DESENVOLVIMENTO DE APLICATIVO EM MATLAB PARA ANÁLISE MODAL DE
ESTRUTURAS UTILIZANDO O MÉTODO DO AJUSTE DO CÍRCULO
João Silvestre da Silva Vasconcelos, jvasconcelos19@gmail.com 1 Jean França Veloso, jean.veloso@yahoo.com.br1
Newton Sure Soeiro, nsoeiro@hotmail.com 1 Gustavo da Silva Vieira de Melo, gmelo@ufpa.br 1
1 Universidade Federal do Pará, Rua Augusto Corrêa no 1, Guamá, CEP: 66075-110 – Belém-PA.
Resumo: A associação entre teoria e prática no ensino de engenharia é imprescindível para a formação do engenheiro, pois permite assimilar com maior intensidade os conceitos considerados fundamentais à formação de seu conhecimento prático e teórico. A compreensão dos fenômenos vibratórios, para avaliar a integridade de estruturas e componentes mecânicos, pede a determinação do seu modelo modal, o qual fica perfeitamente determinado pelas suas freqüências naturais, formas e amortecimentos modais. Muitos são os métodos usados para a construção do modelo modal a partir de dados experimentais baseados nas Funções Respostas em Frequência, destacando-se o método de Ajuste de Círculo. Este trabalho tem como objetivo desenvolver um programa (algoritmo) em ambiente Matlab ® para uso em laboratório de vibrações mecânicas, o qual possibilita identificar os parâmetros modais experimentais de uma estrutura, bem como simular dados teóricos de respostas em freqüência a serem ajustados pelo método. A rotina foi avaliada com exemplos numéricos e testes experimentais buscando identificar as potencialidades e limitações do método. O programa desenvolvido poderá ser usado no ensino de vibrações mecânicas, para melhor compreensão do modelo modal de estruturas, contribuindo para a atividade docente em sala de aula e desenvolvimento dos alunos. Palavras-chave: Análise modal, Ajuste do círculo, Matlab
1. INTRODUÇÃO
O ato de ensinar é uma ação coletiva, mas aprender é um ato individual e as estratégias e procedimentos educacionais utilizados no ensino de engenharia ainda estão apoiados em um modelo de educação formal, não levando em consideração a individualidade do aprendizado, cujas deficiências aumentam a partir da verificação de sua baixa adequação às atuais características e necessidades dos estudantes e às exigências das empresas e da sociedade.
A mesma consideração pode ser feita em relação ao ensino de engenharia. Assim, Belhot (2006) tomou por referência a Fig.(1), representando que o engenheiro é o produto final de um curso de engenharia, que utiliza uma estrutura curricular como processo de transformação, aonde o aluno vem do mercado e o engenheiro vai para o mercado.
Desta forma, fica claro que as disciplinas integrantes da estrutura curricular têm grande importância na formação técnica do profissional, sendo por meio delas que se faz a exposição da teoria e que se coloca o aluno em contato com os problemas que deverá enfrentar futuramente.
Problemas de vibração aparecem no projeto de praticamente todas as máquinas e estruturas. Muitos deles são extremamente complexos, mas sua solução é essencial se quisermos um projeto satisfatório e seguro. Na prática, muitas vezes a resolução desses problemas requer a utilização de ferramanetas computacionais como o Matlab e o conhecimento do mecanismo comportacional de estruturas e seus componentes. Isto é possível a partir de respostas em frequência, que representam uma relação causa/efeito, na qual descreve o comportamento como uma função da frequência entre dois pontos sobre a estrutura. Portanto, pela importância e aplicabilidade da análise modal e como esta é uma disciplina abordada geralmente na pós-graduação, justifica-se o desenvolvimento de um programa (algoritmo) em ambiente Matlab ® para uso em laboratório de vibrações mecânicas, o qual possibilita identificar os parâmetros modais experimentais de uma estrutura, bem como simular dados teóricos de respostas em freqüência a serem ajustados pelo método. A rotina foi avaliada com exemplos numéricos e testes experimentais buscando identificar as potencialidades e limitações do método. O programa desenvolvido poderá ser usado no ensino de vibrações mecânicas, para melhor compreensão do modelo modal de estruturas, contribuindo para a atividade docente em sala de aula e desenvolvimento dos alunos.
2. ANÁLISE MODAL
Dentre diferentes métodos aplicados à avaliação do mecanismo comportacional de estruturas e seus componentes, a análise modal figura como uma das principais ferramentas. Sua utilização significa interagir com outras técnicas como análise de sinais e teoria de álgebra.
A análise modal baseia-se no fato de que o comportamento geral de um sistema linear pode ser descrito como uma composição de movimentos independentes entre si. Estes movimentos independentes são definidos como Modos de Vibração (propriedade global da estrutura). O perfil de deformação em cada modo representa a Forma modal, a freqüência de oscilação correspondente a cada modo representa a Freqüência natural e a medida de dissipação de energia corresponde ao Amortecimento Modal. Estes três parâmetros são conhecidos como parâmetros modais (Kloutsey, 2007). Dessa forma a análise modal analisa e identifica as propriedades dinâmicas das estruturas que controlam o seu comportamento.
As características da dinâmica estrutural são definidas pela função de transferência Hjk w . Esta relação causa /
efeito descreve o comportamento como uma função da frequência entre dois pontos sobre a estrutura. Como foi explicado anteriormente, a função resposta em frequência é a razão entre a resposta dinâmica da estrutura (X) e a força de excitação aplicada (F). O interesse desta função, utilizada no domínio da frequência, deve-se a poder ser medida experimentalmente, constituindo assim um fundamento da análise modal.
A expressão da função de resposta em frequência apresentasse da seguinte forma, como mostrado na Eq. (1):
H
jk w = αjk= Xj Fk = Ajk wr2 1+iηr −w2 N r=1 (1)Tem-se uma FRF de transferência quando j ≠ k, ou seja, é obtida a resposta no ponto j devido a uma excitação num outro ponto k. Quando j = k, tem-se FRF pontual. A função resposta em frequência assume formas distintas de acordo com o tipo de resposta coletada, ou seja, a resposta da estrutura pode ser registrada na forma de deslocamentos, velocidades ou acelerações. α W =deslocamento força (Receptância) (2) Y w =velocidade força (Mobilidade) (3) A w =aceleração
força (Acelerância ou Inertância) (4)
Na equação 1, a FRF é do tipo receptância αjk(w) como resposta em forma de deslocamento complexo Xj num dos
graus de liberdade, j, provocado pela força de excitação Fk, aplicada num grau de liberdade diferente, k. Nesta mesma
expressão ηr é a razão de amortecimento histerético, normalmente designada por factor de perda, e Ajk = (Areiϕr)jk é a
constante modal complexa, ambas associadas com cada modo r .(Meireles, 2007)
Ainda segundo Meireles (2007) a resposta dos sistemas tal como é obtida diretamente dos ensaios experimentais, tem de ser processada antes de ser utilizada nas aplicações envolvidas na análise modal. É necessário construir um modelo modal que inclua corretamente as frequências naturais as razões de amortecimento, e modos de vibração. Estes são característicos da estrutura com seus constrangimentos de limite e estão relacionados com os pólos da função de transferência. Por sua vez as constantes modais, amplitudes e fases que dão origem aos modos de vibração, ou vice-versa, dependem dos locais onde as respostas e forças são aplicadas.
3. TÉCNICAS DE EXTRAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS
De posse das funções resposta em freqüência, é preciso o desenvolvimento de técnicas de análise destas funções de forma a extrair as características modais da estrutura sob ensaio. Estas técnicas consistem basicamente no ajuste de curvas para uma expressão teórica para uma determinada FRF obtida experimentalmente. O ajuste da curva é um processo de interpolação de dados experimentais por um modelo matemático.
No caso do método modo a modo, a curva da FRF é ajustada à expressão simplificada da função de transferência para uma faixa de frequencia próxima da do modo de vibração a ser identificado através de um algorítmico de interpolação (Kloutsey, 2007).
Tal etapa do processo dos ensaios modais é denominada análise modal experimental, visto que é o estágio correspondente no estudo experimental à chamada análise modal teórica. Enquanto a primeira é um procedimento de ajuste de curva, a segunda é um exercício de cálculo das raízes ou solução de um problema de auto-valores (Trindade, 1992).
Existem fundamentalmente dois tipos de métodos para identificar as propriedades dinâmicas da estrutura. Os métodos no domínio da freqüência, que estimam os parâmetros modais, a partir das respostas medidas e permitem a construção do modelo modal. E os métodos no domínio do tempo que avaliam diretamente as matrizes do modelo de resposta para o modelo espacial, isto é, as matrizes do sistema de massa, rigidez, e amortecimento, sem calcular os parâmetros modais. Isto se justifica porque a transformada de Fourier da função resposta em freqüência é também uma função característica do sistema
Dentre as várias técnicas de extração de parâmetros modais dos dados obtidos para a função resposta em frequência destacam-se: o método da amplitude de pico, o método do ajuste de círculo, método inverso e método de Dobson.
Neste trabalho será estudada a seguinte técnica de identificação de parâmetros modais no domínio da frequência, o método do ajuste de círculo.
3.1. Método do Ajuste do Círculo
O método baseia-se no fato de que na vizinhança de uma ressonância, o comportamento da maioria dos sistemas é dominado por um único modo. O método explora algumas das propriedades do circulo modal, pois estas fornecem meios para extração dos parâmetros. Estas curvas quando representadas no diagrama de Nyquist, em torno das ressonâncias, descrevera círculos; sendo a partir do ajuste dos respectivos raios e centros, determinados os parâmetros modais (Trindade, 1992).
A função receptância de um sistema de N graus de liberdade com amortecimento histerético é dada pela expressão:
αks w = Aks wr2−w2+iη rwr2 N r=1 (5)
onde ηr e Aks = Areiϕr são, respectivamente, o fator de amortecimento histerético e a constante modal complexa,
associados com cada modo r.
Na prática, existe uma faixa limitada de freqüência para a qual os dados experimentais são coletados. A contribuição à resposta total dos termos situados fora da faixa experimental de freqüência pode ser levada em conta por meio de resíduos, como já discutido no item referente aos modelos incompletos. O método de ajustamento de círculo assume como hipótese que a contribuição dos modos fora da faixa àquele particular sob estudo é uma constante. Assim a Eq. (5) é aproximada por:
αks(w) =
Areiϕr
wr2−w2+iηrwr2+ Bks
N
r=1 (6)
Onde Bks é uma constante complexa associada com o modo r. Por outro lado, sabe-se que o gráfico de Nyquist de 1
wr2−w2+iη
rwr2 é um círculo. A partir da Eq. (6) observamos que a multiplicação pela constante complexa Aks significa
uma ampliação ou redução do raio do círculo, tanto quanto uma certa rotação, e que a adição de Bks corresponde a uma
simples translação. Ao representamos no diagrama de Nyquist a Eq. (6), a curva completa não será exatamente um círculo, mas apresentará seções de arco de círculo ao redor da freqüência natural, como ilustrado na Fig. (2).
Figura 2. Diagrama de Nyquist mostrando o ajuste de círculo.
A determinação dos parâmetros modais associados com o r-ésimo modo reside no ajustamento de um círculo à curva de resposta em freqüência próximo a freqüência natural wr. Esse primeiro objetivo é geralmente atingido através
do uso da técnica dos mínimos quadrados.
Assuma que os dados da FRF são pontos no plano de Argand representados pelas coordenadas xj e yj. O problema
que se tem é o de se obter uma circunferência que melhor se ajuste a estes pontos, onde o critério de melhor ajuste é o do mínimo erro quadrático.
A equação de uma circunferência é dada por:
x2+ y2+ ax + by + c = 0 (7)
Para pontos levemente afastados dessa circunferência, o segundo membro da Eq. (7) será diferente de zero e esta diferença caracteriza um erro. Assim, define-se a seguinte função erro:
E(x, y) = x2+ y2+ ax + by + c (8)
Que, para o ponto experimental 𝑥𝑘, 𝑦𝑘 , fornece o seguinte valor de erro:
Ek = E xk, yk = xk2+ yk2+ axk+ byk+ c (9)
Portanto, a soma dos valores quadràticos desses erros será:
ET2= mk=1Ek2= mk=1 xk2+ yk2+ axk+ byk+ c 2 (10)
A circunferencia que melhor se ajusta a esses m pontos é aquela que torna o ET2 mínimo. Assim é possível escrever
o seguinte conjunto de equações na forma de matriz, aplicando à Eq. (10). A derivada aos coeficientes a, b e c:
xk2 m k=1 mk=1xkyk mk=1xk xkyk m k=1 mk=1yk2 mk=1yk xk m k=1 mk=1yk m a b c = xkyk2+ xk3 m k=1 ykxk2+ yk3 m k=1 yk2+ x k 2 m k=1 (11)
Resolvido o sistema de equações, respresentado pela Eq. (11):, o centro e o raio da circunferência podem ser determinados por: xo, yo = −a 2; −b 2 (12) Ro= a 2 2 + b 2 2 − c (13)
Após o cálculo de a, b e c o erro médio quadrático é computado como abaixo:
em2 =
xk2+yk2+axk+byk+c 2
m k =1
m (14)
o qual é uma medida da qualidade do ajuste. Por outro lado, os erros da ordem de 1 a 3% são normalmente aceitos como indicação de um bom ajuste.
A localização e determinação da freqüência natural estão baseadas em uma técnica de espaçamento da freqüência. Para um dado modo, não considerando o efeito da constante modal complexa, o ângulo de fase 𝜃𝑟 é dado por:
θr= arctg ηr 1− w
w r
2 (15)
O diâmetro do círculo é usado para a determinação do módulo e da fase da constante modal, a partir das seguintes expressões: 𝐷 = 𝐴𝑟 𝑤𝑟2𝜂𝑟 (16) ϕr = arctg x0−xD y0−yD (17)
Onde 𝑥𝐷, 𝑦𝐷 são as coordenadas da origem deslocada e seus valores são determinados tão logo seja determinada a
posição da freqüência natural.
4. VALIDAÇÃO DO ALGORITMO DESENVOLVIDO
O algoritmo de identificação de parâmetros modais, desenvolvido em ambiente Matlab, para o ajuste de círculo foi testado a partir de dados simulados para determinar as FRF’s de um sistema com dois graus de liberdade. Devido à sua maior simplicidade, usaremos tais sistemas para introduzir conceitos que serão estendidos, em trabalhos futuros, para sistemas com n graus de liberdade. A Fig. (3) ilustra esse tipo de sistema. A metodologia de análise de programação desenvolvida é ilustrada, de forma simples pela Fig. (4).
Seleção de pontos, a partir da escolha de uma faixa de frequência que esteja próxima da
região da ressonância. Início
Achar o círculo com o menor desvio no sentido dos mínimos
quadrados para os pontos considerados.
Determinar o erro médio quadrático no ajuste do círculo
para cada modo.
Determinar os parâmetros modais: através do cálculo dos
raios dos círculos ajustados.
Figura 4. Fluxograma do algoritmo desenvolvido Figura 3. Sistema com dois graus de liberdade
A partir da lógica de programação foi possível identificar os parâmetros modais experimentais de uma estrutura. Primeiro simulou-se o método para um sistema pouco amortecido, η1= 0.01 e η2= 0.001, com um valor de
df = 0.1 (intervalo de discretização). Os demais parâmetros físicos, massa e rigidez utilizados foram:
m1= 0.5 kg; m2= 0.5 kg; k1= 100000 N/m; k2= 50000 N/m
As Figuras (5), (6), (7), (8) e (9) apresentam as etapas do ajuste do círculo para a função simulada.
Figura 5. Diagrama de Boode. Figura 6. Seleção de Pontos para o Ajuste.
Figura 8. Ajuste do Círculo do Primeiro Modo. Figura 7. Diagrama de Nyquist.
5. TESTE EXPERIMENTAL
Com o objetivo de medir as Funções Respostas em Frequências, para analisar a confiabilidade da utilização dos parâmetros num caso real, a viga (0,0254 x 0,0125 x 0,82 m), que se encontra bi-apoiada foi escolhida. A bancada utilizada é do tipo Universal da TECQUIPAMENT, modelo TM-16. A cadeia de medição mostrada na Fig. 11 ilustra o teste. As medições foram realizadas no analisador de freqüência da marca Hewlett-Packard, de dois canais modelo 35665A, sendo que no segundo canal, estava o acelerômetro posicionado em um ponto da viga tal que nenhuma forma modal da mesma seja atenuada. A viga testada está esquematizada na Figura (12). O acelerômetro foi fixado na sexta faixa, da extremidade para o centro da viga. O acelerômetro e o martelo utilizado para o impacto estão representados nas Fig. 13 e 14.
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Para a extração dos parâmetros modais, as FRF’s do tipo receptância, eram salvas na extensão .mat e exportadas para o Matlab. Em seguida, a função era lida pelo aplicativo, que por sua vez realizava o ajuste considerando uma banda de frequência pré-definida. As Figuras 15 e 16 apresentam o Diagrama de Boode para a função medida e o ajuste do círculo entre duas frequências de corte, respectivamente.
Figura 13. Acelerômetro utilizado no ensaio Figura 14. Martelo utilizado no ensaio. Figura 11. Configuração da cadeia de medição para
obtenção das FRF’s Figura 12. Viga bi-apoiada com a definição dos pontos de coleta
Figura 15. Diagrama de Boode da função medida. Figura 16. Definição da Banda de Frequência para o Ajuste.
6. CONCLUSÃO
As tecnologias computacionais surgem como alternativas de possibilitar uma ação docente inovadora. Assim à inserção destes recursos tecnológicos em disciplinas referentes aos cursos de Engenharia, é de fundamental importância a medida que facilita e apróxima o aprendizado ainda escondido e abstrato do futuro engenheiro.
Observa-se que o programa apresenta uma excelente aproximação para o teste teórico de simulação, considerando a ausência de interferências externas. Para o teste experimental, o aplicativo apresentou boa aproximação, considerando a presença de ruídos, fugas de corrente elétrica, influência dos modos vizinhos, etc.; que interferem no ajuste das curvas.
Além de permitir experiências práticas com um sistema real de dois graus de liberdade, o sistema proposto apresenta uma plataforma de desenvolvimento adequada para se testar dados teóricos de respostas em freqüência. Neste sentido a proposta do trabalho teve sua meta alcançada
O emprego do aplicativo possibilitou o entendimento das práticas de laboratório e desenvolvimento de projetos, como forma de complementação do conteúdo teórico, sendo normalmente, mais difícil de ser atingido através dos meios convencionais de ensino. Dessa forma, o estudante poderá ter uma visão sistêmica da vibração em estruturas, o que permite analisar os parâmetros modais determinados através de métodos de análise modal.
7. REFERÊNCIAS
Belhot, R. V.; NETO, J. D. O., 2006 A Solução de Problemas no Ensino de Engenharia. In: XIII Simpósio de Engenharia de Produção, Bauru, Brasil.
Kloutsey, A. E. H., 2007, “Correção de Modelos Elementos Finitos –Estudo de um Conjunto Rotor-Gerador”, Dissertação de Mestrado. – Departamento de Engenharia Mecânica, Faculdade de Tecnologia da Universidade de Brasília, Brasília, Brasil.
Meireles, J. F. B., 2007, “Análise Dinâmica de Estruturas por Modelos de Elementos Finitos Identificados Experimentalmenteção”, Tese Submetida à Universidade Do Minho para Obtenção do Grau de Doutor no Ramo de Engenharia Mecânica, Área de Mecânica dos Materiais, Guimarães, Brasil.
Trindade, C. E., 1992, “ Determinação das Propriedades Modais de |Elementos Combustíveis Utilizados em Reatores Tipo PWR”, Dissertação de mestrado – Instututo de Pesquisas Energèticas e Nucleares Mestre em Tecnologia Nuclear, São Paulo, Brasil.
DEVELOPMENT APPLICATION TO MATLAB FOR MODAL ANALYSIS
OF STRUCTURES USING THE METHOD OF ADJUSTMENT OF THE
CIRCLE
João Silvestre da Silva Vasconcelos, jvasconcelos19@gmail.com 1 Jean França Veloso, jean.veloso@yahoo.com.br1
Newton Sure Soeiro, nsoeiro@hotmail.com 1 Gustavo da Silva Vieira de Melo, gmelo@ufpa.br 1
1 Universidade Federal do Pará, Rua Augusto Corrêa no 1, Guamá, CEP: 66075-110 – Belém-PA.
Abstract. The association between theory and practice in engineering education is essential for the formation of the engineer, because it allows greater intensity assimilate the concepts considered fundamental to the formation of his practical and theoretical knowledge. The understanding of vibration phenomena, to assess the integrity of structures and mechanical components, asks for the determination of their modal model, which is completely determined by its natural frequencies, modal shapes and damping. Many methods are used to construct the modal model from experimental data based on the Frequency Responses Functions, especially the method of adjustment Circle. This work aims to develop a program (algorithm) in Matlab ® for use in the laboratory of mechanical vibrations, which allows the identification of modal parameters of an experimental structure, as well as theoretical data simulated frequency responses to be adjusted by the method. The routine was evaluated with numerical examples and experimental tests seeking to identify the strengths and limitations of the method. The software can be used in the teaching of mechanical vibrations, to better understand the modal model structures, contributing to the teaching activity in the classroom and student development..
