Solução numérica do modelo Giesekus para escoamentos com superfícies livres

Solução numérica do modelo Giesekus para

escoamentos com superfícies livres

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________

Matheus Tozo de Araujo

Solução numérica do modelo Giesekus para escoamentos

com superfícies livres

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências – Ciências de Computação e Matemática Computacional. VERSÃO REVISADA

Área de Concentração: Ciências de Computação e Matemática Computacional

Orientador: Prof. Dr. Murilo Francisco Tomé

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Araujo, Matheus Tozo de

A634s Solução numérica do modelo Giesekus para escoamentos com superfícies livres / Matheus Tozo de Araujo; orientador Murilo Francisco Tomé. – São Carlos – SP, 2015.

79 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Ciências de Computação e Matemática Computacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,

Universidade de São Paulo, 2015.

Matheus Tozo de Araujo

Numerical solution of the Giesekus model for free surface

flows

Master dissertation submitted to the Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of the Master Program in Computer Science and Computational Mathematics. FINAL VERSION

Concentration Area: Computer Science and Computational Mathematics

Advisor: Prof. Dr. Murilo Francisco Tomé

À minha família, em especial aos meus pais, Wilton e Salete e meu irmão Marcelo,

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus por essa conquista.

Ao meu orientador, Prof. Murilo Francisco Tomé, pela dedicação, amizade, conhecimentos transmitidos e pela oportunidade de desenvolver este trabalho.

A todos os professores do LMACC/ICMC-USP.

Aos meus professores de graduação da UNESP de São José de José do Rio Preto, em especial aos professores Adalberto Spezamiglio, Maria Gorete C. Andrade, Claudio A. Buzzi, Maurílio Boaventura e Heloisa H. M. Silva, pela amizade e conhecimentos transmitidos.

Aos meus pais Wilton e Salete, meu irmão Marcelo e minha avó Zulmira por todo apoio e incentivo.

A minha noiva Amanda, por todo carinho, apoio, paciência e compreensão, que fizeram que meus dias se tornassem melhores durante essa jornada.

Aos amigos de graduação e do grupo PET-Matemática, pelos anos em que estivemos comparti-lhando momentos inesquecíveis.

A todos os meus amigos, que me acompanharam ao longo desse projeto, em especial aos amigos do LMACC/ICMC-USP.

Ao CNPq pelo auxílio financeiro.

RESUMO

ARAUJO, M. T.. Solução numérica do modelo Giesekus para escoamentos com superfícies livres. 2015.79f. Dissertação (Mestrado em Ciências – Ciências de Computação e Matemática

Computacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC/USP), São Carlos – SP.

Este trabalho apresenta um método numérico para simular escoamentos viscoelásticos bidi-mensionais governados pela equação constitutiva Giesekus [Schleiniger e Weinacht 1991]. As equações governantes são resolvidas pelo método de diferenças finitas numa malha deslocada. A superfície livre do fluido é modelada por partículas marcadoras possibilitando assim a sua visualização e localização. O cálculo da velocidade é efetuado por um método implícito enquanto a pressão é calculada por um método explícito. A equação constitutiva de Giesekus é resolvida pelo método de Euler modificado explícito.

O método numérico desenvolvido nesse trabalho é verificado comparando-se a solução numérica com a solução analítica para o escoamento de um fluido Giesekus em um canal. Resultados de convergência são obtidos pelo uso de refinamento de malha. Os resultados alcançados incluem um estudo da aplicação do modelo Giesekus para simular o escoamento numa contração planar 4:1 e o problema de um jato incidindo sobre uma placa rígida, em que o fenômeno ‘jet buckling’ é simulado.

Palavras-chave: Modelo Giesekus, Diferenças finitas, Escoamentos viscoelásticos, Superfície

ABSTRACT

ARAUJO, M. T.. Solução numérica do modelo Giesekus para escoamentos com superfícies livres. 2015.79f. Dissertação (Mestrado em Ciências – Ciências de Computação e Matemática

Computacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC/USP), São Carlos – SP.

This work presents a numerical method to simulate two-dimensional viscoelastic flows governed by the Giesekus constitutive equation [Schleiniger e Weinacht 1991]. The governing equations are solved by the finite difference method on a staggered grid. The free surface of the fluid is modeled by tracer particles thus enabling its visualization and location. The calculation of the velocity is performed by an implicit method while pressure is calculated by an explicit method. The Giesekus constitutive equation is resolved by the explicit modified Euler method.

The numerical method developed in this work is verified by comparing the numerical solution with the analytical solution for the flow of a Giesekus fluid in a channel. Convergence results are obtained by the use of mesh refinement. Results obtained include a study of the application of the Giesekus model to simulate the flow through a 4:1 contraction and the problem of a jet flowing onto a rigid plate where the phenomenon of jet buckling is simulated.

Key-words: Giesekus model, Finite Difference, Viscoelastic flows, Free surface,

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Tipos de contornos utilizados. . . 24

Figura 2 – a) Célula utilizada; b) Tipos de células na malha. . . 27

Figura 3 – Representação do fluido. . . 28

Figura 4 – Aproximações para a superfície livre. . . 32

Figura 5 – Velocidades utilizadas para o cálculo deuPevP. . . 34

Figura 6 – Domínio computacional de um canal bidimensional. . . 40

Figura 7 – Linhas de nível obtidas na simulação do escoamento completamente desen-volvido em um canal, utilizando a malhaM5. . . 41

Figura 8 – Convergência dos valores numéricos de∂p/∂xpara o valor obtido no cálculo da solução analítica. . . 42

Figura 9 – Comparação das soluções numéricas obtidas nas malhasM1,M2,M3,M4 e M5. a) Tensãoτxx, b) tensãoτxy, c) tensãoτyye d) variação de velocidade ∂u/∂y. . . 42

Figura 10 – Comparação das velocidades analítica e Newtoniana com a velocidade numé-rica obtida nas malhasM1,M2,M3,M4 eM5. . . 43

Figura 11 – Decrescimento dos erros relativos obtidos nas malhasM1,M2,M3,M4 eM5. 44 Figura 12 – Domínio computacional para a simulação do escoamento em uma contração planar 4:1. . . 45

Figura 13 – Linhas de nível obtidas na simulação do escoamento em uma contração planar 4:1 na malhaM3. . . 46

Figura 14 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar obtida nas malhasM1,M2 eM3 ao longo do eixo de simetria. a) Pressão e b) gradiente de pressão. . . 47

Figura 15 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar obtida nas malhasM1,M2 eM3 ao longo do eixo de simetria. a) Velocidadeu(x)e b) velocidadev(x). . . 47

Figura 18 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar 4:1. Resultados obtidos com Re=1 e α =0.1. a)Wi=0.25, b)Wi=0.5, c)Wi=1, d)

Wi=1.5, e)Wi=2, f)Wi=2.5, g)Wi=3, h)Wi=4 e i)Wi=5. . . 52

Figura 19 – Variação do comprimento do vórtice em função do número de Weissenberg paraRe=0.1 eRe=1, comα =0.1. . . 52

Figura 20 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar 4:1. Resultados obtidos com Re=1 e α =0.3. a)Wi=0.25, b)Wi=0.5, c)Wi=1, d)

Wi=1.5, e)Wi=2, f)Wi=2.5, g)Wi=3, h)Wi=4 e i)Wi=5. . . 55

Figura 21 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar 4:1. Resultados obtidos com Re=1 e α =0. a) Wi=0 (Newtoniano), b) Wi=0.25, c)

Wi =0.5, d)Wi =1, e)Wi =1.5, f)Wi =2, g)Wi =2.5, h)Wi =3, i)

Wi=4 e j)Wi=5. . . 56

Figura 22 – Variação do comprimento do vórtice em função do número deWi, paraα=0,

0.1 e 0.3, comRe=1. . . 57

Figura 23 – Domínio computacional para a simulação do ‘jet buckling’. . . 58

Figura 24 – Simulação numérica do ‘jet buckling’ em diferentes tempos. Na primeira coluna são apresentados os resultados com escoamento newtoniano com

Re=0.8 e, nas demais colunas, tem-se simulações utilizando o modelo Giesekus comRe=0.8,Wi=0.1 eα=0.1, 0.3 e 0.5, respectivamente. . . 62

Figura 25 – Simulação numérica do ‘jet buckling’ em diferentes tempos. Na primeira coluna são apresentados os resultados obtidos com o escoamento newtoniano comRe=0.4 e, nas demais colunas, tem-se simulações utilizando o modelo

Giesekus comRe=0.4,Wi=0.1 eα=0.1, 0.3 e 0.5, respectivamente. . . 64

Figura 26 – Simulação numérica do ‘jet buckling’ em diferentes tempos, utilizando o modelo Giesekus comRe=0.8,Wi=0.5 eα=0.1, 0.3 e 0.5, respectivamente. 65

Figura 27 – Simulação numérica do ‘jet buckling’ em diferentes tempos, utilizando o modelo Giesekus comRe=0.8,Wi=1 eα =0.1, 0.3 e 0.5, respectivamente. 67

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . 19

2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA . . . . 21

2.1 Adimensionalização das Equações Governantes . . . 22

2.2 Sistema de Equações em Coordenadas Cartesianas . . . 22

2.3 Condições Iniciais e de Contorno . . . 24

3 MÉTODO NUMÉRICO . . . . 27

3.1 Método da Projeção . . . 28

3.2 Cálculo de u(x,tn+1) e p(x,tn+1) . . . 30

3.3 Cálculo do Tensor τ(x,tn+1) . . . 33

3.4 Movimentação da Superfície Livre . . . 34

3.5 Aproximação por Diferenças Finitas . . . 34

3.5.1 Aproximação da Equação da Transformação EVSS . . . 35

3.5.2 Aproximação da Equação de Quantidade de Movimento . . . 35

3.5.3 Aproximação da Equação de Poisson para ψ . . . 36

3.5.4 Aproximação da Equação da Velocidade Final . . . 36

3.5.5 Aproximação da Equação da Pressão . . . 36

3.5.6 Aproximação da Equação Constitutiva. . . 37

3.6 Cálculo do Passo Temporal . . . 38

4 RESULTADOS . . . . 39

4.1 Resultados de VeriĄcação . . . 39

4.2 Contração Planar 4:1 . . . 44

4.3 Jet Buckling . . . 58

5 CONCLUSÃO . . . . 71

REFERÊNCIAS . . . . 73

APÊNDICE A OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO ANALÍTICA . . . . 77

19

CAPÍTULO

1

INTRODUÇÃO

A simulação numérica de escoamentos de fluidos viscosos tem sido motivo de constantes pesquisas em vários centros no mundo. No Brasil esta área vem crescendo ao longo dos anos e hoje possui vários grupos de pesquisa em Mecânica dos Fluidos Computacional em diversos centros de pesquisa. Nos últimos anos, o grupo de pesquisa em Matemática Computacional do ICMC - USP de São Carlos, tem desenvolvido pesquisas na área de escoamentos com superfícies livres de fluidos Newtonianos e não-Newtonianos. As pesquisas têm se concentrado na área de reologia computacional e desenvolvido metodologias numéricas para simular escoamen-tos de fluidos Oldroyd-B [Toméet al.2008], PTT (Phan-Thien-Tanner) [Toméet al.2010] e Upper-Convected Maxwell [Toméet al.2012], entre outros. Entretanto, no âmbito da simulação numérica de escoamentos viscoelásticos, vários investigadores têm pesquisado a equação consti-tutiva Giesekus. O interesse nesse modelo concentra-se no fato de que essa equação pode prever primeira e segunda diferença de tensões normais em escoamentos de interesse industrial. Os métodos numéricos empregados para simular escoamentos governados pelo modelo Giesekus têm utilizado o método de elementos finitos [Oztekin, Brown e McKinley 1994,Joie e Graebling 2013] e muito poucos resultados provenientes da aplicação desse modelo a escoamentos com superfícies livres podem ser encontrados na literatura (ver por ex. [Delvaux e Crochet 1990,Mu

et al.2013]).

Neste trabalho, pretendemos investigar métodos numéricos para resolver as equações governantes para escoamentos bidimensionais governados pela equação constitutiva Giese-kus [Schleiniger e Weinacht 1991]. Esse trabalho propõe resolver essa equação empregando diferenças finitas pelo método de Euler modificado explícito. Pretende-se investigar a aplicação do modelo Giesekus ao problema da contração planar 4:1 e a escoamentos com superfícies livres em movimento tais como ‘jet buckling’.

20 Capítulo 1. Introdução

21

CAPÍTULO

2

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

As equações que governam escoamentos incompressíveis e isotérmicos, são descritas pela equação da continuidade

∇_·u=0, (2.1)

e pela equação de conservação de quantidade de movimento

ρ∂u

∂t +∇·(uu)

=₋∇p+∇_·τ+ρg, (2.2)

em queρ é a massa específica,ué o vetor velocidade, pé a pressão,gé o campo gravitacional

e τ é o tensor extra-tensão que deve obedecer a uma equação constitutiva apropriada. Neste

trabalho vamos considerar escoamentos de fluidos definidos pela equação constitutiva Giesekus [Schleiniger e Weinacht 1991]

τ+λ ▽τ +α λ

η_P(τ·τ) =2ηPD, (2.3)

ondeη_P é o coeficiente de viscosidade do polímero eλ é o tempo de relaxação do fluido. A constanteα representa o parâmetro de mobilidade que regula o comportamento “shear shinning” do fluido (0_≤α_≤1) eτ_·τ denota o produto tensorial. A derivada contravariante▽τ e o tensor taxa de deformaçãoDsão definidos, respectivamente, por

▽

τ= ∂ τ

∂t +∇·(uτ)−(∇u)τ−τ(∇u)

T _{e D=}1

2[(∇u) + (∇u)T]. (2.4)

Observamos que fazendo α =0 na equação (2.3), obtém-se o modelo UCM (Upper Convected Maxwell).

Para resolver as equações (2.1) e (2.2), vamos empregar a transformação EVSS ( Elastic-Viscous Split Stress) [Rajagopalan, Armstrong e Brown 1990]

22 Capítulo 2. Formulação Matemática

em queη0=ηS+ηPrepresenta a viscosidade total da solução polimérica eηSé o coeficiente de

viscosidade do solvente eTé um tensor não-Newtoniano responsável por efeitos de elasticidade

no escoamento.

Introduzindo (2.5) na equação de conservação de quantidade de movimento (2.2), obte-mos a equação de conservação de quantidade de movimento transformada:

∂u

∂t +∇·(uu) =−∇p+

_ηP

ρ

∇2u+1

ρ∇·T+g, (2.6)

ondepdenota a pressão por unidade de massa específica.

2.1

Adimensionalização das Equações Governantes

As equações (2.1)-(2.6) modelam escoamentos incompressíveis, isotérmicos e viscoelás-ticos e estão escritas na forma dimensional. Entretanto, é usual resolver as equações na forma adimensional, introduzindo as variáveis adimensionais

x∗= x

L, u∗= u

U, t∗= U

Lt, g∗= g g,

p∗₌ p

ρU2, τ

∗₌ τ

ρU2, T

∗₌ T

ρU2,

em que Lé uma escala de comprimento, U uma escala de velocidade e g é a constante gra-vitacional. Introduzindo essas variáveis adimensionais nas equações (2.1), (2.6), (2.5) e (2.3), obtém-se as seguintes equações adimensionais (para facilitar a notação, o sinal “_∗” foi omitido):

∇_·u = 0, (2.7)

∂u

∂t = −∇·(uu)−∇p+

1

Re∇

2_u+∇

·T+ 1

Fr2g, (2.8)

T = τ₋ 2

ReD, (2.9)

Wi▽τ = ₋τ₋αReWi(τ_·τ) + 2

ReD. (2.10)

Nessas equações,Re=ρUL

η_P =

UL

ν ,Wi=

λU

L =

λ

_L U

eFr= √U_{g L},denotam,

respec-tivamente, o número de Reynolds, o número de Weissenberg e o número de Froude. A constante

ν=ηP/ρ presente no número de Reynolds representa o coeficiente de viscosidade cinemática.

2.2

Sistema de Equações em Coordenadas Cartesianas

Vamos considerar escoamentos cartesianos bidimensionais não-estacionários em que

x= (x,y)T, u(x,t) = (u,v)T, g= (gx,gy)T e τ(x,t) = "

τxx τxy

τxy τyy

#

2.2. Sistema de Equações em Coordenadas Cartesianas 23

Assim, as equações de continuidade (2.7) e conservação de quantidade de movimento (2.8) podem ser escritas, respectivamente, na forma:

∂u

∂x+

∂v

∂y =0, (2.12)

∂u

∂t +

∂(u2)

∂x +

∂(uv)

∂y =−

∂p

∂x+

1

Re _∂2_u

∂x2 +

∂2u

∂y2

+∂T

xx

∂x +

∂Txy

∂y +

1

Fr2gx, (2.13)

∂v

∂t +

∂(uv)

∂x +

∂(v2)

∂y =−

∂p

∂y+

1

Re _∂2_v

∂x2+

∂2v

∂y2

+∂T

xy

∂x +

∂Tyy

∂y +

1

Fr2gy. (2.14)

A transformação EVSS e a equação constitutiva Giesekus (2.10) fornecem as equações

Txx = τxx₋ 2

Re h_∂u

∂x

i

, (2.15)

Txy = τxy₋ 1

Re h_∂u

∂y+

∂v

∂x

i

, (2.16)

Tyy = τyy₋ 2

Re h_∂v

∂y i , (2.17)             

∂ τxx

∂t =G

xx_(u,τ),

Gxx_{(u,τ) =}2∂u

∂xτxx+

∂u

∂yτxy

−

_∂(uτxx₎

∂x +

∂(vτxx)

∂y

−_Wi1

n

τxx+αReWi[(τxx)2+ (τxy)2]o+ 2

ReWi

∂u

∂x,

(2.18)             

∂ τxy

∂t =Gxy(u,τ),

Gxy_{(u,τ) =} ∂u

∂xτxy+

∂u

∂yτyy+

∂v

∂xτxx+

∂v

∂yτxy−

_∂(uτxy₎

∂x +

∂(vτxy)

∂y

−_Wi1

n

τxy+αReWi[τxxτxy+τxyτyy]o+ 1

ReWi _∂u

∂y+

∂v ∂x , (2.19)             

∂ τyy

∂t =G

yy_(u,τ),

Gyy_{(u,τ) =}2∂v

∂xτxy+

∂v

∂yτyy

−

_∂(uτyy₎

∂x +

∂(vτyy)

∂y

−_Wi1 nτyy+αReWi[(τxy)2+ (τyy)2]o+ 2 ReWi

∂v

∂y.

(2.20)

24 Capítulo 2. Formulação Matemática

2.3

Condições Iniciais e de Contorno

Para se obter a solução das equações (2.12)-(2.20), precisamos impor condições para as componentesu e v do vetor velocidade. Em contornos entrada de fluidos(ver contorno

∂Ω₂ na Fig.1) uma velocidadeUin f é prescrita enquanto que em contornossaída de fluidos

(ver contorno ∂Ω₃ na Fig. 1) assume-se escoamento totalmente desenvolvido de modo que impõem-se condições homogêneas de Neumann, ∂u

∂n =0, ondendenota a direção normal ao

contorno. Em contornos rígidos (estacionários) (ver contorno∂Ω₁na Fig.1) adota-se a condição de não-escorregamentou=0.

Nesse trabalho, pretende-se tratar escoamentos com superfícies livres (ver contorno∂Ω₄

na Fig.1) em que o fluido escoa numa atmosfera passiva. Supondo que a tensão superficial possa ser desprezada, na interface (superfície livre) entre os fluidos (fluido viscoso e ar) as componentes do tensor das tensões devem ser contínuas de modo que a condição apropriada é descrita pela equação ( [Batchelor 1967, p. -157])

σ_·n=0, (2.21)

ondené o vetor normal à superfície livre. Tomandomcomo sendo um vetor unitário tangente à

superfície livre (perpendicular ao vetorn), a condição (2.21) pode ser expressa como

nT_·σ_·n = 0, (2.22)

mT_·σ_·n = 0, (2.23)

em que o tensor das tensões é dado por

σ =−pI+ 2

ReD+T. (2.24)

Figura 1 – Tipos de contornos utilizados.

Para superfícies bidimensionais, podemos adotar n= (nx,ny)T e m = (ny,−nx)T e

substituindo σ, n e m nas equações (2.22), (2.23), obtém-se, respectivamente, as seguintes

equações:

p=n2_xTxx+n2_yTyy+2nxnyTxy+_Re2 h

n2_x∂u

∂x+n

2 y

∂v

∂y+nxny

_∂u

∂y+

∂v

∂x

i

2.3. Condições Iniciais e de Contorno 25

1

Re h

2nxny _∂u

∂x−

∂v

∂y

+ (n2_y−n2x) _∂u

∂y+

∂v

∂x

i =

−[nxny(Txx−Tyy) + (n2y−n2x)Txy].

27

CAPÍTULO

3

MÉTODO NUMÉRICO

As equações apresentadas no capítulo2são resolvidas por uma variante do método das partículas marcadoras introduzido porAmsden e Harlow 1970(ver tambémHarlow e Welch 1965) que utiliza o método de diferenças finitas em uma malha deslocada. As componentes do vetor velocidade são posicionadas nas faces laterais da célula enquanto que as outras variáveis denotadas por Ψ são localizadas no centro da célula (ver Fig. 2a.). Os problemas tratados

neste trabalho envolvem escoamentos com surperfícies livres em movimento de modo que uma estratégia para definir a região do fluido é empregada. É utilizada a técnica apresentada por

Toméet al.2000,Toméet al.2002, na qual a superfície do fluido é constituída por um conjunto de partículas marcadoras que se movem com a velocidade local do fluido. A visualização da superfície do fluido (e também da superfície livre) é efetuada conectando essas partículas por retas (ver Fig.3a). O corpo do fluido é representado pela área definida pela curva fechada definida pelas partículas (ver Fig.3b).

(a) (b)

Figura 2 – a) Célula utilizada; b) Tipos de células na malha.

28 Capítulo 3. Método Numérico

de grupos de células como segue:

• Células de fronteira (B)₋células que definem a posição de contornos rígidos.

• Células de injetores (I)₋células que definementradas de fluido(‘inflow’).

• Células de ejetores (O)₋células que representamsaídas de fluido(‘outflow’).

• Células vazias (E)₋células que não contém fluido.

• Células de superfície (S)₋células que contém fluido e apresentam pelo menos uma face

em contato com face de célulasE.

• Células cheias (F)₋células que contém fluido e não apresentam nenhuma face em contato

com faces de célulasE.

A Fig.2b ilustra os tipos de células na malha em um certo instante de tempo.

(a) Superfície do fluido. (b) Definição do volume do fluido.

Figura 3 – Representação do fluido.

O método descrito a seguir será utilizado para calcular a velocidade intermediária ˜u(n+1)

conforme apresentado na seção3.2.

3.1

Método da Projeção

3.1. Método da Projeção 29

evitar os problemas causados pelos métodos acoplados, utiliza-se a estratégia do desacoplamento dos campos de velocidade e pressão. Essa estratégia, conhecida como método da projeção, é um eficiente método para resolver as equações de Navier-Stokes para escoamentos incompressíveis e foi proposta porChorin 1967,Chorin 1968.

O método da projeção é baseado no Teorema da Decomposição de Helmholtz-Hodge (TDHH) [Weil 1940,Hodge 1952], também conhecido como Teorema de Ladyzhenskaya [Ladyzhenskaya 1963], o qual será apresentado a seguir.

Teorema 1. (Decomposição de Helmholtz-Hodge)SejaΩuma região com fronteira suave∂Ω

eeuum campo vetorial definido emΩ. Então,eupode ser decomposto na forma

e

u=u+∇ψ (3.1)

de forma única, sendo ψ um campo escalar também definido em Ω. O campo vetorial u é

solenoidal e paralelo a∂Ω, isto é,

∇_·u=0, (3.2)

e, ao longo de∂Ω,

u_·~n=0, (3.3)

sendo que~né o vetor normal exterior a∂Ω.

Mais detalhes sobre o TDHH podem ser encontrados emChorin e Marsden 2000.

A idéia principal do método da projeção para resolver escoamentos incompressíveis consiste em, dada uma aproximação para a pressão, utilizar a equação de conservação de quantidade de movimento (2.8) para definir um campo de velocidade intermediária_eu, que em

muitos casos não é solenoidal. Essa estratégia desacopla os campos de velocidade e pressão.

Porém, é preciso corrigir o valor da pressão. Para isso, aplica-se o TDHH, em seguida o divergente na equação (3.1) e, por fim, impõe-se a equação da continuidade (2.8). Assim, obtém-se a seguinte equação de Poisson

∇2ψ =∇_·eu, (3.4)

sendo que sua solução determina a correção da pressãoψ. Comoeueψ são conhecidos,upode

ser obtido facilmente da equação (3.1).

As soluçõesu(x,tn+1), p(x,tn+1)eτ(x,tn+1)no tempotn+1=tn+δt são obtidas em

duas partes: primeiro, usando os valores deτ(x,tn), a velocidade e pressão são calculados no

tempotn+1. Na segunda parte,u(x,tn+1)é utilizada para calcularτ(x,tn+1)por um método de

30 Capítulo 3. Método Numérico

3.2

Cálculo de

u

(

x,

t

)

e

p

(

x,

t

)

O método numérico para resolver a equação de conservação de massa (2.12) e as equações de conservação de quantidade de movimento (2.13) e (2.14) é baseado na técnica implícita proposta porOishiet al.2011que simula escoamentos viscoelásticos com superfícies livres modelados pela equação constitutiva XPP (‘eXtended Pom-Pom’). Assume-se que no tempotnos valores das variáveisu(x,tn) =u(n), p(x,tn) =p(n),τ(x,tn) =τ(n)e as posições das

partículas marcadorasx(tn) =x(n), são conhecidos. Então,u(x,tn+1)e p(x,tn+1)são obtidos

resolvendo os seguintes passos:

1. CalcularT(x,tn).

Calcula-se inicialmenteD(x,tn) = 1₂∇u(n)+ (∇u(n))Te, utilizando as equações (2.15

)-(2.17), obtém-seTxx(x,tn),Txy(x,tn)eTyy(x,tn).

2. Calcular a velocidade intermediáriaeu(n+1).

Utilizando o método da projeção (ver Oishiet al. 2011) para desacoplar a equação de conservação de massa e a equação de conservação de quantidade de movimento, um campo de velocidade intermediário eu(n+1) é calculado utilizando as equações (2.13) e

(2.14). Nesse trabalho,eu(n+1) é obtido pelo método de Euler implícito, ou seja,

e u(n+1)

δt −

1

Re "

∂2u_e(n+1)

∂x2 +

∂2u_e(n+1)

∂y2

# = u

(n)

δt −

∂(u2)(n)

∂x −

∂(uv)(n)

∂y −

∂p(n)

∂x

+∂T xx_(x,t

n)

∂x +

∂Txy_(x,t n)

∂y +

1

Fr2gx,

(3.5)

e v(n+1)

δt −

1

Re "

∂2_ev(n+1)

∂x2 +

∂2v_e(n+1)

∂y2

# =v

(n)

δt −

∂(uv)(n)

∂x −

∂(v2)(n)

∂y −

∂p(n)

∂y

+∂T xy_(x,t

n)

∂x +

∂Tyy(x,tn)

∂y +

1

Fr2gy,

(3.6)

em que as condições de contorno para eu(n+1) são as mesmas impostas para u(n+1) (ver

seção2.3). Pode ser mostrado que, em geral,_eu(n+1) não satisfaz a conservação de massa.

Portanto, existe uma função potencial de modo que

u(n+1)=eu(n+1)₋∇ψ(x,tn+1), (3.7)

ondeψ(x,tn+1)é calculada pela equação de Poisson (3.8). As velocidades intermediárias

e u(n+1)_e

e

v(n+1)_{são calculadas para cada célulaFe para cada célulaSno domínio, o que}

3.2. Cálculo deu(x,tn+1)e p(x,tn+1) 31

3. Resolver a equação de Poisson

∇2ψ(n+1)=∇_·eu(n+1). (3.8)

As condições de contorno para essa equação são ∂ ψ

∂n =0 em contornos rígidos e ‘inflows’

(ndenota direção normal) e ψ =0 em ‘outflows’. Essa equação é resolvida para cada

célulaFno domínio.

No entanto, para manter a estabilidade do método numérico, quando tratar-se de escoa-mentos com números de Reynolds baixos, a formulação implícita proposta porOishiet al.2011é empregada. Nessa formulação,Oishiet al.2011utilizaram a condição para a pressão na superfície livre dada pela equação (2.22) que pode ser escrita como:

p= 2 Re

h_∂u

∂xn

2

x+

_∂u

∂y+

∂v

∂x

nxny+∂v

∂yn

2 y i

+Txx(x,tn)n2x

+2Txy(x,tn)nxny+Tyy(x,tn)n2y,

(3.9)

onden= (nx, ny) em= (ny, −nx)são vetores unitários normal e tangencial,

respecti-vamente, à superfície livre.Oishiet al.2011utilizaram essa equação, juntamente com a equação de conservação de massa nas célulasS, e derivaram equações adicionais para a

função potencialψ, que podem ser representadas pela equação

ψ(n+1)

δt −

1

Re

h_∂2_ψ(n+1)

∂x2

+∂

2_ψ(n+1)

∂y2

i + 2

Re

h_∂2_ψ(n+1)

∂x2

n2_x

+∂

2_ψ(n+1)

∂y2

n2_y+2∂

2_ψ(n+1)

∂x∂y

nxny

i = 2

Re

h_∂eu(n+1)

∂x

n2_x

+∂ev

(n+1)

∂y

n2_y+∂ue

(n+1)

∂y +

∂_ev(n+1)

∂x

nxny

i

+Txx(x,tn)n2x

+2Txy(x,tn)nxny+Tyy(x,tn)n2y−p(n).

(3.10)

Essa equação é aplicada em cada célulaSde acordo com orientações locais da superfície

livre, que podem ser obtidas analisando as vizinhanças com célulasE. Basicamente, duas

orientações podem ser atribuídas:

– Superfície planar: Se uma célulaStiver somente uma aresta em contato com uma

aresta de uma célulaEentão assume-se que, localmente, a superfície livre é uma

reta vertical ou horizontal. Nesse caso, o vetor normal toma a forman= (±1, 0)ou n= (0, ±1). Por exemplo, a célulaSna Fig.4a tem somente a aresta superior em

contato com uma aresta da célulaE. Para essa célula assume-se que a superfície é

horizontal e toma-sen= (0, 1)e assim, para essa célulaS, a equação (3.10) reduz-se

a

ψ(n+1)

δt −

1

Re

h_∂2_ψ(n+1)

∂x2

+∂

2_ψ(n+1)

∂y2

i

+ 2 Re

_∂2_ψ(n+1)

∂y2

= 2

Re

∂v_e(n+1)

∂y +T

yy_(x,t

n)−p(n).

32 Capítulo 3. Método Numérico

Para outras configurações de célulasS com somente uma aresta em contato com

célulaE, o tratamento é análogo.

– Superfície inclinada 45o: Essas superfícies são identificadas em célulasSque

pos-suem duas arestas adjacentes em contato com arestas de célulasE. Nessas células, o

vetor normal toma a forman= ± √

2 2 ,±

√ 2 2

. Por exemplo, a célulaSna Fig.4b

tem as arestas superior e direita em contato com arestas de célulasE. Para essa célula,

o vetor normal é definido comon=

√ 2 2 , √ 2 2

e a equação (3.10) simplifica-se na seguinte equação

ψ(n+1)

δt −

1

Re

h_∂2_ψ(n+1)

∂x2

+∂

2_ψ(n+1)

∂y2

i + 1

Re

h_∂2_ψ(n+1)

∂x2 +

∂2ψ(n+1)

∂y2

+2∂

2_ψ(n+1)

∂x∂y

i = 1

Re

h_∂ue(n+1)

∂x +

∂_ev(n+1)

∂y +

∂u_e(n+1)

∂y +

∂_ev(n+1)

∂x

i

+1

2

Txx(x,tn) +Tyy(x,tn)

+Tyx(x,tn)−p(n).

(3.12)

Para célulasSpossuindo outras combinações de arestas adjacentes em contato com

arestas de célulasE, o tratamento para a obtenção da equação paraψ(n+1) nessas

células é semelhante ao que foi utilizado para a célulaSda Fig.4b.

(a) Superfície planar (b) Superfície inclinada 450_.

Figura 4 – Aproximações para a superfície livre.

4. Calcular a velocidade finalu(x,tn+1).

Tendo obtidoψ(x,tn+1), as velocidadesu(x,tn+1)ev(x,tn+1)nas célulasFeSsão

calcu-ladas por

u(x,tn+1) = ue(x,tn+1)−∂ ψ(x,tn+1)

∂x , (3.13) v(x,tn+1) = ev(x,tn+1)−∂ ψ(x,tn+1)

∂y . (3.14)

3.3. Cálculo do Tensorτ(x,tn+1) 33

A pressão nas célulasFeSsão obtidas pela equação (verOishiet al.2011)

p(n+1)_=p(n)₊ψ(n+1)

δt −

1

Re

h_∂2_ψ(n+1)

∂x2 +

∂2ψ(n+1)

∂y2

i

. (3.15)

As equações constantes nos passos1. a5. são resolvidas por um método de diferenças

finitas de segunda ordem.

3.3

Cálculo do Tensor

τ

(

x,

t

)

O tensor τ(x,tn+1)será obtido pelo método de diferenças finitas resolvendo as

equa-ções (2.18) - (2.20) utilizando o método de Euler melhorado explícito, que é um método de segunda ordem no tempo. Pretendemos com esse método obter resultados para escoamentos com superfícies livres. Esse método é descrito em detalhes a seguir

• Método de Euler modificado

– Calcularτxx(x,tn+1),τyy(x,tn+1),τxy(x,tn+1)pelas equações

τxx(x,tn+1) =τxx(x,tn) +δtGxx(u(n+1),τ(x,tn)), (3.16)

τyy(x,tn+1) =τyy(x,tn) +δtGyy(u(n+1),τ(x,tn)), (3.17)

τxy(x,tn+1) =τxy(x,tn) +δtGxy(u(n+1),τ(x,tn)), (3.18)

– Calcularτxx(x,tn+1),τyy(x,tn+1),τxy(x,tn+1)pelas equações

τxx(x,tn+1) =τxx(x,tn) +δ₂t h

Gxx_(u(n+1)_,τ(x,t_n))

+Gxx_(u(n+1)_,τ(x,t_n+1))i_,

(3.19)

τyy(x,tn+1) =τyy(x,tn) +δ₂t h

Gyy_(u(n+1)_,τ(x,t_n))

+Gyy_(u(n+1)_,τ(x,t_n+1))i_,

(3.20)

τxy(x,tn+1) =τxy(x,tn) +δ₂t h

Gxy_(u(n+1)_,τ(x,t_n))

+Gxy_(u(n+1)_,τ(x,t_n+1))i_.

(3.21)

As funçõesGxx_(u,τ),Gyy_(u,τ),Gxy_(u,τ)são obtidas por meio das equações (2.18)

34 Capítulo 3. Método Numérico

3.4

Movimentação da Superfície Livre

O último passo no algoritmo é utilizar as velocidades atualizadasu(n+1) _ev(n+1)_{e mover}

as partículas marcadorasxP= (xP,yP)para novas posições resolvendo as equações

d xP

dt = u

(n+1)

P , (3.22)

d yP

dt = v

(n+1)

P , (3.23)

para cada partículaxP. Essa equação é resolvida pelo método de Euler modificado como segue

x(_Pn+1) = x(_Pn)+δt

2

h

uP(xP,tn+1) +uP(xP,tn+1)

i

, (3.24)

y(_Pn+1) = y(_Pn)+δt

2

h

vP(xP,tn+1) +vP(xP,tn+1)

i

, (3.25)

em que

xP=xP+δt u(_Pn+1), yP=yP+δt v(_Pn+1), (3.26)

euP(xP,tn+1)evP(xP,tn+1)são as velocidades nas posições(xP,yP). As velocidadesu(_Pn+1)e

v(_Pn+1)são calculadas utilizando interpolação bilinear envolvendo as velocidades mais próximas da partículaxP. A Fig.5mostra as velocidades utilizadas na interpolação bilinear que calcula

u(_Pn+1)ev(_Pn+1).

Figura 5 – Velocidades utilizadas para o cálculo deuPevP.

3.5

Aproximação por Diferenças Finitas

Nesta seção serão apresentadas as discretizações necessárias para a resolução das equa-ções do método numérico apresentado no capítulo 3. As equaequa-ções serão resolvidas pelo método de diferenças finitas em uma malha deslocada (Fig.2a), com espaçamentoδxeδynas direções

3.5. Aproximação por Diferenças Finitas 35

3.5.1

Aproximação da Equação da Transformação EVSS

As equações (2.15)-(2.17) da transformação EVSS utilizadas para calcularTxx_(x,t n),

Txy_(x,t

n)eTyy(x,tn), são discretizadas como

T_{i j}xx = τ_{i j}xx₋ 2

Re u_i+1

2,j−ui−12,j

δx

,

T_{i j}xy = τ_{i j}xy₋ 1

Re

u_i,j+1

2−ui,j−12

δy +

v_i+1

2,j−vi−12,j

δx

,

T_{i j}yy = τ_{i j}yy₋ 2

Re

v_i,j+1

2−vi,j−12

δy

.

3.5.2

Aproximação da Equação de Quantidade de Movimento

Para definir a discretização das equações (3.5) e (3.6), é necessário saber como serão feitas as aproximações utilizadas em cada derivada. Os termos lineares serão aproximados por diferenças centrais e a derivada temporal, pelo método de Euler Implícito, enquanto que os termos convectivos serão aproximados pelo método ‘upwind’ de alta ordem VONOS (Variable-Order-Non-Oscillatory-Scheme) [Varonos e Bergeles 1998]. Assim, podemos reescrever (3.5) e (3.6), respectivamente, como

e

u(n+1)_{=u+δtF(u,v),}

e

v(n+1)_{=v+δtG(u,v),}

ondeF eGsão descritas da seguinte forma:

F(u,v) =−conv(u2)−conv(uv)− pi+1,_δj−_x pi,j

+ 1 Re

eu(_i−n+1)1 2,j−2eu

(n+1) i+1₂,j+ue

(n+1) i+3₂,j

δx2 +

e u(_i+n+1)1

2,j−1−2eu

(n+1) i+1₂,j+eu

(n+1) i+1₂,j−1

δy2

+T xx

i+1,j−Tixx,j

δx +

T_ixy

+1₂,j+1₂ −T xy i+1₂,j−12

δy

+ 1

Fr2gx,

G(u,v) =₋conv(uv)₋conv(v2)₋ pi,j+1−pi,j

δy

+ 1 Re

ev(_i+1n+1)_,j+1 2−2ev

(n+1) i+,j+1₂+ev

(n+1) i−1,j+1₂

δx2 +

e v(_in+1)

,j+3₂ −2ev (n+1) i,j+1₂ +ev

(n+1) i,j−12

δy2

+ T_ixy₊1

2,j+12 −T

xy i−1₂,j+1₂

δx +

T_iyy_,j+1−T_iyy_,j

δy

+ 1

Fr2gy,

onde

T_ixy₊1 2,j+12 =

T_ixy_,j+T_ixy_+1,j+T_ixy_,j+1+T_ixy_+1,j+1

4 ,

T_ixy

+1₂,j−12 =

T_i,xy_j+T_ixy_+1,j+T_ixy_,j−1+T_ixy_+1,j−1

36 Capítulo 3. Método Numérico

T_ixy

−1₂,j+1₂ =

T_ixy_,j +T_ixy_,j+1+T_ixy_−1,j+1+T_ixy_−1,j

4 .

Os termos que não possuem índices temporais são avaliados no tempotn.

3.5.3

Aproximação da Equação de Poisson para

ψ

A equação de Poisson dada por (3.8) pode ser escrita como

∂2ψ

∂x2 +

∂2ψ

∂y2 =

∂u_e

∂x+

∂_ev

∂y (3.27)

e aproximando as derivadas por diferenças finitas de 2o_{ordem, tem-se}

ψ_i(₊₁n+1)_{,j −}2ψ_i(_,n_j+1)+ψ_i(₋n+1)_1,j

δx2 +

ψ_i(_,n_j+1)_{+1 −}2ψ_i(_,n_j+1)+ψ_i(_,n_j+1)₋₁

δy2 =

e u(_in+1)

+1₂,j−ue (n+1) i−12,j

δx +

e v(_in+1)

,j+1₂ −ev (n+1) i,j−12

δy .

(3.28)

A equação (3.28) quando aplicada em todos os pontos do domínio gera um sistema linear

Ax = b, de ordemn, onde n é o número de células (F) da malha,A é uma matriz simétrica,

esparsa e definida positiva ebé o vetor divergente definido por_eui,jeevi,j.

Para resolver este sistema, aplicamos o método dos gradientes conjugados.

3.5.4

Aproximação da Equação da Velocidade Final

A equação da velocidade final (3.7), em coordenadas bidimensionais, pode ser escrita como

u(x,tn+1) =ue(x,tn+1)−∂ ψ(x,tn+1)

∂x ,

v(x,tn+1) =ev(x,tn+1)−∂ ψ(x,tn+1)

∂y .

Aplicando no ponto(i+1₂,j)e(i,j+1₂), obtém-se

u(_in+1)

+1₂,j =ue (n+1) i+1₂,j−

ψ_i(₊₁n+1)_{,j −}ψ_i(_,n_j+1)

δx ,

v(_in+1)

,j+1₂ =ve (n+1) i,j+1₂ −

ψ_i(_,n_j+1)_{+1 −}ψ_i(_,n_j+1)

δy ,

respectivamente.

3.5.5

Aproximação da Equação da Pressão

A equação (3.15) aplicada no ponto(i,j)é dada por

p(_i,n_j+1)=pi,j+

ψ_i(_,n_j+1)

δt −

1

Re

ψ_i(₊₁n+1)_{,j −}2ψ_i(_,n_j+1)+ψ_i(₋n+1)_1,j

δx2 +

ψ_i(_,n_j+1)_{+1 −}2ψ_i(_,n_j+1)+ψ_i(_,n_j+1)₋₁

δy2

3.5. Aproximação por Diferenças Finitas 37

3.5.6

Aproximação da Equação Constitutiva

Nas equações (2.18)-(2.20), os termos lineares serão aproximados por diferenças centrais e a derivada temporal, pelo método de Euler melhorado explícito, enquanto que os termos convectivos serão aproximados pelo método ‘upwind’ de alta ordem VONOS [Varonos e Bergeles 1998].

Assim, podemos reescrever (3.16)-(3.18), correspondentes ao primeiro passo da resolução pelo método de Euler modificado, como segue:

τ(x,tn+1) =τ(x,tn) +δtG(u(n+1),τ(x,tn)), (3.29)

ondeG :_{= (}Gxx_,Gxy_,Gyy₎T, tem como componentes:

Gxx₌₋conv₍u(n+1)_τxx_)i,j−conv₍v(n+1)_τxx_)i,j+2

u(_in+1)

+1₂,j−u (n+1) i−12,j

δx τ

xx i,j

+2 u(_in+1)

,j+1₂ −u (n+1) i,j−12

δy τ

xy i,j

−_Wi1

n

τ_ixx_,j+αReWi[(τ_ixx_,j)2+ (τ_ixy_,j)2o

+2 1

ReWi

u(_i+n+1)1 2,j−u

(n+1) i−12,j

δx

,

(3.30)

Gxy₌₋conv₍u(n+1)_τxy_)i,j−conv₍v(n+1)_τxy_)i,j+

u(_in+1)

+1₂,j−u (n+1) i−12,j

δx +

v(_in+1)

,j+1₂ −v (n+1) i,j−12

δy

τ_ixy_,j

+ u(_i,n_j+1)₊1

2 −u

(n+1) i,j−1₂

δy τ

yy i,j+

v(_i+n+1)1 2,j−v

(n+1) i−1₂,j

δx τ

xx i,j−

1

Wi h

τ_ixy_,j+αReWiτ_ixy_,j(τ_ixx_,j+τ_iyy_,j)i

+ 1

ReWi

u(_i,n_j+1)₊1 2 −u

(n+1) i,j−1₂

δy +

u(_i+n+1)1 2,j−u

n+1 i−1₂,j

δx

,

(3.31)

Gyy₌₋conv₍u(n+1)_τyy_)i,j−conv₍v(n+1)_τyy_)i,j+2

v(_in+1)

+1₂,j−v (n+1) i−12,j

δx τ

xy i,j

+2 v(_in+1)

,j+1₂ −v (n+1) i,j−12

δy τ

yy i,j

−_Wi1 nτ_iyy_,j+αReWi[(τ_ixy_,j)2+ (τ_iyy_,j)2o

+2 1

ReWi

v(_i,n_j+1)₊1 2 −v

(n+1) i,j−12

δy

,

38 Capítulo 3. Método Numérico

onde

u(_i,n_j+1)₊1

2 =

u(_in+1)

−12,j+u

(n+1) i−12,j+1+u

(n+1) i+1₂,j+u

(n+1) i+1₂,j+1

4 ,

u(_i,n_j+1)

−1₂ =

u(_in+1)

−12,j+u

(n+1) i−12,j−1+u

(n+1) i+1₂,j+u

(n+1) i+1₂,j−1

4 ,

v(_in+1)

+1₂,j =

v(_i,n_j+1)

−1₂ +v (n+1) i+1,j−1₂+v

(n+1) i,j+1₂ +v

(n+1) i+1,j+1₂

4 ,

v(_in+1)

−12,j =

v(_i,n_j+1)

−1₂ +v (n+1) i−1,j−1₂+v

(n+1) i,j+1₂ +v

(n+1) i−1,j+1₂

4 .

Para o segundo passo do método de Euler modificado, podemos escrever as equações (3.19)-(3.21) como segue:

τ(x,tn+1) =τ(x,tn) +δ₂tG(u(n+1),τ(x,tn)) +G(u(n+1),τ(x,tn+1)), (3.33)

onde as componentes deG_(u(n+1)_,τ(x,tn))são calculadas a partir das equações (3.30)-(3.32) e,

as componentes deG_(u(n+1)_,τ(x,t_n+1))são calculadas de modo análogo, substituindo_τxx,_τxye τyyporτxx,τxyeτyy, respectivamente, obtidos por (3.29).

3.6

Cálculo do Passo Temporal

O passo de tempo é calculado levando-se em consideração o fato de que uma partícula não pode percorrer uma distância maior do que o comprimento de uma célula. Para que isso aconteça, em cada ciclo devem ser verificadas as seguintes condições

δtu ≤ δx

umax, (3.34)

δtv ≤ _vδx

max, (3.35)

ondeumax evmax são os módulos máximos das velocidades nas direçõesxey, respectivamente.

Assim, o passo de tempo usado na simulação será dado por

δt=FACT min(δtu,δtv), 0≤FACT ≤1. (3.36)

39

CAPÍTULO

4

RESULTADOS

As equações de diferenças finitas apresentadas no capítulo3.5foram implementadas em um código computacional com o objetivo de simular escoamentos governados pela equação constitutiva Giesekus. O código resultante foi aplicado para simular vários problemas de inte-resse industrial. Inicialmente, são exibidos os resultados obtidos na simulação do escoamento totalmente desenvolvido em um canal bidimensional. Para verificar a implementação do código computacional, esses resultados são comparados com uma solução analítica para escoamento to-talmente desenvolvido. Utilizando refinamento de malha, realizou-se um estudo de convergência do método numérico desenvolvido nesse trabalho. Para demonstrar a aplicabilidade do método numérico em escoamentos viscoelásticos complexos, os resultados obtidos na simulação do escoamento em uma contração 4:1 e a simulação de “jet buckling” (problema do jato oscilante) são apresentados.

4.1

Resultados de VeriĄcação

Com o objetivo de verificar a técnica numérica apresentada no capítulo anterior, simulou-se o escoamento em um canal bidimensional de largura L e comprimento 10L, conforme a

Figura 6, e os resultados obtidos foram comparados com a solução analítica para escoamentos totalmente desenvolvidos em um canal.

O método de obtenção da solução analítica foi desenvolvido durante este projeto e é descrito em detalhes no ApêndiceA.

A simulação foi iniciada com o canal completamente cheio de fluido, adotando uma velocidade inicialu= (1,0). Na entrada do canal, foi imposta a velocidade dada por

u(y) =−4_LU₂

y₋L

2

2

+U e v(y) =0, (4.1)

40 Capítulo 4. Resultados

Figura 6 – Domínio computacional de um canal bidimensional.

Para o tensor extra-tensão, as suas componentes são calculadas analiticamente resolvendo o seguinte sistema de equações (para detalhes, ver apêndiceA)

∂ τxy

∂y =

∂p

∂x, (4.2)

τyy+αReWi[(τyy)2+ (τxy)2] = 0, (4.3)

∂u

∂yτ

yy

−_Wi1 nτxy+αReWi[τxy(τxx+τyy)]o+ 1 ReWi

∂u

∂y = 0, (4.4)

2∂u

∂yτ

xy

−_Wi1

n

τxx+αReWi[(τxy)2+ (τxx)2]o = 0. (4.5)

O escoamento no canal bidimensional foi simulado com os seguintes dados:

• Velocidade de injeção:U =0.1ms−1

• Escala de comprimento:L=0.01m

• Definição do fluido:

– Viscosidade cinemática:ν =0.001m2s−1

– Modelo Giesekus:α=0.1 eλ =0.04s

Assim, de acordo com esses parâmetros, temosRe=UL/ν =1 eWi=λU/L=0.4. A

solução analítica encontrada para o gradiente de pressão resultou no valor∂p/∂x=−6.116.

Para analisar a convergência do método numérico, o escoamento foi simulado em cinco malhas distintas: MalhaM1 com 100 x 10 células (δx=δy =0.001m), MalhaM2 com 200

×20 células (δx =δy=0.0005m), MalhaM3 com 300 × 30 células (δx=δy=0.00033m),

MalhaM4 com 400×40 células (δx =δy=0.00025m) e MalhaM5 com 500 ×50 células

(δx=δy=0.0002m), até o tempot =100s, onde o estado estacionário já tinha sido alcançado.

Para demonstrar que as soluções estacionárias foram alcançadas, aFigura 7mostra as linhas de nível das velocidadesueve da pressão pno tempo mencionado. Pode-se observar na

Figura 7que as linhas de nível da velocidadeuestão paralelas e variam somente comye que a velocidadevé nula em todo domínio, enquanto que o gradiente de pressão varia comx.

4.1. Resultados de Verificação 41

u/U

v/U

p/ρU2

Figura 7 – Linhas de nível obtidas na simulação do escoamento completamente desenvolvido em um canal, utili-zando a malhaM5.

valores numéricos são calculados pela fórmula ∂p

∂x

_i

out−1₂ =

piout,j−piout−1,j

δx e o valor utilizado

para∂p/∂xrepresenta a média dos valores calculados nos pontos(iout−12,j), ondeiout denota

o índice da célula imediatamente anterior a saída do canal (outflow). É possível ver que com o refinamento da malha, os valores aproximados convergem para a solução analítica de∂p/∂x.

Os demais resultados obtidos nas simulações numéricas são comparados com as respecti-vas soluções analíticas e mostrados nasFigura 9-Figura 11.

AsFigura 9eFigura 10mostram a comparação da solução numérica obtida nas malhas

M1,M2,M3,M4 eM5 com a solução analítica, na seção transversali=iout. Podemos observar

42 Capítulo 4. Resultados −6.116 −6.109 −6.102 −6.091 −6.069 −6.002

1/501/40 1/30 1/20 1/10

dp/dx (L/

ρ

U

2 )

δ_x/L

Solução analítica Soluções numéricas

Figura 8 – Convergência dos valores numéricos de∂p/∂xpara o valor obtido no cálculo da solução analítica.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

τ xx / ρ U 2 y/L Solução analítica M1 M2 M3 M4 M5 a) −3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

τ xy / ρ U 2 y/L Solução analítica M1 M2 M3 M4 M5 b) −0.4 −0.35 −0.3 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

τ yy / ρ U 2 y/L Solução analítica M1 M2 M3 M4 M5 c) −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

du/dy L/U y/L Solução analítica M1 M2 M3 M4 M5 d)

4.1. Resultados de Verificação 43

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u/U

y/L Solução analítica Solução Newtoniana M1 M2 M3 M4 M5

Figura 10 – Comparação das velocidades analítica e Newtoniana com a velocidade numérica obtida nas malhasM1, M2,M3,M4 eM5.

Para demostrar quantitativamente a convergência do método numérico, o erro relativo obtido nas cinco malhas foi calculado pela fórmula

EMj = s

∑(solexata−solMj)2

∑(solexata)2 , (4.6)

ondesolMj denota a solução numérica obtida utilizando a malhaMj.

ATabela 1 mostra os erros obtidos nas cinco malhas enquanto aFigura 11 mostra o decrescimento do erro em função do espaçamentoδx.

Erro Malhas

Relativo _{M1 M2 M3 M45 M5} O(δx)

E(τxx) 3.690x10−2 _1.188x10−2 _5.408x10−3 _2.982x10−3 _1.850x10−3 ₂

E(τxy) 1.516x10−2 _4.131x10−3 _1.825x10−3 _1.012x10−3 _6.400x10−4 ₂

E(τyy) 3.265x10−2 _1.009x10−2 _4.533x10−3 _2.488x10−3 _1.543x10−3 ₂

E(du/dy) 2.585x10−2 _8.354x10−3 _3.827x10−3 _2.120x10−3 _1.320x10−3 ₂

44 Capítulo 4. Resultados

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

1/501/40 1/30 1/20 1/10

Erro relativo

δ

x/L

τxx τxy τyy

du/dy

Figura 11 – Decrescimento dos erros relativos obtidos nas malhasM1,M2,M3,M4 eM5.

Podemos ver naTabela 1e na sua respectiva representação na Figura 11que os erros diminuem com o refinamento da malha, e são menores que 1% nas malhasM3,M4 eM5. Estes

resultados confirmam a convergência do método numérico empregado.

4.2

Contração Planar 4:1

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos na simulação do escoamento de um fluido Giesekus através de uma contração planar 4:1, em que o canal de entrada do fluido tem larguraH, e que ao sofrer um estrangulamento, passa para outro canal de largurah=H/4. A geometria do escoamento é mostrada naFigura 12.

Esse problema é muito utilizado no desenvolvimento de métodos numéricos para a simulação de escoamentos de fluidos não-newtonianos [Araújo 2006,Oliveira e Pinho 1999,Tomé

4.2. Contração Planar 4:1 45

produz padrões de vorticidade diferentes, quando sujeitos a esse tipo de geometria (ver por exemplo,Boger, Hur e Binnington 1986).

Com relação aFigura 12, podemos observar a existência de um eixo de simetria e por isso, os resultados das simulações serão visualizados apenas na metade superior do domínio.

Figura 12 – Domínio computacional para a simulação do escoamento em uma contração planar 4:1.

As simulações do escoamento na contração foram realizadas com os seguintes dados: comprimento das cavidadesL1=L2=0.16m; larguras dos canais,H=0.08m(canal a montante)

eh=0.02m(verFigura 12) e velocidade média na entrada do canal a montanteUE=0.025ms−1.

Os tamanho dos vórtices nos cantos inferior e superior na parede de estrangulamento são medidos pela razãoLvortex=_hX

/2, ondeX ehcorrespondem as medidas mostradas naFigura 12.

Para verificar a convergência do método numérico para este tipo de problema, simulamos esse escoamento em três malhas distintas: MalhaM1 com 160_×40 células (δ_x=δ_y=0.002m), Malha M2 com 320 _× 80 células (δx=δy=0.001m) e Malha M3 com 640 × 160 células (δx=δy=0.0005m), até que o estado estacionário fosse alcançado.

Os dados utilizados nas simulações para teste de convergência foram os seguintes:

• Velocidade de escala (adimensionalização):U =0.1ms−1

• Escala de comprimento (adimensionalização):L=0.01m

• Aceleração gravitacional:g=0

• Definição do fluido:

– Viscosidade cinemática:ν =0.001m2s−1

– Modelo Giesekus:α =0.1 eλ =0.1s

Com esses dados de entrada, obtivemosRe=UL/ν =1 eWi=λU/L=1.

Para mostrar que o estado estacionário foi alcançado, as linhas de nível das velocidades

46 Capítulo 4. Resultados

observar naFigura 13que a componenteuda velocidade apresenta perfil parabólico no canal de saída, a componentevda velocidade é nula em quase todo domínio e que a pressão p, varia apenas em função dex.

u/U

v/U

p/ρU2

Figura 13 – Linhas de nível obtidas na simulação do escoamento em uma contração planar 4:1 na malhaM3.

AsFigura 14eFigura 15mostram os resultados obtidos ao longo do eixo de simetria (verFigura 12) nas malhas M1,M2 e M3. AFigura 14mostra os resultados da pressão e da

4.2. Contração Planar 4:1 47 0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25 30

p/ ρ U 2 x/L M1 M2 M3 20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24

0 2 4 6 8 10 12 14 16

a) -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

0 5 10 15 20 25 30

dp/dx (L/ ρ U 2 ) x/L M1 M2 M3 b)

Figura 14 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar obtida nas malhasM1,M2 eM3 ao longo do eixo de simetria. a) Pressão e b) gradiente de pressão.

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 5 10 15 20 25 30

u/U x/L M1 M2 M3 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1

16 18 20 22 24

a) -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

0 5 10 15 20 25 30

v/U x/L M1 M2 M3 b)

Figura 15 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar obtida nas malhasM1,M2 eM3 ao longo do eixo de simetria. a) Velocidadeu(x)e b) velocidadev(x).

Os resultados obtidos nos cálculos dos tensoresτxx,τxy,τyy, e a diferença de tensão normalN1=τxx−τyy, são mostrados naFigura 16.

Os gráficos presentes nasFigura 15eFigura 16, mostram um comportamento semelhante ao apresentado porAzaiez, Guénette e Aït-Kadi 1996, mostrando a coerência dos resultados.

Com o objetivo de estudar o aparecimento e o comportamento dos vórtices nas paredes da contração, foram realizadas várias simulações com números de ReynoldsRe=0.1 eRe=1, utilizando vários valores do número de Weissenberg.

Os dados utilizados nessas simulações foram:

• Velocidade de escala (adimensionalização):U =0.1ms−1

• Escala de comprimento (adimensionalização):L=0.01m

• Malha:δx=δy=0.001m(320×80 células)

48 Capítulo 4. Resultados

• Definição do fluido:

– Viscosidade cinemática:ν =0.001m2s−1

– Modelo Giesekus:α=0.1 eλ dependendo do número de Weissenberg.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 5 10 15 20 25 30

τ xx / ρ U 2 x/L M1 M2 M3 a) -0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004

0 5 10 15 20 25 30

τ xy / ρ U 2 x/L M1 M2 M3 b) -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

0 5 10 15 20 25 30

τ yy / ρ U 2 x/L M1 M2 M3 c) 0 1 2 3 4 5 6 7

0 5 10 15 20 25 30

( τ xx - τ yy )/ ρ U 2 x/L M1 M2 M3 d)

Figura 16 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar nas malhasM1,M2 eM3. Resultados obtidos no eixo de simetria para a)τxx, b)τxye c)τyye, próximo a parede superior do canal de largura hpara d)N1=τxx−τyy.

Nessas simulações, os valores do parâmetroλ e os respectivos números de Weissenberg são apresentados naTabela 2.

λ 0.025 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5

Wi 0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5

Tabela 2 – Valores do tempo de relaxaçãoλ e respectivos números de Weissenberg.

4.2. Contração Planar 4:1 49

Com referência asFigura 17h eFigura 17i, é possível constatar a presença de um ‘lip vortice’, e o mesmo efeito se verifica naFigura 18i. O aparecimento de ‘lip vortices’ tem sido constatado por muitos investigadores que estudaram o escoamento em uma contração 4:1. Por exemplo, esse fenômeno foi reportado porAboubacar e Webster 2001, que simularam o problema da contração planar utilizando o modelo Oldroyd-B com um método numérico híbrido baseado em volumes/elementos finitos e provaram a existência do ‘lip vortice’ paraWi>1, comRe=0. Outro trabalho que também obteve um ‘lip vortice’ utilizando o modelo Oldroyd-B foi realizado por Alves, Oliveira e Pinho 2003, que mostraram o aparecimento de pequenos ‘lip vortices’ paraWi=0.5,1 e 1.5, também com Re=0, e, recentemente,Ferráset al.2014utilizaram o modelo sPTT para simular o problema da contração 4:1, utilizando Re=0.04 e 0_≤Wi_≤5. ComWi=5,Ferráset al.2014mostraram que o aumento da viscosidade no escoamento produz um aumento no tamanho do ‘lip vortice’, de modo que este se unia ao vórtice de canto, criando um único vórtice que continuava crescendo com o aumento deWi.

Os resultados comRe=1 também mostram o aparecimento de um ‘lip vortice’ a medida que o número de Weissenberg é aumentado (verFigura 18i).

Para confirmar o aparecimento dos ‘lip vortices’, os problemas foram simulados nova-mente utilizando uma malha mais fina, com 640_×160 células, e o resultado obtido foi semelhante àquele obtido na malha com 320_×80 células.

a) b)

50 Capítulo 4. Resultados

e) f)

g) h)

i)

Figura 17 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar 4:1. Resultados obtidos comRe=0.1 eα =0.1. a)Wi=0.25, b)Wi=0.5, c)Wi=1, d)Wi=1.5, e)Wi=2, f)Wi=2.5, g)Wi=3, h)

4.2. Contração Planar 4:1 51

a) b)

c) d)

e) f)

52 Capítulo 4. Resultados

i)

Figura 18 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar 4:1. Resultados obtidos comRe=1 eα =0.1. a)Wi=0.25, b)Wi=0.5, c)Wi=1, d)Wi=1.5, e)Wi=2, f)Wi=2.5, g)Wi=3, h) Wi=4 e i)Wi=5.

ATabela 3mostra o tamanho dos vórtices obtidos para cada valor deWie aFigura 19

mostra a variação do tamanho do vórtice com o crescimento do número de Weissenberg.

Wi 0.25 0.05 1 1.5 2 2.5 3 4 5

Re=0.1 1.422 1.387 1.339 1.325 1.321 1.333 1.354 1.429 1.535

Re=1 1.230 1.186 1.120 1.076 1.043 1.026 1.018 1.028 1.070

Tabela 3 – Variação do comprimento dos vórtices com o número de Weissenberg paraRe=0.1 eRe=1, com

α=0.1.

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5

L

Wi Re = 0.1

Re = 1.0

Figura 19 – Variação do comprimento do vórtice em função do número de Weissenberg paraRe=0.1 eRe=1,

4.2. Contração Planar 4:1 53

De acordo com aTabela 3e aFigura 19, pode-se observar que à medida que o número de Weissenberg aumenta, o tamanho do vórtice de canto diminui. Porém esse efeito não se estende a todos os valores deWi. A partir de um determinado valor deWi, os vórtices de canto começam a aumentar novamente. Esses resultados não concordam com alguns encontrados na literatura, obtidos com os modelos Oldroyd-B e Maxwell, por exemplo, onde o tamanho dos vórtices de canto diminuem com o aumento do número de Weissenberg (aumento da viscoelasticidade). Entretanto, utilizando ’creeping flows’ (escoamentos lentos ondeRe<<1), o crescimento do tamanho do vórtice tem sido presenciado por alguns autores, por exemplo, PTT [Alves, Oliveira e Pinho 2003], sPTT [Ferráset al.2014] e UCM [Oliveira e Pinho 1999]. Todavia, os resultados obtidos nesse trabalho concordam com os resultados apresentados porChoi, Song e Yoo 1988

que simularam o escoamento em uma contração 4:1 utilizando o modelo Giesekus com α =0.5

e presenciaram diminuição do tamanho do vórtice de canto (a baixos valores deWi) seguido de um aumento no tamanho do vórtice de canto a partir de um certo valor deWi.

Além de verificar o comportamento do escoamento com a variação de Re e Wi, o problema da contração planar foi simulado variando-se o parâmetroα do modelo Giesekus. Para isso, fixou-se o valor deRee variou-se os valores do número de Weissenberg, juntamente com o parâmetroα. Os resultados apresentados a seguir foram obtidos fixando-se o valor deRe=1 e,

para cada valor deWidescrito naTabela 2, foram realizadas duas simulações com valores deα

igual a 0 e 0.3.

A Figura 20 a seguir mostra as linhas de corrente obtidas para cadaWi descrito na

Tabela 2, comRe=1 eα =0.3.

54 Capítulo 4. Resultados

c) d)

e) f)