O passo de tempo é calculado levando-se em consideração o fato de que uma partícula não pode percorrer uma distância maior do que o comprimento de uma célula. Para que isso aconteça, em cada ciclo devem ser verificadas as seguintes condições
δ tu ≤ δ x
umax, (3.34)
δ tv ≤ δ x
vmax, (3.35)
onde umax e vmax são os módulos máximos das velocidades nas direções x e y, respectivamente. Assim, o passo de tempo usado na simulação será dado por
δ t = FACT min(δtu, δtv), 0 ≤ FACT ≤ 1. (3.36) Detalhes da implementação dessas condições podem ser vistas emTomé e McKee 1994.
39
CAPÍTULO
4
RESULTADOS
As equações de diferenças finitas apresentadas no capítulo3.5foram implementadas em um código computacional com o objetivo de simular escoamentos governados pela equação constitutiva Giesekus. O código resultante foi aplicado para simular vários problemas de inte- resse industrial. Inicialmente, são exibidos os resultados obtidos na simulação do escoamento totalmente desenvolvido em um canal bidimensional. Para verificar a implementação do código computacional, esses resultados são comparados com uma solução analítica para escoamento to- talmente desenvolvido. Utilizando refinamento de malha, realizou-se um estudo de convergência do método numérico desenvolvido nesse trabalho. Para demonstrar a aplicabilidade do método numérico em escoamentos viscoelásticos complexos, os resultados obtidos na simulação do escoamento em uma contração 4:1 e a simulação de “jet buckling” (problema do jato oscilante) são apresentados.
4.1
Resultados de VeriĄcação
Com o objetivo de verificar a técnica numérica apresentada no capítulo anterior, simulou- se o escoamento em um canal bidimensional de largura L e comprimento 10L, conforme a Figura 6, e os resultados obtidos foram comparados com a solução analítica para escoamentos totalmente desenvolvidos em um canal.
O método de obtenção da solução analítica foi desenvolvido durante este projeto e é descrito em detalhes no ApêndiceA.
A simulação foi iniciada com o canal completamente cheio de fluido, adotando uma velocidade inicial u = (1,0). Na entrada do canal, foi imposta a velocidade dada por
u(y) = −4LU2y −L22+U e v(y) = 0, (4.1) onde U e L representam a velocidade e o comprimento de escalas adotados, respectivamente.
40 Capítulo 4. Resultados
Figura 6 – Domínio computacional de um canal bidimensional.
Para o tensor extra-tensão, as suas componentes são calculadas analiticamente resolvendo o seguinte sistema de equações (para detalhes, ver apêndiceA)
∂ τxy ∂ y = ∂ p ∂ x, (4.2) τyy+ αReWi[(τyy)2+ (τxy)2] = 0, (4.3) ∂ u ∂ yτ yy −Wi1 nτxy+ αReWi[τxy(τxx+ τyy)]o+ 1 ReWi ∂ u ∂ y = 0, (4.4) 2∂ u ∂ yτ xy −Wi1 n τxx+ αReWi[(τxy)2+ (τxx)2]o = 0. (4.5) O escoamento no canal bidimensional foi simulado com os seguintes dados:
• Velocidade de injeção: U = 0.1ms−1 • Escala de comprimento: L = 0.01m • Definição do fluido:
– Viscosidade cinemática:ν = 0.001m2s−1 – Modelo Giesekus:α = 0.1 e λ = 0.04s
Assim, de acordo com esses parâmetros, temos Re = UL/ν = 1 e Wi = λU/L = 0.4. A solução analítica encontrada para o gradiente de pressão resultou no valor ∂ p/∂ x = −6.116.
Para analisar a convergência do método numérico, o escoamento foi simulado em cinco malhas distintas: Malha M1 com 100 x 10 células (δx= δy = 0.001m), Malha M2 com 200 × 20 células (δx = δy= 0.0005m), Malha M3 com 300 × 30 células (δx= δy= 0.00033m), Malha M4 com 400 × 40 células (δx = δy= 0.00025m) e Malha M5 com 500 × 50 células (δx= δy= 0.0002m), até o tempo t = 100s, onde o estado estacionário já tinha sido alcançado. Para demonstrar que as soluções estacionárias foram alcançadas, aFigura 7mostra as linhas de nível das velocidades u e v e da pressão p no tempo mencionado. Pode-se observar na Figura 7que as linhas de nível da velocidade u estão paralelas e variam somente com y e que a velocidade v é nula em todo domínio, enquanto que o gradiente de pressão varia com x.
AFigura 8mostra que os valores numéricos para o gradiente de pressão ∂ p/∂ x obtidos nas malhas M1, M2, M3, M4 e M5 aproximam-se do valor exato quando a malha é refinada. Os
4.1. Resultados de Verificação 41
u/U
v/U
p/ρU2
Figura 7 – Linhas de nível obtidas na simulação do escoamento completamente desenvolvido em um canal, utili- zando a malha M5.
valores numéricos são calculados pela fórmula ∂ p ∂ x i out−12 = piout, j− piout−1, j δ x e o valor utilizado para ∂ p/∂ x representa a média dos valores calculados nos pontos (iout−12, j), onde iout denota o índice da célula imediatamente anterior a saída do canal (outflow). É possível ver que com o refinamento da malha, os valores aproximados convergem para a solução analítica de ∂ p/∂ x.
Os demais resultados obtidos nas simulações numéricas são comparados com as respecti- vas soluções analíticas e mostrados nasFigura 9-Figura 11.
AsFigura 9eFigura 10mostram a comparação da solução numérica obtida nas malhas M1, M2, M3, M4 e M5 com a solução analítica, na seção transversal i= iout. Podemos observar que existe uma excelente concordância entre as soluções númericas e as soluções analíticas. Esses resultados verificam o método numérico proposto para simular escoamentos com o modelo Giesekus.
42 Capítulo 4. Resultados −6.116 −6.109 −6.102 −6.091 −6.069 −6.002 1/501/40 1/30 1/20 1/10 dp/dx (L/ ρ U 2 ) δx/L Solução analítica Soluções numéricas
Figura 8 – Convergência dos valores numéricos de ∂ p/∂ x para o valor obtido no cálculo da solução analítica.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 τ xx /ρ U 2 y/L Solução analítica M1 M2 M3 M4 M5 a) −3 −2 −1 0 1 2 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 τ xy /ρ U 2 y/L Solução analítica M1 M2 M3 M4 M5 b) −0.4 −0.35 −0.3 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 τ yy /ρ U 2 y/L Solução analítica M1 M2 M3 M4 M5 c) −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 du/dy L/U y/L Solução analítica M1 M2 M3 M4 M5 d)
Figura 9 – Comparação das soluções numéricas obtidas nas malhas M1, M2, M3, M4 e M5. a) Tensão τxx, b) tensão τxy, c) tensão τyye d) variação de velocidade ∂ u/∂ y.
4.1. Resultados de Verificação 43 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
u/U
y/L Solução analítica Solução Newtoniana M1 M2 M3 M4 M5Figura 10 – Comparação das velocidades analítica e Newtoniana com a velocidade numérica obtida nas malhas M1, M2, M3, M4 e M5.
Para demostrar quantitativamente a convergência do método numérico, o erro relativo obtido nas cinco malhas foi calculado pela fórmula
EMj =
s
∑(solexata− solMj)2
∑(solexata)2 , (4.6)
onde solMj denota a solução numérica obtida utilizando a malha Mj.
ATabela 1 mostra os erros obtidos nas cinco malhas enquanto aFigura 11 mostra o decrescimento do erro em função do espaçamento δ x.
Erro Malhas Relativo M1 M2 M3 M45 M5 O(δ x) E(τxx) 3.690x10−2 1.188x10−2 5.408x10−3 2.982x10−3 1.850x10−3 2 E(τxy) 1.516x10−2 4.131x10−3 1.825x10−3 1.012x10−3 6.400x10−4 2 E(τyy) 3.265x10−2 1.009x10−2 4.533x10−3 2.488x10−3 1.543x10−3 2 E(du/dy) 2.585x10−2 8.354x10−3 3.827x10−3 2.120x10−3 1.320x10−3 2
Tabela 1 – Erros relativos obtidos nas malhas M1, M2, M3, M4 e M5, para os tensores τxx, τxy, τyye a variação de velocidade du/dy.
44 Capítulo 4. Resultados 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 1/501/40 1/30 1/20 1/10
Erro relativo
δ x/L τxx τxy τyy du/dyFigura 11 – Decrescimento dos erros relativos obtidos nas malhas M1, M2, M3, M4 e M5.
Podemos ver naTabela 1e na sua respectiva representação na Figura 11que os erros diminuem com o refinamento da malha, e são menores que 1% nas malhas M3, M4 e M5. Estes resultados confirmam a convergência do método numérico empregado.
4.2
Contração Planar 4:1
Nesta seção são apresentados os resultados obtidos na simulação do escoamento de um fluido Giesekus através de uma contração planar 4:1, em que o canal de entrada do fluido tem largura H, e que ao sofrer um estrangulamento, passa para outro canal de largura h = H/4. A geometria do escoamento é mostrada naFigura 12.
Esse problema é muito utilizado no desenvolvimento de métodos numéricos para a simulação de escoamentos de fluidos não-newtonianos [Araújo 2006,Oliveira e Pinho 1999,Tomé et al.2008]. O principal interesse na simulação deste tipo de escoamento vem do fato de fluidos viscoelásticos apresentarem comportamento variado quando sujeitos à geometrias complexas, como a contração planar por exemplo. Um efeito bastante estudado é o aparecimento e o tamanho dos vórtices nos cantos e dos chamados lip vortices, que são caracterizados pelo aparecimento de vórtices nas quinas da entrada da contração. O tamanho desses vórtices pode ser afetado por diversos fatores, como os números de Reynolds e Weissenberg, a geometria da contração e propriedades reológicas do material como viscosidade e constantes elásticas. Existem vários trabalhos que estudaram numericamente o comportamento de escoamentos de fluidos viscoelásticos em uma contração 4:1 [Walters e Webster 2003,White, Gotsis e Baird 1987], bem como diversos trabalhos experimentais mostrando que o efeito da viscoelasticidade
4.2. Contração Planar 4:1 45
produz padrões de vorticidade diferentes, quando sujeitos a esse tipo de geometria (ver por exemplo,Boger, Hur e Binnington 1986).
Com relação aFigura 12, podemos observar a existência de um eixo de simetria e por isso, os resultados das simulações serão visualizados apenas na metade superior do domínio.
Figura 12 – Domínio computacional para a simulação do escoamento em uma contração planar 4:1.
As simulações do escoamento na contração foram realizadas com os seguintes dados: comprimento das cavidades L1= L2= 0.16m; larguras dos canais, H = 0.08m (canal a montante) e h = 0.02m (verFigura 12) e velocidade média na entrada do canal a montante UE= 0.025ms−1. Os tamanho dos vórtices nos cantos inferior e superior na parede de estrangulamento são medidos pela razão Lvortex=h/2X , onde X e h correspondem as medidas mostradas naFigura 12. Para verificar a convergência do método numérico para este tipo de problema, simulamos esse escoamento em três malhas distintas: Malha M1 com 160 × 40 células (δx= δy= 0.002m), Malha M2 com 320 × 80 células (δx= δy= 0.001m) e Malha M3 com 640 × 160 células (δx= δy= 0.0005m), até que o estado estacionário fosse alcançado.
Os dados utilizados nas simulações para teste de convergência foram os seguintes: • Velocidade de escala (adimensionalização): U = 0.1ms−1
• Escala de comprimento (adimensionalização): L = 0.01m • Aceleração gravitacional: g = 0
• Definição do fluido:
– Viscosidade cinemática:ν = 0.001m2s−1 – Modelo Giesekus:α = 0.1 e λ = 0.1s
Com esses dados de entrada, obtivemos Re = UL/ν = 1 e Wi = λU/L = 1.
Para mostrar que o estado estacionário foi alcançado, as linhas de nível das velocidades ue v e da pressão p, obtidas utilizando a malha M3, são apresentadas na Figura 13. Pode-se
46 Capítulo 4. Resultados
observar naFigura 13que a componente u da velocidade apresenta perfil parabólico no canal de saída, a componente v da velocidade é nula em quase todo domínio e que a pressão p, varia apenas em função de x.
u/U
v/U
p/ρU2
Figura 13 – Linhas de nível obtidas na simulação do escoamento em uma contração planar 4:1 na malha M3.
AsFigura 14eFigura 15mostram os resultados obtidos ao longo do eixo de simetria (verFigura 12) nas malhas M1, M2 e M3. A Figura 14mostra os resultados da pressão e da variação de pressão, enquanto que aFigura 15mostra os resultados obtidos para as componentes de velocidade u e v.
4.2. Contração Planar 4:1 47 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 30 p/ ρ U 2 x/L M1 M2 M3 20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24 0 2 4 6 8 10 12 14 16 a) -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 dp/dx (L/ ρ U 2 ) x/L M1 M2 M3 b)
Figura 14 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar obtida nas malhas M1, M2 e M3 ao longo do eixo de simetria. a) Pressão e b) gradiente de pressão.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 5 10 15 20 25 30 u/U x/L M1 M2 M3 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 16 18 20 22 24 a) -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0 5 10 15 20 25 30 v/U x/L M1 M2 M3 b)
Figura 15 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar obtida nas malhas M1, M2 e M3 ao longo do eixo de simetria. a) Velocidade u(x) e b) velocidade v(x).
Os resultados obtidos nos cálculos dos tensores τxx, τxy, τyy, e a diferença de tensão normal N1= τxx− τyy, são mostrados naFigura 16.
Os gráficos presentes nasFigura 15eFigura 16, mostram um comportamento semelhante ao apresentado porAzaiez, Guénette e Aït-Kadi 1996, mostrando a coerência dos resultados.
Com o objetivo de estudar o aparecimento e o comportamento dos vórtices nas paredes da contração, foram realizadas várias simulações com números de Reynolds Re = 0.1 e Re = 1, utilizando vários valores do número de Weissenberg.
Os dados utilizados nessas simulações foram:
• Velocidade de escala (adimensionalização): U = 0.1ms−1 • Escala de comprimento (adimensionalização): L = 0.01m • Malha: δx= δy= 0.001m (320 × 80 células)
48 Capítulo 4. Resultados
• Definição do fluido:
– Viscosidade cinemática:ν = 0.001m2s−1
– Modelo Giesekus:α = 0.1 e λ dependendo do número de Weissenberg.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 5 10 15 20 25 30 τ xx /ρ U 2 x/L M1 M2 M3 a) -0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0 5 10 15 20 25 30 τ xy /ρ U 2 x/L M1 M2 M3 b) -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0 5 10 15 20 25 30 τ yy /ρ U 2 x/L M1 M2 M3 c) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 20 25 30 (τ xx - τ yy )/ ρ U 2 x/L M1 M2 M3 d)
Figura 16 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar nas malhas M1, M2 e M3. Resultados obtidos no eixo de simetria para a) τxx, b) τxye c) τyye, próximo a parede superior do canal de largura hpara d) N1= τxx− τyy.
Nessas simulações, os valores do parâmetro λ e os respectivos números de Weissenberg são apresentados naTabela 2.
λ 0.025 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
Wi 0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5
Tabela 2 – Valores do tempo de relaxação λ e respectivos números de Weissenberg.
Utilizando os dados daTabela 2, foram realizadas um total de 18 simulações correspon- dentes aos números de Reynolds Re = 0.1,1, até que o estado estacionário de cada simulação fosse alcançado. Para cada valor de Wi, o tamanho do vórtice de canto foi obtido. As linhas de corrente obtidas são mostradas naFigura 17para Re = 0.1 e aFigura 18mostra as linhas de corrente obtidas para Re = 1.
4.2. Contração Planar 4:1 49
Com referência asFigura 17h eFigura 17i, é possível constatar a presença de um ‘lip vortice’, e o mesmo efeito se verifica naFigura 18i. O aparecimento de ‘lip vortices’ tem sido constatado por muitos investigadores que estudaram o escoamento em uma contração 4:1. Por exemplo, esse fenômeno foi reportado porAboubacar e Webster 2001, que simularam o problema da contração planar utilizando o modelo Oldroyd-B com um método numérico híbrido baseado em volumes/elementos finitos e provaram a existência do ‘lip vortice’ para Wi > 1, com Re = 0. Outro trabalho que também obteve um ‘lip vortice’ utilizando o modelo Oldroyd-B foi realizado por Alves, Oliveira e Pinho 2003, que mostraram o aparecimento de pequenos ‘lip vortices’ para Wi = 0.5,1 e 1.5, também com Re = 0, e, recentemente, Ferrás et al. 2014utilizaram o modelo sPTT para simular o problema da contração 4:1, utilizando Re = 0.04 e 0 ≤ Wi ≤ 5. Com Wi = 5,Ferrás et al. 2014mostraram que o aumento da viscosidade no escoamento produz um aumento no tamanho do ‘lip vortice’, de modo que este se unia ao vórtice de canto, criando um único vórtice que continuava crescendo com o aumento de Wi.
Os resultados com Re = 1 também mostram o aparecimento de um ‘lip vortice’ a medida que o número de Weissenberg é aumentado (verFigura 18i).
Para confirmar o aparecimento dos ‘lip vortices’, os problemas foram simulados nova- mente utilizando uma malha mais fina, com 640×160 células, e o resultado obtido foi semelhante àquele obtido na malha com 320 × 80 células.
a) b)
50 Capítulo 4. Resultados
e) f)
g) h)
i)
Figura 17 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar 4:1. Resultados obtidos com Re = 0.1 e α = 0.1. a) Wi = 0.25, b) Wi = 0.5, c) Wi = 1, d) Wi = 1.5, e) Wi = 2, f) Wi = 2.5, g) Wi = 3, h) Wi = 4 e i) Wi = 5.
4.2. Contração Planar 4:1 51
a) b)
c) d)
e) f)
52 Capítulo 4. Resultados
i)
Figura 18 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar 4:1. Resultados obtidos com Re = 1 e α = 0.1. a) Wi = 0.25, b) Wi = 0.5, c) Wi = 1, d) Wi = 1.5, e) Wi = 2, f) Wi = 2.5, g) Wi = 3, h) Wi = 4 e i) Wi = 5.
ATabela 3mostra o tamanho dos vórtices obtidos para cada valor de Wi e aFigura 19 mostra a variação do tamanho do vórtice com o crescimento do número de Weissenberg.
Wi 0.25 0.05 1 1.5 2 2.5 3 4 5
Re = 0.1 1.422 1.387 1.339 1.325 1.321 1.333 1.354 1.429 1.535 Re = 1 1.230 1.186 1.120 1.076 1.043 1.026 1.018 1.028 1.070 Tabela 3 – Variação do comprimento dos vórtices com o número de Weissenberg para Re = 0.1 e Re = 1, com
α = 0.1. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5
L
vortex Wi Re = 0.1 Re = 1.0Figura 19 – Variação do comprimento do vórtice em função do número de Weissenberg para Re = 0.1 e Re = 1, com α = 0.1.
4.2. Contração Planar 4:1 53
De acordo com aTabela 3e aFigura 19, pode-se observar que à medida que o número de Weissenberg aumenta, o tamanho do vórtice de canto diminui. Porém esse efeito não se estende a todos os valores de Wi. A partir de um determinado valor de Wi, os vórtices de canto começam a aumentar novamente. Esses resultados não concordam com alguns encontrados na literatura, obtidos com os modelos Oldroyd-B e Maxwell, por exemplo, onde o tamanho dos vórtices de canto diminuem com o aumento do número de Weissenberg (aumento da viscoelasticidade). Entretanto, utilizando ’creeping flows’ (escoamentos lentos onde Re << 1), o crescimento do tamanho do vórtice tem sido presenciado por alguns autores, por exemplo, PTT [Alves, Oliveira e Pinho 2003], sPTT [Ferrás et al. 2014] e UCM [Oliveira e Pinho 1999]. Todavia, os resultados obtidos nesse trabalho concordam com os resultados apresentados porChoi, Song e Yoo 1988 que simularam o escoamento em uma contração 4:1 utilizando o modelo Giesekus com α = 0.5 e presenciaram diminuição do tamanho do vórtice de canto (a baixos valores de Wi) seguido de um aumento no tamanho do vórtice de canto a partir de um certo valor de Wi.
Além de verificar o comportamento do escoamento com a variação de Re e Wi, o problema da contração planar foi simulado variando-se o parâmetro α do modelo Giesekus. Para isso, fixou-se o valor de Re e variou-se os valores do número de Weissenberg, juntamente com o parâmetro α. Os resultados apresentados a seguir foram obtidos fixando-se o valor de Re = 1 e, para cada valor de Wi descrito naTabela 2, foram realizadas duas simulações com valores de α igual a 0 e 0.3.
A Figura 20 a seguir mostra as linhas de corrente obtidas para cada Wi descrito na Tabela 2, com Re = 1 e α = 0.3.
54 Capítulo 4. Resultados
c) d)
e) f)
4.2. Contração Planar 4:1 55
i)
Figura 20 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar 4:1. Resultados obtidos com Re = 1 e α = 0.3. a) Wi = 0.25, b) Wi = 0.5, c) Wi = 1, d) Wi = 1.5, e) Wi = 2, f) Wi = 2.5, g) Wi = 3, h) Wi = 4 e i) Wi = 5.
A Figura 21mostra as linhas de corrente obtidas para cada Wi descrito na Tabela 2, juntamente com uma simulação para o caso Newtoniano, com Re = 1 e α = 0.
a) b)
56 Capítulo 4. Resultados
e) f)
g) h)
i) j)
Figura 21 – Simulação numérica do escoamento em uma contração planar 4:1. Resultados obtidos com Re = 1 e α = 0. a) Wi = 0 (Newtoniano), b) Wi = 0.25, c) Wi = 0.5, d) Wi = 1, e) Wi = 1.5, f) Wi = 2, g) Wi = 2.5, h) Wi = 3, i) Wi = 4 e j) Wi = 5.
Nestas simulações, apenas o escoamento com α = 0 apresentou o fenômeno do ‘lip vortice’. Pelo que tudo indica, o aparecimento do ‘lip vortice’ está diretamente relacionado a viscosidade no escoamento, uma vez que o efeito surge com o aumento de Wi. Porém, esse efeito
4.2. Contração Planar 4:1 57
acaba sendo influenciado também de alguma forma pela constante α, visto que com α = 0.3 não houve o seu aparecimento.
ATabela 4mostra o tamanho dos vórtices obtidos para cada valor de Wi com a variação de α e, aFigura 22, mostra a sua representação.
Re = 1 Wi α = 0 α = 0.1 α = 0.3 0 1.281 − − 0.25 1.228 1.230 1.233 0.5 1.176 1.186 1.199 1 1.092 1.120 1.150 1.5 1.022 1.076 1.120 2 0.950 1.043 1.101 2.5 0.900 1.026 1.087 3 0.846 1.018 1.079 4 0.721 1.028 1.082 5 0.652 1.070 1.094
Tabela 4 – Variação do comprimento do vórtice em função do número de Wi e do parâmetro α para Re = 1.
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5
L
vortex Wi α = 0.0 α = 0.1 α = 0.358 Capítulo 4. Resultados
4.3
Jet Buckling
Nesta seção, são apresentados os resultados numéricos obtidos na simulação de escoa- mentos com superfícies livres produzidos por um jato incidindo sobre uma placa plana, também conhecido como ‘jet buckling’ ou problema do jato oscilante.
Esse problema tem sido estudado por muitos pesquisadores (por exemplo,Cruickshank 1988,Cruickshank e Munson 1981,Tomé e McKee 1999,Tomé et al. 1999,Ville, Silva e Coupez 2011,Roberts e Rao 2011,Habibi et al. 2014,Xu e Ouyang 2013,Silva 2014,Figueiredo et al.2013,Bhattacharya, Craster e Flynn 2013, para mencionar somente alguns poucos). Em particular,Cruickshank e Munson 1981eCruickshank 1988obtiveram condições que envolvem o número de Reynolds e o domínio do escoamento para a ocorrência do efeito do jato oscilante em geometrias bidimensionais. Os resultados deCruickshank 1988mostraram que para ocorrer o efeito do jato oscilante, devem ser satisfeitas as seguintes condições
Re < 0.56 e H/Lin j> 3π
onde H é a altura entre o injetor e a superfície rígida e Lin j é a largura do jato (Figura 23).
Figura 23 – Domínio computacional para a simulação do ‘jet buckling’.
Para ilustrar que o modelo de Giesekus pode simular o fenômeno do ‘jet buckling’, apre- sentamos a seguir algumas simulações que mostram os comportamentos de um jato newtoniano e de um jato governado pelo modelo Giesekus.
Os dados utilizados nas simulações a seguir foram: • Domínio computacional: 0.1m x 0.126m
4.3. Jet Buckling 59
• Aceleração gravitacional: g = 9.81ms−2
• Altura do injetor à superfície rígida: H = 0.12m • Largura do injetor: Lin j= 0.008m
• Velocidade do jato no injetor: U = 0.2ms−1 • Definição do fluido:
– Viscosidade cinemática:ν = 0.0025m2s−1
– Modelo Giesekus:α = 0.1, 0.3 e 0.5 e λ = 0.005s
As variáveis de escala U, L, ν e λ , fornecem: Re = UL/ν = 0.8 e Wi = λU/L = 0.1. Logo, Re > 0.56 e H/Lin j= 15 > 3π, as condições de Cruickshank não são satisfeitas e portanto, a simulação com o jato Newtoniano não deve apresentar o efeito do jato oscilante. No entanto, com relação ao jato modelado pela equação de Giesekus, não podemos concluir que o mesmo não apresentará o efeito do ‘jet buckling’, uma vez que a análise de Cruickshank é aplicada somente a jatos Newtonianos. A Figura 24 mostra os resultados das simulações envolvendo um fluido Newtoniano e o fluido não-newtoniano com os parâmetros descritos acima.
Como podemos observar naFigura 24, o escoamento do fluido newtoniano não apresen- tou a oscilação, como era esperado devido as condições de Cruickshank não serem totalmente satisfeitas e os jatos com α = 0.1,0.3 apresentaram o efeito ‘jet buckling’. Espera-se que as os- cilações presentes nos jatos com α = 0.1,0.3 sejam consequência do fluido ser não-newtoniano, não devendo, assim, obrigatoriamente obedecer as condições de Cruickshank. Acreditamos que o aparecimento das oscilações se dá ao fato do crescimento da viscosidade extensional no momento em que o jato não-newtoniano atinge a superfície plana, conforme mostrado porPaulo, Tomé e McKee 2007. Além disso, acreditamos que a simulação com α = 0.5 não apresentou o efeito ‘jet buckling’ devido ao fato de que Wi = 0.1 e Re = 0.8 e, consequentemente, os efeitos viscoelásticos ainda não serem suficientes para que o jato se torne instável. Mostraremos a seguir que diminuindo o número de Reynolds, as simulações com o fluido Giesekus mostram ‘jet buckling’.
Vamos considerar um escoamento com as seguintes características: • Domínio computacional: 0.1m x 0.126m
• Malha: δ x = δ y = 0.001m (100 x 126 células) • Aceleração gravitacional: g = 9.81ms−2
60 Capítulo 4. Resultados
• Largura do injetor: Lin j= 0.008m
• Velocidade do jato no injetor: U = 0.2ms−1 • Definição do fluido:
– Viscosidade cinemática:ν = 0.005m2s−1
– Modelo Giesekus:α = 0.1, 0.3 e 0.5 e λ = 0.005s
Nessas simulações obtivemos: Re =ULν = 0.4 e Wi = λUL = 0.1.
Portanto, como Re < 0.56 e H/Lin j = 15.0 > 3π, as condições de Cruickshank são satisfeitas e as simulações devem apresentar o efeito do jato oscilante. AFigura 25mostra os resultados das simulações envolvendo um fluido Newtoniano e o fluido viscoelástico com os parâmetros descritos acima.
NaFigura 25, podemos ver que o escoamento newtoniano passa a apresentar a oscilação a partir do tempo t = 1s e confirma as análises obtidas porCruickshank 1988. Os jatos com o fluido de Giesekus também apresentaram o efeito jet buckling, acreditamos, devido a diminuição do número de Reynolds, e consequente diminuição da mobilidade do fluido devido aos efeitos viscosos.
A seguir, apresentamos os resultados obtidos em várias simulações de um jato incidindo sobre uma placa plana onde fixamos o número de Reynolds em Re = 0.8 e variamos o número de Weissenberg e o parâmetro α. Nessas simulações utilizamos Wi = 0.5,1,2 e α = 0.1,0.3,0.5. A geometria do domínio, o tamanho da malha e a constante gravitacional, permaneceram fixos. Inicialmente, será analisado o efeito do parâmetro α no escoamento para cada simulação realizada e, posteriormente, veremos o comportamento da viscoelasticidade com o aumento do número de Weissenberg.
AFigura 26mostra a simulação numérica do ‘jet buckling’ com Re = 0.8, Wi = 0.5 e α = 0.1, 0.3 e 0.5. Os resultados no tempo t = 0.48s e t = 0.64s, sugerem que o jato torna-se mais viscoso a medida que o valor de α aumenta. Porém, no tempo t = 0.8s, os resultados obtidos com os três jatos são semelhantes. Por outro lado, os resultados mostrados naFigura 27 com Wi = 1 sugerem o contrário, sendo que o jato com α = 0.1 aparenta ser mais viscoso que os jatos correspondentes a α = 0.3,0.5. Esse fato é confirmado nos resultados mostrados na Figura 28com Wi = 2 onde podemos observar que o jato com α = 0.1 mostra um número