Técnicas de otimização combinatória aplicadas a criação de estratégias de policiamento urbano

(1)

NILSON FELIPE MATOS MENDES

T´

ECNICAS DE OTIMIZAC

¸ ˜

AO COMBINAT ´

ORIA APLICADAS

A CRIAC

¸ ˜

AO DE ESTRAT´

EGIAS DE POLICIAMENTO

Disserta¸cão apresentada à Universidade Federal de Vi¸cosa, como parte das exigências do Programa de Pós-Gradua¸cão em Ciência da Computa¸cão, para obten¸cão do t´ıtulo de Magister Scientiae

VIC¸ OSA

(2)

(3)

Ficha catalográfica preparada pela Biblioteca Central da Universidade Federal de Viçosa - Câmpus Viçosa

T

Mendes, Nilson Felipe Matos,

1991-M538t

2015

Técnicas de otimização combinatória aplicadas a criação de

estratégias de policiamento urbano / Nilson Felipe Matos

Mendes. – Viçosa, MG, 2015.

viii, 85f. : il. ; 29 cm.

Orientador: André Gustavo dos Santos.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Viçosa.

Referências bibliográficas: f.79-85.

1. Processos decisórios - Processamento de dados.

2. Pesquisa operacional. 3. Modelos matemáticos.

4. Programação linear. 5. Probabilidades. 6. Estatística

matemática. 7. Teoria das filas. 8. Segurança pública.

9. Patrulhamento policial. I. Universidade Federal de Viçosa.

Departamento de Informática. Programa de Pós-graduação em

Ciência da Computação. II. Título.

(4)

Agrade¸co a Deus por me dar for¸cas para concluir essa etapa da minha forma¸cão, aos meus pais, familiares e amigos pelo apoio, ao meu orientador André Gustavo dos Santos por me guiar durante a realiza¸cão deste projeto e a Coordena¸cão de Aper-fei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) pelo financiamento da minha bolsa durante o curso.

(5)

Sum´

ario

Lista de ilustra¸c˜oes . . . v

Lista de tabelas . . . v

Resumo . . . vii

Abstract . . . viii

1 INTRODUC¸ ˜AO GERAL . . . 1

1.1 Objetivos . . . 3

1.2 Resultados . . . 3

1.2.1 Modelo determin´ıstico . . . 3

1.2.2 Modelo estoc´astico . . . 5

2 M´ETODOS PARA O PROBLEMA DE POSICIONAMENTO DE UNIDADES POLICIAIS . . . 7

2.1 Introdu¸c˜ao . . . 7

2.2 Referˆencial Te´orico . . . 9

2.3 Materiais e m´etodos . . . 10

2.3.1 Modelo matem´atico . . . 10

2.3.2 Heur´ıstica construtiva . . . 12

2.3.3 Busca Tabu . . . 13

2.3.4 Simulated Annealing . . . 14

2.4 Descri¸c˜ao do experimento . . . 14

2.5 Resultados e Discuss˜ao . . . 15

2.6 Conclus˜ao. . . 20

3 HEUR´ISTICA BASEADA EM BUSCA TABU PARA O POSICIO-NAMENTO DE UNIDADES POLICIAIS . . . 21

3.1 Introdu¸c˜ao . . . 21

3.2 Referencial Te´orico . . . 23

3.3 Materiais e m´etodos . . . 26

3.3.1 Modelo matem´atico . . . 26

3.3.2 Heur´ıstica construtiva gulosa . . . 28

3.3.3 Busca Tabu . . . 29

3.3.4 Estratégia de penaliza¸cão de solu¸cões inviáveis . . . 30

3.4 Descri¸c˜ao dos experimentos . . . 33

3.5 Resultados e Discuss˜ao . . . 34

3.6 Conclus˜ao. . . 42

(6)

4.1 Introduction . . . 45

4.2 Review . . . 47

4.3 Material and methods . . . 51

4.3.1 The Hypercube Queuing model . . . 51

4.3.2 Jarvi’s Approximation . . . 53

4.3.3 Police Units Allocation Model . . . 54

4.3.4 Minimum Expected Response Location Problem . . . 56

4.3.5 MERLP With Mandatory Expected Closeness Constraints . . . 57

4.3.6 VND Heuristic . . . 58

4.4 Experiment description . . . 61

4.5 Results and discussion . . . 62

4.5.1 Default action radius size . . . 63

4.5.2 Larger action radius . . . 65

4.5.3 Results with demand and service time variations . . . 71

4.5.4 Conclusion . . . 73

5 CONCLUS˜AO GERAL . . . 77

REFERˆENCIAS BIBLIOGR ´AFICAS . . . 79

(7)

Lista de ilustra¸c˜

oes

Figura 1 – Os triângulos azui representam as viaturas e os pontos vermelhos uni-dades de policiais a pé. As figuras 2(a), 2(b) e 2(c) ilustram as solu¸cões na cidade de Vi¸cosa-MG e 2(d), 2(e) e 2(f) na cidade de Salinas-MG. . 16

Figura 2 – Comparativo entre os algoritmos simulated annealing, construtivo e solu¸cão exata, com desvios padrão assinalados pelos tra¸cos em preto em cada barra do gráfico. As instâncias 5, 6, 16, 17 e 18 não alcan¸caram nenhuma resposta em duas horas. . . 18

Figura 3 – Gráfico comparativo do teste de Tukey sobre os valores de fun¸cão ob-jetivo obtidos por diferentes versões da busca. E1) Busca tabu original mas já com nova penaliza¸cão; E2) Busca tabu com expansão da busca local; E3) Busca tabu com intensifica¸cão. Resultados correspondentes as instâncias Salinas 1 (esquerda) e Vi¸cosa 1 (direita). . . 39

Figura 4 – Comparative of number of feasible solutions got by VND with Tabu Search initialization using different services times. Larger action radius - Vi¸cosa . . . 74

Lista de tabelas

Tabela 1 – Comparativo entre os resultados da solu¸cão do modelo matemático e do algoritmo construtivo. Os valores em destaque indicam valores não ´

otimos, obtidos ao fim de duas horas. Na descri¸cão das instâncias está explicito o número de viaturas (Viat.) e unidades a pé (Ped.) em cada 17

Tabela 2 – Comparativo entre o desempenho das heur´ısticas simulated annealing e busca tabu. Em negrito, a maior resposta média e com o fundo destacado, a maior resposta individual. Lista de siglas: Rs – Resposta média do simulated annealing; Rt – Resposta média da busca tabu; UbR Melhor resposta; σ_{(R) – Desvio padr˜}_{ao da resposta; T – Tempo}

m´edio; σ_{(T) – Desvio padr˜}_{ao do tempo . . . 19}

Tabela 3 – Configura¸c˜ao das instˆancias testadas . . . 34

Tabela 4 – Comparativo entre a quantidade de respostas fact´ıveis obtidas usando diferentes tipos de penaliza¸c˜ao. . . 34

Tabela 5 – Comparativo entre a quantidade de respostas fact´ıveis obtidas de acordo com o tipo de busca local utilizado. . . 35

Tabela 6 – Comparativo do número de solu¸cões fact´ıveis obtidas com a expansão da busca local e versões distintas do algoritmo construtivo . . . 36

(8)

de parada . . . 37 Tabela 8 – Comparativo do n´umero de solu¸c˜oes fact´ıveis obtidas com e sem a

in-tensifica¸c˜ao da busca local . . . 38 Tabela 9 – Tabela comparativa entre os resultados obtidos na busca tabu com

intensifica¸cão (versão E3 conforme Figura 3) e a solu¸cão exata obtida via CPLEX. . . 41 Tabela 10 – Comparison of results got by the VND heuristic with different

initiali-zations. Default action radius - Vi¸cosa . . . 64 Tabela 11 – Comparison of results got by the VND heuristic with different

initiali-zations. Default action radius - Governador Valadares . . . 65 Tabela 12 – Comparison of average run-times of diferent initializations of VND and

their components . . . 65 Tabela 13 – Results obtained by the VND heuristic with tabu search initialization.

Larger action radius - Governador Valadares . . . 67 Tabela 14 – Comparison of results found by the VND heuristic with different

initi-alizations. Larger action radius - Vi¸cosa . . . 70 Tabela 15 – Comparison of results found by the VND heuristic with different levels

of demand. Larger action radius - Vi¸cosa . . . 72

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Resumo

MENDES, Nilson Felipe Matos, M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, Setembro de 2015. Técnicas de Otimiza¸cão Combinatória Aplicadas a Cria¸cão de Estratégias de Policiamento Urbano. Orientador: André Gustavo dos Santos.

O provimento de seguran¸ca pública é uma questão de grande relevância na adminis-tra¸cão pública e que interfere diretamente na qualidade de vida das pessoas. Dentre vários fatores que podem tornar uma sociedade mais ou menos segura, está a boa organiza¸cão e uso das for¸cas policiais. Este trabalho apresenta uma abordagem computacional baseada em técnicas de Pesquisa Operacional para o problema de aloca¸cão de for¸cas policiais em uma área urbana. Tal problema consiste em deter-minar onde unidades policiais, a pé ou em algum ve´ıculo, devem ser posicionadas de forma a prover uma cobertura eficiente de uma área, de acordo com critérios pré-determinados. São apresentados dois modelos matemáticos para descrever o problema. O primeiro é um modelo determin´ıstico baseado no modelo de cobertura máxima gradual e no modelo de cobertura máxima com restri¸cões de obrigatoriedade de proximidade. Ele aparece em duas versões, com poucas diferen¸cas entre si, sendo a última mais rápido de ser resolvido por softwares de otimiza¸cão inteira-mista, tal como o CPLEX. Além da solu¸cão exata, foram propostos algoritmos baseados em simulated annealing e busca tabu para resolu¸cão de grandes instâncias. O segundo modelo é estocástico, baseado na teoria das filas, no Modelo De Filas em Hipercubo (Hypercube Queuing Model), no MERLP(Maximal Expected Response Location Pro-blem) e no primeiro modelo. Para este modelo, foi proposta uma heur´ıstica baseada no VND (Variable Neighborhood Descent), com inicializa¸cão por busca tabu.

(10)

MENDES, Nilson Felipe Matos, M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, September, 2015. Combinatorial Optimization Techniques Applied to the Creation of Strategies for Urban Policing. Adviser: Andr´e Gustavo dos Santos.

The public security provision is a matter of great importance in public administra-tion that directly affects the quality of life. Among many factors that can turn a society a more or less safe, is the good organization and use of police forces. This work presents a computational approach based on Operations Research techniques to the problem of police forces allocation in an urban area. Such problem is to define where police units, on foot or in a vehicle, should be positioned to provide efficient coverage of an area, according to predetermined criteria. Two mathematical models are presented to describe the problem. The first is a deterministic model based on gradual maximum coverage model and maximum coverage model with proximity mandatory restrictions. It appears in two versions, with few differences between them, and the last is faster to be solved by a mixed-integer optimization software, such as CPLEX. Besides the exact solution we have proposed algorithms based on simulated annealing and tabu search for solving large instances. The second model is stochastic, based on queuing theory, the Hypercube Queuing Model, the MERLP (Maximal Expected Response Location Problem) and the first model. For this mo-del, a heuristic based on VND (Variable Neighborhood Descent) was proposed, using a tabu search to provide a initial solution.

(11)

1

1 Introdu¸c˜

ao Geral

A seguran¸ca pública é uma das áreas de maior interesse e preocupa¸cão da ad-ministra¸cão pública. Ela impacta diretamente na qualidade de vida da popula¸cão e sobre sua percep¸cão de bem estar.

No Brasil, esta questão está no centro das aten¸cões há pelo menos uma década, devido aos altos ´ındices de criminalidade, que colocam o pa´ıs nas listas de pa´ıses mais violentos do mundo.

Dentro do intenso debate ideológico a cerca de quais medidas devem ser tomadas para tornar uma área mais segura, frequentemente são apontadas a falta de um bom treinamento e estratégia de a¸cão das for¸cas policiais.

Existe também uma falta de planejamento, que reflete na maneira em que são alocados os policiais e executado os patrulhamentos. Em grande parte das vezes, não existe uma estratégia sólida de policiamento ou quando existe, ela baseia-se apenas na experiência dos policiais encarregados do servi¸co.

Outro ponto importante é a falta de cultura de utiliza¸cão de ferramentas com-putacionais no processo de tomada de decisão ou gerenciamento de dados pelos órgãos policiais do Brasil. Embora possamos encontrar trabalhos relatando projetos de utiliza¸cão de recursos computacionais nos Estados Unidos, datando do inicio da década de 1970 (CERQUEIRA, 2005), no Brasil essa prática ainda é incipiente. A isso se soma a falta de compartilhamento desses dados entre institui¸cões que deve-riam trabalhar de maneira colaborativa, por exemplo, Policia Civil, Militar e Federal, (GOMES, 2009) e a baixa quantidade de pesquisa cient´ıfica na área de softwares de apoio a decisão voltados para seguran¸ca pública no pa´ıs.

´

E neste contexto que este trabalho se insere. Visa-se, através dos modelos e técnicas de otimiza¸cão combinatória apresentadas a seguir, prover uma ferramenta computacional para auxiliar o planejamento do patrulhamento policial. Mais espe-cificamente, deseja-se determinar onde cada uma das unidades dispon´ıveis devem ser alocadas, considerando caracter´ısticas tais como: estat´ısticas de criminalidade, o meio de transporte utilizado pelos policiais, a topologia da cidade, o raio de a¸cão de cada unidade, etc; de forma a maximizar ou minimizar alguma métrica de eficiência. Para isso, foram propostos dois modelos matemáticos para descrever o problema e, por conseguinte, testados métodos de resolu¸cão destes usando alguns softwares de otimiza¸cão inteira-mista e algumas heur´ısticas.

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cruzamentos ou curvas como um vértice. Atribuindo-se um lucro a cobertura de cada uma das arestas, busca-se encontrar uma disposi¸cão das unidades nos vértices de forma a maximizar o lucro resultante da cobertura das arestas dentro um raio de a¸cão.

Foram testados, para a resolu¸cão, o uso do Symphony (RALPHS; G ÜZELSOY, 2005), uma biblioteca open source de resolu¸cão de problemas inteiros-mistos, uma heur´ıstica baseada no simulated annealing e uma heur´ıstica baseada na busca tabu, sendo que, para haver uma melhor avalia¸cão das diferen¸cas de desempenho entre as duas heur´ısticas, o critério de parada foi aproximadamente o mesmo para ambos.

Depois de se executar algumas mudan¸cas na defini¸cão das variáveis do modelo, foram utilizados o solver comercial Cplex e algumas versões melhoradas da busca tabu utilizadas anteriormente. Dentre as melhoras na busca tabu, as mais relevantes foram a inclusão de um novo método de penaliza¸cão de respostas infact´ıveis e uma etapa de pertuba¸cão para tentar cobrir arestas de dif´ıcil acesso.

O segundo modelo é, também, um modelo de cobertura, mas desta vez es-tocástica. Ele é uma adapta¸cão do Minimum Expected Response Location Problem, desenvolvido para descrever a aloca¸cão de ambulâncias por Rajagopalan e Saydam (RAJAGOPALAN; SAYDAM, 2009). Este usa um outro modelo proposto por Lar-son (LARSON, 1974) para descrever sistemas de filas em que os servidores vão até os clientes atendê-los: o Modelo de Filas em Hipercubo (Hypercube Queuing Model). Nesta adapta¸cão, foram inclu´ıdas as restri¸cões de obrigatoriedade de proximidade presentes no primeiro modelo.

Para a resolu¸cão do modelo estocástico, usou-se duas técnicas: o algoritmo de aproxima¸cão de Jarvis (JARVIS, 1985), para uma rápida determina¸cão dos valo-res dos parâmetros oriundos da fila em hipercubo e uma heur´ıstica baseada na meta-heur´ıstica VND (Variable Neighborhood Descent) para percorrer o espa¸co de solu¸cões.

Foram utilizados dados reais da topologia de três cidades do estado de Minas Gerais, de diferentes portes: Salinas (aprox. 40 mil habitantes), Vi¸cosa (aprox. 80 mil habitantes) e Governador Valadares (aprox. 250 mil habitantes). Estes dados foram coletados a partir de mapas das três cidades importados para o software Ge-ogebra, com o qual foi poss´ıvel tra¸car um grafo representando todos os cruzamentos das vias e assim obter-se os dados de comprimento dos logradouros e adjacência das esquinas.

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1.1. OBJETIVOS 3 testes, indices gerados de maneira aleat´oria.

1.1 Objetivos

O objetivo geral deste trabalho foi a cria¸cão e análise de técnicas de aux´ılio à decisão, baseadas em técnicas de otimiza¸cão combinatória, para o problema de planejamento de opera¸cões de patrulha policial estática ou móvel. Para que esse objetivo fosse alcan¸cado, alguns outros objetivos secundários também precisaram ser cumpridos, tais como:

• Coletar dados reais que ajudem a pol´ıcia em sua tarefa de planejamento de a¸c˜ao.

• Propor um modelo de cobertura determin´ıstica para ajudar na tarefa de alocar unidades policiais em uma ´area urbana, obedecendo as restri¸c˜oes de efetivo dispon´ıvel.

• Pesquisar, analisar, comparar e propor métodos de atua¸cão das for¸cas policiais que possam ser descritas e testadas através de modelos matemáticos.

• Propor métodos heur´ısticos eficientes para a resolu¸cão do modelo de cober-tura determin´ıstico que sejam capazes de lidar com instâncias que descrevem cidades ao menos de médio porte.

• Propor um modelo de cobertura estocástica que seja capaz de lidar com as caracter´ısticas de imprevisibilidade e urgência t´ıpicas dos servi¸cos de atendi-mento a ocorrências policiais.

• Propor métodos de resolu¸cão para modelos estocásticos que sejam, ao mesmo tempo, eficientes em encontrar boas respostas e não necessitem de grandes recursos computacionais ou tempo para serem executados.

1.2 Resultados

Nos Cap´ıtulos 2 a 4 são apresentados os resultados obtidos neste trabalho. Mais especificamente: o Cap´ıtulo 2 refere-se aos resultados obtidos pelo simulated anne-aling e busca tabu com a primeira versão do modelo determin´ıstico; o Cap´ıtulo 3 refere-se aos resultados obtidos pela versão melhorada da busca tabu com a segunda versão do modelo determin´ıstico; e o Cap´ıtulo 4 refere-se aos resultados obtido com o algoritmo VND com o modelo estocástico.

1.2.1 Modelo determin´ıstico

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de homens e ve´ıculos e uma cidade, descrita através de um grafo, com as ruas sendo arestas e os cruzamentos vértices, busca-se dizer onde cada grupo de policiais de-verá estar para conseguir uma cobertura que propicie uma maior recompensa. Para definir a recompensa da cobertura, é associado a cada rua (aresta) um lucro por esta ser coberta. Já para definir se a rua é coberta, é determinado um limite para o raio de a¸cão, dependente da forma de locomo¸cão da unidade. Uma vez que uma rua possa ser alcan¸cada por uma unidade qualquer, em um tempo menor que este limite, esta será considerada coberta.

As restri¸cões do modelo determinam que todas as ruas devem ser consideradas cobertas se dobrarmos o limite para o raio de a¸cão (restri¸cão de obrigatoriedade de demanda) e que sejam respeitados o número de unidades dispon´ıveis e seus alcances.

Na primeira versão do modelo, uma variável binária definiu se deveria ser alocada uma unidade de um determinado tipo em um vértice, para cada vértice e cada tipo de unidade. Para resolver esta versão foi utilizada a biblioteca Symphony (RALPHS; G ÜZELSOY, 2005) e duas heur´ısticas, uma baseada em busca tabu e outra no simulated annealing, sendo os testes executados com duas cidades fict´ıcias e duas cidades reais, Vi¸cosa e Salinas, ambas localizadas no estado de Minas Gerais.

Com o uso de um tempo de execu¸cão limite de duas horas, o Symphony não apresentou resposta para as instâncias de uma das cidades fict´ıcias e para algumas das instâncias das cidades reais chegou a gastar mais de uma hora para chegar ao resultado ótimo.

As duas heur´ıstica apresentaram uma dificuldade em encontrar solu¸cões fact´ıveis em todas as instâncias, embora tenham conseguido muitas vezes bons valores de fun¸cão objetivo. A busca tabu, nos testes, mostrou ter um desempenho superior ao do simulated annealing.

Na segunda versão do modelo, a variável binária que indicava se havia unidades de um dado tipo em cada vértice se tornou uma variável inteira, indicando agora a quantidade de unidades de cada tipo alocada no vértice. Essa mudan¸ca trouxe uma grande melhora no tempo da resolu¸cão exata e, junto com a mudan¸ca para o solver CPLEX, fez com que o tempo gasto para se chegar a resposta ótima caisse para menos de uma hora, menos nas instâncias da cidade de Governador Valadares-MG.

(15)

1.2. RESULTADOS 5 chegar a resposta ótima, com um gap de no máximo 22% considerando apenas as solu¸cões fact´ıveis.

1.2.2 Modelo estoc´

astico

No Cap´ıtulo 4 ´e apresentado um modelo de cobertura estoc´astico, inspirado no

Minimum Expected Response Location Problem - MERLP, definido por Rajagopa-lan e Saydam (RAJAGOPALAN; SAYDAM, 2009) para descrever um problema de ambulâncias. Foram adicionadas algumas restri¸cões para simular a condi¸cão de obrigatoriedade de proximidade presente no modelo determin´ıstico dos Cap´ıtulos 2 e 3 e que, devido a sua forma, podem ser facilmente adaptados ao contexto do patrulhamento e atendimento policial.

O objetivo maior nesse capitulo foi testar a viabilidade da abordagem utilizando o modelo de filas em hipercubo do que propriamente fazer uma avalia¸cão do de-sempenho da heur´ıstica apresentada. Ainda assim, foi apresentado um algoritmo baseado na meta-heur´ıstica VND com dois métodos de inicializa¸cão da solu¸cão, um aleatório e outro baseado na maximiza¸cão da cobertura (técnica semelhante a utili-zada em (RAJAGOPALAN; SAYDAM, 2009)), através do algoritmo de busca tabu utilizado no Cap´ıtulo 3. Nos testes realizados foram utilizados os dados das cida-des de Governador Valadares e Vi¸cosa. Os valores dos lucros da cobertura de cada aresta foram usados para definir a demanda esperada.

Nos testes, viu-se que o algoritmo proposto não foi capaz de encontrar solu¸cões viáveis usando os mesmo raios de a¸cão utilizados nos cap´ıtulos anteriores. Entre-tanto, ao se aumentar a velocidade média das unidades (aumentando, consequente-mente, o raio de a¸cão destas), os resultados foram bastante satisfatórios.

(16)

(17)

7

2 M´etodos para o problema de

posiciona-mento de unidades policiais

1

Resumo

A seguran¸ca é uma das áreas que mais exige aten¸cão na admi-nistra¸cão pública, tendo consequências diretas no bem estar da sociedade. Criar estratégias de conten¸cão de delitos, assim como rápido atendimento a situa¸cões emergenciais quando elas surgem é um desafio. Neste trabalho, busca-se utilizar de técnicas de Pes-quisa Operacional para resolver o problema de posicionamento de unidades policiais, de forma a maximizar a cobertura policial em uma cidade. É proposto um modelo matemático para descrever o problema e dois métodos heur´ısticos, baseados em Busca Tabu e Simulated Annealing para resolvê-lo. Os resultados mostram que a Busca Tabu teve um desempenho superior ao do Simulated An-nealing e que, para as instâncias testadas, na maioria dos casos o modelo pode ser resolvido em tempos inferiores a trinta minutos.

Abstract

Safety is one of most exigent areas in public administration, having direct consequences on people welfare. Creating contention strate-gies for crimes or a fast answer to emergencies situations when they arise is a challenge. In this paper, we use Operations Research tech-niques for solving the problem of police units positioning, in order to maximize the police coverage in a city. We propose a model for describing the problem and heuristic methods based on tabu search and simulated annealing for solving it. The results show that tabu search had presented a better performance than simulated annea-ling and also, for the tested instances, on most of cases, the model could be solved in less than thirty minutes.

2.1 Introdu¸c˜

ao

A questão da seguran¸ca pública é um dos pontos chaves de qualquer pol´ıtica de bem estar social. É pouco razoável pensar-se em satisfa¸cão de uma qualidade m´ınima de vida para a popula¸cão sem que essa tenha seguran¸ca. Em áreas urbanas, os n´ıveis de criminalidade costumam causar maiores preocupa¸cões do que em ambientes rurais,

1 _{Neste cap´ıtulo est´}_{a inclu´ıdo uma vers˜}_{ao corrigida do artigo} _M´_{etodos para o problema de}

(18)

devido à alta concentra¸cão populacional, que faz o número de potenciais lesados ser maior.

O provimento de seguran¸ca para a popula¸c˜ao passa, dentre outras coisas, por criar um policiamento preventivo e emergencial eficiente. Este procura evitar que crimes sejam executados, ao mesmo tempo que, sendo eles executados, o atendi-mento as v´ıtimas e o in´ıcio da busca dos criminosos sejam feitos da maneira mais r´apida poss´ıvel.

Tradicionalmente, as táticas de policiamento são criadas com base na experiência dos agentes policiais e por um conhecimento sobre quais as áreas com maior ´ındice de criminalidade. Entretanto, esta prática pode se mostrar ineficiente, por diversos fatores, como: áreas de grande tamanho, distribui¸cões pouco óbvias de ocorrências policiais ou mesmo inabilidade dos policiais.

No Brasil, em especial, o problema da seguran¸ca pública é motivo de preocupa¸cão há muito tempo e vem se tornando cada vez pior. Waiselfisz (2013) mostra que a taxa de homic´ıdios por 100 mil habitantes foi de 11,7 em 1980 para um pico de 28,9 em 2003 e chegou em 2011 em 27,1. Portanto, no per´ıodo compreendido entre 1980 a 2003, observou-se um crescimento anual médio de 4% no número de homic´ıdios por 100 mil habitantes.

Com estes números, o Brasil se destaca como um dos pa´ıses mais violentos do mundo (CERQUEIRA, 2005). A situa¸cão se encontra em um n´ıvel de alarde tal que, embora o pa´ıs seja isento de disputas territoriais, movimentos emancipatórios, guerras civis ou outros conflitos relevantes, entre 2008 e 2011, ocorreram nele mais de 200 mil homic´ıdios. Este valor é superior, de maneira absoluta e relativa aos 12 maiores conflitos armados do mundo entre 2004 e 2007 e quase igual ao total das mortes diretas causadas pelos 62 maiores conflitos armados do mesmo per´ıodo (WAISELFISZ, 2013).

Tais números, mesmo que desconhecidos em termos precisos, geram um medo frequente em todos, em especial nos moradores das áreas mais violentas. Além disso, o fracasso das pol´ıticas de combate à violência vem criando um sentimento de instabilidade e inseguran¸ca na popula¸cão (ABREU; LOURENÇ O, 2010), que se demonstra na falta de cren¸ca na capacidade do Estado garantir seguran¸ca tanto por parte das v´ıtimas quanto dos delinquentes. A experiência coletiva de insegu-ran¸ca pessoal vem fazendo com que a popula¸cão se atente mais aos problemas de manuten¸cão da ordem pública nas cidades brasileiras (SILVA, 2004).

Para atender o anseio da popula¸cão por mais seguran¸ca, uma das estratégias ado-tadas é servir a pol´ıcia de ferramentas computacionais para melhorar sua presta¸cão de servi¸co e modelos integrados de gestão da seguran¸ca pública. Essa tendência, entretanto, vem sendo observada desde os anos 70 (CERQUEIRA, 2005).

(19)

2.2. REFER ÊNCIAL TE ÓRICO 9 para apoiar o registro de eventos e sua análise. Entre eles,tem-se o sistema ReCap (BROWN, 1998), que une técnicas de data mining e fusão de dados para análises criminológicas; o ExpertCop (FURTADO; VASCONCELOS, 2004), que serve de treinamento para policiamento preventivo; o COPLINK (CHEN et al., 2003), que permite, por exemplo, a liga¸cão entre informa¸cões para aux´ılio em investiga¸cões; e o projeto (LESTE, 2014), desenvolvido na UFMG pelo Laboratório de Estat´ıstica . Neste trabalho, a temática de cria¸cão de dispositivos computacionais para me-lhoria dos servi¸cos policiais será atacada do ponto de vista da Pesquisa Operacional. Mais especificamente, pelo uso de metaheur´ısticas, tentar-se-á resolver o problema de posicionamento de unidades policiais em um meio urbano.

O problema supracitado parte da premissa de que, sendo necessários três fatores para a ocorrência de um crime (um ofensor motivado, um alvo dispon´ıvel e ausência de um agente repressor (COHEN; FELSON, 1979)) e de que uma vez que haja policiais próximos de uma certa localidade, estes fazem sua presen¸ca ser sentida por um eventual infrator; para se diminuir a quantidade de crimes que acontecem em um certo local, basta fazer com que haja uma cobertura desta por policiais, a uma distância razoável de qualquer ponto.

Sendo assim, dada uma quantidade pré-definida de policiais, cada um com um raio de a¸cão limitado e dependente basicamente da forma que usam para se loco-mover (viaturas, bicicletas, a pé, etc. . . ), devemos dizer qual a melhor maneira de posicionar estes policiais, de tal forma que unidas as suas áreas de a¸cão, tenhamos uma cobertura máxima. Trabalhamos, ainda, com a restri¸cão de que toda área deve ser coberta por pelo menos uma unidade policial que esteja a uma distância deste ponto de, no máximo, o dobro de seu raio de a¸cão.

Nas próximas se¸cões, será apresentado um resumo sobre trabalhos na área de Pesquisa Operacional que lidam com o problema de cobertura policial e as abor-dagens que eles utilizaram. Também é mostrado um pequeno comparativo entre o problema desse artigo e outros relacionados a resposta a emergências. A seguir, serão descritos um modelo matemático utilizado para definir formalmente o problema e também, heur´ısticas destinadas a resolvê-lo. Por fim, serão exibidos os resultados obtidos por estas heur´ısticas e a compara¸cão destes com os resultados obtidos via modelo matemático.

2.2 Referˆencial Te´

orico

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dúvidas sobre a serventia de recursos computacionais para fins policiais, os estudos dessa questão cresceram e ainda são fortes mesmo depois de quase 50 anos.

Problemas relacionados à manuten¸cão da seguran¸ca pública e de maneira mais restrita, ao patrulhamento policial, estão inseridos em um conjunto maior de pro-blemas, que é o resposta a emergências. Nele, incluem-se, além de problemas que envolvem servi¸cos policiais, servi¸cos de ambulâncias e de bombeiros.

De fato, pode-se notar que quando uma pessoa sofre um infarto ou quando um banco é assaltado, o tempo entre a chamada de socorro e o atendimento deste socorro é fator primordial para a satisfa¸cão do requerente. Como é dito em (SALADIN, 1983), ambos têm a missão de prover um servi¸co em um determinado local, em um determinado prazo.

Entretanto, o servi¸co policial tem, algumas diferen¸cas em rela¸cão a outros servi¸cos de emergência. Primeiramente, a pol´ıcia têm além da fun¸cão responsiva, também a preventiva, ou seja, além de encontrar criminosos após eles efetuarem um delito, ela também deve evitar que esse delito ocorra. Segundo, os recursos policiais tem uma maior mobilidade do que, por exemplo, os do corpo de bombeiros. E, por fim, a presen¸ca de um recurso policial em um determinado ponto tem o poder de inibir a taxa de chamadas emergenciais naquele ponto, algo que dificilmente acontecerá, por exemplo, em rela¸cão a um corpo de bombeiros.

Desta forma podemos ver que, embora se possa tomar emprestado algumas solu¸cões de estudos relacionados a outros servi¸cos de emergência, o patrulhamento policial tem caracter´ısticas únicas que o tornam interessante.

Atualmente, os principais trabalhos relacionados a essa área concentram-se, prin-cipalmente, em constru¸cões de modelos probabil´ısticos(LI et al., 2011) (LIN et al., 2013a)(BUDGE; INGOLFSSON; ERKUT, 2009a), de simula¸cão via multiagentes (VASCONCELOS, 2008) (ZHANG; BROWN, 2013) de rotas de ve´ıculos e aloca¸cão espacial destes. O presente trabalho, entretanto, foca a constru¸cão e resolu¸cão de um modelo de cobertura determin´ıstica.

2.3 Materiais e m´etodos

Nesta se¸cão será apresentado o modelo matemático utilizado para descrever o pro-blema formalmente, assim como as heur´ısticas propostas para resolvê-lo.

2.3.1 Modelo matem´

atico

(21)

2.3. MATERIAIS E M ÉTODOS 11 Neste modelo, assume-se que cada rua (trecho de via urbana compreendido entre dois cruzamentos) possui um comprimento, um sentido de movimenta¸cão, restri¸cões de passagens de certos tipos de ve´ıculos e uma importância (ou lucro) associado a necessidade de ser coberta por uma unidade policial. O tempo para percorrer as ruas leva em considera¸cão a velocidade média que pode ser obtida em uma via, o sentido que a unidade está trafegando (mão, contramão), o tipo de unidade (unidades sens´ıveis a contramão, como carros e motos, ou insens´ıveis, como unidades a pé) e o comprimento da rua.

A cidade foi modelada como sendo um grafo ponderado e direcionado, tal que dois nós (cruzamentos)v ewque são adjacentes sempre são unidos por duas arestas (ruas), uma indo devparawe outro fazendo o sentido contrário, sendo que o sentido da contramão tem uma distância aumentada em 50%, para simular a dificuldade das unidades sens´ıveis a contramãos em andar nesse sentido. Assim, uma instância do problema é dada por um grafo G = (V, E), sendo V um conjunto de vértices representando os cruzamentos de ruas, e E um conjunto de arestas representando trechos de rua entre cruzamentos. Para cada aresta r ∈ E são dados o lucro lr

de sua cobertura por unidades policiais e seu comprimento dr (distˆancia entre seus

cruzamentos limitantes).

A entrada contém, ainda, um conjuntoU de unidades policiais dispon´ıveis. Cada unidade i ∈ U é de algum tipo dentre os definidos em um conjunto Q. Para cada tipo de unidade m ∈Q, trecho de rua r ∈ E e cruzamento j ∈V, são definidos os valores binários prjm e p′rjm, que valem 1 se uma unidade do tipo m localizada em

j consegue cobrir o trecho r em tempo TM AX e 2TM AX respectivamente, e 0 caso

contrário. Tais valores são pré-calculados usando-se as distâncias dr.

Para constru¸cão do modelo são usadas as seguintes variáveis de decisão:

• xij: variável binária igual a 1 se uma unidade i é alocada no local j, 0 caso

contr´ario

• ar: variável binária igual a 1 se o trecho de ruaré coberto por alguma unidade

policial dentro do tempo TM AX, 0 caso contr´ario

• a′

r: similar a anterior, mas com tempo 2TM AX

O dito modelo ´e mostrado abaixo:

maxZ =X

r∈E

(22)

X

j∈V

xij ≤1, ∀i∈U (2.2)

ar ≤

X

i∈U

X

j∈V

X

m∈Q

prjmxijqim ∀r∈E (2.3)

a′_r ≤X

i∈U

X

j∈V

X

m∈Q

p′_rjmxijqim ∀r∈E (2.4)

X

r∈E

a′_r =|E| (2.5)

(2.6)

xij ∈ {0,1}, ∀i∈U, j∈V (2.7)

ar ∈ {0,1}, ∀r ∈E (2.8)

a′r ∈ {0,1}, ∀r ∈E (2.9)

Na fun¸cão objetivo (2.1), é contabilizado o lucro de todas arestas que são cobertas (alcan¸cadas em tempo TM AX) por ao menos uma unidade policial.

Nas restri¸cões (2.2) se diz que nenhuma unidade pode ser alocada em dois locais distintos, o que seria uma impossibilidade f´ısica. Pelas restri¸cões (2.3), o valor da variável que define se uma aresta é coberta, é definida através da verifica¸cão se existe alguma unidade alocada em um ponto suficientemente próximo desta aresta. Em (2.4) é feita basicamente a mesma coisa, mas a distância considerada é dobrada. Por fim, na restri¸cão (2.5), temos a questão da grada¸cão da cobertura sendo tratada. Ai é dito que toda aresta deve ser alcan¸cada por ao menos uma unidade policial num tempo máximo 2TM AX. As demais restri¸cões indicam que todas as variáveis

s˜ao bin´arias.

2.3.2 Heur´ıstica construtiva

A heur´ıstica construtiva proposta para esse modelo basicamente busca um dos nós que mais vai aumentar o valor da fun¸cão objetivo naquela itera¸cão, isto é, o nó cuja soma dos lucros associados as arestas que ele cobrir e que ainda não foram cobertas for máximo.

Existem|Q|listas distintas de nós associados aos lucros que ele pode gerar. Estas listas são ordenadas do nó mais lucrativo para o nó menos lucrativo.

Em cada itera¸cão do algoritmo, é selecionado aleatoriamente um tipo de unidade que ainda possui alguma unidade dispon´ıvel. Em havendo apenas um único tipo com unidades dispon´ıvel, ele será escolhido sem sorteio.

(23)

2.3. MATERIAIS E M ÉTODOS 13 A heur´ıstica termina de executar em uma das três situa¸cões: quando se esgotarem as unidades, quando todas as arestas já tiverem sido cobertas ou quando em, uma itera¸cão, nenhuma nova unidade for inserida (em uma improvável situa¸cão de todos os vértices já tiverem sido ocupados por uma unidade).

2.3.3 Busca Tabu

A busca tabu é uma meta-heur´ıstica baseada em busca local em que algumas al-tera¸cões na resposta corrente são proibidas de serem realizadas por um certo número de itera¸cões. Estas altera¸cões proibidas ficam armazenadas em uma estrutura cha-mada lista tabu, de onde vem o nome do algoritmo.

Nesta abordagem, inicializa-se o algoritmo com a heur´ıstica construtiva descrita na se¸c˜ao anterior. Ap´os isso, come¸ca-se a busca local.

A busca local que foi utilizada sorteia uma das unidades para trocar de lugar, indo para um dos nós adjacentes ao nó que ela está no momento. São testados todos os nós adjacentes. O que obtiver a melhor resposta é escolhido para ser o destino da unidade (vide Algoritmo 1 ).

Algoritmo 1 Pseudoc´odigo da busca tabu. A busca local realizada no loopfor all

´e utilizada tamb´em no algoritmo simulated annealing 1: s∗ ← heuristicaConstrutiva()

2: s←s*

3: itSemM elhoras←0 4: objM elhor ←f(s∗)

5: while itSemM elhoras <2∗ |U| do 6: rem← sorteiaUnidade(s)

7: s′ _←_s₋_rem

8: itSemM elhoras+ +

9: for all viz in vizinhos(rem) do

10: obj ← testaFuncObjetivoVizinho(s′_, _viz)

11: if (obj > objM elhor AND satifazTabu(s′_{,s∗,viz) ) OR melhorGeral(s}′_,

viz) then

12: melhorV izinho←viz 13: melhorObj ←obj

14: if satisfazTabu(s′_, _s∗, _{melhorV izinho)} _then

15: s′ _←_s′₊_{melhorV izinho}

16: s←s′

17: if melhorGeral(s′_,_{melhorV izinho)}_then

18: s∗ ←s′₊_{melhorV izinho}

19: itSemM elhoras←0

(24)

somando todos os tipos. A lista tabu foi ajustada tamb´em de acordo ao n´umero de unidades, tendo tamanho |U|.

Um detalhe importante é que, para a avalia¸cão das respostas na busca tabu, a fun¸cão objetivo é alterada de modo a penalizar solu¸cões inválidas. Todas as arestas que não são cobertas, conforme a terceira restri¸cão do modelo matemático exposto acima, têm seu lucro descontado da fun¸cão objetivo. Sendo assim, em casos extremos, a fun¸cão objetivo pode ter valor zero ou até mesmo negativo.

2.3.4 Simulated Annealing

O Simulated Annealing é uma meta-heur´ıstica que simula o processo de resfriamento de uma liga metálica durante sua fabrica¸cão. Neste processo, a temperatura tem que diminuir lentamente para uma melhor cristaliza¸cão da estrutura.

Sendo assim, o simulated annealing é um algoritmo que efetua uma busca local e aceita a atualiza¸cão das respostas correntes, mesmo que com solu¸cões piores, de acordo com uma fun¸cão de probabilidade, regulada por uma temperatura, que cai lentamente, diminuindo o valor calculado pela fun¸cão de probabilidade.

A busca local que utilizamos na nossa abordagem é igual a descrita na busca tabu. Uma vez que uma unidade é sorteada, ela irá mudar do seu nó atual para o nó adjacente com melhor fun¸cão objetivo.

Aqui também é adotada a penaliza¸cão de respostas inviáveis descritas na se¸cão anterior.

Em rela¸cão aos parâmetros do simulated annealing, foi adotado um critério de parada baseado na temperatura m´ınima e no número de itera¸cões sem melhoras. Uma vez que a temperatura atingisse um m´ınimo de 0.01 ou o número de itera¸cões sem melhora atingisse um máximo de 2*|U|, o algoritmo se encerra. A temperatura inicial foi definida como 1 e o critério de atualiza¸cão desta foi de multiplicar o valor corrente por log2 1,99. Tais valores foram obtidos após testes de calibra¸cão.

2.4 Descri¸c˜

ao do experimento

Para a realiza¸cão deste experimento foram utilizados os tra¸cados de quatro cidades distintas, duas fict´ıcias e duas reais. Entre as fict´ıcias temos uma que é um grafo de 674 arestas e 255 vértices (que será chamada de Fic1) e outra um grafo de 481 vértices e 1428 arestas (que será chamada de Fic2). Já as cidades reais são Salinas-MG (que gerou um grafo de 980 vértices e 1475 arestas) e Vi¸cosa-Salinas-MG (que gerou um grafo de 1436 vértices e 1800 arestas) e que têm cerca de 40 mil e 70 mil habitantes, respectivamente (IBGE , 2010).

(25)

2.5. RESULTADOS E DISCUSS ÃO 15 Foram testados, para cada uma dessas cidades, diferentes números de unidades policiais, assim como também de tipos de unidades policiais. Nas cidades artificiais, foram criadas algumas varia¸cões aleatórias quanto ao número de contramãos e suas localiza¸cões, como também o número de ruas restritas para algum tipo de unidade (que nesse caso causaram a remo¸cão da rua no momento de se calcular a cobertura da unidade). As configura¸cões utilizadas possu´ıam policiais a pé (com raio de alcance de 500 metros) ou de viatura (com raio de alcance de 1000 metros) e foi considerado, para fim de dimensionamento do efetivo, que cada unidade possu´ıa sempre um par de policiais.

No total foram geradas 18 instâncias. Para cada uma delas, o modelo matemático foi resolvido utilizando o software de otimiza¸cão inteira-mista Symphony (RALPHS; G ÜZELSOY, 2005), com tempo máximo de duas horas. No caso das heur´ısticas, cada instância foi resolvida 40 vezes, sendo recolhidos, a partir disso, os valores médios, variâncias, máximos e m´ınimos dos tempos de execu¸cão e valor de fun¸cão objetivo obtidos.

Todos os testes foram realizados em um computador com processador Intel Core i5-3330 de 3.0 GHz, 8 GB de mem´oria RAM e sistema operacional Windows 7.

2.5 Resultados e Discuss˜

ao

O primeiro resultado analisado nos testes das instâncias descritas anteriormente foi sobre a factibilidade destas. Foi observado que, embora as cidades artificiais permitissem um número de unidades pequeno (pelo menos duas unidades a pé e duas em viaturas), as reais eram mais exigentes em rela¸cão ao tamanho do efetivo. Um primeiro ponto em rela¸cão aos resultados exatos, é de que o tamanho da ci-dade, por si só, tem pouca influência na “intratabilidade” do problema. O Symphony não conseguiu, por exemplo, encontrar a resposta para nenhuma das instâncias de Fic2 no tempo de duas horas, mas encontrou para todas as instâncias fact´ıveis Vi¸cosa em menos de uma hora e meia, mesmo esta última cidade tendo gerado um grafo com quase o triplo de vértices.

Em rela¸cão à qualidade das respostas encontradas pelo modelo, pode-se observar que, no caso de Fic1 (a menor de todas as cidades), a cobertura ótima correspondia também a cobertura total de arestas do grafo. Entretanto, essa situa¸cão só se verificou para instâncias desta cidade.

Na Figura 1, pode-se ver como as unidades foram distribu´ıdas nas melhores solu¸c˜oes do modelo (nem sempre ´otimas) das cidades de Vi¸cosa e Salinas.

(26)

Figura 1 – Os triângulos azui representam as viaturas e os pontos vermelhos unida-des de policiais a pé. As figuras 2(a), 2(b) e 2(c) ilustram as solu¸cões na cidade de Vi¸cosa-MG e 2(d), 2(e) e 2(f) na cidade de Salinas-MG.

unidades a p´e mais a leste, norte e sudeste no caso da cidade de Salinas.

Em rela¸cão a fun¸cão objetivo, como exposto na Tabela 1, incrementos de uma unidade de cada tipo na cidade de Vi¸cosa geraram melhoras por volta de 5% apenas. Isso pode ser visto, também, através da compara¸cão entre as figuras 2(b) e 2(c), que demonstram uma acumula¸cão de unidades nas regiões norte e nordeste da cidade, o que provavelmente não seria necessário numa situa¸cão real.

A situa¸cão descrita no parágrafo anterior acontece, também, nas instâncias da cidade de Salinas, mas em uma menor escala, pois nesta, os incrementos obtidos são maiores e a acumula¸cão aparente de unidades em determinadas regiões é menos sens´ıvel. Iniciando a análise dos resultados obtidos pelas heur´ısticas, a primeira coisa a se falar é sobre a eficiência das respostas fornecidas pela heur´ıstica construtiva. Como esta serve de inicializa¸cão para os outros algoritmos, considera-se importante que ela seja rápida e traga já respostas razoáveis.

(27)

2.5. RESULTADOS E DISCUSS ÃO 17 para as instâncias da cidade Fic1, os valores médios das respostas chegou a 60% do valor da solu¸cão ótima.

Partindo para o simulated annealing, observou-se que seu tempo de execu¸cão médio é entre 20% a 100% maior que o tempo gasto pelo algoritmo construtivo para a mesma instância, o que indica que, primeiramente, o algoritmo construtivo já entrega uma resposta próxima ao melhor valor que o simulated annealing pode alcan¸car e que o primeiro limita razoavelmente o segundo em rela¸cão do tempo de execu¸cão.

Em um comparativo com a solu¸cão ótima, o simulated annealing entrega respos-tas médias entre 19% a 93% do valor da solu¸cão ótima, chegando a alcan¸cá-la no melhor caso de várias instâncias.

Tabela 1 – Comparativo entre os resultados da solu¸cão do modelo matemático e do algoritmo construtivo. Os valores em destaque indicam valores não ótimos, obtidos ao fim de duas horas. Na descri¸cão das instâncias está explicito o número de viaturas (Viat.) e unidades a pé (Ped.) em cada

Instˆancia

ID

Exato Construtivo

Solu¸c˜ao Tempo (s)

Solu¸c˜ao m´edia

Desvio padr˜ao

Tempo m´edio

(s)

Desvio padr˜ao

Salinas 1(3 Viat. 3 Ped.) 1 10631 424 -4069.97 2350.79 0.38 0.49 Salinas 2(4 Viat. 4 Ped.) 2 11302 4880 -4076.00 1655.52 0.60 0.50 Salinas 3(5 Viat. 5 Ped.) 3 11596 541 -3392.72 1583.20 0.90 0.30 Vi¸cosa 1(6 Viat. 6 Ped.) 4 12546 1666 -3408.90 526.22 1.80 0.41 Vi¸cosa 2(7 Viat. 7 Ped.) 5 13381 1114 -3292.32 534.19 2.30 0.46 Vi¸cosa 3(8 Viat. 8 Ped.) 6 13877 4071 -3079.60 652.14 3.05 0.22 Fic1 c1 (2 Viat. 2 Ped.) 7 1820 18 1050.00 43.08 0.03 0.16 Fic1 c2 (2 Viat. 2 Ped.) 8 1820 10 1050.55 80.30 0.03 0.16 Fic1 c3 (2 Viat. 2 Ped.) 9 1820 18 1119.43 81.04 0.03 0.16 Fic1 c1 (4 Viat. 4 Ped.) 10 1820 21 1130.47 70.26 0.18 0.38 Fic1 c2 (4 Viat. 4 Ped.) 11 1820 21 1159.65 27.65 0.18 0.38 Fic1 c3 (4 Viat. 4 Ped.) 12 1820 21 1164.03 34.42 0.13 0.33

Fic2 c1 (3 Viat. 3 Ped.) 13 - 7243 _54.55 _383.13 _0.20 _0.41

Fic2 c2 (3 Viat. 3 Ped.) 14 - 7281 _91.55 _456.47 _0.25 _0.44

Fic2 c3 (3 Viat. 3 Ped.) 15 - 7255 _-78.70 _271.91 _0.13 _0.33

Fic2 c1 (5 Viat. 5 Ped.) 16 - 7279 _265.08 _303.21 _0.43 _0.50

Fic2 c2 (5 Viat. 5 Ped.) 17 - 7317 _115.33 _272.91 _0.43 _0.50

Fic2 c3 (5 Viat. 5 Ped.) 18 - 7266 _289.03 _331.37 _0.43 _0.50

(28)

Por fim, como podemos ver na Tabela 2, em dezessete das dezoito instâncias, a resposta obtida pela busca tabu foi melhor do que a obtida pelo simulated annealing. Em compara¸cão com a resolu¸cão exata, observou-se, também, que as respostas obtidas pela busca tabu chegam em média a no m´ınimo 65% do valor ótimo da fun¸cão objetivo na metade dos casos onde a solu¸cão ótima foi encontrada, contra apenas 48% do simulated annealing.

A busca tabu alcan¸ca esses valores em média na metade do tempo da resolu¸cão exata nas instâncias de Fic 2 e em um ter¸co do tempo da resolu¸cão exata nas instâncias de Vi¸cosa. Em uma das instâncias da cidade de Salinas gastou um tempo 60 vezes inferior para encontrar uma resposta com 28% do valor ótimo.

(29)

2

.5

.

R

E

S

UL

T

AD

O

S

E

D

IS

C

US

S

˜AO

19

Tabela 2 – Comparativo entre o desempenho das heur´ısticas simulated annealing e busca tabu. Em negrito, a maior resposta média e com o fundo destacado, a maior resposta individual. Lista de siglas: Rs – Resposta média do simulated annealing; Rt – Resposta média da busca tabu; UbR Melhor resposta;σ(R) – Desvio padrão da resposta; T – Tempo médio; σ(T) – Desvio padrão do tempo

Simulated Annealing Busca Tabu

ID Rs UbR σ(R) Ts σ(T) Rt UbR σ(R) Tt σ(T) Rt/Rs Tt/Ts

1 2030.3 8223 4429.8 44.3 30.1 4735.7 ₉₁₆₉ _3996.1 _70.1 _35.0 _2.3 _1.6

2 2920.3 9169 3642.6 70.3 48.3 3192.7 ₉₁₉₅ _4082.5 _78.4 _55.6 _1.1 _1.1

3 2354.9 9169 4274.4 91.7 69.6 2603.7 ₉₁₄₆ _3722.7 _93.3 _73.4 _1.1 _1.0

4 6010.3 8369 1645.1 189.7 42.1 8319.0 ₁₁₆₈₅ _1874.6 _189.7 _42.1 _1.4 _1.0

5 6211.5 8274 2304.6 237.5 58.8 8922.4 ₁₂₁₆₀ _2078.1 _319.4 _88.5 _1.4 _1.3

6 9890.8 12550 1920.6 330.1 45.2 9514.0 ₁₂₂₇₄ _2065.5 _410.5 _137.9 _1.1 _1.2

7 1706.9 1820 185.3 3.4 0.9 1773.8 ₁₈₂₀ _112.7 _4.3 _1.1 _1.0 _1.3

8 1654.4 1820 214.0 3.2 1.2 1793.5 ₁₈₂₀ _101.1 _3.9 _0.9 _1.1 _1.2

9 1644.8 1820 222.5 3.1 1.1 1770.5 ₁₈₂₀ _130.4 _4.0 _1.3 _1.1 _1.3

10 1684.0 1820 166.4 7.6 2.6 1779.1 ₁₈₂₀ _101.1 _10.0 _2.6 _1.1 _1.3

11 1657.2 1820 186.0 7.5 2.9 1763.9 ₁₈₂₀ _126.7 _9.6 _2.5 _1.1 _1.3

12 1625.2 1820 218.5 6.6 2.6 1807.9 ₁₈₂₀ _48.5 _10.3 _2.0 _1.1 _1.5

13 2954.6 3917 666.3 17.5 7.3 3288.0 ₃₉₂₅ _925.4 _25.3 _10.3 _1.1 _1.4

14 2862.2 3893 778.5 16.5 7.5 3555.0 ₃₉₂₈ _538.5 _22.9 _6.4 _1.2 _1.4

15 2697.7 3850 807.9 15.5 7.6 3289.1 ₃₉₂₈ _927.6 _23.0 _9.9 _1.2 _1.5

16 2885.3 3925 658.3 32.0 14.9 3640.2 ₃₉₃₉ _423.2 _46.3 _12.9 _1.3 _1.4

17 3855.0 3939 95.6 72.3 9.3 3895.1 ₃₉₃₉ _53.4 _77.4 _9.5 _1.0 _1.1

(30)

Um último aspecto não abordado em torno do desempenho das heur´ısticas é o efeito da penaliza¸cão a respostas infact´ıveis. As penaliza¸cões em alguns casos foram grandes o suficiente para deixar a fun¸cão objetivo negativa. Foi o que aconteceu com o método construtivo, onde para muitas instâncias, a média das respostas ficou negativa e o pior caso teve quase 80% das arestas penalizadas e não contribuindo para a fun¸cão objetivo. No simulated annealing e na busca tabu, as médias já foram todas positivas, mas ainda houve piores casos com valores de fun¸cão objetivo negativo. Em uma visão geral, os testes acabaram mostrando que a obten¸cão de uma resposta viável com os métodos heur´ısticos, utilizando esta forma de penaliza¸cão, não acontece sempre.

2.6 Conclus˜

ao

Neste trabalho foi avaliada a eficiência de uma heur´ıstica construtiva e duas outras estratégias heur´ısticas baseadas em metaheur´ısticas na resolu¸cão do problema de posicionamento de unidades policiais. Pelo que foi mostrado na se¸cão anterior, viu-se que o deviu-sempenho da busca tabu viu-se mostrou superior ao simulated annealing. Entretanto, o alto valor dos desvios padrão das respostas indica que ainda se pode melhorar a qualidade dos resultados.

Outro ponto interessante é que existe coincidência na aloca¸cão de uma unidade para certos pontos ou região em várias instâncias da mesma cidade, na solu¸cão ótima.

Viu-se ainda que, para as instâncias testadas, o tamanho das cidades não é diretamente proporcional ao tempo gasto para se encontrar a solu¸cão ótima para esta cidade. Em cidades de mais de 100 mil habitantes talvez essa situa¸cão mude, mas isso ainda não foi verificado experimentalmente.

(31)

21

3 Heur´ıstica baseada em busca tabu para

o posicionamento de unidades policiais

1

Abstract Public safety is one of most demanding areas in pu-blic administration, having direct consequences on people welfare. Creating crime containment strategies or providing a fast answer to emergency situations when they occurs is a challenge. In this paper, we use Operations Research techniques to solve a police units positioning problem, in order to maximize the profit associa-ted with police coverage in a city. We propose a model to describe the problem, heuristic methods based on Tabu Search and a penalty function for infeasible solutions. The tests are performed using ins-tances with real street network of three different cities. The results show the efficacy of the penalty method, increasing the number of feasible solutions found, the good quality of the solutions genera-ted by the Tabu Search, and a low convergence time, even for large instances.

3.1 Introdu¸c˜

ao

A questão da seguran¸ca pública é um dos pontos chave de qualquer pol´ıtica de bem estar social. É dif´ıcil pensar em qualidade de vida para a popula¸cão sem que essa tenha seguran¸ca, principalmente nas áreas urbanas, onde os n´ıveis de criminalidade costumam causar maiores preocupa¸cões do que em ambientes rurais.

No Brasil, em especial, o problema da seguran¸ca pública é motivo de preocupa¸cão há bastante tempo, por conta dos altos e crescentes ´ındices de criminalidade. Por exemplo, em (WAISELFISZ, 2013) é mostrado que a taxa de homic´ıdios por 100 mil habitantes subiu de 11,7 em 1980 para um pico de 28,9 em 2003, e chegando a 27,1 em 2011. Com estes números, o Brasil se destaca como um dos pa´ıses mais violentos do mundo (CERQUEIRA, 2005).

Uma das medidas necessárias para reverter essa situa¸cão é criar um policiamento preventivo e responsivo eficiente, visando evitar que crimes sejam executados, e quando forem, agilizar o atendimento às v´ıtimas e iniciar rapidamente a busca dos criminosos.

1 _{Neste cap´ıtulo est´}_{a inclu´ıdo uma vers˜}_{ao corrigida do artigo}_M´_{etodos para o problema de}

(32)

Entretanto, as táticas de policiamento são criadas tradicionalmente com base apenas na experiência dos agentes policiais, por percep¸cões pessoais ou coletivas, muitas vezes sem base cient´ıfica. Porém, esta prática pode mostrar-se ineficiente, por diversos fatores, tais como: áreas de grande tamanho, distribui¸cões pouco óbvias de ocorrências policiais ou mesmo inabilidade dos policiais para criar boas táticas.

Com o intuito de melhorar a tarefa de criar táticas de policiamento, uma das op¸cões é servir a pol´ıcia de ferramentas computacionais para melhorar sua presta¸cão de servi¸co e modelos integrados de gestão da seguran¸ca pública. Essa tendência já vem sendo observada desde os anos 70 nos Estados Unidos, Canadá e Europa (CERQUEIRA, 2005); porém, é ainda incipiente no Brasil.

Neste trabalho, a temática de cria¸cão de métodos computacionais para melhoria dos servi¸cos policiais será abordada do ponto de vista da Pesquisa Operacional. Mais especificamente pelo uso de programa¸cão linear inteira e metaheur´ısticas, tentar-se-á resolver o problema de posicionamento de unidades policiais em um meio urbano.

Este problema parte das premissas de que: (1) são necessários três fatores para a ocorrência de um crime (um ofensor motivado, um alvo dispon´ıvel e ausência de um agente repressor (COHEN; FELSON, 1979)) e (2) uma vez que haja policiais próximos de uma certa localidade, estes fazem sua presen¸ca ser sentida por um eventual infrator. Desta maneira, para se diminuir a quantidade de crimes que acontecem em um certo local, é preciso fazer com que haja uma cobertura deste por policiais posicionados a uma distância razoável de qualquer ponto.

Deste modo, dada uma quantidade pré-definida de policiais, cada um com um raio de a¸cão limitado e dependente basicamente da forma que usam para se loco-mover (viaturas, bicicletas, a pé, etc. . . ), se deve encontrar a melhor maneira de posicionar estes policiais, de tal forma que unidas as suas áreas de a¸cão, tenhamos uma cobertura com um máximo lucro associado. Trabalha-se ainda com a restri¸cão de que, dobrando-se o raio de a¸cão das unidades, todas as ruas da área investigada devem ser cobertas.

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3.2. REFERENCIAL TE ´ORICO 23

3.2 Referencial Te´

orico

Problemas relacionados à manuten¸cão da seguran¸ca pública são tratados na Pes-quisa Operacional desde o in´ıcio dos anos 70 (SU; FU; LIU, 2010), com modelos simples e determin´ısticos, visando basicamente responder perguntas como quantos policiais seriam necessários para patrulhar uma determinada área. No estado atual, as abordagens são bastante diversificadas e os problemas são descritos de forma de-termin´ıstica ou estocástica, através de modelos de cobertura (no caso de aloca¸cão de viaturas ou recursos), roteamento (para patrulhamento preventivo), dimensiona-mento de efetivo, ou modelos de filas (para estratégias de atendidimensiona-mento de chamadas de servi¸co).

Um dos trabalhos pioneiros foi oPatrol Car Allocation Model (PCAM), proposto por Chaiken em 1975 (CHAIKEN, 1975) e que tinha por fim auxiliar o dimensiona-mento de tropas policiais. Sobre esse trabalho, ainda nos anos 80, Saladin (SALA-DIN, 1982a) elaborou um modelo de goal programming que utilizava as simula¸c˜oes do PCAM como uma das fases de sua an´alise.

A partir da´ı, uma vasta gama de abordagens foi utilizada. Grande parte delas se apoia no conceito de hot spot, ou zonas quentes, que são áreas com um maior ´ındice histórico de ocorrências de crimes ou chamadas de servi¸co. Por exemplo, Chawathe (CHAWATHE, 2007) utiliza oshot spots para guiar a constru¸cão de rotas de patrulhamento. Ao modelar-se a cidade como um grafo, onde cada rua (aresta) tem um peso (ou lucro) e um comprimento, procura-se encontrar o caminho fechado mais denso com k arestas e o menor caminho mais denso com k arestas, onde a densidade é medida pela razão entre peso e comprimento das ruas. Já em Li et. al. (LI et al., 2011), partindo-se do principio que rotas fixas são ineficientes, tenta-se criar rotas de patrulhamento também guiadas pela localiza¸cão doshot spot. Por fim, fugindo do conceito de hot spot, mas ainda tratando de problemas de roteamento, temos o trabalho de Takamiya e Watanabe (TAKAMIYA; WATANABE, 2011), que se baseia em uma versão do problema de Roteamento Periódico Capacitado por Arcos para montar suas rotas de patrulhamento.

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em agentes e Amico et. al. (D’AMICO et al., 2002a) que utiliza um algoritmo baseado em Simulated Annealing e o PCAM, buscando criar uma divis˜ao eficiente em distritos da cidade de Buffalo, New York.

Em dois trabalhos, (GURGEL; FERREIRA; ALOISE, 2010) e (KESKIN et al., 2012a), é feita uma abordagem que mistura a maximiza¸cão da cobertura e da eficiência das rotas de patrulhamento. No primeiro trabalho, é feita uma com-para¸cão entre dois modelos (um sendo uma variante do modelo de caixeiro viajante e outro do problema de p-medianas) através de dados reais da cidade de Natal. No segundo, o foco é o patrulhamento de trânsito visando diminuir a ocorrência de aci-dentes. Através novamente do uso do conceito de hot spot, tenta-se fazer com que as viaturas se desloquem e permane¸cam nas zonas mais perigosas durante o per´ıodo do dia em que elas apresentam um maior risco, se assemelhando a uma estratégia deteam orienteering problem with time window (TOPTW).

Os trabalhos mais recentes vêm se concentrando principalmente em modelagens estocásticas (SU; FU; LIU, 2010), (LAU et al., 2010a), (PAL et al., 2012), sendo que esse último utiliza um interessante modelo de fuzzy goal programming em um problema de patrulhamento do trânsito. Em (RUAN et al., 2005a) um processo de decisão de Markov é usado para modelar rotas de patrulhamento. Outra vasta área de investiga¸cão, já um pouco mais afastada da Pesquisa Operacional é a modelagem multi-agente, da qual citamos dois trabalhos brasileiros, o de Melo, Furtado e Coelho (MELO; FURTADO; COELHO, 2007) e o de Vasconcelos (VASCONCELOS, 2008).

Pode-se destacar ainda alguns softwares, listados por Can¸cado (CANÇ ADO, 2005), que fazem uso de bancos de dados e sistemas de informa¸cões geográficas para apoiar o registro de eventos e sua análise. Entre eles, temos o sistema ReCap (BROWN, 1998), que une técnicas de data mining e fusão de dados para análises criminológicas; o ExpertCop (FURTADO; VASCONCELOS, 2004), que serve de treinamento para policiamento preventivo; o COPLINK (CHEN et al., 2003), que permite, por exemplo, a liga¸cão entre informa¸cões para aux´ılio em investiga¸cões; e o software de referenciamento, desenvolvido na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), que utiliza dados de ocorrências policiais para gerar visualiza¸cões de estat´ısticas sobre a criminalidade (LESTE, 2014).

Cabe salientar que os problemas acima estão inseridos em um conjunto maior que engloba outros problemas de resposta a emergências, tais como atendimento médico de emergência e conten¸cão de incêndios.

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3.2. REFERENCIAL TE ÓRICO 25 distância em que os solicitantes estão dos prestadores de servi¸co, quanto a forma utilizada para a locomo¸cão, são relevantes.

Tal proximidade gera trabalhos tratando problemas parecidos com os que foram citados anteriormente. Em (BROTCORNE; LAPORTE; SEMET, 2003) são lista-dos modelos que lidam com aloca¸cão e realoca¸cão de ambulâncias em áreas urbanas. Posteriormente, a publica¸cão desta listagem, em (SCHMID; DOERNER, 2010) se propõe um modelo de aloca¸cão e realoca¸cão de ambulâncias visando maximizar a co-bertura com refor¸co. Nesta, são consideradas as varia¸cões de tráfego, capacidade de cobertura com refor¸co e capacidade das ambulâncias, em uma abordagem que pode-ria ser adaptada para a tática de patrulhamento com viaturas. Em outros trabalhos, o foco está nos modelos de fila, baseados no hypercube queuing model, como o pro-posto por Rajagopalan, Saydam e Xiao (RAJAGOPALAN; SAYDAM; XIAO, 2008), um não-linear de set covering que leva em considera¸cão as varia¸cões de pedidos de atendimento durante o dia, ou o de Budge, Ingolfsson e Erkut (BUDGE; INGOLFS-SON; ERKUT, 2009a) em que se tenta melhorar o servi¸co de envio de ambulâncias para o atendimento das chamadas e também o de Takeda, Widmer e Morabito (TA-KEDA; WIDMER; MORABITO, 2007) onde é feita uma análise sobre a eficiência da descentraliza¸cão de servi¸cos de emergência utilizando ohyperqueuing model. Ou-tros trabalhos (BERALDI; BRUNI; CONFORTI, 2004) (BERALDI; BRUNI, 2009) utilizam modelos de programa¸cão estocástica para descrever servi¸cos de emergência.

Entretanto, as diferen¸cas entre estes universos são grandes o suficiente para im-pedir a direta implementa¸cão de solu¸cões encontradas em um deles nos outros. A presta¸cão de servi¸cos policiais não tem uma caracter´ıstica predominantemente res-ponsiva como o servi¸co de atendimento médico de urgência ou combate a incêndios. Parte do trabalho policial é preventivo, com base no patrulhamento das ruas, identi-fica¸cão de áreas de risco ou infratores em potencial e até mesmo a¸cões educativas de dire¸cão segura ou combate ao uso de entorpecentes, entre outros. Embora médicos e bombeiros também promovam a¸cões preventivas, elas têm uma natureza e resultados distintos da preven¸cão ao crime. Por exemplo, uma viatura policial passando por uma determinada região pode evitar que um delito ocorra (evitando uma solicita¸cão de servi¸co) ou que um criminoso tenha êxito na sua a¸cão. Porém, uma ambulância fazendo o mesmo não impede que uma pessoa sofra um infarto ou um AVC.

Outro ponto é a mobilidade dos recursos policiais. Em uma chamada para uma ocorrência de grandes propor¸cões, é bem mais fácil um batalhão mover armas, ho-mens e viaturas para o local do que um hospital mover seu instrumental e estrutura.

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3.3 Materiais e m´etodos

Nesta se¸cão, são apresentados o modelo matemático utilizado para descrever o pro-blema formalmente, as heur´ısticas propostas para resolvê-lo e o método de pena-liza¸cão de respostas inviáveis usado para fazer com que as heur´ısticas gerem respos-tas viáveis.

Para todos os métodos testados, foram utilizadas cidades reais modeladas como um grafo G = (V, E) ponderado e direcionado, tal que dois nós (cruzamentos) v, w ∈ V que são adjacentes sempre são unidos por duas arestas e1, e2 ∈ E (ruas), uma indo de v para w e outro fazendo o sentido contrário. Cada rua r ∈E possui um lucro lr associado a sua cobertura por unidades policiais e um comprimento dr

(distância entre seus cruzamentos limitantes). A partir disto, é calculado o tempo necessário para cada tipo de unidade ir de um ponto ao outro da cidade. Uma vez que a via seja de mão única, considera-se um acréscimo de 50% no tempo necessário para percorrer o trecho no sentido da contramão para todos os ve´ıculos motorizados, visando simular a dificuldade dessas unidades para percorrer o trecho. Além disso, algumas arestas representam ruas que não podem ser transitadas através de ve´ıculos motorizados. Para modelá-las, foi considerado que o tempo necessário para percorrê-las utilizando ve´ıculos motorizados é infinito.

Para cada cidade, a entrada contém ainda um conjunto U de unidades policiais dispon´ıveis. Cada unidade possui um tipo i∈Q(tal que Qé o conjunto de todos os tipos de unidades), que define as condi¸cões de mobilidade desta (motorizada, hábil a percorrer vias estreitas ou irregulares). Para cada um desses tipos, é definida também a quantidade Ui de unidades dispon´ıveis.

Para se dizer que uma unidade alocada em uma esquina v cobre uma rua r, ´e definido um tempo limite TM AX para sair de v e chegar a uma das esquinas de

r. É considerando ainda as corre¸cões de tempo tais como tratadas nos parágrafos anteriores. Sendo assim, para cada tipo de unidade i ∈ Q e trecho de rua r ∈ E e cruzamento j ∈ V, são definidos os valores binários prji e p′rji, que valem 1 se uma

unidade do tipo i localizada em j consegue chegar (cobrir) ao trecho r em tempo TM AX e 2TM AX respectivamente, e 0 caso contr´ario. O tempo TM AX ´e usado para

definir cobertura e 2TM AX como garantia m´ınima de proximidade.

3.3.1 Modelo matem´

atico

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3.3. MATERIAIS E M ÉTODOS 27 facilidades com diferentes alcances e se difere do descrito em (FARAHANI et al., 2012) pelo fato das gradua¸cões serem consideradas nas restri¸cões e não na fun¸cão objetivo.

Neste modelo, assume-se que cada rua (trecho de via urbana compreendido entre dois cruzamentos) possui um comprimento, um sentido de movimenta¸cão, restri¸cões de passagens de certos tipos de ve´ıculos e uma importância (ou lucro) associado a necessidade de ser coberta por uma unidade policial. O tempo para percorrer as ruas leva em considera¸cão a velocidade média que pode ser obtida em uma via, o sentido que a unidade está trafegando (mão, contramão), o tipo de unidade (unidades sens´ıveis a contramão, como carros e motos, ou insens´ıveis, como unidades a pé) e o comprimento da rua. Todas essas informa¸cões já são disponibilizadas nas instâncias, exceto a corre¸cão do tempo necessário para percorrer uma via em contramão, que é corrigido no processamento dos dados para os tipos de unidades sens´ıveis a essa restri¸cão.

Para constru¸cão do modelo são usadas as seguintes variáveis de decisão:

• xij: vari´avel que indica a quantidade de unidades do tipoialocadas no v´ertice

j

• ar: variável binária igual a 1 se o trecho de ruaré coberto por alguma unidade

policial dentro do tempo TM AX

• a′r: similar a anterior, mas com tempo 2TM AX

O dito modelo ´e mostrado abaixo:

maxZ =X

r∈E

lrar (3.1)

X

j∈V