estável (2.11) Desempenho Nominal (DN) ⇔ kN22k∞< 1; e EN (2.12)
Estabilidade Robusta (ER) ⇔ F é estável ∀∆, k∆k∞≤ 1; e EN (2.13) Desempenho Robusto (DR) ⇔ kF k∞< 1, ∀∆, k∆k∞≤ 1; e EN (2.14)
2.2.3 ESTABILIDADE ROBUSTA NA ESTRUTURA M ∆
Considere, em princípio, a estrutura N ∆ (FIG. 2.3) para representar um determinado sistema incerto. A Função de Transferência de w para z é dada pela EQ. 2.10. Suponha que o sistema possui estabilidade nominal (com ∆ = 0), o que significa dizer que todo N é estável e não somente N22. Suponha também que ∆ é estável. Da análise direta da EQ.
2.10 observa-se que a única fonte possível de instabilidade é o termo (I − N11∆)−1. Então,
a estrutura M ∆ (FIG. 2.2) pode ser utilizada para verificar a estabilidade do sistema, fazendo M = N11.
O próximo passo, portanto, é reunir as condições necessárias para se verificar a estabili-dade da estrutura M ∆. O teorema que segue deriva do Teorema de Nyquist Generalizado
(Seção 7.4) e é aplicado para os blocos de incertezas ∆, com norma H∞ limitada, mas
também pode ser aplicado para qualquer outro conjunto convexo de incertezas (isto é, conjuntos com outras estruturas ou limitados com outros tipos de norma)
Teorema 2.1 (Condição de estabilidade do determinante (SKOGESTAD, 2005)). As-suma que o sistema nominal M (s) e o bloco das incertezas ∆(s) são estáveis. Considere o conjunto convexo de incertezas ∆ de tal forma que, se ∆0 é permitido, então c∆0 também é, onde c é um escalar real qualquer, tal que |c| ≤ 1. Então, o sistema M ∆ da FIG. 2.2 é estável para todo ∆ permitido (ER) se e somente se:
O diagrama de Nyquist de det (I − M ∆(s)) não envolve a origem, ∀∆ (2.15) ⇔ det (I − M ∆(jω)) 6= 0, ∀ω, ∀∆ (2.16)
⇔ λi(M ∆) 6= 1, ∀i, ∀ω, ∀∆ (2.17)
Demonstração. A condição dada pela EQ. 2.15 é simplesmente a aplicação do Teorema de Nyquist Generalizado a um sistema com realimentação positiva e com função de trans-ferência igual a M ∆.
(2.15) ⇒ (2.16): Esta implicação é trivial, uma vez que se o diagrama passar pela origem, obviamente esta estará sendo envolvida.
(2.15) ⇐ (2.16): Basta provar que a negação de (2.15) implica na negação de (2.16). Primeiramente nota-se que para ∆ = 0, det(I − M ∆) = 1 para todas as frequências. Assuma que exista uma perturbação ∆0 tal que o diagrama de Nyquist de det(I − M ∆0) envolva a origem. Como o contorno de Nyquist é fechado, então existe uma outra pertur-bação ∆00 = c∆0 com c ∈ [0, 1] e uma frequência ω0 tal que det(I − M ∆”(jω0)) = 0.
(2.17) é equivalente a (2.16) pelas propriedades: det(I −A) =Q
iλi(I −A) e λi(I −A) =
1 − λi(A) (Seção 7.2).
2.3 VALOR SINGULAR ESTRUTURADO
O valor singular estruturado µ é uma grandeza que mede a robustez de sistemas in-certos sujeitos a um bloco de incertezas ∆ com estrutura definida. A sua aplicação pode fornecer condições necessárias e suficientes tanto para estabilidade quanto para desempe-nho robustos.
Seja a estrutura M ∆ mostrada na FIG. 2.2. Da condição de estabilidade do determi-nante ( EQ. 2.16) tem-se que:
ER ⇔ det (I − M ∆(jω)) 6= 0, ∀ω, ∀∆, σ(∆(jω)) ≤ 1, ∀ω (2.18) A motivação para a definição da grandeza µ é responder a seguinte questão: Dada uma matriz M ∈ Cp×q, qual é o menor ∆ ∈ Cq×p (medido através do maior valor singular
σ(∆) (Seção 7.3)) tal que det(I − M ∆) = 0, ou seja, qual o menor ∆ que leva o sistema à instabilidade?
Definição 2.1 (Valor singular estruturado µ). Seja a matriz complexa M o valor da matriz de transferência M (s) em s = jω e, de maneira semelhante, seja ∆ o valor de ∆(s) em s = jω. O valor singular estruturado µ(M ) é definido como:
µ(M ) = min ∆∈∆{σ(∆) | det (I − ∆M ) = 0} −1 , (2.19)
com µ(M ) = 0 se não existe ∆ ∈ ∆ tal que det (I − ∆M ) = 0.
É importante notar que o valor de µ(M ) depende da estrutura de ∆. Isso às vezes é mostrado explicitamente usando-se a notação µ∆(M ). O valor de µ = 1 significa que
existe um ∆ com σ(∆) = 1 que torna a matriz (I − ∆M ) singular. Valores elevados de µ indicam pouca robustez, pois significa dizer que existe uma pequena incerteza que torna (I − ∆M ) singular. Inversamente, valores reduzidos de µ indicam boa robustez.
Nesse trabalho propõe-se o cálculo direto de um limitante inferior para µ. Assuma mo-mentaneamente que µ(M ) 6= 0 para um dado M . Considere, então, a seguinte estratégia para se calcular µ(M ) inspirada pela própria definição dada pela EQ. 2.19. Primeira-mente, o programa de otimização com restrição abaixo é resolvido:
minimize
∆∈∆ σ(∆)
sujeito a det (I − ∆M ) = 0 .
(2.20)
Se ∆0 é uma solução factível para (2.20) minimizando σ(·), então pode-se facilmente calcular µ(M ) = σ(∆0)−1. Se, porém, nenhuma solução factível é encontrada, então estabelece-se µ(M ) = 0.
Se por um lado a abordagem acima soa natural, por outro lado solucionar (2.20) representa uma difícil tarefa. De fato, trata-se de um programa de otimização com função objetivo não-diferenciável e com uma restrição de igualdade que destrói sua convexidade.
Na Seção 3.2, é apresentada uma técnica de otimização não-diferenciável que permite resolver eficientemente (2.20). O algoritmo não-diferenciável é dotado de certificado de convergência global e de otimalidade local. Otimalidade local significa que se ∆0 é uma solução factível para (2.20), então ∆0 é um minimizador local de σ(·). Consequentemente,
σ(∆0)−1 representa um limitante inferior para µ(M ).
Uma vez que a abordagem proposta baseia-se em uma técnica de otimização local, a seleção do ponto inicial pode impactar o resultado, eventualmente resultando em um limitante inferior mais conservador. Apesar dessa possível limitação, exemplos numéricos como os apresentados no Capítulo 4 confirmam o grande interesse prático da técnica. De fato, em algumas aplicações desafiadoras a técnica não-diferenciável proposta produz limitantes inferiores que são menos conservadores do que os fornecidos pelas técnicas atuais. Graças à eficiência da técnica de otimização não-diferenciável, o método proposto pode ser aplicado mesmo em problemas com um número moderado de incertezas. A experiência também tende a indicar que a inicialização do algoritmo não-diferenciável não é crítica e que ela pode ser facilmente complementada por estratégias de múltiplos-começos.
A seguir, serão listadas algumas propriedades importantes de µ que são úteis no de-senvolvimento desse trabalho.
As duas propriedades abaixo valem para todas as classes de perturbações (reais, com-plexas ou mistas):
• µ(αM ) = |α| µ(M ) para qualquer escalar α real.
• Seja ∆ = diag {∆1, ∆2} um conjunto de perturbações organizadas em uma matriz
bloco diagonal. Considere a partição da matriz M de acordo com as dimensões de ∆1 e ∆2: M = " M11 M12 M21 M22 # (2.21) Então: µ∆(M ) ≥ max {µ∆1(M11), µ∆2(M22)} (2.22)
Esse último resultado mostra que as características de robustez em estabilidade, em re-lação a um conjunto de incertezas, são tão ruins ou piores do que em rere-lação à qualquer uma das incertezas isoladas.
As próximas propriedades listadas valem somente para incertezas complexas e permi-tem estabelecer limites para µ:
• Para incerteza complexa escalar repetida, ∆ = δI com δ ∈ C, µ(M) = ρ(M). • Para incerteza complexa cheia, ∆ = Cn×n (incerteza não estruturada), µ(M ) =
σ(M ).
Conclui-se, então, que:
ρ(M ) ≤ µ(M ) ≤ σ(M ). (2.23)
Outras propriedades de µ, tais como o refinamento dos seus limites, e as provas das propriedades listadas podem ser encontradas em (SKOGESTAD, 2005).
2.3.1 ESTABILIDADE ROBUSTA PARA BLOCO DE INCERTEZAS DIAGONAL A combinação da condição dada pela EQ. 2.18 com a definição de µ fornece uma condição necessária e suficiente para que haja estabilidade robusta. O teorema a seguir dá origem ao uso mais comum de µ, como um teste de robustez no domínio da frequência.
Teorema 2.2 (Estabilidade robusta para bloco de incertezas diagonal (SKOGESTAD, 2005)). Assuma que o sistema nominal M (s) e o bloco de incertezas ∆(s) são estáveis. Então, a estrutura M ∆ (FIG. 2.2) é estável para todo ∆ ∈ ∆, com σ(∆) ≤ 1, ∀ω, se e somente se,
µ(M (jω)) < 1, ∀ω. (2.24)
Demonstração. Se µ(M ) < 1 para todas as frequências, então σ(∆) > 1 para a menor incerteza tal que det(I − ∆M ) = 0, como os ∆’s permitidos são limitados em norma, σ(∆) ≤ 1, ∀ω, então o sistema é estável. Por outro lado, se µ(M ) ≥ 1 para alguma frequência, então existe um ∆ com σ(∆) ≤ 1 tal que det(I − ∆M ) = 0. Este teorema indica que é possível avaliar as propriedades de robustez em estabilidade de um sistema em malha fechada pesquisando o valor de µ em todo domínio de frequência. O valor de pico de µ determina o tamanho máximo admissível de incerteza para a qual garante-se que o sistema em malha fechada mantém-se estável. Entretanto, a varredura de todo o domínio de frequência pode ter um alto custo computacional. Na prática, é estabelecida uma grade de frequências dentro de uma faixa apropriada. O inconveniente
dessa abordagem é que corre-se o risco de perder pontos importantes se a grade não for suficientemente densa, sobretudo porque em alguns casos µ pode ser descontínuo (YOUNG, 2001).
2.4 VALOR SINGULAR ESTRUTURADO OBLÍQUO
Para explicar de maneira sucinta o conceito do valor singular estruturado oblíquo ν, considere um valor de µ = 1, 1 em um problema de estabilidade robusta. Isso significa que todas as incertezas do sistema devem ser diminuídas em magnitude por um fator de 1,1 para que se garanta a estabilidade. Mas se o desejo é fixar a faixa de variação de algumas incertezas, então o quão grande podem ser as outras incertezas antes que a instabilidade ocorra? Este valor que quantifica o quão grandes essas fontes podem ser é definido como ν.
A descrição matemática de ν é semelhante à de µ e é desenvolvida em relação à estru-tura M ∆ (FIG. 2.2). O bloco de incertezas ∆ é dividido em dois sub-blocos, ∆f (bloco
contendo as incertezas com faixa de variação fixa) e ∆v (bloco contendo as incertezas com
faixa de variação livre) (FIG. 2.5).
FIG. 2.5: Estrutura M ∆ particionada para análise ν
Sejam ∆f e ∆v com a mesma estrutura geral de ∆ (EQ. 2.4). A matriz de
transfe-rência M é particionada de acordo com as dimensões de ∆f e ∆v.
Como ∆f será limitado em norma, define-se uma nova estrutura de bloco:
A partir dessas considerações, é possível definir uma nova estrutura geral para o bloco de incertezas que será utilizado no cálculo de ν:
∆c= {∆c = diag(∆f, ∆v) : ∆f ∈ B∆f, ∆v ∈ ∆v} (2.26)
Definição 2.2 (Valor singular estruturado oblíquo ν). Seja a matriz complexa M o valor da matriz de transferência M (s) em s = jω e, de maneira semelhante, seja ∆c o valor de
∆c(s) em s = jω. O valor singular estruturado oblíquo ν(M ) é definido como:
ν(M ) = min ∆c∈∆c {σ(∆v) | det (I − ∆cM ) = 0} −1 (2.27) com ν(M ) = 0 se não existe ∆c∈ ∆c tal que det (I − ∆cM ) = 0.
De maneira semelhante ao cálculo de µ, propõe-se o cálculo direto de um limitante inferior para ν. Agora, assuma momentaneamente que ν(M ) 6= 0 para um dado M . Con-sidere, então, a seguinte estratégia para se calcular ν(M ) inspirada pela própria definição dada pela EQ. 2.27. Primeiramente, o programa de otimização com restrição abaixo é resolvido: minimize ∆f∈∆f,∆v∈∆v σ(∆v) sujeito a σ(∆f) ≤ 1, det (I − diag(∆f, ∆v)M ) = 0 . (2.28)
Note que a restrição de desigualdade existente em (2.28) garante que ∆f ∈ B∆f. Logo, se
(∆0f, ∆0v) é uma solução factível para (2.28) minimizando σ(∆v), então pode-se facilmente
calcular ν(M ) = σ(∆0v)−1. Se, porém, nenhuma solução factível é encontrada, então estabelece-se ν(M ) = 0.
Na Seção 3.2, é apresentada uma técnica de otimização não-diferenciável que permite resolver eficientemente o programa (2.28). As características de não-diferenciabilidade, convergência global e otimalidade local presentes na obtenção de µ permanecem nesse caso.
2.5 DESEMPENHO ROBUSTO
Muitas vezes, a estabilidade robusta não é a única propriedade que precisa ser avaliada em um sistema em malha fechada. Normalmente, existem distúrbios exógenos que atuam
sobre o sistema, que sob influência das incertezas podem acarretar erros de monitoramento e regulação. Na maioria dos casos, muito antes do início da instabilidade, o desempenho em malha fechada pode degradar-se ao ponto de atingir níveis inaceitáveis. Diante disso, surge a necessidade de realizar um teste de desempenho robusto que tenha como objetivo obter o pior caso de degradação de desempenho, associado a um determinado nível de incertezas.
2.5.1 TESTE-
µ
PARA DESEMPENHO ROBUSTOPrimeiramente será apresentado o Teorema Principal de Malha (Main Loop Theorem) (PACKARD, 1993a), que é base para o teste proposto.
Teorema 2.3 (Teorema Principal de Malha (PACKARD, 1993a)). Seja G a matriz com-plexa particionada da seguinte maneira:
G = " G11 G12 G21 G22 # .
Suponha que existam 2 blocos com a estrutura diagonal definida pela EQ. 2.4, ∆1 e ∆2,
que são compatíveis com as dimensões de G11 e G12, respectivamente. Define-se, então,
a estrutura ˆ∆ da seguinte maneira: ˆ ∆ = " ∆1 0 0 ∆2 # , ∆1 ∈ ∆1, ∆2 ∈ ∆2. (2.29)
Desta forma, obtém-se a estrutura G ˆ∆, que é similar à estrutura M ∆ (FIG. 2.2) :
FIG. 2.6: Estrutura G ˆ∆
O Teorema Principal de Malha diz que:
µ∆ˆ(G) < 1 ⇔ µ∆1(G11) < 1, e µ∆2(Fu(G, ∆1)) < 1, com σ(∆1) ≤ 1. (2.30)
Demonstração. (⇒) Considere ∆i ∈ ∆i tal que σ(∆i) ≤ 1 e assuma que ˆ∆ =
diag(∆1, ∆2), obviamente ˆ∆ ∈ ˆ∆ e σ( ˆ∆) ≤ 1 . Então,
det(I − G ˆ∆) = det " I − G11∆1 −G12∆2 −G21∆1 I − G22∆2 # . (2.31)
Por hipótese (I − G11∆1) é não-singular, então utilizando a fórmula de Schur (Seção 7.5)
é possível reescrever a EQ. 2.31 como:
det(I − G ˆ∆) = det(I − G11∆1) det(I − G22∆2− G21∆1(I − G11∆1)−1G12∆2)
= det(I − G11∆1) det(I − (G22+ G21∆1(I − G11∆1)−1G12)∆2).(2.32)
Agora escreve-se a EQ. 2.32 em função de Fu(G, ∆1):
det(I − G ˆ∆) = det(I − G11∆1) det(I − Fu(G, ∆1)∆2). (2.33)
Também por hipótese, µ∆2(Fu(G, ∆1)) < 1 com σ(∆1) ≤ 1, o que significa dizer que
(I − Fu(G, ∆1)∆2) é não-singular. Conclui-se, então, que (I − G ˆ∆) é não-singular e pela
definição de µ, µ∆ˆ(G) < 1.
(⇐) Basicamente, o argumento acima é invertido. Novamente considere ∆i ∈ ∆i tal
que σ(∆i) ≤ 1 e assuma que ˆ∆ = diag(∆1, ∆2). Então, ˆ∆ ∈ ˆ∆ com σ( ˆ∆) ≤ 1. Por
hipótese, det(I − G ˆ∆) 6= 0. De acordo com a propriedade de µ dada pela EQ. 2.22: µ∆ˆ(G) ≥ max {µ∆1(G11), µ∆2(G22)} , (2.34)
pode-se afirmar que µ∆1(G11) < 1, o que significa dizer que (I − G11∆1) é não-singular.
Voltando à EQ. 2.33 conclui-se que:
det(I − G11∆1) det(I − Fu(G, ∆1)∆2) = det(I − G ˆ∆) 6= 0.
Obviamente, (I − Fu(G, ∆1)∆2) também é não-singular para ∆i ∈ ∆i com σ(∆i) ≤ 1, o
que indica que a afirmação é verdadeira.
Conforme discutido na Seção 2.2.2, para um sistema nominalmente estável, a condição de DR é dada por:
DR ⇔ kF k∞< 1, ∀∆, k∆k∞≤ 1, (2.35) onde F = Fu(N, ∆) representa a transferência de w para z da estrutura N ∆ (FIG. 2.3).
O DR pode ser tratado como um caso especial de ER com a criação de um bloco fictício de incertezas ∆p para representar as especificações de desempenho H∞ (FIG. 2.7),
FIG. 2.7: ∆p incluso na estrutura N ∆
Define-se, então, o bloco de incertezas aumentado
ˆ ∆ = " ∆ 0 0 ∆p # , (2.36)
dando origem a estrutura N ˆ∆:
FIG. 2.8: Estrutura N ˆ∆
O problema de DR original equivale ao problema de ER da estrutura aumentada, como indicado pelo teorema a seguir:
Teorema 2.4 (Desempenho robusto). Assuma que um dado sistema nominalmente estável seja representado pela estrutura N ∆. O sistema é internamente estável e kFu(N, ∆)k∞< 1, ∀∆, k∆k∞ ≤ 1 (DR), se e somente se
Demonstração. Será mostrado que trata-se de um caso particular do Teorema Principal de Malha. Deixe o teorema ser reescrito como:
µ∆ˆ(N (jω)) < 1, ∀ω ⇔ µ∆(N11(jω)) < 1, ∀ω (estabilidade interna) e kFu(N, ∆)k∞ < 1, ∀∆, com k∆k∞≤ 1. (2.38)
Para uma frequência dada pode-se afirmar que:
µ∆ˆ(N ) < 1 ⇔ µ∆(N11) < 1, e σ(Fu(N, ∆)) < 1, com σ(∆) ≤ 1. (2.39)
Por hipótese, ∆p foi definido como um bloco complexo cheio. Então, de acordo com a
propriedade discutida na Seção 2.3, tem-se a seguinte igualdade: µ∆p(Fu(N, ∆)) = σ(Fu(N, ∆)).
Logo, a EQ. 2.39 pode ser reescrita como:
µ∆ˆ(N ) < 1 ⇔ µ∆(N11) < 1, e µ∆p(Fu(N, ∆)) < 1, com σ(∆) ≤ 1, (2.40)
o que representa um caso particular do Teorema Principal de Malha com N = G, ∆ = ∆1
e ∆p = ∆2
Observações:
• A condição dada pelo TEO. 2.4 permite testar se kF k∞ < 1 para todos os ∆0s possíveis sem ter que testar cada ∆ individualmente. Essencialmente, µ é definido tal que o pior caso seja considerado.
• ∆p tem que ser um bloco complexo cheio. Com essa hipótese, no caso nominal
(∆ = 0) µ∆ˆ(N ) = µ∆p(N22) = σ(N22). Se µ∆ˆ(N ) < 1, ∀ω, então σ(N22) < 1, ∀ω, o
que representa a condição de DN (kN22k∞< 1).
• Uma vez que ˆ∆ sempre possui estrutura, o uso da norma H∞, kN k∞< 1, geralmente
• De acordo com as propriedades de µ discutidas na Seção 2.3, pode-se afirmar que: µ∆ˆ(N ) | {z } DR ≥ max µ∆(N11) | {z } ER , µ∆p(N22) | {z } DN (2.41)
ou seja, DR implica em ER e DN, em sistemas com EN.
A condição dada pelo TEO. 2.4 fornece um teste para desempenho robusto (kF k∞< 1, ∀∆, k∆k∞ ≤ 1) mas não permite determinar o chamado pior caso de desempenho, associado à seguinte pergunta: qual será o maior valor de ganho da transferência F levando-se em conta todas as incertezas admissíveis (k∆k∞ ≤ 1)? Note que um valor de µ∆ˆ(N ) = 0, 8 corresponde a uma incerteza ∆ com σ(∆) = 1, 25(1/0, 8), o que significa que
a restrição não foi saturada, e que, consequentemente, ainda há margem para degradação do valor do ganho da transferência F . O pior caso de ganho pode ser obtido resolvendo um problema ν, com restrição de variação para ∆. A solução desse problema provavelmente levará à saturação da restrição. Note também que a condição de desempenho robusto pode ser inferida a partir da informação do pior caso de desempenho. Significa então dizer que a condição de DR pode ser testada alternativamente por:
DR ⇔ ν∆c(N (jω)) < 1, ∀ω (2.42)
com ∆c= ˆ∆, ∆f = ∆ e ∆v = ∆p.
2.6 ANÁLISE
µ
POR ESPAÇO DE ESTADOSConforme discutido na Seção 2.3.1, a pesquisa do valor de pico de µ em todo domínio de frequência pode ter um alto custo computacional. Na prática é estabelecida uma grade de frequências dentro de uma faixa previamente escolhida. No entanto, essa medida pode ocasionar a perda de pontos importantes se a grade não for suficientemente densa.
A abordagem por espaço de estados permite eliminar tal pesquisa frequencial. A idéia é representar a transferência M (s) da estrutura M ∆ (FIG. 2.2) como uma LFT de uma matriz constante em relação à variável frequência. A frequência passa então a ser enxergada como um parâmetro incerto real, variando dentro de um intervalo previamente escolhido (ω ∈ [ω, ω]), e é incluída no bloco das incertezas.
Considere a representação em espaço de estados para representar a função de trans-ferência nominal, isto é, M (s) = C(sIp − A)−1B + D, com A ∈ Rp×p. Fazendo s = jω,
M (jω) pode ser representada pela seguinte expressão (SIDERIS, 1992), M (jω) = C(jωIp− A)−1B + D = Fu( ˆM , ωIp) (2.43) onde ˆM é constante, ˆ M = " jA−1 A−1B −jCA−1 −CA−1B + D # . (2.44)
Seja a frequência quantificada por:
ω = ω0 + αωδω, δω ∈ [−1, 1] (2.45)
com
ω0 = (ω + ω)/2, (2.46)
e
αω = (ω − ω)/2. (2.47)
A EQ. 2.43 pode ser reescrita por:
M (jω) = C(jωIp− A)−1B + D
= C[j(ω0+ αωδω)Ip− A]−1B + D
= C[j(αωδω)Ip− (A − jω0Ip)]−1B + D, (2.48)
seja a matriz A1 definida como:
A1 = A − jω0Ip, (2.49) então M (jω) = C[j(αωδω)Ip − A1]−1B + D = Fu( ˆM (ω0), (αωδω)Ip), (2.50) onde ˆ M (ω0) = " jA−11 A−11 B −jCA−11 −CA−11 B + D # . (2.51)
Passando αω para ˆM (ω0) obtém-se:
M (jω) = Fu( ˆM1(ω0, αω), δωIp), (2.52) onde ˆ M1(ω0, αω) = " jA−11 αω A−11 B −jCA−11 αω −CA−11 B + D # . (2.53)
Reescrevendo a transferência nominal M (jω) com a expressão (2.52) é possível incluir δωIp no bloco das incertezas. Conforme ilustrado pela FIG. 2.9, é definida uma
perturba-ção aumentada, ∆aum = diag(δωIp, ∆), de tal forma que ˆM1(ω0, αω) passe a desempenhar
o papel do sistema nominal.
FIG. 2.9: Teste µ - espaço de estados
A condição de estabilidade robusta é dada pelo seguinte teorema :
Teorema 2.5 (Teste em intervalo de frequência). Suponha que M (s) possui todos os seus pólos no semiplano aberto da esquerda (isto é, estabilidade nominal). Seja a representação mínima por espaço de estados de M (s) dada por:
M (s) = C(sIp− A)−1B + D (2.54)
Dado ∆ compatível com M (s), define-se uma nova estrutura para o bloco de incertezas ∆aum como:
∆aum= {diag(δωIp, ∆) : δω ∈ R, ∆ ∈ ∆} (2.55)
Então, ∀ ∆ ∈ ∆ com k∆k∞ ≤ 1, o sistema em malha fechada mostrado na FIG. 2.9 é estável se e somente se,
µ∆aum( ˆM1(ω0, αω)) < 1 (2.56)
A formulação dada pelo TEO. 2.5 fornece um teste µ para a análise de robustez em estabilidade. Isto pode ser melhorado reformulando o problema com a técnica ν.
Uma vez que δω é considerado dentro do intervalo real [−1, 1], a condição dada pela
EQ. 2.56 pode ser reescrita como um problema ν. A condição de estabilidade robusta é então dada por:
ν∆c( ˆM1(ω0, αω)) < 1, (2.57)
com ∆c= ∆aum, ∆f = δωIp e ∆v = ∆.
A abordagem por espaço de estados pode ser facilmente estendida para um problema originalmente ν, considerando ∆c = ∆aum, ∆f = diag(δωIp, ∆0f) e ∆v = ∆0v, com ∆
0 f
e ∆0v representando, respectivamente, as incertezas com faixa de variação restringida e não-restringida do problema original.
É possível ainda, obter a incerteza desestabilizante e o valor do parâmetro δω que
carrega a informação de frequência. Com δω é possível determinar o valor da frequência
crítica para o intervalo de variação considerado:
3 ELEMENTOS DE OTIMIZAÇÃO NÃO-DIFERENCIÁVEL
3.1 ANÁLISE NÃO-DIFERENCIÁVEL
As noções apresentadas nesta seção são discutidas em profundidade em (CLARKE, 1983) (POLAK, 1987) (HIRIART-URRUTY, 1993) (POLAK, 1997).
3.1.1 INTRODUCÃO
Denote por B(x, r) a bola aberta de centro x ∈ Rn e raio r > 0, definida por
B(x, r) , {y ∈ Rn: ky − xk < r} . Comecemos pela definição de funções Lipschitz contínuas.
Definição 3.1. Uma função f : Rn 7→ R é dita Lipschitz contínua sobre S ⊂ Rn se existe
uma constante L > 0 tal que, para todo y, z ∈ S,
|f (y) − f (z)| ≤ Lky − zk. (3.1)
A função f é dita localmente Lipschitz contínua em x ∈ Rn se existe um real positivo
> 0 tal que f é Lipschitz contínua sobre B(x, ).
Uma função Lipschitz contínua em x apresenta, assim, uma taxa de crescimento que é limitada em uma vizinhança de x. Por outro lado, uma função localmente Lipschitz contínua em x não é necessariamente diferenciável em x.
Definição 3.2. A função f : Rn 7→ R admite uma derivada direcional em x ∈ Rn na
direção d ∈ Rn se o limite lim t→0 t>0 f (x + td) − f (x) t (3.2)
existe e é finito. Neste caso, a derivada direcional é representada por f0(x, d).
Uma função f diferenciável em x admite derivadas direcionais em todas as direções d e, além disso, tem-se que f0(x, d) = ∇f (x)Td. A recíproca não é verdadeira em geral, a
A propriedade de sublinearidade definida abaixo é importante para a noção de subdi-ferencial de uma função.
Definição 3.3. Uma função σ : Rn 7→ R é dita sublinear quando apresenta as seguintes
propriedades: (a) aditividade:
σ(x + y) ≤ σ(x) + σ(y), para todo x, y ∈ Rn (3.3) (b) homogeneidade positiva:
σ(tx) = tσ(x), para todo x ∈ Rn e t > 0. (3.4) Toda função sublinear apresenta a propriedade de majorar ao menos uma função linear. Tem-se, então, o seguinte teorema:
Teorema 3.1. Se σ : Rn→ R é uma função sublinear, então o conjunto
Sσ , {s ∈ Rn : hs, xi ≤ σ(x) para todo x ∈ Rn} (3.5)
é não-vazio, compacto e convexo. Adicionalmente, tem-se a relação
σ(x) = sup {hs, xi : s ∈ Sσ} . (3.6)
Reciprocamente, dado um conjunto S não-vazio, compacto e convexo, a função σS : Rn→
R de S, definida por
σS(x) , sup {hs, xi : s ∈ S} , (3.7)
é sublinear, e ela dita função suporte de S.
3.1.2 SUBDIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO CONVEXA
Antes de apresentar a noção de subdiferencial de Clarke, é conveniente apresentar a definição do subdiferencial de uma função convexa (HIRIART-URRUTY, 1993). De fato, o subdiferencial de Clarke, definido para a classe mais geral de funções localmente Lipschitz contínuas, constitui uma generalização da ideia de subdiferencial de uma função convexa.
Definição 3.4. Uma função f : Rn 7→ R é dita convexa se, para todo x, y ∈ Rn e para
todo real λ ∈ [0, 1], tem-se
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). (3.8) Alternativamente, f é dita estritamente convexa se a desigualdade (3.8) é estrita para todo x, y ∈ Rn tais que x 6= y e para todo real λ ∈]0, 1[.
Mostra-se que toda função convexa f : Rn 7→ R é localmente Lipschitz contínua em
todo ponto de Rn.
Teorema 3.2. Para todo x ∈ Rn, uma função convexa f : Rn 7→ R admite derivadas
direcionais em todas as direções d ∈ Rn. Adicionalmente, para todo x fixo, a applicação
d ∈ Rn7→ f0(x, d) é sublinear.
De acordo com os TEOs. 3.1 e 3.2, concluimos que a aplicação d ∈ Rn7→ f0(x, d) é a
função suporte de um conjunto não-vazio, compacto e convexo de Rn, que é denominado
de subdiferencial.
Definição 3.5. O subdiferencial em x de uma função convexa f , representado por ∂cf (x),
é o conjunto não-vazio, compacto e convexo de Rn cuja função suporte é d ∈ Rn 7→
f0(x, d), ou seja,
∂cf (x) , {s ∈ Rn : hs, di ≤ f0(x, d) para todo d ∈ Rn} . (3.9)
Os elementos de ∂cf (x) são chamados de subgradientes de f em x.
Reciprocamente, as derivadas direcionais de f podem ser determinadas a partir do subdiferencial por
f0(x, d) = max {hs, di : s ∈ ∂cf (x)} . (3.10)
Para uma função f : Rn 7→ R convexa e diferenciável em x, ∂
cf (x) corresponde ao conjunto
unitário {∇f (x)}.
O subdiferencial admite uma interpretação geométrica. Para tanto, são necessárias as definições a seguir.
Definição 3.6. O epigrafo de uma função f : Rn7→ R é definida por Epi(f ), (" x l # ∈ Rn+1 : l ≥ f (x) ) .
Definição 3.7. A direção s ∈ Rm é dita normal, em x, a um conjunto convexo fechado
C ⊂ Rm quando
hs , y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C.
O conjunto de todas essas direções é chamado cone normal a C em x, e denotado por NC(x).
Tem-se, então, o seguinte resultado:
Proposição 3.1. Seja uma função f : Rn 7→ R convexa. Um vetor s ∈ Rn é um
subgradiente de f em x se e somente se (s, −1) ∈ Rn× R é normal a Epi(f) em (x, f(x)). Conclui-se daí que a interseção do cone normal NEpi(f )(x) com o espaço Rn no nível
−1 representa ∂cf (x) × {−1}, conforme mostrado na Figura 3.1.
3.1.3 SUBDIFERENCIAL DE CLARKE
Diferentemente do caso convexo, a hipótese de que a função f : Rn7→ R é localmente
Lipschitz contínua em x ∈ Rn não é suficiente para a existência das derivadas direcionais de f . Por esta razão é preciso generalizar o conceito de derivada direcional.
Definição 3.8. Uma função f : Rn 7→ R admite uma derivada direcional generalizada
em x ∈ Rn na direção d ∈ Rn se o limite lim sup y→x t→0 t>0 f (y + td) − f (y) t (3.11)
existe e é finito. Neste caso, ela é representada por f◦(x, d).
Teorema 3.3. Para todo x ∈ Rn, uma função f : Rn7→ R localmente Lipschitz contínua
em x ∈ Rn admite derivadas direcionais generalizadas em todas as direções d ∈ Rn.
Epi(f ) − (x, f (x))
∂
cf (x)
R
n× {−1}
NEpi(f ) −1 0FIG. 3.1: Interpretação geométrica do subdiferencial de uma função convexa (HIRIART-URRUTY, 1993)
Pode-se, assim, definir um subdiferencial para as funções localmente Lipschitz contí-nuas de uma forma análoga ao caso convexo:
Definição 3.9. Para uma função f : Rn7→ R localmente Lipschitz contínua em x ∈ Rn,
o subdiferencial de Clarke de f em x, representado por ∂f (x), é o conjunto não-vazio, compacto e convexo Rn cuja função suporte é d ∈ Rn 7→ f◦(x, d), ou seja,
∂f (x) , {s ∈ Rn : hs, di ≤ f◦(x, d) para todo d ∈ Rn} . (3.12) Os elementos de ∂f (x) são chamados subgradientes de Clarke (ou gradientes generaliza-dos) de f em x.
As derivadas direcionais generalizadas podem ser determinadas a partir de ∂f (x) para toda direção d ∈ Rn:
O subdiferencial de Clarke generaliza as noções de subdiferencial de uma função convexa e de gradiente de uma função diferenciável:
a) Se uma função f é convexa, tem-se f◦(x, d) = f0(x, d) para todo d ∈ Rn, e assim ∂f (x) = ∂cf (x).
b) Se uma função f localmente Lipschitz contínua em x ∈ Rné diferenciável em x, então tem-se que f0(x, d) = h∇f (x), di ≤ f◦(x, d) para todo d ∈ Rn, e então ∇f (x) ∈
∂f (x).
c) Se uma função f é continuamente diferenciável em x, tem-se a igualdade h∇f (x), di = f◦
(x, d) para todo d ∈ Rn, de modo que ∂f (x) = {∇f (x)}.
Se por um lado uma função localmente Lipschitz contínua não é necessariamente diferenciável, por outro lado o conjunto de pontos nos quais ela é não-diferenciável é de medida nula, como indicado no teorema abaixo.
Teorema 3.4 (Teorema de Rademacker). Suponha que a função f : Rn → R seja localmente Lipschitz contínua. Então ∇f (x) existe para quase todo x ∈ Rn.
À luz do TEO 3.4, poder-se-ia pensar que as técnicas de otimização diferenciável podem ser igualmente utilizadas para uma função localmente Lipschitz contínua, uma vez que os pontos onde a função é não-diferenciável são "raros"em uma certa medida. Entretanto, esta ideia revela-se falsa porque a prática mostra que o mínimo da função é geralmente atingido exatamente nos pontos onde ela é não-diferenciável.
O subdiferencial de Clarke admite uma interpretação geométrica em Rn+1 análoga
àquela do caso convexo, com a condição de se generalizar a noção de cone normal a um subconjunto qualquer C 6= ∅ não necessariamente convexo. Assim, ∂f (x) é novamente o conjunto dos vetores s ∈ Rntais que [ s
−1] está no cone normal ao epigrafo de f em [f (x)x ],
conforme representado na FIG. 3.2.
3.1.4 REGRAS DE CÁLCULO DO SUBDIFERENCIAL DE CLARKE
Em geral, as regras de cálculo do subdiferencial de Clarke compreendem apenas inclu-sões. Entretanto, é possível obter-se igualidades sob uma condição suficiente mais forte que a Lipschitz-continuidade local:
Epi(f ) f (x) x x + s x + ∂f (x) f (x) − 1
FIG. 3.2: Interpretação geométrica do subdiferencial de Clarke
Definição 3.10. Uma função f : Rn → R localmente Lipschitz contínua é dita regular se a derivada direcional f0(x, d) existe para todo x, d ∈ Rn e se, adicionalmente, tem-se
f0(x, d) = f◦(x, d).
Em particular, toda função convexa e toda função continuamente diferenciável em x ∈ Rn são então regulares. Por outro lado, se f é regular e diferenciável em x, então ∂f (x) = {∇f (x)}.
Considere, a seguir, a regra da diferenciação em cadeia, ou de composição.
Lema 3.1. Seja H : Rn → Rm uma função continuamente diferenciável e g : Rm → R
uma função localmente Lipschitz contínua. Tem-se, então, que ∂(g ◦ H)(x) ⊂ co η : η = ∂H(x) T ∂x ξ, ξ ∈ ∂g(H(x)) . (3.14)
Tem-se a igualdade em (3.14) quando g é regular.
Considere H0(x) , ∂H(x)/∂x. Pode-se então representar por [H0(x)]?∂g (H (x)) o segundo membro de (3.14), como a ação da aplicação linear adjunta [H0(x)]? sobre o subdiferencial.
Uma vez que os problemas do tipo minimax desempenham um papel central no pre-sente trabalho, interessam particularmente as propriedades diferenciais das funções max. Consideremos inicialmente o subdiferencial de Clarke de um máximo finito de funções.
Lema 3.2. Sejam f1, f2, . . . , fm : Rn → R funções localmente Lipschitz contínuas e ψ(x) , max j ∈ mf j(x), com m, {1, 2, . . . , m}. Então, ∂ψ(x) ⊂ co j∈ ˆm(x)∂f j(x) , (3.15) onde ˆm(x) designa o conjunto de índices j ativos em x:
ˆ
m(x) , j ∈ m : fj(x) = ψ(x) .
Tem-se a igualidade em (3.15) se as funções fj, j ∈ ˆm(x), são regulares em x.
A partir dos Lemas 3.1 e 3.2, a importância da condição de regularidade torna-se evidente, pois ela permite um cálculo facilitado de todo o subdiferencial de Clarke. Esta condição concerne, felizmente, a classe de funções que estamos interessados neste trabalho. O teorema abaixo é fundamental pois ele caracteriza o subdiferencial de uma função max calculada sobre um contínuo de índices. Denote-se por ∇xφ(·, ·) o gradiente de φ(·, ·)
em relação ao primeiro argumento.
Teorema 3.5 (TEO. 5.4.7, (POLAK, 1997)). Considere a função ψ(x) , max
y∈Y φ(x, y). (3.16)
Suponha que
(a) φ : Rn× Rm → R é contínua,
(b) ∇xφ(·, ·) existe e é contínuo, e
(c) Y ∈ Rm é compacto. Então o subdiferencial de ψ(·) em x é ∂ψ(x) = co
y∈ ˆY (x)
{∇xφ(x, y)} (3.17)
onde ˆY (x) designa o conjunto de índices ativos ˆ
