1 Função Polinomial. INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA ICET Campinas Limeira Jundiaí. Ricardo F. Arantes

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dulo VIII

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tica

l

1 – Função Polinomial

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – ICET

Campinas – Limeira – Jundiaí

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l

Função Polinomial

l

Raízes de Polinômios

l

Pesquisa de Raízes

l

Exemplo

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1.1- Função Polinomial

l Dados os números reais (coeficientes) a_n, a_n-1,... , a₂, a₁, a₀ (n

ε

N) denominamos

Função Polinomial à função:

P(x) = a_n xn + a

n-1 xn-1 + ...+a2 x2 + a1 x1 + a0 definida para todo x Real.

Exemplos de Funções Polinomiais:

•

P(x) = a0 Função Constante [grau zero= gr(0) ]

•

P(x) = a1 x1 + a0 (com a1 0) Função 1o.Grau [grau 1= gr(1) ]

•

P(x) = a2 x2 + a1 x1 + a0 Função 2o.Grau [grau 2 = gr(2) ]

•

Grau de um Polinômio: é dado pelo maior grau n de xn_{existente entre seus termos.} Simbolizamos o grau de um Polinômio como gr(P).

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1.2- Raízes de Polinômios

l Denominamos raíz de um polinômio ao número que uma vez substituído no

polinômio anula o mesmo, ou seja, satisfaz a equação abaixo:

P(raiz) = 0

Graficamente, essas raízes indicam os pontos aonde a curva do gráfico do Polinômio cruza o eixo x:

x P(x)

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1.3- Pesquisa de Raízes: gr(2)

l Relações de Girard (entre coeficientes e raízes de polinômios): l GRAU 2:

Sejam as equações ax2_{+bx+c=0 (com a 0) cujas raízes são x}

1 e x2

Sabemos que a equação acima pode ser escrita na forma:

l ax2+bx+c = a.(x - x₁).(x - x₂)

resolvendo a equação acima, encontramos as relações de Girard: soma: x1 + x2 = - b/a

produto: x₁ . x₂ = c/a

NOTA: outra forma já conhecida é através da fórmula de báscara, que será lembrada em exercícios.

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1.3.1- Pesquisa de Raízes: gr(3)

l Relações de Girard (entre coeficientes e raízes de polinômios): l GRAU 3:

Sejam as equações ax3_+bx2_{+cx+d=0 (com a 0) cujas raízes são x}

1 e x2 e x3

Sabemos que a equação acima pode ser escrita na forma:

l ax3+bx2+cx+d= a.(x - x₁).(x - x₂).(x - x₃)

resolvendo a equação acima, encontramos as relações de Girard: soma: x₁ + x2 + x3 = - b/a

produto misto: x₁ . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = c/a

produto: x₁ . x2 x3= -d/a

Entretanto, nem sempre conseguiremos resolver as equações acima, para grau 3, sem que seja dada mais alguma informação sobre as raízes. Por exemplo: se as

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1.3.2- Pesquisa de Raízes: gr()>3

l GRAU MAIOR QUE 3:

Para polinômios de grau maior que 3 há métodos mais eficazes de se encontrar as raízes que o método de Girard. Entretanto, não cabe em nossa disciplina

desenvolver estes métodos neste momento, ficando essa tarefa para outras disciplinas mais adiante.

Porém, podemos pelo menos determinar o número de raízes reais de um polinômio! Uma técnica é a Regra de Sinais de Descartes para polinômios com coeficientes reais:

“ Dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos (p), desse polinômio não excede o número de variações (v) de sinal dos coeficientes. Sendo então válida a expressão :

0 ≥

−

p

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1.4- Exemplo

l Exemplo: Determinar o número de raízes reais do polinômio

P

₅

(x)= 2x

5

_{- 3x}

4

_{- 4x}

3

_{+x +1}

Sinais:

+ -

-

+ +

Número de variações de sinais: V= 2 Logo, se :

1

0 ≥

−

p

v

0

2 −

p

≥

V-p= 0 então p=2 V-p= 2 então p=0

Obs: A regra de Descartes vale para polinômios com grau n maior ou igual à 1. ( )

As raízes são reais ou complexas sendo também positivas ou negativas.

Há casos de raízes múltiplas (repetidas) que não

discutiremos aqui.

1

≥ n

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1.4.1- Exemplo

l Exemplo: Determinar o número de raízes reais do polinômio

P

₅

(-x)= -2x

5

_{- 3x}

4

_{+ 4x}

3

_{-x +1}

Sinais:

-

+ -

+

Número de variações de sinais: V= 3 Logo, se :

1

0 ≥

−

neg

v

0

3 −

neg

≥

V-neg=0 então neg =3

V-neg=2 então neg=1

Obs: para pesquisar raízes negativas, usamos –x no polinômio e estudamos o sinal. Expoentes ímpares irão trocar o sinal do termo, (permanecendo o mesmo sinal para expoentes pares)

Há 03 raízes Reais negativas ou

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1.4.2- Exemplo

l Assim, no nosso exemplo

P

₅

(x)= 2x

5

_{- 3x}

4

_{- 4x}

3

_{+x +1 gr(5) há 05 raízes}

poderá ter (sem se falar em raízes múltiplas):

5

2

1

2

5

2

3

0

5

4

1

0

5

0

3

2 RAÍZES

Negativas

Positivas

Total

COMPLEXAS

REAIS

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1.5- Considerações Finais

l

Em nossa tarefa estudaremos mais as raízes de um polinômio

de grau 2.

Este foi nosso último módulo!

l

Desejamos a todos um Bom Estudo!

Prof. Ricardo F. Arantes

•

Contatos: rfaunip@uol.com.br

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