Estimadores do tipo núcleo para a densidade de transição de uma cadeia de markov com espaço de estados geral

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

APLICADA E ESTAT´ISTICA

Estimadores do Tipo N´

ucleo para Densidades de Transi¸

c˜

ao

de Cadeias de Markov com Espa¸

co de Estados Geral

Enai Taveira da Cunha

Orientadora

_{: Profa. Dra. Viviane Simioli Medeiros Campos}

(2)

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

APLICADA E ESTAT´ISTICA

Estimadores do Tipo N´

ucleo para Densidades de Transi¸

c˜

ao

de Cadeias de Markov com Espa¸

co de Estados Geral

Enai Taveira da Cunha

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´

os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica da

Uni-versidade Federal do Rio Grande do Norte

(PPGMAE-UFRN) como parte dos requisitos necess´arios para obten¸c˜ao

do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica.

Natal/RN

(3)

Dedicat´

oria

“Este trabalho ´e dedicado a pessoa que em momento algum deixou de acreditar em mim, aquela

que com seu exemplo de vida me ensinou a ter for¸ca e f´e para superar todos os meus obst´aculos.

(4)

A Deus que est´a presente em todas as minhas conquistas, mesmo eu me afastando Dele as vezes, sei que Ele nunca se afasta de mim, obrigada meu Senhor por nunca me abandonar.

A minha querida orientadora Viviane, se não fosse a ela eu não estaria onde estou, obrigada por toda confian¸ca e por toda for¸ca que me deu durante esses dois anos de mestrado e durante os meus quatro anos de gradua¸cão, saiba que sua lembran¸ca irei levar para sempre em minha vida, aquela em quem me espelho em todos os trabalhos que fa¸co, compreensiva, paciente mas sempre responsável e acima de tudo um exemplo de dedica¸cão. Obrigada minha querida professora.

Ao professor André Gustavo pelos seus conselhos e por todo apoio que sempre me deu na gradua¸cão e na pós gradua¸cão, é uma pessoa que sempre terá meu respeito e considera¸cão.

A meus familiares, minha irmã Janaina sempre preocupada comigo, quantas vezes foi me buscar tarde da noite na parada de ônibus para eu não chegar sozinha em casa, minha mãe sempre rezando e me aben¸coando para eu alcan¸car todos os meus objetivos, sempre me dedicando seu amor e aten¸cão, saiba que isso me fortaleceu muito, aos meus dois irmãos, Neto e Janilson, pelo apoio e conselhos dados. Amo todos vocês.

A todos os meus colegas de turma, em especial:

A minhas amigas inesquec´ıveis: Aparecida, Camila, Tatiana Queiroz, sempre lembrarei com carinho de vocˆes, por todo aperto e sufˆoco que passamos juntas.

A meus queridos amigos: Moisés, pelo apóio nos estudos e todas as brincadeiras que nos ajudou a descontrair, Francinário, Cec´ılio, João Batista, Daniel, Manassés, Allan, Lenil-son, Felipe, AlysLenil-son, obrigada pela companhia que sempre nos fizeram e pela for¸ca que sempre nos passaram.

(5)

A meu querido cunhado Elvis, por sempre me divertir com seu jeito engra¸cado de ser.

A H´erica, Mariana, C´atia, com quem tive pouco contato, mas me mostraram seu jeito todo especial de ser.

A minhas amigas, Kaline Juliana, Kaline Andreza, Renata Santana, Renata Mendon¸ca, Kelly, Tatiana Farache, Ana Karla e a todos a quem não citei, pe¸co desculpas, obrigada por tornar um pouco mais fáceis e mais divertidos todos esses dias que passei com vocês.

A meu querido amigo Cesar, uma das coisas boas que me aconteceu nesses dois anos foi ter te conhecido, sempre t˜ao amigo, carinhoso e afetuoso, vocˆe me cativou, obrigada por fazer parte da minha vida.

A meus queridos professores do PPGMAE, em especial:

Ao Professor Dami˜ao, sempre respons´avel e muito dedicado em todas as suas aulas, obri-gada por me ensinar a gostar de estat´ıstica.

A Professora Dione, sempre preocupada com todos nós, quantas vezes me viu cansada e me parou no corredor pra perguntar se estava tudo bem, obrigada pela aten¸cão e pelo aprendizado na disciplina de Inferência.

Ao Professor Pledson, por todas as suas contribui¸c˜oes durante nossos semin´arios.

Ao professor Jaques, por todos os ensinamentos em probabilidade e em processos es-toc´asticos, por todos os conselhos que sempre nos deu.

A todos os funcionários do CCET, Liandra pela sua amizade e carinho, Alderi, Russinho, Valéria, minha mãe N´ızia por todo o apoio que sempre me deu no departamento de matemática, a nosso querido secretário Rafael.

A professora Cátia e a professora Débora, por aceitarem o convite e estarem na minha banca de defesa, foi muito gratificante para mim a presen¸ca de vocês.

Ao comit´e gestor da bolsa Reuni e a todas as minhas colegas de bolsa, em especial Maron´ı, gostei muito de ter trabalhado contigo.

(6)

No presente trabalho estudamos a consistência forte de uma classe de estimadores do tipo núcleo para a densidade de transi¸cão de uma cadeia de Markov com espa¸co de estados geralE_⊂Rd_{. A}

consistência forte do estimador da densidade de transi¸cão foi obtida a partir da consistência forte dos estimadores do tipo núcleo para a densidade marginal da cadeia, pn(·), e da consistência forte dos estimadores do tipo núcleo para a densidade conjunta,qn(·,·). Foi considerado que a cadeia é homogênea e uniformemente ergódica com densidade inicial estacionária p(_·).

(7)

Abstract

In this work, we studied the strong consistency for a class of estimates for a transition density of a Markov chain with general state spaceE _⊂Rd_{. The strong ergodicity of the estimates for the}

density transition is obtained from the strong consistency of the kernel estimates for both the marginal densityp(.) of the chain and the joint densityq(., .). In this work the Markov chain is supposed to be homogeneous, uniformly ergodic and possessing a stationary density p(.,.).

(8)

Introdu¸c˜ao 9

1 Conceitos Preliminares 13

1.1 Cadeias de Markov com Espa¸co de Estados Geral . . . 13 1.2 Estimadores do Tipo N´ucleo . . . 19

2 Resultados Preliminares. 24

2.1 Condi¸cões sobre a Cadeia _{Xn}n≥0, a fun¸cão pesoW e a sequênciahn. . . 25 2.2 Resultados utilizados nas demonstra¸cões das consistências . . . 29

3 Consistência Forte dos Estimadores Tipo Núcleo para Densidade de Transi¸cão. 36

3.1 Estima¸c˜ao da Densidade Marginal . . . 38 3.2 Estima¸c˜ao da Densidade Conjunta . . . 44

Conclus˜ao 51

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Na inferência estat´ıstica geralmente se trabalha com um conjunto de dados, a fim de se modelar problemas encontrados em situa¸cões reais e esse conjunto de dados pode ser visto como uma amostra aleatória de tamanho n _{X1, X2, ..., Xn} de um determinado processo estocástico

{Xn}n≥0. Ao se trabalhar com esse conjunto de variáveis aleatórias, algumas informa¸cões são

importantes para o estudo do seu comportamento, como por exemplo, sua fun¸cão densidade, se existe independência entre as variáveis, se as variáveis envolvidas no processo são identicamente distribuidas, entre outras. Na maioria dos casos, as fun¸cões densidade são desconhecidas, o que dificulta a análise dos dados, então para resolver este problema usamos métodos para esti-mar essas densidades. Esses métodos podem ser paramétricos, nesse caso supõe-se conhecida a densidade e se estima seus parâmetros ou não paramétricos onde a fun¸cão de densidade é total-mente desconhecida. Esperamos dos estimadores utilizados nesses problemas boas propriedades, propriedades de convergência como não-v´ıcio assintótico, consistência, entre outras.

A estima¸cão não-paramétrica foi inicialmente estudada por Rosenblatt(1956), onde ele con-sidera uma amostra aleatória de tamanho n de uma sequência de variáveis aleatórias inde-pendentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d.) com fun¸cão densidade cont´ınua f(y), estuda as propriedades de uma classe de estimadores e propõe uma expressão para eles. Em seu estudo Rosenblatt mostra a não existência de estimadores não viciados e a existência de estimadores assintoticamente não viciados. A classe de estimadores proposta no seu artigo foi escrita, como sendo

fn(y) = 1 n

∞

X

j=1

wn(y−XJ)

(10)

A partir da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao emp´ırica

Fn(x) = {

n´umero de observa¸c˜oes_≤xdentreX1, X2,· · · , Xn} n

.

Parzen(1962) construiu a seguinte classe de estimadores

fn(x) = 1 nh

n

X

j=1 K

x₋Xj h

,

chamados estimadores do tipo núcleo, também baseados em uma amostra de tamanho n de uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. . Essa classe de estimadores foi baseada nas fun¸cões tipo núcleo K definidas por Parzen, o qual seria uma classe de fun¸cões satisfazendo algumas condi¸cões de regularidade, entre elas ser fun¸cão densidade.

Motivado pelo estudo no caso i.i.d de tais estimadores, Roussas(1969) generaliza tais esti-madores no caso Markoviano, considerando _{Xn}n≥0 uma cadeia de Markov estritamente esta-cionária, onde estimou a densidade marginal, a densidade conjunta e a densidade de transi¸cão da cadeia. Algumas hipóteses e condi¸cões foram acrescentadas ao processo e propriedades desses estimadores, antes mostradas por Parzen no caso i.i.d., foram estendidas ao caso markoviano. Mais detalhes sobre esses estudos, tanto como suas hipóteses, serão mostrados na Se¸cão 1.2.

Prakasa Rao(1983) fez um estudo sobre estima¸cão não-paramétrica no caso i.i.d. e também estima¸cão para processos estocásticos. Dentro desse estudo fez uma abordagem geral sobre a teoria dos estimadores do tipo núcleo no caso univariado e multivariado.

Neste trabalho estamos interessados no estudo da consistência forte de uma classe de esti-madores da fun¸cão densidade de transi¸cão de uma cadeia de Markov com espa¸co de estados geral. Neste estudo o método de estima¸cão utilizado será não paramétrico, pois estamos interessados em estimar uma fun¸cão densidade desconhecida, para tanto usaremos a classe de estimadores do tipo núcleo.

Este trabalho é baseado em Dorea(2002) onde foi considerada _{Xn}n≥1 uma cadeia de Markov estacionária e homogênea sobre o espa¸co de medida (E,_E, ν), com E _⊂ Rd _{espa¸co de}

estados geral,νuma medidaσ - finita sob (E,_E), com fun¸cão densidade inicialp(_·) estacionária, e núcleo de transi¸cão dado por:

P(Xk+1∈A|Xk=x) =P(x, A) =

Z

A

(11)

Introdu¸c˜ao 11

Nesse trabalho foi considerado o Estimador do Tipo N´ucleo da densidade de transi¸c˜aot(y_|x) da cadeia, dado por

tn(y|x) =

Pn

k=1(W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1))

Pn

j=1(W(h, x, Xj))

, da densidade marginal,

pn(x) = 1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk)

e da densidade conjunta

qn(x, y) = 1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1).

Dorea(2002) mostra que, sob condi¸cões apropriadas para a fun¸cão W e a sequência hn, os estimadores pn(x) e qn(x, y) são assintoticamente não-viciados e fortemente consistentes. A partir da consistência forte desses dois estimadores, verifica-se a consistência forte do estimador da densidade de transi¸cão da cadeiatn(y|x).

Este trabalho está dividido em três partes. No Cap´ıtulo 1 introduzimos alguns conceitos preliminares para o entendimento do trabalho. Na Se¸cão 1.1 fazemos uma breve introdu¸cão sobre a teoria de cadeias de Markov com espa¸co de estados geral, pré-requisito para entender as defini¸cões e nota¸cões usadas ao longo do trabalho. Na Se¸cão 1.2 é feito um referencial teórico com respeito aos estimadores do tipo núcleo, para isso estudamos alguns artigos clássicos sobre essa classe de estimadores. Também é feita nessa se¸cão a introdu¸cão de alguns conceitos envolvidos na estima¸cão não-paramétrica de densidades.

(12)

(13)

Cap´ıtulo 1

Conceitos Preliminares

Temos dois objetivos neste capitulo: o primeiro é caracterizar o processo estocástico para o qual estamos interessados em estimar a densidade limite, ou seja, uma cadeia de Markov estri-tamente estacionária com espa¸co de estados geral. E o segundo é fazer uma abordagem sobre o método utilizado para essa estima¸cão, a saber: os estimadores do tipo núcleo. Alguns dos re-sultados nesta se¸cão serão apresentados sem demonstra¸cão, as mesmas podendo ser encontradas em Athreya e Lahiri(2006).

1.1 Cadeias de Markov com Espa¸

co de Estados Geral

Seja _{Xn}n≥0 uma sequência de variáveis aleatórias assumindo valores em algum espa¸co de estados E _⊂ Rd_{, n˜}_{ao necessariamente finito ou enumer´}_{avel. A propriedade de Markov diz}

que condicionada a X0, X1,· · ·, Xn, a distribui¸cão de Xn+1 depende somente de Xn e não do seu passado, isto é, _{Xj;j ≤n−1}. De forma mais precisa, considere (E,E, ν) um espa¸co de medida; ondeνé uma medidaσ-finita sob (E,_E), o espa¸co de probabilidade (Ω;_F;P) e_{Xn}n≥0 uma sequência de variáveis aleatórias definidas em Ω com valores em E _⊂Rd. Vamos denotar por _Fn ≡ σh{Xj; 0≤j≤n}i a sub-σ-álgebra de F gerada por {Xj; 0 ≤ j ≤ n} e σ(Xn) a sub-σ-álgebra de _F gerada por Xn.

Defini¸cão 1.1 (Cadeia de Markov Homogênea): A sequência _{Xn}n≥0 é uma Cadeia de

Markov se para todo A_{∈ E},

P Xn+1 ∈A|Fn

=P Xn+1 ∈A|σ(Xn)

(14)

para alguma distribui¸cão de X0. Por simplifica¸cão de nota¸cão escreveremosP Xn+1 ∈ A|Xn

para denotarP Xn+1∈A|σ(Xn)

.

Dizemos ainda que_{Xn}´e uma cadeia de Markov homogˆenea se

P(Xn+1 ∈A|Xn) =P(X1 ∈A|X0),∀n≥0. escrevendo

P(Xn+1∈A|Xn) =P(Xn, A), podemos verificar que

P : E_{× E −→} [0,1] (x, A) _7−→ P(x, A) é um núcleo de transi¸cão, ou seja, satisfaz:

i) Para cada x_∈E, P(x,_·) é uma medida de probabilidade sobre (E,_E); ii) Para cadaA_{∈ E}, P(_·, A) é uma fun¸cão_E-mensurável de (E,_E) em [0,1].

Definido o núcleo de transi¸cão P(Xn, A) e dada a distribui¸cão de X0 temos uma cadeia de Markov completamente determinada, ou seja, podemos calcular todas as probabilidades de interesse.

Proposi¸c˜ao 1.1 Uma sequˆencia _{Xn}n≥0 satisfaz (1.1) se, para algum n∈N e A0, A1,· · · , An∈ E,

P(Xj ∈Aj, j= 0,1,2,· · ·, n) =

Z

A0

· · ·

Z

An−2

Z

An−1

P(xn−1, An)P(xn−2, dxn−1)

(15)

1.1 Cadeias de Markov com Espa¸co de Estados Geral 15

Vejamos dois exemplos de cadeias de Markov com n´ucleo de transi¸c˜ao P(x, A).

Exemplo 1.1 (sequência de v.a.´s i.i.d)Seja_{Xn}n≥0 sequência de variáveis aleatórias i.i.d com valores em algum espa¸co E com distribui¸cãoµ. Então _{Xn}n≥0 é uma cadeia de Markov com núcleo de transi¸cãoP(x, A)_≡µ(A) e distribui¸cão inicialµ. De fato, temos

P(Xn+1 ∈A|Fn) =P(Xn+1∈A|σh{Xj : 0≤j≤ni}).

Como as variáveis aleatórias _{X1, X2,_{· · ·} , Xn} são independentes e P(Xn+1 ∈A) =µ(A) para todo n, segue

P(Xn+1∈A|Fn) =P(Xn+1 ∈A) =P(Xn+1 ∈A|σhXni) =µ(A).

Exemplo 1.2 (caminho aleat´orio em Rk₎ _Sejam _{_η_j_}_j_≥₁ _vari´_{aveis aleat´}_{orias i.i.d com}

va-lores em Rk e distribui¸cão comum ν. Seja X0 uma variável aleatória com valores em Rk inde-pendente de _{ηj}j≥1 e com distribui¸cão µ, onde (A−x) = {y ∈ Rk : y = z−xcomz ∈ A} . Defina

Xn+1 = Xn+ηn+1 = X0+

n+1

X

j=1

ηj, n≥0.

Temos que _{Xn}n≥0 é uma cadeia de Markov com núcleo de transi¸cão P(x, A)≡ν(A−x) e distribui¸cão inicialµ.

(16)

Defini¸cão 1.2 (Núcleo de transi¸cão de n-passos)SejaP(_·,_·) um núcleo de transi¸cão sobre (E,_E). Para cadan_≥0, defina uma sequência de fun¸cões_{P(n)₍_·_,_·₎_}

n≥0, como sendo, P(n+1)(x, A) =

Z

E

P(n)(y, A)P(x, dy), n_≥0 eP(0)(x, A)_≡IA(x).

P(n)₍_·_,_·_{) definida como acima é chamada n´}_{ucleo de transi¸cão de} _{n-passos gerada por}_P₍_·_,_·_). Pode-se mostrar, usando indu¸cão, que se X0 =x q.c., então,

P(Xn∈A) =P(n)(x, A),∀n≥0 (1.3)

Proposi¸cão 1.2 (Equa¸cões de Chapman-Kolmogorov) SejaP(_·,_·) uma fun¸cão de proba-bilidade de transi¸cão sobre (E,_E) e seja P(n)₍_·_,_·_{) fun¸cão de transi¸cão de} _{n-passos. Então para} n, m_≥0 e x_∈E

P(n+m)(x, A) =

Z

E

P(n)(y, A)P(m)(x, dy);n_≥0. Vejamos agora a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao: Seja Ex, Px a esperan¸ca e a distribui¸c˜ao de probabilidade de {Xn}n≥0 quando X0 =x com probabilidade 1.

Sabemos por (1.3) que,

P(n+m)(x, A) = Px(Xn+m ∈A) =

Z

E

I_{Xn+m∈A}dPx

. Por defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional, temos

P(n+m)(x, A) =

Z

E

I_{Xn+m∈A}dPx

. =

Z

E

Ex(I{Xn+m∈A}|Fm)dPx

(17)

1.1 Cadeias de Markov com Espa¸co de Estados Geral 17

e pela propriedade de Markov,

P(n+m)(x, A) = Ex Px(Xn+m ∈A|Fm) = Ex P(Xn+m ∈A|σhXmi) = Ex P(n)(Xm, A)

=

Z

E

P(n)(y, A)P(m)(x, dy)

Para continuarmos a caracteriza¸cão da nossa cadeia de Markov, precisamos dos conceitos de processo estritamente estacionário e de distribui¸cão de probabilidade estacionária.

Defini¸cão 1.3 (Processo Estritamente Estacionário)Seja_{Xn}n≥0um processo estocástico. Se paras >0, as distribui¸cões conjuntas das fam´ılias de variáveis aleatórias (Xt1+s, Xt2+s,· · ·, Xtn+s)

e (Xt1,· · ·, Xtn) são as mesmas para todas as escolhas arbitrárias det1,· · ·, tn, então o processo

´e dito estritamente estacion´ario.

por facilidade, ao longo do texto, escreveremos apenas processo estacion´ario.

Defini¸cão 1.4 (Distribui¸cão Estacionária) Sejaπ uma fun¸cão de probabilidade absoluta-mente cont´ınua com rela¸cão a uma medidaν definida em _E com densidade também chamadaπ. Dizemos que a distribui¸cão π é estacionária para a cadeia de Markov com núcleo de transi¸cão P, se

π(A) =

Z

E

π(x)P(x, A)ν(dx),para todoA_{∈ E} (1.4) Observa¸c˜ao 1.1 Suponha que a distribui¸c˜ao de probabilidade de X0,π(A) =π(X0 ∈A), A∈

E, é uma distribui¸cão estacionária, então por (1.2) e (1.4) temos que

P(X1 ∈A) = P(X1 ∈A, X0∈E) =

Z

E

P(x0, A)π(dx0) =

Z

E

P(x0, A)π(x0)ν(dx0) = π(A).

(18)

P(Xn∈A) = P(Xn∈A, Xn−1∈E) =

Z

E

P(xn−1, A)π(dxn−1) =

Z

E

P(xn−1, A)π(xn−1)ν(dxn−1) = π(A)

Ou seja, se a distribui¸cão de probabilidade inicial da cadeia é uma distribui¸cão estacionária, então todas as variáveisXn têm a mesma distribui¸cão, ou ainda, a probabilidade de um determinado evento A é a mesma independente de qual momento se encontre o processo.

Observa¸cão 1.2 Se a distribui¸cão de probabilidade inicial do processo é estacionária, e sendo a cadeia de Markov homogênea segue, pela observa¸cão 1.1, que para m _≥0, o vetor aleatório (Xn, Xn+1,· · · , Xn+m) tem a mesma distribui¸cão conjunta para cada n, ou seja,{Xn}n≥0 é um processo estacionário. De fato, temos que

P(Xt1 ∈A1, Xt2 ∈A2) =P(Xt2 ∈A2|Xt1 ∈A)P(Xt1 ∈A1)

Mas a cadeia é homogênea e a distribui¸cão inicial é estacionária, então usando a observa¸cão 1.1

P(Xt2 ∈A2|Xt1 ∈A1)P(Xt1 ∈A1) = P(Xt2+s ∈A2|Xt1+s ∈A1)P(Xt1+s ∈A1)

= P(Xt1+s ∈A1, Xt2+s ∈A2),

ou seja,

P(Xt1 ∈A1, Xt2 ∈A2) =P(Xt1+s ∈A1, Xt2+s ∈A2). (1.5)

Agora, supondo que (1.5) ´e valida para n=k, ou seja

(19)

1.2 Estimadores do Tipo N´ucleo 19

vamos mostrar que é válida para n =k+ 1. Usando a propriedade de Markov e a hipótese de indu¸cão, temos

P(Xtk+1 ∈Ak+1|Xt1 ∈A1,· · · , Xtk ∈Ak)P(Xt1 ∈A1,· · · , Xtk ∈Ak)

= P(Xtk+1 ∈Ak+1|Xtk ∈Ak)P(Xt1+s ∈A1, Xt2+s ∈A2,· · ·, Xtk+s ∈Ak)

= P(Xtk+1+s ∈Ak+1|Xtk+s ∈Ak)P(Xt1+s ∈A1, Xt2+s ∈A2,· · ·, Xtk+s ∈Ak).

Logo

P(Xt1 ∈A1,· · ·, Xtk ∈Ak, Xtk+1 ∈Ak+1) =P(Xtk+1+s ∈Ak+1|Xtk+s ∈Ak)·

P(Xt1+s ∈A1, Xt2+s ∈A2,· · ·, Xtk+s ∈Ak)

e usando novamente a propriedade de Markkov

P(Xt1 ∈A1,· · · , Xtk ∈Ak, Xtk+1 ∈Ak+1)

= P(Xtk+1+s ∈Ak+1|Xt1+s ∈A1,· · ·, Xtk+s ∈Ak)P(Xt1+s ∈A1,· · · , Xtk+s ∈Ak)

= P(Xt1+s ∈A1,· · · , Xtk+s ∈Ak, Xtk+1+s ∈Ak+1)

1.2 Estimadores do Tipo N´

ucleo

Um dos problemas encontrados ao se trabalhar numa situa¸cão real com uma sequência de variáveis aleatórias é que na maioria dos casos, as fun¸cões densidade dessas variáveis são descon-hecidas, não se sabe nada do seu comportamento, então são usados métodos para estimar tais fun¸cões de densidades.

Existem dois tipos de estima¸c˜ao:

• Estima¸cão paramétrica: o tipo da fun¸cão de densidade é supostamente conhecida, mas tem-se que estimar o valor dos parâmetros envolvidos. Por exemplo, uma sequência de variáveis aleatórias com distribui¸cão comum N(µ, σ2), onde µ e σ2 são os parâmetros desconhecidos a serem estimados.

(20)

essa sequência converge, em algum sentido, paraf(x). O método de estima¸cão estudado nesse trabalho é um método de estima¸cão não-paramétrica, por isso nossa aten¸cão será voltada para as propriedades desses estimadores.

A sequência de estimadores_{fn(x)}n≥1 é dita ser I. consistente em média quadrática se, para cadax,

lim

n→∞E[fn(x)−f(x)]

2 _{= 0.}

II. consistente em probabilidade ou fracamente consistente se, para todo ǫ > 0 e para cada x,

lim n→∞P

|fn(x)−f(x)| ≤ǫ = 1. Nota¸c˜ao: fn(x)

p

→f(x).

III. fortemente consistente se, para cadax P_{lim

n→∞fn(x) =f(x)}= 1.

Nota¸c˜ao: fn(x) q.c

→f(x).

IV. assintoticamente n˜ao viciada se, para cadax, lim

n→∞E[fn(x)] =f(x).

Rosenblatt em 1956, em um trabalho pioneiro, propôs uma classe de estimadores para fun¸cão densidade através do estudo do quociente diferencial da fun¸cão de distribui¸cão amostral.

Seja X1, X2,· · · , Xn uma amostra aleatória de tamanho n de uma popula¸cão com fun¸cão de distribui¸cãoF(x) e fun¸cão densidade f(x). Como f(x) é a derivada de F(x), um estimador natural para f(x) seria,

fn(x) =

Fn(x+h)−Fn(x−h)

2h (1.7)

sendo h = hn uma fun¸cão do tamanho da amostra n, hn → 0 quando n → ∞ e a fun¸cão de Distribui¸cão Amostral.

(21)

fn(y) =

Z ∞ −∞

wn(y−u)dFn(u) efn(y) = 1 n

∞

X

j=1

wn(y−XJ)

ondewn satisfaz algumas condi¸c˜oes entre elas ser uma fun¸c˜ao densidade.

Parzen em 1962, seguindo a ideia de Rosenblatt, considerou X1, X2,_{· · ·}, Xn uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas, com fun¸cão de distribui¸cão F(x) =P[X_≤x] absolutamente cont´ınua, com fun¸cão densidade desconhecidaf(x).

Usando o estimador natural para a fun¸c˜ao densidade, o quociente diferencial,

fn(x) =

Fn(x+h)−Fn(x−h)

2h (1.8)

ondeFne a fun¸cão de Distribui¸cão Emp´ırica Fn é definida como sendo,

Fn(x) = {

n´umero de observa¸c˜oes_≤xdentreX1, X2,· · · , Xn} n

e considerando a fun¸c˜aoK(y) definida por

K(y) =

 



1

2, |y| ≤1 0, _|y_|>1

(1.9)

reescreveu o estimador dado em (1.8), como sendo

fn(x) = 1 nh

n

X

j=1 K

x₋Xj h

. (1.10)

Parzen observou que o estimador obtido com a fun¸cão particularK(y), dada em (1.9), também poderia ser obtido usando outras fun¸cões, desde que estas fun¸cões satisfizessem as seguintes propriedades de regularidade:

i) sup

−∞<y<∞|K(y)|<∞;

ii)

Z ∞ −∞|

K(y)_|dy <_∞; iii) lim

(22)

Estas fun¸cões foram chamadas fun¸cões tipo núcleo e deram nome aos estimadores definidos em (1.10). Exemplos de fun¸cões do tipo núcleo podem ser encontradas em Parzen(1962).

Os estimadores tipo núcleo propostos por Parzen possuem a propriedade de serem assinto-ticamente não-viciados e consistentes em média quadrática.

Roussas(1967), motivado pelos trabalhos que estavam sendo desenvolvidos sobre estima¸cão não-paramétrica, estudou os estimadores tipo Núcleo proposto por Parzen no caso em que a amostra aleatória faz parte de um processo de Markov Estacionário.

Baseando-se nasn+ 1 vari´aveis aleat´oriasXj, j = 1..., n+ 1 do processo de Markov, Roussas considerou os seguintes estimadores, para a densidade marginal,

pn(x) = 1 nh1(n)

n

X

j=1

K1((x−Xj)h−₁1(n)) e para a densidade conjunta bidimensional,

qn(x, y) = 1 nh2

2 n

X

j=1

K2((x, y)−(Xj, Xj+1)h−21(n))

sendoh1 =h1(n) eh2 =h2(n) são sequências que tendem a zero eK1 e K2 fun¸cões tipo núcleo. Roussas no seu trabalho mostrou o não-vicio assintótico e a consistência em média quadrática de pn(x) e qn(x, y). A partir desses estimadores, Roussas obteve um estimador não-viciado e consistente em média quadrática para a densidade de transi¸cão do processo.

Campos e Dorea (2001) generalizaram os estimadores tipo n´ucleo no caso i.i.d para a fun¸c˜ao densidadep(_·) com respeito a uma medidaσ-finitaνsobre um espa¸co (E,_E) ondeE _⊂Rd_{. Nesse}

trabalho além de ser mostrado o não-v´ıcio assintótico e a consistência em média quadrática, esta classe de estimadores foi mostrada ser fortemente consistente. A classe de estimadores trabalhados nesse artigo foram escritos como,

pn(x) = 1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk), h=hn. (1.11)

Dorea(2002) generalizou os estimadores do tipo n´ucleo para a densidade estacion´ariap(_·) de um processo de Markov com espa¸co de estados geral E_⊂Rd_.

(23)

(24)

Resultados Preliminares.

Neste cap´ıtulo temos por objetivo estabelecer as condi¸cões e enunciar os resultados utiliza-dos em Dorea(2002) para a obten¸cão da consistênia forte utiliza-dos Estimadores do Tipo Núcleo da densidade de transi¸cão da cadeia.

Seja_{Xn}n≥1 uma cadeia de Markov estacionária sob o espa¸co de medida (E,E, ν), ondeν é uma medidaσ - finita sob (E,_E) com de transi¸cão dado por:

P(Xk+1 ∈A|Xk=x) =P(x, A) =

Z

A

t(x, y)ν(dy),_∀x_∈E,_∀A_{∈ E}. Vamos denotar por p(_·) a densidade estacion´aria do processo, isto ´e,

Z

A

p(x)ν(dx) =

Z

E

Pn(y, A)p(y)ν(dy),_∀A_{∈ E}, n= 1,2, . . . Para estimar t(_·,_·), Dorea(2002) considerou o estimador tipo n´ucleo

tn(x, y) =

Pn

k=1(W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1))

Pn

j=1(W(h, x, Xj))

, (2.1)

sendo W(h, x,_·) uma fun¸c˜ao satisfazendo algumas condi¸c˜oes de regularidade.

Para demonstrar a consistˆencia forte de (2.1), Dorea(2002) mostrou a consistˆencia forte do estimador da densidade marginal

pn(x) = 1 n

n

X

k=1

(25)

2.1 Condi¸c˜oes sobre a Cadeia _{X_n_}_n_≥₀_{, a fun¸}_c˜_{ao peso} W _{e a sequˆ}_encia h_n_. ₂₅ e a consistˆencia forte do estimador da densidade conjunta,

qn(x, y) = 1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1). (2.3)

Obtendo desta forma, usando propriedades básicas de convergência de variáveis aleatórias(ver Magalhães, pg 319), a consistência forte do estimador da densidade de transi¸cão.

2.1 Condi¸

c˜

oes sobre a Cadeia

_{

X

_n

_}

_n_≥₀

_{, a fun¸}

_c˜

_{ao peso}

W

_{e a sequˆ}

_encia

h

_n

_.

Nessa se¸cão, com o objetivo de entendermos as condi¸cões impostas a Cadeia e a fun¸cão W, estudamos conceitos importantes como a norma da varia¸cão total eν-continuidade.

Sejaµ uma medida, definimos a norma da varia¸c˜ao total,_k·k, como sendo

kµ_k= sup A∈E

µ(A)₋ inf B∈Eµ(B)

Defini¸cão 2.1 Dizemos que uma cadeia éuniformemente ergódicase existe uma probabilidade P∞sobre (E,E) tal que

sup x∈Ek

Pn(x,_·)₋P∞(·)k

n→∞

→ 0, ondeP∞(A) =RAp(y)ν(dy) ek·k´e a norma de varia¸c˜ao total.

No estudo clássico dos Estimadores do Tipo Núcleo, onde E = Rd _e _ν _{é a medida de}

Lebesgue(ver Prakasa Rao), os resultados de consistˆencia foram obtidos em pontos de con-tinuidade da densidade. Dorea(2002) ao trabalhar com uma medida geralν, precisou da seguinte defini¸c˜ao,

Defini¸cão 2.2 Seja g uma fun¸cão a valores reais sob E, dizemos que x é um ponto de ν ₋ continuidadede g oux_∈Cν(g), se dadoǫ >0 existeδ >0 tal que

(26)

Para a obten¸cão da consistência forte dos estimadores (2.2) e (2.3) Dorea(2002) impôs as seguintes condi¸cões sobre a fun¸cão pesoW e a sequência hn:

Condi¸cão 2.1 a) A cadeia é uniformemente ergódica com densidade inicial estacionáriap(_·).

b) Para h=hn>0 eγh(x) =ν{y:|y−x| ≤h} temos, lim

n→∞hn= 0 e limn→∞γh(x) =γ(x)<∞. (2.4)

c) W(h, x,_·) ´e uma densidade com respeito a medidaν e satisfaz:

dadoδ >0 paraWδ(h, x, y) =W(h, x, y)I{z:|z−x|>δ}(y) (2.5)

temos

lim

n→∞Wδ(h, x, y) = 0 eWδ(h, x, y)≤Kδ(x)<∞ (2.6)

Mais ainda, parangrande

γh(x)W(h, x, y)≤L(x)<∞. (2.7)

No caso clássico quando ν é a medida de Lebesgue, consideramosγh(x) = h e γ(x) = 0. A fun¸cão peso é tomada como sendo,

W(h, x, y) = 1 hK(

x₋y h ),

(27)

2.1 Condi¸cões sobre a Cadeia _{X_n_}_n_≥₀_{, a fun¸}_c˜_{ao peso} W _{e a sequˆ}_encia h_n_. ₂₇ Veremos agora alguns exemplos de fun¸cões W que satisfazem as hipóteses da Condi¸cão 2.1.

Exemplo 2.1 SejaE=Z_e _ν _{a medida contadora. Seja,}

W(h, i, j) =

    

   

(1−h)h|j−i|

2 , se|j−i| ≥1

1₋h, sej=i temos que W(h, i, j) ´e uma densidade. De fato,

X

j∈Z

W(h, i, j) = W(h, i, i) +X j6=i

W(h, i, j)

= 1₋h+1−h 2

X

j6=i h|j−i| = 1₋h+1−h

2 · 2h 1₋h = 1

Agora, dado δ > 0, temos que, se _|j₋i_{| ≤} δ ent˜ao Wδ(h, i, j) = 0, o que implica que lim

n→0Wδ(h, i, j) = 0, nesses pontos. Agora, se _|j₋i_|> δ,

Wδ(h, i, j) = W(h, i, j)I{j:|j−i|>δ}

= (1−h)h

|j−i|

2

n→0

−→0,_∀δ >0, e al´em do mais,

Wδ(h, i, j)≤W(h, i, j)≤1 =Kδ(i) Para h pequeno temos γh(i) = 1 e

(28)

Exemplo 2.2 SejaE=R_e _ν₌_µ_{(medida de Lebesgue), considere}

W(h, x, y) = 1 h√2πexp

−(x−y)

2

2h2

,

W(h, x,_·) é a densidade de uma distribui¸cão normal com médiax e variânciah2. Portanto

Z

R

W(h, x, y)dy= 1 Dado δ >0, para _|x₋y_|> δ, temos

x₋y h > δ h

h→0

→ ∞

Assim, para os pontos onde _|x₋y_|> δ

0_≤Wδ(h,x,y) = W(h, x, y)I{y:|x−y|>δ}

= 1

h√2πexp

−(x−y)

2

2h2

I_{y:|x−y|>δ}

≤ 1

h√2πexp

− δ 2 2h2 = 1

h√2πe

−δ2

2h2 n→∞→ 0

Para _{y :_|x₋y_|> δ_}, derivandoWδ(h, x, y) em rela¸c˜ao a h,

W′(h, x, y) =e−(x2−hy2)2 ·

_(x₋_y)2₋_h2 h4√_2π

>0, parah < δ. Assim, Wδ(h, x, y) ´e crescente para h < δ.

Tomando h0 < δ, temos para 0< h≤h0

Wδ(h, x, y) = 1 h√2πexp

−(x−y)

2

2h2

I{y:|x−y|>δ}(y)

< 1 h0√2πexp

−(x−y)

2

2h2 0

I{y:|x−y|>δ}(y)

< 1 h0√2πexp

− δ 2 2h2 0

(29)

2.2 Resultados utilizados nas demonstra¸c˜oes das consistˆencias 29

Finalmente,

γh(x)W(h, x, y) = 2

√

2πexp

− (x−y)

2

2h2

≤ √2

2π =L(x).

2.2 Resultados utilizados nas demonstra¸

c˜

oes das

con-sistˆ

encias

Um dos resultados mais importantes no estudo dos Estimadores do Tipo Núcleo é o chamado Teorema de Bochner, utilizado em sua versão inicial emR_{em Parzen(1962), e estendido para o} Rm _{em Roussas(1967). A versão desse teorema para um espa¸co de estados geral} _E _foi

estabele-cida em Campos e Dorea(2001).

Lema 2.1 (Campos e Dorea (2001)) Seja g uma fun¸cão integrável sob (E,_E) e x_∈Cν(g). Assuma queW(h, x,_·) satisfaz a Condi¸cão 2.1, então

lim h→0

Z

E

W(h, x, y)g(y)ν(dy)₋g(x)

Z

E

W(h, x, y)ν(dy)

= 0 (2.8)

Demonstra¸c˜ao:

Sejax_∈Cν(g). Dado ǫ >0 existe δ >0, tal que,

ν_{y:_|y₋x_{| ≤}δ;_|g(y)₋g(x)_|> ǫ_}= 0 Considere A=_{y:_|y₋x_{| ≤}δ_}. Podemos escrever:

Z

E

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]ν(dy) =

Z

A∪AC

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]ν(dy) =

Z

A

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)ν(dy) +

Z

AC

Z

AC

(30)

Sabemos que, dadaf uma fun¸cão integrável, então _|R_Bf(x)ν(dx)_{| ≤}R_B_|f(x)_|ν(dx) e assim Z E

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]ν(dy)

= = Z A

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)ν(dy) +

Z

AC

Z

AC

W(h, x, y)ν(dy)

≤ Z A|

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]_|ν(dy) +

Z

AC|

W(h, x, y)g(y)_|ν(dy) +_|g(x)_|

Z

AC|

W(h, x, y)_|ν(dy).

Na ´ultima desigualdade chamemosI1 a primeira integral,I2 a segunda eI3 a terceira. Observe que A=_{y :_|y₋x_{| ≤}δ;_|g(y)₋g(x) _≤ǫ_{|} ∪ {}y :_|y₋x_{| ≤}δ;_|g(y)₋g(x)_|> ǫ_} e podemos reescrever I1:

Z

A|

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]_|ν(dy) =

Z

{y:|y−x|≤δ;|g(y)−g(x)|≤ǫ|}|

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]_|ν(dy) +

Z

{y:|y−x|≤δ;|g(y)−g(x)>ǫ|}|

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]_|ν(dy) Mas, pela Condi¸cão 2.1, W é uma densidade e sendo x_∈Cν(g), temos pela Defini¸cão 2.2:

Z

A|

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]_|ν(dy) =

Z

{y:|y−x|≤δ;|g(y)−g(x)≤ǫ|}|

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]_|ν(dy) +

Z

{y:|y−x|≤δ;|g(y)−g(x)>ǫ|}|

W(h, x, y)[g(y)₋g(x)]_|ν(dy)

≤ ǫ+ 0 como ǫfoi qualquer,I1 −→0

Para I2, observe que|W(h, x, y)IAC(y)g(y)|=|W_δ(h, x, y)g(y)| ≤K_δ(x)|g(y)|

ent˜ao, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada, temos

lim h→0

Z

AC|

W(h, x, y)g(y)_|ν(dy) =

Z

AC

lim

h→0|W(h, x, y)g(y)|ν(dy). Mas pela Condi¸c˜ao 2.1 temos lim

(31)

Para I3, já queν é σ-finita, existe uma sequência En que converge para E comν(En) <∞ e existe n0 tal que,

Z

AC|

Wδ(h, x, y)|ν(dy)−

Z

AC_∩_E n₀

|Wδ(h,x,y)|ν(dy)≤ǫ.

Pela Condi¸c˜ao 2.1, _|Wδ(h, x, y)| ≤ Kδ(x) e desde que ν(AC ∩En0) <∞, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada, obtemos

lim h→0

Z

AC_∩_E n₀

|Wδ(h, x, y)|ν(dy) =

Z

AC_∩_E n₀

lim

h→0|Wδ(h, x, y)|ν(dy) = 0 Como ǫ´e arbitr´ario, quandoh_→0, teremos

lim h→0

Z

AC|

Wδ(h, x, y)|ν(dy) = 0 Assim, como 0_≤ Z E

Z

E

W(h, x, y)ν(dy)

≤I1+I2+I3

obtemos, pelo Teorema do Sanduiche

lim h→0

Z E

Z

E

W(h, x, y)ν(dy)

= 0

Observa¸cão 2.1 Como, pela Condi¸cão 2.1, W é uma densidade sobre E, então temos

lim h→0

Z

E

W(h, x, y)g(y)ν(dy) =g(x) (2.9)

Observa¸cão 2.2 Se g é uma fun¸cão integrável sobre Ed _e _W_{, definida em} _Ed_{, satisfaz as} correspondentes hipóteses da Condi¸cão 2.1, teremos (2.9) comνd₌_ν_{× · · · ×}_ν

| {z }

d vezes

a medida produto

(32)

Observa¸c˜ao 2.3 Em particular, se W′_(h,_{(x, y),}_{(u, v)) =} _W_{(h, x, u)W}_{(h, y, v) e} _γ′

h(x, y) = ν2_{(u, v) :_|(u, v)₋(x, y)_{| ≤}h_}com as fun¸cõesW e γh satisfazendo a Condi¸cão 2.1, então W′ é uma densidade com respeito a ν2 _{e lim}

h→0γ

′

h(x, y) =γ(x, y)<∞. De fato,

Z

E2

W′(h,(x, y),(u, v))ν2(dudv) =

Z

E

h Z

E

W(h, x, u)W(h, y, v)ν(du)iν(dv) =

Z

E

W(h, y, v)ν(dv) = 1.

Para mostrarmos que lim h→0γ

′

h(x, y) =γ(x, y)<∞ utilizamos a hipótese que a fun¸cão γh(·) satisfaz a Condi¸cão 2.1 e provamos a seguinte desigualdade:

γ_√h

2 (x)γ_√h

2

(y)_≤γ_h′(x, y)_≤γh(x)γh(y). (2.10) Definindo os conjuntosA=_{u;_|u₋x_{| ≤} _√h

2},B={v;|v−y| ≤ h

√

2}eC={(u, v);|(u, v)−(x, y)| ≤h} n˜ao ´e dif´ıcil mostrar queA_×B _⊂C. De fato,

dadosu_∈Aev_∈Btemos_|u₋x_|2_≤ h 2

2 e|v−y| 2 _≤ h2

2 , o que implica em|u−x|

2₊_|_v₋_y_|2_≤_h2_, ou seja (u, v) _∈ C. Mas se A_×B _⊂ C, ent˜ao ν(A)ν(B) = ν2(A_×B) _≤ ν2(C) e portanto γ_√h

2 (x)γ_√h

2

(y)_≤γ_h′(x, y).

Considerando o mesmo conjuntoCe os conjuntosA′ =_{u;_|u₋x_{| ≤}h_}eB′ =_{v;_|v₋y_{| ≤}h_}, n˜ao ´e dif´ıcil mostrar queC _⊂A_×B e desta forma: ν2(C)_≤ν2(A′_×B′) =ν(A)ν(B), ou seja, γ_h′(x, y)_≤γh(x)γh(y), o que prova (2.10).

Temos, a partir da desigualdade

W_δ′(h,(x, y),(u, v))_≤W_√δ

2

(h, x, u) +W_√δ

2

(h, y, v)

e usando a hip´otese de que a fun¸c˜aoW δ

√ 2

satisfaz (2.6) e queW′(h,(x, y),(u, v)) =W(h, x, u)W(h, y, v) satisfaz:

lim n→∞W

′

δ(h,(x, y),(u, v)) = 0 eWδ′(h,(x, y),(u, v))≤Kδ(x, y)<∞. sendo W_δ′(h,(x, y),(u, v)) =W′(h,(x, y),_·)I_{|₍u,v)−(x,y)|>δ}(·) e Kδ(x, y) =K_√δ

2

(x) +K_√δ

2 (y). Mais ainda, por (2.7) temos:

(33)

Portanto, se (x, y) pertence ao conjunto dos pontos de ν continuidade da g, C_ν2(g) temos pelo Lema 2.1 que

lim h→0

Z

E2

W(h, x, u)W(h, y, v)g(u, v)ν2(dudv) =g(x, y). (2.11) Para a conclusão do teorema que garante a consistência forte do estimador da densidade de transi¸cão que é o principal resultado de Dorea(2002), foi feito uso da seguinte proposi¸cão que é consequência direta do lema de Borel-Cantelli, onde se trata da convergência quase certa de uma sequência de variáveis aleatórias. Enunciamos a seguir a proposi¸cão e sua demonstra¸cão.

Proposi¸cão 2.1 Seja_{Xn}_n_≥₁uma sequência de variáveis aleatórias sob algum espa¸co de prob-abilidade (Ω,_F, P).

a) Se

∞

X

n=1

P(_|Xn|> ǫ)<∞ para cada ǫ >0 ent˜ao P( lim

n→∞Xn= 0) = 1

b) Se_{Xn}n≥1 s˜ao duas a duas independentes e P( lim_n_→∞Xn= 0) = 1 ent˜ao

∞

X

n=1

P(_|Xn|> ǫ)<∞para cadaǫ >0.

Demonstra¸c˜ao:

a) Fixadoǫ >0 sejaAn={|Xn|> ǫ}. Como, por hip´otese,

∞

X

n=1

P(_|Xn|> ǫ)<∞, ent˜ao pelo lema de Borel-Cantelli P(limAn) =P(limn→∞Xn) = 0.

Sabemos que,

limAn={ω, tais queωpertence a um numero infinito deAn}

(limAn)C = {ω; existen(ω)<∞tal que para todon≥n(ω), ω /∈An} = _{ω; existen(ω)<_∞tal que para todon_≥ n(ω),_|Xn(ω)|< ǫ} = Bǫ

Assim, temos que,

∞

X

n=1

(34)

Agora, sejaB =

∞

\

r=1 B1

r e note que,

∞

\

r=1 B1

r ={ω; limn→∞|Xn(w)|= 0}.

Como,

0_≤P(BC) =P(

∞

[

r=1 BC1

r

)_≤

∞

X

r=1 P(BC1

r

) = 0

temos que,P(B) = 1, ou seja,

P_{ω: lim

n→∞|Xn(ω)|= 0}= 1

o que conclui a demonstra¸c˜ao do item (a) do lema.

b) Suponha, por absurdo, que

∞

X

n=1

P(_|Xn|> ǫ0) =∞ para algum ǫ0 >0. SejaAn={|Xn|> ǫ0_}, desde que_{Xn}n≥1 são duas a duas independentes, então{An}n≥1 também são. Pelo Lema de Borel-Cantelli, P(limAn) = 1.

Mas, ω_∈limAn⇒lim sup

n→∞|Xn| ≥ǫ0. Ent˜ao, P( limn→∞|Xn|= 0) = 0,

o que ´e um absurdo, pois P( lim

n→∞|Xn|= 0) = 1.

Defina _Fk=σh{X1,· · · , Xk}ie Fk∞=σh{Xk, Xk+1,· · · }i.

O Teorema 16.0.2 de Meyn e Tweedie(1994), entre as suas várias equivalências, mostra que uma Cadeia de Markov uniformemente ergódica converge com velocidade geométrica, ou seja,

kPn(x,_·)₋P∞(·)k ≤βρn. (2.12)

sendo β e ρ constantes com 0_≤ρ <1.

A partir desse resultado temos, para o caso particular da fun¸c˜ao η = IA com A ∈ Fk∞, a demonstra¸c˜ao do seguinte resultado:

(35)

E(η|Fj)− Z

ηdP∞

≤βρ

k−j_{, j} _{= 1,}_{2, . . . , k,} _(2.13) sendo P∞(A) =

Z

A

p(y)ν(dy) ep a densidade estacion´aria.

A demonstra¸cão das consistências das densidades marginal e conjunta tem por roteiro a verifica¸cão das hipóteses do seguinte Lema:

Lema 2.3 (Devroye(1991)) Seja_G0 ={⊘, E} ⊂ G1 ⊂. . .⊂ Gnuma sequência deσ- álgebras encaixadas. Seja U uma variável aleatória_Gn- mensurável e integrável. Defina a Doob Martin-galeUk=E(U|Gk). Assuma que existe uma variável aleatóriaGk−1 - mensurávelVke constantes ak tais queVk≤Uk ≤Vk+ak. Então, dadoǫ >0,

P(_|U ₋EU_{| ≥}ǫ)_≤4exp

− 2ǫ

2

Pn k=1ak2

(36)

Consistˆ

encia Forte dos Estimadores

Tipo N´

ucleo para Densidade de

Transi¸

c˜

ao.

Seja_{Xn} uma cadeia de Markov homogênea uniformemente ergódica com densidade inicial estacionáriap(_·). Nosso objetivo neste cap´ıtulo é o estudo da demonstra¸cão da consistência forte dos estimadores da densidade inicial,

pn(x) = 1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk) (3.1)

e do estimador da densidade conjunta,q(x, y) =t(y_|x)p(x) qn(x, y) =

1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1). (3.2)

Para, finalmente, chegarmos na consistˆencia forte do estimador da densidade de transi¸c˜aot(y_|x),

tn(x, y) =

Pn

k=1(W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1))

Pn

j=1(W(h, x, Xj))

. (3.3)

(37)

37

Teorema 3.1 Sejax_∈Cν(p) com p(x)>0 e seja (x, y)∈Cν2(t). Assuma que

X

n≥1

exp_{−nγ_h2(x)γ_h2(y)α_}<_∞, _∀α >0 (3.4)

e queW(h, x,_·) e W(h, y,_·) satisfazem a Condi¸c˜ao 2.1. Ent˜ao

P( lim

n→∞tn(y|x) =t(y|x)) = 1. (3.5)

Definindo

pn(x) = _n1 n

X

k=1

W(h, x, Xk) e qn(x, y) = _n1 n

X

k=1

W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1).

Para provar (3.5) Dorea(2002) mostrou que,

P lim

n→∞pn(x) =p(x)

= 1 eP lim

n→∞qn(x, y) =p(x)t(y|x)

= 1. (3.6)

Primeiramente, vamos estudar o n˜ao-v´ıcio assint´otico de pn e qn.

Considerando p(_·) a densidade inicial do processo e sendo p(_·) a densidade estacion´aria, temosX1, X2,· · · , Xn identicamente distribu´ıdas com densidade marginalp. Assim

E pn(x)

= E1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk)

= 1

n n

X

k=1

E W(h, x, Xk)

= E W(h, x, X1) =

Z

W(h, x, u)p(u)ν(du) e, pelo Lema 2.1, para cadax_∈Cν(p)

(38)

Seguindo o mesmo racioc´ınio,

E qn(x, y)

= E1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1)

= 1

n n

X

k=1

E W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1)

= E W(h, x, X1)W(h, y, X2) =

Z

E2

W(h, x, u)W(h, y, v)p(u)t(u, v)ν2(dudv) e por (2.11), para cada (x, y)_∈Cν2(g) temos

E qn(x, y)

−→p(x)t(y_|x) quandon_{→ ∞}. (3.8)

3.1 Estima¸

c˜

ao da Densidade Marginal

Estudaremos nesta se¸c˜ao a consistˆencia forte do Estimador da Densidade Marginal. Para provar quepn(x)

q.c

→p(x) ´e suficiente mostrar que

pn(x)−E pn(x) q.c

→0. (3.9)

De fato, observe que

0_{≤ |}pn(x)−p(x)| = |pn(x)−E pn(x)+E pn(x)−p(x)|

≤ |E pn(x)−p(x)|+|pn(x)−E pn(x)|.

e sabemos por (3.7) quepn(x) ´e um estimador assintoticamente n˜ao viciado, ou seja,E pn(x)

→

p(x)

Mostraremos (3.9) verificando as hipóteses da Proposi¸cão 2.1 para a sequênciapn(x)−E(pn(x)). Note que, pelo item (b) da Condi¸cão 2.1, lim

h→0γh(y) =γ(y), segue que γh(y) ´e uma sequˆencia limitada e portanto existe M > 0 tal que γh(y) ≤ M. Assim, para uma constante αǫ > 0 podemos escrever

(39)

3.1 Estima¸c˜ao da Densidade Marginal 39

e fazendoαǫM2 =α, temos junto com (3.4) a seguinte convergˆencia:

X

n≥1

exp_{−nγ2_h(x)αǫ} ≤

X

n≥1

exp_{−nγ_h2(y)γ_h2(x)α_}<_∞

Assim, se provarmos que para ǫ >0 existe αǫ e n0 tal que∀n≥n0 P _|pn(x)−E(pn(x))| ≥ǫ

≤4exp_{−nγ_h2(x)αǫ} (3.10) teremos

∞

X

n=1

P _|pn(x)−E(pn(x))| ≥ǫ = n0−1

X

n=1

P _|pn(x)−E(pn(x))| ≥ǫ+

∞

X

n=n0

P _|pn(x)−E(pn(x))| ≥ǫ

≤

n0−1

X

n=1

P _|pn(x)−E(pn(x))| ≥ǫ+

∞

X

n=n1

4exp_{−nγ_h2(x)αǫ} < _∞.

Logo,

X

n≥1

P_|pn(x)−E pn(x)| ≥ǫ

<_∞

e considerando Zn =pn(x)−E(pn(x)), pelo item (a) da Proposi¸c˜ao 2.1, temos a convergˆencia desejada.

Seja

µn=γh(x)E W(h, x, Xk)

(3.11)

e paras_≥0 defina

As(Xj) =

X

r≥s

[E γh(x)W(h, x, Xj+r)|Fj−µn]. (3.12)

Observe que da Condi¸c˜ao 2.1(c), por (2.7)

γh(x)W(h, x, y)≤L(x)<∞.

Sabemos tamb´em que a cadeia satisfaz a Condi¸c˜ao 2.1(a), considerandoη=γh(x)W(h, x, Xj+r), 0_≤s_≤r, temos pelo Lema 2.2, que existem constantes β e 0_≤ρ <1, tais que

E γ_h(x)W(h, x, X_j₊_r)|F_j− Z

γh(x)W(h, x, u)p(u)ν(du)

(40)

o que implica em

|E γh(x)W(h, x, Xj+r)|Fj

−γh(x)E W(h, x, Xk)

| ≤βρr, ou seja,

|E γh(x)W(h, x, Xj+r)|Fj−µn| ≤βρr, e portanto:

|As(Xj)| ≤

X

r≥s

βρr =A <_∞. (3.13)

Note que,

A0(Xj)−A1(Xj) =

X

r≥0

[E γh(x)W(h, x, Xj+r)|Fj

−µn]

− X

r≥1

[E γh(x)W(h, x, Xj+r)|Fj−µn] = E γh(x)W(h, x, Xj)|Fj−µn = γh(x)W(h, x, Xj)−µn. Assim definindo U =

n

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)] e, usando (3.1) e (3.11), podemos escrever: U =

n

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)]

= [A0(X2)−A1(X1)] + [A0(X3)−A1(X2)] +· · ·+ [A0(Xn−1)−A1(Xn−2)] + [A0(Xn)−A1(Xn−1)] = [A0(X2)−A1(X2)] + [A0(X3)−A1(X3)] +· · ·+ [A0(Xn−1)−A1(Xn−1)]−[A1(X1)−A0(Xn)] =

n−1

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj)]−[A1(X1)−A0(Xn)]

= n

X

j=1

[A0(Xj)−A1(Xj)]−[A0(X1)−A1(Xn)]

= γh(x) n

X

j=1

W(h, x, Xj)−nµn−[A0(X1)−A1(Xn)] = nγh(x)[pn(x)−E pn(x)

]₋[A0(X1)₋A1(Xn)]. Assim,

U =nγh(x)[pn(x)−E pn(x)

(41)

Vamos agora verificar queU satisfaz as hip´oteses do Lema 2.3 onde_Gk =Fk,Vk=Uk−1−2A e ak = 4A.

Pela maneira que foi definida, temos que a vari´avel aleat´oria

U = n

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)] =nγh(x)[pn(x)−E pn(x)

]₋[A0(X1)−A1(Xn)] (3.15)

é_Fn- mensurável eVk=Uk−1−2A=E(U|Fk−1)−2AéFk−1- mensurável.

Usando as defini¸c˜oes (3.11) e (3.12) e as propriedades da esperan¸ca condicional temos para k > j

E As(Xj)|Fk = E

X

r≥s

[E γh(x)W(h, x, Xj+r)|Fj−µn]|Fk

= X

r≥s

−µn]

= As(Xj) (3.16)

e, para k_≤j

E As(Xj)|Fk

= E X

r≥s

−µn]|Fk

= X

r≥s

[E γh(x)W(h, x, Xj+r)|Fk−µn]

Observe que, como r _≥ s, temos j₋k+r _≥ j₋k+s. Seja r1 = j₋k+r > 0, assim, j+r=j₋k+k+r=r1+k e podemos reescrever

E As(Xj)|Fk

= X

r≥s

[E γh(x)W(h, x, Xj+r)|Fk

−µn]

= X

r1≥j−k+s

[E γh(x)W(h, x, Xk+r1)|Fk

−µn]

(42)

Sendo Uk=E(U|Fk), temos por (3.16) e (3.17) que para 2≤k≤n, Uk = E(U|Fk)

= E n

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)]|Fk = n

X

j=2

E[A0(Xj)−A1(Xj−1)|Fk] =

k−1

X

j=2

E[A0(Xj)−A1(Xj−1)|Fk] + n

X

j=k

E[A0(Xj)−A1(Xj−1)|Fk] =

k−1

X

j=2

E[A0(Xj)−A1(Xj−1)] +A0(Xk)−A1(Xk−1) + n

X

j=k+1

[Aj−k(Xk)−Aj−1−k+1(Xk)] =

k

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)]

Por (3.13), temos que_|As(Xj)| ≤A ou seja,−A≤As(Xj)≤A e podemos escrever

Uk = k

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)] =

k−1

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)] + [A0(Xk)−A1(Xk−1)]

≥

k−1

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)]−2A = Uk−1−2A

e tamb´em

Uk = k

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)] =

k−1

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)] + [A0(Xk)−A1(Xk−1)]

≤

k−1

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)] + 2A

= Uk−1+ 2A.

(43)

Usando (3.14) e propriedades da esperan¸ca temos queU tamb´em satisfazEU = 0. De fato,

EU = E_{ n

X

j=2

[A0(Xj)−A1(Xj−1)]} =

n

X

j=2

E[A0(Xj)−A1(Xj−1)] = nγh(x)E[Pn(x)−E Pn(x)

]₋E[A0(X1)₋A1(Xn)] = ₋E[A0(X1)₋A1(Xn)].

CalculandoE[A1(Xn)]−E[A0(X1)], teremos E[A1(Xn)]−E[A0(X1)] =

X

r≥1

E[E γh(x)W(h, x, Xn+r)|Fn−µn]−

X

r≥0

E[E γh(x)W(h, x, X1+r)|F1−µn]

= X

r≥1

[E(γh(x)W(h, x, Xn+r))−µn]−

X

r≥0

[E(γh(x)W(h, x, Xr+1))−µn] = 0.

Portanto podemos escrever a conclus˜ao do Lema 2.3 da seguinte forma:

P(_|U ₋EU_{| ≥}ǫ)_≤4exp −2ǫ 2

n16A2 . (3.18)

Com o objetivo de concluirmos (3.9), usando (3.14), podemos escrever

P_|pn(x)−E(pn(x))| ≥ǫ

=P_|U + [A0(X1)₋A1(Xn)]| ≥nγh(x)ǫ

≤P_|A0(X1)₋A1(Xn)| ≥

nγh(x)ǫ 2

+P_|U ₋EU_{| ≥} nγh(x)ǫ 2

, mas _|A0(·)−A1(·)|´e limitada, portanto existe n0 tal que para todon≥n0 temos P_|A0(X1)₋A1(Xn)| ≥

nγh(x)ǫ 2

= 0 e por (3.18)

P_|U ₋EU_{| ≥} nγh(x)ǫ 2

≤4expn₋nγ 2 h(x)ǫ2 32A2

o

.

Considerando αǫ = ǫ2

32A2, temos que para todo n≥n0

P_|U_{| ≥} nγh(x)ǫ 2

≤4expn₋nγh2(x)αǫ

o

(44)

3.2 Estima¸

c˜

ao da Densidade Conjunta

Nosso objetivo nesta se¸cão é estudar a consistência forte do estimador da densidade conjunta bidimensional e com isso, tendo a consistência forte do estimador da densidade marginal, teremos um estimador fortemente consistente para a densidade de transi¸cão do processo.

Queremos verificar que:

P lim

n→∞qn(x, y) =p(x)t(y|x)

= 1 (3.19)

ou seja,

qn(x, y) q.c.

→ p(x)t(y_|x) (3.20)

onde, como j´a definido

qn(x, y) = 1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1). (3.21)

Para isso, como na demonstra¸cão da consistência da densidade marginal, é suficiente mostrar que

qn(x, y)−E qn(x, y) q.c

→0. (3.22)

De fato, temos que

0_{≤ |}qn(x, y)−p(x)t(y|x)| ≤ |E qn(x, y)

−p(x)t(y_|x)_|+_|qn(x, y)−E qn(x, y)

|

e sabemos por (3.8) queqn(x, y) ´e um estimador assintoticamente n˜ao viciado, ou seja, E(qn(x, y))

q.c

→p(x)t(y_|x). Mostraremos (3.22) verificando as hipóteses da Proposi¸cão 2.1 para a sequênciaqn(x, y)−E qn(x, y)

.

Se verificarmos que, dado ǫ >0, existeβǫ >0 en0, tal que para todon≥n0

P(_|qn(x, y)−Eqn(x, y)| ≥ǫ)≤4exp{−nγh2(x)γh2(y)βǫ}. (3.23) teremos, junto com (3.4)

∞

X

n=1

P _|qn(x, y)−Eqn(x, y)| ≥ǫ

= n0−1

X

n=1

+

∞

X

n=n0

≤

n0−1

X

n=1

+

∞

X

n=n0

(45)

3.2 Estima¸c˜ao da Densidade Conjunta 45

E novamente, considerando Zn =qn(x, y)−Eqn(x, y), pelo item (a) da Proposi¸c˜ao 2.1, temos (3.19).

Seja

ρn=γh(x)γh(y)E{W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1)} (3.24) e paras_≥0 ej_≥1 defina,

Bs(Fj+1) =

X

r≥s

[E γh(x)γh(y)W(h, x, Xj+r)W(h, y, Xj+1+r)|Fj+1

−ρn] (3.25) Verificaremos agora queBs(·) est´a bem definida. Para s= 0: observe que

|B0(Fj+1)| = |

X

r≥0

−ρn]| = _|[E γh(x)γh(y)W(h, x, Xj)W(h, y, Xj+1)|Fj+1−ρn] +B1(Fj+1)|

≤ |[E γh(x)γh(y)W(h, x, Xj)W(h, y, Xj+1)|Fj+1|+|ρn]|+|B1(Fj+1)|. Da Condi¸c˜ao 2.1(c) temos γh(x)W(h, x,·)≤L(x)<∞, ent˜ao

γh(x)W(h, x, u)γh(y)W(h, y, v)≤L(x)L(y). Logo temos

E γh(x)γh(y)W(h, x, Xj)W(h, y, Xj+1)|Fj+1

≤ E L(x)L(y)_|Fj+1

= L(x)L(y) e tamb´em

|ρn| ≤L(x)L(y). Assim,

|B0(Fj+1)| ≤2L(x)L(y) +|B1(Fj+1)|. Agora, para s= 1, temos

|B1(Fj+1)| = |

X

r≥0

(46)

Agora, novamente pela Condi¸c˜ao 2.1(c) temos que γh(x)W(h, x, Xj+1)≤L(x) e γh(y)W(h, y, Xj+2)≤L(y).

Assim

E γh(x)γh(y)W(h, x, Xj+1)W(h, y, Xj+2)|Fj+1 ≤ E[L(x)L(y)|Fj+1] = L(x)L(y).

Desse modo, teremos

|B1(Fj+1)| = |[E γh(x)γh(y)W(h, x, Xj+1)W(h, y, Xj+2)|Fj+1

−ρn] +B2(Fj+1)|

≤ |L(x)L(y)_|+_|ρn|+|B2(Fj+1)|

≤ |L(x)L(y)_|+_|L(x)L(y)_|+_|B2(Fj+1)| = 2_|L(x)L(y)_|+_|B2(Fj+1)|

= 2L(x)L(y) +_|B2(Fj+1)|. Logo, paras <2, temos que

|Bs(Fj+1)| ≤ 2L(x)L(y) +|Bs+1(Fj+1)|.

Assim, vemos que paras <2, a limita¸c˜ao deBs(Fj+1) depende da limita¸c˜ao de Bs+1(Fj+1). Estudaremos agora o que ocorre com Bs(Fj+1) quandos≥2.

Para s_≥2, temos, Bs(Fj+1) =

X

r≥s

Z

E2

γh(x)γh(y)W(h, x, u)W(h, y, v)[Pr−1(Xj+1, du)−P∞(du)]P(u, dv).

Da Condi¸c˜ao 2.1(c) e usando 2.13, temos existem constantesβ e ρ,0_≤ρ <1 tais que

|Bs(Fj+1)| ≤ L(y)

X

r≥s

Z

E2

γh(x)W(h, x, u)[Pr−1(Xj+1, du)−P∞(du)]

≤ L(x)L(y)X r

βρr < _∞.

Seja B tal que,

|Bs(Fj+1)| ≤B <∞ (3.26) Note que

(47)

Definindo U =Pn_j₌₂[B0(Fj+1)−B1(Fj)] e de (3.2) e (3.28) podemos escrever,

U = n

X

j=2

[B0(_Fj+1)−B1(Fj)]

= [B0(F3)−B1(F2)] + [B0(F4)−B1(F3)] +· · ·+ [B0(Fn)−B1(Fn−1)] + [B0(Fn+1)−B1(Fn)] = [B0(F3)−B1(F3)] + [B0(F4)−B1(F4)] +· · ·+ [B0(Fn−1)−B1(Fn−1)] + [B0(Fn)−B1(Fn)] +

[B0(Fn+1)−B1(F2)] =

n+1

X

j=2

[B0(Fj+1)−B1(Fj+1)] + [B1(Fn+1)−B0(F2)]

= n

X

j=1

[B0(Fj+1)−B1(Fj+1)] + [B1(Fn+1)−B0(F2)] = nγh(x)γh(y)[qn(x, y)−E qn(x, y)

]₋[B0(_F2)₋B1(_Fn+1)]. Assim,

U = nγh(x)γh(y)[qn(x, y)−E qn(x, y)]−[B0(F2)−B1(Fn+1)]. (3.27) Verificaremos agora queU satisfaz as hip´oteses do Lema 2.3 onde_Gk =Fk+1,Vk=Uk−1−2B e ak = 4B.

Temos que a vari´avel aleat´oria

U = n

X

j=2

[B0(_Fj+1)−B1(Fj+1)] =nγh(x)γh(y)[qn(x, y)−Eqn(x, y)]−[B0(F2)−B1(Fn+1)] é_Fn+1- mensurável pela maneira que foram definidas e que Vk =Uk−2B =E(U|Fk−1)−2B é_Fk−1- mensurável.

Agora, para k > j, usando as defini¸c˜oes (3.28), (3.29) e propriedades de esperan¸ca condi-cional, temos

E Bs(Fj+1)|Fk+1 = E

X

r≥s

[E γh(x)γh(y)W(h, x, Xj+r)W(h, y, Xj+1+r)|Fj+1−ρn]|Fk+1

= X

r≥s

−ρn]

= Bs(Fj+1) (3.28)

e, para k_≤j E Bs(Fj+1)|Fk+1

= E X

r≥s

[E γh(x)γh(y)W(h, x, Xj+r)W(h, y, Xj+1+r)|Fj+1−ρn]|Fk+1

= X

r≥s

(48)

Observe que, como r _≥ s, temos j ₋k+r _≥ j ₋k+s. Seja r1 = j−k+r > 0, ent˜ao j+r=j₋k+k+r=r1+k. Logo, na ultima igualdade reescrevemos

E Bs(Fj+1)|Fk+1 =

X

r≥s

[E γh(x)γh(y)W(h, x, Xj+r)W(h, y, Xj+1+r)|Fk+1−ρn]

= X

r1≥j−k+s

[E γh(x)γh(y)W(h, x, Xk+r1)W(h, y, Xk+1+r1)|Fk+1

−ρn]

= Bj−k+s(Fk+1). (3.29)

Assim, sendo Uk=E(U|Fk+1), usando (3.28) e (3.29), para 2≤k≤n, temos

Uk = E(U|Fk+1) = E_{

n

X

j=2

[B0(_Fj+1)−B1(Fj)]|Fk+1}

= k−1

X

j=2

E[B0(_Fj+1)−B1(Fj)|Fk+1] + n

X

j=k

E[B0(_Fj+1)−B1(Fj)|Fk+1]

= k−1

X

j=2

[B0(Fj+1)−B1(Fj)] +B0(Fk+1)−B1(Fk) + n

X

j=k+1

[Bj−k(Fk+1)−Bj−1−k+1(Fk+1)] =

k

X

j=2

[B0(Fj+1)−B1(Fj)]. (3.30)

Usando (3.26) e (3.30), é de fácil verifica¸cão que

Uk−1−2B ≤Uk≤Uk−1+ 2B. Logo,

(49)

Temos que, usando (3.27) e propriedades de probabilidade condicional também é válido que EU = 0. De fato

EU = E_{ n

X

j=2

[B0(Fj+1)−B1(Fj)]}

= n

X

j=2

E[B0(Fj+1)−B1(Fj)]

= nγh(x)γh(y)E[qn(x, y)−E qn(x, y)

]₋E[B0(_F2)₋B1(_Fn+1)] = ₋E[B0(_F2)−B1(Fn+1)].

Mas, temos que,

E[B0(F2)] =

X

r≥0

E[E γh(x)γh(y)W(h, x, X1+r)W(h, y, X2+r)|F2

−ρn]

= X

r≥1

E[ γh(x)γh(y)W(h, x, X1+r)W(h, y, X2+r)

−ρn] = 0

e tamb´em

E[B1(Fn+1)] =

X

r≥1

E[ γh(x)γh(y)W(h, x, Xn+r)W(h, y, Xn+1+r)−ρn] = 0.

Portanto o resultado do Lema 2.3 pode ser reescrito como,

P(_|U_{| ≥}ǫ)_≤4exp_{ −2ǫ 2

n32B2}. (3.31)

Assim, para concluirmos (3.29), usando (3.34) temos que

P_|qn(x, y)−E(qn(x, y))| ≥ǫ

=P_|U+ [B0(F2)−B1(Fn+1)]| ≥nγh(x)γh(y)ǫ

≤P_|B0(F2)−B1(Fn+1)| ≥

nγh(x)γh(y)ǫ 2

+P_|U₋EU_{| ≥} nγh(x)γh(y)ǫ 2

. Como_|B0(·)−B1(·)|´e limitada, existen0 tal que para todon≥n0

P_|B0(F2)−B1(Fn+1)| ≥

nγh(x)γh(y)ǫ 2

(50)

e por (3.31),

P_|U_{| ≥} nγh(x)γh(y)ǫ 2

≤4expn₋nγ 2

h(x)γh2(y)ǫ2 32B2

o

.

Considerando βǫ = ǫ2 32B2,

P_|U_{| ≥} nγh(x)γh(y)ǫ 2

≤4expn₋nγ_h2(x)γ_h2(y)βǫ

o

Como queriamos verificar. Assim, comopn(x)

q.c.

→ p(x) eqn(x, y) q.c

→p(x)t(y_|x), pelo teorema de Slutsky, temostn(y|x) q.c

(51)

Conclus˜

ao

Neste trabalho, baseados em Dorea(2002), estudamos a consistência forte do estimador do tipo núcleo para a densidade de transi¸cão de uma cadeia de Markov uniformemente ergódica, com densidade inicial estacionária e espa¸co de estados geralE _⊂Rd_{. O estimador da densidade}

de transi¸c˜ao do processo foi definido como sendo

tn(x, y) =

Pn

k=1(W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1))

Pn

j=1(W(h, x, Xj))

.

com a fun¸cão pesoW(h,_·,_·) e a sequênciah satisfazendo certas condi¸cões de regularidade. Para verificar a consistência forte de tal estimador foi verificada a consistência forte do estimador da densidade marginal, definido como sendo

pn(x) = 1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk)

e a consistˆencia forte do estimador da densidade conjunta definido por

qn(x, y) = 1 n

n

X

k=1

W(h, x, Xk)W(h, y, Xk+1). .

Foi verificado que tanto o estimador da densidade marginal, como o estimador da densidade conjunta s˜ao assintoticamente n˜ao viciados, ou seja

lim

n→∞E[pn(x)] =p(x),∀x∈Cν(p)

(52)

lim

n→∞E[qn(x, y)] =p(x)t(y|x).

A partir da consistência forte desses dois estimadores, usando propriedades básicas de con-vergência de sequências de variáveis aleatórias, fica verificada a consistência forte do estimador da densidade de transi¸cão da cadeia.

(53)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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