Consequências da análise inadequada de um experimento fatorial 2k em parcelas subdivididas e sem replicação

(1)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra

Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada e Estat´ıstica

Alex Wagner Pereira

CONSEQUˆ

ENCIAS DA AN ´

ALISE

INADEQUADA DE UM EXPERIMENTO

FATORIAL

2

k

EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS E

SEM REPLICA ¸

C ˜

AO

(2)

CONSEQUˆ

ENCIAS DA AN ´

ALISE

INADEQUADA DE UM EXPERIMENTO

FATORIAL

2

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EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS E

SEM REPLICA ¸

C ˜

AO

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento às exigências legais para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre.

´

Area de Concentra¸c˜ao: Probabilidade e Estat´ıstica

Orientadora:

Prof

a

_{. Dr}

a

_{. Carla Almeida Vivacqua}

(3)

.

(4)

CONSEQUˆ

ENCIAS DA AN ´

ALISE

INADEQUADA DE UM EXPERIMENTO

FATORIAL

2

k

EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS E

SEM REPLICA ¸

C ˜

AO

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento às exigências legais para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre.

´

Area de Concentra¸c˜ao: Probabilidade e Estat´ıstica

Aprovado em: / /

Banca Examinadora:

Profa_{. Dr}a_{. Carla Almeida Vivacqua}

Departamento de Estat´ıstica - UFRN Orientadora

Prof. Dr. Andr´e Luis Santos de Pinho Departamento de Estat´ıstica - UFRN

Examinador Interno

Dra_{. Aline de Holanda Nunes Maia}

(5)

Dedicat´

oria

Dedico esse trabalho `a minha av´o Mercedes

(6)

Agrade¸co, em primeiro lugar a Deus, por iluminar meu caminho ao longo dessa jornada. Agrade¸co também ao meu pai, que foi o exemplo maior de toda minha vida, à minha mãe pelo papel fundamental na minha forma¸cão e à minha irmã, melhor amiga e maior incentivadora do meu crescimento, bem como a todos da minha fam´ılia que me deram coragem para continuar; à minha esposa que de forma carinhosa me ajudou a traduzir todos os textos pertinentes ao meu mestrado; aos meus filhos Tiago e Pedro que me levam a querer progredir mais e mais; à professora Carla pela paciência na orienta¸cão e brilhantismo inspirador que me ajudaram na conclusão deste trabalho; aos professores, de um modo geral, pelo incentivo, pela compreensão e amizade; ao amigo Flávio pela contribui¸cão inestimável no desenvolvimento do programa que permitiu realizar todas as simula¸cões da pesquisa; e a colegas de curso pelo conv´ıvio e apoio constantes.

(7)

Resumo

Em experimentos com vários fatores em que alguns são mais dif´ıceis de mudar que outros, pode ser inconveniente executar as provas do experimento em uma forma completamente aleatória, levando o pesquisador a criar naturalmente uma restri¸cão na ordem de execu¸cão para poupar tempo ou reduzir os custos. Este tipo de restri¸cão pode resultar em uma generaliza¸cão do planejamento fatorial, conhecida como experimentos em parcelas subdivididas. Na prática, é comum executar um experimento em parcelas subdivididas e analisá-lo como se fosse completamente aleatorizado.

O objetivo principal do trabalho é avaliar o impacto de analisar um experimento com restri¸cão na aleatoriza¸cão como completamente aleatorizado. Com esse intuito, utiliza-se uma simula¸cão de dados, executada segundo um experimento em parcelas subdivididas. A simula¸cão pode ser vista como um experimento fatorial em parcelas subdivididas do tipo 42 _×_{2 considerando que a razão entre as variâncias do efeito na}

parcela/subparcela (1; 4,75; 16 e 49) e a quantidade de repeti¸cões (10, 100, 1000 e 10000) são fatores associados às parcelas e o modo como o experimento foi analisado, utilizando o método de Lenth, (completamente aleatorizado e parcelas subdivididas) o fator associado às subparcelas. Assim, observa-se que o modo como o experimento foi analisado e a razão entre a variância do efeito da parcela e da subparcela afetam a habilidade de identificar efeitos ativos.

Palavras-chave:Aleatoriza¸cão; Experimenta¸cão; Método de Lenth; Parcelas Sub-Divididas; Split-Plot.

(8)

In experiments with several factors, in which some are harder to change than others, it may be inconvenient to execute the tests of the experiment in a completely random way, taking the researcher to naturally create a restriction in execution order to save time or reduce costs. This type of restriction may result in a generalization of the fac-torial planning, known as experiments in split-plot designs. In practice, it is commom to execute an experiment as a split-plot design and analyze this experiment it as if it were a completely randomized design.

The main objective of the work is to evaluate the impact of analyzing an experiment with restriction in the randomization as completely randomized. With this intention, we use a simulation, executed according to a split-plot experiment. The simulation can be seen as an factorial experiment of type a 42_×_{2 split-plot factorial design}

conside-ring that the ratio beteween the plot and subplot variances (1; 4.75; 16 and 49) and the amount of repetitions (10, 100, 1000 and 10000) are factors associated with plots and the way the experiment was analyzed (completelly randomized and split plot) the factor associated with subplots. Thus, we observe that the way the experiment was analyzed and the ratio between the effect variance of the plot and the subplot affect the ability to identify active effects.

Keywords: Randomization; Experimentation; Lenth’s Method, Split-Plot.

(9)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 3

1.2 Objetivos . . . 7

1.2.1 Objetivo Geral . . . 7

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 7

2 Conceitos Básicos em Experimenta¸cão 8 2.1 Fases da Experimenta¸cão . . . 9

2.2 Princ´ıpios B´asicos Para o Planejamento Experimental . . . 10

2.2.1 Replica¸c˜ao . . . 10

2.2.2 Blocagem . . . 10

2.2.3 Aleatoriza¸c˜ao . . . 10

2.3 Tipos de Aleatoriza¸c˜ao . . . 11

2.3.1 Experimentos Completamente Aleatorizados . . . 11

2.3.2 Experimentos Aleatorizados em Parcelas Subdivididas . . . 12

2.4 Métodos de Análise de Experimentos Fatoriais Não Replicados . . . 13

2.4.1 Gr´aficos de Probabilidade Normal . . . 13

2.4.2 O M´etodo de Lenth . . . 14

3 Estudo do Impacto do Plano Experimental na Análise do Experi-mento 16 3.1 Cenários da Simula¸cão do Experimento . . . 19

3.2 Resultados . . . 24

3.3 Crit´erios de Avalia¸c˜ao . . . 42

4 Conclus˜ao 61

5 Referˆencias Bibliogr´aficas 64

(10)

A.2 Programa 2 - Gráficos . . . 72 A.2.1 Gráfico de Probabilidade Normal e do Método de Lenth . . . . 72 A.2.2 Histogramas . . . 73 A.2.3 Estat´ıstica . . . 73

B Histogramas das distribui¸c˜oes dos efeitos 74

B.1 10 Repeti¸c˜oes . . . 74 B.1.1 σ2

1 = 1 e σ02 = 1 . . . 74

B.1.2 σ2

1 = 4 e σ02 = 1 . . . 76

B.1.3 σ2

1 = 16 e σ20 = 1 . . . 78

B.1.4 σ2

1 = 49 e σ20 = 1 . . . 80

B.2 100 Repeti¸c˜oes . . . 83 B.2.1 σ2

1 = 1 e σ02 = 1 . . . 83

B.2.2 σ2

1 = 4 e σ02 = 1 . . . 85

B.2.3 σ2

1 = 16 e σ20 = 1 . . . 87

B.2.4 σ2

1 = 49 e σ20 = 1 . . . 89

B.3 1000 Repeti¸c˜oes . . . 91 B.3.1 σ2

1 = 1 e σ02 = 1 . . . 91

B.3.2 σ2

1 = 4 e σ02 = 1 . . . 93

B.3.3 σ2

1 = 16 e σ20 = 1 . . . 95

B.3.4 σ2

1 = 49 e σ20 = 1 . . . 97

B.4 10000 Repeti¸c˜oes . . . 99 B.4.1 σ2

1 = 1 e σ02 = 1 . . . 99

B.4.2 σ2

1 = 4 e σ02 = 1 . . . 101

B.4.3 σ2

1 = 16 e σ20 = 1 . . . 103

B.4.4 σ2

1 = 49 e σ20 = 1 . . . 105

C Tabelas 107

C.1 Valores Cr´ıticos . . . 108 C.2 1000 Repeti¸c˜oes . . . 109

C.2.1 σ2

1 = 1 e σ02 = 1 . . . 109

C.2.2 σ2

1 = 4,75 e σ02 = 1 . . . 110

C.2.3 σ2

1 = 16 e σ20 = 1 . . . 111

C.2.4 σ2

1 = 49 e σ20 = 1 . . . 112

C.3 10000 Repeti¸c˜oes . . . 113

(11)

C.3.1 σ2

1 = 1 e σ02 = 1 . . . 113

C.3.2 σ2

1 = 4,75 e σ02 = 1 . . . 114

C.3.3 σ2

1 = 16 e σ20 = 1 . . . 115

C.3.4 σ2

1 = 49 e σ20 = 1 . . . 116 D A simula¸c˜ao como um experimento fatorial 4×4×2 117

D.1 O FATOR C - Considerado, na simula¸cão, como Inativo . . . 117 D.1.1 Os dados . . . 117 D.1.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela . . . 118 D.1.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela . 118 D.2 O FATOR D - Considerado, na simula¸cão, como Ativo . . . 119 D.2.1 Os dados . . . 119 D.2.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela . . . 119 D.2.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela . 120 D.3 A INTERA ¸C ÃO AD - Considerado, na simula¸cão, como Ativo . . . 120 D.3.1 Os dados . . . 120 D.3.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela . . . 120 D.3.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela . 121 D.4 A INTERA ¸C ÃO AE - Considerado, na simula¸cão, como Ativo . . . 122 D.4.1 Os dados . . . 122 D.4.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela . . . 123 D.4.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela . 123 D.5 A INTERA ¸C ÃO AB - Considerado, na simula¸cão, como Inativo . . . . 124 D.5.1 Os dados . . . 124 D.5.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela . . . 124 D.5.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela . 125 D.6 A INTERA ¸C ÃO AC - Considerado, na simula¸cão, como Inativo . . . . 125 D.6.1 Os dados . . . 125 D.6.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela . . . 125 D.6.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela . 126 D.7 A INTERA ¸C ÃO BC - Considerado, na simula¸cão, como Inativo . . . . 127 D.7.1 Os dados . . . 127 D.7.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela . . . 128 D.7.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela . 128

(12)

Introdu¸

c˜

ao

O mercado atual está a cada dia que passa mais competitivo e exigente, por isso, é indispensável que as empresas lancem no mercado produtos com pre¸cos acess´ıveis que atendam e excedam as expectativas dos consumidores. Para satisfazer aos seus clientes, sem abrir mão do lucro, as organiza¸cões investem, cada vez mais, em projetos de melhoria, buscando sistemas de produ¸cão de alta qualidade e de baixos custos. Neste contexto, experimentos são úteis.

Experimentos s˜ao empregados para resolver problemas de fabrica¸c˜ao, decidir entre diferentes processos de manufatura, diferentes conceitos de produto, etc... Muito do que se sabe hoje se deve ao aprendizado com experimentos.

Quando um experimento é executado, procura-se adquirir conhecimento sobre os produtos e/ou processos envolvidos, em que o maior desafio é planejar e executar esses experimentos de forma eficiente, considerando as restri¸cões f´ısicas e econômicas de cada processo de produ¸cão. É a´ı, exercendo um papel fundamental na procura desses novos produtos e na melhoria de processos e de produtos existentes, que entram os experi-mentos planejados. Desta forma, podemos entender o planejamento de experiexperi-mentos como uma parte da Estat´ıstica que busca permitir ao experimentador a obten¸cão de dados que lhe sejam úteis, no sentido de fornecer informa¸cões de acordo com o objetivo, de uma forma tão econômica quanto poss´ıvel.

´

E importante destacar que o planejamento é um dos grandes desafios na realiza¸cão dos experimentos. Por exemplo, nos experimentos industriais a existência de muitos fatores a serem avaliados pode gerar um gasto grande de tempo e um alto custo na execu¸cão das provas.

Na indústria, devido à sua simplicidade e eficiência, os experimentos fatoriais são os mais utilizados (Ye, Hamada & Wu, 2001) e, em particular, os experimentos fatoriais 2k _{(caso em que todos os} _k _{fatores possuem dois n´ıveis) destacam-se entre os planos}

(13)

2

fatoriais (Montgomery, 2001).

Situa¸cões em que muitos fatores são de interesse e deseja-se saber quais deles podem ser desconsiderados são cenários indicados para a utiliza¸cão de experimentos fatoriais 2k_{. A principal vantagem desse plano, é que com um n´}_{umero reduzido de provas, o}

experimentador tem condi¸c˜oes de testar muitos fatores simultaneamente.

Quando um experimento tem um alto custo ou a sua execu¸cão exige muito tempo, é interessante para o pesquisador a diminui¸cão do número de provas e, por isso, é fre-quente a realiza¸cão de experimentos sem a presen¸ca de réplicas. Em um experimento sem réplicas, a análise precisa ser cuidadosa pois fica-se sem graus de liberdade sufici-entes para estimar diretamente a variância do erro experimental, por isso, dificultando a utiliza¸cão de testes para determinar a significância dos efeitos.

Nesse caso, uma boa alternativa para a análise dos efeitos é a constru¸cão de gráficos de probabilidade normal (Daniel, 1959). A grande desvantagem desse método é a subjetividade para obter as conclusões.

Em 1989, Lenth desenvolveu um método objetivo de análise. O método de Lenth, mesmo na ausência de réplicas, utiliza uma fórmula simples para obter uma estimativa do erro padrão dos contrastes estimados. Este método foi depois reformulado por Ye, Hamada, & Wu (2001).

Em experimentos com vários fatores em que alguns são mais dif´ıceis de mudar que outros, pode ser imposs´ıvel aleatorizar a ordem de todas as observa¸cões, obrigando o pesquisador a criar uma restri¸cão na aleatoriza¸cão para poupar tempo ou reduzir os custos. Este tipo de restri¸cão pode resultar em uma generaliza¸cão do planejamento fatorial, conhecida como experimentos aleatorizados em parcelas subdivididas.

Os experimentos fatoriais em parcelas subdivididas sem réplicas são candidatos a planos experimentais que atendem às caracter´ısticas práticas de experimentos indus-triais, sendo, portanto, úteis e representam o foco do nosso trabalho. Na prática, é muito comum executar um experimento em parcelas subdivididas (com restri¸cão na aleatoriza¸cão) e analisar esse experimento sem considerar essa restri¸cão.

O QUE ACONTECE QUANDO QUANDO SE IGNORA A RESTRI-¸

C ˜AO NA ALEATORIZA ¸C ˜AO?

(14)

1.1 Motiva¸

c˜

ao

A motiva¸cão para este trabalho foi um experimento executado segundo um deli-neamento em parcelas subdivididas descrito em Bisgaard, Fuller e Barrios (1995). O objetivo do experimento era utilizar plasma para alterar as caracter´ısticas da superf´ıcie do papel, para assim torná-lo mais suscet´ıvel à tinta. Neste experimento foram utiliza-dos cinco fatores com dois n´ıveis cada. Segundo Bisgaard, Fuller e Barrios (1995), um plasma é uma mistura de prótons e elétrons. Os plasmas são geralmente criados em uma câmara de baixo vácuo e, cada vez que o reator é aberto para inserir uma nova amostra, demora cerca de 40 minutos para atingir novamente o vácuo.

Os cinco fatores utilizados e seus respectivos n´ıveis s˜ao apresentados no Quadro 1.1.

Quadro 1.1 - Fatores utilizados e seus respectivos n´ıveis

Fator N´ıvel (+) N´ıvel (−) A: Pressão alta baixa B: Energia alta baixa C: Fluxo de Gás alto baixo D: Tipo de Gás Oxigênio Si Cl4

E: Tipo de papel I II

Para economizar trabalho e tempo, duas amostras, uma de cada tipo de papel, foram inseridas no reator ao mesmo tempo (com isso a dura¸cão da experiência foi reduzida à metade).

A matriz de projeto está apresentada na Tabela 1.1. Observe que a primeira linha, por exemplo, indica que os dois tipos de papel (fator E) foram colocados numa confi-gura¸cão do reator em que pressão (fator A), energia (fator B), propor¸cão do fluxo de gás (fator C) e tipo de gás (fator D) estão nos seus n´ıveis (−) e foram encontradas as respostas 57,0 para o tipo I e 48,6 para o tipo II.

Para analisar este caso experimental, foram divididos, nas Tabelas 1.2 e 1.3, os 31 efeitos em dois grupos, aqueles com variância de erro associados à parcela (whole plot)relacionados com o reator (fatores dif´ıceis de mudar: A, B, C e D) e aqueles com variância de erro associados à subparcela (sub plot) relacionados com as amostras de papel (fator fácil de mudar: E)

Em experimentos fatoriais 2k _{com restri¸cões na aleatoriza¸cão é prefer´ıvel usar}

(15)

1.1 Motiva¸c˜ao 4

Tabela 1.1: Matriz de projeto e resposta para experimento em parcelas subdivididas na produ¸c˜ao de plasma

A B C D E − E +

− − − − 48,6 57,0 + − − − 41,2 38,2

− + − − 55,8 62,9 + + − − 53,5 51,3

− − + − 37,6 43,5 + − + − 47,2 44,8

− + + − 47,2 54,6 + + + − 48,7 44,4

− − − + 5,0 18,1 + − − + 56,8 56,2

− + − + 25,6 33,0 + + − + 41,8 37,8

− − + + 13,3 23,7 + − + + 47,5 43,2

− + + + 11,3 23,9 + + + + 49,5 48,2

Tabela 1.2: Efeitos estimados agrupados por tipo de variˆancia de erro

(16)

Tabela 1.3: Efeitos estimados agrupados por tipo de variˆancia de erro Contraste Efeito IE 3,1 AE -5,9 BE -0,3 CE -0,1 DE 1,0 ABE 0,1 ACE -0,1 ADE -0,8 BCE 0,9 BDE -0,2 CDE 0,3 ABCE -0,4 ABDE 0,3 ACDE -0,2 BCDE 0,9 ABCDE 0,2

(17)

(18)

No caso em que os dados dos gráficos de probabilidade normal aparecem como uma linha reta (figuras 2 e 3), o coeficiente angular dessa reta é o valor aproximado do desvio padrão dos efeitos associados. É importante observar que o valor do desvio padrão dos efeitos associados à subparcela (sub plot) é consideravelmente menor (≈1) que o des-vio (≈7) dos efeitos associados à parcela(whole plot) ilustrando que a variância entre diferentes utiliza¸cões do reator é maior que a variância entre as amostras colocadas em cada reator.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo Geral

Avaliar o impacto de analisar um experimento em parcelas subdivididas como com-pletamente aleatorizado.

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos

(19)

1.2 Objetivos 8

como se fosse completamente aleatorizado.

(20)

Conceitos B´

asicos em

Experimenta¸

c˜

ao

Neste trabalho, são abordados conceitos fundamentais para o planejamento, execu-¸cão e análise de experimentos. Um desses conceitos é a aleatorizaexecu-¸cão que torna poss´ıvel a gera¸cão de uma distribui¸cão de referência, base para análise estat´ıstica, sem a necessi-dade de suposi¸cões sobre a distribui¸cão dos dados. Quando o ensaio cient´ıfico deixa de ser adequadamente aleatorizado, ele pode fornecer estimativas tendenciosas dos efeitos dos fatores bem como da variância do erro experimental, o que pode levar a conclusões equivocadas.

Muitas vezes, a presen¸ca de fatores que são mais caros, que consomem mais tempo ou que são mais dif´ıceis de mudar que outros, pode tornar inviável a realiza¸cão do experimento em uma ordem completamente aleatorizada, obrigando o pesquisador a criar uma restri¸cão na aleatoriza¸cão para reduzir custos e poupar tempo. Uma op¸cão prática de planejamento, nesses casos, são os delineamentos em parcelas subdivididas. Na prática porém, é muito comum executar o experimento como parcela subdividida e analisar como completamente aleatorizado. Por isso, vamos dar ênfase à importância de realizar o que foi planejado e de examinar o que foi executado. Para exemplificar essa situa¸cão é abordado um experimento fatorial 2k _{em que alguns fatores são dif´ıceis}

de mudar e, por isso, o experimento é executado com restri¸cão na aleatoriza¸cão. Para haver uma melhor compreensão do conteúdo abordado, apresenta-se a termo-logia básica e os principais conceitos de Planejamento de Experimentos.

• Resposta - ´e a caracter´ıstica de interesse que ser´a medida no estudo.

• Fator - ´e a caracter´ıstica que ser´a controlada no experimento.

(21)

2.1 Fases da Experimenta¸c˜ao 10

• Efeito - ´e a mudan¸ca na resposta produzida por uma modifica¸c˜ao no n´ıvel do fator.

• Tratamento - ´e uma combina¸c˜ao dos n´ıveis dos fatores.

• Unidade Observacional - é a unidade onde as medi¸cões são feitas, é ela que fornece a resposta.

• Unidade Experimental - ´e a unidade a qual um tratamento ´e aplicado.

2.1 Fases da Experimenta¸

c˜

ao

O planejamento experimental é um conjunto de técnicas estat´ısticas que auxiliam na coleta de dados e na obten¸cão de conclusões consistentes sobre uma pesquisa. Uma experiência bem planejada permite a obten¸cão de dados úteis, a um m´ınimo de custos, tempo e riscos; como também garante a validade das conclusões (Vivacqua; Pinho, 2008). Vamos dividir as estratégias de experimenta¸cão em três etapas: elabora¸cão (planejamento), execu¸cão e avalia¸cão (análise).

Planejamento

• Reconhecer e definir o problema.

• Separar fatores, n´ıveis e definir faixas de varia¸c˜ao para os fatores.

• Selecionar a vari´avel resposta.

• Escolher o tipo de delineamento experimental.

Execu¸

c˜

ao

• Realizar o experimento.

An´

alise

• Analisar estatisticamente os dados.

(22)

2.2 Princ´ıpios B´

asicos Para o Planejamento

Expe-rimental

Segundo Montgomery (2001) são três os princ´ıpios básicos de um planejamento de experimentos: replica¸cão, aleatoriza¸cão e blocagem.

2.2.1 Replica¸

c˜

ao

Replica¸cão é o ato de aplicar o mesmo tratamento a diferentes unidades experi-mentais. Existem duas propriedades importantes desse princ´ıpio. Primeiro, permite ao pesquisador obter estimativas do erro experimental e esse cálculo é importante para determinar a existência de diferen¸cas estatisticamente significativas entre os tratamen-tos. Segundo, dá liberdade ao executante para adquirir um cômputo mais preciso dos efeitos (Montgomery, 2001).

´

E importante diferenciar replica¸cão de repeti¸cão. Na replica¸cão, um mesmo trata-mento é aplicado a unidades experimentais diferentes e na repeti¸cão, diferentes obser-va¸cões são feitas de uma mesma unidade experimental. Por exemplo, duas medidas de uma mesma unidade experimental são repeti¸cões e as medi¸cões de duas unidades experimentais diferentes que receberam o mesmo tratamento são replica¸cões.

2.2.2 Blocagem

Blocagem é uma técnica extremamente importante, utilizada com o objetivo de aumentar a precisão de um experimento. Em certos processos, podemos controlar e avaliar, sistematicamente, a variabilidade resultante da presen¸ca de fatores conhecidos que perturbam o sistema, mas que não temos interesse em estudá-los. A blocagem é usada, por exemplo, quando uma determinada medida experimental é feita por duas pessoas diferentes, levando a uma poss´ıvel não homogeneidade nos dados. Essa técnica permite criar uma experiência mais homogênea e aumentar a precisão das respostas que são analisadas (Galdámez, 2002).

2.2.3 Aleatoriza¸

c˜

ao

(23)

2.3 Tipos de Aleatoriza¸c˜ao 12

sem a necessidade das suposi¸cões de normalidade e independência do erro experimen-tal e, consequentemente, das observa¸cões. Porém, situa¸cões práticas enfrentadas por pesquisadores limitam, em muitos casos, a aleatoriza¸cão do experimento.

2.3 Tipos de Aleatoriza¸

c˜

ao

2.3.1 Experimentos Completamente Aleatorizados

Inicialmente, mostramos um exemplo fict´ıcio de um experimento fatorial 2k _sem

replicas para entendermos melhor um arranjo em Parcelas Subdividias. No experimento fatorial 2k _{todos os fatores (quantitativos ou qualitativos) possuem dois n´ıveis. A}

nota¸c˜ao 2k _{significa que o expoente (k) indica o n´}_{umero de fatores, a base da potˆencia}

(2) indica o n´umero de n´ıveis (alto (+) e baixo (−)) e o resultado da potˆencia (2k) indica o total de tratamentos.

O nosso exemplo ´e de um experimento que possui dois fatores A e B e dois n´ıveis alto (+) e baixo (−). Esta ´e uma estrutura fatorial 22 _{cujos quatro tratamentos seriam}

definidos pelas combina¸c˜oes dos n´ıveis dos fatores A e B como mostra a tabela a seguir. Tratamento Fator A Fator B Intera¸c˜ao AB Resposta

(1) − − + y1

a + − − y2

b − + − y3

ab + + + y4

A presen¸ca das letras a e b indica que os fatores A e B estão no n´ıvel alto para aquele determinado tratamento e o s´ımbolo (1) representa o tratamento no qual todos os fatores estão no seu n´ıvel baixo. A coluna correspondente à intera¸cão é obtida através da multiplica¸cão das colunas associadas aos fatores envolvidos, e as respostas em cada linha correspondem às observa¸cões para o tratamento presente na respectiva linha.

O objetivo principal de um experimento fatorial é avaliar a poss´ıvel influência dos fatores e suas intera¸cões nas variáveis respostas, que é medida através dos efeitos. O efeito de um fator (ou da intera¸cão) é calculado pela diferen¸ca entre a média das res-postas dos tratamentos que foram executados com o n´ıvel alto e a média das resres-postas obtidas naqueles tratamentos em que este mesmo fator (ou da intera¸cão) foi aplicado no n´ıvel baixo.

Assim, por exemplo, para estimarmos o efeito do fator A, devemos fazer:

Ef eito A= y2+y4

2 − y1+y3

(24)

Seguindo esta ideia é poss´ıvel estimar quaisquer efeitos (ou intera¸cões) em um fa-torial 2k _{através das respostas observadas.}

Do ponto de vista teórico, é recomendada a realiza¸cão de réplicas para que se possa ter uma ideia não apenas de um valor médio que a resposta pode assumir, mas também da varia¸cão que existe entre uma aplica¸cão e outra do mesmo tratamento e com isso, obter uma estimativa da variância do erro experimental. Porém, na prática, quando o número de fatores ou o custo da execu¸cão é alto, a replica¸cão pode tornar-se impraticável e, com a ausência de réplicas, não é poss´ıvel ter ideia da variabilidade, e é preciso algum outro critério para julgar se as estimativas dos efeitos devem realmente ser consideradas razoáveis.

Diante disso, Daniel (1959) propôs a utiliza¸cão de gráficos de probabilidade nor-mal para identificar, de forma subjetiva, a presen¸ca de efeitos ativos em um estudo envolvendo estrutura fatorial de tratamentos. Nestes gráficos, os efeitos ativos são identificados pelos pontos mais claramente afastados de uma reta imaginária formada pelos pontos restantes. A grande desvantagem deste método é a subjetividade presente na análise, o que levou Lenth a sugerir um método objetivo de análise que é discutido mais adiante.

2.3.2 Experimentos Aleatorizados em Parcelas Subdivididas

Como foi visto anteriormente, algumas vezes é inviável executar um experimento fatorial seguindo um delineamento completamente aleatorizado e isso, normalmente resulta em uma generaliza¸cão do experimento fatorial chamado de arranjo em parcelas subdivididas (split - plot).

Segundo Montgomery (2001) os arranjos em parcelas subdivididas devem ser ana-lisados como experimentos fatoriais 2k _{combinados (ou superpostos). Ou seja, um}

(25)

2.4 Métodos de Análise de Experimentos Fatoriais Não Replicados 14

2.4 M´

etodos de An´

alise de Experimentos Fatoriais

N˜

ao Replicados

Alguns importantes métodos são propostos para análise de um experimento fatorial não replicado. Por exemplo, os gráficos de probabilidade normal e seminormal, o Método de Daniel (1959) - guard rails, o Método de Box e Meyer (1986), o Método de Lenth (1989), o Método de Dong (1993), o Método de Lawson, Grimshaw e Burt (1998) e o Método de Lenth Descendente (2001). Escolhemos analisar os dados usando o gráfico de probabilidade normal, o Método de Lenth e uma adapta¸cão ao Método de Lenth proposta em Hamada e Wu (2009).

2.4.1 Gr´

aficos de Probabilidade Normal

A utiliza¸cão dos gráficos de probabilidade normal para identificar efeitos possivel-mente ativos em experimentos fatoriais não replicados foi proposta por Daniel (1959). A ideia de Daniel é bastante utilizada até os dias de hoje por se tratar de um mé-todo simples e por conseguir apontar a dire¸cão correta dos efeitos em grande parte dos experimentos.

A constru¸cão desses gráficos também é bastante simples. Inicialmente, os valores

yn dos efeitos observados s˜ao colocados em ordem crescente: y(1) ≤ y(2) ≤ ... ≤y(n) e

depois, o gráfico de probabilidade normal é obtido a partir dos pontos cujas coordenadas são (y(i), φ−1[(i−0,5)/n]) onde, φ−1 é a fun¸cão acumulada da normal padrão ey(i) é o

i-ésimo dos n efeitos ordenados. Se o conjunto desses pontos segue um padrão linear, há fortes ind´ıcios que a distribui¸cão normal serve como modelo para a popula¸cão que produziu a amostra e, nesse caso, a inclina¸cão da reta vai indicar o desvio padrão da popula¸cão da qual a amostra foi obtida. Mais adiante, será mostrado um exemplo em que o gráfico de probabilidade normal foi usado para analisar o experimento.

Apesar do gráfico de probabilidade normal ser muito utilizado e importante para análise de um experimento fatorial, sua interpreta¸cão é subjetiva, pois cabe a quem está analisando identificar que efeitos são significativos e que valores são discrepantes nos dados. Existem casos em que estes gráficos podem levar pesquisadores distintos a conclusões diferentes e por isso são considerados como métodos subjetivos de análise.

(26)

2.4.2 O M´

etodo de Lenth

Procurando métodos menos subjetivos e mais formais para a análise de experimen-tos fatoriais não replicados, Lenth (1989) apresentou uma metodologia relativamente simples de ensaio que permite expressar os resultados graficamente. A base desse mé-todo é o princ´ıpio da esparsidade dos efeitos, que sugere que geralmente apenas um pequeno número dos contrastes deve ser diferente de zero no processo observado. Num experimento fatorial, com efeitos principais e intera¸cões de ordem cada vez maior, tem-se obtem-servado empiricamente que os efeitos principais e intera¸cões de baixa ordem são significativos com uma maior frequência, porém estes representam apenas uma parte do grupo composto por todos os efeitos, ou seja, intera¸cões de alta ordem envolvendo três ou mais fatores são mais raras e, sendo assim, a quantidade de efeitos estatisti-camente significativos em um experimento fatorial não deve ser grande. Para verificar a ocorrência desta condi¸cão, o método utiliza-se de uma fórmula simples para o erro padrão das estimativas dos contrastes.

Lenth definiu um pseudo erro padr˜ao (PSE) dos contrastes como sendo

P SE = 1,5.mediana(|cj|<2,5So)|cj|

(27)

2.4 Métodos de Análise de Experimentos Fatoriais Não Replicados 16

Definiu tamb´em uma margem de erro (ME) com aproximadamente 95% de confian¸ca como sendo M E = t(0,975;d).P SE e uma margem de erro simultˆanea (SME) como

SM E=t(γ;d).P SE em qued=n/3,γ = (1+0,951/n)/2 e n é o número de observa¸cões.

Depois de calculados as margens de erro para as estimativas dos contrastes, os efeitos são colocados em um gráfico com a estrutura semelhante à de um gráfico de barras e os limites ±M E e ±SM E são adicionados a esse gráfico. A análise será feita do seguinte modo: um efeito será considerado ativo se o seu valor ultrapassar SME, não será considerado ativo se não ultrapassar ME e o efeito será classificado como marginalmente ativo, isto é, ele pode ou não ser significativo se o seu valor estiver entre ME e SME.

Observe agora o exemplo (Figura 5) onde o limite SME est´a representado pela linha horizontal tracejada e o limite ME pela linha horizontal cheia. Nesse exemplo, os fatores A e D e as intera¸c˜oes AD, AE e ABCD (1o_{, 4}o_{, 8}o_{, 9}o _{e 26}o _contrastes,

respectivamente) s˜ao classificados como ativos, os 2o_{, 3}o_{, 5}o_{, 6}o_{, 7}o_{, 11}o _{e 17}o _contrastes

(28)

Estudo do Impacto do Plano

Experimental na An´

alise do

Experimento

“Em grande parte dos casos, os objetivos propostos pelos trabalhos cient´ıficos per-mite classificá-los quanto à abordagem utilizada para resolu¸cão dos problemas levan-tados” (Saldanha - 2008). A partir desse ponto de vista, há três grupos de estudo que podem classificar uma pesquisa: estudo exploratório, descritivo e explicativo.

Faz-se uso dos estudos explicativos para identificar os fatores que contribuem ou influenciam a ocorrência de um fenômeno, ou também para determinar através da razão o fundamento das coisas. Já um estudo descritivo tem como objetivo a descri¸cão das caracter´ısticas de um determinado fenômeno, assim como o estabelecimento de rela¸cões entre as variáveis e os fatos.

Segundo Vergara (1997) uma pesquisa exploratória é aquela realizada em área na qual há pouco conhecimento acumulado ou sistematizado e, muitas vezes, é a primeira etapa de uma investiga¸cão que será mais aprofundada. Sendo assim, vamos classificar o nosso trabalho como descritivo e explicativo.

Inicialmente foi feito um estudo do artigo de Bisgaard Fuller e Barrios (1996). O ob-jetivo era entender melhor erros associados aos fatores que ocorrem quando analisamos um experimento com restri¸cão na aleatoriza¸cão como se fosse completamente aleatori-zado. Nesse artigo, a análise do experimento é feita utilizando gráficos de probabilidade normal para detectar os efeitos ativos dos fatores escolhidos.

Para ilustrar melhor, observamos um exemplo mais simples: Consideremos um ex-perimento com três fatores (A, B e C) com dois n´ıveis (+ e −), sendo que os fatores A e B são dif´ıceis de mudar e o fator C não. Esse é um experimento em parcelas

(29)

18

subdivididas (split - plot) 22 _{x 2}1_{, representado pelo modelo:}

yi(j) =f(xij) +ǫ1j +ǫ0i(j), i= 1,2; j = 1, . . . ,4

Esse ´e um modelo de efeitos fixos e xij s˜ao as linhas da matriz do delineamento,

f é uma fun¸cão linear, ǫ1j são erros associados à parcela principal com variância σ12,

e ǫ0i(j) são erros associados às subparcelas com variância σ02. Primeiro, constru´ımos

uma tabela, onde os fatores A e B são fatores alocados as parcelas principais e C é fator alocadoa à subparcela para podermos identificar quais são os efeitos que tem erro relacionado às parcelas principais e quais tem erro relacionado à subparcela.

Tabela 3.1: Representa¸cão esquemática dos fatores em delineamento aleatorizado em parce-las subdivididas: (A e B são fatores principais e C fator secundário)

A B C− C+

− − y1(1) y2(1)

+ − y1(2) y2(2)

− + y1(3) y2(3)

+ + y1(4) y2(4)

´

E importante observar que estamos usando um modelo de ´ındices escritos na forma i(j) para indicar que a subparcela i est´a aninhada dentro da parcela j. Sendo assim, quando verificamos a respostay1(3), estamos observando sub-parcela 1 (C(−)) que est´a

dentro da parcela 3 (A(−)eB(+)).

Na tabela 3.2, apresentamos os termos do modelo ignorando a fun¸c˜ao linear f(xij)

para identificar os efeitos que tem erro padrão relacionado à sub-parcela ou relacionados à parcela.

Tabela 3.2: Representa¸cão esquemática dos fatores em delineamento aleatorizado em parce-las subdivididas: com os sete efeitos e a indica¸cão dos termos de erro

A B C AB AC BC ABC Resposta Termos do erro

− − − + + + − y1(1) ǫ11 +ǫ01(1)

+ − − − − + + y1(2) ǫ12 +ǫ01(2)

− + − − + − + y1(3) ǫ13 +ǫ01(3)

+ + − + − − − y1(4) ǫ14 +ǫ01(4)

− − + + − − + y2(1) ǫ11 +ǫ02(1)

+ − + − + − − y2(2) ǫ12 +ǫ02(2)

− + + − − + − y2(3) ǫ13 +ǫ02(3)

+ + + + + + + y2(4) ǫ14 +ǫ02(4)

(30)

ˆ

A= 1

4(y1(2)+ǫ12+ǫ01(2)+y1(4)+ǫ14+ǫ01(4)+y2(2)+ǫ12+ǫ02(2)+y2(4)+ǫ14+ǫ02(4)−

y1(1)−ǫ11−ǫ01(1)−y1(3)−ǫ13−ǫ01(3)−y2(1)−ǫ11−ǫ02(1)−y2(3)−ǫ13−ǫ02(3))

Como o modelo ´e de efeitos fixos, apenas focamos nos termos dos erros para deter-minar o erro padr˜ao. Sendo assim, podemos escrever:

ˆ

A= 1

4(2ǫ12+ 2ǫ14−2ǫ11−2ǫ13+

2

X

j=1

ǫ0j(2)+ 2

X

j=1

ǫ0j(4)+ 2

X

j=1

ǫ0j(1)+ 2

X

j=1

ǫ0j(3))

Observando que os erros não são correlacionados, determinamos a variância, e te-mos a estimativa do erro do efeito principal A, associado às parcelas principais.

V ar{Aˆ}= 1 16(4σ

2

1 + 4σ12+ 4σ12+ 4σ12+ 2σ02+ 2σ02+ 2σ20+ 2σ20) = σ12+

σ2 0

2

Determinamos agora, a estimativa do efeito C associado às subparcelas conside-rando apenas os termos dos erros para determinar o erro padrão. Então, podemos escrever:

ˆ

C= 1 4(

2

X

j=1

ǫ0j(1)+ 2

X

j=1

ǫ0j(2)+ 2

X

j=1

ǫ0j(3)+ 2

X

j=1

ǫ0j(4))

Assim, a estimativa da variˆancia de ˆC ´e:

V ar{Cˆ}= 1 16(2σ

2

0 + 2σ02+ 2σ02+ 2σ02) =

σ2 0

2

Esses c´alculos, segundo Bisgaard (2000), podem ser estendidos para o caso geral de um projeto de parcelas subdivididasN = 2k−p _{x 2}q−r_{. Ser´a representado por P o efeito}

associado à parcela inteira e por SP o efeito associado à subparcela. Então, temos:

V ar{P}=V ar{ 2

N(2

q−r 2k−p

X

j=1

±ǫ1j + N

X

j=1

∓ǫ0j)}=

=4

N(2

k−r _{x 2}2(q−r)_σ2

1 + Nσ20) =

=4

N(2

(31)

3.1 Cen´arios da Simula¸c˜ao do Experimento 20

V ar{SP}=V ar{2

N

X

j=1

ǫ0j}=

4

N2N σ 2 0 = =4 Nσ 2 0

Segundo Bisgaard (2000), em geral, para um projeto de parcelas subdivididas 2k−p

x 2q−r _{existem um total de 2}k−p _{x 2}q−r ₋_{1 efeitos poss´ıveis. Se o experimento for}

executado com restri¸c˜ao na aleatoriza¸c˜ao, todos os 2q−r₋_{1 efeitos principais (e suas}

intera¸cões) gerados da parcela principal terão a variância da parcela e todos os 2k−p _x

2q−r₋_{1 efeitos ter˜ao a variˆancia do erro da subparcela.}

No caso do artigo de Bisgaard (1996), temos um projeto de parcelas subdivididas 24 _{x 2}1 _{com 31 (2}4 _{x 2}1₋_{1) efeitos poss´ıveis, sendo 15 (2}4₋_{1) efeitos da parcela e 16}

(24 _x(21₋_{1)) efeitos da subparcela.}

Em um primeiro momento, foi feita a separa¸cão dos 31 efeitos obtidos do experi-mento: em um grupo com os fatores dif´ıceis de mudar (parcela principal) e em outro, com fatores fáceis de mudar (subparcela). Na análise desse experimento foram feitos gráficos separados de probabilidade normal. O motivo para esta separa¸cão é que na análise de variância de experimentos em parcelas subdivididas recai em duas partes se-paradas onde há dois erros não correlacionados, o erro ǫ1j associado ao reator (parcela

principal), com variˆancia σ2

1, e o erro ǫ0i(j) entre as amostras de papel (subparcela),

dentro do reator, e com uma variˆancia menorσ2 0.

O modelo matem´atico de ANOVA do experimento em parcelas subdivididas ´e

yi(j) =f(xij) +ǫ1j+ǫ0i(j), i= 1,2; j = 1,2, ...,16

onde xij são as linhas da matriz do projeto, f é uma fun¸cão linear, ǫ1j são erros

associados `a parcela principal com variˆanciaσ2

1, eǫ0i(j)s˜ao erros associados `a subparcela

com variˆanciaσ2 0.

Em um segundo momento foi feito apenas um gr´afico de probabilidade normal com todos os 31 efeitos.

Após a separa¸cão dos efeitos e da plotagem dos gráficos de probabilidade normal para os efeitos associados às parcelas principais e à subparcela, foi poss´ıvel observar quais efeitos considerados influentes seriam ignorados, o que mostra como seria errada a análise se fosse utilizado um gráfico de probabilidade normal para todos os efeitos.

3.1 Cen´

arios da Simula¸

c˜

ao do Experimento

(32)

próximo passo do trabalho: a simula¸cão de cenários experimentais para avaliar o modelo experimental adotado na análise, sobre um experimento com restri¸cão na aleatoriza¸cão como completamente aleatorizado.

Foram realizadas simula¸c˜oes para os seguintes cen´arios:

• Quantidade de repeti¸c˜oes: 10, 100, 1000 e 10000

Observamos que as simula¸cões com 10 e 100 repeti¸cões não acrescentaram muitas informa¸cões aos nossos estudos por não estarem estáveis.

• Variˆancia do efeito na parcela: 1; 4,75; 16 e 49

Vimos que a variância tinha grande influência nos resultados encontrados, pois quanto maior a variância dos efeitos, maior era o erro do tipo I (classificar ativo um efeito nulo). Por isso, nas simula¸cões, optamos em alterar apenas a variância dos efeitos da parcela, mantendo constante a variância do efeito da subparcela.

• Variˆancia do efeito na subparcela: 1

Utilizando as rela¸c˜oes apresentadas anteriormente para N = 2k−p_x2q−r

V ar{P}= 4

N(2

q−r_σ2 1+σ02)

V ar{SP}= 4

Nσ

2 0

Para N = 32 (24_x21_{), constru´ımos a seguinte tabela:}

Var efeito Parcela Var efeito Subparcela Var erro Parcela Var erro Subparcela Var{P} Var{SP} σ2

1 σ02

1 1 - 8

4,75 1 15 8

16 1 60 8

49 1 192 8

• Quantidade total de efeitos ativos: 5

(33)

• A magnitude dos efeitos do modelo é: A = 11,825; D = - 15,1; E = 3,1375; AD = 16,5625; AE = - 5,9 a média = 40,98125 e todos os outros efeitos são iguais a zero.

• A distribui¸c˜ao do erro no modelo foi a Normal.

Para que a análise do experimento não seja baseado em apenas critérios subjetivos como na fase inicial do estudo, foi usado como critério para exame dos efeitos, o método de Lenth. Com isso, encontramos resultados anal´ıticos com um procedimento formal. Nessa segunda fase, consideramos as seguintes hipóteses:

H0 :Ef eito= 0

H1 :Ef eito6= 0

Como j´a foi mostrado, o m´etodo de Lenth define uma margem de erro (ME) como

M E=t(0,975;d).1,5.mediana|cj|<2,5.1,5mediana|cj|e uma margem de erro simultˆanea (SME)

como SM E = t(γ,d).1,5.mediana|cj|<2,5.1,5mediana|cj| sendo que c1, c2, . . . , cj, . . . , cm s˜ao

as estimativas dos efeitos, d = m

3 e γ = (1 + 0,95

1

m)/2, onde esses valores servir˜ao

como referência na classifica¸cão da existência de um efeito ativo. Após calcularmos esses valores, o método de Lenth e ilustrado em um gráfico de barras dos efeitos, tendo como referência, linhas relativas ao±M E e±SM E. Um efeito será considerado ativo quando a sua barra ultrapassar a linha referente a SME e será considerado inativo quando a barra não ultrapassar uma das linhas referentes a ME. Quando a barra de um efeito ficar entre ME e SME, nós vamos classificar esse efeito como marginalmente ativo.

(34)

A seguir, são constru´ıdos separadamente, os gráficos das estimativas dos contrastes para os efeitos cujos erros estão relacionados às parcelas principais ou relacionados à subparcela.

(35)

(36)

Após a análise dos dados verificamos a necessidade de controlar melhor o erro do tipo I (classificar como ativo um efeito nulo) por isso, seguimos a sugestão de Ha-mada e Yo (2000) de usar a tabela de valores cr´ıticos elaborada a partir de estudo feito baseado em 10000 simula¸cões. Assim, deixamos de usar os valores calculados pelo método de Lenth para a margem de erro (ME) e para margem de erro simultâ-nea (SME) e passamos a considerar, ainda com confian¸ca de aproximadamente 95%,

M E = 2,06.P SE e SM E = 3,92.P SE quando o experimento é analisado como com-pletamente aleatorizado e M E = 2,06.P SE e SM E = 3,92.P SE para a análise da parcela e M E = 2,133.P SE e SM E = 4,226.P SE para a análise da subparcela quando o experimento é analisado como Parcelas Subdivididas (Split Plot).

3.2 Resultados

(37)

3.2 Resultados 26

artigo de Bisgaard et al (1995) e, quanto aos efeitos da parcela (whole plot), al´em do desvio padr˜ao igual a 7 (como sugerido no artigo) foram usados os desvios 1, 2 e 4.

Verificamos que com uma quantidade pequena de repeti¸cões (10 e até mesmo 100) não foi poss´ıvel tirar conclusões importantes sobre o estudo, já que os dados, como mostram alguns histogramas da distribui¸cão dos efeitos a seguir, não estavam estáveis. Todos os histogramas analisados encontram-se dispon´ıveis no apêndice B.

(38)

10 Repeti¸c˜

oes - Efeitos Ativos.

Variˆ

ancia do efeito da parcela = 1 e da subparcela = 1

Figura 9: Histogramas de frequˆencia dos efeitos do experimento

(39)

3.2 Resultados 28

10 Repeti¸c˜

oes - Efeitos Inativos.

Variˆ

ancia do efeito da parcela = 1 e da subparcela = 1

(40)

(41)

3.2 Resultados 30

Magnitude dos efeitos inativos = 0

(42)

100 Repeti¸c˜

oes - Efeitos Ativos

Variˆ

ancia do efeito da parcela = 16 e da subparcela = 1

(43)

3.2 Resultados 32

100 Repeti¸c˜

oes - Efeitos Inativos

Variˆ

ancia do efeito da parcela = 16 e da subparcela = 1

(44)

(45)

3.2 Resultados 34

Magnitude dos efeitos inativos = 0

O desvio padrão dos efeitos da parcela é igual a 4 (variância do efeito

igual 16 e variˆancia do erro da parcela igual a 60) e desvio padr˜ao dos

efeitos da subparcela igual a 1 (Variˆancia do efeito igual 1 e variˆancia

do erro da subparcela igual a 8), mesmo com cem repeti¸c˜oes, os dados

ainda não estão estáveis.

(46)

1000 Repeti¸c˜

oes - Efeitos Ativos.

Variˆ

ancia do efeito da parcela = 4 e da subparcela = 1

(47)

3.2 Resultados 36

1000 Repeti¸c˜

oes - Efeitos Inativos.

Variˆ

ancia do efeito da parcela = 4 e da subparcela = 1

(48)

(49)

3.2 Resultados 38

Magnitude dos efeitos inativos = 0

(50)

10000 Repeti¸c˜

oes - Efeitos Ativos

Variˆ

ancia do efeito da parcela = 49 e da subparcela = 1

(51)

3.2 Resultados 40

10000 Repeti¸c˜

oes - Efeitos Inativos

Variˆ

ancia do efeito da parcela = 49 e da subparcela = 1

(52)

(53)

3.2 Resultados 42

Magnitude dos efeitos inativos = 0

(54)

3.3 Crit´

erios de Avalia¸

c˜

ao

Utilizamos o programa R para, al´em de simular os efeitos, calcular as

margens de erro ME e SME e definir os efeitos ativos. Todos os dados

foram armazenados em tabelas do seguinte modo:

• O t´ıtulo da tabela indica o n´

umero de r´eplicas, a variˆancia do efeito

da parcela e da subparcela.

• A primeira coluna indica o fator que foi analisado.

• A segunda, terceira e quarta colunas, mostram que se o experimento

tivesse sido executado como completamente aleatorizado,

apresen-taria resultados que indicariam, respectivamente, frequˆencia

rela-tiva de experimentos em que o fator analisado foi classificado ativo,

marginalmente ativo e inativo (neste caso, o experimento n˜ao foi

analisado como foi executado).

• A quinta, sexta e s´etima colunas, apresentam resultados que

indi-cam, respectivamente, frequˆencia relativa de experimentos em que

o fator que foi analisado corretamente, de acordo com o

delinea-mento em parcelas subdivididas (Split Plot) foi classificado ativo,

marginalmente ativo e inativo.

A seguir, ser˜ao mostradas quatro tabelas com esses resultados. Para

facilitar a an´alise, a tabela foi dividida, por uma linha dupla, em duas

partes: a parte superior da tabela est˜ao os efeitos ativos (A de magnitude

11,8; D de magnitude

−

15,1; E de magnitude 3,1; AD de magnitude

16,6 e AE de magnitude

−

5,0) e na parte inferior os efeitos inativos

(todos com magnitude zero).

(55)

3.3 Crit´erios de Avalia¸c˜ao 44

Tabela 3.3: Frequência relativa de experimentos em que cada fator foi classificado como “ativo”, “marginalmente ativo ” ou “inativo” considerando a análise correta (delineamento aleatorizado com parcelas subdivididas) ou a análise incorreta (delineamento completamente aleatorizado);N = 1000;σ_P2 = 1;σ2_SP = 1

Completamente Aleatorizado Parcelas Subdivididas

Fator ativo marg ativo inativo ativo marg ativo inativo A 100.0 0.0 0.0 100.0 0.0 0.0 D 100.0 0.0 0.0 100.0 0.0 0.0 AD 100.0 0.0 0.0 100.0 0.0 0.0 E 27.2 53.3 19.5 26.4 47.0 26.6 AE 90.5 9.5 0.0 78.5 20.7 0.8

(56)

Tabela 3.4: Frequência relativa de experimentos em que cada fator foi classificado como “ativo”, “marginalmente ativo ” ou “inativo” considerando a análise correta (delineamento aleatorizado com parcelas subdivididas) ou a análise incorreta (delineamento completamente aleatorizado);N = 1000;σ_P2 = 16;σ2_SP = 1

(57)

Tabela 3.5: Frequência relativa de experimentos em que cada fator foi classificado como “ativo”, “marginalmente ativo ” ou “inativo” considerando a análise correta (delineamento aleatorizado com parcelas subdivididas) ou a análise incorreta (delineamento completamente aleatorizado);N = 10000;σ2_P = 4,75;σ_SP2 = 1

(58)

Tabela 3.6: Frequência relativa de experimentos em que cada fator foi classificado como “ativo”, “marginalmente ativo ” ou “inativo” considerando a análise correta (delineamento aleatorizado com parcelas subdivididas) ou a análise incorreta (delineamento completamente aleatorizado);N = 10000;σ2_P = 49;σ2_SP = 1

B 32.62 25.86 41.52 0.37 2.73 96.90 C 32.58 25.81 41.61 0.34 2.85 96.81 AB 31.97 25.53 42.50 0.39 2.63 96.98 AC 31.97 26.11 41.92 0.25 2.78 96.97 BC 31.88 25.41 42.71 0.33 2.78 96.89 BD 32.31 25.42 42.27 0.29 2.69 97.02 BE 0.00 0.31 99.69 0.30 3.87 95.83 CD 32.53 25.81 41.66 0.28 2.80 96.92 CE 0.01 0.28 99.71 0.37 3.80 95.83 DE 0.00 0.44 99.56 0.47 3.84 95.69 ABC 32.99 25.42 41.59 0.40 2.81 96.79 ABD 31.86 25.70 42.44 0.31 2.52 97.17 ABE 0.02 0.36 99.62 0.34 3.99 95.67 ACD 31.76 24.89 43.35 0.32 2.74 96.94 ACE 0.00 0.35 99.65 0.29 3.54 96.17 ADE 0.00 0.41 99.59 0.44 3.78 95.78 BCD 32.11 25.21 42.68 0.37 2.60 97.03 BCE 0.00 0.28 99.72 0.34 4.09 95.57 BDE 0.01 0.36 99.63 0.37 3.74 95.89 CDE 0.01 0.25 99.74 0.39 4.02 95.59 ABCD 32.22 25.91 41.87 0.26 2.45 97.29 ABCE 0.00 0.30 99.70 0.32 3.79 95.89 ABDE 0.02 0.34 99.64 0.36 3.78 95.86 ACDE 0.00 0.29 99.71 0.45 4.26 95.29 BCDE 0.00 0.41 99.59 0.39 3.83 95.78 ABCDE 0.01 0.27 99.72 0.29 3.97 95.74

(59)

Outra observa¸c˜ao importante, ´e a ordem proporcional ao valor

abso-luto da magnitude dos efeitos ativos (AD que tem a maior magnitude

(16

,

6) tem a porcenagem maior e E que tem a menor magnitude (3

,

1)

tem a porcentagem menor).

Para analisarmos os dados das tabelas, inicialmente constru´ımos

grá-ficos de intera¸cões em que, no eixo horizontal, aparecem as razões entre

o desvio padr˜ao do efeito na parcela pelo desvio padr˜ao do efeito na

subparcela. No eixo vertical, aparecem as porcentagens que o efeito,

indicado nesse eixo, foi classificado como inativo.

(60)

(61)

(62)

O efeito E ´e, na simula¸c˜ao, considerado ativo e tem magnitude 3,1.

Após a análise dos gráficos de intera¸cão, foi observado que a maneira

como o experimento foi analisado (como completamente aleatorisado ou

como parcelas subdivididas) e a raz˜ao entre a variˆancia do efeito da

parcela e a variˆancia do efeito da subparcela tinham grande significado

para determinar se um fator era classificado como ativo ou n˜ao. Al´em

disso, era preciso verificar, dependendo do modo que o experimento foi

analisado, se um fator ativo foi classificado como inativo ou se um fator

inativo foi classificado como ativo.

(63)

porcentagem que determinado fator foi classificado como inativo ´e a

res-posta procurada. Tivemos assim o seguinte cen´ario:

• Fator A - Razão entre a variância do efeito da parcela e a variância

do efeito da subparcela.

N´ıveis: 1; 4

,

75; 16 e 49.

A raz˜ao 1 corresponde a

A

1(

−

)

A

2(

−

), a raz˜ao 4 corresponde a

A

1(+)

A

2(

−

), a raz˜ao 16 corresponde a

A

1(

−

)

A

2(+) e a raz˜ao 49

corresponde a

A

1(+)

A

2(+).

• Fator B - Repeti¸c˜oes.

N´ıveis: 10, 100, 1000 e 10000

B

1(

−

)

B

2(

−

) representa 10 repeti¸c˜oes,

B

1(+)

B

2(

−

), representa 100

repeti¸c˜oes,

B

1(

−

)

B

2(+), representa 1000 repeti¸c˜oes e

B

1(+)

B

2(+)

representa 10000 repeti¸c˜oes.

• Fator C - Tipo de an´alise.

N´ıveis: Completamente Aleatorizado e Parcelas Subdivididas

C

(

−

) indica que o experimento foi analisado como se tivesse sido

executado como Completamente Aleatorisado e

C

(+) indica que o

experimento foi analisado como Parcelas Subdivididas.

(64)

FATOR A (press˜ao) - Considerado, na simula¸c˜ao, como Ativo.

Tabela 3.7: Porcentagem em que o fator A foi classificado como inativo

A1 A2 B1 B2 C − C +

− − − − 0 0 + − − − 0 0

− + − − 0 30 + + − − 20 60

− − + − 0 0 + − + − 0 0

− + + − 1 45 + + + − 11 70

− − − + 0 0 + − − + 0 0,1

− + − + 2,59 36,02 + + − + 11,5 74,5

− − + + 0 0 + − + + 0 0,24

(65)

(66)

(67)

FATOR B (energia) - Considerado, na simula¸c˜ao, como Inativo.

Tabela 3.8: Porcentagem em que o fator B foi classificado como inativo

A1 A2 B1 B2 C - C +

− − − − 100 100 + − − − 70 100

− + − − 50 100 + + − − 60 100

− − + − 96 97 + − + − 85 97

− + + − 66 99 + + + − 42 99

− − − + 96,2 95,6 + − − + 85,5 95,5

− + − + 63 96,24 + + − + 43,5 96,9

− − + + 95,91 94,9 + − + + 83,52 94,54

(68)

(69)

(70)

FATOR E (tipo de papel) - Considerado, na simula¸c˜ao, como Ativo.

Tabela 3.9: Porcentagem em que o fator E foi classificado como inativo

A1 A2 B1 B2 C - C +

− − − − 40 20 + − − − 50 40

− + − − 70 30 + + − − 60 0

− − + − 19 26 + − + − 42 23

− + + − 58 32 + + + − 66 24

− − − + 19,5 26,6 + − − + 41,4 24,6

− + − + 58,67 25,59 + + − + 60,2 26,7

− − + + 19,43 25,76 + − + + 42,52 26,51

(71)

(72)

A figura 33 indica os efeitos da subparcela (C e suas intera¸c˜oes) e ´e

observado que a maneira que o experimento ´e analisado ´e significativa.

(73)

Cap´ıtulo 4

Conclus˜

ao

Experimentos de parcelas subdivididas, sem r´eplicas, al´em de reduzir

o trabalho e o custo, s˜ao sempre melhores para detectar os efeitos ativos

das subparcelas.

Uma das desvantagens desse delineamento ´e n˜ao existir uma

estima-tiva independente das varia¸c˜oes dos erros e, por isso, a necessidade de

supor modelos com apenas poucos efeitos significativos, assumindo que

intera¸c˜oes de ordem mais altas s˜ao insignificantes, e podem ser

combi-nadas para produzir estimativas das variˆancias de erros.

Devido `a incapacidade ou ao custo de aleatorizar completamente o

experimento, frequentemente, mais restri¸c˜oes s˜ao inseridas no ensaio

ci-ent´ıfco.

A regra da separa¸c˜ao (como sugerido nas tabelas 1.2 e 1.3) possibilita

identificar quais fatores considerados influentes seriam ignorados se um

experimento de parcelas subdivididas

(split plot)

fossem analisados como

sendo um experimento completamente aleatorizado. Isso ocorre porque

ao analisar um experimento como completamente aleatorizado, quando

não é o caso, a distribui¸cão do erro da parcela

(whole plot)

se mistura

com a distribui¸c˜ao do erro da subparcela

(sub plot)

e essa distribui¸c˜ao

se sobrep˜oe a alguns efeitos verdadeiramente significativos.

Quando o experimento ´e analisado de forma incorreta (considerando o

(74)

delineamento como completamente aleatorizado), ao ser avaliado o erro

do tipo I (classificar como ativo um efeito inativo) observa-se que para

os fatores associados à parcela, quanto maior a razão entre a variância

do efeito da parcela e da subparcela é, em média, maior a frequência dos

efeitos inativos que s˜ao classificados como ativos e, em rela¸c˜ao ao fator

associado à subparcela, a frequência relativa do erro tipo I foi, em média,

menor que 6% como pode ser visto no quadro 4.1.

Quadro 4.1 - Frequˆencia do erro tipo I quando o experimento ´e analisado de forma incorreta

Razão entre variâncias Efeitos associados à parcela Efeitos associados à subparcela

1 < 10% < 6%

4,75 ≈20% < 6%

16 ≈40% < 6%

49 ≈60% < 6%

Quando o experimento ´e analisado de forma correta (considerando o

delineamento como parcelas subdivididas), ao ser avaliado o erro do tipo

I observa-se que para os fatores associados `a parcela e `a subparcela, a

frequência relativa do erro tipo I é, em média, menor que 10%.

(75)

64

Quadro 4.2 - Frequˆencia do erro tipo II quando o experimento ´e analisado de forma incorreta

1 0% ≈22%

4,75 0% ≈44%

16 ≈1% ≈61%

49 ≈9% ≈63%

Quadro 4.3 - Frequˆencia do erro tipo II quando o experimento ´e analisado de forma correta

1 0% ≈24%

4,75 0% ≈28%

16 ≈26% ≈29%

49 ≈63% ≈20%

(76)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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66

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(78)

Comandos no R

A.1 Programa 1 - Gerando os dados

# In´ıcio do programa de gerar dados efA<- 11.825 efB<- 0 efC<- 0 efD<- -15.1 efE<- 3.1375 efAB<- 0 efAC<- 0 efAD<- 16.5625 efAE<- -5.9 efBC<- 0 efBD<- 0 efBE<- 0 efCD<- 0 efCE<- 0 efDE<- 0 efABC=efABD=efABE=efACD=efACE=efADE=efBCD=efBCE=efBDE =efCDE=efABCD=efABCE=efABDE=efACDE=efBCDE=efABCDE=0 media<-40.98125

#(MODELO): Z = media + [(efA+efD+efE+efAD+efAE)/2]+erro whole + errosubp Efeito<-matrix(c(efA,efB,efC,efD,efE,efAB,efAC,efAD,efAE,efBC,efBD,efBE,efCD, efCE,efDE,efABC,efABD,efABE,efACD,efACE,efADE,efBCD,efBCE,efBDE,efCDE, efABCD,efABCE,efABDE,efACDE,efBCDE,efABCDE)) ALL<-matrix(c(A<-matrix(rep(c(-1,1),16)),B<-matrix(c(rep(-1,2),(rep(1,2))),32), C<-matrix(c(rep(-1,4),(rep(1,4))),32),D<-matrix(c(rep(-1,8),(rep(1,8))),32), E<-matrix(c(rep(-1,16),(rep(1,16))),32),A*B,A*C,A*D,A*E,B*C,B*D,B*E,C*D,C*E, D*E,A*B*C,A*B*D,A*B*E,A*C*D,A*C*E,A*D*E,B*C*D,B*C*E,B*D*E,C*D*E, A*B*C*D,A*B*C*E,A*B*D*E,A*C*D*E,B*C*D*E,A*B*C*D*E),ncol=31) Z<-media+(ALL%*%(Efeito/2)) WContador<-1 # in´ıcio do loop

(79)

A.1 Programa 1 - Gerando os dados 68

while (WContador<10001)

w<-0

w<-rnorm(16,0,sqrt(0)) #desvio whole = 1 s<-rnorm(32,0,sqrt(8)) # desvio subp = 1 iz<-1

iw<-1 is<-1 YY<- 1:32 dim(YY)<-(32)

while (iz<33){

Y<-matrix(c(Z[iz]+w[iw]+s[is])) YY[iz]<-(Y)

iz<- iz + 1 is<- is + 1 iw<- iw + 1 if (iw==17) iw<-1

}

Efeito<- 1:31 dim(Efeito)<-(31)

somaN<- 0 somaP<- 0 iz<-1 WW<-1

m<- 1:5 dim(m)<-(5) m[1]<-1 m[2]<-1 m[3]<-1 m[4]<-1 m[5]<-1

while (WW<32){

somaN<- 0 somaP<- 0 iz<-1

while (iz<33){

if (WW==1) m[1]<-A[iz] if (WW==2) m[2]<-B[iz] if (WW==3) m[3]<-C[iz] if (WW==4) m[4]<-D[iz] if (WW==5) m[5]<-E[iz]

if (WW==6){m[1]<-A[iz] m[2]<-B[iz]

(80)

if (WW==7){m[1]<-A[iz] m[3]<-C[iz]

}

if (WW==8){m[1]<-A[iz] m[4]<-D[iz]

}

if (WW==9){m[1]<-A[iz] m[5]<-E[iz]

}

if (WW==10){m[2]<-B[iz] m[3]<-C[iz]

}

if (WW==11){m[2]<-B[iz] m[4]<-D[iz]

}

if (WW==12){m[2]<-B[iz] m[5]<-E[iz]

}

if (WW==13){m[3]<-C[iz] m[4]<-D[iz]

}

if (WW==14){m[3]<-C[iz] m[5]<-E[iz]

}

if (WW==15){m[4]<-D[iz] m[5]<-E[iz]

}

if (WW==16){m[1]<-A[iz] m[2]<-B[iz]

m[3]<-C[iz]

}

if (WW==17){m[1]<-A[iz] m[2]<-B[iz]

m[4]<-D[iz]

}

if (WW==18){m[1]<-A[iz] m[2]<-B[iz]

m[5]<-E[iz]

}

if (WW==19){m[1]<-A[iz] m[3]<-C[iz]

m[4]<-D[iz]

}

if (WW==20){m[1]<-A[iz] m[3]<-C[iz]

m[5]<-E[iz]

}

if (WW==21){m[1]<-A[iz] m[4]<-D[iz]

m[5]<-E[iz]

}

if (WW==22){m[2]<-B[iz] m[3]<-C[iz]

m[4]<-D[iz]